设 $ \Omega\subset\mathbb{R}^N(N>2) $ 是具有 $ C^1 $ 边界的有界开集, 关于超平面 $ \{x_1=0\} $ 对称且沿 $ x_1 $ 方向是凸的. 本文将主要运用移动平面法, 研究如下形式的混合局部-非局部半线性椭圆方程奇异解的单调性和对称性

其中 $ {\cal L}u:=-\Delta u+(-\Delta)^su $ 为混合局部-非局部椭圆算子, $ {(-\Delta )^s}u $ 定义为

其中 $ s\in(0,1) $, $ \text{P.V} $ 表示 Cauchy 主值且

$ \Gamma\subseteq\Omega\cap\left\{{{x_1}=0}\right\} $ 是奇异集且 $ {\rm{Ca}}{{\rm{p}}_2}(\Gamma)=0 $, 其中

这里奇异解是指 $ \mathop{\lim}\limits_{d(x,\Gamma)\to0}u(x)=+\infty $.

众所周知, 一些微小的粒子会进行布朗运动. 虽然布朗运动也属于随机游走, 但是布朗运动和莱维飞行不同, 布朗运动每次运动的距离集中在一个区域内, 而莱维飞行大多数的运动距离很短, 但有少部分运动距离很长. 莱维飞行和布朗运动的不同性质, 直接导致了莱维飞行在一定意义下比布朗运动更有效率. 行走了相同的步数或路程的情况下, 莱维飞行位移比布朗运动要大得多, 从而能探索更大的空间. 这一点对于需要在未知领域觅食的生物来说至关重要. 自然界中，由于周围环境的影响, 捕食者会改变搜索策略以期望找到猎物分布不同的地区, 捕食者在食物丰富的地区采用布朗运动, 反之采用莱维飞行. 在捕食者穿越不同栖息地的过程中, 布朗运动和莱维飞行所占比例几乎相同. 因此, 为了研究物种 (或颗粒) 同时具有经典的布朗运动和莱维飞行特性, 需要研究混合局部-非局部算子 $ {\cal L}u=-\Delta u +{\left({-\Delta}\right)^s}u $ 的相关性质.

近年来, 许多国内外数学科研人员已对混合局部-非局部算子开展了大量的研究并取得了非常丰硕的成果. Dipierro 和 Valdinoci^[1] 考虑了生态系统中受局部和非局部影响的生物种群扩散模型, 提出了一个含混合局部-非局部扩散算子的方程

文献 [2] 中, 在研究种群动力学问题时, Dipierro 等人讨论了如下形式的含 Neumann 边界条件的混合局部-非局部扩散算子模型

极小能量解的存在性, 其中

Barles 等^[3] 研究了如下形式的混合局部-非局部方程

解的 Lipschitz 正则性, 其中 $ x_1\in\mathbb{R}^{d_1},x_2\in\mathbb{R}^{d_2},(-\Delta_{x_2})^{\beta/2}u $ 定义为

Salort 和 Vecchi^[4] 研究了混合局部-非局部 Hénon 方程

解的存在性, 其中 $ \alpha>0, \beta\in[0,1] $, $ \mathcal{L}{_{s,p,\beta }}u=(1-\beta)(-{\Delta_p})u+\beta{(-\Delta)_p^s}u, $ $ (-\Delta)_p^s $ 为分数阶 $ p $-Laplace 算子.

当 $ \Omega\subseteq \mathbb{R}^{N} $ 是一个具有 $ C^1 $ 边界的有界开集时, Biagia 等^[5]研究了混合局部-非局部方程

弱解和经典解的存在性, 极大值原理等重要性质.

设 $ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} $ 是局部 Lipschitz 连续函数, $ \Omega\subseteq\mathbb{R}^N $ 是一个具有 $ C^1 $ 边界的有界开集且关于超平面 $ \{x_1=0\} $ 对称. Biagia等^[6] 运用移动平面法证明了混合局部-非局部椭圆方程

的解 $ u\in C(\mathbb{R}^N) $ 关于超平面 $ \{x_1=0\} $ 对称, 并且当 $ x\in\Omega\cap\{x_1<0\} $ 时 $ u(x) $ 沿 $ x_1 $ 方向严格递增.

