本文研究了一类具有变指数的伪抛物型 p-Kirchhoff 方程的定解问题

其中 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ 是具有光滑边界 $ \partial\Omega $ 的有界开集; $ T(\leq +\infty) $ 代表问题 (1.1) 的最大存在时间; 初值 $ u_{0}(x)\in W_0^{1,p}(\Omega) $; 问题 (1.1) 是一个混合 Kirchhoff 方程, 它是由 $ M(\cdot) $, $ p $-Laplacian 和粘性项 $ k\Delta u_t $ 的组合, 用于描述非平稳流体或气体在非均质和各向异性介质中的运动、生物物种的生长和运动^[7,10]; $ M(s)=a+bs $, 常数 $ a,b>0 $, 它描述了由所考虑介质中的相应运动引起的粒子数密度、流体或气体的整体状态的变化情况; $ \|\nabla u\|_p^p =\int_\Omega |\nabla u|^p{\rm d}x $; $ p\geq2 $, $ k,c $ 是正常数; 正的变指数 $ q(x) $ 在 $ \Omega $ 上 Hölder 连续, $ q^{-}:=\inf_{\Omega}q(\cdot)\leq q(x)\leq q^{+}:=\sup_{\Omega}q(\cdot)\leq \min\left\{p^*,q^*\right\} $, 且满足 Zhikov-Fan 条件, 对于 $ x,y\in\Omega $, $ |x-y|<\delta $, $ |q(x)-q(y)|\leq {Q}/{{\rm log}(1/|x-y|)} $, 常数 $ Q>0 $, $ 0<\delta<1 $; $ p^* $ 和 $ q^* $ 是正常数且满足

变指数抛物方程问题属于具有非标准增长条件的抛物问题, 它来源于应用数学和物理学的多个分支. 例如, 电流、热流变流体的流动以及数字图像的处理^[1,2,5].

Cao 和 Zhao^[4]研究了混合伪抛物型 Kirchhoff 方程的齐次 Neumann 初始值问题

其中 $ \Omega\subset \mathbb{R}^{N} $ ($ N\geq1 $) 是具有光滑边界 $ \partial\Omega $ 有界集; 常指标 $ p $ 和 $ q $ 满足, 当 $ N\leq p $ 时, $ p\geq2 $, $ 2p-1<q <+\infty $; 当 $ N> p $ 时, $ 2p-1<q \leq \frac{Np}{N-p}-1 $;初值 $ u_0(x)\in W_N^{1,p}(\Omega):= \{\phi\in W^{1,p}(\Omega):\frac{\partial\phi}{\partial\nu}|_{\partial\Omega}=0,\int_\Omega\phi{\rm}{\rm d}x=0 \} $.作者使用势阱方法给出了初始能量 $ J(u_0)\leq d $ 时的变号弱解的整体存在性的阈值. 当初始能量 $ J(u_0)>d $ 时, 他们找到了灭绝解和爆破解的判据. 还讨论了整体解的指数衰减速度和解的爆破时间.对于 $ p=2 $ 且无 Kirchhoff 系数的问题 (1.2), Wang 和 Xu^[19]得到了亚临界初始能量情况下爆破解和整体解的存在性、唯一性和渐近行为. 在超临界初始能量时也讨论了解的爆破现象.

Li 和 Han^[9]研究了二阶抛物型 $ p $-Kirchhoff 方程的齐次 Dirichlet 初边值问题

其中 $ \Omega\subset \mathbb{R}^{N} $ ( $ N\geq 1 $ )是具有光滑边界 $ \partial\Omega $ 的有界区域; $ u_0\in W_0^{1,p}(\Omega) $; $ p>\max \{\frac{2N}{N+2},1 \} $; 对于 $ N\leq p $, $ 2p-1<q< +\infty $; 对于 $ N>p $, $ 2p-1<q< \frac{Np}{N-p}-1 $. 使用 Galerkin 方法和改进的势阱方法, 获得了亚临界和临界初始能量情况下解的整体存在或有限时间爆破结果. 对于整体解, 也获得了 $ L^2 $ 范数意义上的衰减速率. 当初始能量为超临界时, 给出解在两个变分数意义下的整体存在或有限时间爆破判据. 有关伪抛物型方程的更多结果见文献[6,12,18,20⇓-22]; 有关 Kirchhoff 方程的更多结果见文献[13⇓-15]. 一方面, $ |u|^{q-1}u-\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega|u|^{q-1}u{\rm d}x $ 要求问题 (1.2) 需满足守恒律 $ \int_\Omega u{\rm d}x=\int_\Omega u_0{\rm d}x=0 $. 另外, 齐次 Neumann 边值不能引起 $ p $-Laplacian 的退化或者奇异性. 由于齐次 Dirichlet 条件, 问题(1.2) 的初值在迹的意义下在 $ \partial\Omega $ 处消失, 则会导致退化或者奇异性. 另一方面, Orlicz-Sobolev 空间

被赋予 Luxembourg 范数 $ \|u\|_{p(x)}:=\inf \{\lambda>0: \int_{\Omega}\left| {u(x)}/{\lambda}\right|^{p(x)}{\rm d}x<1 \} $ 后是可分离且一致凸的. 模 $ \mathcal{A}_{p(x)}(u) $ 不等价于范数 $ \|u\|_{p(x)} $, 比较原理和最大值原理对问题 (1.1) 无效. 因此, 变指数、非局部的 $ p $-Laplacian 和粘性项给问题 (1.1) 弱解的研究带来较大困难. 受文献[3,8]的启发, 我们推广 Payne 和 Sattinger^[16]的经典势阱方法, 构造了新的辅助函数来研究问题 (1.1) 的弱解.

我们给出了一些定义和符号, 对于 $ u\in W_0^{1,p}(\Omega) $, 我们分别定义了能量泛函和 Nehari 泛函

问题 (1.1) 的弱解定义在下面给出, 其证明在第 2 节中.

定义 1.1 若 $ u\in L^{\infty}(0,T;W_0^{1,p}(\Omega)) $, $ u(x,0):=u_0(x)\in W_0^{1,p}(\Omega) $, $ u_t\in L^{2}(0,T;W_0^{1,2}(\Omega)) $, 且对于任意的 $ \varphi\in L^2(0,T;W_0^{1,p}(\Omega)) $,

则称函数 $ u(x,t) $ 为问题 (1.1) 的弱解.

