该文研究下面两类具有完全非线性项梁方程的正解, 其边值条件含有 Stieltjes 积分

和

其中

是由有界变差函数 $A_i,\ B_i$ 给出的 Stieltjes 积分.

在 $f(t,u(t),u'(t),u”(t)),\ u”(1)+\alpha_4[u]=0$ 和 $g(t,u(t),u'(t),u”(t)),\ u”(1)=\beta_4[u]$ 的情形下, 文献 [1]已经讨论了边值问题 (1.1) 和 (1.2)正解的存在性, 在文献 [1] 中要求非线性项关于 $u,\ u',\ u”$ 满足线性增长条件和与相应线性算子有关的谱半径条件.

最近, Webb^[2] 利用文献 [3] 证明的一个 Gronwall 型不等式, 处理了非线性项中导数具有二次增长但函数没有增长限制的二阶非局部边值问题. 这种新型的 Gronwall 不等式可以替代通常使用的 Nagumo 条件来得到关于导数的先验估计.

在前述工作的基础上, 本文采用文献 [2] 中的思想与技术, 讨论四阶边值问题(1.1) 和 (1.3) 正解的存在性, 其非线性项中含有所有的一阶至三阶导数, 三阶导数 $u'''$ 不超过二阶增长而对于 $u, u'$ 和 $u”$ 没有增长条件的约束. Li 和 Chen^[4] 针对非线性函数具有二次增长的四阶局部边值问题给出了非平凡解存在的条件. 利用几种不同的方法, 文献 [5,6] 讨论了一些四阶边值问题正解的存在性, 但是由于 Green 函数的某些导数是变号的, 所以那里的非线性函数不能包含所有的导数项. 对于一些相关的工作, 应用压缩映射定理研究四阶局部问题的内容可参见文献 [7], 研究非线性项含有一阶导数扰动 Hammerstein 积分方程的内容可参见文献[8], 文献 [9,10] 分别考虑了其他几个四阶局部和非局部边值问题的正解.

我们需要如下的引理, 可见文献 [11⇓⇓-14].

引理1.1 设 $\Omega$ 是相对于 Banach 空间 $X$ 中锥 $P$ 的有界开集, 并且 $0\in \Omega$. 如果 $S: \overline{\Omega}\to P$ 是一个全连续算子, $Su\ne\lambda u,\ \forall u\in \partial_P\Omega,\ \lambda\ge1$, 那么不动点指数 $i(S,\Omega,P)=1$, 其中 $\overline{\Omega}$ 和 $\partial_P\Omega$ 分别是 $\Omega$ 相对于 $P$ 的闭包和边界.

引理1.2 设 $\Omega$ 是相对于 Banach 空间 $X$ 中锥 $P$ 的有界开集. 如果 $S: \overline{\Omega}\to P$ 是一个全连续算子, 存在 $v_{0}\in {P\setminus\{0\}}$ 使得 $u-Su\neq\sigma v_{0},\ \forall u\in \partial_P\Omega,\ \sigma\geq0$, 那么不动点指数 $i(A,\Omega,P)=0$.

设 $[\alpha,\beta]\subset[0,1]$, 用 $L_+^p[\alpha,\beta]\ (1\le p\le\infty)$ 来表示 $L^p[\alpha,\beta]$ 中所有几乎处处非负的函数.

引理1.3^[15] 设存在常数 $d_0>0$ 和函数 $d_1, d_2 \in L^1_+[\alpha,\beta]$, 使得当 $u\in L_+^{\infty}[\alpha,\beta]$ 时,

对于几乎处处的 $t\in[\alpha,\beta]$ 成立. 如果存在常数 $R>0$ 使得 $\int_{\alpha}^{\beta}d_2(s)u(s){\rm d}s\le R$, 则对于几乎处处的 $t\in[\alpha,\beta]$, 有 $u(t)\le d_0\exp(R)\exp(D_1(t))$, 其中 $D_1(t):= \int_t^{\beta}d_1(s){\rm d}s$.

对于边值问题 (1.1) 做如下假设

$(C_{1})$$f: [0,1]\times\mathbb{R}_+^2\times\mathbb{R}_-\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$连续, 这里$\mathbb{R}_+=[\ \mathbb{R}_-=(-\infty,0]$.

