设 $\Omega\subset\mathbb{R}^N(N>2)$ 是具有 $C^1$ 边界的有界开集, 关于超平面 $\{x_1=0\}$ 对称且沿 $x_1$ 方向是凸的. 本文将主要运用移动平面法, 研究如下形式的混合局部-非局部半线性椭圆方程奇异解的单调性和对称性

其中 ${\cal L}u:=-\Delta u+(-\Delta)^su$ 为混合局部-非局部椭圆算子, ${(-\Delta )^s}u$ 定义为

其中 $s\in(0,1)$, $\text{P.V}$ 表示 Cauchy 主值且

$\Gamma\subseteq\Omega\cap\left\{{{x_1}=0}\right\}$ 是奇异集且 ${\rm{Ca}}{{\rm{p}}_2}(\Gamma)=0$, 其中

这里奇异解是指 $\mathop{\lim}\limits_{d(x,\Gamma)\to0}u(x)=+\infty$.

众所周知, 一些微小的粒子会进行布朗运动. 虽然布朗运动也属于随机游走, 但是布朗运动和莱维飞行不同, 布朗运动每次运动的距离集中在一个区域内, 而莱维飞行大多数的运动距离很短, 但有少部分运动距离很长. 莱维飞行和布朗运动的不同性质, 直接导致了莱维飞行在一定意义下比布朗运动更有效率. 行走了相同的步数或路程的情况下, 莱维飞行位移比布朗运动要大得多, 从而能探索更大的空间. 这一点对于需要在未知领域觅食的生物来说至关重要. 自然界中，由于周围环境的影响, 捕食者会改变搜索策略以期望找到猎物分布不同的地区, 捕食者在食物丰富的地区采用布朗运动, 反之采用莱维飞行. 在捕食者穿越不同栖息地的过程中, 布朗运动和莱维飞行所占比例几乎相同. 因此, 为了研究物种 (或颗粒) 同时具有经典的布朗运动和莱维飞行特性, 需要研究混合局部-非局部算子 ${\cal L}u=-\Delta u +{\left({-\Delta}\right)^s}u$ 的相关性质.

近年来, 许多国内外数学科研人员已对混合局部-非局部算子开展了大量的研究并取得了非常丰硕的成果. Dipierro 和 Valdinoci^[1] 考虑了生态系统中受局部和非局部影响的生物种群扩散模型, 提出了一个含混合局部-非局部扩散算子的方程

文献 [2] 中, 在研究种群动力学问题时, Dipierro 等人讨论了如下形式的含 Neumann 边界条件的混合局部-非局部扩散算子模型

极小能量解的存在性, 其中

Barles 等^[3] 研究了如下形式的混合局部-非局部方程

解的 Lipschitz 正则性, 其中 $x_1\in\mathbb{R}^{d_1},x_2\in\mathbb{R}^{d_2},(-\Delta_{x_2})^{\beta/2}u$ 定义为

Salort 和 Vecchi^[4] 研究了混合局部-非局部 Hénon 方程

解的存在性, 其中 $\alpha>0, \beta\in[0,1]$, $\mathcal{L}{_{s,p,\beta }}u=(1-\beta)(-{\Delta_p})u+\beta{(-\Delta)_p^s}u,$ $(-\Delta)_p^s$ 为分数阶 $p$-Laplace 算子.

当 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{N}$ 是一个具有 $C^1$ 边界的有界开集时, Biagia 等^[5]研究了混合局部-非局部方程

弱解和经典解的存在性, 极大值原理等重要性质.

设 $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是局部 Lipschitz 连续函数, $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$ 是一个具有 $C^1$ 边界的有界开集且关于超平面 $\{x_1=0\}$ 对称. Biagia等^[6] 运用移动平面法证明了混合局部-非局部椭圆方程

的解 $u\in C(\mathbb{R}^N)$ 关于超平面 $\{x_1=0\}$ 对称, 并且当 $x\in\Omega\cap\{x_1<0\}$ 时 $u(x)$ 沿 $x_1$ 方向严格递增.

其他有关混合局部-非局部椭圆方程的最新结果, 参见文献 [7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18].

基于以上研究结果, 结合文献 [19],[20] 的思想, 本文运用移动平面法研究方程 (1.1) 奇异解的单调性和对称性.

定理1.1 设 $f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$ 是局部 Lipschitz 连续函数, $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$ 是一个具有 $C^1$ 边界的有界开集, 关于超平面 $\{x_1=0\}$ 对称且沿 $x_1$ 方向是凸的, $\Gamma\subseteq\Omega\cap\{x_1=0\}$ 且 $\rm{Cap}_2(\Gamma)=0$. 设 $u\in C(\mathbb{R}^N\setminus\Gamma)$ 为方程 (1.1) 的弱解, 则解 $u$ 关于超平面 $\{x_1=0\}$ 对称, 并且当 $x\in\Omega\cap\{x_1<0\}$ 时, $u$ 沿 $x_1$ 方向严格递增.

