1 引言
随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] .
另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制.
时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题.
设 $ X $ $ V $
(1.1) $\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} D_{t}^\alpha x(t) = Ax(t) + f(t, x(t), u(t)), t \in J = [T], \\ u(t) \in U\left( {t, x(t)} \right),\\ {I_{0^+}^{{{\rm{1 - }}\alpha }}}x(t){|_{x = 0}} = {x_0},\\ \end{array} \right.\end{equation}$
其中 $ D_{\rm{t}}^\alpha $ $ 0 < \alpha < 1 $ $ A $ $ X $ $ C_0 $ - 半群 $ T( t)\ (t \ge 0) $ $ f:J \times X \times V \to X^* $ $ U:J \times X \to \mathcal{P}\left( V \right)$ $(\mathcal{P}( V ) $
定义 1.1 设 $ x \in X $ $ ( x( \cdot ), u( \cdot ))\in C_{1 - \alpha }( J, X) \times V $ $ J $ $ {x_0} \in X $ ) , 如果 $ x( \cdot ) $
$u\left( t \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}U\left( {t, {\rm{ }}x\left( t \right)} \right) \textrm{ a.e. }t \in J$
的温和解, 则分别称 $ x\left( \cdot \right), u\left( \cdot \right) $
设 $ Q:J \to \mathcal{P}( X ) $
$\mathfrak{A}(J, x_0) = {\rm{ }}\{ \left( {x\left( \cdot \right), {\rm{ }}u\left( \cdot \right)} \right){\rm{ }} \in {C_{{\rm{1 - }}\alpha }}{\rm{ }}\left( {J, {\rm{ }}X} \right) \times {\rm{ }}V{\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x\left( \cdot \right), {\rm{ }}u\left( \cdot \right)} \right)\ \textrm{是对应于}\ {x_0} \in X\}, $
$\mathfrak{X}\left( {J, {\rm{ }}{x_0}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\{ x\left( \cdot \right){\rm{ }} \in {C_{{\rm{1 - }}\alpha }}{\rm{ }}\left( {J, {\rm{ }}X} \right){\rm{ }}:{\rm{ }}\left( {x\left( \cdot \right), {\rm{ }}u\left( \cdot \right)} \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}\mathfrak{A}\left( {J, {x_0}} \right)\ \textrm{针对于某些 }\ u\left( \cdot \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}V\}.$
$\Re \left( {r:0, {x_0}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {x\left( r \right){\rm{ }}:{\rm{ }}x\left( \cdot \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}\mathfrak{X}( {\left[ {0, r} \right], {x_0}} )} \right\}.$
$\mathfrak{B}\left( {0, {\rm{ }}{x_0}} \right) = \left\{ {\left( {x\left( \cdot \right), {\rm{ }}u\left( \cdot \right)} \right) \in \bigcup\limits_{ r > 0} \mathfrak{A}{(\left[ {0, r} \right], {\rm{ }}{x_0})} {\rm{ }}:{\rm{ }}x(\overline t ) \in Q(\overline t )\ \textrm{针对于某些 }\ \overline t \ge 0} \right\}$
$\mathfrak{T}\left( {x\left( \cdot \right)} \right) = \left\{ {\overline t \in J:x(\overline t ) \in Q(\overline t )} \right\}, \forall x\left( \cdot \right) \in \bigcup\limits_{0 < r < T} {{C_{1 - a}}\left( {\left[ {0, r} \right], {\rm{ }}X} \right)}.$
问题 T 设 $ \mathfrak{B}\left( {0, {\rm{ }}{x_0}} \right) \neq\emptyset $ $ ({x^*}\left( \cdot \right), {u^*}\left( \cdot \right)){\rm{ }} \in \mathfrak{B}\left( {0, {\rm{ }}{x_0}} \right) $ $ {t^*} \in \mathfrak{T}({x^*}\left( \cdot \right)) $
${t^*} = \min\limits_{\left( {x\left( \cdot \right), u\left( \cdot \right)} \right) \in \mathfrak{B}\left( {0, {x_0}} \right)} \inf{\rm{ }}\left( {x\left( \cdot \right)} \right).$
本文的目的是研究半线性 Riemann-Liouville 分数阶发展反馈最优控制系统的容许轨迹和时间最优控制的存在性结果. 首先, 在合理的假设条件下研究系统(1.1)温和解的存在性. 其次, 在半群 $ T(t) $
本文的其余部分组织如下: 第 2 节介绍用到的一些必要的预备知识. 第 3 节主要建立系统 (1.1) 温和解存在唯一性. 第 4 节研究容许轨迹的存在性. 第 5 节讨论问题T的存在性结果. 最后, 给出实例来说明本文的主要结果.
