数学物理学报, 2024, 44(3): 586-594

三维 Hall-magnetohydrodynamic 方程的整体小解

于洋海,1,*, 王慧,1, 吴星,2

1.安徽师范大学数学与统计学院 安徽 芜湖 241002

2.河南农业大学信息与管理科学学院 郑州 450002

Global Small Solutions of 3D Hall-Magnetohydrodynamic Equations

Yu Yanghai,1,*, Wang Hui,1, Wu Xing,2

1. School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University, Anhui Wuhu 241002

2. College of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou 450002

通讯作者: Email: yuyanghai214@sina.com

收稿日期: 2022-09-27   修回日期: 2023-05-16  

基金资助: 国家自然科学基金(12101011)

Received: 2022-09-27   Revised: 2023-05-16  

Fund supported: NSFC(12101011)

作者简介 About authors

王慧,Email:1817688537@qq.com;

吴星,Email:ny2008wx@163.com

摘要

该文研究 $\mathbb{R}^3$ 上的不可压缩的带霍尔效应的磁流体力学方程的 Cauchy 问题. 假设初始速度的水平分量或水平分量的和及初始磁场的 $\dot{B}_{2,1}^{>12}$ 范数充分小, 该文证明了该方程存在整体光滑解, 改进了 Chae 和 Lee (J. Differ. Equ. 2014) 的结果.

关键词： Hall-magnetohydrodynamic 方程; 整体小解

Abstract

In this paper, we establish the global solutions to the three-dimensional incompressible Hall-MHD equations provided that the initial horizontal velocity is sufficiently small, which improves the result given by Chae and Lee (J. Differ. Equ. 2014).

Keywords： Hall-magnetohydrodynamic Equations; Global small solutions

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本文引用格式

于洋海, 王慧, 吴星. 三维 Hall-magnetohydrodynamic 方程的整体小解[J]. 数学物理学报, 2024, 44(3): 586-594

Yu Yanghai, Wang Hui, Wu Xing. Global Small Solutions of 3D Hall-Magnetohydrodynamic Equations[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(3): 586-594

1 引言

本文研究三维不可压缩的带霍尔效应的磁流体力学方程(记为 Hall-MHD)的 Cauchy 问题

$ \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u+u \cdot \nabla u-\mu \Delta u+\nabla \pi=b \cdot \nabla b, \quad x \in \mathbb{R}^{3}, t>0, \\ \partial_{t} b+u \cdot \nabla b-\nu \Delta b+\nabla \times(J \times b)=b \cdot \nabla u, \\ \operatorname{div} u=\operatorname{div} b=0, \\ \left.(u, b)\right|_{t=0}=\left(u_{0}, b_{0}\right), \end{array}\right. $

其中 $u$ 和 $b$ 分别表示散度自由的速度场和磁场, $\pi\in \mathbb{R}$ 表示标量压力. $J=\nabla\times b$ 是电流密度. $\mu$ 表示粘度系数且 $\nu$ 表示磁雷诺数的倒数. Hall-MHD 方程由 Acheritogaray 等[1] 从数学上严格地推导出来, 描述了很多重要的物理现象, 如空间等离子体中的磁联通[2], 恒星的形成[3,4], 中子星[5] 等.

近年来, 关于不可压 Hall-MHD 方程解的研究受到学者们的广泛关注. Chae 等[6] 研究了三维全空间上的 Hall-MHD 方程, 建立了该方程当初值属于 $H^s(\mathbb{R}^3)$$(s>>52)$ 时, 光滑解的局部适定性且证明了小初值时解的整体存在性. 众所周知, 正如三维 Navier-Stokes (或 MHD) 方程一样, 对于一般的初值, 三维 Hall-MHD 方程还没有整体适定性结果. 很多文献致力于研究系统 (1.1) 在初值满足某些小性条件下光滑解的整体存在性. Chae 和 Lee[7] 改进了文献 [6] 中的结果. 确切地说, 他们证明了 Hall-MHD 方程当初值满足如下小性条件

$ \begin{equation} \|u_0\|_{\dot{H}^{>32}}+\|b_0\|_{\dot{H}^{>32}}\leq \delta, \end{equation} $

