1 引言
(1.1) $\begin{equation}u_t-u_{xxt}-2u^2u_x+3u_{x}u_{xx}-uu_{xxx}=0,\end{equation}$
(1.2) $\begin{equation}u_t+2ku_x-u_{xxt}+(b+1)u^nu_x-bu_xu_{xx}-uu_{xxx}=0\end{equation}$
的特殊情况, 即方程(1.2)中参数 $b=-3$ $k=0$ $n=2$ .
当 $b=2$ $n=1$ [1 ] 在 1993 年提出的著名浅水波方程 CH 方程.当 $k=0$ [1 ] 提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解.
CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系.
本文利用定性分析及分支方法研究了方程(1.1)孤立波和周期波的存在性及其显式表达式, 并发现了不同于 $b>0$
2 行波系统和分支相图
在本节中, 先利用行波变换推导出方程(1.1)的行波系统, 再研究了该系统的奇点性质及分支曲线, 最后得到了系统的分支相图.
2.1 行波系统及其动力学分析
假设波速 $c$ $u=\varphi(\xi)$ $\xi=x-c t$
(2.1) $\begin{equation} -c\varphi'+c\varphi'''-2\varphi^2\varphi'+3\varphi'\varphi''-\varphi\varphi'''=0.\end{equation}$
对方程(2.1)关于 $\varphi$
$\begin{equation*}(\varphi-c)\varphi''=g-c\varphi-\frac{2}{3}\varphi^3+2(\varphi')^2,\end{equation*}$
其中 $g$ $y=\varphi'$
(2.2) $\begin{equation}\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm {d}\varphi}{\mathrm {d}\xi}=y,\\[3mm]\displaystyle \frac{\mathrm {d}y}{\mathrm {d}\xi}=\frac{g-c\varphi-\frac{2}{3}\varphi^3+2y^2}{\varphi-c}.\end{array}\right.\end{equation}$
行波系统(2.2)具有一条奇异直线 $\varphi=c$ $\rm {d}\tau=\frac{\mathrm {d}\xi}{\varphi-c}$
(2.3) $\begin{equation}\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\mathrm {d}\varphi}{\mathrm {d}\tau}=(\varphi-c)y,\\[3mm]\displaystyle \frac{\mathrm {d}y}{\mathrm {d}\tau}=g-c\varphi-\frac{2}{3}\varphi^3+2y^2.\end{array}\right.\end{equation}$
显而易见, 行波系统 (2.2) 和 (2.3) 具有相同的首次积分
(2.4) $\begin{equation}H(\varphi,y)=h=(\varphi-c)^{-4}\left\{y^2-\frac{4}{3}\left[(\varphi-c)^3+\frac{\bar{a}_2}{2}(\varphi-c)^2+\frac{\bar{a}_1}{3}(\varphi-c)+\frac{\bar{a}_0}{4}\right]\right\},\end{equation}$
$\begin{equation*}\bar{a}_2= 3c, \ \ \bar{a}_1= \frac{3}{2}(2c^2+c),\ \ \bar{a}_0= \frac{1}{2}(2c^3+3c^2-3g),\end{equation*}$
相同的首次积分 $H(\varphi,y)$ $\varphi=c$
根据系统 (2.3) 的第一个方程, 易得该系统的奇点在 $\varphi$ $\varphi=c$
$\begin{align*}f(\varphi)=g-c\varphi-\frac{2}{3}\varphi^3,\ \ f_0(\varphi)=-c\varphi-\frac{2}{3}\varphi^3.\end{align*}$
$\begin{equation*}f_0'(\varphi)=-c-2\varphi^2\end{equation*}$
易知, $f_0^{\prime}(\varphi)$ $(\pm \varphi_0,0)$ $ \varphi_0=\sqrt{-\frac{c}{2}}$ $(\pm \varphi_0,f(\pm \varphi_0))$ $f(\varphi)$
由系统 (2.3) 的奇点个数及性质, 可得该系统有四条分支曲线 $g_1(c)$ $-g_1(c)$ $g_2(c)$ $g_3(c)$
$\begin{align*}&g_1(c)=\frac{1}{6}(-2c)^{\frac{3}{2}},\ g_2(c)=\frac{2}{3}c^3+c^2,\\&g_3(c)=\frac{1}{24}\left(12c^2-8c^3+9c^2\sqrt{c^2-4c}-(c^2-4c)^{\frac{3}{2}} \right).\end{align*}$
分支曲线 $g_2(c)$ $g_1(c)$ $(c_1,g_1(c_1))$ $(0,0)$ $g_2(c)$ $-g_1(c)$ $(c_2,g_2(c_2))$ $(0,0)$ $g_3(c)$ $g_1(c)$ $(c_1,g_1(c_1))$ $(0,0)$ $g_3(c)$ $g_2(c)$ $(c_1,g_1(c_1))$ $(0,0)$ $c_1=-\frac{1}{2}, c_2=-2$ .
为了说明系统 (2.3) 的奇点情况, 首先计算在 $\varphi$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$ $\varphi_3\le\varphi_2\le\varphi_1$ ) ,
1) 当 $g>g_1(c)$ $g<-g_1(c)$ $f(\varphi)=0$
$\begin{equation*}\varphi_1= \frac{(6g-\sqrt{\Delta})^{\frac{1}{3}}+(6g+\sqrt{\Delta})^{\frac{1}{3}}}{2},\end{equation*}$
2) 当 $g=g_1(c)$ $f(\varphi)=0$
$\begin{eqnarray*}\varphi_1=-\frac{3g}{c},\ \varphi_2= \varphi_3=\frac{3g}{2c}.\end{eqnarray*}$
3) 当 $g=-g_1(c)$ $f(\varphi)=0$
$\begin{eqnarray*}\varphi_3=-\frac{3g}{c},\ \varphi_1= \varphi_2=\frac{3g}{2c}.\end{eqnarray*}$
4) 当 $-g_1(c)<g<g_1(c)$ $f(\varphi)=0$
$\begin{align*}&\varphi_1=\sqrt{-2c}\cos\frac{\theta}{3},\\&\varphi_2=-\sqrt{-\frac{c}{2}}\left(\cos\frac{\theta}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right),\\&\varphi_3=-\sqrt{-\frac{c}{2}}\left(\cos\frac{\theta}{3}+\sqrt{3}\sin\frac{\theta}{3}\right),\end{align*}$
其中 $\theta=\arccos\left(\frac{3g}{\sqrt{2}(-c)^{\frac{3}{2}}}\right)$ .