$(C_2)$$A_i$ 是有界变差的, 此外

其中

$(C_3)$$3\times 3$ 阶矩阵 $[A]$ 是非负的, 其中第 $(i,j)$ 元素是 $\alpha_i[\gamma_j]$, 这里 $\gamma_1(t)=1,\ \gamma_2(t)=t$ 和 $\gamma_3(t)=\frac{1}{2}t(2-t)$ 分别是 $u^{(4)}=0$ 满足如下边值条件的解

$u(0)=1,\ u'(1)=0,\ u”(0)=u”(1)=0;$

$u(0)=0,\ u'(1)=1,\ u”(0)=u”(1)=0;$

$u(0)=0,\ u'(1)=0,\ u”(0)+1=0,\ u”(1)+1=0.$

另外矩阵的谱半径 $r([A])<1$.

类似于 Webb 和 Infante^[16] 的方法, 定义算子 $S$ 为

其中

$\langle(I-[A])^{-1}\mathcal{K}(s),\gamma(t)\rangle$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的内积, $\kappa_i(s)$ 是 $(I-[A])^{-1}\mathcal{K}(s)$ 的第 $i$ 个元素.

引理2.1 如果 $(C_2)$ 和 $(C_3)$ 满足, 那么$\kappa_i(s)\ge0\ (i=1,2,3)$, 并且对于$t, s\in [0,1]$,

其中

以及

其中

证 根据假设 $(C_2)$ 和 $(C_3)$ 可得 $\kappa_i(s)\ge0\ (i=1,2,3)$. 对于 $t,s\in [0,1]$, 从不等式

和

$\frac{1}{2}(1-t)^2\sum_{i=2}^3\kappa_i(s)\le\sum_{i=1}^3\kappa_i(s)\gamma'_i(t)\le\sum_{i=2}^3\kappa_i(s),$$\frac{1}{2}(1-t)^2\frac{1}{2}s(1-s)\le(1-t)^2\frac{1}{2}s(1-s)\le\frac{\partial G_0(t,s)}{\partial t}\le\frac{1}{2}s(1-s),$

即可推出 (2.1) 和 (2.2).

用 $C^3[0,1]$ 来表示所有在 $[0,1]$ 上具有三阶连续导数的全体函数, 在范数

下构成 Banach 空间. 在 $C^3[0,1]$ 中定义锥

引理2.2 如果 $(C_1)$-$(C_3)$ 满足, 那么 $S:K\to K$ 是全连续算子, 并且边值问题(1.1)的正解等价于 $S$ 在 $K$ 中的不动点.

证 因为 $G_{S}(t,s)$ 以及关于 $t$ 的一阶和二阶导数是连续的, 关于 $t$ 的三阶导数对于 $s$ 是可积的, 所以根据引理 2.1, 算子 $S: K\to K$ 连续. 设 $F$ 是 $K$ 中的有界集, 于是存在 $M>0$ 使得对于任意的 $u\in K$, 有 $\|u\|_{C^3}\le M$. 记

由 $(C_{1})$ 和引理 2.1, 可知 $\forall u\in F$ 和 $t\in[0,1]$,

于是 $S(F)$ 在 $C^3[0,1]$ 中一致有界. 此外 $\forall u\in F$ 和 $t_1,t_2\in[0,1]$, 当 $t_1<t_2$ 时,

$\begin{align*}|(Su)(t_1)-(Su)(t_2)| & \le\int_{0}^{1}|G_{S}(t_1,s)-G_{S}(t_2,s)|f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_{0}^{1}|G_{S}(t_1,s)-G_{S}(t_2,s)|{\rm d}s, \\[3mm] |(Su)'(t_1)-(Su)'(t_2)| & \le\int_0^1\left|\frac{\partial G_{S}}{\partial t}(t_1,s)-\frac{\partial G_{S}}{\partial t}(t_2,s)\right|f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_0^1\left|\frac{\partial G_{S}}{\partial t}(t_1,s)-\frac{\partial G_{S}}{\partial t}(t_2,s)\right|{\rm d}s,\\[3mm] |(Su)''(t_1)-(Su)''(t_2)| & \le\int_0^1\left|\frac{\partial^2 G_{S}}{\partial t^2}(t_1,s)-\frac{\partial^2 G_{S}}{\partial t^2}(t_2,s)\right|f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_0^1\left|\frac{\partial^2 G_{S}}{\partial t^2}(t_1,s)-\frac{\partial^2 G_{S}}{\partial t^2}(t_2,s)\right|{\rm d}s,\end{align*}$

