本文研究了具有时间依赖记忆核的非经典扩散方程动力系统的解的长时间动力学行为

其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$ 为带有光滑边界的有界域.

设时间依赖函数 $h_{t}(s)$ 是非负的, 凸的且可和的, 并且满足 $h_{t}(s) =\int_{s}^{\infty}\mu_t(y)\mathrm{d}y,\forall s\in \mathbb{R}^{+},$ $t\in\mathbb{R}.$ 进一步, 假设$\mu_{t}(s)=-\partial_sh_{t}(s),$ 并且映射 $(t,s)\mapsto\mu_{t}(s):\mathbb{R}\times\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}$ 满足以下条件

(H$_{1}$) 对于任意固定的 $t\in\mathbb R$, 映射 $s\mapsto \mu_{t}(s)$ 是非增的, 绝对连续且可和的. 定义

(H$_{2}$) 对于任意 $\tau\in\mathbb R$, 存在一个连续函数 $K_{\tau}:[\tau,\infty)\rightarrow\mathbb R^{+}$ 使得

(H$_{3}$) 对于每一个固定的 $s>0$, 映射 $t\mapsto \mu_{t}(s)$ 对于所有的 $t\in\mathbb R$ 是可微的, 并且对于任意的紧集$\mathcal{K}\subset\mathbb R\times\mathbb R^{+}$, 有

(H$_{4}$) 存在 $\delta>0$ 使得

假设外力项 $g\in L^{2}(\Omega)$, 且非线性项 $f\in C^{1}(\mathbb R)$ 满足 $f(0)=0$, 并且满足

其中 $C$ 为正常数, 且存在 $\theta:0<\theta<1,$ 使得

其中 $F(u)=\int_{0}^{u}f(s)\mathrm{d}s, c_{f}\geq0.$

当方程 (1.1) 不包含记忆项时 (即$h_{t}\equiv0)$, 则转化为非经典扩散方程, 该方程在流体力学和热传导领域中有着广泛的应用, 参见文献 [1],[2],[3]. 近年来, 有许多学者都在从事关于非经典扩散方程解的长时间行为的研究, 参见文献 [4],[10],[5],[6],[7],[8],[9]. 例如, 在自治情形下对于非线性项满足临界指数增长, 当外力项属于空间 $H^{-1}(\Omega)$ 时, Sun 等^[5] 讨论了全局吸引子的存在性; 在非自治情形下, 当外力项属于空间 $L_{b}^{2}(\mathbb R;L^{2}(\Omega))$ 时, 讨论了指数吸引子和一致吸引子的存在性.

当方程包含非时间依赖记忆项 (即通常的衰退记忆项, 记忆核函数不依赖于 $t$) 时, Wang 等^[7] 在外力项仅属于$H^{-1}(\Omega)$ 和 $L^{2}(\Omega)$, 非线性项为临界指数增长时证明了非经典扩散方程全局吸引子的存在性以及正则性. 当非线性项 $f$ 满足任意阶多项式增长条件时, Zhang 等^[8] 在拓扑空间 $H_{0}^{1}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)\times L_{\mu}^{2}(\mathbb R^{+};H_{0}^{1}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega))$ 中证明了强吸引子的存在性. Wang 等^[10] 在非线性项为次临界指数增长的条件下, 证明了非经典扩散方程轨道吸引子的存在性.

而当方程包含时间依赖记忆项 (即记忆项依赖于 $t$) 时, 表示粘弹性材料的粘性随着时间的流逝会逐渐消失, 即出现老化现象, 如橡胶, 塑胶材料, 这使得我们的研究对象变得复杂而有趣. 时间依赖记忆核的存在给估计带来了本质性的困难. 首先, 由于记忆核函数依赖于时间, 定义变量$\eta^{t}$ 的时间导数与以往不同. 其次, 用于含有非时间依赖记忆项的方程的经典方法和微分不等式无法进行方程 (1.1) 的耗散性估计和解过程的紧性验证. 为了克服以上困难, 我们借助文献 [11],[12] 的观点, 在新的理论框架下, 利用积分估计方法以及分解技术成功克服了估计与证明过程中的实质性难题, 得到了解的适定性, 进而证明了时间依赖全局吸引子的存在性与正则性.

本文结构如下: 在第二节, 介绍了一些将要用到的概念和结论; 在第三节, 讨论了适定性, 并证明了方程 (1.1) 时间依赖全局吸引子的存在性与正则性.

在随后的论述中, 为了简便起见, 定义 $C$ 为任意的正常数.

