1 引言
Nielsen[13 ] 把经典的 Nielsen 贝塔函数定义为
$\begin{align*} \beta(x)&=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+x} =\int_0^\infty\frac{{\rm e}^{-xt}}{1+{\rm e}^{-t}}{\rm d}t\\ &=\frac{1}{2}\left[\psi\left(\frac{x+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{x}{2}\right)\right],\ x>0,\nonumber \end{align*}$
其中 $\psi(x)=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\ln \Gamma(x)$ $B(x,y)$ $F(a,b;c;z)$
$\begin{equation*} \beta(x)+\beta(1-x)=B(x,1-x) \end{equation*}$
$\begin{equation*} \beta(x)=\frac{1}{x^2}F(1,x;x+1;-1). \end{equation*}$
此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ].
近几年, Nielsen 贝塔函数被深入研究. 在文献 [8 ] 中, 它被应用于研究 Wallis 余弦公式. 在文献 [9 ] 中, Nantomah 证明了它的单调性与凹凸性. 最近, Nantomah 等又给出了双参数广义伽马函数与 digamma 函数的定义及一些基本关系.
对 $p\in\mathbb{N}, k>0, x>0$
(1.1) $ \begin{matrix} \Gamma_{p,k}(x)=\int_0^pt^{x-1}\left(1-\frac{t^k}{pk}\right)^p{\rm d}t =\frac{(p+1)!k^{p+1}(pk)^{\frac{x}{k}-1}}{x(x+k)(x+2k)\cdots(x+pk)}, \end{matrix} $
$\begin{align*} &\Gamma_{p,k}(x+k)=\frac{pkx}{x+pk+k}\Gamma_{p,k}(x),\\ &\Gamma_{p,k}(k)=1. \end{align*}$
(1.2) $ \psi_{p, k}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln \Gamma_{p, k}(x)=\frac{1}{k} \ln (p k)-\sum_{n=0}^{p} \frac{1}{n k+x}=\frac{1}{k} \ln (p k)-\int_{0}^{\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-k(p+1) t}}{1-\mathrm{e}^{-k t}} \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{~d} t. $
对任意 $m\in\mathbb{N}$
(1.3) $ \psi_{p, k}^{(m)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{m}}{\mathrm{~d} x^{m}} \psi_{p, k}(x)=\sum_{n=0}^{p} \frac{(-1)^{m+1} m!}{(n k+x)^{m+1}}=(-1)^{m+1} \int_{0}^{\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-k(p+1) t}}{1-\mathrm{e}^{-k t}} t^{m} \mathrm{e}^{-x t} \mathrm{~d} t $
称为双参数广义 polygamma 函数. 更多的结论请读者参看文献 [7 ,11 ,12 ].
非常自然地, 可以定义双参数广义 Nielsen 贝塔函数如下.
定义1.1 当 $p\in \mathbb{N}, k>0$ $x>0$
(1.4) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}(x)=\frac{1}{2}\left[\psi_{p,k}\left(\frac{x+k}{2}\right)-\psi_{p,k}\left(\frac{x}{2}\right)\right]. \end{matrix} $
注1.1 利用公式 (1.2) 和变量变换, 易得
(1.5) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}(x)&=\sum\limits_{n=0}^{p}\left(\frac{1}{2nk+x}-\frac{1}{2nk+k+x}\right)\nonumber\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t =\int_0^1\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{x-1}{\rm d}u. \end{matrix} $
特别地, 当 $k=1, p\rightarrow\infty$ $\beta_{p,k}(x)$
定义1.2 [3 ] 对 $x\in I$ $f(x)$ $(-1)^nf^{(n)}(x)\geqslant0, n\in \mathbb{N}_0$ $f(x)$ $I$
注1.2 特别地, Dubourdieu 在文献 []5] 指出: 若一个非常数函数 $f(x)$ $I=(a,\infty)$
注1.3 特别地, Bernstein 定理[3 ] 给出 $f(x)$ $(0,\infty)$
$f(x)=\int_0^\infty {\rm e}^{-xt}{\rm d}u(t),$
其中 $u(t)$
2 几个引理
引理2.1 [1 ] 令 $f:(a,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ $a\geqslant 0$ . 定义函数 $g(x)=\frac{1}{x}(f(x)-1)$ . 如果函数 $g$ $(a,\infty)$ $h(x)=f(x^2)$
(2.1) $ \begin{equation} 1+h(z)\geqslant h(x)+h(y) \end{equation} $
成立, 其中 $x,y\geqslant a$ $z^2=x^2+y^2$ . 如果函数 $g$
引理2.2 [3 ] 设 $f(t)$ $g(t)$ $(0,\infty)$
(2.2) $ \begin{matrix} \int_0^\infty \left[\int_0^t f(s)g(t-s){\rm d}s\right]{\rm e}^{-xt}{\rm d}t=\int_0^\infty f(t){\rm e}^{-xt}{\rm d}t\int_0^\infty g(t){\rm e}^{-xt}{\rm d}t. \end{matrix} $
引理2.3 (Chebyshev 不等式[19 ] ) 设 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ $p:[a,b]\to \mathbb{R}$
(2.3) $ \begin{equation} \int_a^b p(x)f(x){\rm d}x \int_a^b {p(x)g(x){\rm d}x} \le \int_a^b {p(x){\rm d}x} \int_a^b {p(x)f(x)g(x){\rm d}x}. \end{equation} $
如果 $f$ $g$
引理2.4 (Waston 引理[4 ] ) 设 $f(t)$
$f(t)\sim \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{\lambda_{n}}, t\rightarrow 0,$
