在非 Hermitian 量子力学中存在一种带周期性约束条件的哈密尔顿方程

其中参数 $\alpha>0$, $\delta_{1}=1, \delta_{i}=\prod\limits_{j=1}^{i-1}\epsilon_{j}, i=2,\cdots,n, \epsilon_{j} \in\{1,-1\}$.该方程考虑沿直线排列在位置 $q_{1}, q_{2},\cdots, q_{n}$ 的 $n$ 个质量为 $1$ 的粒子, 其中 $q_{k}=q_{k}(t)$ 是平衡中第 $k$ 个粒子的位移, $p_{k}=\dot{q}_{k}$ 是相应的动量, 且有一个力作用在相邻粒子之间, 幅度为 $\exp(q_{k}-q_{k-1})$, $t$ 是时间变量. 在此情形下的运动方程可以写为

使用文献[1]中著名的 Flaschka 变量替换

上述运动方程转化为

约定 $a_{n+1}=a_{1}, b_{n}=b_{0}, \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k}=(\frac{\alpha}{2})^{n}$. 此时, 上述系统可以用矩阵方程形式表示, 即如下的 Lax 形式

其中 $[B,L]=BL-LB$, 且

这样该方程的求解问题, 就转化为一个形如(1.1)的矩阵 $L$ 的构造问题. 该类矩阵称为周期伪 Jacobi 矩阵, 满足 $H L^T H=L$, $b_{k}>0, k=1,2,\cdots,n$, 其中 $H=\textrm{diag}(\delta_{1},\delta_{2},\cdots,\delta_{n})$.

本文研究矩阵 $L$ 具有特殊符号算子 $H=I_{r-1}\oplus(\epsilon)$ 的情形, 且 $\epsilon\in \{1,-1\}$. 该类矩阵记为 $J_{n}$.当 $\epsilon=1$ 时, 矩阵 $J_{n}$ 为一个标准的周期 Jacobi 矩阵^[2]; 当 $\epsilon=-1$ 时, 矩阵 $J_{n}$ 就是闵可夫斯基空间中的一个周期伪 Jacobi 矩阵^[3]. 对于周期 Jacobi 矩阵, 已经有了成熟的研究; 但对于周期伪 Jacobi 矩阵, 研究没有那么广泛. 然而其来源十分广泛, 经常出现在具有周期性边界条件的一维薛定谔方程的离散化和截断化中, 或者与非均匀环的振动有关^[4]. 本文将考虑周期伪 Jacobi 矩阵 $J_{n}$ 的构造问题, 在数学上称之为: 周期伪 Jacobi 矩阵的逆特征值问题, 即通过从给定的谱信息中来重新构造一个周期伪 Jacobi 矩阵.

Ferguson^[2]、 Boley 和 Golub^[4]、 徐树方^[5]、徐映红和蒋尔雄^[6]等学者分别对周期 Jacobi 矩阵逆特征值问题的数值解法进行了研究, 主要考虑从整个矩阵及其最大顺序主子矩阵的特征值和一个给定的正数来对周期 Jacobi 矩阵进行了重构. 目前, 对该问题的研究取得了丰富的成果.随着研究的不断发展, 周期伪 Jacobi 矩阵的逆特征值问题也逐渐引起了众多学者的兴趣. 相比于周期 Jacobi 矩阵而言, 周期伪 Jacobi 矩阵的研究成果较少. 为了推广在周期 Jacobi 矩阵情况下的一些经典理论, 周期伪 Jacobi 矩阵的逆特征值问题也值得关注. 目前, 该问题也取得了一定的进展 (参见文献[3,7⇓⇓-10]). 本文是这一领域研究的延续. 主要研究如下的周期伪 Jacobi 矩阵的逆特征值问题.

问题: 给定一个正数 $\beta$, 一个在复共轭下封闭的集合 $\boldsymbol{\lambda}=\left\{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right\}$, 和一个元素均互异的实数集 $\boldsymbol{\mu}=\left\{\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{n-1}\right\}$, 构造一个矩阵 $J_{n}$ 使得 $\sigma(J_{n})=\boldsymbol{\lambda}, \sigma(J_{n-1})=\boldsymbol{\mu}$, $\beta= \prod\limits_{j=1}^{n} b_{i}$. 其中 $J_{n-1}$ 为 $J_{n}$ 的 $n-1$ 阶顺序主子矩阵且 $\sigma(J_{n}), \sigma(J_{n-1})$ 分别表示矩阵 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的谱.

