设 $\mathbb{D}$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 上的开单位圆盘, ${\rm d}A$ 表示 $\mathbb{D}$ 上的面积测度. 给定一个可分的希尔伯特空间$\mathcal{H}$, 其上的范数为 $\|\cdot\|_{\mathcal{H}}$. 对 $\alpha>-1$, 标准的加权向量值勒贝格空间 $L^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})$ 是 $\mathbb{D}$ 上满足

的 $\mathcal{H}$-值可测函数构成的空间, 其中 ${\rm d}A_{\alpha}(z)=(1+\alpha)(1-|z|^{2})^{\alpha}{\rm d}A(z).$

记 $\mathcal{X}$ 是一个复巴拿赫空间, $\Omega$ 是 $\mathbb{D}$ 的一个开子集. 我们用 $H(\Omega,\mathcal{X})$ 表示 $\Omega$ 上的值属于 $\mathcal{X}$ 的全体解析函数构成的集合. 特别地, $H(\mathbb{D},\mathcal{H})$ 表示 $\mathbb{D}$ 上 $\mathcal{H}$-值的解析函数全体. 于是, 标准的加权向量值Bergman 空间 $A^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})$ 是 $A^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})=L^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})\cap H(\mathbb{D},\mathcal{H}).$

令 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ 是 $\mathcal{H}$ 上的有界线性算子的集合, 其上的范数记为 $\|\cdot\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}$. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个巴拿赫空间, $T$ 是 $\mathbb{D}$ 上的 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$-值函数, $P_{\alpha}$ 是 $L^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})$ 到 $A^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})$ 的投影算子. 由文献 [18,定理 6.2.1] 知, 当 $p=q=2$, $n=1$ 以及 $X=Y=\mathcal{H}$ 时, Hankel 算子 $H_{T}:A^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})\to L^{2}_{\alpha}(\mathcal{H})$, $H_{T}f(z)=(I-P_{\alpha})(T(z)f(z))$ 是有界的当且仅当

在这篇文章中, 我们要将上述结论推广到更一般的向量值指数型权 Bergman 空间上. 首先给出空间的定义.

设 $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的一个次调和函数, 令 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 表示 $\mathbb{D}$ 上满足

的 $\mathcal{H}$-值可测的函数空间. $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 是一个希尔伯特空间, 其上的内积为

这里 $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathcal{H}}$ 表示 $\mathcal{H}$ 上的内积. 于是, 向量值指数型权 Bergman 空间 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 是 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 中所有解析函数组成的子空间. 特别地, 当 $\dim\mathcal{H}=1$ 时, $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 就是标量值指数型 Bergman 空间 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$, 更多关于该空间的信息, 可以参看文献[13,15,20,21]. 运用文献 [20] 得, 从 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $\mathcal{H}$ 的点赋值泛函是有界的; 具体来说, 对任意的 $f\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$, 存在一个依赖于 $z$ 的常数 $C(z)$使得

这就说明了 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 是 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 的一个闭子空间. 令 $P$ 表示 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 的正交投影. 对任意的 $f\in L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 和 $\mathcal{H}$ 中的单位元 $e$, 容易看出函数 $\langle Pf(z),e\rangle_{\mathcal{H}}$ 属于 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$. 因此, 根据 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 中的再生核公式知, 投影算子 $P$ 有下述积分表示

其中 $K(z,w)$ 表示 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 的再生核. 在这也顺便指出, 对$z\in\mathbb{D}$, $k_{z}(\cdot)=:k(\cdot,z)=\frac{K(\cdot,z)}{\sqrt{K(z,z)}}$ 是 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 的正规化的再生核.

本文中, 令 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ 是 $\mathcal{H}$ 上的所有有界线性算子组成的集合, $B(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 表示 $\mathbb{D}$ 上 Bochner 可积的 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$-值的且满足

函数组成的空间. 用 $\mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 表示满足

的强可测算子值函数 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 组成的集合.