其中 $-1<{\rm Re}(\lambda_1)<{\rm Re}(\lambda_2)<\cdots.$ $F(p)$ $f(t)$ $F(p)=\int_0^\infty {\rm e}^{-pt}f(t){\rm d}t.$ $F(p)$
(2.4) $ \begin{matrix} F(p)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}(\lambda_n)!}{p^{\lambda_{n}+1}},\mid{p}\mid\rightarrow \infty. \end{matrix} $
3 单调性与不等式
定理3.1 广义双参数 Nielsen 贝塔函数满足
(3.1) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}(x+k)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2k(p+1)}-\beta_{p,k}(x) \end{matrix} $
(3.2) $ \begin{equation} \beta_{p,k}(x+nk)=\sum\limits_{s=0}^{n-1}\frac{(-1)^{s+n+1}}{x+s}+ \sum\limits_{s=0}^{n-1}\frac{(-1)^{s+n}}{x+sk+2k(p+1)}+(-1)^n\beta_{p,k}(x), \end{equation} $
$\begin{align*} \beta_{p,k}(x+k)+\beta_{p,k}(x)&=\int_{0}^{1}\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^k}(u^{x+k-1}+u^{x-1}){\rm d}u\nonumber\\ &=\int_{0}^{1}(1-u^{2k(p+1)})u^{x-1}{\rm d}u\\ &=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2k(p+1)}.\nonumber \end{align*}$
注3.1 在 (3.1) 式中令 $k=1,p\rightarrow\infty$ $\beta(x+1)=\frac{1}{x}-\beta(x),$ 7 ,13 ].
推论3.1 当 $p\in \mathbb{N}, k>0$ $x>0$
(3.3) $ \begin{matrix} 0<\beta_{p,k}(x)\leqslant\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2k(p+1)}. \end{matrix} $
证 利用 (1.5) 式和定理 3.1 容易证得.
定理3.2 当 $n\in \mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$
(1) $\beta_{p,k}^{(n)}(x)$ $n$
(2) $\beta_{p,k}^{(n)}(x)$ $n$
(3.4) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}^{(n)}(x)=(-1)^n\int_0^\infty\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^n{\rm e}^{-xt}{\rm d}t. \end{matrix} $
注3.2 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 10 ,引理 2.3].
推论3.2 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ $x^2+y^2=z^2$
(3.5) $ \begin{matrix} z^2 \beta_{p,k} \left( {z^2 } \right) \leq x^2 \beta_{p,k} \left( {x^2 } \right) + y^2 \beta_{p,k}\left( {y^2 } \right). \end{matrix} $
证 令 $f(x)=x\beta_{p,k}(x)+1$ $g(x)=\frac{f(x)-1}{x}=\beta_{p,k}(x)$
在 $(0,\infty)$
推论3.3 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ $n\in \mathbb{N}$ $x^2+y^2=z^2$
(3.6) $ \begin{matrix} z^2 \beta^{(2n)}_{p,k} \left( {z^2 } \right) \leq x^2 \beta^{(2n)}_{p,k} \left( {x^2 } \right) + y^2 \beta^{(2n)}_{p,k}\left( {y^2 } \right) \end{matrix} $
(3.7) $ \begin{equation} z^2 \beta^{(2n+1)}_{p,k} \left( {z^2 } \right) \geq x^2 \beta^{(2n+1)}_{p,k} \left( {x^2 } \right) + y^2 \beta^{(2n+1)}_{p,k}\left( {y^2 } \right). \end{equation} $
定理3.3 当 $\lambda>1, \mu>1$ $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=1$
(3.8) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}\left(\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}\right)\leqslant(\beta_{p,k}(x))^{\frac{1}{\lambda}}(\beta_{p,k}(y))^{\frac{1}{\mu}}, \ \ x,y>0, \end{matrix} $
即 $\beta_{p,k}(x)$ $(0,\infty)$
$\begin{align*} \beta_{p,k}\left(\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}\right)&= \int_0^1\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}-1}{\rm d}u\nonumber\\ &=\int_0^1\left(\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{x-1}\right)^{\frac{1}{\lambda}}\left(\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{y-1}\right)^{\frac{1}{\mu}}{\rm d}u\nonumber\\ &\leqslant\left(\int_0^1\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{x-1}{\rm d}u\right)^{\frac{1}{\lambda}}\left(\int_0^1\frac{1-u^{2k(p+1)}}{1+u^{k}}u^{y-1}{\rm d}u\right)^{\frac{1}{\mu}}\nonumber\\ &=(\beta_{p,k}(x))^{\frac{1}{\lambda}}(\beta_{p,k}(y))^{\frac{1}{\mu}}\nonumber. \end{align*}$
注3.3 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 10 ,(2.4) 式].