注1.1 Biagia 等^[5] 研究了混合局部-非局部方程 (1.6) 在有界开集 $\Omega$ 中弱解和经典解的存在性以及极值原理, 此后 Biagia 等^[6] 研究了混合局部-非局部椭圆方程 (1.7) 在有界开集 $\Omega$ 中弱解 $u$ 的对称性以及单调性. 本文在此基础上讨论了方程 (1.1) 的弱解 $u$ 在区域 $\Omega{\rm{\backslash}}\Gamma$ 中解的对称性以及单调性, 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 为具有 $C^1$ 边界的有界开集, 且沿 $x_1$ 方向是凸的, $\Gamma$ 为奇异集 $\Gamma\subseteq\Omega\cap\left\{{x_1=0}\right\}$ 且 ${\rm{Ca}}{{\rm{p}}_2}(\Gamma )=0$.

本文的安排如下: 第 2 节引入证明定理 1.1 需要的定义及引理, 第 3 节证明定理 1.1.

设 $\Omega\subseteq {\mathbb{R}^N}$ 有光滑边界 $\partial\Omega$. 对于任意 $p>1$, ${W^{s,p}}(\Omega)$ 是所有按照如下赋予范数的可测函数 $u:\Omega\to\mathbb{R}$ 集,

此外用 $W_0^{s,p}\left(\Omega\right)$ 表示 $C_c^\infty(\Omega)$ 在以上范数意义下的闭包. 当 $p=2$ 时, 记

根据文献 [19] 可知

其中

定理 1.1 的证明需要以下的常用不等式

引理2.1 (Young 不等式) 设 $1<p,q<\infty, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 则对于任意的 $a,b>0$ 有

引理2.2 (Hölder 不等式) 设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的一区域 $u\in{L^p}(\Omega)$, $v\in L^q(\Omega)$, 其中 $1<p,$ $q<\infty$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 则

引理2.3 (Sobolev 不等式 [19,定理 2.1) 设 $0<s<1, N>2s$, 对于任何可测且具有紧支集的函数 $u:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}$, 存在常数 $S_{N,s}$ 使得

其中 $2_{s}^{*}=\frac{2N}{N-2s}$ 是 Sobolev 临界指数.

本文中方程 (1.1) 的弱解定义如下

定义2.1 记 $\mathbb{X}(\Omega)=\left\{u\in{\mathcal{H}_{\rm loc}^{s}({{\mathbb{R}^N}\backslash \Gamma})\cap {L^1}({\mathbb{R}^N})\cap{\mathcal{H}^1}\left( {{\mathbb{R}^N}} \right): u = 0,x \in {\mathbb{R}^N}\backslash \Omega } \right\}$ 若 $u\in\mathbb{X}(\Omega)$ 满足下列性质, 则称函数 $u:\Omega\to\mathbb{R}$ 是方程 (1.1) 的弱解,

(1) $u(x)>0$ a.e. $x\in\Omega$,

(2) 对于任意的 $\varphi\in \mathbb{X}(\Omega)$ 有

其中

为了运用移动平面法, 要引入一个给定超平面的反对称问题. 设 $H\subset\mathbb{R}^N$ 是一个半空间, 用 $Q(x)$ 表示 $x$ 关于$\partial H$ 的反射, 如果

则称函数 $v:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ 关于 $\partial H$ 是反对称.

设 $U \subset H$ 为有界开集, 考虑方程

反对称上解的定义为

定义2.2 设 $U \subset H$ 为有界开集, $c\in{L^\infty}(U)$, 如果

(1) $v$ 是反对称的;

(2) 存在开集 ${U^\prime}\subset{\mathbb{R}^N}$, 使得 $Q({U^\prime})={U^\prime}$ 和 $\overline U\subset{U^\prime}$ 以及$v\in\mathcal{H}(U')$, 其中

(3) $v\geqslant0$, $x\in H\setminus U$, 对于任意的 $\varphi\in \mathbb{X}(\Omega)$, 当 $\varphi\geqslant0$ 时有

则称函数 $v:{\mathbb{R}^N}\to\mathbb{R}$ 是方程 (2.5) 的反对称上解.

