分数阶不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程解的整体适定性

分数阶不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程解的整体适定性

孙小春^,, 吴育联^,^*, 徐郜婷^,^*

西北师范大学数学与统计学院兰州 730070

Global Well-Posedness for the Fractional Navier-Stokes Equations with the Coriolis Force

Sun Xiaochun^,, Wu Yulian^,^*, Xu Gaoting^,^*

Northwest Normal University, College of Mathematics and Statistics, Lanzhou 730070

通讯作者: *吴育联，E-mail：2021212047@nwnu.edu.cn

收稿日期: 2023-07-31 修回日期: 2023-10-16

基金资助:

国家自然科学基金(11601434)

Received: 2023-07-31 Revised: 2023-10-16

Fund supported:

NSFC(11601434)

作者简介 About authors

孙小春，E-mail：sunxiaochun@nwnu.edu.cn;

徐郜婷，E-mail：xugaoting0129@163.com

摘要

该文致力于研究带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题. 结合半群 $S$ 的 $L^p-L^q$ 及 $\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$ 光滑估计, 得到了带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性以及 $u_0$ 在齐次 Sobolev 空间 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 足够小时的分数阶 Navier-Stokes 方程具有唯一的整体 mild 解.

关键词： 整体适定性; 分数阶 Navier-Stokes 方程; 齐次 Sobolev 空间; Coriolis 力

Abstract

We consider the Cauchy problem of fractional Navier-Stokes equations with the Coriolis force. Combining the $L^p-L^q$ and $\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$ smooth estimates of semiggroup $S$, it is proved that the well-posedness of the fractional Navier-Stokes equations with the Coriolis force and these equations possess a unique global mild solution for arbitrary speed of rotation provided the initial data $u_0$ is small enough in $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$.

Keywords： Global well-posedness; Fractional Navier-Stokes equation; Homogeneous Sobolev spaces; Coriolis force

PDF (715KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

孙小春, 吴育联, 徐郜婷. 分数阶不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程解的整体适定性[J]. 数学物理学报, 2024, 44(3): 737-745

Sun Xiaochun, Wu Yulian, Xu Gaoting. Global Well-Posedness for the Fractional Navier-Stokes Equations with the Coriolis Force[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(3): 737-745

1 引言

本文研究带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题, 即

(1.1)$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_tu+\nu(-\Delta)^{\alpha}u+\Omega e^3 \times u+(u\cdot \nabla)u+\nabla p=0,& \quad x\in \mathbb{R}^3,t>0,\\ \mathrm{div}u=0,& \quad x\in \mathbb{R}^3,t>0,\\ u(0,x)=u_0(x),& \quad x\in \mathbb{R}^3, \end{array}\right. \end{equation}$

其中常数 $\alpha$ 表示 ``耗散强度", 向量函数 $u=(u_1(t,x),u_2(t,x),u_3(t,x))$ 表示流体的速度, 标量函数 $p=p(t,x)$ 表示流体在点 $(t,x)\in (0,\infty)\times \mathbb{R}^3$ 所受的未知压力, $\nu$ 为流体的黏度系数, $\Omega \in \mathbb{R}$ 是 Coriolis 参数, 它是沿 $x_3$-坐标轴方向单位向量 $e_3=(0,0,1)$ 旋转角速度大小的二倍.

当 $\alpha=1$, 但 $\Omega \neq0$ 时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的 $\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ 且 $u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$ 的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中 $\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间 $\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$ 存在唯一整体温和解, $p\in [\infty], r\in [1,\infty)$. 文献[11]证明了 $u_0$ 在 $H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$ 空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22].

当 $\alpha \neq1$ 且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为分数阶 Naiver-Stokes 方程. 文献[20]证明了仅有水平耗散的分数阶各向异性 Navier-Stokes 方程弱解的唯一性. 文献[17]证明了临界变指数 Fourier-Besov 空间 $\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$ 中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间 $\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$ 中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等.

当 $\alpha=1$ 且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值 $(a_0,u_0)$ 在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及 $\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$ 足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在 $\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$ 空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等.

本文的主要目的是证明带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程和具有线性增长趋势的初值的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 双线性项 $\Phi(v,w)(t):=\int_0^tS(t-s)\mathbb{P}[(v(s)\cdot \nabla)w(s)]\mathrm{d}s$ 在空间 $F_{r,l,t}$ 中的估计是本文主要的困难.

本文其余部分结构如下: 第 2 节回顾了 Sobolev 空间的定义并给出主要引理. 第 3 节建立了带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 第 4 节证明了具有线性增长趋势的初值的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性.

2 预备知识

首先回顾齐次 Sobolev 空间的定义.