该问题在下文简记为 PJIEP.

在讨论矩阵 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的谱分布之前, 我们先介绍一些重要结论.

引理 2.1^[5] 已知 $\mu_{1}<\cdots<\mu_{n-1}$ 为 Jacobi 矩阵 $J_{n-1}$ 的特征值, $v_{i}=(v_{i1},v_{i2},\cdots,v_{i,n-1})^\mathrm{T}$ 为 $\mu_{i}$ 所对应的特征向量, 则

其中 $\chi(\mu_{j})=\det(\mu_{j} I-J_{n-1})$.

引理 2.2^[8]已知一个在复共轭下封闭的集合 $\boldsymbol{\lambda}=\left\{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right\}$ 和一个元素互异的实数集 $\boldsymbol{\mu}=\left\{\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{n-1}\right\}$, 且 $\mu_{i} \notin \boldsymbol{\lambda}$,则代数方程组

有解的充要条件为

并且

引理 2.3^[3,6]假设引理2.1的前提条件成立, 则 $\mu_{i}$ 为 $J_{n}$ 的特征值当且仅当

证 设 $y=(b_{n},0,\cdots,0,\epsilon b_{n-1})^\mathrm{T}, z=(\epsilon b_{n},0,\cdots,0,b_{n-1})$, 则原矩阵 $J_{n}$ 的分块形式如下

令 $V=(v_{1},v_{2},\cdots,v_{n-1})$, 则 $n$ 阶矩阵 $U=V\oplus(1)$ 和 $\widehat{U}=V^{\mathrm{T}}\oplus(1)$都是正交矩阵且 $\widehat{U} U=I$.

将矩阵 $J_{n}$ 进行正交变换有

令 $V^{\mathrm{T}} y=(\alpha_{1}+\epsilon \beta_{1},\cdots,\alpha_{n-1}+\epsilon \beta_{n-1})^\mathrm{T}$, $zV=(\epsilon \alpha_{1}+\beta_{1},\cdots, \epsilon \alpha_{n-1}+\beta_{n-1})$, 其中 $\alpha_{i}=b_{n} v_{i1}, \beta_{i}=b_{n-1} v_{i,n-1}$.再利用矩阵 $\lambda I-\hat{U}J_{n}U$ 的 Schur 补计算其特征多项式, 可得到如下方程

倘若 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 有相同的特征值, 即存在 $\mu_{i}$ 使得 $\det(\mu_{i} I-\hat{U} J_{n} U)=0$. 又

且 $\prod\limits_{j=1,j\neq i}^{n-1} (\mu_{i}-\mu_{j}) \neq 0$, 则 $\mu_{i}\in\sigma(J_{n})$ 当且仅当 $\alpha_{i}+\epsilon \beta_{i}=0$, 即 $b_{n}v_{i1}+\epsilon b_{n-1}v_{i,n-1}=0$.

下面介绍本文的主要内容.

定理 2.1 已知 $b_{n}v_{i1}+ \epsilon b_{n-1} v_{i,n-1}\neq 0$, $i=1,2,\cdots,n-1$, 则 $J_{n}$ 的特征值为其特征方程 $f_{1}(\lambda)=0$ 的根, 其中

证 因为 $b_{n} v_{i1}+\epsilon b_{n-1} v_{i,n-1}\neq 0$, 由引理2.1可知, $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 无相同特征值, 即$\lambda \cap \mu =\emptyset$. 故 $\prod\limits_{j=1}^{n-1} (\lambda-\mu_{j}) \neq 0$. 从而

当且仅当 $f_{1}(\lambda)=0$. 又因为 $f_{1}(\lambda)$ 的分子最高项次数为 $n$, 且分母不为 0, 故 $f(\lambda)$ 在复数域上至多有 $n$ 个零点, 即为 $J_{n}$ 的 $n$ 个特征值.

根据定理2.1的结论, 我们开始讨论 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的谱分布性质.