事实上, 由上述奇点分析可得 $f(\varphi)$ 图1 所示).
图1
此外, 当 $g\leq g_2(c)$ $\varphi=c$ $(c,\pm y_0)$
$\begin{equation*}y_0=\sqrt{\frac{1}{3}c^3+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{2}g}.\end{equation*}$
因此, $(\varphi_i,0) (i=1,2,3)$ $(c,\pm y_0)$
下面研究系统 (2.3) 的奇点性质. 系统 (2.3) 的线性化系统有如下 Jacobi 矩阵
$\begin{equation*}J(\varphi,y)=\begin{pmatrix} y & \varphi-c \\ f'(\varphi) & 4y \end{pmatrix},\end{equation*}$
$\begin{equation*}|J-\lambda I|=\begin{vmatrix} y-\lambda & \varphi-c \\ f'(\varphi) & 4y-\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-y^2-(\varphi-c)f'(\varphi)=0.\end{equation*}$
因此, 在 $\varphi$ $(\varphi_i,0)$
$\begin{equation*}\lambda_{\pm}(\varphi_i,0)=\pm \sqrt{(\varphi_i-c) f'(\varphi_i)} \quad (i=1,2,3).\end{equation*}$
同时, 在奇直线 $\varphi=c$ $(c,\pm y_0)$
$\begin{align*}&\lambda_1(c,y_0)=y_0,\ \lambda_2(c,y_0)=4y_0,\\&\lambda_1(c,-y_0)=-y_0,\ \lambda_2(c,-y_0)=-4y_0.\end{align*}$
通过系统 (2.3) 奇点的特征值分析, 由平面定性理论可知, 当 $(\varphi_i-c) f'(\varphi_i)>0$ $(\varphi_i,0)$ $(\varphi_i-c) f'(\varphi_i)=0$ $(\varphi_i,0)$ $(\varphi_i-c) f'(\varphi_i)<0$ $(\varphi_i,0)$ $(c, y_0)$ $(c, -y_0)$
2.2 系统 (2.3) 的分支相图
由 2.1 小节中系统 (2.3) 的动力学分析, 本小节给出了系统奇点的具体分类, 并进一步得到了在 $c-g$
(1) 当 $g>g_1(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_1>c$ $(\varphi_1, 0)$
(2) 当 $g=g_1(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2=\varphi_3$
$\begin{align*}&\mbox{若}\ 0<c<c_1,\ \ \varphi_3=\varphi_2<c<\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c=c_1,\ \ \varphi_3=\varphi_2=c<\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c>c_1, \ \ c<\varphi_3=\varphi_2<\varphi_1.\end{align*}$
所以, 在系统 (2.3)中 $(\varphi_1, 0)$ $(\varphi_2, 0)$
(3) 当 $-g_1(c)<g<g_1(c)$ $g>g_2(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$
$\begin{align*}&\mbox{若}\ 0>c>c_1,\ \ \varphi_3<\varphi_2<c<\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c<c_1,\ \ \varphi_1<\varphi_2<\varphi_3<c.\end{align*}$
因此, 若 $0>c>c_1$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$ $c<c_1$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_3,0)$ $(\varphi_2,0)$
(4) 当 $-g_1(c)<g<g_1(c)$ $g=g_2(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$
$\begin{align*}&\mbox{若}\ c_1<c<0,\ \ \varphi_3<\varphi_2=c<\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c_2<c<c_1,\ \ \varphi_3=c<\varphi_2<\varphi_1.\end{align*}$
所以, 我们可以得到结论: 若 $c_1<c<0$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$ $c_2<c<c_1$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$
(5) 当 $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$
$\varphi_3<c<\varphi_2<\varphi_1,$
这意味着, 在系统 (2.3)中 $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$
(6) 当 $g=g_3(c)$ $c_1<c<0$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$ $\varphi_3<c<\varphi_2<\varphi_1$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$
当 $g=g_3(c)$ $c<c_1$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_1>c$ $(\varphi_1, 0)$
(7) 当 $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$ $\varphi_2$ $\varphi_3$
$\begin{equation*}\mbox{若}\ c_2<c<0,\ \ \varphi_1<\varphi_2<c<\varphi_3.\end{equation*}$
这意味着, 在系统 (2.3)中 $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_2,0)$ $(\varphi_3,0)$
(8) 当 $g=-g_1(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1=\varphi_2$ $\varphi_3$
$\begin{align*}&\mbox{若}\ c_2<c<0,\ \ \varphi_1<c<\varphi_2=\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c=c_2,\ \ \varphi_3=c<\varphi_2=\varphi_1,\\&\mbox{若}\ c<c_2,\ \ c<\varphi_3<\varphi_2=\varphi_1.\end{align*}$
通过不等式和对应特征值, 可知若 $c_2<c<0$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_3,0)$ $c=c_2$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_3,0)$ $c<c_2$ $(\varphi_1,0)$ $(\varphi_3,0)$
(9) 当 $g<-g_1(c)$ $f(\varphi)$ $\varphi_1$
$\begin{align*}&\mbox{若}\ g<g_2(c),\ \ \varphi_1<c,\\&\mbox{若}\ g=g_2(c),\ \ \varphi_1=c,\\&\mbox{若}\ g>g_2(c),\ \ \varphi_1>c.\end{align*}$
因此, 奇点 $(\varphi_1,0)$ $g<-g_1(c)$ $g<g_2(c)$ $(\varphi_1,0)$ $g=g_2(c)<-g_1(c)$ $(\varphi_1,0)$ $g_2(c)<g<-g_1(c)$ $(\varphi_1,0)$
(10) 当 $g\le g_2(c)$ $(c, \pm y_0)$ $(c, y_0)$ $(c, -y_0)$
根据系统 (2.3) 的奇点性质 (1)-(10) 以及分支曲线 $g_1(c)$ $-g_1(c)$ $g_2(c)$ $c-g$ 图2 所示. 从奇点性质 (4)-(10) 和分支相图, 不难看出系统 (2.3) 有无限多闭轨穿过奇异直线 $\varphi=c$ .