推论3.4 (1) 当 $x>0$ $\beta_{p,k}(x)\beta_{p,k}''(x)\geqslant[\beta_{p,k}'(x)]^2$
(2) 函数 $\frac{\beta_{p,k}'(x)}{\beta_{p,k}(x)}$ $(0,\infty)$
推论3.5 当 $x,y>0$
(1) $[\beta_{p,k}(x+y)]^2<\beta_{p,k}(x)\cdot\beta_{p,k}(y)$
(2) $\beta_{p,k}(x+y)<\beta_{p,k}(x)+\beta_{p,k}(y)$ .
证 (1) 在定理 3.3 中令 $\lambda=\mu=2$ $\beta_{p,k}(x)$
(3.9) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}(x+y)<\beta_{p,k}\left(\frac{x+y}{2}\right)\leqslant\sqrt{\beta_{p,k}(x)\beta_{p,k}(y)}; \end{matrix} $
(3.10) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}(x+y)<\sqrt{\beta_{p,k}(x)\beta_{p,k}(y)}\leqslant\frac{\beta_{p,k}(x)+\beta_{p,k}(y)}{2}\leqslant\beta_{p,k}(x)+\beta_{p,k}(y). \end{matrix} $
(3.11) $ \begin{matrix} \frac{\beta_{p,k}(x)}{\beta_{p,k}(x+k)}<\frac{\beta_{p,k}(x-k)}{\beta_{p,k}(x)}. \end{matrix} $
证 当 $x>0$ $f_{p,k}(x)=\frac{\beta_{p,k}(x)}{\beta_{p,k}(x+k)}$
$\begin{align*} f_{p,k}'(x)=f_{p,k}(x)\left[\frac{\beta_{p,k}'(x)}{\beta_{p,k}(x)}-\frac{\beta_{p,k}'(x+k)}{\beta_{p,k}(x+k)}\right]<0. \end{align*}$
从而 $f_{p,k}(x)$ $(0,\infty)$ $f_{p,k}(x)<f_{p,k}(x-k)$ .
定理3.4 设 $C$ $\phi_{p,k}(x)=C^x\beta_{p,k}(x)$ $(0,\infty)$
证 利用 $\beta_{p,k}(x)$
$\begin{align*} \phi_{p,k}\left(\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}\right)&= C^{\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}}\beta_{p,k}\left(\frac{x}{\lambda}+\frac{y}{\mu}\right)\\ &\leqslant(C^x\beta_{p,k}(x))^{\frac{1}{\lambda}}(C^y\beta_{p,k}(y))^{\frac{1}{\mu}}\\ &\leqslant\frac{\phi_{p,k}(x)}{\lambda}+\frac{\phi_{p,k}(y)}{\mu}\nonumber. \end{align*}$
注3.4 设 $C$ $k=1,p\rightarrow\infty$ $C^x\beta(x)$ $(0,\infty)$
(3.12) $ \begin{matrix} \beta_{p,k}\Big(x+\frac{k}{2}\Big)\leqslant \ln \frac{\Gamma_{p,k}(\frac{x+2k}{2})\Gamma_{p,k}(\frac{x}{2})}{\Gamma_{p,k}^2(\frac{x+k}{2})} \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2k(p+1)}\right). \end{matrix} $
证 因为 $\beta_{p,k}(x)=\frac{1}{2}\left[\psi_{p,k}(\frac{x+k}{2})-\psi_{p,k}(\frac{x}{2})\right]$ $(0,\infty)$ $f(x)$ $[a,b]$
(3.13) $ \begin{matrix} f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\leqslant \frac{1}{b-a}\int_a^bf(t){\rm d}t\leqslant\frac{f(a)+f(b)}{2}. \end{matrix} $
在公式 (3.13) 中, 令 $f(t)=\beta_{p,k}(t), a=x>0, b=x+k$
$\begin{align*} \beta_{p,k}\Big(x+\frac{k}{2}\Big)&\leqslant \Big[\ln \Gamma_{p,k}\Big(\frac{x+k}{2}\Big)-\ln \Gamma_{p,k}\Big(\frac{x}{2}\Big)\Big]_x^{x+k}\\ &\leqslant\frac{\beta_{p,k}(x+k)+\beta_{p,k}(x)}{2}. \end{align*}$
注3.5 表达式 $\frac{\Gamma_{p,k}(\frac{x+2k}{2})\Gamma_{p,k}(\frac{x}{2})}{\Gamma_{p,k}^2(\frac{x+k}{2})}$ $G(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(\frac{x+y}{2})}$ $G(\frac{1}{\lambda},\frac{3}{\lambda})$ $\lambda$ 20 ,21 ]. 实际上, 定理 3.5 利用广义 Nielsen 贝塔函数得到了广义 Gurland 比的一个下界估计.
