Nielsen^[13] 把经典的 Nielsen 贝塔函数定义为

其中 $\psi(x)=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\ln \Gamma(x)$ 为伽马函数的对数导数. Nielsen 贝塔函数与贝塔函数 $B(x,y)$、高斯超几何函数 $F(a,b;c;z)$ 等分析中许多重要的函数有密切的关系. 例如下列等式

与

此外, Nielsen 贝塔函数也广泛应用于计算某些特殊积分. 它的某些特殊值与Catalan 数、Riemann 泽塔函数等重要常数或函数有紧密联系. 相关的结果和公式参看文献 [2,9]. 特别地, 满足 $a+b=c$ 的超几何函数 $F(1,x;x+1;-1)$ 称为零支超几何函数, 它在特殊函数理论中有着极其重要的作用, 相关的应用和性质参看文献 [22⇓⇓⇓⇓-27,29].

近几年, Nielsen 贝塔函数被深入研究. 在文献 [8] 中, 它被应用于研究 Wallis 余弦公式. 在文献 [9] 中, Nantomah 证明了它的单调性与凹凸性. 最近, Nantomah 等又给出了双参数广义伽马函数与 digamma 函数的定义及一些基本关系.

对 $p\in\mathbb{N}, k>0, x>0$, 双参数广义伽马函数定义为

且$\Gamma_{p,k}(x)$ 满足

类似地, 双参数广义 digamma 函数定义为

对任意 $m\in\mathbb{N}$, 它的各阶导数为

称为双参数广义 polygamma 函数. 更多的结论请读者参看文献 [7,11,12].

非常自然地, 可以定义双参数广义 Nielsen 贝塔函数如下.

定义1.1 当 $p\in \mathbb{N}, k>0$ 且 $x>0$ 时, 双参数广义 Nielsen 贝塔函数的表达式为

注1.1 利用公式 (1.2) 和变量变换, 易得

特别地, 当 $k=1, p\rightarrow\infty$ 时, $\beta_{p,k}(x)$ 即为经典的 Nielsen 贝塔函数.

定义1.2^[3] 对 $x\in I$, 如果函数 $f(x)$ 的各阶导数满足 $(-1)^nf^{(n)}(x)\geqslant0, n\in \mathbb{N}_0$, 则称 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的完全单调函数.

注1.2 特别地, Dubourdieu 在文献 []5] 指出: 若一个非常数函数 $f(x)$ 在 $I=(a,\infty)$ 是完全单调的, 则定义中的不等式必定是严格的.

注1.3 特别地, Bernstein 定理^[3]给出 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为完全单调的当且仅当

其中 $u(t)$ 为有界单调递增函数, 且积分是收敛的.

关于完全单调函数的更多性质与应用请参看文献[14⇓⇓⇓-18,28].

引理2.1^[1] 令 $f:(a,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ 且 $a\geqslant 0$. 定义函数 $g(x)=\frac{1}{x}(f(x)-1)$. 如果函数 $g$ 为 $(a,\infty)$ 上的单调递增函数, 则对于函数 $h(x)=f(x^2)$, 有如下的 Grünbaum 型不等式

成立, 其中 $x,y\geqslant a$ 且$z^2=x^2+y^2$. 如果函数 $g$ 单调递减, 那么不等式 (2.1) 反向成立.

引理2.2^[3] 设 $f(t)$ 与 $g(t)$ 分别为定义在 $(0,\infty)$ 上的可积函数, 则下列 Laplace 卷积公式成立.

引理2.3 (Chebyshev 不等式^[19]) 设 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为同增或者同减的可积函数, 且 $p:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为一个正的可积函数, 则

如果 $f$ 和 $g$ 一个单增一个单减, 则上述不等式反向成立.

引理2.4 (Waston 引理^[4]) 设 $f(t)$ 的渐近展开式为

其中 $-1<{\rm Re}(\lambda_1)<{\rm Re}(\lambda_2)<\cdots.$ 令 $F(p)$ 为 $f(t)$ 的 Laplace 变换, 即 $F(p)=\int_0^\infty {\rm e}^{-pt}f(t){\rm d}t.$ 则 $F(p)$ 有下面的渐近展开式

定理3.1 广义双参数 Nielsen 贝塔函数满足

和

其中 $n\in \mathbb{N}$.

证 由展开式 (1.5), 可得

之后利用归纳法可得到公式 (3.2).

注3.1 在 (3.1) 式中令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 时, (3.1) 式变为 $\beta(x+1)=\frac{1}{x}-\beta(x),$ 此式可见文献 [7,13].

推论3.1 当 $p\in \mathbb{N}, k>0$ 且 $x>0$ 时, 有

证 利用 (1.5) 式和定理 3.1 容易证得.