图 2
3 孤立波的存在性与表达式
本节讨论系统 (2.3) 中孤立波的存在性, 并给出了存在的参数条件及表达式. 由分支相图以及动力系统分支理论中同宿轨对应方程(1.1)的孤立波, 可以得到以下命题.
命题 3.1 对于给定波速 $c (c<0)$ $g$
情形 A $g_2(c)<g<g_1(c)$ $c_1<c<0$ .
情形 B $g=g_2(c)$ $c_1<c<0$ .
情形 C $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$ .
情形 D $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$ .
情形 E $g_2(c)<g<g_1(c)$ $g>-g_1(c)$ $c<c_1$ .
情形 F $g=g_2(c)$ $c_2<c<c_1$ .
情形 G $g=g_2(c)$ $c=c_2$ .
情形 H $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$ .
不难看出, 当 $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$
$\begin{align*}& H_1=H(\varphi_1,0),\ H_2=H(\varphi_2,0),\ H_3=H(\varphi_3,0),\\& w_1=\sqrt{4-6\bar{a}_2H_3-18c^2H_3^2-12H_3\varphi_3-18H_3^2\varphi_3^2+12cH_3+36cH_3^2\varphi_3^2},\\& w_2=\sqrt{4-6\bar{a}_2H_2-18c^2H_2^2-12H_2\varphi_2-18H_2^2\varphi_2^2+12cH_2+36cH_2^2\varphi_2^2},\\&\alpha_1=\alpha_4=\frac{-2+6cH_3-3H_3\varphi_3+w_1}{3H_3},\ \alpha_2=\alpha_5=\frac{-2+6cH_3-3H_3\varphi_3-w_1}{3H_3},\\ & \alpha_3=\frac{-4+9cH_3-6H_3\varphi_3}{3H_3},\ \alpha_6=\alpha_8=\frac{-2+6cH_2-3H_2\varphi_2+w_2}{3H_2}, \\& \alpha_7=\alpha_9=\frac{-2+6cH_3-3H_2\varphi_2-w_2}{3H_2},\ \alpha_{10}=\frac{-4+9cH_2-6H_2\varphi_2}{3H_2}.\end{align*}$
命题 3.2 对于不同的波速 $c (c<0)$ $g$
(1) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $c_1<c<0$
(3.1) $\begin{equation}u_1(\xi)=\varphi_3+\frac{4\mu_1 a_1 {\rm e}^{-\eta_1 \xi}}{\mu_1^2 {\rm e}^{-2\eta_1 \xi}+b_1^2-2\mu_1 b_1 {\rm e}^{-\eta_1 \xi}-4a_1},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_1=(\alpha_1-\varphi_3)(\alpha_2-\varphi_3), \ b_1=2\varphi_3-\alpha_1-\alpha_2,\\&\eta_1=\sqrt{a_1H_3},\ \chi_1=(\alpha_2-\varphi_3)^2+b_1(\alpha_2-\varphi_3)+a_1, \\&\mu_1=\frac{2\sqrt{a_ 1\chi_1}+b_1(\alpha_2-\varphi_3)+2a_1}{\alpha_2-\varphi_3}.\end{align*}$
(2) 当 $g=g_2(c)$ $c_1<c<0$
(3.2) $\begin{equation}u_2(\xi)=\varphi_3+\frac{4\mu_2 a_2 {\rm e}^{-\eta_2 \xi}}{\mu_2^2 {\rm e}^{-2\eta_2 \xi}+b_2^2-2\mu_2 b_2 {\rm e}^{-\eta_2 \xi}-4a_2},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_2=(c-\varphi_3)(\alpha_3-\varphi_3), \ b_2=2\varphi_3-c-\alpha_3,\\&\eta_2=\sqrt{a_2H_3},\ \chi_2=(c-\varphi_3)^2+b_2(c-\varphi_3)+a_2, \\&\mu_2=\frac{2\sqrt{a_ 2\chi_2}+b_2(c-\varphi_3)+2a_2}{c-\varphi_3}.\end{align*}$
(3) 当 $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$
(3.3) $\begin{equation}u_3(\xi)=\varphi_3+\frac{4\mu_3 a_3 {\rm e}^{-\eta_3 \xi}}{\mu_3^2 {\rm e}^{-2\eta_3 \xi}+b_3^2-2\mu_3 b_3 {\rm e}^{-\eta_3 \xi}-4a_3},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_3=(\varphi_3-\alpha_4)(\varphi_3-\alpha_5), \ b_3=2\varphi_3-\alpha_4-\alpha_5,\\&\eta_3=\sqrt{a_3H_3},\ \chi_3=(\alpha_5-\varphi_3)^2+b_3(\alpha_5-\varphi_3)+a_3, \\&\mu_3=\frac{2\sqrt{a_ 3\chi_3}+b_3(\alpha_5-\varphi_3)+2a_3}{\alpha_5-\varphi_3}.\end{align*}$
(4) 当 $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$
(3.4) $\begin{equation}u_4(\xi)=\varphi_2+\frac{4\mu_4 a_4 {\rm e}^{\eta_4 \xi}}{\mu_4^2 {\rm e}^{2\eta_4 \xi}+b_4^2+4a_4-2\mu_4 b_4 {\rm e}^{\eta_4 \xi}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_4=(\alpha_6-\varphi_2)(\varphi_2-\alpha_7), \ b_4=\alpha_6+\alpha_7-2\varphi_2,\\&\eta_4=\sqrt{-a_4H_2},\ \chi_4=-(\alpha_6-\varphi_2)^2+b_4(\alpha_6-\varphi_2)+a_4, \\&\mu_4=\frac{2\sqrt{a_4\chi_4}+b_4(\alpha_6-\varphi_2)+2a_4}{\alpha_6-\varphi_2}.\end{align*}$