或

$ \begin{equation} \|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq \delta \end{equation} $

时光滑解整体存在, 其中 $\delta$ 是依赖初值的 $L^2$ 范数的充分小的正数. 后来, Wan 和 Zhou[8] 将条件 (1.2) 改进为

$ \begin{equation} \|u_0\|_{\dot{H}^{>12+\varepsilon}}+\|b_0\|_{\dot{H}^{>32}}\leq \delta,\quad\varepsilon\in(0,1). \end{equation} $

Wan 和 Zhou[9] 证明了具有一类新初值的三维 Hall-MHD 方程的整体适定性, 建立了 Beale-Kato-Majda 爆破准则, 并得到了当Hall 系数趋于 0 时, 从 Hall-MHD 方程到 MHD 方程, 强解的收敛速率. Wan 和 Zhou[10] 建立了方程 (1.1)存在整体强解, 其中 Fujita-Kato 型初值 $u_0$ 满足 $\|u_0\|_{\dot{H}^{>12}}$ 充分小. Li, Yu 和 Zhu[11] 构造了三维 Hall-MHD 方程 (1.1) 的一类整体大解. 更多关于低正则局部适定性, 爆破准则及大时间行为的结果, 有兴趣的读者可以参考文献 [12⇓⇓⇓⇓⇓-18] 等.

本文的主要目的是建立在新的小初值条件下, 方程 (1.1) 存在唯一的整体解. 为简化起见, 我们假设 $\mu=\nu=1$. 主要结果如下.

定理1.1 设 $s>>52$. 如果初值满足 $(u_0,b_0)\in H^s$ 且 $\div u_0=\div b_0=0$, 存在充分小的正常数 $\delta=\delta(\|b_0\|_{L^2})$ 和一致正常数 $C$ 使得

$ \begin{equation} \big\|u_0^1+u_0^2,u_0^3\big\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0^1,u_0^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\leq \delta \end{equation} $

且

$ \begin{equation} \|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\exp\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\leq \delta, \end{equation} $

则方程 (1.1) 存在唯一的整体解 $(u,b)\in C(0,\infty;H^s(\mathbb{R}^3)).$

定理1.2 设 $s>>52$. 如果初值满足 $(u_0,b_0)\in H^s$ 且 $\div u_0=\div b_0=0$, 存在充分小的正常数 $\delta=\delta(\|b_0\|_{L^2})$ 和一致正常数 $C$ 使得

$ \begin{equation} \big\|u_0^h\big\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0^3\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\leq \delta, \end{equation} $

且

$ \begin{equation} \|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\exp\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\leq \delta, \end{equation} $

则方程 (1.1) 存在唯一的整体解 $(u,b)\in C(0,\infty;H^s(\mathbb{R}^3)).$

注1.1 比较 (1.3) 和 (1.5) 或 (1.7) 式, 上述定理改进了文献[7] 中的结果.

2 预备知识

符号说明 我们用 $\|\cdot\|_{X}$ 表示 Banach 空间 $X$ 上的范数. 通常范数里省略掉 $\mathbb{R}^{3}$. 为方便起见, 我们使用 $\|f,\cdots,g\|_{X}=\|f\|_{X}+\cdots+\|g\|_{X}$ 及 $\int_{\mathbb{R}^3}\cdot=\int_{\mathbb{R}^3}\cdot\text{d} x$. 文中通常在不等式里的正常数 $C$ 不同的行表示的值可能都不一样. $A\approx B$ 表示 $C^{-1}B\leq A\leq CB$. 令

$u^h:=(u^1,u^2),\quad \nabla_h:=( \partial_1, \partial_2)\quad\text{和}\quad\div_h u^h:= \partial_1u^1+ \partial_2u^2.$

接下来回顾一下 Littlewood-Paley 分解、齐次 Besov 空间及其性质. 更多详细内容可参看文献 [1,18]. 令 $\mathcal{B}:=\{\xi\in\mathbb{R}^3:|\xi|\leq 4/3\}$ 和 $\mathcal{C}:=\{\xi\in\mathbb{R}^3:3/4\leq|\xi|\leq 8/3\}.$ 令 $\chi:\mathbb{R}^3\mapsto [0,1]$ 为光滑的径向函数 且 $\varphi(\xi)=\chi(\xi/2)-\chi(\xi)$. 则$\varphi$ 的支集为 $\mathcal{C}$且满足