$\begin{align*} & |(Su)'''(t_1)-(Su)'''(t_2)|\\ = & \left|\int_0^{t_1}sf(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s-\int_{t_1}^1(1-s)f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right.\\ & -\left.\int_0^{t_2}sf(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s+\int_{t_2}^1(1-s)f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\\ = & \left|\int_{t_2}^{t_1}sf(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s+\int_{t_2}^{t_1}(1-s)f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\\ = & \left|\int_{t_2}^{t_1}f(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\le C(t_2-t_1),\end{align*}$

故 $S(F)$ 和 $S^{(i)}(F)=:\{v^{(i)}: v^{(i)}(t)=(Su)^{(i)}(t), u\in F\}\ (i=1,2,3)$ 等度连续.

因此根据 Arzel\`{a}-Ascoli 定理, $S: K\to K$ 是全连续算子. 类似于文献 [16], 可知边值问题 (1.1) 的正解等价于 $S$ 在 $K$ 中的不动点.

引理2.3 设 $(C_1)$-$(C_3)$ 满足, 存在常数 $p_0>0, p_3>0$ 和函数 $p_1, p_2\in L^1_+[0,1]$, 使得对于 $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times\mathbb{R}_+^2\times\mathbb{R}_-\times\mathbb{R}$,

其中 $g:\mathbb{R}_+^2\times\mathbb{R}_-\to\mathbb{R}_+$ 连续, 关于第一个和第二个变量单调增加, 关于第三个变量单调减少. 令 $\lambda\ge1, \sigma\ge0, r>0$, 定义 $D_i:=\int^1_0 p_i(s){\rm d}s\ (i=1,2)$ 和

如果 $u\in K$, $\|u\|_{C^2}\le r$, 使得 $\lambda u(t)=(Su)(t)+\sigma$, 那么 $\|u'''\|_C\le Q(r)$.

证 因为 $u\in K$, 所以存在 $t_0\in(0,1)$, 使得 $u'''(t_0)=0$. 根据 $\lambda u(t)=(Su)(t)+\sigma$, 可得 $\lambda u^{(4)}(t)=f(t,u(t),u'(t),u”(t),u'''(t))\ge0$. 于是 $u'''(t)\le0\ (t\in[t_0])$, $u'''(t)\ge0\ (t\in[t_0,1])$ 和

如果 $t\le t_0$, 从 $\|u\|_{C^2}\le r$ 和 (2.6)} 式可知

由

以及引理 1.3 得到

如果 $t\ge t_0$, 作变量替换 $\sigma=t_0+1-s$. 记 $w(\sigma)=u(t_0+1-\sigma)$, 于是 $w'(\sigma)=-u'(s)$, $w''(\sigma)=u”(s)$, $w'''(\sigma)=-u'''(s)$. 令 $\tau=t_0+1-t$, 从 $\|u\|_{C^2}\le r$ 和 (2.6) 式可知

由

以及引理 1.3 得到

$|w'''(\tau)|\le(p_0+g(r,r,-r)D_1)\exp(D_2)\exp(p_3r)=Q(r),\ \tau\in[t_0,1],$ i.e. $|u'''(t)|\le Q(r),\ t\in[t_0,1]$. 引理 2.3 得证.

设 $[a,b]\subset(0,1)$, 记

显然 $\gamma\in(0,1/2)$, 并且 $m<M$.

定理2.1 设 $(C_1)$-$(C_3)$ 满足, $f$ 满足增长条件 (2.4). 如果下面条件 $(F_1)$, $(F_2)$ 之一成立, 则边值问题 (1.1) 存在正解 $u\in K$, 其中 $Q$ 由 (2.5) 式给出.