设 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$, 定义有符号 $G$ 的 Hankel 算子 $H_{G}$ 为

容易验证, 若 $G$ 满足(1.3)式, 则 Hankel 算子 $H_{G}$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上是良定义的.

Hankel 算子的理论发展至今, 它已经遍布在各个方向上, 例如: 控制论, 概率论, 非交换分析, 解析矩阵的逼近理论等. Luecking^[14] 刻画了单位圆盘上的 Bergman 空间上的Hankel 算子的有界性和紧性. Lin 和Rochberg^[13] 给出了指数型权Bergman 空间上Hankel算子的有界性、紧性和迹理想准则. 在 $\mathbb{C}^n$上的Segal-Bergman 空间, Hu 和Virtanen^[11,12] 考虑了Hankel 算子的有界性和紧性以及Schatten $p$-类. 标量值情形时, Hankel 算子的结论非常多, 如文献[4,9,10,18]..

虽然标量值函数空间上的 Hankel 算子依然存在着许多未解决的问题, 但这些问题已离实际应用越来越远. 由于各个学科的发展, 我们需要去研究向量值函数空间上的 Hankel 算子. 最早人们研究的是向量值Hardy空间上的Hankel 算子, 并且得到了许多丰富的结果^[17,19]. 近年来, 学者开始关注加权的向量值函数空间上的 Hankel 算子. 在文献[3]中, 陈建军和徐广侠给出了向量值广义Segal-Bargmann 空间 $F^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的 Hankel 算子 $H_{T}$ 和 $H_{T^*}$ 同时有界 (紧) 的充分必要条件. Bommier-Hato 和Constantin^[2] 证明了作用在权具有光滑性的向量值 Fock 空间 $\mathcal{F}^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Hankel 算子的有界性和紧性.

本文的内容安排如下: 在第 2 节给出一些准备工作以及一些后续证明中所需要的引理; 在第 3 节主要给出了$A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Hankel 算子的有界性以及余解析符号的Hankel 算子的有界性; 在第 4 节刻画了$A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$上的Hankel 算子的紧性.

在本文中, 我们使用 $A\lesssim B$ 表示存在常数 $C>0$, 使得 $A\leq CB.$$B\lesssim A$ 的定义类似. 如果 $A\lesssim B$ 和 $B\lesssim A$, 则记为 $A\backsimeq B$.

本节主要定义了权函数, 并且给出一些后续证明中所需要的引理. 对 $z,w\in\mathbb{D}$, 定义 $\mathbb{D}$ 上的距离 $d_{\rho}(z,w)$ 为

这里的下确界是关于光滑曲线 $\tau: [0,1] \to \mathbb{D} $, $\tau(0)=z$, $\tau(1)=w$ 取的. 于是, $d_{\rho}(\cdot,\cdot)$ 等价于由 Bergman 度量 $\rho^{-2}{\rm d}z\otimes {\rm d}\overline{z}$ 诱导的距离 $\beta_{\varphi}(\cdot,\cdot)$, 见文献[20].

在本文中, 我们使用如下定义的权.

定义2.1 一个 $\mathbb{D}$ 上的正函数 $\rho$ 属于 $\mathcal{W}$ 是指

(1) $\exists\epsilon _{1}>0$ 使得 $|\rho(z)-\rho(w)|\leq\epsilon_{1}|z-w|$;

(2) $\exists\epsilon _{2}>0$ 使得 $\rho(z)\leq\epsilon_{2}(1-|z|)$;

(3) $\exists\epsilon _{3}\in (0,1)$ 和 $r>0$ 使得 $\rho(w)\leq\rho(z)+\epsilon_{3}|z-w|$, $w\notin D^{r}(z)$,

其中 $D^{r}(z)=\{w\in\mathbb{D}:|z-w|<r\rho(z)\}$, $z\in\mathbb{D}$.