定理 2.2 已知 $\mu_{1}<\cdots<\mu_{n-1}$ 为 $J_{n-1}$ 的特征值, $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 为 $J_{n}$ 的特征值, 且 $J_{n}$和 $J_{n-1}$ 无相同的特征值, 则

(1) 当 $\epsilon=1$ 时, $\lambda_{1} < \mu_{1} < \lambda_{2} < \cdots < \mu_{n-1} < \lambda_{n}$.

(2) 当 $\epsilon=-1$ 时, 下列四种情况之一成立:

(a) $\mu_{1} < \lambda_{1} < \mu_{2} < \cdots < \mu_{n-1} <\lambda_{n-1} \le \lambda_{n}$,

(b) $\lambda_{1} \le \lambda_{2} < \mu_{1} < \cdots < \lambda_{n} < \mu_{n-1}$,

(c) $\mu_{1} < \lambda_{1} < \mu_{2} < \cdots < \lambda_{n-2} < \mu_{n-1}$, $\lambda_{n-1}$ 和$\lambda_{n}$ 为一对共轭复数,

(d) $\mu_{1} < \lambda_{1} <\mu_{2} < \cdots < \mu_{j} <\lambda_{j} \le \lambda_{j+1} \le \lambda_{j+2} < \mu_{j+1} < \cdots < \lambda_{n} < \mu_{n-1}$.

证 令 $f_{1}(\lambda)=h(\lambda)-g(\lambda)$, 其中 $h(\lambda)=\lambda-a_{n}, g(\lambda)=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{\epsilon (\alpha_{i} + \epsilon \beta_{i})^{2}}{\lambda-\mu_{i}}$.

显然, $h(\lambda)$ 是一个严格的单调递增函数, $\mu_{i}$ 为 $g(\lambda)$ 的间断点. 下面分两种情况进行讨论.

(i) 当 $\epsilon=1$ 时, $g^{\prime}(\lambda)<0$, 所以函数 $g(\lambda)$ 在每个区间 $(\mu_{i}, \mu_{i+1}), i=1,2, \cdots,n-2$, 以及无限区间 $(-\infty, \mu_{1}), (\mu_{n-1}, +\infty)$ 上是单调递减的. 又 $\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow -\infty}g(\lambda)=-0$, $\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow +\infty}g(\lambda)=+0$,$\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow \mu_{i}^{-}}g(\lambda)=-\infty$,$\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow \mu_{i}^{+}}g(\lambda)=+\infty$, $i=1,2,\cdots,n-1$.故 $h(\lambda)$ 和 $g(\lambda)$ 恰好有 $n$ 个交点, 且与所有间断点 $\mu_{i}$ 严格交错, 故第一个不等式序列成立.

(ii) 当 $\epsilon=-1$ 时, $g^{\prime}(\lambda)>0$, 所以函数 $g(\lambda)$ 在每个区间 $(\mu_{i}, \mu_{i+1}), i=1,2, \cdots,n-2$, 以及无限区间 $(-\infty, \mu_{1}), (\mu_{n-1}, +\infty)$ 上是单调递增的. 又 $\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow -\infty}g(\lambda)=+0$, $\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow +\infty}g(\lambda)=-0$,$\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow \mu_{i}^{-}}g(\lambda)=+\infty$,$\displaystyle\lim_{\lambda \rightarrow \mu_{i}^{+}}g(\lambda)=-\infty$, $i=1,2,\cdots,n-1$. 故 $h(\lambda)$ 和$g(\lambda)$ 在区间 $(\mu_{1}, \mu_{n-1})$ 内至少有 $n-2$ 个交点. 其余两个交点要么全为实数, 要么为一对共轭复数.

当其余两个交点全为实数时, 这两个交点只可能位于区间 $(\mu_{n-1},+\infty)$, 或 $(-\infty,\mu_{1})$, 或某个区间$(\mu_{i},\mu_{i+1})$ 内. 因而, 第二种不等式序列 (a), (b), (c) 三者之一成立.

当其余两个交点为一对共轭复数时, $h(\lambda)$ 和 $g(\lambda)$ 在区间 $(\mu_{1}, \mu_{n-1})$ 内恰好有 $n-2$ 个交点. 于是不等式序列 (d) 成立.