$ \sum_{j\in\mathbb{Z}}\varphi(2^{-j}\xi)=1 \quad \forall\;\xi\in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}. $

对任意的 $u\in \mathcal{S'}(\mathbb{R}^3)$, 齐次二进制算子 ${\dot{\Delta}}_j$ 定义为

$ {\dot{\Delta}}_ju=\varphi(2^{-j}D)u,\quad \forall j\in \mathbb{Z}. $

记

$ \mathcal{S}'_h=\Big\{u \in \mathcal{S'}(\mathbb{R}^3):\; \lim_{j\mathbb{R}ightarrow-\infty}\|\chi(2^{-j}D)u\|_{L^{\infty}}=0 \Big\}, $

我们有如下齐次情形下的 Littlewood-Paley 分解

$\begin{eqnarray*} u=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\dot{\Delta}_ju, \quad \forall u\in \mathcal{S}'_h. \end{eqnarray*}$

我们回顾一下 Besov 空间的定义.

定义2.1[19]

设 $s\in\mathbb{R}$ 且 $(p,r)\in[\infty]^2$. 则齐次 Besov 空间 $\dot{B}^s_{p,r}(\mathbb{R}^3)$ 定义为

$ \dot{B}^{s}_{p,r}(\mathbb{R}):=\Big\{f\in \mathcal{S}'_h(\mathbb{R}^3):\;\|f\|_{\dot{B}^{s}_{p,r}(\mathbb{R}^3))}<\infty\Big\}, $

其中

$ \|u\|_{\dot{B}^s_{p,r}(\mathbb{R}^3)}:= \Big\|\big(2^{js}\|\dot{\Delta}_j{u}\|_{L^p(\mathbb{R}^3)}\big)_{j\in \mathbb{Z}}\Big\|_{\ell^r(\mathbb{Z})}<\infty. $

为了描述热方程的正则化效应, 我们需要使用 Chemin-Lerner 型混合的时空空间.

定义2.2[19]

设 $s\in\mathbb{R}$, $(p,r)\in[\infty]^2$ 且 $T\in(0,+\infty)$. Chemin-Lerner 型空间 $\widetilde{L}_T^r\dot{B}^s_{p,1}(\mathbb{R}^3)$ 配备如下范数

$ \|u\|_{\widetilde{L}_T^r\dot{B}^s_{p,1}}:= \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{js}\bigg(\int_0^T\|\dot{\Delta}_j{u}(t)\|^r_{L^p}\text{d} t\bigg)^{1/r}. $

后文将会用到下面的 Bernstein 不等式.

引理2.1[19] 设 $\mathcal{C}$ 为环. 存在正常数 $c,C>0$ 使得对任意的 $k\in \mathbb{N}\cup \{0\}$, $\lambda\in\mathbb{R}^{+}$ 和任意的 $f\in L^p$$(1\leq p \leq q \leq \infty)$, 成立

$\begin{align*} &{\mathbb{R}m{supp}}\hat{f}\subset \lambda\mathcal{C}\;\mathbb{R}ightarrow\; C^{-k-1}\lambda^k\|f\|_{L^p} \leq \big\|D^kf\big\|_{L^p} \leq C^{k+1}\lambda^k\|f\|_{L^p},\\ &{\mathbb{R}m{supp}}\hat{f}\subset \lambda \mathcal{C}\;\mathbb{R}ightarrow\; \big\|{\mathbb{R}m e}^{t\Delta}f\big\|_{L^p}\leq C{\mathbb{R}m e}^{-c\lambda^2 t}\|f\|_{L^p}. \end{align*}$

受 Wan 和 Zhou 在文献[10] 中想法的启发, 我们用经典的热方程扰动从 Hall-MHD 方程中分离出来的 Navier-Stokes 方程. 确切来说, 令 $(U,V)$ 分别是具相同初值的热方程和 Navier-Stokes 方程的解, 即