定义 2.1 设 $s\in \mathbb{R}$, $1\le p \le \infty$, 齐次 Sobolev 空间的定义为

$\begin{equation*} \dot{H}_p^s(\mathbb{R}^n)=\left\{f\in \mathcal{S}' / \mathscr{P}:\|f\|_{\dot{H}^{s,p}}=\left\|\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}^{-1}(|\xi|^s\varphi_j\hat{f})\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}<\infty\right\}. \end{equation*}$

引理 2.1^[16]若 $1\le r\le p\le \infty$, $\alpha>0$, $\lambda>0$ 且 $f\in L^r(\mathbb{R}^n)$. 则

$\begin{equation*} \begin{array}{l} \|S_{\alpha}(t)f(x)\|_{L^p}\le Ct^{-\frac{n}{2\alpha}(\frac{1}{r}-\frac{1}{p})}\|f\|_{L^r},\\ \|(-\Delta)^{\frac{\lambda}{2}}S_{\alpha}(t)f(x)\|_{L^p}\le Ct^{-\frac{\lambda}{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}(\frac{1}{r}-\frac{1}{p})}\|f\|_{L^r}. \end{array} \end{equation*}$

接下来, 考虑与方程 (1.1) 对应的线性广义问题

(2.1)$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_tu+(-\Delta)^{\alpha} u+\Omega e_3\times u+\nabla p=0, & \quad x\in \mathbb{R}^3,t>0,\\ \mathrm{div}u=0, & \quad x\in \mathbb{R}^3,t>0,\\ u|_{t=0}=u_0,& \quad x\in \mathbb{R}^3, \end{array} \right. \end{equation}$

那么方程 (2.1) 的解可由广义 Stokes-Coriolis 半群 $S(t)$ 给出, 其显式表达式如下

$\begin{equation*} \begin{aligned} S(t)u&=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathop{\mathrm{cos}}\left(\Omega \frac{\xi_3}{|\xi|}t\right){\rm e}^{-t|\xi|^{2{\alpha}}}I+\mathop{\mathrm{sin}}\left(\Omega \frac{\xi_3}{|\xi|}t\right){\rm e}^{-t|\xi|^{2{\alpha}}}R(\xi)\right]\ast u\\ &=\mathcal{F}^{-1}\left[\mathop{\mathrm{cos}}\left(\Omega \frac{\xi_3}{|\xi|}t\right)I+\mathop{\mathrm{sin}}\left(\Omega \frac{\xi_3}{|\xi|}t\right)R(\xi)\right]\ast ({\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}u), \end{aligned} \end{equation*}$

其中无散度矢量场 $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$, $I$ 是 $M_{3\times 3}(\mathbb{R})$ 中的单位矩阵, $R(\xi)$ 是斜对称矩阵且定义为

$\begin{equation*} R(\xi):=\frac{1}{|\xi|}\left( \begin{matrix} 0 \quad& \xi_3 \quad& -\xi_2\\ -\xi_3 \quad& 0 \quad& \xi_1\\ \xi_2 \quad& -\xi_1 \quad& 0 \end{matrix} \right),\quad \xi \in \mathbb{R}^3\backslash \{0\}. \end{equation*}$

由 Mikhlin 定理我们可以延拓半群 $S$ 为 $L^p_{\sigma}(\mathbb{R}^3)^3$ 上的 $C_0$-半群 $(1<p<+\infty)$. 我们也记

(2.2)$\begin{equation} S(t)=\left[\mathop{\mathrm{cos}}\left(\Omega R_3t\right)I+\mathop{\mathrm{sin}}\left(\Omega R_3t\right)R(\xi)\right]{\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}u,\quad t\ge 0,\quad u\in L^p_{\sigma}(\mathbb{R}^3)^3, \end{equation}$

其中 $\xi \neq 0$, $\widehat{R_3f}=\frac{\xi_3}{|\xi|}\hat{f}(\xi)$.

对于半群 $S(\cdot)$ 显式形式的推导, 可以参考文献[2,9,11]等. 上面重写后的公式 (2.2)允许我们推导出对应于线性问题的半群 $S$ 的 $L^p-L^q$ 及 $\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$ 光滑估计.

命题 2.1 假设 $\frac{3}{4}<\alpha \le \frac{5}{4}$, 我们有下列结果.