$(F_1)$ 存在 $0<r_1<r_2$, 满足 $r_1<r_2\gamma$, 使得对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[r_1]^2\times[-r_1,0]\times[-Q(r_1),Q(r_1)]$,

对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in W_1:=W_{1,0}\cup W_{1,1}\cup W_{1,2}$,

其中

$(F_2)$ 存在 $0<r_1<r_2$, 满足 $Mr_1<mr_2$, 使得对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[r_2]^2\times[-r_2,0]\times[-Q(r_2),Q(r_2)]$,

对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in W_2:=W_{2,0}\cup W_{2,1}\cup W_{2,2}$,

其中

证 设条件 $(F_1)$ 满足. 定义相对于 $K$ 的有界开集

于是 $U_{r_1}$ 相对于 $K$ 的边界 $\partial_KU_{r_1}\subset U_{r_1,0}\cup U_{r_1,1}\cup U_{r_1,2}$, 其中

我们将证明 $Su\ne\lambda u,\ \forall u\in\partial_KU_{r_1},\ \lambda\ge1$. 如若不然, 存在 $u\in\partial_KU_{r_1}$ 和 $\lambda\ge1$, 使得 $\lambda u(t)=(Su)(t)$. 根据引理 2.3, 显然 $\|u'''\|_C\le Q(r_1)$.

从引理 2.1 和 (2.7) 式可知, 当 $u\in U_{r_1,0}$ 时,

当 $u\in U_{r_1,1}$ 时,

当 $u\in U_{r_1,2}$ 时,

在 $[0,1]$ 上取最小值, 可得矛盾 $\lambda r_1<r_1$.

根据引理 1.1, 不动点指数 $i(S,U_{r_1},K)=1$.

定义相对于 $K$ 的开集

从 $r_1<r_2\gamma$ 和 $Q(r_1)<Q(r_2)$ 可知闭包 $\overline{U}_{r_1}\subset V_{r_2}$. 因为由 (2.3) 可知 $\|u\|_{C^2}\le r_2,\ \forall u\in V_{r_2}$, 所以 $V_{r_2}$ 有界. $V_{r_2}$ 相对于 $K$ 的边界 $\partial_KV_{r_2}\subset V_{r_2,0}\cup V_{r_2,1}\cup V_{r_2,2}$, 其中

令 $v_0(t)\equiv1$, 注意到 $v_0\in K$. 我们断言 $u\neq Su+\sigma v_0,\ \forall u\in\partial_KV_{r_2},\ \sigma\ge0$. 如果断言不成立, 存在 $u\in\partial_KV_{r_2}$ 和 $\sigma\ge0$, 使得 $u=Su+\sigma v_0$. 于是由引理 2.3 可得, 对于 $u\in V_{r_2}$ 有 $\|u'''\|_C\le Q(r_2)$. 从引理 2.1 和 (2.8) 式可以得到下面的矛盾. 当 $u\in V_{r_2,0}$ 时,

关于 $t\in[a,b]$ 取最小值得矛盾 $r_2\gamma>r_2\gamma+\sigma$. 当 $u\in V_{r_2,1}$ 时,

关于 $t\in[a,b]$ 取最小值得矛盾 $r_2\gamma>r_2\gamma$. 当 $u\in V_{r_2,2}$ 时,

关于 $t\in[a,b]$ 取最小值也得到矛盾$r_2\gamma>r_2\gamma$.

根据引理 1.2, 不动点指数 $i(S,V_{r_2},K)=0$.

从不动点指数的可加性可知 $i(S,V_{r_2}\backslash\overline{U}_{r_1},K)=-1$. 所以 $S$ 在 $V_{r_2}\backslash\overline{U}_{r_1}$ 中存在不动点, 它显然是非平凡的, 并且根据引理 2.2, 它是边值问题 (1.1) 的正解.

设条件 $(F_2)$ 满足, 由于 $Mr_1<mr_2$, 可见条件中关于 $f$ 的不等式有意义. 定义相对于 $K$ 的有界开集 $U_{r_2}:=\left\{u\in K: \|u\|_{C^2}<r_2,\ \|u'''\|_C<Q(r_2)+1\right\}$ 和

显然闭包 $\overline{V}_{r_1}\subset U_{r_2}$. 其余部分的证明与前面类似.