$ \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} U-\Delta U=0, \\ \partial_{t} V+V \cdot \nabla V-\Delta V+\nabla \pi^{1}=0, \\ \operatorname{div} V=0, \\ \left.(U, V)\right|_{t=0}=\left(u_{0}, u_{0}\right). \end{array}\right. $

令 $\text{u}=u-V$, 由方程 (1.1), 我们推得

$ \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} \mathbf{u}-\Delta \mathbf{u}+\nabla \pi_{2}=\mathbf{F}_{1}, \\ \partial_{t} b-\Delta b=\mathbf{F}_{2}, \\ \nabla \cdot \mathbf{u}=\nabla \cdot b=0, \\ \left.(\mathbf{u}, b)\right|_{t=0}=\left(0, b_{0}\right), \end{array}\right. $

其中

$\begin{align*} &\mathbf{F}_1:=-(\text{u} +V) \cdot \nabla\text{u} +b \cdot \nabla b-\text{u} \cdot \nabla V,\\ &\mathbf{F}_2:=-(\text{u} +V)\cdot \nabla b+b \cdot \nabla(\text{u} +V)-\nabla \times(J\times b). \end{align*}$

3 定理 1.1 的证明

本节我们对定理 1.1 进行证明.

证 记 $\text{v} =V-U$, 由方程 (2.1), 我们得到

$ \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} \mathbf{v}+(\mathbf{v}+U) \cdot \nabla \mathbf{v}-\Delta \mathbf{v}+\nabla \pi^{1}=-\mathbf{v} \cdot \nabla U-U \cdot \nabla U \\ \operatorname{div} \mathbf{v}=0 \\ \left.\mathbf{v}\right|_{t=0}=\mathbf{v}_{0}=0. \end{array}\right. $

当正则指标为正时, 由 Besov 范数的刻画[20], 我们通过如下系统构造 $(\text{v} _j,\nabla\pi^1_j)$,

$ \left\{\begin{array}{l} \partial_{t} \mathbf{v}_{j}+(\mathbf{v}+U) \cdot \nabla \mathbf{v}_{j}-\Delta \mathbf{v}_{j}+\nabla \pi_{j}^{1}=-\mathbf{v}_{j} \cdot \nabla U-\mathbf{G}_{j}, \\ \operatorname{div} \mathbf{v}_{j}=0 \\ \left.\mathbf{v}_{j}\right|_{t=0}=\dot{\Delta}_{j} \mathbf{v}_{0}=0 \end{array}\right. $

其中 $(\text{v},\nabla\pi^1)$ 是方程 (3.1) 在 $[0,T^*)$ 上的光滑解.

令

$ \begin{matrix} \mathbf{G}_j=&\begin{pmatrix} \dot{\Delta}_j(U^1+U^2) \partial_1U^1+U^2\dot{\Delta}_j[ \partial_2(U^1+U^2)+ \partial_3U^3]+\dot{\Delta}_jU^3 \partial_3U^1\\ \dot{\Delta}_j(U^1+U^2) \partial_2U^2+U^1\dot{\Delta}_j[ \partial_2(U^1+U^2)+ \partial_3U^3]+\dot{\Delta}_jU^3 \partial_3U^2\\ U^1\dot{\Delta}_j \partial_1U^3+U^2\dot{\Delta}_j \partial_2U^3-\dot{\Delta}_jU^3( \partial_1U^1+ \partial_2U^2) \end{pmatrix} \end{matrix} $

或

$ \mathbf{G}_{j}=\binom{U \cdot \nabla \dot{\Delta}_{j} U^{h}}{\dot{\Delta}_{j} U^{h} \cdot \nabla_{h} U^{3}-U^{3} \dot{\Delta}_{j} \operatorname{div}_{h} U^{h}}. $

那么我们由方程 (3.1) 局部光滑解的唯一性, 可得

$\text{v} =\sum_{j\in\mathbb{Z}}\text{v} _j\quad \text{和} \quad\nabla \pi^1=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\nabla \pi^1_j.$

通过标准的方法, 我们可以建立方程 (2.1), (2.2) 和 (3.1) 存在唯一的局部光滑解. 因此, 我们的目标是建立方程 (2.2) 解的整体先验估计. 接下来, 我们主要关注方程 (3.2)-(3.3).