(a) 设 $1\le p\le 2\le q\le \infty$. 则对 $\gamma>0$ 存在一个常数 $C>0$ 使得

(2.3)$\begin{equation} \|(-\Delta)^{\frac{\gamma}{2}}S(t)f\|_{q}\le Ct^{-\frac{\gamma}{2\alpha}-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\|f\|_p,\quad t>0,f\in L_{\sigma}^{p}(\mathbb{R}^3). \end{equation}$

(b) 设 $1\le p\le 2$. 则存在一个常数 $C>0$ 使得

(2.4)$\begin{equation} \|(-\Delta)^{\frac{5}{4}-\alpha}S(t)f\|_2\le Ct^{1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2\alpha p}}\|f\|_p,\quad t>0,f\in L_{\sigma}^{p}(\mathbb{R}^3), \end{equation}$

此外, 存在一个常数 $C$ 使得

(2.5)$\begin{equation} \|S(t)f\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le C\|f\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}},\quad t>0,f\in {\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}(\mathbb{R}^3),\end{equation}$

(2.6)$\begin{equation}\|\nabla S(t)f\|_{2}\le Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\|f\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}},\quad t>0,f\in {\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}(\mathbb{R}^3).\end{equation}$

(2.7)$\begin{equation}\|S(t)f\|_q \le Ct^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}\|f\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}},\quad t>0,f\in {\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}(\mathbb{R}^3).\end{equation}$

证不失一般性, 我们可以假设 $\nu=1$. 根据 (2.2) 式, 半群 $S$ 可以重写为

(2.8)$\begin{equation} S(t)f={\rm e}^{-t(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}}[\mathrm{cos}(\Omega R_3t)I+\mathrm{sin}(\Omega R_3t)R]{\rm e}^{-t(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}}f, \end{equation}$

其中 $R_3$ 定义为 $\widehat{R_3f}=\frac{\xi_3}{|\xi|}\hat{f}(\xi)$. 因此, 由引理 2.1, 我们可以得到第一个论断 (a) 成立. 为了证明 (2.4) 式, 注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|(-\Delta)^{\frac{5}{4}-\alpha}S(t)f\|_2&=\|[\mathrm{cos}(\Omega R_3t)I+\mathrm{sin}(\Omega R_3t)R](-\Delta)^{\frac{5}{4}-\alpha}{\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}f\|_2\\ &\le C\|(-\Delta)^{\frac{5}{4}-\alpha}{\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}f\|_2\\ &\le Ct^{1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2\alpha p}}\|f\|_p,\quad t>0,f\in L_{\sigma}^p(\mathbb{R}^3). \end{aligned} \end{equation*}$

接下来, 由空间 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$ 的定义, 不等式(2.5)等价于估计

$\begin{equation*} \|S(t)g\|_2\le \|g\|_2,\quad t>0, \end{equation*}$

上式由 Plancherel 定理可得. 不等式(2.6)等价于估计

$\begin{equation*} \|\nabla S(t)(-\Delta)^{-\frac{5}{4}+\alpha}g\|_2\le Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\|g\|_2,\quad t>0, \end{equation*}$

由估计

$\begin{equation*} \|\nabla S(t)(-\Delta)^{-\frac{5}{4}+\alpha}g\|_2\le \|(-\Delta)^{-\frac{3}{4}+\alpha}{\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}g\|_2\le Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\|g\|_2,\quad t>0, \end{equation*}$

上式易得.

最后, 我们考虑论断 (c), 其等价于估计

$\begin{equation*} \|S(t)(-\Delta)^{-\frac{5}{4}+\alpha}g\|_q \le Ct^{}\|g\|_2,\quad t>0,g\in L^2(\mathbb{R}^3). \end{equation*}$

由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 我们有

$\begin{equation*} \|S(t)(-\Delta)^{-\frac{5}{4}+\alpha}g\|_q =\|I_{\frac{5}{2}-2\alpha}S(t)g\|_q \le \|S(t)g\|_{6q/(6+5q-4q\alpha)} Ct^{}\|g\|_2,\quad t>0,g\in L^2(\mathbb{R}^3). \end{equation*}$

因此线性部分的估计全部得证.

注意到由 Fourier 方法求解带 Coriolis 力的分数阶不可压缩 Naiver-Stokes 方程, 可得下列积分方程

(2.9)$\begin{equation} u(t)=S(t)u_0-\int_0^tS(t-s)\mathbb{P}[(u(t)\cdot \nabla)u(s)]\mathrm{d}s, \end{equation}$

其中 $\mathbb{P}$ 为 Helmholtz 投影. 为此, 我们需要给出在确定的函数空间中右边第二项双线性型的估计.

更精确地说, 对 $1<r<\infty,l\ge 0$ 及 $t>0$, 考虑函数空间

(2.10)$\begin{equation} F_{r,l,t}:=L_t^{\infty}(J;L^r(\mathbb{R}^3)):=\{u\in \mathcal{S}'(J;L^r(\mathbb{R}^3)):[u]_{r,l,t}:=\mathop {\mathrm{sup}}\limits_{0<s<t}s^l\|u(s,\cdot)\|_r<\infty\} \end{equation}$

及在空间 $F_{r,l,t}$ 上考虑如下定义的双线性型函数 $\Phi$, 即

(2.11)$\begin{equation} \Phi(v,w)(t):=\int_0^tS(t-s)\mathbb{P}[(v(s)\cdot \nabla)w(s)]\mathrm{d}s. \end{equation}$

我们有下面的结论.