定义2.2 如果 $\varphi\in C^{2}$, $\Delta\varphi>0$, 并且 $\rho=\frac{1}{\sqrt{\Delta\varphi}}$, $\rho\in \mathcal{W}$, 则称一个权 $\varphi$ 属于 $\mathfrak{W}$. 这里 $\Delta$ 表示标准的Laplace 算子.

在后面, 会使用到记号: $m_{\rho}=\min\{\epsilon _{1}^{-1},\epsilon _{2}^{-1}\}/4.$ 为了证明主要定理, 我们需要下述覆盖引理.

引理2.1^{[13,引理 2.6]} 设 $\varphi\in \mathfrak{W}$ 且 $\alpha\in(0, m_{\rho})$, 则存在一个序列 $\{z_{k}\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathbb{D}$ 满足

(a) $\mathbb{D}=\bigcup\limits_{k\geq1}D^{\alpha}(z_{k})$;

(b) 对 $j\neq k$, $z_{j}\notin D^{\alpha}(z_{k})$;

(c) $\widetilde{D}^{\alpha}(z_{j})\subset D^{3\alpha}(z_{j}),$ 其中

(d) $\{D^{3\alpha}(z_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $\mathbb{D}$ 的一个有限覆盖.

如果一个序列 $\{z_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ 满足引理 2.1(a)-(d), 则称这个序列是一个 $(\rho,\alpha)$-格. 给定一个 $(\rho,\alpha)$-格 $\{z_{k}\}_{k=1}^{\infty}$, 由引理2.1(d) 知, 存在整数 $N$ 使得

其中 $\chi_{E}$ 表示 $\mathbb{D}$ 中的子集 $E$ 的特征函数.

下述命题会在第 4 节证明 Hankel 算子的紧性时用到.

命题2.1 对于 $\mathcal{H}$ 中的任意单位元 $e$, 当 $|z|\to 1^{-}$ 时, $k_{z}(\cdot)e$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 中弱收敛于 $0$.

证 记 $F_{z}:=k_{z}(\cdot)e$, 对任意 $g\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$, 有

因为 $\langle g(w),e\rangle_{\mathcal{H}}\in A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 以及 $k_{z}(\cdot)e$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 中弱收敛于 $0$ (当 $|z|\to 1^{-}$ 时), 所以

这就表明结论成立.

为了证明有余解析符号的 Hankel 算子的紧性, 我们需要下述引理.

引理2.2 设 $G:\mathbb{D}\to\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 是一个解析函数, $R>0$. 定义算子 $M_{G^{*}_{R}}:A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})\to L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 为

则 $M_{G^{*}_{R}}$ 是紧的, 其中 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 表示 $\mathcal{H}$ 上的紧算子空间.

证 对 $n\in \mathbb{N}$, 令 $P_{n}G$ 表示 $G$ 的泰勒多项式, 即

其中 $K_{m}(1\leq m\leq n)$ 都是紧算子. 由于

只需要证明对 $G(z)=z^{m}A$, $M_{G^{*}_{R}}$ 是紧的, 其中 $A\in\mathcal{K}(\mathcal{H})$. 因为紧算子可以被有限秩算子逼近, 因此可以假设 $A$ 有限秩. 设 $f_{n}\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 满足 $\|f_{n}\|_{2,\varphi}\leq1,$ 由(1.1)式和 Montel's 定理知, $\{M_{G^{*}_{R}}f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个正规族.

Hankel 算子的有界性研究备受许多学者的青睐. 在经典的 Hardy 空间中, 有著名的 Nihari 定理^{[19,定理 1.1]}. 文献[13]中的定理 4.1 和定理 4.2 分别给出了标量值指数型权的 Bergman 空间上 Hankel 算子的有界性和紧性的完整刻画. 在文献[22]中, Zhu 指出标准权的 Bergman 空间上有余解析符号的 Hankel 算子是有界的当且仅当符号函数属于 Bloch 空间.

本节主要证明了 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上由符号 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ (余解析) 诱导的 Hankel 算子的有界性.