2 预备知识
全文用符号 $ \rightharpoonup $ $ X $ $ J=[b] $ $ \mu $ $ \sigma $ - 代数 $ \Sigma $ $ C(J, X) $ $ X $ - 值从 $ J $ $ X $ $ \|x\|_{C(J, X)}=\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|.$
$C_{1-\alpha}(J, H)=\{x :t^{1-\alpha}x(t)\in C(J, H)\},$
其赋予范数为 $ \|x\|_{C_{1-\alpha}}=\sup\{t^{1-\alpha}\|x(t)\|_{H}:t\in J\}. $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $ $ L^{\gamma}(J, X) $ $ J $ $ X $
$ \|m\|_{L^{\gamma}(J, X)}:=\bigg(\int_J\|m(t)\|^{\gamma}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{\gamma}}<\infty, 1\leq \gamma<\infty.$
对于 Banach 空间 $ X $ $ \omega - X $ $ s-X $ $ X $ $ X $
首先, 给出分数阶积分和导数的定义, 详见文献[15 ,27 ].
$I^{\alpha}_{0^+}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int^{t}_{0}(t-s)^{\alpha-1}f(s){\rm d}s, t>0, 0<\alpha<1, $
称为 $ \alpha $ $ \Gamma $
定义 2.2 函数 $ f $ $ \alpha $
$D^{\alpha}_{t}f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{t}(t-s)^{-\alpha}f(s){\rm d}s, 0<\alpha<1, t>0.$
接下来, 本文将用到如下记号: $ \mathcal {P}(X) $ $ X $
$\begin{eqnarray*} &&\mathcal {P}_{f}(X)=\{S\in \mathcal {P}(X):S \textrm{ 是闭的 }\}, \\ &&\mathcal {P}_{fb}(X)=\{S\in \mathcal {P}(X):S \textrm{ 是闭合有界的 }\}, \\ &&\mathcal {P}_{(w)k(c)}(X)=\{S\in \mathcal {P}(X):S \textrm{ 是 (弱) 紧 (凸) 的}\}, \end{eqnarray*}$
现在给出一些集值映射的基本定义和结果, 对于详细介绍见专著[12 ] .
设 $ (\Omega, \Sigma) $ $ (X, d) $ $ C\subseteq X $ $ F^{-1}(C)=\{t\in \Omega:F(t)\cap C\neq\emptyset\}\in \Sigma $ $ F:\Omega\rightarrow \mathcal{P}(X) $ $ F:\Omega\times X\rightarrow \mathcal{P}_f(X) $ $ F $ $ F^{-1}(E)\in\Sigma\otimes\mathcal{B}_{X} $ $ \Sigma\otimes\mathcal{B}_{X} $ $ A\times B $ $ \sigma $ - 代数, $ A\in\Sigma $ $ B\in\mathcal{B}_{X} $ $ \mathcal{B}_{X} $ $ X $ $ \sigma $ - 代数[11 ] .
考虑"Hausdorff 度量" $ h:\mathcal {P}(X)\times\mathcal{P}(X)\rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup\{\infty\} $
(2.1) $\begin{equation} h(A, B)=\max\left\{\sup_{a\in A} d(a, B), \sup_{b\in B} d(A, b)\right\}, \end{equation}$
其中 $ d(x, C) $ $ x $ $ C $ $ h(A, B) $ $ A, B $
定义 2.3 设 $ W, Z $ $ F:W\rightarrow \mathcal{P}(Z) $
(i) $ F $ $ x_0\in W $ $ D\subseteq Z $ $ F(x_0)\cap D \neq\emptyset $ $ x_0 $ $ O(x_0) $ $ x\in O(x_0) $ $ F(x)\cap D\neq\emptyset $
(ii) 如果对于每个开子集 $ D\subseteq Z $ $ F(x_0)\subseteq D $ $ x_0 $ $ O(x_0) $ $ x\in O(x_0) $ $ F(x)\subseteq D $ $ F $ $ x_0\in X $
(iii) 如果对于每个有界集 $ V \subseteq W $ $ F(V ) $ $ F $
定义 2.4 [18 ] 设 $ E $ $ T $ $ F:T\rightarrow \mathcal{P}(E) $ $ t\in T $
$\begin{equation*} \bigcap_{\epsilon>0}\overline{F(O_{\epsilon}(t))}=F(t), \end{equation*}$
则称集值 $ F $ $ O_\epsilon (t)=\{\tau\in J:\|\tau-t\|<\epsilon\} $ . $ T $ $ F $ $ t\in T $ $ F $ $ T $
定义 2.5 [18 ] 设 $ X $ $ Y $ $ F:X\rightarrow \mathcal{P}(Y) $
$\begin{eqnarray} \bigcap_{\delta>0}\overline{co}F(O_{\delta}(x_{0}))=F(x_{0}), \nonumber \end{eqnarray}$