定理3.2 当 $n\in \mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$ 时,

(1) $\beta_{p,k}^{(n)}(x)$ 为正的单调递减函数当且仅当 $n$ 为偶数;

(2) $\beta_{p,k}^{(n)}(x)$ 为负的单调递增函数当且仅当 $n$ 为奇数.

证 (1.5)式两边求导, 可得

证毕.

注3.2 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 时, 定理 3.2 即为文献 [10,引理 2.3].

推论3.2 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ 及 $x^2+y^2=z^2$, 则有

证令 $f(x)=x\beta_{p,k}(x)+1$, 由定理 3.2 可知 $g(x)=\frac{f(x)-1}{x}=\beta_{p,k}(x)$

在 $(0,\infty)$ 上单调递减. 应用引理 2.1 不难完成证明.

更一般地, 可以得到下面的结论.

推论3.3 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ 且 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $x^2+y^2=z^2$, 则有

和

定理3.3 当 $\lambda>1, \mu>1$ 且满足 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=1$ 时, 下列不等式成立

即 $\beta_{p,k}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为对数凸函数.

证 利用 Hölder 不等式, 可得

证毕.

注3.3 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 时, 定理 3.3 即为文献 [10,(2.4) 式].

应用定理3.3 易得下列推论.

推论3.4 (1) 当 $x>0$ 时, $\beta_{p,k}(x)\beta_{p,k}''(x)\geqslant[\beta_{p,k}'(x)]^2$ 成立;

(2) 函数 $\frac{\beta_{p,k}'(x)}{\beta_{p,k}(x)}$ 在 $(0,\infty)$ 上为单调递增函数.

推论3.5 当 $x,y>0$ 时, 下列不等式成立

(1) $[\beta_{p,k}(x+y)]^2<\beta_{p,k}(x)\cdot\beta_{p,k}(y)$;

(2) $\beta_{p,k}(x+y)<\beta_{p,k}(x)+\beta_{p,k}(y)$.

证 (1) 在定理 3.3 中令 $\lambda=\mu=2$, 由 $\beta_{p,k}(x)$ 的递减性质, 可得

(2) 应用均值不等式有

证毕.

推论3.6 当 $x>1$ 时, 有

证 当 $x>0$ 时, 令 $f_{p,k}(x)=\frac{\beta_{p,k}(x)}{\beta_{p,k}(x+k)}$, 求导得

从而 $f_{p,k}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上是严格单调递减的, 故 $f_{p,k}(x)<f_{p,k}(x-k)$.

证毕.

定理3.4 设 $C$ 为任意正常数, 则 $\phi_{p,k}(x)=C^x\beta_{p,k}(x)$ 为 $(0,\infty)$ 上的凸函数.

证 利用 $\beta_{p,k}(x)$ 的对数凸性与 Young 不等式, 有

证毕.

注3.4 设 $C$ 为任意正常数, 令 $k=1,p\rightarrow\infty$ 时, 则函数 $C^x\beta(x)$ 为 $(0,\infty)$ 上的凸函数.

定理3.5 当 $x>0$ 时, 下列不等式成立

证 因为 $\beta_{p,k}(x)=\frac{1}{2}\left[\psi_{p,k}(\frac{x+k}{2})-\psi_{p,k}(\frac{x}{2})\right]$ 在 $(0,\infty)$ 上为凸函数, 由 Hermite-Hadamard 不等式, 当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为凸函数时, 有

在公式 (3.13) 中, 令 $f(t)=\beta_{p,k}(t), a=x>0, b=x+k$, 则有

化简可得结论.

证毕.

注3.5 表达式 $\frac{\Gamma_{p,k}(\frac{x+2k}{2})\Gamma_{p,k}(\frac{x}{2})}{\Gamma_{p,k}^2(\frac{x+k}{2})}$ 是经典 Gurland 比 $G(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(\frac{x+y}{2})}$ 的一个特殊形式的双参数推广. Gurland 比有广泛的应用, 例如 $G(\frac{1}{\lambda},\frac{3}{\lambda})$ 应用于带参数 $\lambda$ 的广义 gamma 分布的方差与平方绝对期望的参数比中. 此外, 它在图像识别领域中起到了重要作用. 具体可参看文献 [20,21]. 实际上, 定理 3.5 利用广义 Nielsen 贝塔函数得到了广义 Gurland 比的一个下界估计.

定理3.6 当 $p\in \mathbb{N}_0$ 且 $k>0$ 时, 函数 $\delta_{p,k}(x)=x\beta_{p,k}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为完全单调的.

证 由函数乘积导数的 Leibniz 公式, 得

由公式 $\frac{m!}{x^{m+1}}=\int_0^\infty t^m{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ (见文献 [6]), 可知

由引理 2.2, 则有

其中

对 $\sigma_{p,k}(t)$ 求导得

故 $\sigma_{p,k}(t)$ 在 $(0,\infty)$ 上为单调递增函数. 又因为

所以 $\sigma_{p,k}(t)>\sigma_{p,k}(0)=0$. 即有 $(-1)^n\delta_{p,k}^{(n)}(x)\geqslant0.$

证毕.