经过简单的计算, 可以得到定义 1.1 中弱解 $ u $ 满足

定义 Nehari 流形 $\mathcal{N}:= \{u\in W_0^{1,p}(\Omega): I(u)=0, \|\nabla u\|_p\neq 0 \} $.势阱和一些特殊集合定义为

其中 $ d:=\inf\limits_{ u \in \mathcal{N}}J(u) $ 是势阱 $ \mathcal{W} $ 的深度. 对于任意的 $ \delta>0 $, 我们进一步定义改进的泛函和改进的 Nehari 流形 $ I_\delta :=\delta (a\|\nabla u\|_p^{p}+b\|\nabla u\|_p^{2p})-c \int_{\Omega}|u|^{q(x)}{\rm d}x $, $ \mathcal{N}_\delta := \{u\in W_0^{1,p}(\Omega): I_{\delta}(u)=0, \|\nabla u\|_p\neq 0 \} $. 然后, 分别定义了改进的势阱和特殊集

其中 $ d(\delta):=\inf\limits_{ u \in \mathcal{N}_\delta}J(u) $ 是 $ \mathcal{W}_\delta $ 的势阱深度. 定义 $ J^{s}:= \{u\in W_0^{1,p}(\Omega):J(u)<s \} $. 由 $ J(u) $, $ \mathcal{N} $ 和 $ J^s $ 的定义, 对于任意 $ s>d $, 发现 $ \mathcal{N}^{s}:=\mathcal{N}\cap J^{s}\neq \emptyset $, 定义 $ \lambda_s:=\inf \{\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2: u\in \mathcal{N}^{s}\} $ 和 $ \Lambda_s:=\sup\left\{\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2: u\in \mathcal{N}^{s}\right\} $. 显而易见, $ \lambda_s $ 关于 $ s $ 是非增的且 $ \Lambda_s $ 关于 $ s $ 是非减的.

问题 (1.1) 关于初始能量在解的爆破和整体存在性分类情况的主要结果由表1 给出.

如果 $ J(u_0)<d $ (或 $ J(u_0)=d $, 或 $ J(u_0)>d $ ), 我们称之为亚临界初始能量 (或临界初始能量, 或超临界初始能量), 这种分类是最佳的. 由简单的计算可以发现当 $ J(u_0)<d $ 时, $ I(u_0)\not =0 $. 在定理 7.2 中得到了弱解爆破时间下界. 下一节证明了问题 (1.1) 弱解的适定性. 分别在第 4-6 节中对亚临界, 临界和超临界的初始能量情形进行了研究. 在第 7 节中, 研究了爆破时间估计.

定理 2.1 令 $ u_0 \in W_0^{1,p}(\Omega) $. 存在常数 $ T>0 $ 使得问题(1.1)有一个满足定义 1.1 的局部弱解 $ u $.

证 令 $ \left\{\omega_{j}\right\}_{j=1}^{\infty} $ 是 $ W_{0}^{1,p}(\Omega) $ 的正交基且也是 $ L^{2}(\Omega) $ 的正交基. 我们构造问题 (1.1) 的近似解: $u_{n}(t):=\operatorname*{\sum}\limits_{j=1}^{n}\xi_{jn}(t)\omega_{j} $, $ n=1,2,\cdots $,满足

将 (2.1) 式乘上 $ \xi_{jn}(t) $ 且对 $ j $ 求和, 可以得到

由 $ W_0^{1,2}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $, 我们有 $ \|u\|_{q(x)}\leq B\|\nabla u\|_2 $, 其中 $ B $ 是最佳嵌入常数. 可以得到

我们推导出

因此, 存在一个常数 $ T>0 $ 使得

其中 $ D_1(T) $ 代表与 $ n $ 无关, 但与 $ T $ 相关的正常数. 将 (2.1) 式乘上 $ \xi_{jn}'(t) $ 且对 $ j $ 求和, 得

对这个不等式两边关于 $ t $ 积分, 推出

由 (2.1)-(2.4) 式, 可以得到 $ \int_{0}^{t}\|u_{n\tau}(\tau)\|_2^2+k\|\nabla u_{n\tau}(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau<D_2(T) $,

由 (2.3) 式, 有 $ \|u_n(t)\|_{q(x)}<D_4(T) $. 由 (2.5) 式, 得 $ \|M(\|\nabla u_n\|_p^p)|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\|_{\frac{p}{p-1}}<D_5(T) $. 存在一个函数 $ u $ 和一个子序列 $ \left\{u_n\right\} $, 随着 $ n\rightarrow \infty $,

固定 $ T>0 $ 且定义 $ Q_T:=\Omega\times(0,T) $. 首先, 由 (2.3) 式发现 $ \int_{\Omega}|u_n(x,T)|^2{\rm d}x\leq D_1(T) $. 因此, 存在一个子序列 $ \left\{u_n(x,T)\right\} $ 和一个函数 $ v\in L^2(\Omega) $ 使得 $ u_n(x,T)\rightharpoonup v $ 在$ L^2(\Omega) $ 上弱收敛. 那么对于任意 $ \varphi(x)\in C_0^{\infty}(\Omega) $ 和 $ \eta(t)\in C^1[T] $, 有

在上式中, 令 $ n\rightarrow\infty $, 得 $ \int_{\Omega}(v-u(x,T))\eta(T)\varphi{\rm d}x- \int_{\Omega}(u_0(x)-u(x,0))\eta(0)\varphi{\rm d}x=0 $. 设 $ \eta(T)=1 $, $ \eta(0)=0 $, 或者 $ \eta(T)=0 $, $ \eta(0)=1 $, 由 $ C_0^{\infty}(\Omega) $ 在 $ L^2(\Omega) $ 中的稠密性, 对于几乎处处的 $ x\in\Omega $, 有 $ v=u(x,T) $ 和 $ u(x,0)=u_0(x) $. 由 $ L^2(\Omega) $ 范数的弱下半连续, 得到

接下来, 我们证明

由 (2.5) 式和 $ q^+\leq p^* $, 对于任意可测集 $ E\subset Q_T $, 有

这说明 $ \left\{|u_n|^{q(x)}\right\}_{n=1}^{\infty} $ 在 $ L^1(Q_T) $ 上是等度可积的. $ S>0 $ 是从 $ W_0^{1,p}(\Omega) $ 到 $ L^{p^*}(\Omega) $ 的嵌入常数. $ |E| $ 代表 $ E $ 的 Lebesgue 测度. 因为 $ u_n \rightarrow u $ 在 $ Q_T $ 上是几乎处处成立的, Vitali 定理表明 (2.12) 式是正确的.

设 $ V_k :={\rm span}\left\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_k\right\} $. 对于任意 $ \omega\in C(0,T;V_k) $$ (k\leq n) $, 由 (2.1) 式得

特别地,

在 (2.13) 式中令 $ n\rightarrow\infty $ 且利用 (2.6)-(2.10) 式, 得

在 (2.15) 式中选取 $ \omega=u_n $, 令 $ n\rightarrow\infty $ 且再次使用 (2.6)-(2.10) 式, 我们得到

我们下一步证明 $ \zeta=M(\|\nabla u\|_p^p)|\nabla u|^{p-2}\nabla u $. 为了得到这个结果, 定义

那么 $ T_n\geq 0 $. 我们的目标是得到随着 $ n\rightarrow\infty $, $ T_n\rightarrow 0 $, $ \nabla u_n\rightarrow\nabla u $ 在 $ (L^p(Q_T))^N $ 中强收敛. 事实上, 由 $ T_n $ 的定义易见 $ a \iint_{Q_T}(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\cdot(\nabla u_n-\nabla u){\rm d}x{\rm d}t\leq T_n $. 因为 $ p\geq 2 $, $ \iint_{Q_T}|\nabla u_n-\nabla u|^p{\rm d}x{\rm d}t\leq C \iint_{Q_T}(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\cdot(\nabla u_n-\nabla u){\rm d}x{\rm d}t $, 正常数 $ C $ 仅取决于 $ p $. 那么可得对于 $ p\geq 2 $, 随着 $ T_n\rightarrow 0 $, $ \nabla u_n\rightarrow\nabla u $ 在 $ (L^p(Q_T))^N $ 上强收敛. 由 (2.14) 式, 我们重写 $ T_n $ 为