则称 $ F $ $ x_{0}\in X $ $ \overline{co}D $ $ D $ $ O_{\delta}(x) $ $ x $ $ \delta $ - 邻域. 如果 $ F $ $ x\in Z\subset X $ $ F $ $ Z $
由定义 2.1, 2.2和文献[23 ,33 ]的结果, 得到如下概念
定义 2.6 如果 $ x\in C_{1-\alpha}(J, H), I_{0^+}^{1-\alpha}x(t)|_{t=0}=x_0 $ $ u\in L^p(J, V)(p>\frac{1}{\alpha}) $ $ u(t)\in U(t, x(t)) $ $ t\in J $
(2.2) $\begin{equation} x(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_0+\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)f(s, x(s)u(s)){\rm d}s, \end{equation}$
则称函数 $ x(\cdot) $
$\begin{equation*} T_{\alpha}(t)=\alpha\int_0^{\infty}\theta\xi_{\alpha}(\theta)T(t^{\alpha}\theta){\rm d}\theta, \xi_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\alpha}\theta^{-1-\frac{1}{\alpha}}\varpi_{\alpha}\big(\theta^{-\frac{1}{\alpha}}\big)\geq0, \end{equation*}$
$\begin{equation*} \varpi_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\theta^{-n\alpha-1} \frac{\Gamma(n\alpha+1)}{n!}\sin(n\pi\alpha), \, \, \theta\in(0, \infty), \end{equation*}$
$ \xi_{\alpha} $ $ (0, \infty) $ [26 ] , 并且
$\begin{equation*} \xi_{\alpha}(\theta)\geq0, \quad \theta\in(0, \infty), \quad \int_0^{\infty}\xi_{\alpha}(\theta){\rm d}\theta=1. \end{equation*}$
(2.3) $\begin{equation} \int_0^{\infty}\theta\xi_{\alpha}(\theta){\rm d}\theta=\frac{1}{\Gamma(1+\alpha)}. \end{equation}$
引理 2.1 [33 ,引理 3.2-3.4] 算子 $ T_{\alpha}(t) $
(i) 对任意固定的 $ t\geq 0, T_{\alpha}(t) $ $ x\in X, $
$\begin{equation*} \|T_{\alpha}(t)x\|\leq \frac{M}{\Gamma(\alpha)}\|x\|; \end{equation*}$
(ii) $ \{T_{\alpha}(t), t\geq 0\} $
(iii) 如果 $ T(t) $ $ t> 0, T_{\alpha}(t) $
引理 2.2 [7 ,10 ] 设 $ \beta>0, a(t) $ $ [b] $ $ b(t) $ $ [b] $ $ b(t)\leq M $ $ y(t) $ $ [b] $
$\begin{equation*}y(t)\leq a(t)+b(t)\int_{0}^{t}(t-s)^{\beta-1}y(s){\rm d}s, t\in [b].\end{equation*}$
$\begin{equation*}y(t)\leq a(t)+\int_{0}^{t}\left[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[b(t)\Gamma(\beta)]^{n}}{\Gamma(n\beta)}(t-s)^{n\beta-1}a(s)\right]{\rm d}s, t\in [b].\end{equation*}$
另外, 如果 $ a(t) $ $ [b] $
$\begin{equation*}y(t)\leq a(t)E_\beta\left(b(t)\Gamma(\beta)t^{\beta}\right), \end{equation*}$
其中 $ E_\beta $
$\begin{equation*}E_\beta(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k\beta+1)}.\end{equation*}$
3 温和解的存在性
本节主要是研究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统温和解的存在唯一性. 为了解决这个问题, 我们需要以下假设
H(A) 算子 $ A $ $ X $ $ C_0 $ - 半群 $ T\left( t \right)\left( {t \ge 0} \right) $ $ t>0, T(t) $
H(f) 函数 $ f : J \times X \times V \to X $ $ (t, x, u) $ $ (x, u) $ $ L>0 $
(i) $ \left\| f\left( {t, x, u} \right)\right\| \le L( 1 + \left\| x \right\| ) $ $ t \in J, $ $ x\in X $
(ii) $ \left\| {f\left( {t, {x_1}, u} \right) - f\left( {t, {x_2}, u} \right)} \right\| \le L\left\| {{x_1} - {x_2}} \right\|, $ $ t{\rm{ }} \in {\rm{ }}J, $ $ x_1, x_2\in X $ .
接下来, 给出系统(2.2)解的存在性和唯一性结果.