(5) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $g>-g_1(c)$ $c<c_1$
(3.5) $\begin{equation}u_5(\xi)=\varphi_2-\frac{4\mu_5 a_5 {\rm e}^{\eta_5 \xi}}{\mu_5^2 {\rm e}^{2\eta_5 \xi}+b_5^2-2\mu_5 b_5 {\rm e}^{\eta_5 \xi}-4a_5},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_5=(\varphi_2-\alpha_8)(\varphi_2-\alpha_9), \ b_5=\alpha_8+\alpha_9-2\varphi_2,\\&\eta_5=\sqrt{a_5H_2},\ \chi_5=(\varphi_2-\alpha_9)^2+b_5(\varphi_2-\alpha_9)+a_5, \\&\mu_5=\frac{2\sqrt{a_5\chi_5}+b_5(\varphi_2-\alpha_9)+2a_5}{\varphi_2-\alpha_9}.\end{align*}$
(6) 当 $g=g_2(c)$ $c_2<c<c_1$
(3.6) $\begin{equation}u_6(\xi)=\varphi_2-\frac{4\mu_6 a_6 {\rm e}^{\eta_6 \xi}}{\mu_6^2 {\rm e}^{2\eta_6 \xi}+b_6^2-2\mu_6 b_6 {\rm e}^{\eta_6 \xi}-4a_6},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_6=(\varphi_2-c)(\varphi_2-\alpha_{10}), \ b_6=c+\alpha_{10}-2\varphi_2,\\&\eta_6=\sqrt{a_6 H_2},\ \chi_6=(\varphi_2-c)^2+b_6(\varphi_2-c)+a_6, \\&\mu_6=\frac{2\sqrt{a_6\chi_6}+b_6(\varphi_2-c)+2a_6}{\varphi_2-c}.\end{align*}$
(7) 当 $g=g_2(c)$ $c=c_2=-2$
(3.7) $\begin{equation}u_7(\xi)=1-\frac{12}{4-9H_1 \xi^2}.\end{equation}$
(8) 当 $-g_1(c)<g<g_2(c)$ $c_2<c<0$
(3.8) $\begin{equation}u_8(\xi)=\varphi_2-\frac{4\mu_8 a_8 {\rm e}^{\eta_8 \xi}}{\mu_8^2 {\rm e}^{2\eta_8 \xi}+b_8^2+4a_8-2\mu_8b_8 {\rm e}^{\eta_8 \xi}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_8=(\varphi_2-\alpha_6)(\alpha_7-\varphi_2), \ b_8=2\varphi_2-\alpha_6-\alpha_7,\\&\eta_8=\sqrt{-a_8H_2},\ \chi_8=(\varphi_2-\alpha_7)^2+b_8(\varphi_2-\alpha_7)+a_8, \\&\mu_8=\frac{2\sqrt{a_8\chi_8}+b_8(\varphi_2-\alpha_7)+2a_8}{\varphi_2-\alpha_7}.\end{align*}$
为了方便给出命题3.2中孤立波解的推导过程, 我们做出情形 A-H 下行波系统 (2.3) 的同宿轨道相图, 如图3 .
图3
(1) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_1$ 图3A ), $\Gamma_1$
$\begin{equation*}y^2=H(\varphi_3,0)(\alpha_1-\varphi)(\alpha_2-\varphi)(\varphi-\varphi_3)^2,\ \mbox{且}\ \varphi_3<\varphi<\alpha_2<\alpha_1.\end{equation*}$
易得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_1$
(3.9) $\begin{equation}\int_{\alpha_2}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(s-\varphi_3)\sqrt{(\alpha_1-s)(\alpha_2-s)}}=\sqrt{H(\varphi_3,0)}|\xi|.\end{equation}$
在(3.9)式中, 计算积分并关于 $\varphi$
$\begin{equation*}\varphi=\varphi_3+\frac{4\mu_1 a_1 {\rm e}^{-\eta_1 \xi}}{\mu_1^2 {\rm e}^{-2\eta_1 \xi}+b_1^2-2\mu_1 b_1 {\rm e}^{-\eta_1 \xi}-4a_1},\end{equation*}$
由 $u=\varphi(\xi)$ $u_1(\xi)$
(2) 当 $g=g_2(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_2$ 图3B ), $\Gamma_2$
$\begin{equation*}y^2=H(\varphi_3,0)(\alpha_3-\varphi)(c-\varphi)(\varphi-\varphi_3)^2,\ \mbox{且}\ \varphi_3<\varphi<c<\alpha_3.\end{equation*}$
计算可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_2$
(3.10) $\begin{equation}\int_{c}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(s-\varphi_3)\sqrt{(\alpha_3-s)(c-s)}}=\sqrt{H(\varphi_3,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (3.10) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_2(\xi)$
(3) 当 $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_3$ 图3C ), $\Gamma_3$