定理3.1 设 $\varphi\in\mathfrak{W}$ 且 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$, 则下述条件是等价的

(a) $H_{G}$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上有界;

(b) 对 $r\in(0,m_{\rho}]$, 函数 $F_{r}$

在 $\mathbb{D}$ 上有界, 其中 $|D^{r}(z)|$ 表示 $D^{r}(z)$ 的面积测度;

(c) $G$ 有分解 $G=G_{1}+G_{2}$, 其中 $G_{1}\in C^{1}(\mathbb{D},\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 且满足

对 $r\in(0,m_{\rho}]$, $G_{2}$ 满足

在 $\mathbb{D}$ 上有界.

证 (a)$\Rightarrow$(b): 对 $z\in\mathbb{D}$, 定义

其中 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 且 $e\in\mathcal{H}$ 满足 $\|e\|_{\mathcal{H}}=1$. 容易看出 $\mathbb{G}_{z}(\cdot)$ 是一个 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$- 值的解析函数. 由 Hankel 算子的定义和文献 [13,引理 3.6] 有

取 $h=\mathbb{G}_{z}$, 则

这表明条件 (b) 成立.

(b)$\Rightarrow$(c): 假设对 $r\in(0,m_{\rho}]$, $F_{r}(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上有界. 固定一个 $(\rho,\frac{r}{2})$-格 $\{a_{j}\}_{j=1}^{\infty}$. 对每个 $j\geq1$, 存在一个函数 $h_{j}\in H(D^{r}(z),\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 使得

对 $z\in D^{r/2}(a_{i})\cap D^{r/2}(a_{j}) $, 由 Cauchy 公式, Cauchy-Schwarz 不等式, 次调和性以及三角不等式有

这说明 $\|(h_{i}(z)-h_{j}(z))e\|_{\mathcal{H}}$ 在 $D^{r/2}(a_{i})\cap D^{r/2}(a_{j})$ 上有界. 令 $\{\phi_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ 是从属于 $\{D^{r/2}(a_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ 的单位分割, 并且满足对每个 $j\geq1$ 都有 $\rho(a_{k})|\overline{\partial}\phi_{k}|\leq C$. 定义

因为 $\text{supp}\phi_{k}\subset D^{r/2}(a_{k})$ 以及 $\mathbb{D}$ 中的每个点至多属于 $D^{r/2}(a_{j})(j\geq1)$ 中的 $N$ 个, 所以上述求和总是有限的.

对任意 $z\in\mathbb{D}$, 选取 $j$ 使得 $z\in D^{r/2}(a_{j})$, 则

并且

由(2.1)式得

令 $G_{2}(z)=G(z)-G_{1}(z), z\in\mathbb{D}.$ 注意到 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\phi_{k}=1.$ 故而

由Cauchy-Schwarz 不等式, (3.2) 式以及 $\phi_{k}\geq0$ 知

最后一个不等号是因为对至多 $N$ 个整数 $k$, $D^{r/2}(a_{k})\subset D^{r}(a_{k})$ 但 $D^{r}(z)\cap D^{r/2}(a_{k})\neq\varnothing$. 由于 $F_{r}(a_{k})\leq C$, 并且 $|D^{r}(z)|\backsimeq|D^{r}(a_{k})|$, 所以推出 $ M_{r}(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上有界. 这就证明了 (b)$\Rightarrow$(c).

(c)$\Rightarrow$(a): 假设 $(c)$ 成立. 对任意单位元 $e\in\mathcal{H}$, 令 ${\rm d}\mu(w)=\|G_2(w)e\|^2_{\mathcal{H}}{\rm d}A(w)$. 由文献 [21,定理 3.1] 知, ${\rm d}\mu$ 是 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 上的一个 Carleson 测度. 设 $f\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$, 记 $\widetilde{f}(w)=\|f(w)\|_{\mathcal{H}}$, 则 $\widetilde{f}\in A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$. 于是

即

由算子范数的定义知, 给定任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $e\in \mathcal{H}$, $\|e\|_{\mathcal{H}}=1$ 使得

因此

令 $\varepsilon\to 0^+$, 得 $\|G_{2}(\cdot)f(\cdot)\|_{2,\varphi}\lesssim\|f\|_{2,\varphi}$. 从而对任意的 $f\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 有

这表明 $H_{G_{2}}$ 是有界的.