引理 2.2 假设 $\frac{3}{4}<\alpha<\frac{5}{4},q>\frac{3}{2\alpha-1}$, 存在一个常数 $C>0$ 使得

(a) $\left\|\Delta^{\frac{5}{4}-\alpha}\Phi(v,w)(t)\right\|_2\le C[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(b) $\|\Phi(v,w)(t)\|_2\le C[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(c) $\|\Phi(v,w)(t)\|_q\le Ct^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})}[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(d) $\|\Phi(v,w)(t)\|_q\le Ct^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(e) $\|\nabla \Phi(v,w)(t)\|_2\le Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

证选取 $r>1$ 使得 $\frac{1}{r}=\frac{1}{2}+\frac{1}{q}$. 由(2.4)式, 我们有

$\begin{align*} &\ \quad \left\|\Delta^{\frac{5}{4}-\alpha}\Phi(v,w)(t)\right\|_2\\ &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{5}{4\alpha}+1-\frac{3}{2q\alpha}}\|v(s)\|_q\|\nabla w(s)\|_2\mathrm{d}s\\ &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{5}{4\alpha}+1-\frac{3}{2q\alpha}} s^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}s^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=C\int_0^1(1-s)^{-\frac{5}{4\alpha}+1-\frac{3}{2q\alpha}} s^{-2+\frac{5}{4\alpha}+\frac{3}{2q\alpha}}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=CB(2-\frac{5}{4\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},-1+\frac{5}{4\alpha}+\frac{3}{2q\alpha})[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}. \end{align*}$

其中 $B(p,q)$ 为 Beta 函数, 其定义为对 $p>0,q>0$, $B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\mathrm{d}x$.从而论断 (a) 得证.

根据(2.3)式, 我们有

$\begin{align*} \left\|\Phi(v,w)(t)\right\|_2 &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{3}{2q\alpha}} s^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})}s^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=C\int_0^1(1-s)^{-\frac{3}{2q\alpha}} s^{-1+\frac{3}{2q\alpha}}\mathrm{d}s[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=CB(1-\frac{3}{2q\alpha},\frac{3}{2q\alpha})[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}. \end{align*}$

论断 (b) 得证.

此外, 由(2.3)式有

$\begin{align*} \left\|\Phi(v,w)(t)\right\|_q &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{3}{4\alpha}} s^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})}s^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=Ct^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}}B(1-\frac{3}{4\alpha},\frac{3}{2q\alpha})[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}. \end{align*}$

论断 (c) 得证.

为了证明 (d), 由(2.3)式我们有

$\begin{align*} \left\|\Phi(v,w)(t)\right\|_q &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{3}{4\alpha}} s^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}s^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=CB(1-\frac{3}{4\alpha},-1+\frac{5}{4\alpha}+\frac{3}{2q\alpha})t^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}}[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}. \end{align*}$

论断 (d) 成立.

由(2.3)式有

$\begin{align*} \left\|\Phi(v,w)(t)\right\|_2 &\le C\int_0^t(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha}} s^{(-1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}s^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}\mathrm{d}s[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}\\ &=Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}B(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},-1+\frac{5}{4\alpha}+\frac{3}{2q\alpha})[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}. \end{align*}$

论断 (e) 成立.

因此, 引理2.2得证.

3 带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性

本文的主要定理叙述如下.

定理 3.1 设 $q>\frac{2}{2\alpha-1}, \alpha\in (\frac{3}{4},\frac{5}{4}]$. 则存在不依赖于 $\Omega$ 的 $\varepsilon>0$, 使得对于任意的 $u_0 \in {\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}$ 且 $\|u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\varepsilon$, 方程 (1.1) 存在唯一一个 mild 解

$\begin{equation*} u\in C^0([0,\infty),\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)^3), \end{equation*}$

且满足下列性质

(1) $\lim\limits_{t \to 0^{+} }\|u(\cdot,t)-u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0$,

(2) $u\in C^0((0,\infty),L^q(\mathbb{R}^3)^3)$ 且 $ \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[u]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0$,

(3) $\nabla u\in C^0((0,\infty),L^2(\mathbb{R}^3)^3)$ 且 $ \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[\nabla u]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0$,

(4) 存在一个常数 $M>0$ 使得

(i) $\|u(t)\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le M,\quad t>0$,

(ii) $\|u(t)\|_{q}\le Mt^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})},\quad t>0$,