例2.1 作为例子考察具有变号系数多点条件和变号核积分条件的四阶问题

即 $\alpha_1[u]=\frac{1}{4}u(\frac{1}{4})-\frac{1}{12}u(\frac{3}{4}),\ \alpha_2[u]=-\int_0^1u(t)\cos(\pi t){\rm d}t,\ \alpha_3[u]=\frac{1}{2}u(\frac{1}{2})-\frac{1}{4}u(\frac{3}{4})$.

$3\times 3$ 阶矩阵

然后它的谱半径 $r([A])\approx0.2502<1$. 因此, $(C_{2})$ 和 $(C_{3})$ 都满足条件了. 我们令 [a,b]=[1⇓⇓/4,3/4], 并且取 $\gamma=1/32$, 从而

$m\approx5.7044, M\approx22.6232$.

设 $f(t,x_0,x_1,x_2,x_3)=d\left(x_0^{k_0}+x_1^{k_1}+\left(-x_2\right)^{k_2}+x_3^2\right)$ 对于 $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[\infty)^2\times(-\infty,0]\times(-\infty,\infty)$, 这里 $k_i>1\ (i=0,1,2)$, 并且 $d>0$ 是一个常数, 由下一步决定. 显然 $(C_1)$ 成立. 对于一个给定的 $r_1>0$, 选择 $d_0>0$ 和 足够小的 $d$ 使得

我们有 (2.4) 和 (2.7) 式满足 $g(x_0,x_1,x_2)=x_0^{k_0}+x_1^{k_1}+\left(-x_2\right)^{k_2}$. 选择足够大的 $r_2$ 使得 $r_2>r_1/\gamma$ 并且 $r_2^{k_i-1}>Md^{-1}\gamma^{-k_i}\ (i=0,1,2)$,对于 $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in W_{1,i}$ (见定理 2.1}, 我们有

使得 (2.8) 成立. 由定理 2.1, 边值问题(2.11)存在至少一个正解. 当然 $0$ 是此方程的一个解. 特别的, 如果 $r_1=0.01, d_0=0.01$, $k_0=k_1=k_2=2$, 我们取 $d=40$.

例2.2 考虑边值问题 (2.11), $f(t,x_0,x_1,x_2,x_3)=d\left(x_0^{k_0}+x_1^{k_1}+\left(-x_2\right)^{k_2}+x_3^2\right)$, $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[\infty)^2\times(-\infty,0]\times(-\infty,\infty)$, 这里 $k_i\in(0,1)\ (i=0,1,2)$, $d>0$ 是一个常数并由下一步决定. 显然 $(C_1)$ 成立. 对于给定的 $r_2>0$, 选取 $d_0>0$ 和足够小的 $d$ 使得

我们有 (2.4) 和 (2.9) 式满足 $g(x_0,x_1,x_2)=x_0^{k_0}+x_1^{k_1}+\left(-x_2\right)^{k_2}$. 选取足够小的 $r_1$ 使得 $r_1<mr_2M^{-1}$ 且 $r_1^{1-k_i}<d\gamma^{k_i}M^{-1}\ (i=0,1,2)$, 我们有对于 $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in W_{2,i}$ (见定理 2.1),

即 (2.10)成立. 由定理 2.1, 边值问题 (2.11) 存在至少一个正解. 当然 $0$ 也是方程的一个解. 特别地, 如果 $r_2=1, d_0=0.01$, $k_0=k_1=k_2=1/2$, 我们取 $d=0.53$.

对于边值问题 (1.2) 做如下假设

$(\widetilde{C}_{1})$$g: [0,1]\times\mathbb{R}_+^3\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ 连续.

$(\widetilde{C}_2)$$B_i$ 是有界变差的, 此外

其中

$(\widetilde{C}_3)$$3\times 3$ 阶矩阵 $[B]$ 是非负的, 其中第 $(i,j)$ 元素是 $\beta_i[\delta_j]$, 这里 $\delta_1(t)=1,\ \delta_2(t)=t$ 和 $\delta_3(t)=\frac{1}{2}t^2$ 分别是 $u^{(4)}=0$ 满足如下边值条件的解

另外矩阵的谱半径 $r([B])<1$.