设 $\{e_{k}\}_{k\geq1}$ 是 $\mathcal{H}$ 的一组标准正交基, 并且记

显然微分形式

是闭的. 注意到 $\mathscr{F}_{k}$ 是

的 $L^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$-范数的极小解. 应用 Berndtsson-Delin 定理^[8] 到 $\overline{\partial}$ 的极小解, 有

这表明 $H_{G_{1}}$ 是有界的.

接下来我们将刻画 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上由余解析符号诱导的 Hankel 算子. 基于标量值的研究方法, 需要定义一些符号和空间.

给定 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$, $G$ 的 Berezin 变换 $\widetilde{G}$ 定义为

由于 $G(\cdot)\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ 和 $k_z(\cdot)$ 是 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 中的单位元,所以

这表明(3.6)式是有意义的. 设 $G:\mathbb{D}\to\mathcal{L}(\mathcal{H})$ 是一个连续函数, 令

如果 $MO(G)$ 在 $\mathbb{D}$ 上有界, 则称 $G$ 有有界平均振荡, 并且记

算子值 Bloch 空间 $\mathfrak{B}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 是在 $\mathbb{D}$ 上解析且满足

的函数组成的空间.

定理3.2 设 $\varphi\in \mathfrak{W}$ 且 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 在 $\mathbb{D}$ 上解析. 下述条件等价

(a) $H_{G^{*}}$ 从 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 是有界的.

(b) $G\in\mathfrak{B}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$.

(c) $\sup\limits_{z\in \mathbb{D}}\|MO(G^{*})(z)\|^{1/2}_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}<\infty$.

进而,

证 (b)$\Rightarrow$(a): 与定理 3.1 (c)$\Rightarrow$(a) 的证明类似, 这里省略.

(a)$\Rightarrow$(c): 假设 $H_{G^{*}}$ 有界. 对任意单位元 $e\in\mathcal{H}$, 一个容易的计算得

另外, 对 $e,h\in\mathcal{H}$, $\langle G(z)e,h\rangle_{\mathcal{H}}$ 是解析的. 使用文献 [22,命题 6.13] 得

并且

上述式子表明 $MO(G^{*})(z)$ 是一个正算子. 结合(3.7)式有

因此

(c)$\Rightarrow$(b): 对 $w\in\mathbb{D}$, 存在 $r\in(0,m_{\rho}]$ 使得

见文献[20]. 于是就有

对任意单位元 $h\in\mathcal{H}$, 考虑下列解析函数

再次使用Cauchy 公式,Cauchy-Schwarz 不等式以及次调和性得

注意到

并且

综上可得

再结合(3.8)式, 有

其中 $z\in\mathbb{D}$, $e$ 是 $\mathcal{H}$ 中的一个单位元. 故

证毕.

说明 本节将标量值指数权 Bergman 空间上的 Hankel 算子的有界性的刻画推广到了向量值指数权 Bergman 空间上的 Hankel 算子有界性的刻画, 从定理内容表述上基本相同. 但在证明中却增添了许多难度, 用到了许多标量值情形的证明中没有的东西. 比如: 定理3.1中$(c)\Rightarrow(a)$ 的证明比标量值复杂许多.

在第 3 节的基础上, 本节主要得到了 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的 Hankel 算子的紧的刻画.