取方程 (3.2) 与 $\text{v} _j$ 的 $L^2$ 内积, 可得

$ \begin{matrix} >12>ac\text{d}{\text{d} t}\|\text{v} _j\|^2_{L^2}+\|\nabla \text{v} _j\|^2_{L^2}&=-\int_{\mathbb{R}^3}\text{v} _j \cdot\nabla U\cdot \text{v} _j-\int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{G}_j^1\cdot \text{v} ^1_j\nonumber\\ &-\int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{G}_j^2\cdot \text{v} ^2_2-\int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{G}_j^3\cdot \text{v} ^3_j :=\sum_{i=1}^4I_i. \end{matrix} $

下面我们分别估计上述四项. 由 Hölder 和 Young 不等式, 我们有

$\begin{align*} I_1\leq&C\|\nabla U\|_{L^3}\|\text{v} _j\|_{L^3}^2 \leq C\|U\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\text{v} _j\|_{L^2}^2+>12\|\nabla\text{v} _j\|_{L^2}^2,\nonumber\\ I_2\leq&\| \partial_1U^1, \partial_3U^1\|_{L^3}\|\dot{\Delta}_j(U^1+U^2),\dot{\Delta}_jU^3\|_{L^6}\|\text{v} ^1_j\|_{L^2}\nonumber\\ &+\|U^2\|_{L^\infty}\|\dot{\Delta}_j[ \partial_2(U^1+U^2)+ \partial_3U^3]\|_{L^2}\|\text{v} ^1_j\|_{L^2}\nonumber\\ \leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\text{v} _j^1\|_{L^2}^2+>13\|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L^2}^2,\nonumber\\ I_3\leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\text{v} _j^2\|_{L^2}^2+>13\|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L^2}^2,\nonumber\\ I_4\leq&C\|U^1,U^2\|_{L^\infty}\|\dot{\Delta}_j( \partial_1, \partial_2)U^3\|_{L^2}\|\text{v} ^3_j\|_{L^2}\nonumber\\ &+C\| \partial_1U^1+ \partial_2U^2\|_{L^3}\|\dot{\Delta}_jU^3\|_{L^6}\|\text{v} ^3_j\|_{L^2}\nonumber\\ \leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\text{v} ^3_j\|_{L^2}^2+>13\|\nabla \dot{\Delta}_jU^3\|_{L^2}^2. \end{align*}$

将上述估计带入 (3.5) 式, 采用 Gronwall 不等式, 可得

$ \begin{matrix} \|\text{v} _j\|^2_{L_t^\infty L^2}+\|\nabla\text{v} _j\|^2_{L_t^2 L^2}\leq \|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L_t^2L^2}^2\exp\Big(C\|U\|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\Big). \end{matrix} $

注意到 $U={\mathbb{R}m e}^{t\Delta}U_0$, 利用引理 2.1, 对 $i=1,2,3$, 我们可得

$\begin{align*} &\|U^i\|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq C\|u^i_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}},\\ &\|\nabla \dot{\Delta}_jU^i\|_{L_t^2 L^2}\leq Cd_j2^{-> j2}\|u^i_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}},\quad\text{其中}\quad \|d_j\|_{\ell^1(\mathbb{Z})}=1. \end{align*}$

从而, (3.6) 式可化简为

$ \begin{matrix} \|\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\nabla\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2}\leq Cd_j2^{-> j2}\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big). \end{matrix} $

将方程 (3.2) 与 $-\Delta\text{v} _j$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中作 $L^2$ 内积, 可得

$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left\|\nabla \mathbf{v}_{j}\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\Delta \mathbf{v}_{j}\right\|_{L^{2}}^{2}= & \int_{\mathbb{R}^{3}}(\mathbf{v}+U) \cdot \nabla \mathbf{v}_{j} \cdot \Delta \mathbf{v}_{j}+\int_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{v}_{j} \cdot \nabla U \cdot \Delta \mathbf{v}_{j} \\ & +\int_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{G}_{j}^{1} \cdot \Delta \mathbf{v}_{j}^{1}+\int_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{G}_{j}^{2} \cdot \Delta \mathbf{v}_{j}^{2}+\int_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{G}_{j}^{3} \cdot \Delta \mathbf{v}_{j}^{3} \\ := & \sum_{i=1}^{5} J_{i}. \end{aligned} $