$\begin{equation*}y^2=H(\varphi_3,0)(\alpha_4-\varphi)(\alpha_5-\varphi)(\varphi-\varphi_3)^2,\ \mbox{且}\ \varphi_3<\varphi<\alpha_5<\alpha_4.\end{equation*}$
由上式可知 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_3$
(3.11) $\begin{equation}\int_{\alpha_5}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(s-\varphi_3)\sqrt{(\alpha_4-s)(\alpha_5-s)}}=\sqrt{H(\varphi_3,0)}|\xi|.\end{equation}$
在(3.11)式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_3(\xi)$
(4) 当$-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$ $\Gamma_4$ 图3D ) 和$\Gamma_8$ 图3H ), 分别有如下表达式
$\begin{equation*}\Gamma_4:\ y^2=-H(\varphi_2,0)(\alpha_6-\varphi)(\varphi-\alpha_7)(\varphi-\varphi_2)^2,\ \mbox{且}\ \alpha_7<\varphi_2<\varphi<\alpha_6,\end{equation*}$
$\begin{equation*}\Gamma_8:\ y^2=-H(\varphi_2,0)(\varphi_2-\varphi)^2(\alpha_6-\varphi)(\varphi-\alpha_7),\ \mbox{且}\ \alpha_7<\varphi<\varphi_2<\alpha_6.\end{equation*}$
同理, 分别将 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_4$ $\Gamma_8$
(3.12) $\begin{equation}\int_{\varphi}^{\alpha_6}\frac{\mathrm{d}s}{(s-\varphi_2)\sqrt{(\alpha_6-s)(s-\alpha_7)}}=\sqrt{-H(\varphi_2,0)}|\xi|,\end{equation}$
(3.13) $\begin{equation}\int_{\alpha_7}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_2-s)\sqrt{(\alpha_6-s)(s-\alpha_7)}}=\sqrt{-H(\varphi_2,0)}|\xi|,\end{equation}$
关于 $\varphi$ $u_4(\xi)$ $u_8(\xi)$
(5) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $g>-g_1(c)$ $c<c_1$ $\Gamma_5$ 图3E ), $\Gamma_5$
$\begin{equation*}y^2=H(\varphi_2,0)(\varphi-\varphi_2)^2(\varphi-\alpha_8)(\varphi-\alpha_9),\ \mbox{且}\ \alpha_9<\alpha_8<\varphi<\varphi_3.\end{equation*}$
易得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_5$
(3.14) $\begin{equation}\int_{\alpha_8}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_2-s)\sqrt{(s-\alpha_8)(s-\alpha_9)}}=\sqrt{H(\varphi_2,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (3.14) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_5(\xi)$
(6) 当 $g=g_2(c)$ $c_2<c<c_1$ $\Gamma_6$ 图3F ), $\Gamma_6$
$\begin{equation*}y^2=H(\varphi_2,0)(\varphi_2-\varphi)^2(\varphi-c)(\varphi-\alpha_{10}),\ \mbox{且}\ \alpha_{10}<c<\varphi<\varphi_2.\end{equation*}$
计算上式可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_6$
(3.15) $\begin{equation}\int_{c}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_2-s)\sqrt{(s-c)(s-\alpha_{10})}}=\sqrt{H(\varphi_2,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (3.15) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_6(\xi)$
(7) 当 $g=g_2(c)$ $c=c_2=-2$ $\Gamma_7$ 图3G ), $\Gamma_7$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\varphi-c)(1-\varphi),\ \mbox{且}\ c<\varphi<\varphi_1=1.\end{equation*}$
易得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_7$
(3.16) $\begin{equation}\int_{-2}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(1-s)\sqrt{-s^2-s+2}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (3.16) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_7(\xi)$
对于给定的波速 $c (c<0)$ $g$ $u_1(\xi)$ - $u_8(\xi)$ 图. 例如, 情形 A 的$u_1(\xi)$ $c=-0.1$ $g=0.01$ $u_2(\xi)$ $c=-0.4$ $g=g_2(c)$ $u_3(\xi)$ $c=-0.2$ $g=0.02$ $u_4(\xi)$ $c=-1.5$ $g=-0.5$ $u_5(\xi)$ $c=-1$ $g=0.4$ $u_6(\xi)$ $c=-1$ $g=g_2(c)$ $u_7(\xi)$ $c=-2$ $g=g_2(c)$ $u_8(\xi)$ $c=-1$ $g=0$ 图4 .