定理 2.3 已知 $\lambda_{i}=\mu_{i}, i\in S=\left\{1,2, \cdots,s\right\}$, 且 $\lambda_{s+1}, \cdots,\lambda_{n}$ 不是 $J_{n-1}$ 的特征值, 则矩阵 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的特征值满足以下分布关系

(1) 当 $\epsilon=1$ 时, $\lambda_{s+1}<\mu_{s+1}<\cdots<\mu_{n-1}<\lambda_{n}$;

(2) 当 $\epsilon=-1$ 时, 下面四种情况之一成立

(a) $\mu_{s+1} < \lambda_{s+1} < \mu_{s+2} < \cdots < \mu_{n-1} <\lambda_{n-1} \le \lambda_{n}$,

(b) $\lambda_{s+1} \le \lambda_{s+2} < \mu_{s+1} < \cdots < \lambda_{n} < \mu_{n-1}$,

(c) $\mu_{s+1} < \lambda_{s+1} < \mu_{s+2} < \cdots < \lambda_{n-2} < \mu_{n-1}$, $\lambda_{n-1}$ 和 $\lambda_{n}$ 互为共轭复数,

(d) $\mu_{s+1} < \lambda_{s+1} <\mu_{s+2} < \cdots < \mu_{s+j} <\lambda_{s+j} \le \lambda_{s+j+1} \le \lambda_{s+j+2} < \mu_{j+1} < \cdots < \lambda_{n} < \mu_{n-1}$.

证 由引理2.3和定理2.1可知, 当 $\lambda_{i}=\mu_{i}, i\in S=\left\{1,2, \cdots,s\right\}$ 时, $\mu_{1}, \mu_{2},\cdots,\mu_{s}$ 是 $J_{n}$ 的 $s$ 个特征值, 且它的其余特征值为函数

的 $n-s$ 个零点. 后续证明同定理2.2类似.

定理 2.4 假设问题 {PJIEP} 中的数集 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 满足定理2.2或定理2.3中的五种不等式序列之一, 则可确定 $\epsilon$ 的取值.

证 若已知 $\sigma(J_{n})=\boldsymbol{\lambda}$, $\sigma(J_{n-1})=\boldsymbol{\mu}$, 和它们元素之间的分布情况, 则可确定 $\epsilon$ 的符号. 下面用反证法.

当 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 中的元素满足定理2.2或定理2.3中的第一个不等式序列时, 若取 $\epsilon=-1$, 由定理2.2的证明可知: $g(\lambda)$ 和 $h(\lambda)$ 在区间 $(-\infty,\mu_{1})$ 或 $(\mu_{n-1},\infty)$ 上只能有两个交点, 不符合分布情况. 故此时 $\epsilon=1$.

当 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 中的元素满足定理2.2或定理2.3中的不等式序列 (a)、(b)、(c)、(d) 四种情况之一时, 若 $\epsilon=1$, 则 $g(\lambda)$ 和 $h(\lambda)$ 在区间 $(-\infty,\mu_{1})$ 和$(\mu_{n-1},\infty)$ 内都只有一个交点, 与分布情况不符, 故 $\epsilon=-1$.

根据矩阵 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的谱分布性质, 下面给出问题 PJIEP 有解的充要条件.

定理 3.1 已知 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 符合定理2.2或定理2.3中的交错情况之一, 则问题 {PJIEP} 有解当且仅当

证 本文只证明 $\boldsymbol{\lambda}\cap\boldsymbol{\mu}=\{\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{s}\}$ 情况.

先证明必要性. 假设存在一个周期伪 Jacobi 矩阵 $J_{n}$ 使得

其中 $\lambda_{i}=\mu_{i}, i\in S=\left\{1,2, \cdots,s\right\}$.