定义算子 $\widetilde{S}$ 为

其中

$\langle(I-[B])^{-1}\widetilde{\mathcal{K}}(s),\delta(t)\rangle$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的内积, $\widetilde{\kappa}_i(s)$ 是 $(I-[B])^{-1}\widetilde{\mathcal{K}}(s)$ 中的第 $i$ 个元素.

引理3.1 如果 $(\widetilde{C}_2)$ 和 $(\widetilde{C}_3)$ 满足, 那么 $\widetilde{\kappa}_i(s)\ge0\ (i=1,2,3)$, 并且对于 $t, s\in [0,1]$,

其中

以及

其中

证 根据 $(\widetilde{C}_2)$ 和 $(\widetilde{C}_3)$ 可得 $\widetilde{\kappa}_i(s)\ge0\ (i=1,2,3)$. 对于 $t,s\in [0,1]$, 从不等式

$\widetilde{c}_0(t)\sum_{i=1}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\le\frac{1}{2}t^2\sum_{i=1}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\le\sum_{i=1}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\delta_i(t) \le\sum_{i=1}^3\widetilde{\kappa}_i(s),$

$\widetilde{c}_0(t)\frac{1}{6}s(1-s)(2-s)\le t^3\frac{1}{6}s(1-s)(2-s)\le \widetilde{G}_0(t,s)\le\frac{1}{6}s(1-s)(2-s)$

和

$\widetilde{c}_1(t)\sum_{i=2}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\le t\sum_{i=2}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\le\sum_{i=1}^3\widetilde{\kappa}_i(s)\delta'_i(t)\le\sum_{i=2}^3\widetilde{\kappa}_i(s),$$\widetilde{c}_1(t)\frac{1}{2}s(1-s)=t^2\frac{1}{2}s(1-s)\le\frac{\partial \widetilde{G}_0(t,s)}{\partial t}\le\frac{1}{2}s(1-s),$

即可推出 (3.1)和 (3.2) 式.

在 $C^3[0,1]$ 中定义锥

引理3.2 如果 $(\widetilde{C}_1)$-$(\widetilde{C}_3)$ 满足, 那么 $\widetilde{S}:\widetilde{K}\to \widetilde{K}$ 是全连续算子, 并且边值问题 (1.2)的正解等价于 $\widetilde{S}$ 在 $\widetilde{K}$ 中的不动点.

证 因为 $G_{\widetilde{S}}(t,s)$ 以及关于 $t$ 的一阶和二阶导数是连续的, 关于 $t$ 的三阶导数对于 $s$ 是可积的, 所以根据引理 (1.1), 算子 $\widetilde{S}: \widetilde{K}\to \widetilde{K}$ 连续. 设 $F$ 是 $\widetilde{K}$ 中的有界集, 于是存在 $M>0$ 使得对于任意的 $u\in \widetilde{K}$, 有 $\|u\|_{C^3}\le M$. 记

由 $(\widetilde{C}_{1})$ 和引理 (1.1), 可知 $\forall u\in F$ 和 $t\in[0,1]$,

于是 $\widetilde{S}(F)$ 在 $C^3[0,1]$ 中一致有界. 此外 $\forall u\in F$ 和 $t_1,t_2\in[0,1]$, 当 $t_1<t_2$ 时,

$\begin{align*}|(\widetilde{S}u)(t_1)-(\widetilde{S}u)(t_2)| & \le\int_{0}^{1}|G_{\widetilde{S}}(t_1,s)-G_{\widetilde{S}}(t_2,s)|g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_{0}^{1}|G_{\widetilde{S}}(t_1,s)-G_{\widetilde{S}}(t_2,s)|{\rm d}s,\end{align*}$