现在介绍反对称上解的强极大值原理及一个重要结果

命题2.1^{[6,性质 2.7]} 设 $U\subset H$ 是有界开集, $c\in{L^\infty}(U)$, $v$ 是 (2.5) 式的反对称上解, 则 $v>0$ a.e $x\in H$ 或 $v\equiv 0$, $x\in{\mathbb{R}^N}$.

引理2.4^{[6,引理 2.8]} 设 $u$ 为 (7) 式的弱解, 则 $v_\lambda=u_\lambda-u$ 是 (2.5) 式的反对称上解, 其中

运用类似文献 [6,引理 2.9] 的证明方法, 可以得到

引理2.5 设 $u$ 为 (1.1) 式的弱解, 令 ${v_\lambda}={u_\lambda}-u$. 如果存在 $\lambda\in(a,0)$, 使得 ${v_\lambda}\equiv0$, 则 $u\equiv0,x\in\Omega$, 其中 $a=\inf_{x\in\Omega}x_1<0$.

证 记

对于任何相对固定的 $\lambda\in(a,0)$, 显然有

由 $\Omega$ 在 ${x_1}$ 方向的凸性可知 $\Omega_\lambda\subseteq Q_\lambda(\Omega)$, 其中 $Q_\lambda(\Omega)$ 是区域 $\Omega$ 关于超平面 $\left\{{x_1=\lambda}\right\}$ 的对称区域.

设 $\lambda\in(a,0)$, 则 $\ell=-a+\lambda\in(0,-a)$. 定义 ${\Omega_\ell}=\left\{{x\in\Omega :{x_1}>\ell}\right\}$ 及

由方程 (1.1) 可以知道 $u\equiv0,x\in\mathbb{R}^N\setminus\Omega$, 且由题意有存在 $\lambda\in(a,0)$ 使得

分析可知 $Q_\lambda\left(\Omega_\ell\right)\cap\overline\Omega=\emptyset$, 则 $u=0,x\in Q_\lambda\left(\Omega_\ell\right)$ 从而 $u_\lambda\equiv0, x\in\Omega_\ell$ 结合得 $u\equiv u_\lambda\equiv0$, $x\in\Omega_\ell$.

同理特别的, 设 $\eta=-a+\lambda/2$, 不难得到 $\Omega_\eta\cup Q_\eta(\Omega_\eta)\subseteq\Omega_\ell$, 即 $u\equiv0( x\in\Omega_\eta$), $u_\eta=0(x\in Q_\eta\left(\Omega_\eta\right))$ 从而

应用命题 2.1 的结论 (这里选取 $H=\Sigma_\eta$, $U=\Omega_\eta$, $v=v_\eta$) 可推出

所以, $u$ 关于 $\partial\Sigma_\lambda=\left\{x_1=\lambda\right\}$ 和 $\partial{\Sigma_\eta}=\left\{x_1=\eta\right\}$ 两个不同的超平面对称.

从而, 由于 $u$ 关于 $\partial{\Sigma_\lambda}$ 对称, 并且 $Q_\lambda(\Omega\setminus({\Omega_\lambda }\cup {Q_\lambda}({\Omega_\lambda })))\cap\Omega=\emptyset$, 即 $u=0$ $(x\in Q_\lambda$ $(\Omega\setminus({\Omega_\lambda }\cup {Q_\lambda}({\Omega_\lambda}))))$, $u_\lambda\equiv 0( x \in\Omega\setminus({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda})))$ 所以 $u=u_\lambda\equiv 0$, $x \in\Omega\setminus({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda}))$.

同理另一方面, $\partial{\Sigma_\eta }$ 也是 $u$ 的对称超平面, 且 ${Q_\eta}({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda})) \cap\Omega=\emptyset$. 故 $u=u_\eta\equiv0$, $x\in{\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda})$.

综合可得 $u\equiv0$, $x\in\Omega$. 引理得证.

设 $u\in{C^1}(\Omega\rm{\backslash}\Gamma)$ 是方程 (1.1) 的弱解, 当 $\lambda<0$ 时, 定义

其中 $\left(u-u_\lambda\right)^+=\max\left\{u-u_\lambda,0\right\}$, $\left(u-u_\lambda\right)^-=\min\left\{u-u_\lambda,0\right\}$. 显然, 由于 $\lambda<0$, 当 $x\in\Omega_\lambda$ 时, $w_\lambda=\left(u-u_{\lambda}\right)^{+}(x)$, 从而

引理3.1 设 $a<\lambda<0$, 则在定理 1.1 的假设条件下

即 ${w_\lambda}\in \mathcal{H}_0^s({\Omega_\lambda})$.