定理3.6 当 $p\in \mathbb{N}_0$ $k>0$ $\delta_{p,k}(x)=x\beta_{p,k}(x)$ $(0,\infty)$
(3.14) $ \begin{matrix} \delta_{p,k}^{(n)}(x)=n\beta_{p,k}^{(n-1)}(x)+x\beta_{p,k}^{(n)}(x). \end{matrix} $
由公式 $\frac{m!}{x^{m+1}}=\int_0^\infty t^m{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ 6 ]), 可知
$\begin{align*} \frac{(-1)^n\delta_{p,k}^{(n)}(x)}{x}&=(-1)^n\Big[\frac{n}{x}\beta_{p,k}^{(n-1)}(x)+\beta_{p,k}^{(n)}(x)\Big]\\ &=-n\int_0^\infty {\rm e}^{-xt}{\rm d}t\int_0^\infty \frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^{n-1}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t+\int_0^\infty \frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^{n}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t. \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{(-1)^n\delta_{p,k}^{(n)}(x)}{x}&=-n\int_0^\infty \left[\int_0^t \frac{s^{n-1}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)s})}{1+{\rm e}^{-ks}}{\rm d}s\right]{\rm e}^{-xt}{\rm d}t+\int_0^\infty \frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^{n}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\sigma_{p,k}(t){\rm e}^{-xt}{\rm d}t, \end{align*}$
(3.15) $ \begin{equation} \sigma_{p,k}(t)=-n\int_0^t \frac{s^{n-1}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)s})}{1+{\rm e}^{-ks}}{\rm d}s+\frac{t^{n}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)t})}{1+{\rm e}^{-kt}}. \end{equation} $
$\begin{align*} \sigma_{p,k}'(t)= \frac{t^{n}[2k(p+1){\rm e}^{-2k(p+1)t}(1+{\rm e}^{-kt})+k{\rm e}^{-kt}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)t})]}{(1+{\rm e}^{-kt})^2}>0, \end{align*}$
故 $\sigma_{p,k}(t)$ $(0,\infty)$
$\sigma_{p,k}(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\sigma_{p,k}(t)=0, $
所以 $\sigma_{p,k}(t)>\sigma_{p,k}(0)=0$ . 即有 $(-1)^n\delta_{p,k}^{(n)}(x)\geqslant0.$
注3.6 定理 3.6 说明函数 $x\beta_{p,k}(x)$ $(0,\infty)$
(3.16) $ \begin{equation} \beta_{p,k}(x)+x\beta_{p,k}'(x)\leqslant 0 \end{equation} $
(3.17) $ \begin{equation} 2\beta_{p,k}'(x)+x\beta_{p,k}''(x)\geqslant 0. \end{equation} $
如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$
推论3.7 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ $x^2+y^2=z^2$
(3.18) $ \begin{matrix} z^4 \beta_{p,k} \left( {z^2 } \right) \leq x^4 \beta_{p,k} \left( {x^2 } \right) + y^4 \beta_{p,k}\left( {y^2 } \right). \end{matrix} $
定理3.7 当 $x>0$ $y\geqslant 1$
(3.19) $ \begin{equation} \beta_{p,k}(xy)\leqslant \beta_{p,k}(x)+\beta_{p,k}(y). \end{equation} $
$\begin{align*} (x\beta_{p,k}'(x))'=\beta_{p,k}'(x)+x\beta_{p,k}''(x)>2\beta_{p,k}'(x)+x\beta_{p,k}''(x)\geqslant 0, \end{align*}$
所以函数 $x\beta_{p,k}'(x)$ $(0,\infty)$
令 $M_{p,k}(xy)=\beta_{p,k}(xy)-\beta_{p,k}(x)-\beta_{p,k}(y)$ $x$
$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}M_{p,k}(xy)=\frac{1}{x}[xy\beta_{p,k}'(xy)-x\beta_{p,k}'(y)]\geqslant0. \end{align*}$
这说明 $M_{p,k}(xy)$ $x\in(0,\infty)$
$\begin{align*} M_{p,k}(xy)\leqslant\lim_{x\rightarrow\infty} M_{p,k}(xy)=-\beta_{p,k}(y)<0. \end{align*}$
注3.7 如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$ $x>0$ $y\geqslant 1$ $\beta(xy)\leqslant \beta(x)+\beta(y).$
定理3.8 对任意 $k>0$ $n\in\mathbb{N}_0$
(3.20) $ \begin{matrix} \xi_n(x)=\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n!}\beta_{p,k}^{(n)}(x) \end{matrix} $
$\begin{align*} \xi_n'(x)=\frac{(n+1)x^{n}}{n!}(-1)^n\beta_{p,k}^{(n)}(x)+\frac{x^{n+1}}{n!}(-1)^n\beta_{p,k}^{(n+1)}(x), \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{n!}{x^{n+1}}\xi_n'(x)&=(n+1)\int_0^\infty {\rm e}^{-xt}{\rm d}t\int_0^\infty\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^n{\rm e}^{-xt}{\rm d}t -\int_0^\infty\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^{n+1}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t\\ &=(n+1)\int_0^\infty \left[\int_0^t \frac{s^n(1-{\rm e}^{-2k(p+1)s})}{1+{\rm e}^{-ks}}{\rm d}s\right]{\rm e}^{-xt}{\rm d}t -\int_0^\infty\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}t^{n+1}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty \eta_{p,k}(t){\rm e}^{-xt}{\rm d}t, \end{align*}$