由 (2.5) 式可得 $ \left\{M(\|\nabla u_n\|_p^p)\right\}_{n=1}^\infty $ 是等度可积的且在 $ L^1(0,T) $ 上是一致有界的. 存在一个子序列 $ \left\{u_n\right\} $ 和一个可测函数 $ m(t) $ 使得对于几乎处处的 $ t\in(0,T) $, $ M(\|\nabla u_n \|_p^p)\rightarrow m(t) $. 因为 $ |M(\|\nabla u_n\|_p^p)|\nabla u|^{p-2}\nabla u|^{\frac{p}{p-1}}\leq D_8(T)|\nabla u|^p\in L^1(Q_T) $, 由 Lebesgue 控制收敛定理可得

由 (2.11), (2.12), (2.16), (2.17) 式, 有

表明 $ \operatorname*{\lim}\limits_{n\rightarrow\infty}T_n=0 $. 接下来, 我们证明 $ m(t)=M(\|\nabla u\|_p^p) $ 和 $ \zeta=M(\|\nabla u\|_p^p)|\nabla u|^{p-2}\nabla u $. $ \nabla u_n\rightarrow \nabla u $ 在 $ (L^{\frac{p}{p-1}}(Q_T))^N $ 上的强收敛表明

由 (2.18) 式, 有 $ m(t)=M(\|\nabla u\|_p^p) $. 由 (2.19) 式, 我们有

再结合 (2.10) 式, 有 $ \zeta=M(\|\nabla u\|_p^p)|\nabla u|^{p-2}\nabla u $. 在近似问题 (2.1) 式和 (2.2) 式中取极限, 可得在定义 1.1 的意义下, $ u $ 是问题 (1.1) 的局部弱解.

定义条件 $ (\mathcal{H}) $: $ 2p<q^-\leq q(x)\leq q^+ $.

引理 3.1 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立且 $ u\in W_0^{1,p}(\Omega) $, $ \|\nabla u\|_p\neq 0 $, 则

(i) $ \operatorname*{lim}\limits_{\lambda\rightarrow 0^{+}}J(\lambda u)=0 $, $ \operatorname*{lim}\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}J(\lambda u)=-\infty $.

(ii) 存在唯一 $ \lambda^{*}:=\lambda^{*}(u)>0 $ 使得 $ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)|_{\lambda=\lambda^{*}}=0 $. $ J(\lambda u) $ 对于 $ 0<\lambda\leq \lambda^{*} $ 是递增的, 对于$ \lambda^{*}\leq\lambda<+\infty $ 是递减的, 且在 $ \lambda=\lambda^{*} $ 处取得最大值.

(iii) 对于 $ 0<\lambda< \lambda^{*} $, $ I(\lambda u)>0 $; 对于 $ \lambda^{*}<\lambda <+\infty $, $ I(\lambda u)<0 $ 和 $ I(\lambda^{*}u)=0 $.

证 (i) 对于 $ \lambda> 0 $, 定义函数 $ j:\lambda \mapsto J(\lambda u) $. 我们有

因为 $ a,b,c>0 $ 且 $ 2p<q^-\leq q(x) $, 所以 $ \operatorname*{\lim}\limits_{\lambda\rightarrow 0^{+}}J(\lambda u)=0 $ 和$ \operatorname*{\lim}\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}J(\lambda u)=-\infty $.

(ii) 由简单的计算可得

令 $ k(\lambda):=\lambda^{1-2p}j'(\lambda) $. 那么, $ k(\lambda)=a\lambda^{-p}\|\nabla u\|_p^p+b\|\nabla u\|_p^{2p}-c \int_{\Omega}\lambda^{q(x)-2p}|u|^{q(x)}{\rm d}x $ 和 $ k'(\lambda)=-pa\lambda^{-p-1}\|\nabla u\|_p^p-c \int_{\Omega}\left(q(x)-2p\right)\lambda^{q(x)-2p-1}|u|^{q(x)}{\rm d}x< 0 $. 上述等式暗含着对于 $ \lambda >0 $, $ k(\lambda) $ 是严格递减的且 $ \operatorname*{\lim}\limits_{\lambda\rightarrow 0^{+}}k(\lambda)=+\infty $, $ \operatorname*{\lim}\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}k(\lambda)=-\infty $. 因此, 存在唯一的$ \lambda^{*} $ 使得 $ \frac{{\rm d}}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)|_{\lambda=\lambda^{*}}=0 $. $ J(\lambda u) $ 对于 $ 0<\lambda\leq \lambda^{*} $ 是递增的, 对于 $ \lambda^{*}\leq\lambda<+\infty $ 是递减的, 且在 $ \lambda=\lambda^{*} $ 处取得最大值.

由 $ I(\lambda u)=\lambda j'(\lambda) $ 可以得到 (iii) 的结论.

引理 3.2 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立, 则势阱 $ \mathcal{W} $ 的深度 $ d $ 是正的.

证 令 $ u\in \mathcal{N} $, 我们有 $ c \int_{\Omega}|u|^{q(x)}{\rm d}x=a\|\nabla u\|_p^p+b\|\nabla u\|_p^{2p} $. 由 $ W_0^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $, 可得 $ \|u\|_{q(x)}\leq B_1\|\nabla u\|_p $, 其中 $ B_1 $ 是最佳嵌入常数. 又

从而, $ \|\nabla u\|_p\geq\Big(\frac{a}{cB_1^{q^-}}\Big)^{\frac{1}{q^-p}}>0 $.由 $ J(u) $ 的定义, 我们有

因此, $ d=\operatorname*{inf}\limits_{ u \in \mathcal{N}}J(u)>0 $.

引理 3.3 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 令$ r(\delta):=\inf \Big\{x\in(0,+\infty):\delta\leq \frac{c}{a}\max \{B_1^{q^-}x^{q^-p},B_1^{q^+}x^{q^+-p}\}\Big\},$其中 $ B_1 $ 是从 $ W_0^{1,p}(\Omega) $ 到 $ L^{q(x)}(\Omega) $ 的嵌入常数.

(i) 如果 $ I_\delta(u)<0 $, 那么 $ \|\nabla u\|_p>r(\delta) $. 特别地, 如果 $ I(u)<0 $, 那么 $ \|\nabla u\|_p>r(1) $.

(ii) 如果 $ 0\leq\|\nabla u\|_p\leq r(\delta) $, 那么 $ I_\delta(u)\geq0 $. 特别地, 如果 $ 0<\|\nabla u\|_p<r(1) $, 那么 $ I(u)>0 $.

(iii) 如果 $ I_{\delta}(u)=0 $, 那么 $ \|\nabla u\|_p=0 $ 或者 $ \|\nabla u\|_p\geq r(\delta) $. 特别地, 如果 $ I(u)=0 $, 那么 $ \|\nabla u\|_p=0 $ 或者 $ \|\nabla u\|_p\geq r(1) $.