定理 3.1 设条件 H(A), H(f) 成立, 则对给定的控制函数 $ u \in L^p ( J, V ) ( p > \frac{1}{\alpha } ), $
(3.1) $\begin{equation} \left( {\digamma x} \right)\left( t \right) = {t^{\alpha - 1}}{T_\alpha }\left( t \right){x_0} + {\int_0^t {\left( {t - s} \right)} ^{\alpha - 1}} {T_\alpha }\left( {t - s} \right)f\left( {s, x\left( s \right), u\left( s \right)} \right){\rm d}s \end{equation}$
首先, 在定理的假设条件下, 不难验证映射 $ \digamma $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $
其次, 证明 $ \digamma^{n} $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $
实际上, 对任意的 $ x, y\in C_{1-\alpha}(J, X) $ $ t\in J, $
(3.2) $\begin{matrix} t^{1-\alpha}\|(\digamma x)(t)\!-\!(\digamma y)(t)\|&\leq& t^{1-\alpha}\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}\|T_{\alpha}(t-s)[f(s, x(s), u(s))\!-\!f(s, y(s), u(s))]\|{\rm d}s\nonumber\\ &\leq&\frac{LM}{\Gamma(\alpha)}t^{1-\alpha}\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}s^{\alpha-1}s^{1-\alpha}\|x(s)-y(s)\|{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& \frac{\Gamma(\alpha)LMt}{\Gamma(2\alpha)}\|x-y\|_{C_{1-\alpha}}. \end{matrix}$
由 (3.1), (3.2) 式并计算 $ n $
$t^{1-\alpha}\|(\digamma^{n} x)(t)-(\digamma^{n} y)(t)\|\leq \frac{\Gamma(\alpha)(LMt^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}\|x-y\|_{C_{1-\alpha}}.$
$\|\digamma^{n} x-\digamma^{n}y\|_{C_{1-\alpha}}\leq \frac{\Gamma(\alpha)(LMT^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}\|x-y\|_{C_{1-\alpha}}.$
由于 $ \frac{(LMT^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]} $ $ E_{\alpha, \alpha}(MLT^{\alpha}) $ $ J $ $ n $
$\frac{\Gamma(\alpha)(LMT^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}<1.$
因此, $ \digamma^{n} $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $ $ \digamma $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $ $ x(\cdot) $
4 容许轨迹存在性
本节考虑系统(1.1)容许轨迹的存在性. 为了得到容许轨迹的存在性, 我们需要做出如下假设条件
H(U) 集值映射 $ U:J \times X \to \mathcal{P}\left( V \right) $
(i) 对于所有 $ (t, x) \in J \times X $ $ \theta \in {L^2}\left( {J, {\mathbb{R}^ + }} \right) $ $ L_u $
$\left\| {U\left( {t, x} \right)} \right\| \le \theta \left( t \right){\rm{ }} + L_u \left\| x \right\|_X, \textrm{对于所有的 }(t, {\rm{ }}x) \in J \times X;$
(ii) 对于 a.e. $ t \in J, x \in X $ $ U(t, x) $
$\bigcap\limits_{\delta > 0} {\overline {co} } U\left( {{O_\delta }\left( {t, x} \right)} \right) = U\left( {t, x} \right).$
H(Q) $Q:J \to \mathcal{P}\left( X \right) $
H(C) 对所有的 $ \left( {t, x} \right) \in J \times X, $
$\bigcap\limits_{\delta > 0} {\overline {co} } f\left( {t, O_\delta \left( x \right), U\left( {O_\delta \left( {t, x} \right)} \right)} \right) = f\left( {t, x, U\left( {t, x} \right)} \right), $
其中, $ O_\delta ( x)= \{ \bar{x} \in X:\|x - \bar{x}\|<\delta\}, O_\delta (t, x) $
引理 4.1 [32 ,命题 2.1] 设 $ U:J \times X \to \mathcal{P}( V ) $ $ f\left( {t, x, u} \right) $ $ ( {x, u} ) $ $ t \in J $ $ f\left( {t, x, U(t, x)} \right) $
为了得到容许轨迹的存在性结果, 本文需要如下引理.
引理 4.2 [30 ,引理 3.5] 设 $ T(t)(t\geq0) $ $ X $ $ C_0 $ - 半群. 则对任意的 $ p>\frac{1}{\alpha} $
$\begin{equation*} (\Pi g)(\cdot)=\int_0^{\cdot}(\cdot-s)^{\alpha-1} T_{\alpha}(\cdot-s)g(s){\rm d}s \end{equation*}$
是紧的对于 $ g\in L^p(J, X) $ .