$ \eta_{p,k}(t)=(n+1)\int_0^t \frac{s^n(1-{\rm e}^{-2k(p+1)s})}{1+{\rm e}^{-ks}}{\rm d}s-\frac{t^{n+1}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)t})}{1+{\rm e}^{-kt}}. $
$ \eta_{p,k}(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\eta_{p,k}(x)=0 $
$ \eta_{p,k}'(t)=-\frac{t^{n+1}}{(1+{\rm e}^{-kt})^2}[2k(p+1){\rm e}^{-2k(p+1)t}(1+{\rm e}^{-kt}) +k{\rm e}^{-kt}(1-{\rm e}^{-2k(p+1)t})]\leqslant 0, $
所以 $\eta_{p,k}(t)\leqslant\eta_{p,k}(0)=0$ $\xi_n'(x)\leqslant 0$ .
注3.8 如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$
4 两个平均不等式
任意两个不同的正数 $x,y$
$A(x,y)=\frac{x+y}{2},\quad G(x,y)=\sqrt{xy},$
$L(x,y)=\frac{x-y}{\ln(x)-\ln(y)},\quad x\neq y,$
$I(x,y)= \frac{1}{\rm e}\left( {\frac{{x^x }}{{y^y }}} \right)^{1/(x - y)},\quad x\neq y.$
定理4.1 设 $p\in \mathbb{N},k>0$ $x,y \in(0,\infty)$
(4.1) $ \begin{equation} L\left( {\beta_{p,k} (x),\beta_{p,k} (y)} \right)\leq\frac{{\int_{y}^x {\beta_{p,k} (u){\rm d}u} }}{{x-y}}. \end{equation} $
证 不妨设 $y\leq x$ $t=\beta_{p,k}(u)$
$\begin{align*} L\left( {\beta_{p,k} (x),\beta_{p,k} (y)} \right) &= \frac{{\beta_{p,k} (x) - \beta_{p,k} (y)}}{{\ln \beta_{p,k} (x) - \ln \beta_{p,k} (y)}} \\ &= \frac{{\int_{\beta_{p,k} (y)}^{\beta_{p,k} (x)} {1{\rm d}t} }}{{\int_{\beta_{p,k} (y)}^{\beta_{p,k} (x)} {\frac{1}{t}{\rm d}t} }} = \frac{{\int_{y}^x {\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime {\rm d}u} }}{{\int_{y}^x {\frac{{\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime }}{{\beta_{p,k} (u)}}{\rm d}u} }}. \end{align*}$
由于函数 $\beta_{p,k} (x)$ $(0,\infty)$ $\frac{(\beta_{p,k} (u))'}{\beta_{p,k} (u)}$ $p(u)=1, f(u)=\beta_{p,k} (u), g(u)=\frac{(\beta_{p,k} (u))'}{\beta_{p,k} (u)}$
$\int_{y}^x {\beta_{p,k} (u){\rm d}u} \int_{y}^x {\frac{{\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime }}{{\beta_{p,k} (u)}}{\rm d}u} \geq \int_{y}^x {1{\rm d}u} \int_{y}^x {\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime {\rm d}u}. $
$\frac{{\int_{y}^x {\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime {\rm d}u} }}{{\int_{y}^x {\frac{{\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime }}{{\beta_{p,k} (u)}}{\rm d}u} }} \leq \frac{{\int_{y}^x {\beta_{p,k} (u){\rm d}u} }}{{x-y}}.$
定理4.2 设 $p\in \mathbb{N},k>0$ $x,y \in(0,\infty)$
(4.2) $ \begin{equation} I\left( {\beta_{p,k} (x),\beta_{p,k} (y)} \right)\leq {\rm e}^{\frac{{\int_{y}^x {\ln\beta_{p,k} (u){\rm d}u} }}{{x-y}}}. \end{equation} $
$\begin{align*} \ln I\left( {\beta_{p,k} (x),\beta_{p,k} (y)} \right) &= \frac{{\beta_{p,k} (y)\ln\beta_{p,k} (y) - \beta_{p,k} (x)\ln \beta_{p,k} (x) }}{{\beta_{p,k} (y) - \beta_{p,k} (x)}}-1 \\ & = \frac{{\int_{\beta_{p,k} (y)}^{\beta_{p,k} (x)} {\ln t{\rm d}t} }}{{\int_{\beta_{p,k} (y)}^{\beta_{p,k} (x)} {1{\rm d}t} }} = \frac{{\int_{y}^x {\ln \beta_{p,k} (u)\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime {\rm d}u} }}{{\int_{y}^x {\left( {\beta_{p,k} (u)} \right)^\prime {\rm d}u} }}. \end{align*}$
由于 $(\beta_{p,k} (u))'$ $\ln(\beta_{p,k} (x))$
$\ln I\left( {\beta_{p,k} (x),\beta_{p,k} (y)} \right) \leq\frac{{\int_{y}^x {\ln \beta_{p,k} (u){\rm d}u} }}{{x-y}}. $
注4.1 即使令 $k=1,p\rightarrow\infty$
5 渐近性质
定理5.1 当 $x\rightarrow \infty$ $\beta_{p,k}(x)$