图4
图4
方程 (1.1) 孤立波解 $u_1(\xi)$ - $u_8(\xi)$
4 周期波的表达式
本节研究了系统 (2.3) 在情形 A-G 中周期波的存在性及其显式表达式. 根据动力系统分支理论中封闭轨道对应方程 (1.1) 的光滑周期波, 可以得到命题 4.1. 为了方便说明命题 4.1, 给出以下记号
$\begin{align*}&w_3=\sqrt{4-6\bar{a}_2H_1-18c^2H_1^2-12H_1\varphi_1-18H_1^2\varphi_1^2+12cH_1+36cH_1^2\varphi_1^2},\\ &\alpha_{11}=\alpha_{14}=\alpha_{16}=\alpha_{18}=\frac{-2+6cH_1-3H_1\varphi_1-w_3}{3H_1},\\ &\alpha_{12}=\alpha_{15}=\alpha_{17}=\alpha_{19}=\frac{-2+6cH_1-3H_1\varphi_1+w_3}{3H_1},\\ &\alpha_{13}=\alpha_{20}=\frac{-4+9cH_1-6H_1\varphi_1}{3H_1},\ H=H(\alpha_{21},0),\\ \ & \rho=-216H-32,\ \alpha_{21}=\frac{1}{18H}\left((-8-36H)\frac{2^{\frac{8}{3}}(27H+4)}{\rho^{\frac{1}{3}}}+2^{\frac{4}{3}}\rho^{\frac{1}{3}} \right).\end{align*}$
命题 4.1 对于不同的波速 $c (c<0)$ $g$
(1) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $c_1<c<0$
(4.1) $\begin{equation}u_9(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_9}{\sqrt{q_1} \sin{(\mu_9-\eta_9 \xi)}-b_9},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_9=(\alpha_{11}-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{12}), \ b_9=2\varphi_1-\alpha_{11}-\alpha_{12},\\&\eta_9=\sqrt{a_9H_1},\ q_1=b_9^2+4a_9, \\&\mu_9=\arcsin\left(\frac{b_9(\varphi_1-\alpha_{11})+2a_9}{\sqrt{q_1}(\varphi_1-\alpha_{11})}\right).\end{align*}$
(2) 当 $g=g_2(c)$ $c_1<c<0$
(4.2) $\begin{equation}u_{10}(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_{10}}{\sqrt{q_2} \sin{(\mu_{10}-\eta_{10} \xi)}-b_{10}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_{10}=(c-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{13}), \ b_{10}=2\varphi_1-c-\alpha_{13},\\&\eta_{10}=\sqrt{a_{10}H_1},\ q_2=b_{10}^2+4a_{10}, \\&\mu_{10}=\arcsin\left(\frac{b_{10}(\varphi_1-c)+2a_{10}}{\sqrt{q_2}(\varphi_1-c)}\right).\end{align*}$
(3) 当 $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$
(4.3) $\begin{equation}u_{11}(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_{11}}{\sqrt{q_3} \sin{(\mu_{11}-\eta_{11} \xi)}-b_{11}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_{11}=(\alpha_{15}-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{14}), \ b_{11}=2\varphi_1-\alpha_{14}-\alpha_{15},\\&\eta_{11}=\sqrt{a_{11} H_1},\ q_3=b_{11}^2+4a_{11}, \\&\mu_{11}=\arcsin\left(\frac{b_{11}(\varphi_1-\alpha_{14})+2a_{11}}{\sqrt{q_2}(\varphi_1-\alpha_{14})}\right).\end{align*}$
(4) 当 $-g_1(c)<g<g_3(c)$ $g<g_2(c)$ $c_2<c<0$
(4.4) $\begin{equation}u_{12}(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_{12}}{\sqrt{q_4} \sin{(\mu_{12}-\eta_{12} \xi)}-b_{12}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_{12}=(\alpha_{16}-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{17}), \ b_{12}=2\varphi_1-\alpha_{16}-\alpha_{17},\\&\eta_{12}=\sqrt{a_{12}H_1},\ q_4=b_{12}^2+4a_{12}, \\&\mu_{12}=\arcsin\left(\frac{b_{12}(\varphi_1-\alpha_{16})+2a_{12}}{\sqrt{q_4}(\varphi_1-\alpha_{16})}\right).\end{align*}$
(5) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $g>-g_1(c)$ $c<c_1$
(4.5) $\begin{equation}u_{13}(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_{13}}{\sqrt{q_5} \sin{(\mu_{13}-\eta_{13} \xi)}-b_{13}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_{13}=(\alpha_{18}-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{19}), \ b_{13}=2\varphi_1-\alpha_{18}-\alpha_{19},\\&\eta_{13}=\sqrt{a_{13}H_1},\ q_4=b_{13}^2+4a_{13}, \\&\mu_{13}=\arcsin\left(\frac{b_{13}(\varphi_1-\alpha_{19})+2a_{13}}{\sqrt{q_5}(\varphi_1-\alpha_{19})}\right).\end{align*}$
(6) 当 $g=g_2(c)$ $c_2<c<c_1$
(4.6) $\begin{equation}u_{14}(\xi)=\varphi_1-\frac{2a_{14}}{\sqrt{q_5} \sin{(\mu_{14}-\eta_{14} \xi)}-b_{14}},\end{equation}$
$\begin{align*}&a_{14}=(c-\varphi_1)(\varphi_1-\alpha_{20}), \ b_{14}=2\varphi_1-c-\alpha_{20},\\&\eta_{14}=\sqrt{a_{14}H_1},\ q_5=b_{14}^2+4a_{14}, \\&\mu_{14}=\arcsin\left(\frac{b_{14}(\varphi_1-c)+2a_{14}}{\sqrt{q_4}(\varphi_1-c)}\right).\end{align*}$
(7) 当 $g=g_2(c)$ $c=c_2$
(4.7) $\begin{equation}u_{15}(\xi)=\frac{\alpha_{21}B-2A-(\alpha_{21}B+2A) \mathrm{cn}(\sqrt{-ABH},l)}{A+B+(A-B) \mathrm{cn}(\sqrt{-ABH},l)},\end{equation}$
$\begin{align*}&H=H(\alpha_{21},0),\\&l^2=\frac{(\alpha_{21}-c)^2-(A-B)^2}{4 A B},\\&a_1^2=-\frac{(\beta_1-\beta_2)^2}{4},\ b_1=\frac{\beta_1+\beta_2}{2},\\&A^2=(\alpha_{21}-b_1)^2+a_1^2, \ B^2=(c-b_1)^2+a_1^2, \\\end{align*}$
并且 $\alpha_{21}$ $\beta_1$ $\beta_2$
$\begin{equation*}(\varphi-c)^4+\frac{4(\varphi-c)^3}{3H}+\frac{4\bar{a}_2(\varphi-c)^2}{3H}+\frac{9\bar{a}_1(\varphi-c)}{9H}+\frac{\bar{a}_0}{3H}=(\varphi-\alpha_{21})(\varphi-c)(\varphi-\beta_1)(\varphi-\beta_2)\end{equation*}$
所确定, 计算可得 $\beta_1$ $\beta_2$
$\begin{align*}\beta_1=&\frac{729\cdot2^{\frac{1}{3}}H^3-18\left(3\cdot2^{\frac{2}{3}}\rho^{\frac{1}{3}}+2\rho^{\frac{2}{3}}-18\cdot2^{\frac{1}{3}}\right)H^2-\left(27\cdot2^{\frac{1}{3}}\rho_1+2^{\frac{11}{3}}\rho^{\frac{1}{3}}+8\rho^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{16}{3}}\right)H}{18H^2\rho^{\frac{2}{3}}}\\&+\frac{\sqrt{-6\rho_1H\left(19683\cdot2^{\frac{2}{3}}H^3+2916\left(\rho^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\right)H^2-27\rho_2H-4\rho_3\right)}}{18H^2\rho^{\frac{2}{3}}},\\\beta_2=&\frac{729\cdot2^{\frac{1}{3}}H^3-18\left(3\cdot2^{\frac{2}{3}}\rho^{\frac{1}{3}}+2\rho^{\frac{2}{3}}-18\cdot2^{\frac{1}{3}}\right)H^2-\left(27\cdot2^{\frac{1}{3}}\rho_1+2^{\frac{11}{3}}\rho^{\frac{1}{3}}+8\rho^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{16}{3}}\right)H}{18H^2\rho^{\frac{2}{3}}}\\&-\frac{\sqrt{-6\rho_1H\left(19683\cdot2^{\frac{2}{3}}H^3+2916\left(\rho^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\right)H^2-27\rho_2H-4\rho_3\right)}}{18H^2\rho^{\frac{2}{3}}},\\\end{align*}$