$\begin{align*}|(\widetilde{S}u)'(t_1)-(\widetilde{S}u)'(t_2)| & \le\int_0^1\left|\frac{\partial G_{\widetilde{S}}}{\partial t}(t_1,s)-\frac{\partial G_{\widetilde{S}}}{\partial t}(t_2,s)\right|g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_0^1\left|\frac{\partial G_{\widetilde{S}}}{\partial t}(t_1,s)-\frac{\partial G_{\widetilde{S}}}{\partial t}(t_2,s)\right|{\rm d}s,\end{align*}$

$\begin{align*}|(\widetilde{S}u)''(t_1)-(\widetilde{S}u)''(t_2)| & \le\int_0^1\left|\frac{\partial^2 G_{\widetilde{S}}}{\partial t^2}(t_1,s)-\frac{\partial^2 G_{\widetilde{S}}}{\partial t^2}(t_2,s)\right|g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\\ & \le C\int_0^1\left|\frac{\partial^2 G_{\widetilde{S}}}{\partial t^2}(t_1,s)-\frac{\partial^2 G_{\widetilde{S}}}{\partial t^2}(t_2,s)\right|{\rm d}s,\end{align*}$

$\begin{align*} & |(Su)'''(t_1)-(Su)'''(t_2)|\\ = & \left|-\int_0^{t_1}sg(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s+\int_{t_1}^1(1-s)g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right.\\ & +\left.\int_0^{t_2}sg(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s-\int_{t_2}^1(1-s)g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\\ = & \left|\int_{t_1}^{t_2}sg(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s+\int_{t_1}^{t_2}(1-s)g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\\ = & \left|\int_{t_1}^{t_2}g(s,u(s),u'(s),u”(s),u'''(s)){\rm d}s\right|\le C(t_2-t_1),\end{align*}$

故 $\widetilde{S}(F)$ 和 $\widetilde{S}^{(i)}(F)=:\{v^{(i)}: v^{(i)}(t)=(\widetilde{S}u)^{(i)}(t), u\in F\}\ (i=1,2,3)$ 等度连续.

因此根据 Arzel\`{a}-Ascoli 定理, $\widetilde{S}: \widetilde{K}\to \widetilde{K}$ 是全连续算子. 类似于文献 [16], 可知边值问题 (1.2)的正解等价于 $\widetilde{S}$ 在 $\widetilde{K}$ 中的不动点.

引理3.3 设 $(\widetilde{C}_1)$-$(\widetilde{C}_3)$ 满足, 存在常数 $\widetilde{p}_0>0, \widetilde{p}_3>0$ 和函数 $\widetilde{p}_1, \widetilde{p}_2\in L^1_+[0,1]$, 使得对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times\mathbb{R}_+^4$,

其中 $\widetilde{g}:\mathbb{R}_+^3\to\mathbb{R}_+$ 连续, 关于每一个变量单调增加. 令 $\lambda\ge1, \sigma\ge0, r>0$, 定义 $\widetilde{D}_i:=\int^1_0 \widetilde{p}_i(s){\rm d}s$$ (i=1,2)$ 和

如果 $u\in \widetilde{K}$, $\|u\|_{C^2}\le r$, 使得 $\lambda u(t)=(\widetilde{S}u)(t)+\sigma$, 那么 $\|u'''\|_C\le \widetilde{Q}(r)$.

设 $[a,b]\subset(0,1)$, 记

显然 $\widetilde{\gamma}\in(0,1/2)$, 并且 $\widetilde{m}<\widetilde{M}$.

定理3.1 设 $(\widetilde{C}_1)$-$(\widetilde{C}_3)$ 满足, $g$ 满足增长条件 (3.4) 式. 如果下面条件$(G_1)$, $(G_2)$ 之一成立, 则边值问题 (1.1) 存在正解 $u\in \widetilde{K}$, 其中 $\widetilde{Q}$ 由 (3.5) 式给出.