定理 4.1 设 H(A), H(f), H(U) 和 H(C) 成立, 那么对于任意 $ u \in V $ $ \mathfrak{X}( J, x_0) $ $ u \in V $ $ \mathfrak{X}( J, x_0) $ $ {C_{1 - \alpha }}\left( {J, X} \right) $
证 对于任意的 $ k > 0 $ $ {l_i} = \frac{i}{k}T, 0 \le i \le k - 1 $
$\begin{equation*} u_k(t)=\sum_{i=0}^{k-1}u^i\chi_{[t_i, t_{i+1})}(t), t\in J, \end{equation*}$
其中, $ \chi_{[t_i, t_{i+1})} $ $ [t_i, t_{i+1}) $ $ \{u^i\} $
首先, 设 $ u^0\in U(0, x_0) $ $ x_k\in C_{1-\alpha}(J, X) $
$\begin{eqnarray*} x_k(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_0+\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)f(s, x_k(s), u^0(s)){\rm d}s. \end{eqnarray*}$
其次, 取 $ u^1\in U(\frac{T}{k}, x_k(\frac{T}{k})) $ $ [\frac{T}{k}, \frac{2T}{k}] $ $ x_k $
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{llll} x_k(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_0+\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)f(s, x_k(s), u_k(s)){\rm d}s, t\in[\frac{iT}{k}, \frac{(i+1)T}{k}), \\[3mm] u_k(t)\in U(\frac{iT}{k}, x_k(\frac{iT}{k})). \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
由定理 3.1 的证明, 易知存在一个常数 $ \gamma_0>0 $
$\begin{equation*} \|x_k\|_{C_{1-\alpha}(J, X)}\leq \gamma_0. \end{equation*}$
另外, 由 H(f) 和 H(U)(i), 可知存在 $ \gamma_i>0, i=1, 2 $
$\begin{equation*} \|f(\cdot, x_k(\cdot), u_k(\cdot))\|\leq \gamma_1\quad\textrm{及 }\ \|u_k\|\leq\gamma_2. \end{equation*}$
由于 $ L^p(J, X) $ $ \{f(\cdot, x_k(\cdot), u_k(\cdot))\} $
(4.1) $\begin{matrix} f(\cdot, x_k(\cdot), u_k(\cdot))\rightharpoonup \overline{f}(\cdot)\textrm{ 在} L^p(J, X)\textrm{ 中}. \end{matrix}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)f(s, x_k(s), u_k(s)){\rm d}s\rightarrow\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)\overline{f}(s){\rm d}s,\ \forall\ t\in J. \end{eqnarray*}$
(4.2) $\begin{equation} \overline{x}(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_0+\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)\overline{f}(s){\rm d}s. \end{equation}$
(4.3) $\begin{equation} x_k(t)\rightarrow \overline{x}\ \textrm{ 在}\ L^p(J, X). \end{equation}$
由 (4.3) 式, 对任意的 $ \delta>0 $ $ k_0>0 $
(4.4) $\begin{equation} x_k(t)\in O_{\delta}(t_i, x_k(t_i)), t\in J, k\geq k_0. \end{equation}$
同时, 对充分大的 $ k $ $ u_k(\cdot) $
(4.5) $\begin{equation} u_k(t)\in U(t_i, x_k(t_i))\subset U(O_{\delta}(t_i, x_k(t_i))). \end{equation}$
其次, 由 (4.1) 式和 Mazur 引理, 设 $ \mu_{il}\geq0 $ $ \sum\limits_{i\geq1}\mu_{il}=1 $
$\begin{equation*} \lambda_l(\cdot)=\sum_{i\geq1}\mu_{il}f(\cdot, x_{i+l}(\cdot), u_{i+l}(\cdot)) \rightarrow\overline{f}(\cdot)\textrm{ 在 }L^p(J, X)\textrm{中}. \end{equation*}$
则存在 $ \{\lambda_l\} $ $ \{\lambda_l\} $
$\begin{equation*} \lambda_l(t)\rightarrow \overline{f}(t)\textrm{ 在 } X \textrm{ a.e. } t\in J. \end{equation*}$
因此, 由 (4.4) 和 (4.5) 式, 对充分大的 $ l $
$\begin{equation*} \lambda_l(t)\in\textrm{co}f(t, O_{\delta}(\overline{x}(t)), U(O_{\delta}(t, \overline{x}(t)))), \textrm{ a.e. }t\in J. \end{equation*}$
$\begin{equation*} \overline{f}(t)\in\overline{\textrm{co}}f(t, O_{\delta}(\overline{x}(t)), U(O_{\delta}(t, \overline{x}(t)))), \textrm{ a.e. }t\in J. \end{equation*}$
$\begin{equation*} \overline{f}(t)\in\overline{\textrm{co}}f(t, \overline{x}(t), U(t, \overline{x}(t))), \textrm{ a.e. }t\in J. \end{equation*}$
由H(U)(ii)和文献[18 , 第 3 章, 推论 2.18], 可知 $ U(\cdot, \overline{x}(\cdot)) $ 18 , 第 3 章,推论 2.26]), 存在控制函数 $ \overline{u}\in V $
(4.6) $\begin{matrix} \left\{\begin{array}{llll} \overline{u}(t)\in U(t, \overline{x}(t)), \textrm{ a.e. }t\in J, \\ \overline{f}(t)=f(t, \overline{x}(t), \overline{u}(t)), \textrm{ a.e. }t\in J. \end{array}\right. \end{matrix}$
$\begin{equation*} (\overline{x}, \overline{u})\in\mathfrak{A}(J, x_0). \end{equation*}$
最后, 令 $ \{x^k(\cdot)\}_{k\geq1}\subset\mathfrak{X}(J, x_0) $