借助文献 [13] 的观点, 我们定义历史变量 $\eta^{t}(x,s)=\int^ s_ 0 u(x,t-r)\mathrm{d}r, s\geq 0$.

令 $\mu_{t}(s)=-\partial_sh_{t}(s)$, 则方程 $(1.1)$ 可转化为

对于任意的 $t\geq\tau,$ 有

相应初-边值条件为

设 $\sigma\in\mathbb R, T>\tau\in\mathbb R, u\in C([\tau,T];\mathcal H^{\sigma}), \eta_{\tau}\in\mathcal M_{\tau}^{\sigma},$ 其中$[\tau,T]\in\mathbb R$. 并且

如同文献 [14], 设 $A=-\Delta$ 且定义域 $D(A)=H_{0}^{1}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$. 考虑 Hilbert 空间族$D(A^{\frac{k}{2}}), k\in \mathbb{R}$, 并赋予相应的内积与范数

这里 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 和 $\|\cdot\|$ 为 $L^{2}(\Omega)$ 的内积与范数.

因此, 对于任意的 $k>r$, 有紧嵌入 $D(A^{\frac{k}{2}})\hookrightarrow\hookrightarrow D(A^{\frac{r}{2}})$, 以及对于所有的$k\in[0,\frac{n}{2})$, 有连续嵌入 $D(A^{\frac{k}{2}})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2k}}(\Omega)$.

对于 $0\leq k<3$, 记 $\mathcal H^{k}=D(A^{\frac{k}{2}}), \|\cdot\|_{k}=\|\cdot\|_{\mathcal H^{k}}=\|\cdot\|_{D(A^{\frac{k}{2}})}$, 则 $\mathcal H=L^{2}(\Omega), \mathcal H^{1}=H_{0}^{1}(\Omega), \mathcal H^{2}=H_{0}^{1}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$. 根据记忆核函数满足的条件, 当 $0\leq r<3$ 时, 定义如下记忆空间

并赋予相应内积与范数

根据条件 (H$_{2})$, 对于任意的 $\eta^{t}\in\mathcal M_{\tau}^{\sigma}$, 有

且有连续嵌入

考虑线性算子

代表弱导数, 并且在 $\mathcal H^{\sigma}$上, 有

如同文献 [15], $\mathbb T_{t}$ 是空间 $\mathcal M_{t}^{\sigma}$ 上右平移收缩半群的无穷小算子, 因此是一个耗散算子. 更准确地说, 以下估计式成立

则根据条件 (H$_{1})$ 有

由 (2.4) 式, 可知

特别地, 定义时间依赖空间

并且赋予范数

对于任意的 $r>0$ 以及任意的 $t\in\mathbb{R}$, 令

定理2.1^[16] 设 $\{\mathcal{H}_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 为一族赋范线性空间, 对于双参数算子族 $U(t,\tau): \mathcal{H}_{\tau}\rightarrow\mathcal{H}_{t}, $ $t\geq\tau\in\mathbb{R}$, 若满足如下性质

(i) 对于任意的 $\tau\in\mathbb{R}, U(\tau,\tau)=Id$ 是 $\mathcal{H}_{\tau}$ 上的恒等映射;

(ii) 对于任意的 $t\geq s\geq\tau, \tau\in\mathbb{R}$, 有 $U(t,s)U(s,\tau)=U(t,\tau)$, 则称 $U(t,\tau)$ 是一个过程.

引理2.1^[16] 设 $X, Y, Z$ 为三个 Banach 空间. 对于 $T>0$, 若$X\hookrightarrow\hookrightarrow Y\hookrightarrow Z$, 且

其中 $r>1, 1\leq p<\infty$. 那么

引理2.2^[17] (积分型 Gronwall 不等式) 设$\Lambda:[\tau,\infty)\rightarrow\mathbb R$ 是一个连续函数, 对于某些 $\varepsilon>0$ 以及任意的 $b>a\geq\tau$, 以下积分不等式成立

其中 $q_{1}, q_{2}\geq0$ 且 $q_{i}\in L_{loc}^{1}[\tau,\infty)\ (i=1,2)$ 满足, 存在 $c_{1}, c_{2}\geq0$, 使得

那么

引理2.3^[18] 设 $\mu\in C^{1}(\mathbb R^{+})\cap L^{1}(\mathbb R)$ 是非负函数, 且满足: 如果存在 $s_{0}\in\mathbb R^{+},$ 使得 $\mu(s_{0})=0,$ 则 $\mu(s)=0$ 对于所有的 $s\geq s_{0}$ 均成立. 此外, 设$B_{0}, B_{1}, B_{2}$ 是 Banach 空间, 其中 $B_{0}, B_{1}$ 自反且满足