证 (i) 如果 $ I_\delta(u)<0 $, 有 $\delta\left(a\|\nabla u\|_p^p+b\|\nabla u\|_p^{2p}\right)<c \int_{\Omega}|u|^{q(x)}{\rm d}x $.由嵌入定理 $ W_0^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $, 可以得到$\delta\|\nabla u\|_p^p<\frac{c}{a}\max\left\{\|u\|_{q(x)}^{q^-},\|u\|_{q(x)}^{q^+}\right\}\leq \frac{c}{a}\max\left\{B_1^{q^-}\|\nabla u\|_{p}^{q^-},B_1^{q^+}\|\nabla u\|_{p}^{q^+}\right\},$那么, $ \|\nabla u\|_p>r(\delta) $. 因此, (i) 和 (ii) 都成立. 同样地, 如果 $ I_\delta(u)=0 $, 有 $ \|\nabla u\|_p\geq r(\delta) $. 如果 $ \|\nabla u\|_p=0 $, 有 $ I_\delta(u)=0 $.

引理 3.4[,引理 2.3] $ d(\delta) $ 在 $ 0<\delta\leq1 $ 上是递增的, 在 $ \delta\geq1 $ 上是递减的, 且在 $ \delta=1 $ 处取得最大值 $ d=d(1) $.

引理 3.5^{[17,引理 2.4]} 对于任意的 $ u\in W_0^{1,p}(\Omega) $, 如果 $ 0<J(u)<d $, 那么对于 $ \delta_1<\delta<\delta_2 $, $ I_{\delta}(u) $ 的符号不变, 其中 $ \delta_1<1<\delta_2 $ 是方程 $ d(\delta)=J(u) $ 的两个根.

引理 3.6^{[17,引理 2.5]} 假设 $ u $ 是问题 (1.1) 的弱解, 在 $ \Omega\times(0,T) $ 上 $ 0<J(u_0)<d $ 且 $ \delta_1<1<\delta_2 $ 是方程 $ d(\delta)=J(u_0) $ 的两个根.

(i) 如果 $ I(u_0)>0 $, 那么对于 $ \delta_{1}<\delta<\delta_{2} $ 和 $ 0<t<T $, $ u(x,t)\in \mathcal{W}_{\delta} $.

(ii) 如果 $ I(u_{0})<0 $, 那么对于 $ \delta_{1}<\delta<\delta_{2} $ 和 $ 0<t<T $, $ u(x,t)\in \mathcal{V}_{\delta} $.

引理 3.7$ {\rm dist}(0,\mathcal{N})>0 $, $ {\rm dist}(0,\mathcal{N}_-)>0 $.

证 由 $ J(u) $ 的定义, 有 $ d=\operatorname*{inf}\limits_{ u \in \mathcal{N}}J(u)\leq \left(\frac{a}{p}-\frac{a}{q^+}\right)\|\nabla u\|_p^p+\left(\frac{b}{2p}-\frac{b}{q^+}\right)\|\nabla u\|_p^{2p} $. 由引理 3.2 推出存在一个常数 $ C_1>0 $ 使得 $ {\rm dist}(0,\mathcal{N})=\operatorname*{inf}\limits_{ u \in \mathcal{N}}\|\nabla u\|_p\geq C_1 $. 对于任意的 $ u\in\mathcal{N}_- $, 我们有 $ I(u)<0 $, $ \|\nabla u\|_p\neq 0 $.由引理 3.3 得 $ \|\nabla u\|_p>r(1) $. 因此, $ {\rm dist}(0,\mathcal{N}_-)=\operatorname*{inf}\limits_{ u \in \mathcal{N}_-}\|\nabla u\|_p>0 $.

引理 3.8^{[17,引理 2.6]} 如果 $ u_0\in W_0^{1,p}(\Omega) $, $ J(u_0)=d $, $ I(u_0)<0 $ 且 $ u $ 是问题 (1.1) 的弱解, 那么对于所有的 $ 0<t\leq T $, 有 $ I(u)<0 $ 和 $ J(u)<d $.

本节主要讨论问题(1.1)的弱解在亚临界初始能量下的性质.

定理 4.1(整体存在性) 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 如果 $ J(u_0)<d $ 和 $ I(u_0)>0 $, 那么问题 (1.1) 存在一个整体弱解 $u\in L^{\infty}(0,\infty; W_{0}^{1,p}(\Omega)) $, 且 $ u_{t}\in L^{2}(0,\infty; W_0^{1,2}(\Omega)) $. 另外, 存在一个常数 $ C>0 $ 使得

其中 $ C:=(1-\delta_1)(p-1)\frac{2\gamma}{K_p} $; $ \gamma:=\min\left\{\frac{b}{2k^p B_2^{2p}},\frac{b}{2B_2^{2p}B_3^{2p}}\right\} $; $ B_2 $ 是从 $ L^p(\Omega) $ 到 $ L^2(\Omega) $ 的最佳嵌入常数; $ B_3 $ 是 Poincaré 不等式的最佳常数; $ \delta_1 $ 已在引理 3.5 中定义. 另外, 当弱解 $ u\in L^\infty(0,T; W_0^{1,2}(\Omega)) $ 有界时, 它是唯一的.

由(4.1)式发现解 $ u\in L^{\infty}(0,T;W_0^{1,2}(\Omega)) $ 的上界满足

实际上, 对于 $ u\in L^{\infty}(0,T;W_0^{1,2}(\Omega)) $, $ \|u\|_{W_0^{1,2}(\Omega)}\sim \|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)} $.

下面给出定理 4.1 的证明.

证 第 1 步 整体存在性. 使用 Galerkin 方法和先验估计的方法. 令 $ \left\{\omega_{j}(x)\right\} $ 是 $ W_{0}^{1,p}(\Omega) $ 的正交基. 定义 $u_{n}(t)=\sum\limits_{j=1}^{n}\xi_{jn}(t)\omega_{j} $, $ n=1,2,\cdots $,满足

将 (4.2) 式乘上 $ \xi_{jn}'(t) $, 对 $ j $ 求和且对时间进行积分, 得到

由 (4.3) 式, 我们有 $ J(u_n(x,0))\rightarrow J(u_0)<d $. 因此, 对于足够大的 $ n $, 有

和 $ I(u_n(x,0))\rightarrow I(u_0)>0 $. 对于足够大的 $ n $, 有 $ u_n(x,0)\in\mathcal{W} $. 由引理 3.6, $ u_n(x,t)\in\mathcal{W} $ 且对于所有的 $ t>0 $,

因此, $ \int_{0}^{t}\left(\|u_{n\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{n\tau}\|_2^2\right){\rm d}\tau<d $, $ \|\nabla u_n\|_p<\left[\frac{dpq^-}{a(q^-p)}\right]^{\frac{1}{p}} $. 存在一个正常数 $ C_2 $ 使得

因为 $ W_0^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $, 所有对于每一个 $ n $, 我们有 $ \|u_n\|_{q(x)}< B_1\left[\frac{dpq^-}{a(q^-p)}\right]^{\frac{1}{p}} $. 因此, 存在 $ u $ 和子序列 $ \{u_n\} $, 随着 $ n\rightarrow \infty $,

与定理 2.1 的证明类似, 得 $ \zeta=M(\|\nabla u\|_p^p)|\nabla u|^{p-2}\nabla u $. 对于固定的 $ j $, 在 (4.2) 式中, 令 $ n\rightarrow +\infty $, 有

由定义 1.1 知 $ u $ 是问题 (1.1) 的一个弱解.

