本文研究带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题, 即

其中常数 $\alpha$ 表示 ``耗散强度", 向量函数 $u=(u_1(t,x),u_2(t,x),u_3(t,x))$ 表示流体的速度, 标量函数 $p=p(t,x)$ 表示流体在点 $(t,x)\in (0,\infty)\times \mathbb{R}^3$ 所受的未知压力, $\nu$ 为流体的黏度系数, $\Omega \in \mathbb{R}$ 是 Coriolis 参数, 它是沿 $x_3$-坐标轴方向单位向量 $e_3=(0,0,1)$ 旋转角速度大小的二倍.

当 $\alpha=1$, 但 $\Omega \neq0$ 时, 方程 (1.1) 退化为著名的 Naiver-Stokes-Coriolis 方程. 文献[19]证明了对于任意的 $\Omega \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ 且 $u_0 \in \dot{H}^s(\mathbb{R}^3)^3$ 的温和解的局部时间存在性和唯一性, 其中 $\frac{1}{4}<\alpha\leq \frac{3}{2},\frac{3}{2}-\alpha< s <\frac{5}{4}$. 文献[6]证明了仅有水平耗散的 Navier-Stokes-Coriolis 方程在 Fourier-Besov 空间 $\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p,r}^{2-\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$ 存在唯一整体温和解, $p\in [\infty], r\in [1,\infty)$. 文献[11]证明了 $u_0$ 在 $H_{\sigma}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$ 空间足够小时, 带 Coriolis 力的 Navier-Stokes 方程对于任意旋转速度都存在唯一整体温和解. 关于 Naiver-Stokes-Coriolis方程的更多结果见文献[2,4,7,8,12,13,22].

当 $\alpha \neq1$ 且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为分数阶 Naiver-Stokes 方程. 文献[20]证明了仅有水平耗散的分数阶各向异性 Navier-Stokes 方程弱解的唯一性. 文献[17]证明了临界变指数 Fourier-Besov 空间 $\mathcal{F}\mathcal{\dot{B}}_{p(\cdot),q}^{4-2\alpha-\frac{3}{p(\cdot)}}(\mathbb{R}^3)$ 中分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 文献 ^[24] 证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在某些超临界和最大临界空间 $\mathcal{\dot{B}}_{\infty,\infty}^{-(2\beta-1)}(\mathbb{R}^n)$$\left(\beta \in (\frac{1}{2},1)\right)$ 中解的适定性以及分数阶磁流体力学方程在这些 Besov 空间中解的适定性. 除此之外, 有关分数阶 Naiver-Stokes 方程的整体适定性可以参考文献[5,21,23]等.

当 $\alpha=1$ 且不考虑 Coriolis 力时, 方程 (1.1) 退化为经典的 Naiver-Stokes 方程. 文献[1]证明了初值 $(a_0,u_0)$ 在临界 Besov 空间中三维不可压缩非齐次 Navier-Stokes 方程解的局部适定性以及 $\|u_0\|_{\mathcal{\dot{B}}_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}$ 足够小时该方程解的整体适定性. 文献[3]证明了三维 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在 $\mathcal{\dot{B}}_{\infty}^{-1,\infty}(\mathbb{R}^3)$ 空间中是不适定的. 关于 Naiver-Stokes 方程的其它重要结果, 可以参考文献[10,14,15,18]等.

本文的主要目的是证明带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程和具有线性增长趋势的初值的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 双线性项 $\Phi(v,w)(t):=\int_0^tS(t-s)\mathbb{P}[(v(s)\cdot \nabla)w(s)]\mathrm{d}s$ 在空间 $F_{r,l,t}$ 中的估计是本文主要的困难.

本文其余部分结构如下: 第 2 节回顾了 Sobolev 空间的定义并给出主要引理. 第 3 节建立了带 Coriolis 力的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性. 第 4 节证明了具有线性增长趋势的初值的分数阶 Navier-Stokes 方程解的整体适定性.

首先回顾齐次 Sobolev 空间的定义.

定义 2.1 设 $s\in \mathbb{R}$, $1\le p \le \infty$, 齐次 Sobolev 空间的定义为

引理 2.1^[16]若 $1\le r\le p\le \infty$, $\alpha>0$, $\lambda>0$ 且 $f\in L^r(\mathbb{R}^n)$. 则

接下来, 考虑与方程 (1.1) 对应的线性广义问题

那么方程 (2.1) 的解可由广义 Stokes-Coriolis 半群 $S(t)$ 给出, 其显式表达式如下

其中无散度矢量场 $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$, $I$ 是 $M_{3\times 3}(\mathbb{R})$ 中的单位矩阵, $R(\xi)$ 是斜对称矩阵且定义为

由 Mikhlin 定理我们可以延拓半群 $S$ 为 $L^p_{\sigma}(\mathbb{R}^3)^3$ 上的 $C_0$-半群 $(1<p<+\infty)$. 我们也记

其中 $\xi \neq 0$, $\widehat{R_3f}=\frac{\xi_3}{|\xi|}\hat{f}(\xi)$.