定理4.1 设 $\varphi\in \mathfrak{W}$, $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$, 且 $F_{r}$ 和 $M_{r}$ 按定理 3.1 中所定义的那样, 则下述条件等价:

(a) $H_{G}$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上紧;

(b) 对 $r\in(0,m_{\rho}]$, $F_{r}$ 属于 $C_{0}(\mathbb{D})$;

(c) $G$ 有分解 $G=G_{1}+G_{2}$, 其中 $G_{1}\in C^{1}(\mathbb{D},\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 且满足

$G_{2}$ 满足: 对 $r\in(0,m_{\rho}]$, $M_{r}$ 属于 $C_{0}(\mathbb{D})$.

证 (a)$\Rightarrow$(b): 假设 $H_{G}$ 在 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上紧, 由引理2.1和(3.1)式知, 条件 (b) 成立.

(b)$\Rightarrow$(c): 假设条件 (b) 成立, 则当 $|z|\to1^{-}$ 时, 对 $r\in(0,m_{\rho}]$, $F_{r}(z)\to0$. 由(3.4)式得 $M_{r}\in C_{0}(\mathbb{D})$. 等式(3.3)暗指 $\rho(z)\|\overline{\partial} G_{1}(z)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\in C_{0}(\mathbb{D}).$

(c)$\Rightarrow$(a): 假设条件 (c) 成立, 令 ${\rm d}\mu(w)=\|G_{2}(w)e\|^{2}_{\mathcal{H}}{\rm d}A(w)$, 由文献[21,定理 3.2] 知 ${\rm d}\mu$ 是 $A^{2}_{\varphi}(\mathbb{D})$ 上的一个消失的 Carleson 测度. 令 $\{f_{n}\}$ 是一个 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 中弱收敛到0 的序列, 则当 $n\to\infty$ 时,

这就给出了 $H_{G_{2}}$ 是紧的.

下面证明 $H_{G_{1}}$ 是紧的. 对任意 $\epsilon>0$, 由于 $\rho(z)\|\overline{\partial} G_{1}(z)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\in C_{0}(\mathbb{D}),$ 所以可选取一个正数 $R$ 使得

假设 $f_{n}$ 在 $\{z:|z|\leq R\}$ 上一致收敛于 0 且 $\{f_{n}\}$ 有界. 结合定理 3.1 的证明, 有

其中在 $\{z:|z|\leq R\}$ 上, $\rho^{2}(z)\|\overline{\partial}G_{1}(z)\|^{2}_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\leq M_{0}$. 故 $H_{G}=H_{G_{1}}+H_{G_{2}}$ 是紧的.

为了刻画 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上有余解析符号的 Hankel 算子的紧性, 我们也需要定义算子值的小Bloch 空间.设 $X$ 是 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ 的一个闭子空间. 算子值的小 Bloch 空间 $\mathfrak{B}_{0}(X)$ 是由 $\mathbb{D}$ 上属于 $X$ 且满足

的解析函数组成的空间.

定理4.2 设 $\varphi\in \mathfrak{W}$ 且 $G\in \mathcal{T}(\mathcal{L}(\mathcal{H}))$ 是解析的, 则下述条件等价

(a) $H_{G^{*}}$ 是 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $L^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 的紧算子.

(b) $G-G(0)\in\mathfrak{B}_{0}(\mathcal{K}(\mathcal{H}))$.

(c) $\lim\limits_{|z|\to 1^{-}}\|MO(G^{*})(z)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}=0$.

证 (b)$\Rightarrow$(a): 对 $f\in A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 和 $R>0$, 由定理 4.1 的证明, 有

如果 $\lim\limits_{|z|\to 1^{-}}\rho(z)\|G'(z)G'(z)^{*}\|^{1/2}_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}=0$, 则对任意 $\epsilon>0$, 存在 $0<R<1$ 使得

于是

由引理2.2 得, $M_{(\rho(z)G'(z)G'(z)^{*})^{1/2}_{R}}$ 是紧的. 因此, $H_{G^{*}}$ 是紧的.

(a)$\Rightarrow$(c): 假设 $H_{G^{*}}$ 是紧的. 由 (3.8) 式和命题 2.1 得

(c)$\Rightarrow$(b): 使用 (3.11) 式就可以得到条件 (b).