由 Hölder 和 Young 不等式, 我们有

$\begin{align*} J_1\leq&C\big(\|\text{v} \|_{L^\infty}+\|U\|_{L^\infty}\big)\|\nabla\text{v} _j\|_{L^2}\|\Delta\text{v} _j\|_{L^2} \leq C\|\text{v},U\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\nabla\text{v} _j\|_{L^2}^2+>1{10}\|\Delta\text{v} _j\|_{L^2}^2,\nonumber\\ J_2\leq&C\|\text{v} _j\|_{L^6}\|\nabla U\|_{L^3}\|\Delta\text{v} _j\|_{L^2} \leq C\|U\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\nabla\text{v} _j\|_{L^2}^2+>1{10}\|\Delta\text{v} _j\|_{L^2}^2,\nonumber\\ J_3\leq&\| \partial_1U^1, \partial_3U^1\|_{L^3}\|\dot{\Delta}_j(U^1+U^2),\dot{\Delta}_jU^3\|_{L^6}\|\Delta\text{v} ^1_j\|_{L^2}\nonumber\\ &+\|U^2\|_{L^\infty}\|\dot{\Delta}_j[ \partial_2(U^1+U^2)+ \partial_3U^3]\|_{L^2}\|\Delta\text{v} ^1_j\|_{L^2}\nonumber\\ \leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L^2}^2+>1{10}\|\Delta\text{v} _j^1\|_{L^2}^2,\nonumber\\ J_4\leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L^2}^2+>1{10}\|\Delta\text{v} _j^2\|_{L^2}^2,\nonumber\\ J_5\leq&C\|U^1,U^2\|_{L^\infty}\|\dot{\Delta}_j( \partial_1, \partial_2)U^3\|_{L^2}\|\Delta\text{v} ^3_j\|_{L^2}\nonumber\\ &+C\| \partial_1U^1+ \partial_2U^2\|_{L^3}\|\dot{\Delta}_jU^3\|_{L^6}\|\Delta\text{v} ^3_j\|_{L^2}\nonumber\\ \leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\|\nabla \dot{\Delta}_jU^3\|_{L^2}^2+>1{10}\|\Delta\text{v} _j^3\|_{L^2}^2. \end{align*}$

将上述估计 $J_1$-$J_5$ 代入 (3.8) 式, 使用 Gronwall 不等式, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\Delta\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2} \leq& C\|U^1,U^2\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\|\nabla \dot{\Delta}_j(U^1+U^2,U^3)\|_{L^2}\exp\Big(C\|\text{v},U\|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\Big)\nonumber\\ \leq& Cd_j2^{> j2}\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\exp\Big(C\|\text{v} \|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\Big), \end{matrix} $

我们已经用到事实

$\|\nabla \dot{\Delta}_jU^i\|_{L_t^\infty L^2}\leq Cd_j2^{> j2}\|u^i_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}},\quad i=1,2,3.$

利用 Bernstein 不等式, 结合 (3.7) 式和 (3.9) 式, 可得

$\begin{align*} \|\dot{\Delta}_k\text{v} \|_{L_t^\infty L^2}+\|\nabla\dot{\Delta}_k\text{v} \|_{L_t^2 L^2}\leq& C\sum_{j\geq k}\big(\|\dot{\Delta}_k\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\nabla\dot{\Delta}_k\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2}\big)\nonumber\\ &+ C2^{-k}\sum_{j\leq k}\big(\|\nabla\dot{\Delta}_k\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\Delta\dot{\Delta}_k\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2}\big)\nonumber\\ \leq& C\sum_{j\geq k}\big(\|\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\nabla\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2}\big)\nonumber\\ &+ C2^{-k}\sum_{j\leq k}\big(\|\nabla\text{v} _j\|_{L_t^\infty L^2}+\|\Delta\text{v} _j\|_{L_t^2 L^2}\big)\nonumber\\ \leq&Cd_k2^{-> k2}\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\exp\Big(C\|\text{v} \|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\Big). \end{align*}$