其他有关混合局部-非局部椭圆方程的最新结果, 参见文献 [7],[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18].

基于以上研究结果, 结合文献 [19],[20] 的思想, 本文运用移动平面法研究方程 (1.1) 奇异解的单调性和对称性.

定理1.1 设 $ f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N $ 是局部 Lipschitz 连续函数, $ \Omega\subseteq \mathbb{R}^N $ 是一个具有 $ C^1 $ 边界的有界开集, 关于超平面 $ \{x_1=0\} $ 对称且沿 $ x_1 $ 方向是凸的, $ \Gamma\subseteq\Omega\cap\{x_1=0\} $ 且 $ \rm{Cap}_2(\Gamma)=0 $. 设 $ u\in C(\mathbb{R}^N\setminus\Gamma) $ 为方程 (1.1) 的弱解, 则解 $ u $ 关于超平面 $ \{x_1=0\} $ 对称, 并且当 $ x\in\Omega\cap\{x_1<0\} $ 时, $ u $ 沿 $ x_1 $ 方向严格递增.

注1.1 Biagia 等^[5] 研究了混合局部-非局部方程 (1.6) 在有界开集 $ \Omega $ 中弱解和经典解的存在性以及极值原理, 此后 Biagia 等^[6] 研究了混合局部-非局部椭圆方程 (1.7) 在有界开集 $ \Omega $ 中弱解 $ u $ 的对称性以及单调性. 本文在此基础上讨论了方程 (1.1) 的弱解 $ u $ 在区域 $ \Omega{\rm{\backslash}}\Gamma $ 中解的对称性以及单调性, 其中 $ \Omega\subset\mathbb{R}^N $ 为具有 $ C^1 $ 边界的有界开集, 且沿 $ x_1 $ 方向是凸的, $ \Gamma $ 为奇异集 $ \Gamma\subseteq\Omega\cap\left\{{x_1=0}\right\} $ 且 $ {\rm{Ca}}{{\rm{p}}_2}(\Gamma )=0 $.

本文的安排如下: 第 2 节引入证明定理 1.1 需要的定义及引理, 第 3 节证明定理 1.1.

设 $ \Omega\subseteq {\mathbb{R}^N} $ 有光滑边界 $ \partial\Omega $. 对于任意 $ p>1 $, $ {W^{s,p}}(\Omega) $ 是所有按照如下赋予范数的可测函数 $ u:\Omega\to\mathbb{R} $ 集,

此外用 $ W_0^{s,p}\left(\Omega\right) $ 表示 $ C_c^\infty(\Omega) $ 在以上范数意义下的闭包. 当 $ p=2 $ 时, 记

根据文献 [19] 可知

其中

定理 1.1 的证明需要以下的常用不等式

引理2.1 (Young 不等式) 设 $ 1<p,q<\infty, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $, 则对于任意的 $ a,b>0 $ 有

引理2.2 (Hölder 不等式) 设 $ \Omega $ 为 $ \mathbb{R}^N $ 中的一区域 $ u\in{L^p}(\Omega) $, $ v\in L^q(\Omega) $, 其中 $ 1<p,$ $q<\infty $, $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $, 则

引理2.3 (Sobolev 不等式 [19,定理 2.1) 设 $ 0<s<1, N>2s $, 对于任何可测且具有紧支集的函数 $ u:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} $, 存在常数 $ S_{N,s} $ 使得

其中 $ 2_{s}^{*}=\frac{2N}{N-2s} $ 是 Sobolev 临界指数.