证 对足够小的 $\varepsilon>0$, 记

由 $\text{Cap}_2(\Gamma)=0$, 根据文献 [19,引理 2.5], 对于 $\varepsilon>0$ 有

从而存在 $\phi_\varepsilon\in C_c^\infty(\Gamma_\varepsilon^\lambda)$ 使得

不妨假设

令

并考虑

为了简单起见, 记 $\varphi_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon^\lambda$, 则 $\varphi _\varepsilon$ 有界且

令

则

容易发现

由前面可知 $u$ 满足 (1.1) 式, ${u_\lambda}$ 满足 (3.8) 式. 令 $\varphi$ 作为测试函数有

简单的计算可以知道

另一方面,

这里我们用到 $\nabla(u-u_\lambda-w_\lambda)\cdot \nabla(w_\lambda\varphi_\varepsilon^2)=0, x\in\Omega$, 根据 (3.9)-(3.11) 式得

其中 $C$ 是与 $f,N,s,||u||_{{L^\infty}(\Omega_\lambda)}$ 有关的常数, 从而

由对称性有

另一方面, 由 Young 不等式有

结合 (3.14) 和 (3.15) 式, 取合适的 $\varepsilon$ 可将 (3.13) 式可以写成

由 $\varphi_\varepsilon^\lambda$ 的定义 (3.5) 式有

则 (3.17) 式根据 $\varphi_\varepsilon$ 对称性有以下结果

再根据 (3.2) 和 (3.18) 式有

结合 (3.19) 式及 $\varphi_\varepsilon$ 的性质, (3.16) 式可写成

上式由 $\varphi_\varepsilon(x)\xrightarrow{\varepsilon\to 0} 1$, 可以知道

即 ${w_\lambda}\in \mathcal{H}_0^s({\Omega_\lambda})$.

定理 1.1 证明 重复引理 3.1 的证明过程, 可以得到

上式左边第二项由 (3.2) 式、(3.5) 式和 Hölder 不等式有

注意到

上式结合 (3.21) 式有

在 (3.20) 式中令 $\varepsilon\to 0$,并结合 $0 \leqslant{\phi_\varepsilon}\leqslant1$ 和 $\varphi_\varepsilon(x)\xrightarrow{\varepsilon\to 0}1$, 以及文献 [19,(3.19) 式] 可以推出

从而由 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式得

令 $|\lambda-a|$ 足够小使得

该式结合 (3.23) 式可以推出

此式表明当 $|\lambda-a|$ 足够小时, $u\leqslant{u_\lambda}$, $x\in\Omega_\lambda$.

定义

其中

并且注意到

下面证明

为此用反证法, 假设 $\lambda_0< 0$. 由 $u$ 在 $\Omega\setminus\Gamma$ 中的连续性可知,

由于 $u$ 不是恒等于 $0$, 则根据引理 2.5 推出 $u_{\lambda_0}> u, x\in\Omega_{\lambda_0}\setminus Q_{\lambda_0}(\Gamma)$.

设 $K\subseteq\Omega_{\lambda_0}\setminus Q_{\lambda_0}(\Gamma)$ 是给定的紧集, 因为函数 $u_{\lambda}$ 关于 $\lambda$ 连续, 从而存在 $\tau_0=\tau_0(K)>0$, 使得对于任意的 $\tau\in(0,\tau_0)$, $u_{{\lambda_0}+\tau}>u$, $x\in K$. 对每个固定的 $\tau\in(0,\tau_0)$. 类似 (3.5) 式的方式可以定义 $\varphi_\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau}$. 为了简单起见, 记 $\varphi_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau}$. 设 $\varphi=w_{{\lambda_0}+\tau}\varphi_\varepsilon^2$. 与引理 3.1 证明过程类似, 可以得到

由 $\varphi _\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau}$ 的定义有

(3.27) 式左边第二项由 Hölder 不等式可以得到

注意到

上式结合 (3.28) 式表明

在 (3.27) 式中令 $\varepsilon\to 0$, 并结合 $0 \leqslant{\phi_\varepsilon}\leqslant1$ 和 $\varphi_\varepsilon(x)\to 1$, $\varepsilon\to 0$,可以推出

根据 Sobolev 不等式有

当 $K$ 充分大时使得

从而根据 (3.30) 式有

从而对于充分小 $\tau_0>0$, 任意的 $\tau\in(0,\tau_0)$ 依然有 $u\leqslant u_{\lambda_0+\tau}$, $x\in\Omega_{\lambda_0+\tau}\setminus Q_{\lambda_0+\tau}(\Gamma)$. 这与 (3.24) 式矛盾. 从而证明了 (3.26) 式成立.

同样的方法可以从相反的方向证明类似的结论, 从而证明了解的对称性.