上式两端乘以 $2^{>{k}2}$ 并取 $\ell^1(\mathbb{Z})$ 范数, 可得

$ \begin{matrix} \|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^2 \dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq&C\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\exp\Big(C\|\text{v} \|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\Big). \end{matrix} $

现在, 我们定义

$\begin{align*} \Gamma:=\sup\Big\{t\in[0,T^*): \|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^2 \dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq \eta\ll1\Big\}, \end{align*}$

其中 $\eta$ 是一个待定的充分小的正常数.

假设 $\Gamma<T^*$. 对任意的 $t\in[\Gamma]$, 由 (3.10) 式我们得到

$\begin{align*} \|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^2 \dot{B}_{2,1}^{>32}}&\leq C\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\leq C\delta=>{\eta}{2}, \end{align*}$

其中我们已经用到条件 (1.5) 并选取 $\eta=2C\delta$.

如果 $\Gamma<T^*$, 由解的连续性, 我们知道, 必存在 $0<\epsilon\ll1$ 使得

$\begin{align*} \|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^2 \dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq \eta, t\leq \Gamma+\epsilon<T^*, \end{align*}$

这与 $\Gamma$ 的定义矛盾.

所以, 我们有 $\Gamma=T^*$ 且

$\begin{align*} \|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{v} \|_{\widetilde{L}_t^2 \dot{B}_{2,1}^{>32}}&\leq C\|u^1_0+u^2_0,u^3_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big) \quad\forall\; t\in(0,T^*). \end{align*}$

将算子 $\dot{\Delta}_j$ 作用到 $(2.1)_2$ 式两端, 并取其与 $\dot{\Delta}_jV$ 的 $L^2$ 内积, 可得

$ \begin{matrix} >ac\text{d}{\text{d} t}\|\dot{\Delta}_jV\|_{L^2}&+c2^{2j}\|\dot{\Delta}_jV\|_{L^2}\leq C\|\dot{\Delta}_j(V\cdot\nabla V)\|_{L^2}. \end{matrix} $

(3.11) 式两端乘以 $2^{>{j}2}$ 并关于 $j\in \mathbb{Z}$ 求和, 然后对时间积分, 可得

$ \begin{matrix} \|V\|_{L_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|V\|_{L_t^1 \dot{B}_{2,1}^{>52}}&\leq C\|V\cdot\nabla V\|_{L_t^1 \dot{B}_{2,1}^{>12}}\leq C\|V\|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2\nonumber\\ &\leq C\|\text{v},U\|_{L_t^2\dot{B}_{2,1}^{>32}}^2 \leq \exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big). \end{matrix} $

类似地, 我们由 (2.2) 式得到

$ \begin{matrix} >ac\text{d}{\text{d} t}\|\dot{\Delta}_j\text{u}\|_{L^2}+c2^{2j}\|\dot{\Delta}_j\text{u}\|_{L^2}&\leq \big\|[\dot{\Delta}_j,\text{u} +V]\cdot\nabla\text{u}\big\|_{L^2}+\|\dot{\Delta}_j(b\cdot \nabla b)\|_{L^2}\nonumber\\ &+\|\dot{\Delta}_j(\text{u}\cdot \nabla V)\|_{L^2},\label{hh3-1} \end{matrix} $
$ \begin{matrix} >ac\text{d}{\text{d} t}\|\dot{\Delta}_jb\|_{L^2}+c2^{2j}\|\dot{\Delta}_jb\|_{L^2}&\leq \big\|[\dot{\Delta}_j,\text{u} +V]\cdot\nabla b\big\|_{L^2}+C2^j\|\dot{\Delta}_j(J\times b)\|_{L^2} \nonumber\\ &+\|\dot{\Delta}_j(b\cdot\nabla(\text{u} +V))\|_{L^2}.\label{hh3-2} \end{matrix} $

利用交换子估计和乘积估计可得 (参见文献 [p3854])