$(G_1)$ 存在 $0<r_1<r_2$, 满足 $r_1<r_2\widetilde{\gamma}$, 使得对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[r_1]^3\times[-\widetilde{Q}(r_1),\widetilde{Q}(r_1)]$, 有

对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in \widetilde{W}_1:=\widetilde{W}_{1,0}\cup \widetilde{W}_{1,1}\cup \widetilde{W}_{1,2}$, 有

其中

$(G_2)$ 存在 $0<r_1<r_2$, 满足 $\widetilde{M}r_1<\widetilde{m}r_2$, 使得对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[r_2]^3\times[-\widetilde{Q}(r_2),\widetilde{Q}(r_2)]$, 有

对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in \widetilde{W}_2:=\widetilde{W}_{2,0}\cup \widetilde{W}_{2,1}\cup \widetilde{W}_{2,2}$, 有

其中

例3.1 作为例子考察具有变号系数多点条件和变号核积分条件的四阶问题

即 $\beta_1[u]=\frac{1}{2}u(\frac{1}{4})-\frac{1}{60}u(\frac{3}{4}),\ \beta_2[u]=-\int_0^1u(t)\cos(\pi t){\rm d}t,\ \beta_3[u]=\frac{1}{2}u(\frac{1}{2})-\frac{1}{16}u(\frac{3}{4})$.

$3\times 3$ 阶矩阵

然后它的谱半径 $r([B])\approx0.5306<1$. 因此, $(\widetilde{C}_{2})$ 和 $(\widetilde{C}_{3})$ 都满足了. 我们令 [a,b]=[1⇓⇓/4,3/4] 并且取 $\widetilde{\gamma}=1/64$, 从而

$\widetilde{m}\approx5.7761, \widetilde{M}\approx23.4685$.

设

$g(t,x_0,x_1,x_2,x_3)=\widetilde{d}\left(x_0^{k_0}+x_1^4+x_2^{k_1}+x_3^2\right),\ (t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[0,\infty)^3\times(-\infty,\infty),$ 这里 $k_i>1\ (i=0,1,2)$, 并且 $\widetilde{d}>0$ 是一个常数并由下一步决定. 显然 $(\widetilde{C}_1)$ 成立. 对于给定的 $r_1>0$, 选择 $\widetilde{d}_0>0$ 与足够小的 $\widetilde{d}$ 使得

我们有 (3.4) 和 (3.6) 式满足 $g(x_0,x_1,x_2)=x_0^{k_0}+x_1^{k_1}+x_2^{k_2}$. 选择足够大的 $r_2$ 使得 $r_2>r_1/\widetilde{\gamma}$ 且 $r_2^{k_i-1}>\widetilde{M}\widetilde{d}^{-1}\widetilde{\gamma}^{-k_i}\ (i=0,1,2)$, 我们有, 对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in \widetilde{W}_{1,i}$ (见定理 3.1),

即 (3.7) 式成立. 由定理 3.1, 边值问题 (3.10) 存在至少一个正解. 当然 $0$ 也是方程的一个解. 特别地, 如果 $r_1=0.01, \widetilde{d}_0=0.01$, $k_0=k_1=2$, 我们取 $\widetilde{d}=40$.

例3.2 考虑边值问题 (3.10), 对于$(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in[0,1]\times[0,\infty)^3\times(-\infty,\infty)$, 有

这里 $k_i\in(0,1)\ (i=0,1)$, $\widetilde{d}>0$ 是一个常数且由下一步决定. 显然 $(\widetilde{C}_1)$ 成立. 对于给定的 $r_2>0$, 选择 $\widetilde{d}_0>0$, $\widetilde{d}$ 足够小使得

我们有 (3.4) 和 (3.8) 式满足 $g(x_0,x_1,x_2)=x_0^{k_0}+x_1^4+x_2^{k_1}$. 选择足够小的 $r_1$ 使得$r_1<\widetilde{m}r_2\widetilde{M}^{-1}$ 并且 $r_1^{1-k_i}< \widetilde{d}\widetilde{\gamma}^{k_i}\widetilde{M}^{-1}\ (i=0,1)$, 对于 $(t,x_0,x_1,x_2,x_3)\in\widetilde{W}_{2,i}$, 有

即 (3.9) 式成立. 由定理 3.1, 边值问题 (3.10) 存在至少一个正解. 当然 $0$ 也是方程的一个解. 特别地, 如果 $r_2=1, \widetilde{d}_0=0.01$, $k_0=k_1=1/2$, 我们取 $\widetilde{d}=0.5.$