其中嵌入 $B_{0}\hookrightarrow B_{1}$ 紧. 设 $\mathfrak{C}\subset L_{\mu}^{2}(\mathbb R^{+};B_{1})$ 满足

(i) $\mathfrak{C}$ 在 $L_{\mu}^{2}(\mathbb R^{+};B_{0})\cap H_{\mu}^{2}(\mathbb R^{+};B_{2})$ 中;

(ii) $\sup\limits_{\eta\in\mathfrak{C}}||\eta(s)||_{B_{1}}^{2}\leq h(s), \forall s\in\mathbb R^{+},h(s)\in L_{\mu}^{1}(\mathbb R^{+}),$ 则 $\mathfrak{C}$ 在 $L_{\mu}^{2}(\mathbb R^{+};B_{1})$ 紧.

引理2.4^[19] 设 $(\mathcal{M},d)$ 是度量空间, $U(t,\tau)$ 是空间$\mathcal{M}$ 上的 Lipschitz 连续过程, 即存在独立于 $m_{i},\tau$ 和 $t$ 的常数 $C$ 和 $K$, 使得

如果存在子集 $M_{1},M_{2},M_{3}\subset\mathcal{M}$, 使得

则

其中 $\nu=\frac{\nu_{1}\nu_{2}}{K+\nu_{1}+\nu_{2}}$ 且 $L=CL_{1}+L_{2}$.

定义2.2 如果一个集族 $\mathfrak{B}=\{B_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 为一致有界的, 即

且对于每一个 $R>0$, 存在常数$\tau_{e}=\tau_{e}(R)\geq 0$, 使得

其中 $\mathbb{B}_{\tau}(R)=\{\xi\in X_{\tau}|\|\xi\|_{X_{\tau}\leq R}\}$, 则称 $\mathfrak{B}=\{B_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 为时间依赖吸收集.

定义2.3 如果对于每个 $t\in\mathbb R,$ 都存在一个常数 $R>0,$ 使得

则称有界集 $C_{t}\subset X_{t}$ 的集合族 $\mathcal{C}=\{C_{t}\}_{t\in\mathbb R}$ 是一致有界的.

定义2.4 若一个集族 $\mathscr{A}=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 满足如下性质

(i) 对于任意的 $t\in\mathbb R,$ 每一个 $A_{t}$ 在 $X_{t}$ 中都是紧的;

(ii) $\mathscr{A}$ 是拉回吸引的, 即 $\mathscr{A}$ 是一致有界的, 并且对于每一个一致有界集族 $\mathcal{C}=\{C_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$, 有

(iii) (最小性) 若存在一个集族 $\mathcal{D}=\{D_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 满足 (i) 和 (ii), 那么 $A_{t}\subset D_{t}, \forall t\in\mathbb R,$ 则称 $\mathscr{A}=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 为过程 $U(t,\tau)$ 的时间依赖全局吸引子.

定义2.5 设函数 $t\rightarrow Z(t)\in X_{t},$ 若

(i) $\sup\limits_{t\in\mathbb R}||Z(t)||_{X_{t}}<\infty;$

(ii) $Z(t)=U(t,\tau)Z(\tau), \forall\tau\leq t, \tau\in\mathbb R,$ 则称 $Z(t)$ 是过程 $U(t,\tau)$ 的完全有界轨道 (CBT).

引理2.5^[11] 过程 $U(t,\tau)$ 的时间依赖吸引子$\mathscr{A}=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}$ 存在且唯一当且仅当集合 $\mathcal O=\{O_{t}\}_{t\in\mathbb R}$ 是非空的, 其中 $O_{t}\in X_{t}$ 是紧的且 $\mathcal O$ 是拉回吸引的.

定义2.6 设 $U(t,\tau)$ 是作用于时间依赖空间 $X_{\tau}$ 的一个过程, 对于任意的 $t\geq\tau$, $U(t,\tau):X_{\tau}\rightarrow X_{t}$ 是连续的, 且拥有时间依赖全局吸引子 $\mathscr A=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb{R}}.$ 那么 $\mathscr A$ 是不变的, 即, $U(t,\tau)A_{\tau}=A_{t},$ $\forall t\geq\tau$.

引理2.6^[11],[22] 设 $Z(t)$ 是过程 $U(t,\tau)$ 的完全有界轨道 (CBT). 如果过程 $U(t,\tau)$ 的时间依赖全局吸引子 $\mathscr A=\{A(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是不变的, 则 $\mathscr A=\{Z|t\rightarrow Z(t)\in X_{t}\}$.