$\begin{equation*} \|x^k\|_{C_{1-\alpha}(J, X)}\leq\gamma_0, \quad\textrm{在 }C_{1-\alpha}(J, X). \end{equation*}$
则类似于上述证明, 易知 $ \{x^k(\cdot)\}_{k\geq1} $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $ $ \{x^k(\cdot)\}_{k\geq1}\subset\mathfrak{X}(J, x_0) $ $ \{x^k(\cdot)\}_{k\geq1} $
$\begin{equation*} x^k(\cdot)\rightarrow \widehat{x}(\cdot), \quad\textrm{在 }C_{1-\alpha}(J, X). \end{equation*}$
再次利用条件 H(C), 可知 $ \widehat{x}(\cdot)\in\mathfrak{X}(J, x_0) $ . 所以, $ \mathfrak{X}(J, x_0) $ $ C_{1-\alpha}(J, X) $
推论 4.1 设条件 H(A), H(f), H(U) 和 H(C) 成立. 则对任意的 $ x_0\in X $ $ 0\leq t\leq T $ $ \mathfrak{R}(t;0, x_0) $ $ X $
定理 4.2 设 H(A), H(f), H(U) 和 H(C) 成立. 则对任意的 $ x_0\in X $ $ \mathfrak{R}(\cdot;0, x_0):J\rightarrow $
证 由定理 4.1, 可知对每个 $ x_0\in X, t\in J $ $ x(\cdot)\in\mathfrak{X}(J, x_0) $ $ \eta:[0, \infty)\rightarrow[0, \infty) $ $ \eta(0)=0 $
$\begin{equation*} \|x(t_1)-x(t_2)\|\leq\eta(|t_1-t_2|), \quad\textrm{对于 } t_1, t_2\in J. \end{equation*}$
$\begin{equation*} h(\mathfrak{R}(t_1;0, x_0), \mathfrak{R}(t_2;0, x_0))\leq\eta(|t_1-t_2|), \quad \forall t_1, t_2\in J. \end{equation*}$
所以, $ \mathfrak{R}(\cdot;0, x_0):J\rightarrow \mathcal{P}(X) $
5 时间最优控制存在性
定理 5.1 设条件 H(A), H(f), H(U), H(Q) 和 H(C) 成立, 则问题 (T) 至少存在一个解.
证 设 $ x^0\in X, (x_n(\cdot), u_n(\cdot))\in \mathfrak{B}(0, x^0), \overline{t}_n\in \mathfrak{T}(x_n(\cdot)) $
(5.1) $\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\overline{t}_n=t^*=\inf\limits_{(x(\cdot), u(\cdot))\in \mathfrak{B}(0, x^0)}\inf\mathfrak{T}(x(\cdot)). \end{equation}$
则, 由 $ \mathfrak{T}(x_n(\cdot)) $
(5.2) $\begin{equation} x_n(\overline{t}_n)\in Q(\overline{t}_n)\bigcap \mathfrak{R} (\overline{t}_n;0, x^0), \quad\forall n\geq1. \end{equation}$
利用定理 4.1, 对任意的 $ t\in J $ $ \overline{x}(\cdot)\in \mathfrak{X}(J, x^0) $ $ \{x_n(\cdot)\}_{n\geq1} $
$\begin{equation*} x_n(\cdot)\rightarrow\overline{x}(\cdot)\quad\textrm{在}\ C_{1-\alpha}(J, X). \end{equation*}$
$\begin{equation*} x_n(\overline{t}_n)\rightarrow\overline{x}(t^*)\quad\textrm{在}\ X. \end{equation*}$
(5.3) $\begin{equation} \overline{x}(t^*)\in \mathfrak{R}(t^*;0, x^0). \end{equation}$
由 (5.1) 式, 对任意的 $ \delta>0 $ $ n $
$\begin{equation*} x_n(\overline{t}_n)\in Q(\overline{t}_n)\subset Q(O_{\delta}(t^*)). \end{equation*}$
$\begin{equation} \overline{x}(t^*)\in \bigcap\limits_{\delta>0} \overline{Q(O_{\delta}(t^*))}=Q(t^*). \end{equation}$
$\begin{equation*} \overline{x}(t^*)\in Q(t^*)\bigcap \mathfrak{R} (t^*;0, x^0). \end{equation*}$
6 例子应用
设 $ X=Y=L^{2}([\pi]) $ . 考虑如下 Riemann-Liouville 分数阶热方程控制系统
(6.1) $\begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} \frac{\partial^{\frac{3}{5}}}{\partial t^{\frac{3}{5}}}x(t, z)=\frac{\partial^2}{\partial z^2} x(t, z)+Bw(t, z)+G(t, z, x(t, z)), & t\in J=[0,1], z\in[\pi], \\[2mm] w(t, z)\in \widehat{U}(t, x(t, z)), &t\in J=[0,1], z\in[\pi], \\ x(t, 0)=x(t, \pi)=0, \quad &t\in [0,1], \\ x(0, z)=x_{0}(z), \qquad \quad& z\in[\pi], \end{array}\right. \end{equation}$
其中 $ \frac{\partial^{\alpha}}{\partial t^{\alpha}} $ $ \alpha=\frac{3}{5} $ $ x(t, z) $ $ z\in [\pi] $ $ t\in [0,1]$
定义 $ A:D(A)\subset X\rightarrow X $ $ Ax=x_{zz} $ $ D(A) $
$\begin{equation*} \{x\in X:x, x_z \textrm{ 是绝对连续的, } x_{zz}\in X, x(t, 0)=x(t, \pi)=0\}. \end{equation*}$
$\begin{equation*} Ax=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\langle x, e_n\rangle e_n, x\in D(A), \end{equation*}$
其中, $ e_n(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nz, 0\leq x\leq \pi (n=1, 2, \cdots), $ $ X $ $ \langle\cdot, \cdot\rangle $ $ L^2([\pi], \mathbb{R})\times L^2([\pi], \mathbb{R}) $ $ A $ $ X $ $ T(t) $ $ t>0 $
$\begin{equation*} T(t)x=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}t}\langle x, e_n\rangle e_n, x\in X. \end{equation*}$