(iii) $\|\nabla u(t)\|_{2}\le Mt^{-(1-\frac{3}{4\alpha})},\quad t>0.$

证为了求解积分方程(2.9)式, 我们定义空间 $X_{\varepsilon}$ 为

(3.1)$\begin{matrix} X_{\varepsilon}=\Big\{& u\in C^0([0,\infty),\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)^3):\forall t>0,\langle u\rangle_t \le \varepsilon,\lim\limits_{t \to 0^{+}}\|u(\cdot,t)-u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0, \\ & u\in C^0([L^q(\mathbb{R}^3)^3):\lim\limits_{t \to 0^{+}}[u]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0, \\ & \nabla u\in C^0([L^2(\mathbb{R}^3)^3):\lim\limits_{t \to 0^{+}}[\nabla u]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0\Big\}. \end{matrix}$

这里 $\varepsilon$ 是一个待定常数, 我们随后来确定其值.

$\begin{equation*} \langle u\rangle_t:=[u]_{\frac{5}{2}-2\alpha,0,t}+ [u]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}+ [u]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t} +[\nabla u]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}, \end{equation*}$

$\begin{equation*} [u]_{\frac{5}{2}-2\alpha,0,t}=\mathop {\mathrm{sup}}\limits_{0<s<t}\|u(\cdot,s)\|_{H^{\frac{5}{2}-2\alpha}}, \end{equation*}$

$\begin{equation*} [u]_{r,l,t}=\mathop{\mathrm{sup}}\limits_{0<s<t}s^l\|u(\cdot,s)\|_r. \end{equation*}$

给定 $v\in X_{\varepsilon}$ 及 $u_0 \in \dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$, 我们定义一个映射 $\Psi:X_{\varepsilon}\rightarrow X_{\varepsilon}$ 为

$\begin{equation*} \Psi_v:=S(t)u_0-\Phi(v,v). \end{equation*}$

下面我们证明如果 $\varepsilon$ 充分小, $\Psi$ 为空间 $X_{\varepsilon}$ 上的压缩映射.

首先考虑 $S(t)u_0$ 的第一项. 论断(2.5), (2.6), (2.7)及(2.3)式蕴含了存在一个常数 $M_1>0$ 使得

(3.2)$\begin{equation} \langle S(\cdot)u_0\rangle \le M_1\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}},t>0. \end{equation}$

由 $C_{0,\sigma}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 在 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 中稠密及 $\{S(t)\}_{t\ge 0}$ 在 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 上一致有界, 可得

(3.3)$\begin{equation} \mathop{\lim}\limits_{t \to 0^{+}}\|S(t)u_0-u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0. \end{equation}$

此外, 我们有

(3.4)$\begin{equation} \mathop{\lim}\limits_{t \to 0^{+}}[S(\cdot)u_0]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0,\quad \mathop{\lim}\limits_{t \to 0^{+}}[\nabla S(\cdot)u_0]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0. \end{equation}$

事实上, 给定 $u_0\in \dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$ 及 $\delta >0$, 可以选取 $v\in C_{0,\sigma}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 使得 $\|u_0-v\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\delta$.因为

$\begin{equation*} \|S(t)u_0\|_q\le \|S(t)(u_0-v)\|_q+\|S(t)v\|_q\le Ct^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}\|u_0-v\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}+\|v\|_q, \end{equation*}$

故有

$\begin{equation*} [S(\cdot)u_0]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}\le C\|u_0-v\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}+Ct^{1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha}}\|v\|_q, \end{equation*}$

这蕴含了

$\begin{equation*} \mathop{\lim \mathrm{sup} }\limits_{t \to 0^{+}}[S(t)u_0]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}\le C\|u_0-v\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le C\delta. \end{equation*}$

因为 $\delta$ 是任意选取的, 因此

$\begin{equation*} \mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}[S(t)u_0]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0. \end{equation*}$

第二个论断 $\mathop{\lim }\limits_{t\to 0^{+}}[\nabla u]_{2,1-\frac{1}{4\alpha},t}=0$ 的证明类似. 综上, 我们证明了 $v\rightarrow S(t)u_0$ 是一个空间 $X_{\varepsilon}$ 到自身的映射.

接下来, 考虑双线性项 $\Phi(v,v)$. 由引理2.2, 可得

$\begin{equation*} \langle \Psi(v,v)\rangle \le C\left([v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}+[v]_{q,\frac{1}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}\right)[\nabla v]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t},\quad t>0. \end{equation*}$

由假设 $v\in X_{\varepsilon}$, 因此(3.1)式蕴含对某些不依赖于$\varepsilon$ 的常数 $M_2$, 有

$\mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}\langle \Psi(v,v)\rangle_t=0 \quad 且 \quad \langle \Psi(v,v)\rangle_t \le M_2\varepsilon^2$.