定义3.1 对于任意的 $T>\tau\in\mathbb R$, 设 $g\in L^{2}(\Omega),$ 且$z_\tau=(u_{\tau},\eta_{\tau})\in\mathscr H_{\tau}^{1},$ 如果 $(u(\tau),\eta^{\tau})=(u_{\tau},\eta_{\tau}),$ 并且

(i) $z(t)\in\mathscr H_{t}^{1} $ a.e. $ t\in[\tau,T];$

(ii) $u\in L^{\infty}([\tau,T]; \mathcal H^1), \eta^{t}$ 满足 (2.2) 式;

(iii) 对于任意的 $\phi\in \mathcal H^1$, 有

$\begin{matrix} &&\langle\partial_{t}u, \phi\rangle+\langle\partial_{t}u, \phi\rangle_{1}+\langle u, \phi\rangle_{1}+\int_{0}^{\infty}\mu_{t}(s)\langle\eta^t(s), \phi\rangle_{1}\mathrm{d}s+\langle f(u), \phi\rangle=\langle g, \phi\rangle, a.e. t\in [\tau,T], \end{matrix}$ 则称 $z(t)=(u(t),\eta^{t})$ 为方程 (2.1) 在时间区间 $I$ 上满足初值 $z(\tau)=z_{\tau}$ 的弱解.

引理3.1 设

且有 $\eta^{t}\in\mathcal M_{\tau}^{\sigma}\subset\mathcal M_{t}^{\sigma}$, 其中 $\|\eta^{t}\|_{\mathcal M_{\tau}^{\sigma}}^{2}\leq\Phi(u,\eta_{\tau}), \forall t\in[\tau,T],$ 并且 $\|\eta^{t}\|_{\mathcal M_{t}^{\sigma}}^{2}\leq\Phi(u,\eta_{\tau})K_{\tau}(t)\in L^{1}(\tau,T).$

证 由于 $\mu_{\tau}(\cdot)$ 是非增函数, 则

根据条件 (H$_2)$ 和 (2.5) 式可知第二个不等式同样成立. 证毕.

引理3.2 假设 $\eta_{\tau}\in D(\mathbb T_{\tau})$, 则对于任意的 $t\in[\tau,T], \eta^{t}\in D(\mathbb T_{\tau})$, 并且

在空间 $\mathcal M_{\tau}^{\sigma}$ 上成立.

证 由于 $\eta_{\tau}\in D(\mathbb T_{\tau})\subset\mathcal M_{\tau}^{\sigma},$ 可得

在空间 $\mathcal H^{\sigma}$ 上, 有 $\eta^{t}(0)=0.$

此外, $\mu_{\tau}(\cdot)$ 是非增的且 $\eta_{\tau}\in D(\mathbb T_{\tau})\subset\mathcal M_{\tau}^{\sigma},$ 则

因此, $\partial_{s}\eta^{t}\in\mathcal M_{\tau}^{\sigma}.$

类似地, 得到 $\mathrm{ess} \sup\limits_{t\in[\tau,T]}\|\partial_{t}\eta^{t}\|_{\mathcal M_{\tau}^{\sigma}}<\infty.$

最后, 结合 (3.1) 和 (3.2) 式, 得到 $\partial_{t}\eta^{t}=\mathbb T_{\tau}\eta^{t}+u(t)$ 在空间 $\mathcal M_{\tau}^{\sigma}$ 上成立. 证毕.

注3.1 由于 $\mathcal M_{\tau}^{\sigma}\subset\mathcal M_{t}^{\sigma}$, 由 (2.7) 式知, 对于任意固定的$t$, 有

在空间 $\mathcal M_{t}^{\sigma}$ 上成立.

注3.2 当 $\eta^{t}\in D(\mathbb T_{\tau}),$ 由 (9) 和 (3.3) 式可知

其中 $\Psi(u,\eta_{\tau})=\kappa(\tau)\|u\|_{L^{\infty}(\tau,T;\mathcal H^{\sigma})}^{2}+\|\partial_s\eta_{\tau}\|_{\mathcal M_{\tau}^{\sigma}}^{2}.$

引理3.3 记 $I=[\tau,T],$ 假设 $u\in C(I;\mathcal H^{\sigma})$ 且 $\eta_{\tau}\in C^{1}(\mathbb R^{+},\mathcal H^{\sigma})\cap D(\mathbb T_{\tau})$. 那么, 对于任意的 $\tau\leq a\leq b\leq T,$ 以下不等式成立