本文中方程 (1.1) 的弱解定义如下

定义2.1 记 $ \mathbb{X}(\Omega)=\left\{u\in{\mathcal{H}_{\rm loc}^{s}({{\mathbb{R}^N}\backslash \Gamma})\cap {L^1}({\mathbb{R}^N})\cap{\mathcal{H}^1}\left( {{\mathbb{R}^N}} \right): u = 0,x \in {\mathbb{R}^N}\backslash \Omega } \right\} $ 若 $ u\in\mathbb{X}(\Omega) $ 满足下列性质, 则称函数 $ u:\Omega\to\mathbb{R} $ 是方程 (1.1) 的弱解,

(1) $ u(x)>0 $ a.e. $ x\in\Omega $,

(2) 对于任意的 $ \varphi\in \mathbb{X}(\Omega) $ 有

其中

为了运用移动平面法, 要引入一个给定超平面的反对称问题. 设 $ H\subset\mathbb{R}^N $ 是一个半空间, 用 $ Q(x) $ 表示 $ x $ 关于$ \partial H $ 的反射, 如果

则称函数 $ v:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R} $ 关于 $ \partial H $ 是反对称.

设 $ U \subset H $ 为有界开集, 考虑方程

反对称上解的定义为

定义2.2 设 $ U \subset H $ 为有界开集, $ c\in{L^\infty}(U) $, 如果

(1) $ v $ 是反对称的;

(2) 存在开集 $ {U^\prime}\subset{\mathbb{R}^N} $, 使得 $ Q({U^\prime})={U^\prime} $ 和 $ \overline U\subset{U^\prime} $ 以及$ v\in\mathcal{H}(U') $, 其中

(3) $ v\geqslant0 $, $ x\in H\setminus U $, 对于任意的 $ \varphi\in \mathbb{X}(\Omega) $, 当 $ \varphi\geqslant0 $ 时有

则称函数 $ v:{\mathbb{R}^N}\to\mathbb{R} $ 是方程 (2.5) 的反对称上解.

现在介绍反对称上解的强极大值原理及一个重要结果

命题2.1^{[6,性质 2.7]} 设 $ U\subset H $ 是有界开集, $ c\in{L^\infty}(U) $, $ v $ 是 (2.5) 式的反对称上解, 则 $ v>0 $ a.e $ x\in H $ 或 $ v\equiv 0 $, $ x\in{\mathbb{R}^N} $.

引理2.4^{[6,引理 2.8]} 设 $ u $ 为 (7) 式的弱解, 则 $ v_\lambda=u_\lambda-u $ 是 (2.5) 式的反对称上解, 其中

运用类似文献 [6,引理 2.9] 的证明方法, 可以得到

引理2.5 设 $ u $ 为 (1.1) 式的弱解, 令 $ {v_\lambda}={u_\lambda}-u $. 如果存在 $ \lambda\in(a,0) $, 使得 $ {v_\lambda}\equiv0 $, 则 $ u\equiv0,x\in\Omega $, 其中 $ a=\inf_{x\in\Omega}x_1<0 $.

证 记

对于任何相对固定的 $ \lambda\in(a,0) $, 显然有

由 $ \Omega $ 在 $ {x_1} $ 方向的凸性可知 $ \Omega_\lambda\subseteq Q_\lambda(\Omega) $, 其中 $ Q_\lambda(\Omega) $ 是区域 $ \Omega $ 关于超平面 $ \left\{{x_1=\lambda}\right\} $ 的对称区域.

设 $ \lambda\in(a,0) $, 则 $ \ell=-a+\lambda\in(0,-a) $. 定义 $ {\Omega_\ell}=\left\{{x\in\Omega :{x_1}>\ell}\right\} $ 及

由方程 (1.1) 可以知道 $ u\equiv0,x\in\mathbb{R}^N\setminus\Omega $, 且由题意有存在 $ \lambda\in(a,0) $ 使得

分析可知 $ Q_\lambda\left(\Omega_\ell\right)\cap\overline\Omega=\emptyset $, 则 $ u=0,x\in Q_\lambda\left(\Omega_\ell\right) $ 从而 $ u_\lambda\equiv0, x\in\Omega_\ell $ 结合得 $ u\equiv u_\lambda\equiv0 $, $ x\in\Omega_\ell $.