结合上述事实及(3.2), (3.3) 和 (3.4) 式, 我们有

$\begin{equation*} \langle \Psi v\rangle_t\le M_1\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}+M_2\varepsilon^2,\quad t>0, \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}\|(\Psi v)(t)-u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0, \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}[\Psi v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0, \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}[\nabla\Psi v]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0. \end{equation*}$

按如下方式选取 $\varepsilon>0$ 及 $\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}$, 使得

$M_2\varepsilon\le \frac{1}{2}\quad 且 \quad M_1\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le \varepsilon$,

可得对所有的 $t>0$, $\langle \Psi v\rangle_t\le \varepsilon$. 从而证明 $\Psi$ 是 $X_{\varepsilon}$ 到自身的映射.

最后, 选取 $v_1,v_2 \in X_{\varepsilon}$. 由引理2.2, 可得

$\begin{equation*} \langle \Psi v_1-\Psi v_2 \rangle_t \le M_3(\langle v_1\rangle_t+\langle v_2\rangle_t)\langle v_1-v_2 \rangle_t \le 2M_3\varepsilon\langle v_1-v_2 \rangle_t. \end{equation*}$

选取 $\varepsilon>0$ 使得 $2M_3\varepsilon<1$, 从而可得 $\Psi$ 是 $X_{\varepsilon}$ 上的一个压缩映射. 由 Banach 不动点定理可得存在 $\Psi$ 的唯一一个不动点 $u\in X_{\varepsilon}$. 定理3.1得证.

4 初值具有线性增长趋势的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性

对于初值形式为 $\frac{\Omega}{2}e_3\times y$, 即对初值具有线性增长趋势的经典 Naiver-Stokes 方程 (非旋转的), 上述定理3.1有一个更直接的结果. 更精确地说, 考虑下列方程

(4.1)$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} w_t+\nu(-\Delta)^{\alpha}w+(w\cdot \nabla)w+\nabla p=0,& \quad t>0,\\ \mathrm{div}w=0,& \quad t>0,\\ w(0,y)=u_0(y)+\frac{\Omega}{2}e_3\times y,& \quad y\in \mathbb{R}^3, \end{array}\right. \end{equation}$

设 $g(y)=\frac{\Omega}{2}e_3\times y$.

定理 4.1 令 $q>\frac{2}{2\alpha-1}, \alpha\in (\frac{3}{4},\frac{5}{4}]$. 则存在不依赖于 $\Omega$ 的 $\varepsilon>0$ 使得对于任意的 $u_0\in \dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$, 且 $\|u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\varepsilon$, 方程(4.1)存在一个整体 mild 解 $w$ 满足 $w-g\in C^0([0,\infty),\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha})(\mathbb{R}^3)$且满足下列性质

(1) $\lim\limits_{t \to 0^{+} }\|u(\cdot,t)-u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0$,

(2) $w-g\in C^0((0,\infty),L^q(\mathbb{R}^3))$,

(3) $\nabla w\in C^0((0,\infty),L^2(\mathbb{R}^3))$ 且 $ \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0$,

(4) 存在一个常数 $M>0$ 使得

(i) $\|w(t)-g\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le M,\quad t>0$,

(ii) $\|\nabla w(t)\|_{2}\le Mt^{-(1-\frac{3}{4\alpha})},\quad t>0.$

上述结果的证明是基于 $x_3$-轴的旋转变换.定义 $w(t,y)={\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}}u(t,{\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}})+\frac{\Omega}{2}Jy,$$ x={\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}}y$,其中 $J$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的旋转矩阵, 即设

$\begin{equation*} J=\left( \begin{matrix} 0 \quad& -1 \quad& 0\\ 1 \quad& 0 \quad& 0\\ 0 \quad& 0 \quad& 0 \end{matrix} \right). \end{equation*}$

上述坐标变换是可逆的, 即设 $u(t,x)={\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}}w(t,{\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}})-\frac{\Omega}{2}Jx, y={\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}}x$,我们看到上面的变换产生了螺线管向量场 $u$ 和 $w$ 之间的一一对应关系. 这种坐标的改变产生了方程 (1.1) 和方程(4.1)之间的同构关系. 因此, 定理 4.1的结果是从定理3.1推导出来的. 定理4.1和定理3.1的证明方法类似因而在此省略证明.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Abidi

, Gui

, Zhang

Well-posedness of 3-D inhomogeneous Navier-Stokes equations with highly oscillatory initial velocity field

J Math Pures Appl, 2013, 100(2): 166-203

[本文引用: 1]

[2]

Babin

, Mahalov

, Nicolaenko

Regularity and integrability of 3D Euler and Navier-Stokes equations for rotating fluids