$\begin{align*} & \rho=-216H-32, \ \rho_1=27H^2+4H, \\ & \rho_2=27\cdot2^{\frac{2}{3}}\rho_1-48\rho^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{7}{3}}\rho^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{20}{3}},\\ & \rho_3=27\rho^{\frac{1}{3}}\rho_1+54\cdot2^{\frac{2}{3}}\rho_1-32\rho^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{7}{3}}\rho^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{17}{3}}.\end{align*}$
下面给出命题 4.1 的推导过程. 为了方便求出命题中周期波解, 给出七种情形下行波系统 (2.3) 的封闭轨道相图, 如图5 .
图5
(1) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_9$ 图5A ), $\Gamma_9$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\alpha_{11}-\varphi)(\varphi-\alpha_{12}),\ \mbox{且}\ \alpha_{12}<\varphi<\alpha_{11}<\varphi_1.\end{equation*}$
由上式可解得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_9$
(4.8) $\begin{equation}\int_{\alpha_{11}}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(\alpha_{11}-s)(s-\alpha_{12})}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.8) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_9(\xi)=\varphi$
(2) 当 $g=g_2(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_{10}$ 图5B ), $\Gamma_{10}$
(4.9) $\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(c-\varphi)(\varphi-\alpha_{13}),\ \mbox{且}\ \alpha_{13}<\varphi<c<\varphi_1.\end{equation*}$
计算可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{10}$
$\begin{equation}\int_{c}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(c-s)(s-\alpha_{13})}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.9) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{10}(\xi)$
(3) 当 $g_3(c)<g<g_2(c)$ $c_1<c<0$ $\Gamma_{11}$ 图5C ), $\Gamma_{11}$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\alpha_{14}-\varphi)(\varphi-\alpha_{15}),\ \mbox{且}\ \alpha_{15}<\varphi<\alpha_{14}<\varphi_1.\end{equation*}$
易得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{11}$
(4.10) $\begin{equation}\int_{\alpha_{14}}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(\alpha_{14}-s)(s-\alpha_{15})}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.10) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{11}(\xi)$
(4) 当 $-g_1(c)<g<g_2(c)$ $c_2<c<0$ $\Gamma_{12}$ 图5D ), $\Gamma_{12}$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\alpha_{16}-\varphi)(\varphi-\alpha_{17}),\ \mbox{且}\ \alpha_{17}<\varphi<\alpha_{16}<\varphi_1.\end{equation*}$
计算可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{12}$
(4.11) $\begin{equation}\int_{\varphi}^{\alpha_{16}}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(\alpha_{16}-s)(s-\alpha_{17})}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.11) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{12}(\xi)$
(5) 当 $g_2(c)<g<g_1(c)$ $g>-g_1(c)$ $c<c_1$ $\Gamma_{13}$ 图5E ), $\Gamma_{13}$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\alpha_{18}-\varphi)(\varphi-\alpha_{19}),\ \mbox{且}\ \alpha_{19}<\varphi<\alpha_{18}<\varphi_1.\end{equation*}$
由上式可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{13}$
(4.12) $\begin{equation}\int_{\alpha_{19}}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(\alpha_{18}-s)(s-\alpha_{19})}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.13) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{13}(\xi)$
(6) 当 $g=g_2(c)$ $c_2<c<c_1$ $\Gamma_{14}$ 图5F ), $\Gamma_{14}$
$\begin{equation*}y^2=-H(\varphi_1,0)(\varphi_1-\varphi)^2(\alpha_{20}-\varphi)(\varphi-c),\ \mbox{且}\ c<\varphi<\alpha_{20}<\varphi_1.\end{equation*}$
易得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{14}$
(4.13) $\begin{equation}\int_{c}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\varphi_1-s)\sqrt{(\alpha_{20}-s)(s-c)}}=\sqrt{-H(\varphi_1,0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.13) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{14}(\xi)$
(7) 当 $g=g_2(c)$ $c=c_2$ $\Gamma_{15}$ 图5G ), $\Gamma_{15}$
$\begin{equation*}y^2=-H(\alpha_{21},0)(\alpha_{21}-\varphi)(\varphi-c)(\varphi-\beta_1)(\varphi-\beta_2),\ \mbox{且}\ c<\varphi<\alpha_{21},\ \beta_1 \mbox{和} \beta_2 \mbox{为虚根}.\end{equation*}$
同理可得 $y$ $\frac{\mathrm{d}\varphi}{y}=\mathrm{d}\xi$ $\Gamma_{15}$
(4.14) $\begin{equation}\int_{c}^{\varphi}\frac{\mathrm{d}s}{(\alpha_{21}-s)(s-c)(s-\beta_1)(s-\beta_2))}=\sqrt{-H(\alpha_{21},0)}|\xi|.\end{equation}$
在 (4.14) 式中, 计算积分并关于 $\varphi$ $u_{15}(\xi)$
对于给定的波速 $c (c<0)$ $g$ $u_9(\xi)$ - $u_{15}(\xi)$ $u_9(\xi)$ $c=-0.2$ $g=0.04$ $u_{10}(\xi)$ $c=-0.1$ $g=g_2(c)$ $u_{11}(\xi)$ $c=-0.2$ $g=0.02$ $u_{12}(\xi)$ $c=-1$ $g=0$ $u_{13}(\xi)$ $c=-1$ $g=0.4$ $u_{14}(\xi)$ $c=-1$ $g=g_2(c)$ $u_{15}(\xi)$ $c=-2$ $g=g_2(c)$ $H=-0.5$ 图6 .