定义 $ x(t)(z)=x(t, z) $ $ w(t)(z)=w(t, z) $ . 令
$ F(t, x(t, z), w(t, z)) =Bw(t, z)+G(t, z, x(t, z)).$
则 $ F(t, x(t), w(t)) (z) =F(t, x(t, z), w(t, z)) $ $ \widehat{U}(t, x(t))(z)=\widehat{U}(t, x(t, z)) $ . 从而系统(6.1)可以写成形如系统(1.1)的抽象形式. 设 $ \widehat{U}:[0,1] \times X\rightarrow \mathcal{P}(Y) $
H(F) 设函数 $ F:J\times X\times Y\rightarrow X $
(i) $ F:J\times X\times Y\rightarrow X $ $ t $ $ (x, w)\in X\times Y $ $ t\in J $
(ii) 存在 $ \overline{L}>0 $
$\begin{eqnarray*} &&\|F(t, x_1, w)-F(t, x_2, w)\|\leq \overline{L}\|x_1-x_2\| \textrm{a.e.} t\in J, \textrm{对所有的} x_1, x_2\in X\\ &&\|F(t, x, w)\|\leq \overline{L}\quad\textrm{对所有的}\ (t, x)\in J\times X\times Y. \end{eqnarray*}$
H(Û) 反馈集值映射 $ \widehat{U}:J\times X\rightarrow \mathcal{P}(Y) $
(i) 对所有的 $ (t, x)\in J\times X $ $ \theta\in L^2(J, R^+) $ $ L_w>0 $
$\begin{equation*} \|\widehat{U}(t, x)\|\leq\theta(t)+L_w\|x\|_X; \end{equation*}$
(ii) 对于 a.e. $ t\in J, x\in X $ $ \widehat{U}(t, x) $
$\begin{equation*} \bigcap_{\delta>0}\overline{\textrm{co}}\widehat{U}(O_{\delta}(t, x))=\widehat{U}(t, x). \end{equation*}$
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... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
1
1974
... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
Time optimal control for semilinear fractional evolution feedback control systems
1
2019
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Properties of the set of admissible "state control" part for a class of fractional semilinear evolution control systems
1
2021
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
On the "bang-bang" principle for nonlinear evolution hemivariational inequalities control systems
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2019
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Relaxation in nonconvex optimal control for nonlinear evolution hemivariational inequalities
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2019
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Weakly singular discrete gronwall inequalities
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1986
... 引理 2.2 [7 ,10 ] 设 $ \beta>0, a(t) $ $ [b] $ $ b(t) $ $ [b] $ $ b(t)\leq M $ $ y(t) $ $ [b] $
Time-Optimal control of solutions of operational differential equations
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... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
A fractional calculus approach of self-similar protein dynamics
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1995
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations
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1981
... 引理 2.2 [7 ,10 ] 设 $ \beta>0, a(t) $ $ [b] $ $ b(t) $ $ [b] $ $ b(t)\leq M $ $ y(t) $ $ [b] $
Measurable relations
1
1975
... 设 $ (\Omega, \Sigma) $ $ (X, d) $ $ C\subseteq X $ $ F^{-1}(C)=\{t\in \Omega:F(t)\cap C\neq\emptyset\}\in \Sigma $ $ F:\Omega\rightarrow \mathcal{P}(X) $ $ F:\Omega\times X\rightarrow \mathcal{P}_f(X) $ $ F $ $ F^{-1}(E)\in\Sigma\otimes\mathcal{B}_{X} $ $ \Sigma\otimes\mathcal{B}_{X} $ $ A\times B $ $ \sigma $ - 代数, $ A\in\Sigma $ $ B\in\mathcal{B}_{X} $ $ \mathcal{B}_{X} $ $ X $ $ \sigma $ - 代数[11 ] . ...
1
1997
... 现在给出一些集值映射的基本定义和结果, 对于详细介绍见专著[12 ] . ...
Optimal control problems for semilinear evolution equations
1
2008
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Time optimal control of semilinear control systems involving time delays
1
2015
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Theory and Applications of Fractional Differential Equations
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... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
... 首先, 给出分数阶积分和导数的定义, 详见文献[15 ,27 ]. ...