Asymptot Anal, 1997, 15(2): 103-150

[本文引用: 2]

[3]

Bourgain

, Pavlović

Ill-posedness of the Navier-Stokes equations in a critical space in 3D

J Funct Anal, 2008, 255(9): 2233-2247

[本文引用: 1]

[4]

Chemin

J F

, Desjardins

, Gallagher

, Grenier

Anisotropy and Dispersion in Rotating Fluids

Amsterdam: North-Holland, 2002

[本文引用: 1]

[5]

Ding

, Sun

Uniqueness of weak solutions for fractional Navier-Stokes equations

Front Math China, 2015, 10(1): 33-51

DOI:10.1007/s11464-014-0370-x [本文引用: 1]

We prove that if u is a weak solution of the d dimensional fractional Navier-Stokes equations for some initial data u₀and if u belongs to path space $p = L q (0, T; B p, ∞ r) o r p = L 1 (0, T; B ∞, ∞ r),$ then u is unique in the class of weak solutions when α>1. The main tools are Bony decomposition and Fourier localization technique. The results generalize and improve many recent known results.

[6]

Fang

, Han

, Hieber

Local and global existence results for the Navier-Stokes equations in the rotational framework

Commun Pure Appl Anal, 2015, 14(2): 609-622

[本文引用: 1]

[7]

Galdi

G P

, Silvestre

A L

Strong solutions to the Navier-Stokes equations around a rotating obstacle

Arch Ration Mech Anal, 2005, 176(3): 331-350

[本文引用: 1]

[8]

Giga

, Inui

, Mahalov

, et al.

Rotating Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3_+$ with initial data nondecreasing at infinity: The Ekman boundary layer problem

Arch Ration Mech Anal, 2007, 186(2): 177-224

[本文引用: 1]

[9]

Giga

, Inui

, Mahalov

, et al.

Uniform global solvability of the rotating Navier-Stokes equations for nondecaying initial data

Indiana Univ Math J, 2008, 57(6): 2775-2791

[本文引用: 1]

[10]

Giga

, Inui

, Matsui

On the {C}auchy problem for the {N}avier-{S}tokes equations with nondecaying initial data

Hokkaido University Preprint Series in Mathematics, 410: 1-34

[本文引用: 1]

[11]

Hieber

, Shibata

The Fujita-Kato approach to the Navier-Stokes equations in the rotational framework

Math Z, 2010, 265(2): 481-491

[本文引用: 2]

[12]

Iwabuchi

, Takada

Global solutions for the Navier-Stokes equations in the rotational framework

Arch Ration Math Ann, 2013, 357(2): 727-741

[本文引用: 1]

[13]

Iwabuchi

, Takada

Global well-posedness and ill-posedness for the Navier-Stokes equations with the Coriolis force in function spaces of Besov type

J Funct Anal, 2014, 267(5): 1321-1337

[本文引用: 1]

[14]

Kozono

, Ogawa

, Taniuchi

Navier-Stokes equations in the Besov space near $L^{\infty}$ and BMO

Kyushu J Math, 2003, 57(2): 303-324

[本文引用: 1]

[15]

Majda

. Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean. New York: AMS & Courant Institute of Mathematical Sciences at Noew York University, 2003

[本文引用: 1]

[16]

Miao

, Yuan

, Zhang

Well-posedness of the Cauchy problem for the fractional power dissipative equations

Nonlinear Anal, 2008, 68(3): 461-484

[本文引用: 1]

[17]

, Abidin

M Z

Global well-posedness of the incompressible fractional Navier-Stokes equations in Fourier-Besov spaces with variable exponents

Comput Math Appl, 2019, 77(4): 1082-1090

[本文引用: 1]

[18]

Solonnikov

V A

On nonstationary Stokes problem and Navier-Stokes problem in a half-space with initial data nondecreasing at infinity

J Math Sci (NY), 2003, 114(5): 1726-1740

[本文引用: 1]

[19]

Sun

, Ding

Dispersive effect of the Coriolis force and the local well-posedness for the fractional Navier-Stokes-Coriolis system

J Evol Equ, 2020, 20(2): 335-354

[本文引用: 1]

[20]

Sun

, Liu

Uniqueness of the weak solution to the fractional anisotropic Navier-Stokes equations

Math Methods Appl Sci, 2021, 44(1): 253-264

[本文引用: 1]

[21]

Sun

, Liu

Long time decay of the fractional Navier-Stokes equations in Sobolev-Gevery spaces

J Nonlinear Evol Equ Appl, 2021, 6: 119-135

[本文引用: 1]

[22]

Sun

, Liu

, Zhang

Global well-posedness for the generalized Navier-Stokes-Coriolis equations with highly oscillating initial data