第 2 步 唯一性. 假设存在 $ u $ 和 $ v $ 均是问题 (1.1) 的有界弱解. 对于任意的 $ \phi\in W_0^{1,p}(\Omega) $, 有

令 $ \phi:=u-v $, 我们有

令 $ F(s):=|s|^{q(x)-2}s $. 由 $ F:\mathbb{R}^*\rightarrow\mathbb{R} $ 的局部 Lipschitz 连续, 我们有

使用 Young 不等式, 得

上式与 $ M(s) $ 的表达式表明

因此, $ \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\phi^2+k|\nabla \phi|^2{\rm d}x\leq C_3 \int_{\Omega}\phi^2+k|\nabla \phi|^2{\rm d}x $. 由 Gronwall 不等式得到弱解的唯一性.

第 3 步 衰减速率. 在 (1.5) 式中取 $ \varphi=u $, 得

由引理 3.6, 在 $ J(u_0)< d $ 和 $ I(u_0)> 0 $ 条件下, 对于 $ \delta_{1}< \delta <\delta_{2} $ 和 $ 0 < t < \infty $, $ u(x,t)\in \mathcal{W}_{\delta} $. 所以对于 $ 0 < t < \infty $, 有 $ I_{\delta_{1}}(u)\geq0 $. 因此,

其中 $ \gamma:=\min\left\{\frac{b}{2k^pB_2^{2p}},\frac{b}{2B_2^{2p}B_3^{2p}}\right\} $; $ B_2 $ 从 $ L^p(\Omega) $ 到 $ L^2(\Omega) $ 的最佳嵌入常数; $ B_3 $ 是 Poincaré 不等式 $ \|u\|_2\leq B_3\|\nabla u\|_2 $ 的最佳系数. 因为对每一个 $ p $, 存在一个常数 $ K_p>0 $ 使得 $ K_p(a^p+b^p)\geq(a+b)^p $, 其中 $ a $ 和 $ b $ 是非负的, 我们有

和 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2\leq\left[\left(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\right)^{1-p}+Ct\right]^{-\frac{1}{p-1}} $, 其中 $ C:=(1-\delta_1)(p-1)\frac{2\gamma}{K_p} $.

定理 4.2(爆破) 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 如果 $ J(u_0)<d $ 和 $ I(u_0)<0 $, 问题 (1.1) 的弱解在有限时刻爆破, 即存在一个常数 $ T>0 $ 使得 $ \operatorname*{\lim}\limits_{t\rightarrow T}\int_{0}^{t}(\|u\|_2^2 + k\|\nabla u\|_2^2){\rm d}\tau=+\infty $. 另外, 有以下爆破解的渐近估计

(i) 如果 $ J(u_0)<0 $, 爆破时间的上界为$T\leq\frac{\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2}{q^-(2-q^-)J(u_0)} $且爆破速率的上界为

(ii) 如果 $ 0<J(u_0)<d $, 存在 $ \hat{t}_0>0 $ 使得 $ J(u(\hat{t}_0))=-d $. 爆破时间和爆破速率的下界分别为

可以发现 (4.5) 式和 (4.7) 式都是 $ u\in L^{\infty}(0,T;W_0^{1,2}(\Omega)) $ 爆破速率的上界. 例如,由 (4.5) 式知

下面给出定理 4.2 的证明.

证 设对于所有的 $ t>0 $, 解 $ u $ 都存在. 定义$M(t):= \int_{0}^{t}(\|u(\tau)\|_{2}^{2}+k\|\nabla u(\tau)\|_{2}^{2}){\rm d}\tau $.经计算得 $ M'(t)=\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2 $ 和

由于

我们有

因为

可得

由 Cauchy-Schwartz 不等式, 有

因此,

其中 $ \mu:=\frac{b(q^-2p)}{2pq^-B_2^2(B_3^2+k)} $. 接下来我们分为两种情况进行讨论.

(i) 如果 $ 0<J(u_0)<d $, 由引理 3.6 得到, 对于 $ \delta_1<\delta<\delta_2 $ 和 $ t>0 $, $ u(x,t)\in V_\delta $, 即 $ I_\delta(u)<0 $ 且 $ J(u)<d(\delta) $, 因此, $ I_{\delta_2}(u)\leq0 $. 如果 $ \|\nabla u\|_2=0 $, 那么 $ u\equiv0 $. 由引理 3.3, $ \|\nabla u\|_p\geq r(\delta_2) $. 由 (4.8) 式得, 对于所有的 $ t>0 $, 有

存在一个常数 $ t^*>0 $ 使得, 对于 $ t\geq t^* $,

总之, 我们得到

(ii) 我们将证明对于 $ \|\nabla u_0\|_p\neq0 $, 如果 $ J(u_0)<0 $ 或者 $ J(u_0)=0 $, 那么问题 (1.1) 的每个解 $ u(x,t) $ 属于 $ V_\delta $, 对于任意的 $ 0<\delta<\frac{q^-}{2p} $ 和 $ 0\leq t<T $, 其中 $ T>0 $ 是最大存在时间. 事实上, 由

我们发现 $ J(u_0)<0 $, 那么对于所有的 $ 0\leq t<T $, $ J(u(x,t))<0<d(\delta) $ 和 $ I_\delta(u(x,t))<0 $, 表明 $ u(x,t)\in V_\delta $. 如果 $ J(u_0)=0 $ 和 $ \|\nabla u_0\|_p\neq0 $, 那么对于所有的 $ 0\leq t<T $, $ J(u(x,t))\leq0 $, 上式表明存在一个常数 $ l>0 $ 使得 $ \|\nabla u(x,t)\|_p\geq l $. 由 (4.11) 式, $ I_\delta(u(x,t))<0 $ 和 $ J(u(x,t))\leq0<d(\delta) $, 即 $ u(x,t)\in V_\delta $. 因此, 将 $ \delta_2 $ 替换为 $ \delta $, 我们使用与情况(i)相似的证明过程可得, 对于足够大的 $ t $, (4.10) 式依旧成立.

由 (4.10) 式和凸性方法知 $ M(t) $ 对于所有的 $ t>t^* $ 不能始终保持有界, 因此产生矛盾.

接下来, 我们考虑爆破时间的上界. 我们将证明过程分为以下两种情况.

(i) $ J(u_0)<0 $. 令 $ H(t):=M'(t) $ 和 $ G(t):=-q^-J(u) $. 由 (4.9) 式, 有 $ H'(t)=-2I(u)\geq2G(t)>0 $ 和 $ G'(t)=-q^-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}J(u)=q^-(\|u_t\|_2^2+k\|\nabla u_t\|_2^2)>0 $. 由Cauchy-Schwartz不等式得

由以上不等式, 有

使用 $ H'(t)\geq2G(t) $ 可得

对 (4.12) 式从 $ 0 $ 到 $ T $ 上积分, 得到爆破时间的上界

对(4.12)式从 $ t $ 到 $ T $ 上积分, 得到了爆破解的上界估计 (4.5) 式.