$\begin{align*} \beta_{p,k}(x)\sim\ & \frac{1}{2x}+\frac{1}{2[x+2k(p+1)]}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{mx^{2m}}\\ &+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{m[x+2k(p+1)]^{2m}},\ x\rightarrow \infty, \end{align*}$
其中 $B_s$ $s$
证 对于充分大的 $x$ $\beta_{p,k}(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ $q(t)=\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}$ $q(t)$
$q(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh\left(\frac{kt}{2}\right)= \frac{1}{2}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}t^{2m-1}}{(2m)!},\ \mid t\mid<\pi$
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t\sim \sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{q^{(m)}(0)}{x^{m+1}}, \ x\rightarrow \infty,$
其中 $q^{(0)}(0)=\frac{1}{2},q^{(2m)}(0)=0, q^{(2m+1)}(0)=\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{m}.$ $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t\sim \frac{1}{2x}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{mx^{2m}},\ x\rightarrow \infty.$
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-[2k(p+1)+x]t}{\rm d}t\sim\frac{1}{2[x+2k(p+1)]}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{m[x+2k(p+1)]^{2m}},\ x\rightarrow \infty.$
注5.1 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ $x\rightarrow \infty$ $\beta(x)$
$\beta(x)\sim \frac{1}{2x}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{mx^{2m}},\ x\rightarrow \infty.$
6 一个公开问题
由定理 3.8 可知, $\xi_n(x)=\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n!}\beta_{p,k}^{(n)}(x) $ $(0,\infty)$ $\xi_n(x)$ $(0,\infty)$
公开问题 当 $k>0$ $n\in\mathbb{N}_0=\{0\}\cup\mathbb{N}$ $\xi_n(x)$ $(0,\infty)$
参考文献
View Option
[1]
Baricz Á Bhayo B A Pogány T K Convexity properties of generalized trigonometric and hyperbolic functions
J Math Anal Appl , 2014 , 417 244 -259
[本文引用: 1]
[2]
Boyadzhiev K N Medina L A Moll V H The integral in Gradshteyr and Ryzhik, Part 11: The incomplete beta function
Scientia Ser A: Math Sci , 2009 , 18 1 ): 61 -75
[本文引用: 1]
[3]
Chen C P Choi J S Completely monotonic functions related to Gurland’s ratio for the gamma function
Math Inequal Appl , 2017 , 20 3 ): 651 -659
[本文引用: 3]
[4]
Copson E T Asymptotic Expansions, Cambridge Tracts in Math Math Phys 55 . New York:Cambridge University Press, 1965
[本文引用: 1]
[5]
Dubourdieu J Sur un théorème de M S Bernstein relatifàla transformation de Laplace-Stieltjes
Comp Math , 1939 , 7 96 -111
[6]
Krasniqi V Qi F Complete monotonicity of a function involving the $p$ - psi function and alternative proofs
Global Journal of Mathematical Analysis , 2014 , 2 3 ): 204 -208
[本文引用: 1]
[7]
Nantomah K Convexity properties and inequalities concerning the $(p,k)$ - gamma function
Commun Fac Sci Univ Ank Series A1 , 2017 , 66 2 ): 130 -140
[本文引用: 2]
[8]
Nantomah K Monotonicity and convexity properties and some inequalities involving a generalized form of the Wallis’ cosine formula
Research Journal of Math , 2017 , 6 3 ): 1 -10
[本文引用: 1]
[9]
Nantomah K Monotonicity and convexity properties of the Nielsen’s $\beta$ - function
Probl Anal Issues Anal , 2017 , 24 2 ): 81 -93
[本文引用: 2]
[10]
Nantomah K On some properties and inequalities for the Nielsen’s $\beta$ - function
Scientia Series A: Mathematical Sciences , 2017 - 2018 , 28 43 -54
[本文引用: 2]
[11]
Nantomah K Merovci F Nasiru S Some inequalities and monotonicity properties for the $(p,k)$ - gamma function
Kragujevac Journal of Math , 2018 , 42 2 ): 287 -297
[本文引用: 1]
[12]
Nantomah K Prempeh E Twum S B On a $(p,k)$ - analogue of the gamma function and some associated inequalities
Moroccan Journal of Pure and Applied Analysis , 2016 , 2 2 ): 79 -90
[本文引用: 1]
[13]
Nielsen N Handbuch der Theorie der Gamma Function (First edition)
Leipzig: B G Teubner , 1906