由引理2.3有

从定理2.1和定理2.3可知, $J_{n}$ 的特征值为函数 $f(\lambda)=\lambda-a_{n}-\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{x_{k}}{\lambda-\mu_{k}}$ 的零点, 其中

再由引理2.2可知

于是通过公式(3.2)和(3.3)可得

又由引理2.1可知

将公式(3.5)代入公式(3.6)可得

由 $\mu_{1}<\cdots<\mu_{n-1}$ 可知

又由定理2.2和定理2.3可知

在公式(3.7)中, 令 $\Delta_{j}=\epsilon x_{j}-4 \epsilon \beta /\chi^{\prime}(\mu_{j})$. 于是由公式(3.8)和(3.9)可得

又因为公式(3.7)中的 $v_{j1}$ 和 $b_{n}$ 都是实数, 所以 $\Delta_{j} \ge 0$, 故公式(3.1)成立. 必要性得证.

再证充分性. 假设公式 (3.1) 成立. 注意到 $\lambda_{i}=\mu_{i}, i\in S=\left\{1,2, \cdots,s\right\}$ 是拟构造矩阵 $J_{n}$ 的特征值. 对于公式(3.4)中的实数 $x_{j}, j=1,2,\cdots,n-1$, 有 $\epsilon x_{j}=0, j=1,2,\cdots,s$. 再由公式(3.8)和(3.9)可知 $\epsilon x_{j}>0, j=s+1,s+2,\cdots,n-1$. 定义

当 $j=1,2,\cdots,s$ 时, 很明显 $\Delta_{j}$ 严格大于 0. 结合公式 (3.1) 可知 $b_{n}>0$. 再定义

不难发现 $v_{j1}$ 均不为零且 $\sum\limits_{j=1}^{n-1}v_{j1}^{2}=1$. 于是 $(v_{11},v_{21},\cdots,v_{n-1,1})^{\mathrm{T}}$ 是一个单位向量. 使用文献[2]中的 Lanczos 算法, 可以通过初始值 $\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{n-1}$ 和分量均非零的单位向量 $(v_{11},v_{21},\cdots,v_{n-1,1})^{\mathrm{T}}$ 得到唯一的 Jacobi 矩阵 $J_{n-1}$. 从而有

于是就构造出了$J_{n}$. 由定理2.3可知, 所得矩阵 $J_{n}$ 的谱为 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$. 充分性得证.

在上述定理充分性的证明中, 当 $\mu_{j}, j=1,2,\cdots,s$, 是矩阵 $J_{n}$ 的特征值时, 公式(3.11)中对应的 $v_{j1}$ 的值唯一. 当 $\mu_{j}, j=s+1,s+2,\cdots,n-1$, 不是矩阵 $J_{n}$ 的特征值时, $v_{j1}$ 的取值依赖于它里面正负号的选取, 至多有两种可能的取值. 从而向量 $(v_{11},v_{21},\cdots,v_{n-1,1})^{\mathrm{T}}$ 至多有 $2^{n-1-s}$ 个可能取值. 因而可以构造至多 $2^{n-s-1}$ 个不同的矩阵 $J_{n}$. 若所有的 $\mu_{j}$ 都不是矩阵 $J_{n}$ 的特征值, 则可以产生至多 $2^{n-1}$ 个不同的矩阵 $J_{n}$. 但需要注意的是, 对于某个指数 $j$, $v_{j1}$ 中正负号的选取需要与公式(3.10)中根号里面对应项的正负号的选取一致.

根据定理2.4和定理3.1的证明过程, 本文可以给出如下构造算法.

算法 1 输入集合 $\boldsymbol{\lambda}$, $\boldsymbol{\mu}$ 和正数 $\beta$.

(1) 对 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 中元素进行排序.

若不满足定理2.2或定理2.3中的五种不等式序列, 则算法终止;

若满足定理2.2或定理2.3中的第一种不等式序列, 则 $\epsilon=1$; 若满足定理2.2或定理2.3中的其余四种不等式序列之一, 则 $\epsilon=-1$.

(2) 若 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 中元素满足公式 (3.1), 则进行下一步; 否则, 算法终止.

(3) 令 $\chi^{\prime}(\mu_{j})=(-1)^{n+j-1}\prod\limits^{n-1}_{i=1,i \neq j}\left|\mu_{i}-\mu_{j}\right|, j=1,2,\cdots,n-1$.

(4) 对于 $j=1,2,\cdots,s$, $x_{j}=0$.