注3.6 定理 3.6 说明函数 $x\beta_{p,k}(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为单调递减的凸函数, 即有

与

如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$, 则可以得到经典 Nielson 贝塔函数类似的结论.

应用注 3.6的结论以及引理 2.1 易得

推论3.7 对于给定的 $x,y,z\in (0,\infty)$ 以及 $x^2+y^2=z^2$, 则有

定理3.7 当 $x>0$ 且 $y\geqslant 1$ 时, 成立不等式

证 由 (3.17) 式得

所以函数 $x\beta_{p,k}'(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为严格单调递增函数.

令 $M_{p,k}(xy)=\beta_{p,k}(xy)-\beta_{p,k}(x)-\beta_{p,k}(y)$, 求对 $x$ 的偏导数, 得

这说明 $M_{p,k}(xy)$ 在 $x\in(0,\infty)$ 时为单调递增的. 从而有

证毕.

注3.7 如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$, 则当 $x>0$ 且 $y\geqslant 1$ 时, (3.19) 式变为 $\beta(xy)\leqslant \beta(x)+\beta(y).$

定理3.8 对任意 $k>0$ 以及 $n\in\mathbb{N}_0$, 函数

在 $(0,\infty)$ 上为单调递减的.

证 (3.20) 式两边求导, 得

由 (3.4) 式和引理 2.2, 则有

其中

直接计算, 得

与

所以 $\eta_{p,k}(t)\leqslant\eta_{p,k}(0)=0$, 从而 $\xi_n'(x)\leqslant 0$.

证毕.

注3.8 如果令 $k=1,p\rightarrow\infty$, 则定理 3.8 等价于文献 [定理 6] 的一部分.

任意两个不同的正数 $x,y$, 它们的算术平均、几何平均、对数平均、指数平均分别定义为

定理4.1 设 $p\in \mathbb{N},k>0$ 以及 $x,y \in(0,\infty)$, 则

证 不妨设 $y\leq x$, 令 $t=\beta_{p,k}(u)$ 则有

由于函数 $\beta_{p,k} (x)$ 在 $(0,\infty)$ 上是单调递减的对数凸函数, 所以 $\frac{(\beta_{p,k} (u))'}{\beta_{p,k} (u)}$ 为单调递增函数, 在引理 2.3 (Chebyshev 不等式) 中取 $p(u)=1, f(u)=\beta_{p,k} (u), g(u)=\frac{(\beta_{p,k} (u))'}{\beta_{p,k} (u)}$, 可得

它等价于不等式

定理得证.

定理4.2 设 $p\in \mathbb{N},k>0$ 且 $x,y \in(0,\infty)$, 则

证 类似于定理 4.1 的证明, 得

由于 $(\beta_{p,k} (u))'$ 为单调递增函数, $\ln(\beta_{p,k} (x))$ 为减函数. 由引理 2.3, 得到

证毕.

注4.1 即使令 $k=1,p\rightarrow\infty$, 定理 4.1 和定理 4.2 也是新结果.

定理5.1 当 $x\rightarrow \infty$ 时, 函数 $\beta_{p,k}(x)$ 满足如下的渐近展开式

其中 $B_s$ 为 $s$ 阶 Bernoulli 数.

证 对于充分大的 $x$, $\beta_{p,k}(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{1-{\rm e}^{-2k(p+1)t}}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ 都收敛, 且在原点的任意邻域内函数 $q(t)=\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}$ 无穷次可导. 利用 $q(t)$ 的级数渐近展开式

和 Waston 引理 (引理 2.4)

其中 $q^{(0)}(0)=\frac{1}{2},q^{(2m)}(0)=0, q^{(2m+1)}(0)=\frac{(2^{2m}-1)B_{2m}k^{2m-1}}{m}.$ 整理得积分 $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+{\rm e}^{-kt}}{\rm e}^{-xt}{\rm d}t$ 的渐近展开式为

类似地, 有渐近展开式

综合上述两式, 定理得证.

注5.1 令 $k=1,p\rightarrow\infty$, 且当 $x\rightarrow \infty$ 时, 函数 $\beta(x)$ 有如下的渐近展开式

由定理 3.8 可知, $\xi_n(x)=\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n!}\beta_{p,k}^{(n)}(x)$ 为 $(0,\infty)$ 上的单调递减函数. 此外, $\xi_n(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上显然为正的. 因此, 给出如下猜测.

公开问题 当 $k>0$ 且 $n\in\mathbb{N}_0=\{0\}\cup\mathbb{N}$ 时, 函数 $\xi_n(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上为完全单调的.