对于半群 $S(\cdot)$ 显式形式的推导, 可以参考文献[2,9,11]等. 上面重写后的公式 (2.2)允许我们推导出对应于线性问题的半群 $S$ 的 $L^p-L^q$ 及 $\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}-L^q$ 光滑估计.

命题 2.1 假设 $\frac{3}{4}<\alpha \le \frac{5}{4}$, 我们有下列结果.

(a) 设 $1\le p\le 2\le q\le \infty$. 则对 $\gamma>0$ 存在一个常数 $C>0$ 使得

(b) 设 $1\le p\le 2$. 则存在一个常数 $C>0$ 使得

此外, 存在一个常数 $C$ 使得

(c) 设 $1\le q\le \infty$. 则存在一个常数 $C>0$ 使得

证 不失一般性, 我们可以假设 $\nu=1$. 根据 (2.2) 式, 半群 $S$ 可以重写为

其中 $R_3$ 定义为 $\widehat{R_3f}=\frac{\xi_3}{|\xi|}\hat{f}(\xi)$. 因此, 由引理 2.1, 我们可以得到第一个论断 (a) 成立. 为了证明 (2.4) 式, 注意到

接下来, 由空间 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$ 的定义, 不等式(2.5)等价于估计

上式由 Plancherel 定理可得. 不等式(2.6)等价于估计

由估计

上式易得.

最后, 我们考虑论断 (c), 其等价于估计

由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 我们有

因此线性部分的估计全部得证.

注意到由 Fourier 方法求解带 Coriolis 力的分数阶不可压缩 Naiver-Stokes 方程, 可得下列积分方程

其中 $\mathbb{P}$ 为 Helmholtz 投影. 为此, 我们需要给出在确定的函数空间中右边第二项双线性型的估计.

更精确地说, 对 $1<r<\infty,l\ge 0$ 及 $t>0$, 考虑函数空间

及在空间 $F_{r,l,t}$ 上考虑如下定义的双线性型函数 $\Phi$, 即

我们有下面的结论.

引理 2.2 假设 $\frac{3}{4}<\alpha<\frac{5}{4},q>\frac{3}{2\alpha-1}$, 存在一个常数 $C>0$ 使得

(a) $\left\|\Delta^{\frac{5}{4}-\alpha}\Phi(v,w)(t)\right\|_2\le C[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(b) $\|\Phi(v,w)(t)\|_2\le C[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(c) $\|\Phi(v,w)(t)\|_q\le Ct^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})}[v]_{q,\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}),t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(d) $\|\Phi(v,w)(t)\|_q\le Ct^{-(1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha})}[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

(e) $\|\nabla \Phi(v,w)(t)\|_2\le Ct^{-(1-\frac{3}{4\alpha})}[v]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}$, 其中 $t>0$.

证 选取 $r>1$ 使得 $\frac{1}{r}=\frac{1}{2}+\frac{1}{q}$. 由(2.4)式, 我们有

其中 $B(p,q)$ 为 Beta 函数, 其定义为对 $p>0,q>0$, $B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\mathrm{d}x$.从而论断 (a) 得证.

根据(2.3)式, 我们有

论断 (b) 得证.

此外, 由(2.3)式有

论断 (c) 得证.

为了证明 (d), 由(2.3)式我们有

论断 (d) 成立.

由(2.3)式有

论断 (e) 成立.

因此, 引理2.2得证.

本文的主要定理叙述如下.

定理 3.1 设 $q>\frac{2}{2\alpha-1}, \alpha\in (\frac{3}{4},\frac{5}{4}]$. 则存在不依赖于 $\Omega$ 的 $\varepsilon>0$, 使得对于任意的 $u_0 \in {\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}$ 且 $\|u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\varepsilon$, 方程 (1.1) 存在唯一一个 mild 解

且满足下列性质

(1) $\lim\limits_{t \to 0^{+} }\|u(\cdot,t)-u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0$,

(2) $u\in C^0((0,\infty),L^q(\mathbb{R}^3)^3)$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[u]_{q,1-\frac{1}{2\alpha}-\frac{3}{2q\alpha},t}=0$,

(3) $\nabla u\in C^0((0,\infty),L^2(\mathbb{R}^3)^3)$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[\nabla u]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0$,

(4) 存在一个常数 $M>0$ 使得

(i) $\|u(t)\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le M,\quad t>0$,

(ii) $\|u(t)\|_{q}\le Mt^{-\frac{3}{2\alpha}(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})},\quad t>0$,

(iii) $\|\nabla u(t)\|_{2}\le Mt^{-(1-\frac{3}{4\alpha})},\quad t>0.$

证 为了求解积分方程(2.9)式, 我们定义空间 $X_{\varepsilon}$ 为

这里 $\varepsilon$ 是一个待定常数, 我们随后来确定其值.