(ii) 如果 $ 0<J(u_0)<d $, 由引理 3.1 知, 存在一个 $ \hat{t}_0>0 $ 使得 $ J(u(\hat{t}_0))=-d<0 $. 由引理 3.6, 也有 $ I(u(\hat{t}_0))<0 $. 取 $ t=\hat{t}_0 $ 作为初始时间, 与 $ J(u_0)<0 $ 的情况相似, 对于 $ t>\hat{t}_0 $, 我们得到 (4.6) 式和 (4.7) 式.

定理 5.1 (整体存在性) 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 如果 $ J(u_0)=d $ 和 $ I(u_0)\geq0 $, 那么问题 (1.1) 存在一个整体弱解 $ u $ 满足$ I(u)\geq0 $. 另外, 对于所有的 $ t>0 $, 如果 $ I(u)>0 $, 那么存在常数 $ C>0 $ 和 $ t_0>0 $ 使得 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2\leq\left[\left(\|u(t_0)\|_2^2+k\|\nabla u(t_0)\|_2^2\right)^{1-p}+C(t-t_0)\right]^{-\frac{1}{p-1}} $, 其中 $ C:=(1-\delta_1)(p-1)\frac{2\gamma}{K_p} $.

如果存在一个常数 $ t^*>0 $, 对于 $ 0<t<t^* $ 和 $ I(u(t^*))=0 $, 使得 $ I(u)>0 $, 那么解在有限时刻灭绝.

证 令 $ \lambda_{z}:=1-\frac{1}{z} $, $ z=1,2,\cdots $. 考虑下面的初边值问题

根据 $ I(u_0)\geq0 $ 和引理 3.1, 可以得到存在唯一的常数 $ \lambda^*\geq1 $ 使得 $ I(\lambda^*u_0)=0 $. 由 $ \lambda_z<1\leq\lambda^* $, 我们有 $ I(\lambda_z u_0)>0 $, $ J(\lambda_z u_0)<J(u_0)=d $.由定理 4.1 和引理 3.6, 对于任意的 $ z $, 存在一个整体弱解 $ u_z\in L^{\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,p}(\Omega)) $ 使得 $ u_z\in\mathcal{W} $ 和 $ \int_{0}^{t}(\|u_{z\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{z\tau}\|_2^2){\rm d}\tau+J(u_z)=J(\lambda_z u_0)<d $, $ 0\leq t<\infty $ 成立, 其中 $ u_{zt}\in L^{2}(0,\infty;W_0^{1,2}(\Omega)) $.因为 $ I(u_z)>0 $, 所以

那么可推出先验估计:$\int_{0}^{t}(\|u_{z\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{z\tau}\|_2^2){\rm d}\tau<d $, $\|\nabla u_z\|_p<[\frac{dpq^-}{a(q^-p)}]^{\frac{1}{p}} $ 和 $\|\nabla u_z\|_{q(x)}<B_1 [\frac{dpq^-}{a(q^-p)}]^{\frac{1}{p}} $. 与定理 4.1 的证明过程类似, 对于 $ I(u)\geq0 $ 和 $ J(u)=d $, 可以得到问题 (1.1) 有一个整体弱解 $ u\in L^{\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,p}(\Omega)) $, $ u_{t}\in L^{2}(0,\infty;W_0^{1,2}(\Omega)) $.

如果 $ I(u)>0 $, $ 0<t<+\infty $, 由 $ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2)=-2I(u)<0 $ 可以得到 $ u_t\not\equiv0 $ 或者 $ \nabla u_t\not\equiv0 $. 存在一个常数 $ t_0>0 $ 使得 $0<J(u(t_0))=J(u_0)- \int_{0}^{t_0}(\|u_{\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{\tau}\|_2^2){\rm d}\tau=:d_1<d $.取 $ t_0 $ 作为初始时间, 由引理 3.6 可得, 对于 $ t>t_0 $, $ u\in \mathcal{W}_\delta $, $ \delta_1<\delta<\delta_2 $, 其中 $ \delta_1 $ 和 $ \delta_2 $ 是 $ d(\delta)=J(u(t_0)) $ 的两个根. 因此对于 $ t>t_0 $, 我们有 $ I_{\delta_1}(u)\geq0 $. 与 (4.4) 式的证明过程类似, 有 $\frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2)\leq(\delta_1-1)\frac{\gamma}{K_p}(\|u\|_2^{2}+k\|\nabla u\|_2^{2})^p $,其中 $ \gamma:=\min \{\frac{b}{2k^pB_2^{2p}},\frac{b}{2B_2^{2p}B_3^{2p}} \} $. 可得

假设存在一个常数 $ t^*>0 $, 对于 $ 0<t<t^* $ 和 $ I(u(t^*))=0 $, 有 $ I(u)>0 $, 那么, $ \int_{0}^{t^*}(\|u_{\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{\tau}\|_2^2){\rm d}\tau >0 $ 和 $J(u(t^*))=d- \int_{0}^{t^*}(\|u_{\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_{\tau}\|_2^2){\rm d}\tau <d $.由 $ d $ 的定义, 我们有 $ u(t^*)=0 $. 因此, 对于所有的 $ t>t^* $, $ u\equiv0 $, 这意味着弱解在有限时刻灭绝.

定理 5.2(爆破) 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 如果 $ J(u_0)=d $, $ I(u_0)<0 $, 那么问题 (1.1) 的弱解在有限时刻爆破, 换言之, 存在一个常数 $ T>0 $ 使得 $ \operatorname*{\lim}\limits_{t\rightarrow T} \int_{0}^{t}(\|u\|_2^2 + k\|\nabla u\|_2^2){\rm d}\tau=+\infty $. 另外, 存在一个常数 $ \tilde{t}_0>0 $ 使得 $ J(u(\tilde{t}_0))=-d $, 且解的爆破时间和爆破速率的上界为

证 对于 $ J(u_0)=d $, $ I(u_0)<0 $, 令 $ u(x,t) $ 是问题 (1.1) 的任意弱解, 由反证法, 我们假设 $ T=\infty $. 因为 $ J(u_0)=d $, $ I(u_0)<0 $, 由函数 $ t\mapsto J(u) $ 和 $ t\mapsto I(u) $ 的连续性, 存在一个常数 $ t_0>0 $ 使得对于所有的 $ t\in[t_0] $, $ I(u(t_0))<0 $. 因此对于所有的 $ t\in[t_0] $, $ u_t\not\equiv 0 $ 或者 $ \nabla u_t\not\equiv 0 $. 此外, 我们有$J(u(t_0))=J(u_0)- \int_{0}^{t_0}(\|u_{\tau}\|_{2}^{2}+k\|\nabla u_\tau\|_{2}^{2}){\rm d}\tau<d $.根据定理 4.2, 我们有 $ T<\infty $, 矛盾.接下来, 我们考虑渐近行为. 如果 $ J(u_0)=d $, 由引理 3.1, 我们发现一个常数 $ \tilde{t}_0>0 $ 使得$ J(u(\tilde{t}_0))=-d<0 $. 由引理 3.8, 我们也有 $ I(u(\tilde{t}_0))<0 $. 取 $ t=\tilde{t}_0 $ 作为初始时间, 对于 $ t>\tilde{t}_0 $, 我们有$\frac{G'(t)}{G(t)}\geq\frac{q^-}{2}\frac{H'(t)}{H(t)} $.与定理 4.2 的证明过程类似, 可得 (5.1) 式和 (5.2) 式.