(5) 对于 $j=s+1,s+2,\cdots,n-1$, $x_{j}=-\prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda_{i}-\mu_{j})\prod\limits_{i=1,i\neq j}^{n-1}(\mu_{i}-\mu_{j})^{-1}$.

(6) 选取正负号, 计算

(7) 使用 {Lanczos} 算法:

(a) 设 $b_{0}=1$.

(b) $u_{j0}=0,j=1,2,\cdots,n-1$.

(c) $u_{j1}=v_{j1},j=1,2,\cdots,n-1$.

(d) 对 $i=1,2,\cdots,n-2$ 进行迭代:

(i) $a_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\mu_{j} u_{ji}^{2}$;

(ii) $b_{i}=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n-1}((\mu_{j}-a_{i}) u_{ji}-b_{i-1} u_{j,i-1})^2}$;

(iii) 对于 $j=1,2,\cdots,n-1$, $u_{j,i+1}=((\mu_{j}-a_{i})u_{ji}-b_{i-1}u_{j,i-1})/b_{i}$;

(e) $a_{n-1}=\sum\limits_{j=1}^{n-1}\mu_{j}u_{j,n-1}^{2}$.

(8) $b_{n-1}=\frac{\beta}{b_{1} \cdots b_{n-2}b_{n}}$, $a_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_{j}-\sum\limits_{j=1}^{n-1}\mu_{j}.$

注意上述过程中 $v_{j1}$ 表达式中的正负号的选取要与 $b_{n}$ 中保持一致.

例 4.1 给定一个复数集合 $\boldsymbol{\lambda}=\big\{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}, 0, -\textrm{i}, \textrm{i} \big\}$ 和一个实数集合$\boldsymbol{\mu}=\big\{-\sqrt{3}, -1,$$0, 1, \sqrt{3} \big\}$, 考虑 $\beta=1$ 的情况下构造 $J_{n}$.

根据 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 中的元素分布情况, 可知其满足定理2.3中的不等式序列 (c), 故 $\epsilon=-1$. 由定理3.1可知, 公式3.1成立, 故该问题有解. 比较给出的数据可知, $v_{41}$ 和 $v_{51}$ 有两种选择, 故可以构造 $2^2$ 个不同的矩阵 ${J}_{6}$. 其非零元素如表1-4所示. 再计算 ${J}_{6}$ 和其 5 阶顺序主子矩阵 ${J}_{5}$ 的特征值 $\boldsymbol{\lambda}^{'}$和 $\boldsymbol{\mu}^{'}$, 分别与给出的谱数据 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 进行比较, 计算其相对误差, 如表5 所示.

例 4.2 给定一个 $n$ 阶周期伪 Jacobi 矩阵 $J_{n}$, 其中 $a_{i}=2, b_{i}=1$ 且 $\epsilon=-1$, 分别在 $n=10,20,50,100,500$ 阶的情况下重构 $\widehat{J}_{n}$.

通过 Matlab 中的eig函数我们可以得出 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的特征值, 再使用给出的算法可以构造矩阵 $\widehat{J}_{n}$, 矩阵构造中 $v_{j1}$ 里均取正号, 对 $\widehat{J}_{n}$ 和 $\widehat{J}_{n-1}$ 的特征值 $\boldsymbol{\lambda}^{'}$ 和 $\boldsymbol{\mu}^{'}$, 分别与 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 的特征值 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 进行比较, 计算其相对误差. 如表 6 所示. 数值结果表明所给算法对解决问题 PJIEP 是可行的.

本文对依赖符号算子 $H=I_{r-1}\oplus(\epsilon)$ 的矩阵 $J_{n}$ 的谱性质进行了讨论. 首先给出了 $J_{n}$ 和 $J_{n-1}$ 有无相同特征值的充要条件, 然后通过讨论矩阵特征方程根的分布情况, 得出 $\epsilon=\pm1$ 时的特征值的不同分布情况. 另一方面, 根据问题 PJIEP 中给定的两组数据 $\boldsymbol{\lambda}$ 和 $\boldsymbol{\mu}$ 的分布情况就可确定 $\epsilon$ 的取值. 然后给出了问题 PJIEP 有解的充要条件. 最后通过两个数值实例验证了所给算法来构造该类矩阵的可行性.