给定 $v\in X_{\varepsilon}$ 及 $u_0 \in \dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$, 我们定义一个映射 $\Psi:X_{\varepsilon}\rightarrow X_{\varepsilon}$ 为

下面我们证明如果 $\varepsilon$ 充分小, $\Psi$ 为空间 $X_{\varepsilon}$ 上的压缩映射.

首先考虑 $S(t)u_0$ 的第一项. 论断(2.5), (2.6), (2.7)及(2.3)式蕴含了存在一个常数 $M_1>0$ 使得

由 $C_{0,\sigma}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 在 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 中稠密及 $\{S(t)\}_{t\ge 0}$ 在 $\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 上一致有界, 可得

此外, 我们有

事实上, 给定 $u_0\in \dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$ 及 $\delta >0$, 可以选取 $v\in C_{0,\sigma}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 使得 $\|u_0-v\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\delta$.因为

故有

这蕴含了

因为 $\delta$ 是任意选取的, 因此

第二个论断 $\mathop{\lim }\limits_{t\to 0^{+}}[\nabla u]_{2,1-\frac{1}{4\alpha},t}=0$ 的证明类似. 综上, 我们证明了 $v\rightarrow S(t)u_0$ 是一个空间 $X_{\varepsilon}$ 到自身的映射.

接下来, 考虑双线性项 $\Phi(v,v)$. 由引理2.2, 可得

由假设 $v\in X_{\varepsilon}$, 因此(3.1)式蕴含对某些不依赖于$\varepsilon$ 的常数 $M_2$, 有

$\mathop{\lim }\limits_{t \to 0^{+}}\langle \Psi(v,v)\rangle_t=0 \quad 且 \quad \langle \Psi(v,v)\rangle_t \le M_2\varepsilon^2$.

结合上述事实及(3.2), (3.3) 和 (3.4) 式, 我们有

按如下方式选取 $\varepsilon>0$ 及 $\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}$, 使得

$M_2\varepsilon\le \frac{1}{2}\quad 且 \quad M_1\|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le \varepsilon$,

可得对所有的 $t>0$, $\langle \Psi v\rangle_t\le \varepsilon$. 从而证明 $\Psi$ 是 $X_{\varepsilon}$ 到自身的映射.

最后, 选取 $v_1,v_2 \in X_{\varepsilon}$. 由引理2.2, 可得

选取 $\varepsilon>0$ 使得 $2M_3\varepsilon<1$, 从而可得 $\Psi$ 是 $X_{\varepsilon}$ 上的一个压缩映射. 由 Banach 不动点定理可得存在 $\Psi$ 的唯一一个不动点 $u\in X_{\varepsilon}$. 定理3.1得证.

对于初值形式为 $\frac{\Omega}{2}e_3\times y$, 即对初值具有线性增长趋势的经典 Naiver-Stokes 方程 (非旋转的), 上述定理3.1有一个更直接的结果. 更精确地说, 考虑下列方程

设 $g(y)=\frac{\Omega}{2}e_3\times y$.

定理 4.1 令 $q>\frac{2}{2\alpha-1}, \alpha\in (\frac{3}{4},\frac{5}{4}]$. 则存在不依赖于 $\Omega$ 的 $\varepsilon>0$ 使得对于任意的 $u_0\in \dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}$, 且 $\|u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}<\varepsilon$, 方程(4.1)存在一个整体 mild 解 $w$ 满足 $w-g\in C^0([0,\infty),\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha})(\mathbb{R}^3)$且满足下列性质

(1) $\lim\limits_{t \to 0^{+} }\|u(\cdot,t)-u_0\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}=0$,

(2) $w-g\in C^0((0,\infty),L^q(\mathbb{R}^3))$,

(3) $\nabla w\in C^0((0,\infty),L^2(\mathbb{R}^3))$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}[\nabla w]_{2,1-\frac{3}{4\alpha},t}=0$,

(4) 存在一个常数 $M>0$ 使得

(i) $\|w(t)-g\|_{\dot{H}_{\sigma}^{\frac{5}{2}-2\alpha}}\le M,\quad t>0$,

(ii) $\|\nabla w(t)\|_{2}\le Mt^{-(1-\frac{3}{4\alpha})},\quad t>0.$

上述结果的证明是基于 $x_3$-轴的旋转变换.定义 $w(t,y)={\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}}u(t,{\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}})+\frac{\Omega}{2}Jy,$$x={\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}}y$,其中 $J$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的旋转矩阵, 即设

上述坐标变换是可逆的, 即设 $u(t,x)={\rm e}^{-\Omega J\frac{t}{2}}w(t,{\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}})-\frac{\Omega}{2}Jx, y={\rm e}^{\Omega J\frac{t}{2}}x$,我们看到上面的变换产生了螺线管向量场 $u$ 和 $w$ 之间的一一对应关系. 这种坐标的改变产生了方程 (1.1) 和方程(4.1)之间的同构关系. 因此, 定理 4.1的结果是从定理3.1推导出来的. 定理4.1和定理3.1的证明方法类似因而在此省略证明.