在本节中, 我们研究 $ J(u_0)>d $ 的情形. 定义 $ T=T(u_0) $ 作为初始条件 $ u_0\in W_0^{1,p}(\Omega) $ 下的解的最大存在时间. 如果 $ T=\infty $, 定义 $ u_0 $ 的 $ \omega $ 极限集为 $\omega(u_{0}):=\operatorname*{\bigcap}\limits_{t\geq0}\overline{\left\{u(s)|s\geq t\right\}}^{W_0^{1,p}(\Omega)} $. 设 $ u(x,t) $ 是初值满足 $ u_0\in W_0^{1,p}(\Omega) $, 且最大存在区间为 $ [0,T) $ 的问题 (1.1) 的解. 定义集合

定理 6.1 假设 $ J(u_0)>d $.

(i) 如果 $ u_0\in \mathcal{N}_{+} $, $\|u_{0}\|_{2}^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\leq\lambda_{J(u_{0})} $, 那么 $ u_0\in \mathcal{G}_0 $.

(ii) 如果 $ u_0\in \mathcal{N}_{-} $, $\|u_{0}\|_{2}^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\geq\Lambda_{J(u_{0})} $,那么 $ u_0\in \mathcal{B} $.

证 (i) 如果 $ u_0\in \mathcal{N}_{+} $, $ \|u_{0}\|_{2}^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\leq\lambda_{J(u_{0})} $, 那么我们推断出对于所有的 $ t\in[0,T) $, $ u(t)\in \mathcal{N}_+ $. 否则, 将存在一个常数 $ t_0\in[0,T) $ 使得 $ u\in\mathcal{N}_+ $, $ 0\leq t<t_0 $ 和 $ u(t_0)\in\mathcal{N} $. 此外, (2.6) 式表明 $ J(u(t_0))<J(u_0) $, 在定义 $ J^s $ 下可以推导出 $ u(t_0)\in J^{J(u_0)} $. 因此, $ u(t_0)\in N^{J(u_0)} $. 由 $ \lambda_{J(u_0)} $ 的定义, 我们得到

由 $ u(t)\in\mathcal{N}_+ $ 和 $ 0\leq t<t_0 $ 可得, 对于 $ 0<t<t_0 $, $I(u)=-\frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2)>0 $,那么 $ \|u(t_0)\|_2^2+k\|\nabla u(t_0)\|_2^2<\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\leq\lambda_{J(u_{0})} $, 与 (6.1) 式矛盾. 因此 $ u(t)\in\mathcal{N}_+ $, $ 0\leq t<T $.由使用 (4.9) 式, 有

这意味着 $ \|\nabla u\|_p^p<\frac{pq^-J(u_0)}{a(q^-p)} $, 且进一步可以得到 $ T=+\infty $. 对于任意的 $ \omega\in\omega(u_0) $, 我们有 $\|\omega\|_2^2+k\|\nabla\omega\|_2^2<\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\leq\lambda_{J(u_{0})} $ 和 $ J(\omega)< J(u_0) $.因此 $ \omega(u_0)\cap\mathcal{N}=\emptyset $, $ \omega(u_0)=\left\{0\right\} $, 即 $ u_0\in\mathcal{G}_0 $.

(ii) 如果 $ u_0\in \mathcal{N}_{-} $, $ \|u_{0}\|_{2}^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\geq\Lambda_{J(u_{0})} $, 那么与 (i) 相似, 对于 $ 0\leq t<T $, 我们有 $ u(t)\in\mathcal{N}_- $, $ u(t)\in J^{J(u_0)} $. 如果 $ T=\infty $, 则对任意 $ \omega\in\omega(u_0) $,有 $\|\omega\|_2^2+k\|\nabla\omega\|_2^2>\Lambda_{J(u_{0})} $ 和 $ J(\omega)<J(u_0) $.那么 $ \omega(u_0)\cap\mathcal{N}=\emptyset $, $ \omega(u_0)=\left\{0\right\} $. 然而由于 $ u\in\mathcal{N}_- $, 由引理 3.7 得到 $ {\rm dist}(0,\mathcal{N}_-)>0 $. 也可以得到 $ 0\notin \omega(u_0) $, 这与 $ \omega(u_0)=\left\{0\right\} $ 矛盾. 因此, $ T<\infty $, 即 $ u_0\in\mathcal{B} $.

引理 7.1 对于 $ f(s):=|s|^{q(x)-2}s $, 存在一个常数 $ \vartheta\leq q(x)-1 $ 使得(i)$ s[sf'(s)-\vartheta f(s)]\geq0, \forall s\in\mathbb{R} $; (ii) $ uf(u)\geq(\vartheta+1)\int_0^uf(s){\rm d}s $.

证 由 $ f(s)=|s|^{q(x)-2}s=s^{q(x)-1}({\rm sgn}s)^{q(x)-2} $, 我们有

那么, $ s[sf'(s)-\vartheta f(s)]=s[(q(x)-1-\vartheta)s^{q(x)-1}({\rm sgn}s)^{q(x)-2}]\geq0 $.

假设 $ s\geq0 $, 由 $ {\rm (i)} $ 得 $ sf'(s)\geq\vartheta f(s) $, 那么 $ uf(u)-\int_0^uf(s){\rm d}s=\int_0^usf'(s){\rm d}s\geq\vartheta\int_0^uf(s){\rm d}s $.当 $ s<0 $ 时, 我们有 $ sf'(s)\leq\vartheta f(s) $. 对上式在 $ [u,0] $ 上积分可得 $ uf(u)-\int_0^uf(s){\rm d}s=\int_0^usf'(s){\rm d}s\geq\vartheta\int_0^uf(s){\rm d}s $.

引理 7.2^{[11,引理 2.1]} 假设二阶可微的正函数 $ \theta(t) $, 对于 $ t>0 $ 满足不等式 $\theta''(t)\theta(t)-(1+\beta)\theta'(t)^{2}\geq0 $,其中 $ \beta>0 $ 是一个常数. 如果 $ \theta(0)>0 $, $ \theta'(0)>0 $, 那么存在一个常数 $ t_{1} $, 当$ 0<t_{1}<\frac{\theta(0)}{\beta\theta'(0)} $ 时, 随着 $ t\rightarrow t_{1} $, $ \theta(t)\rightarrow \infty $.

定理 7.1 条件 $ (\mathcal{H}) $ 成立. 当以下情况其中之一成立时, 问题 (1.1) 的任意弱解 $ u(x,t) $ 在有限时刻 $ T $ 发生爆破.

(i) $ J(u_0)<0 $;

(ii) $ 0\leq J(u_0)<\left(\frac{\sigma}{p}-\frac{1}{\alpha+1}\right)\frac{a\gamma_1}{B_2^pK_{\frac{p}{2}}}\left(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\right)^{\frac{p}{2}}\equiv C_0\left(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\right)^{\frac{p}{2}} $, 其中$ \sigma\in(0,\frac{1}{2}] $ 使得 $ \int_0^t M(\tau){\rm d}\tau\geq\sigma t M(t), \forall t\in\mathbb{R}^+ $; $ \frac{p}{\sigma}-1<\alpha\leq q(x)-1 $; $ \gamma_1:=\min\left\{\frac{1}{2B_3^p},\frac{1}{2k^{\frac{p}{2}}}\right\} $; $ B_2 $ 是从 $ L^p(\Omega) $ 到 $ L^2(\Omega) $ 的最佳嵌入常数; $ B_3 $ 是Poincaré不等式的最佳常数; 对于每一个 $ p $, $ K_{\frac{p}{2}}>0 $ 使得 $ K_{\frac{p}{2}}(a^{\frac{p}{2}}+b^{\frac{p}{2}})\geq(a+b)^{\frac{p}{2}} $ (其中 $ a $ 和 $ b $ 是非负的).