$ \begin{matrix} &\|[\dot{\Delta}_j,\text{u} +V]\cdot\nabla(\text{u},b)\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\leq C\|\text{u},V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}},\nonumber\\ &\|b\cdot \nabla (b,\text{u} +V)\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\leq C\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\|b,\text{u},V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}},\nonumber\\ &\|\text{u}\cdot \nabla V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\leq C\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}\|V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}},\nonumber\\ &\|J\times b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq C\|J\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\leq C\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}. \end{matrix} $

将 (3.13) 式和 (3.14)式分别乘以 $2^{>{j}2}$, 并关于 $j\in \mathbb{Z}$ 求和, 结合 (3.15) 式, 可得

$ \begin{equation} >ac\text{d}{\text{d} t}\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}} \leq C\Big(\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big)\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+C\|V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}. \end{equation} $

接下来我们需要估计$\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}$. 利用文献 [7] 中的方法, 可得

$ \begin{matrix} \label{hh5} >ac\text{d}{\text{d} t}\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}} \leq&C\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big(\|u\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}}\Big)\nonumber\\ \leq&C\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big(\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}}\Big). \end{matrix} $

结合 (3.16) 式和 (3.17)式, 可得

$ \begin{matrix} &>ac\text{d}{\text{d} t}\Big(\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big)+\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}}\nonumber\\ \leq&C\Big(\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big)\Big(\|\text{u},b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}}\Big)\nonumber\\ &+C\|V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\Big(\|\text{u}\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32}}\Big). \end{matrix} $

现在, 我们定义

$\begin{align*} \overline{\Gamma}:=\sup\Big\{t\in[0,T^*): \|\text{u}\|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\widetilde{L}_t^\infty (\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32})}\leq \epsilon\ll1\Big\}. \end{align*}$

假设 $\overline{\Gamma}<T^*$. 对任意的 $t\in[\overline{\Gamma}]$, 由 $\text{u}_0=0$, 我们从 (3.18) 式 和 (3.12) 式得到

$ \begin{matrix} &\|\text{u}\|_{\widetilde{L}_t^\infty \dot{B}_{2,1}^{>12}}+\|b\|_{\widetilde{L}_t^\infty (\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32})}+\|\text{u},b\|_{L_t^1\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{L_t^1\dot{B}_{2,1}^{>72}}\nonumber\\ \leq&C\|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}\cap\dot{B}_{2,1}^{>32}}\exp\Big(C\int_0^t\|V\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\text{d} s\Big)\nonumber\\ \leq& C\big(\|b_0\|_{L^2}\big)\|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\exp\exp\Big(C\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>12}}^2\Big)\nonumber\\ \leq& C\delta\leq>{\epsilon}{2}, \end{matrix} $

其中我们已经用到条件 (1.6) 及插值不等式

$\|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>ac{1}{2}}}\leq C\|b_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{>ac{3}{2}}}^{>ac{1}{3}}\|b_0\|_{L^2}^{>ac{2}{3}}.$

我们仅需证明当 $t<T^*$, 有 (详细细节, 参见文献 [10])

$ \begin{matrix} \int_0^t\Big(\|\nabla u,\nabla b\|_{L^\infty}+\|\nabla b\|^2_{L^\infty}\Big)\text{d} s\leq C. \end{matrix} $

结合 (3.19) 式和 (3.12) 式, 当 $t<T^*$, 我们得到

$\begin{align*} \int_0^t\Big(\|u,b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|^2_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}\Big)\text{d} s&\leq C\int_0^t\Big(\|\text{u},V,b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>52}}+\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>32}}\|b\|_{\dot{B}_{2,1}^{>72}}\Big)\text{d} s\leq C. \end{align*}$

由 $\|\nabla f\|_{L^\infty}\leq C\|f\|_{\dot{B}_{2,1}^{5/2}}$, 这就证明了 (3.20) 式. 结合连续性方法及爆破准则, 我们完成了定理 1.1 的证明.

通过修正上述程序, 我们可以处理方程 (3.2)-(3.4) 并证明定理 1.2 在满足小性条件 (1.7) 和 (1.8) 时也成立.

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