图6
图6
方程 (1.1) 周期波解 $u_9(\xi)$ - $u_{15}(\xi)$
5 总结
本文利用动力系统分支方法研究了方程 (1.1) 的分支、非线性波解及动力学特征, 并给出了孤立波解和周期波解的存在性及其精确表达式.由于方程 (1.1) 对应的奇异行波系统 (2.2) 具有一条奇异直线 $\varphi=c$ $\varphi=c$ $b>0$
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... 当 $b=2$ $n=1$ [1 ] 在 1993 年提出的著名浅水波方程 CH 方程.当 $k=0$ [1 ] 提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解. ...
... [1 ]提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解. ...
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1
1999
... 当 $b=2$ $n=1$ [1 ] 在 1993 年提出的著名浅水波方程 CH 方程.当 $k=0$ [1 ] 提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解. ...
Multi-peakon solutions of the Degasperis-Procesi equation
1
2003
... 当 $b=2$ $n=1$ [1 ] 在 1993 年提出的著名浅水波方程 CH 方程.当 $k=0$ [1 ] 提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解. ...
A new type of bounded waves for Degasperis-Procesi equations
1
2006
... 当 $b=2$ $n=1$ [1 ] 在 1993 年提出的著名浅水波方程 CH 方程.当 $k=0$ [1 ] 提出 CH 方程具有可积性并且有孤立尖波解.Cooper 和 Shepard[2 ] 研究了 CH 方程的近似孤立波解.Constantin 和 Strauss[3 ] 给出了 CH 方程孤立波的存在性及其数学解释, 并证明了 $k=0$ $b=3$ $n=1$ [4 ] 提出的 DP 方程.Lundmark 和 Szmigielski[5 ] 利用反散射法计算出 DP 方程 3 次孤立尖波解的精确表达式. Chen 和 Tang[6 ] 得到了 DP 方程的扭波解. ...
Periodic cusp wave solutions and single-solitons for the $b$ -equation
1
2005
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Nonunfiorm dependence for the Cauchy problem of the general $b$ -equation
1
2001
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Remarks on strong global solutions of the b-equation
1
2023
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
New peaked solitary wave solutions of the generalized Camassa-Holm equation
1
2004
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
A note on solitary waves for modified forms of Camassa-Holm and Degasperis-Procesi equations
2
2007
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
... [11 ]得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
New ansatz for obtaining wave solutions of the generalized Camassa-Holm equation
1
2005
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
On the instability of elliptic traveling wave solutions of the modified Camassa-Holm equation
1
2019
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Bifurcations, exact peakon, periodic peakons and solitary wave solutions of the cubic Camassa-Holm type equation
1
2023
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Explicit periodic wave solutions and their bifurcations for generalized Camassa-Holm equation
1
2010
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
New solitary wave solutions to the modified forms of Degasperis-Procesi and Camassa-Holm equations
1
2007
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
The explicit periodic wave solutions and their limit forms for a generalized $b$ -equation
1
2016
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Bifurcations of solitary waves of a simple equation
1
2020
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
The existence and bifurcation of peakon and anti-peakon to the $n$ -degree $b$ -equation
1
2018
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
Bifurcations and exact solutions in a nonlinear wave equation
0
2019
Blow-up solutions for a case of $b$ -family equations
2
2020
... CH 方程和 DP 方程引起了学者们广泛的兴趣, 在这两个方程的研究基础上,针对不同的参数 $b$ $n$ $c$ $b>1$ $n=1$ [7 ] 证明了方程(1.2)具有周期性尖波解,Li[8 ] 讨论了方程(1.2)Cauchy 问题的非均匀依赖性,Freire[9 ] 给出了方程(1.2)在 Sobolev 空间中强解的全局存在性.对于给定 $b=2$ $n=2$ [10 ] 给出了方程(1.2)的一些物理解释,Liu 和 Ouyang[11 ] 得到了 $c=2$ $c=1$ [12 ] 给出了由三角函数组成的奇异波解,Daros 和 Arruda[13 ] 研究了椭圆行波解的不稳定性.当 $b=2$ $n=3$ [14 ] 得到了三次 CH 方程多种行波解的精确表达式.当 $b=3$ $n=2$ [11 ] 得到了 $c=\frac{5}{2}$ [15 ] 研究了周期波解及其分支.当 $b\not=2$ $c=\frac{b+2}{2}$ [16 ] 得到了两种孤立波解及其表达式.当 $b\not=0,-2,-3$ [17 ] 研究了显式周期波及其极限形式.当 $b=0$ $n=2$ [18 ] 研究了方程(1.2)的孤立波解及周期波解, 并给出了解之间的相关联系.当 $k=0$ $b>1$ $n$ [19 ] 考虑了方程(1.2)孤立尖波解的存在性及其分支.当 $k=0$ $b=0$ $n=2$ [21 ] 研究了方程(1.2)的精确解及其分支,Li 和 Liu[21 ] 得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
... [21 ]得到了方程五种类型的爆破波解并发现了它们之间的关系. ...