另外, $ T $ 的上界可以表达为

(a) 如果 $ {\rm (i)} $ 成立, 那么 $ T\leq\frac{\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2}{(1-\alpha^2)J(u_0)} $;

(b) 如果 $ {\rm (ii)} $ 成立, 那么 $ T\leq \frac{4\alpha\left(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\right)}{(\alpha-1)^2(\alpha+1)\left[C_0\left(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2\right)^{\frac{p}{2}}-J(u_0)\right]} $.

证 (i), 设 $ L(t):=\frac{1}{2}(\|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2) $, $ N(t):=-J(u) $. 显然, $ L(0)>0 $, $ N(0)>0 $. 由 (1.6) 式得 $ N'(t)\geq0 $, 表明对于任意的 $ t\in[0,T) $, $ N(t)\geq N(0)>0 $. 由 (1.3) 式, (1.4) 式和引理 7.1 得到

使用 Cauchy-Schwarz 不等式, 我们有$L'(t)N'(t)\geq\frac{1}{2}(L'(t))^2\geq\frac{\alpha+1}{2}L'(t)N(t).$接着, 可以得到$(N'(t)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(t))'=\left(L(t)N'(t)-\frac{\alpha+1}{2}L'(t)N(t)\right)L^{-\frac{\alpha+3}{2}}(t)\geq0 $.因此, 由 (7.1) 式,

对于任意的 $ t\in(0,T) $, 对 (7.2) 式在 $ [0,t) $ 进行积分得

由于 $ \alpha>1 $, 不等式 (7.3) 式的右端项随着 $ t\rightarrow+\infty $, 趋近于 $-\infty $, 矛盾. 因此, $ T<+\infty $. 另外, 我们从 (7.3) 式推出$T\leq\frac{2L^{\frac{1-\alpha}{2}}(0)}{(\alpha^2-1)N(0)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(0)}=\frac{\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2}{(1-\alpha^2)J(u_0)}.$为了得到情况 $ {\rm (ii)} $, 由 (7.1) 式和引理 7.1, 我们有

上式结合 $ {\rm (ii)} $ 的假设表明 $ I(u_0)<0 $. 对于所有的 $ t\in[0,T) $, $ I(u)<0 $. 否则, 存在一个常数 $ t_0\in(0,T) $ 使得对于所有的 $ t\in(0,t_0) $, $ I(u)<0 $ 和 $ I(u(t_0))=0 $. 由 (1.4) 式得 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2 $ 是严格递增的且在 $ [0,t_0) $ 上连续, 可以保证

另一方面, 由 $ J(u) $ 的单调性, 得

与 (7.4) 式矛盾. 总之对于所有的 $ t\in[0,T) $, $ I(u)<0 $ 且 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2 $ 在 $ [0,T) $ 上严格递增.对于任意的 $ T^*\in(0,T) $, $ \beta>0 $ 和 $ \eta>0 $, 我们定义

那么,

对于 $ t\in[T^*] $, 定义

根据 Cauchy-Schwarz 不等式和 Hölder 不等式, 推出 $ Q(t) $ 在 $ [T^*] $ 上是非负的. 因此, 结合 (7.5)-(7.7) 式和 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2 $ 的单调性, 对 $ t\in[T^*] $ 和 $ \beta\in(0,\frac{\alpha+1}{\alpha}[C_0(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2)^{\frac{p}{2}}-J(u_0)]) $, 有

因此, 由 $ \alpha>\frac{p}{\sigma}-1>1 $ 和引理 7.2 得到

推出, 对于所有的 $ \beta\in(0,\frac{\alpha+1}{\alpha}\left[C_0(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2)^{\frac{p}{2}}-J(u_0)\right]) $, $ \eta>0 $, 有

为了估计 $ T^* $ 的上界, 我们固定一个常数 $ \beta_0\in(0,\frac{\alpha+1}{\alpha}\left[C_0(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2)^{\frac{p}{2}}-J(u_0)\right]) $. 对于所有的 $ \eta\in(\frac{\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2}{(\alpha-1)\beta_0},+\infty) $, 有

对于 $ \eta\in(\frac{\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2}{(\alpha-1)\beta_0},+\infty) $, 对 (7.8) 式的右端项取最小值, 有

对于 $ \beta_0\in \left(0,\frac{\alpha+1}{\alpha}\left[C_0(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2)^{\frac{p}{2}}-J(u_0)\right]\right) $, 对 (7.9) 式的右端项取最小值, 得到

由 $ T^*<T $ 的任意性, 有

证毕.

定理 7.2 令 $ u $ 是问题 (1.1) 的弱解, 其中 $ u_0\in W_0^{1,p}(\Omega) $. 如果存在一个常数 $ T>0 $ 使得 $ u $ 在有限时刻爆破, 即 $ \operatorname*{\lim}\limits_{t\rightarrow T} \int_{0}^{t}(\|u\|_2^2 + k\|\nabla u\|_2^2){\rm d}\tau=+\infty $, 那么爆破时间和爆破速率的下界为

其中 $ B $ 在定理 2.1 中有定义.

证 假设问题 (1.1) 的弱解 $ u $ 在有限时刻 $ T>0 $ 处发生爆破且 $ \operatorname*{\lim}\limits_{t\rightarrow T} \int_{0}^{t}(\|u\|_2^2 + k\|\nabla u\|_2^2){\rm d}\tau=+\infty $. 存在一个常数 $ \bar{t}_0 $ 满足 $ H(\bar{t}_0)=\|u(\bar{t}_0)\|_2^2+k\|\nabla u(\bar{t}_0)\|_2^2>1 $. 对于 $ t\geq\bar{t}_0 $, 由简单的计算可得

(7.12) 式在 $ \bar{t}_0 $ 到 $ T $ 上进行积分, 得 (7.10) 式. (7.12) 式在 $ t $ 到 $ T $ 上进行积分, 得 (7.11) 式.

注 7.1 如果 $ q^-=q(x)=q^+=2p $, $ b\geq cS_1^{2p} $, 问题 (1.1) 的任意弱解 $ u $ 整体存在且 $ \|u\|_2^2+k\|\nabla u\|_2^2\leq\big[(\|u_0\|_2^2+k\|\nabla u_0\|_2^2)^{1-\frac{p}{2}}+\frac{a\gamma_1(p-2)}{B_2^pK_{\frac{p}{2}}}t\big]^{\frac{2}{2-p}} $, 其中 $ S_1 $ 是从 $ W_0^{1,p}(\Omega) $ 到 $ L^q(\Omega) $ 的最佳嵌入常数; $ \gamma_1 $, $ B_2 $ 和 $ K_{\frac{p}{2}} $ 在定理 7.1 中有定义.