Approximate controllability of fractional order semilinear systems with bounded delay
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2012
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
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... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
4
1995
... 定义 2.4 [18 ] 设 $ E $ $ T $ $ F:T\rightarrow \mathcal{P}(E) $ $ t\in T $
... 定义 2.5 [18 ] 设 $ X $ $ Y $ $ F:X\rightarrow \mathcal{P}(Y) $
... 由H(U)(ii)和文献[18 , 第 3 章, 推论 2.18], 可知 $ U(\cdot, \overline{x}(\cdot)) $ 18 , 第 3 章,推论 2.26]), 存在控制函数 $ \overline{u}\in V $
... 是 Souslin 可测的.利用 Fillipove 定理 (见文献[18 , 第 3 章,推论 2.26]), 存在控制函数 $ \overline{u}\in V $
A partial functional differential equation of Sobolev type
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... 由文献[19 ]可知, $ A $
Relaxation in nonconvex optimal control problems described by fractional differential equations
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... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Approximate controllability of impulsive Riemann-Liouville fractional equations in Banach spaces
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2014
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Approximate controllability for a class of hemivariational inequalities
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2015
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Approximate controllability of fractional evolution systems with Riemann-Liouville fractional derivatives
1
2015
... 由定义 2.1, 2.2和文献[23 ,33 ]的结果, 得到如下概念 ...
Maximum principles for multi-term space-time variable-order fractional diffusion equations and their applications
1
2016
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Existence and controllability results for stochastic fractional evolution hemivariational inequalities
1
2015
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
1
2000
... $ \xi_{\alpha} $ $ (0, \infty) $ [26 ] , 并且 ...
2
1999
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
... 首先, 给出分数阶积分和导数的定义, 详见文献[15 ,27 ]. ...
Approximate controllability of sobolev type fractional evolution systems with nonlocal conditions
1
2017
... 另一方面, 随着分数阶微积分理论在各个领域应用研究的不断深入, 它同样也引起了控制领域相关专家和学者们广泛关注. 分数阶微分方程的控制理论之所以备受关注主要是因为它已经成为一种在解决各种实际数学模型问题强有力工具. 但是, 它真正进入学术领域是在十九世纪, 从 Tustin 在研究多目标位置控制时第一次引入分数阶控制以来, 分数阶控制理论得到了飞速的发展. 值得注意的是, 分数阶控制系统的研究已经成为一个新兴而又活跃的研究领域. 例如, 文献[21 ,22 ,25 ,28 ]考虑了分数阶微分系统的可控性, 文献[13 ,20 ]考虑分数阶微分系统的最优控制, 而 Jeong 和 Son[14 ] 研究了分数阶微分系统的时间最优控制. ...
Fractional order differential switched systems with coupled nonlocal initial and impulsive conditions
1
2017
... 随着科学技术的不断发展, 从上世纪九十年代以来, 人们发现自然界中越来越多的问题用整数阶微分方程的思想难以刻画解决, 但是用分数阶微积分的方法却很容易解决. 最近, 分数阶微分方程已经成为一个重要的研究领域. 许多研究人员发现许多自然现象都可以用分数阶微分系统来描述. 更准确地说, 分数阶微分方程已被广泛应用于物理、化学过程和工程的模型. 因此, 大量的研究人员正在关注分数阶微分方程的理论[3 ⇓ ⇓ -6 ,9 ,15 ,16 ,24 ,27 ,29 ] . ...
Optimal feedback control for semilinear fractional evolution equations in Banach spaces
1
2012
... 引理 4.2 [30 ,引理 3.5] 设 $ T(t)(t\geq0) $ $ X $ $ C_0 $ - 半群. 则对任意的 $ p>\frac{1}{\alpha} $
1
1972
... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
Time optimal controls for semilinear distributed parameter systems-existence theory and necessary conditions
2
1991
... 时间最优控制问题也被称为最小时间控制问题、自由最终时间最优控制问题或 Bang-Bang 控制问题. 这是同一类最优控制问题的不同定义, 其目的是将系统初始状态在控制作用下最短的时间内达到给定的最终状态. Lasalle[17 ] 在 1960 第一次展开研究之后, Berkovitz[2 ] 和 Warga[31 ] 研究了有限维情况下的时间最优控制, Barbu[1 ] , Fattorini[8 ] 和 Yong[32 ] 讨论了无限维情况下的时间最优控制. 然而, 对于 Riemann-Liouville 由分数阶线性微分方程驱动的反馈控制系统的时间最优控制问题研究鲜有学者涉足研究. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具, 本文旨在初步探究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的反馈控制系统的时间最优控制问题. ...
... 引理 4.1 [32 ,命题 2.1] 设 $ U:J \times X \to \mathcal{P}( V ) $ $ f\left( {t, x, u} \right) $ $ ( {x, u} ) $ $ t \in J $ $ f\left( {t, x, U(t, x)} \right) $
Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations
2
2010
... 由定义 2.1, 2.2和文献[23 ,33 ]的结果, 得到如下概念 ...
... 引理 2.1 [33 ,引理 3.2-3.4] 算子 $ T_{\alpha}(t) $