同理特别的, 设 $ \eta=-a+\lambda/2 $, 不难得到 $ \Omega_\eta\cup Q_\eta(\Omega_\eta)\subseteq\Omega_\ell $, 即 $ u\equiv0( x\in\Omega_\eta $), $ u_\eta=0(x\in Q_\eta\left(\Omega_\eta\right)) $ 从而

应用命题 2.1 的结论 (这里选取 $ H=\Sigma_\eta $, $ U=\Omega_\eta $, $ v=v_\eta $) 可推出

所以, $ u $ 关于 $ \partial\Sigma_\lambda=\left\{x_1=\lambda\right\} $ 和 $ \partial{\Sigma_\eta}=\left\{x_1=\eta\right\} $ 两个不同的超平面对称.

从而, 由于 $ u $ 关于 $ \partial{\Sigma_\lambda} $ 对称, 并且 $ Q_\lambda(\Omega\setminus({\Omega_\lambda }\cup {Q_\lambda}({\Omega_\lambda })))\cap\Omega=\emptyset $, 即 $ u=0$ $(x\in Q_\lambda$ $(\Omega\setminus({\Omega_\lambda }\cup {Q_\lambda}({\Omega_\lambda})))) $, $ u_\lambda\equiv 0( x \in\Omega\setminus({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda}))) $ 所以 $ u=u_\lambda\equiv 0 $, $ x \in\Omega\setminus({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda})) $.

同理另一方面, $ \partial{\Sigma_\eta } $ 也是 $ u $ 的对称超平面, 且 $ {Q_\eta}({\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda})) \cap\Omega=\emptyset $. 故 $ u=u_\eta\equiv0 $, $ x\in{\Omega_\lambda}\cup{Q_\lambda}({\Omega_\lambda}) $.

综合可得 $ u\equiv0 $, $ x\in\Omega $. 引理得证.

设 $ u\in{C^1}(\Omega\rm{\backslash}\Gamma) $ 是方程 (1.1) 的弱解, 当 $ \lambda<0 $ 时, 定义

其中 $ \left(u-u_\lambda\right)^+=\max\left\{u-u_\lambda,0\right\} $, $ \left(u-u_\lambda\right)^-=\min\left\{u-u_\lambda,0\right\} $. 显然, 由于 $ \lambda<0 $, 当 $ x\in\Omega_\lambda $ 时, $ w_\lambda=\left(u-u_{\lambda}\right)^{+}(x) $, 从而

引理3.1 设 $ a<\lambda<0 $, 则在定理 1.1 的假设条件下

即 $ {w_\lambda}\in \mathcal{H}_0^s({\Omega_\lambda}) $.

证 对足够小的 $ \varepsilon>0 $, 记

由 $ \text{Cap}_2(\Gamma)=0 $, 根据文献 [19,引理 2.5], 对于 $ \varepsilon>0 $ 有

从而存在 $ \phi_\varepsilon\in C_c^\infty(\Gamma_\varepsilon^\lambda) $ 使得

不妨假设

令

并考虑

为了简单起见, 记 $ \varphi_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon^\lambda $, 则 $ \varphi _\varepsilon $ 有界且

令

则

容易发现

由前面可知 $ u $ 满足 (1.1) 式, $ {u_\lambda} $ 满足 (3.8) 式. 令 $ \varphi $ 作为测试函数有

简单的计算可以知道

另一方面,

这里我们用到 $ \nabla(u-u_\lambda-w_\lambda)\cdot \nabla(w_\lambda\varphi_\varepsilon^2)=0, x\in\Omega $, 根据 (3.9)-(3.11) 式得