Math Methods Appl Sci, 2023, 46(1): 715-731

[本文引用: 1]

[23]

The generalized incompressible Navier-Stokes equations in Besov spaces

Dyn Partial Differ Equ, 2004, 1(4): 381-400

[本文引用: 1]

[24]

, Zhai

Well-posedness for fractional Navier-Stokes equations in the largest critical spaces $\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1) }(\mathbb{R}^n)$

Math Methods Appl Sci, 2012, 35(6): 676-683

[本文引用: 1]

Well-posedness of 3-D inhomogeneous Navier-Stokes equations with highly oscillatory initial velocity field

2013

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

Regularity and integrability of 3D Euler and Navier-Stokes equations for rotating fluids

1997

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

... 对于半群

$S(\cdot)$

显式形式的推导, 可以参考文献[2,9,11]等. 上面重写后的公式 (2.2)允许我们推导出对应于线性问题的半群

$S$

的

$L^p-L^q$

及

$\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$

光滑估计. ...

Ill-posedness of the Navier-Stokes equations in a critical space in 3D

2008

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

Anisotropy and Dispersion in Rotating Fluids

2002

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Uniqueness of weak solutions for fractional Navier-Stokes equations

2015

... 当

$\alpha \neq1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为分数阶 Naiver-Stokes 方程. 文献[20]证明了仅有水平耗散的分数阶各向异性 Navier-Stokes 方程弱解的唯一性. 文献[17]证明了临界变指数 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

Local and global existence results for the Navier-Stokes equations in the rotational framework

2015

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Strong solutions to the Navier-Stokes equations around a rotating obstacle

2005

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Rotating Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3_+$ with initial data nondecreasing at infinity: The Ekman boundary layer problem

2007

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Uniform global solvability of the rotating Navier-Stokes equations for nondecaying initial data

2008

... 对于半群

$S(\cdot)$

显式形式的推导, 可以参考文献[2,9,11]等. 上面重写后的公式 (2.2)允许我们推导出对应于线性问题的半群

$S$

的

$L^p-L^q$

及

$\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$

光滑估计. ...

On the {C}auchy problem for the {N}avier-{S}tokes equations with nondecaying initial data

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

The Fujita-Kato approach to the Navier-Stokes equations in the rotational framework

2010

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

... 对于半群

$S(\cdot)$

显式形式的推导, 可以参考文献[2,9,11]等. 上面重写后的公式 (2.2)允许我们推导出对应于线性问题的半群

$S$

的

$L^p-L^q$

及

$\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$

光滑估计. ...

Global solutions for the Navier-Stokes equations in the rotational framework

2013

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Global well-posedness and ill-posedness for the Navier-Stokes equations with the Coriolis force in function spaces of Besov type

2014

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Navier-Stokes equations in the Besov space near $L^{\infty}$ and BMO

2003

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

2003

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

Well-posedness of the Cauchy problem for the fractional power dissipative equations

2008

... 引理 2.1^[16]若

$1\le r\le p\le \infty$

$\alpha>0$

$\lambda>0$

且

$f\in L^r(\mathbb{R}^n)$

. 则 ...

Global well-posedness of the incompressible fractional Navier-Stokes equations in Fourier-Besov spaces with variable exponents

2019

... 当

$\alpha \neq1$

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

On nonstationary Stokes problem and Navier-Stokes problem in a half-space with initial data nondecreasing at infinity

2003

... 当

$\alpha=1$

且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值

$(a_0,u_0)$

在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及

$\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$

足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$

空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等. ...

Dispersive effect of the Coriolis force and the local well-posedness for the fractional Navier-Stokes-Coriolis system

2020

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

Uniqueness of the weak solution to the fractional anisotropic Navier-Stokes equations

2021

... 当

$\alpha \neq1$

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

Long time decay of the fractional Navier-Stokes equations in Sobolev-Gevery spaces

2021

... 当

$\alpha \neq1$

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

Global well-posedness for the generalized Navier-Stokes-Coriolis equations with highly oscillating initial data

2023

... 当

$\alpha=1$

, 但

$\Omega \neq0$

时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的

$\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

且

$u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$

的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中

$\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$

. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$

存在唯一整体温和解,

$p\in [\infty], r\in [1,\infty)$

. 文献[11]证明了

$u_0$

在

$H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$

空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22]. ...

The generalized incompressible Navier-Stokes equations in Besov spaces

2004

... 当

$\alpha \neq1$

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

Well-posedness for fractional Navier-Stokes equations in the largest critical spaces $\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1) }(\mathbb{R}^n)$

2012

... 当

$\alpha \neq1$

$\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$

中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间

$\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$

$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$

中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等. ...

〈

〉