[本文引用: 2]
[14]
Qi F Chen C P Some completely monotonic and polygamma functions
J Aust Math Soc , 2006 , 80 81 -88
[本文引用: 1]
[15]
Qi F Guo B N A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and tri-gamma functions and some applications
J Korean Math Soc , 2011 , 48 3 ): 655 -667
[本文引用: 1]
[16]
Qi F Guo B N Completely monotonic functions involving divided differences of the di- and tri-gamma functions and some applications
Commun Pure Appl Anal , 2009 , 8 6 ): 1975 -1989
[本文引用: 1]
[17]
Qi F Guo B N Necessary and sufficient conditons for functions involving the tri- and tetra-gamma functions to be completely monotonic
Adv Appl Math , 2010 , 44 1 ): 71 -83
[本文引用: 1]
[18]
Qi F Guo S L Guo B N Completely monotonicity of some functions involving polygamma functions
J Comput Appl Math , 2010 , 233 2149 -2160
[本文引用: 1]
[19]
Qi F Huang Z Inequalities of the complete elliptic integrals
Tamkang J Math , 1998 , 29 3 ): 165 -169
[本文引用: 1]
[20]
Shrafi K Leon-Garcia A Estimation of shape parameter for generalized Gaussian distribution in subband decomposition of video
IEEE Trans Circ Syst Video Techn , 1995 , 5 52 -56
[本文引用: 1]
[21]
Stacy E W A generalization of gamma distribution
Ann Math Statistics , 1962 , 28 1187 -1192
[本文引用: 1]
[22]
Wang M K Chu Y M Refinements of transformation inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
Acta Math Sci , 2017 , 37B 3 ): 607 -622
[本文引用: 1]
[23]
Wang M K Chu Y M Jiang Y P Ramanujan’s cubic transformation inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
Rocky Mountain J Math , 2016 , 46 2 ): 679 -691
[本文引用: 1]
[24]
王淼坤 , 褚玉明 , 蒋月评 , 闫丹丹 . 零平衡超几何函数的一类二次变换不等式
数学物理学报 , 2014 , 34A 999 -1007
[本文引用: 1]
Wang M K Chu Y M Jiang Y P Yan D D A class of quadratic transformation inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
Acta Math Sci , 2014 , 34A 999 -1007
[本文引用: 1]
[25]
Wang M K Chu Y M Zhang W Monotonicity and inequalities involving zero-balanced hypergeometric function
Math Inequal Appl , 2019 , 22 2 ): 601 -617
[本文引用: 1]
[26]
王淼坤 , 宋迎清 , 褚玉明 . 零平衡超几何函数的不等式
数学学报 , 2014 , 57 719 -726
[本文引用: 1]
Wang M K Song Y Q Chu Y M A class of quadratic transformation inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
Acta Math Sinica , 2014 , 57 719 -726
[本文引用: 1]
[27]
Wang M K Zhang W Chu Y M Monotonicity, convexity and inequalities involving the generalized elliptic integrals
Acta Math Sci , 2019 , 39B 5 ): 1440 -1450
[本文引用: 1]
[28]
Widder D V The Laplace Transform . Princeton : Princeton University Press , 1941
[本文引用: 1]
[29]
Zhao T H Wang M K Zhang W Chu Y M Quadratic transformation inequalities for Gaussian hypergeometric function
J Inequal Appl , 2018 , 2018 1 -15
[本文引用: 1]
Convexity properties of generalized trigonometric and hyperbolic functions
1
2014
... 引理2.1 [1 ] 令 $f:(a,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ $a\geqslant 0$ . 定义函数 $g(x)=\frac{1}{x}(f(x)-1)$ . 如果函数 $g$ $(a,\infty)$ $h(x)=f(x^2)$
The integral in Gradshteyr and Ryzhik, Part 11: The incomplete beta function
1
2009
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
Completely monotonic functions related to Gurland’s ratio for the gamma function
3
2017
... 定义1.2 [3 ] 对 $x\in I$ $f(x)$ $(-1)^nf^{(n)}(x)\geqslant0, n\in \mathbb{N}_0$ $f(x)$ $I$
... 注1.3 特别地, Bernstein 定理[3 ] 给出 $f(x)$ $(0,\infty)$
... 引理2.2 [3 ] 设 $f(t)$ $g(t)$ $(0,\infty)$
1
1965
... 引理2.4 (Waston 引理[4 ] ) 设 $f(t)$
Bernstein relatifàla transformation de Laplace-Stieltjes
0
1939
Complete monotonicity of a function involving the $p$ -psi function and alternative proofs
1
2014
... 由公式 $\frac{m!}{x^{m+1}}=\int_0^\infty t^m{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ 6 ]), 可知 ...