其中 $ C $ 是与 $ f,N,s,||u||_{{L^\infty}(\Omega_\lambda)} $ 有关的常数, 从而

由对称性有

另一方面, 由 Young 不等式有

结合 (3.14) 和 (3.15) 式, 取合适的 $ \varepsilon $ 可将 (3.13) 式可以写成

由 $ \varphi_\varepsilon^\lambda $ 的定义 (3.5) 式有

则 (3.17) 式根据 $ \varphi_\varepsilon $ 对称性有以下结果

再根据 (3.2) 和 (3.18) 式有

结合 (3.19) 式及 $ \varphi_\varepsilon $ 的性质, (3.16) 式可写成

上式由 $ \varphi_\varepsilon(x)\xrightarrow{\varepsilon\to 0} 1 $, 可以知道

即 $ {w_\lambda}\in \mathcal{H}_0^s({\Omega_\lambda}) $.

定理 1.1 证明 重复引理 3.1 的证明过程, 可以得到

上式左边第二项由 (3.2) 式、(3.5) 式和 Hölder 不等式有

注意到

上式结合 (3.21) 式有

在 (3.20) 式中令 $ \varepsilon\to 0 $,并结合 $ 0 \leqslant{\phi_\varepsilon}\leqslant1 $ 和 $ \varphi_\varepsilon(x)\xrightarrow{\varepsilon\to 0}1 $, 以及文献 [19,(3.19) 式] 可以推出

从而由 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式得

令 $ |\lambda-a| $ 足够小使得

该式结合 (3.23) 式可以推出

此式表明当 $ |\lambda-a| $ 足够小时, $ u\leqslant{u_\lambda} $, $ x\in\Omega_\lambda $.

定义

其中

并且注意到

下面证明

为此用反证法, 假设 $ \lambda_0< 0 $. 由 $ u $ 在 $ \Omega\setminus\Gamma $ 中的连续性可知,

由于 $ u $ 不是恒等于 $ 0 $, 则根据引理 2.5 推出 $ u_{\lambda_0}> u, x\in\Omega_{\lambda_0}\setminus Q_{\lambda_0}(\Gamma) $.

设 $ K\subseteq\Omega_{\lambda_0}\setminus Q_{\lambda_0}(\Gamma) $ 是给定的紧集, 因为函数 $ u_{\lambda} $ 关于 $ \lambda $ 连续, 从而存在 $ \tau_0=\tau_0(K)>0 $, 使得对于任意的 $ \tau\in(0,\tau_0) $, $ u_{{\lambda_0}+\tau}>u $, $ x\in K $. 对每个固定的 $ \tau\in(0,\tau_0) $. 类似 (3.5) 式的方式可以定义 $ \varphi_\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau} $. 为了简单起见, 记 $ \varphi_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau} $. 设 $ \varphi=w_{{\lambda_0}+\tau}\varphi_\varepsilon^2 $. 与引理 3.1 证明过程类似, 可以得到

由 $ \varphi _\varepsilon^{{\lambda_0}+\tau} $ 的定义有

(3.27) 式左边第二项由 Hölder 不等式可以得到

注意到

上式结合 (3.28) 式表明

在 (3.27) 式中令 $ \varepsilon\to 0 $, 并结合 $ 0 \leqslant{\phi_\varepsilon}\leqslant1 $ 和 $ \varphi_\varepsilon(x)\to 1 $, $ \varepsilon\to 0 $,可以推出

根据 Sobolev 不等式有

当 $ K $ 充分大时使得

从而根据 (3.30) 式有

从而对于充分小 $ \tau_0>0 $, 任意的 $ \tau\in(0,\tau_0) $ 依然有 $ u\leqslant u_{\lambda_0+\tau} $, $ x\in\Omega_{\lambda_0+\tau}\setminus Q_{\lambda_0+\tau}(\Gamma) $. 这与 (3.24) 式矛盾. 从而证明了 (3.26) 式成立.

同样的方法可以从相反的方向证明类似的结论, 从而证明了解的对称性.