Convexity properties and inequalities concerning the $(p,k)$ -gamma function
2
2017
... 称为双参数广义 polygamma 函数. 更多的结论请读者参看文献 [7 ,11 ,12 ]. ...
... 注3.1 在 (3.1) 式中令 $k=1,p\rightarrow\infty$ $\beta(x+1)=\frac{1}{x}-\beta(x),$ 7 ,13 ]. ...
Monotonicity and convexity properties and some inequalities involving a generalized form of the Wallis’ cosine formula
1
2017
... 近几年, Nielsen 贝塔函数被深入研究. 在文献 [8 ] 中, 它被应用于研究 Wallis 余弦公式. 在文献 [9 ] 中, Nantomah 证明了它的单调性与凹凸性. 最近, Nantomah 等又给出了双参数广义伽马函数与 digamma 函数的定义及一些基本关系. ...
Monotonicity and convexity properties of the Nielsen’s $\beta$ -function
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2017
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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On some properties and inequalities for the Nielsen’s $\beta$ -function
2
2018
... 注3.2 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 10 ,引理 2.3]. ...
... 注3.3 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 10 ,(2.4) 式]. ...
Some inequalities and monotonicity properties for the $(p,k)$ -gamma function
1
2018
... 称为双参数广义 polygamma 函数. 更多的结论请读者参看文献 [7 ,11 ,12 ]. ...
On a $(p,k)$ -analogue of the gamma function and some associated inequalities
1
2016
... 称为双参数广义 polygamma 函数. 更多的结论请读者参看文献 [7 ,11 ,12 ]. ...
Handbuch der Theorie der Gamma Function (First edition)
2
1906
... Nielsen[13 ] 把经典的 Nielsen 贝塔函数定义为 ...
... 注3.1 在 (3.1) 式中令 $k=1,p\rightarrow\infty$ $\beta(x+1)=\frac{1}{x}-\beta(x),$ 7 ,13 ]. ...
Some completely monotonic and polygamma functions
1
2006
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and tri-gamma functions and some applications
1
2011
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
Completely monotonic functions involving divided differences of the di- and tri-gamma functions and some applications
1
2009
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
Necessary and sufficient conditons for functions involving the tri- and tetra-gamma functions to be completely monotonic
1
2010
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
Completely monotonicity of some functions involving polygamma functions
1
2010
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
Inequalities of the complete elliptic integrals
1
1998
... 引理2.3 (Chebyshev 不等式[19 ] ) 设 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ $p:[a,b]\to \mathbb{R}$
Estimation of shape parameter for generalized Gaussian distribution in subband decomposition of video
1
1995
... 注3.5 表达式 $\frac{\Gamma_{p,k}(\frac{x+2k}{2})\Gamma_{p,k}(\frac{x}{2})}{\Gamma_{p,k}^2(\frac{x+k}{2})}$ $G(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(\frac{x+y}{2})}$ $G(\frac{1}{\lambda},\frac{3}{\lambda})$ $\lambda$ 20 ,21 ]. 实际上, 定理 3.5 利用广义 Nielsen 贝塔函数得到了广义 Gurland 比的一个下界估计. ...
A generalization of gamma distribution
1
1962
... 注3.5 表达式 $\frac{\Gamma_{p,k}(\frac{x+2k}{2})\Gamma_{p,k}(\frac{x}{2})}{\Gamma_{p,k}^2(\frac{x+k}{2})}$ $G(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(\frac{x+y}{2})}$ $G(\frac{1}{\lambda},\frac{3}{\lambda})$ $\lambda$ 20 ,21 ]. 实际上, 定理 3.5 利用广义 Nielsen 贝塔函数得到了广义 Gurland 比的一个下界估计. ...
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1
2017
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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1
2016
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零平衡超几何函数的一类二次变换不等式
1
2014
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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1
2014
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Monotonicity and inequalities involving zero-balanced hypergeometric function
1
2019
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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1
2014
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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1
2014
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
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1
2019
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1
1941
... 关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14 ⇓ ⇓ ⇓ -18 ,28 ]. ...
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1
2018
... 此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2 ,9 ]. 特别地, 满足 $a+b=c$ $F(1,x;x+1;-1)$ 22 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ -27 ,29 ]. ...