证 取 $\varepsilon>0$ 充分小, 令

定义

并且

根据引理 3.1 可知, 对于每个固定的 $t$, 有 $s\mapsto y_{\varepsilon}(t,s)\in L^{1}(\mathbb R^{+}),$ 并且对于每个 $s$, 有 $t\mapsto\|\eta^{t}(s)\|_{\sigma}^{2}\in C^{1}([\tau,T]),$ 因此

由 (2.2) 和 (3.2) 式可知

令条件 (H$_{3})$ 中的紧集 $\mathcal K=[\tau,T]\times[\varepsilon,\frac{2}{\varepsilon}],$ 则存在 $C_{\varepsilon}>0,$ 使得

因此, 由 (3.6) 式得

定义记忆空间 $\mathcal M_{t}^{\sigma,\varepsilon}=L_{\mu_{t}^{\varepsilon}} ^2(\mathbb R^+; \mathcal H^{\sigma}),$ 且方程 (3.4) 乘以 $2\eta^{t}$ 并在 $\mathcal M_{t}^{\sigma,\varepsilon}$ 上作内积, 得

利用 (3.6) 式, 得

并且由 (2.6) 式, 可知

因此

由 (3.6) 和 (3.7) 式可知, $t\mapsto\|\eta^{t}\|^{2}_{\mathcal M_{t}^{\sigma,\varepsilon}}$ 是绝对连续的, 对 $(3.8)$ 式在 $[a,b]$ 上积分, 得

令上式中 $\varepsilon\rightarrow0$, 则对于任意固定的 $t$, 有

利用条件 (H$_{2})$ 和引理 3.1, 得

并且根据控制收敛定理可知

定义

由条件 (H$_{4})$ 和引理 3.1, 可得

此外

由于 $\mu_{t}(\cdot)$ 是非增的, 则

设 $\varepsilon\leq1$, 则有 $\frac{s}{\varepsilon}\chi_{[\varepsilon,2\varepsilon]}(s)\leq2\chi_{[0,2]}(s).$

结合以上两式, 得

因此

则有

最后根据 Fatou 引理, 得到

根据以上结果可知, 不等式成立. 证毕.

定理3.1 对于所有的 $\tau\leq a\leq b\leq T$, 以下估计成立

证 取序列 $\{\eta_{\tau_n}\}\subset C^{1}(\mathbb R^{+},\mathcal H^{\sigma})\cap D(\mathbb T_{\tau}), \{u_n\}\subset C([\tau, T];\mathcal H^{\sigma}),$ 使得在 $\mathcal M_\tau^\sigma$ 上 $\eta_{\tau_n}\rightarrow\eta_\tau,$ 在 $C([\tau, T];\mathcal H^{\sigma})$ 上 $u_n\rightarrow u.$

设

由条件 (H$_4)$, 可得

根据引理 3.1 的证明, 有

因此, 对于任意的 $t\in[a,b]$, $ \eta^t_{_n}\rightarrow\eta^t $ 在空间 $\mathcal M_{t}^{\sigma}$ 上成立, 且

由引理 3.1, 可知

这里运用了 $\kappa(t)\leq K_\tau(t)\kappa(\tau)$. 根据控制收敛定理, 有

因此, 对每个 $t\in[a,b]$, 有 $ \langle u_n(t),\eta_n^{t}\rangle_{ \mathcal M_{t}^{\sigma}}\rightarrow\langle u(t),\eta^{t}\rangle_{\mathcal M_{t}^{\sigma}}. $

利用 $\kappa(t)\leq K_\tau(t)\kappa(\tau)$, 可得

其中 $C=\sup\limits_n[\sqrt{\kappa(\tau)\Phi(u_n,\eta_n^t)} \|u_n\|_{L^\infty(\tau,T;\mathcal H^{\sigma})}].$

由控制收敛定理可知

证毕.

定理3.2 (适定性) 记 $I=[\tau,T]$, $\forall T>\tau$. 假设 (1.2)-(1.4) 式以及条件(H$_1)$-(H$_4)$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$, 则对于任意给定的初值 $z_{\tau}\in \mathscr H_{\tau}^{1}$, $z_{\tau}$ 满足$\|z_{\tau}\|_{\mathscr H_{\tau}^{1}}\leq R$, 问题 (5)- (7) 存在唯一弱解 $z(t)=(u(t),\eta^{t}) =U(t,\tau)z_{\tau}$, 并且 $u\in C([\tau,T],\mathcal H^{1}),$ 对于任意固定的 $t$, 有 $\eta^{t}\in\mathcal M_{t}^{1},$ 则

其中 $Q=\max\{Q_1,Q_3,Q_4\}$, 并且

其中 $\bar{z}(t)=z_{1}(t)-z_{2}(t),$ 且 $z_{1}(t), z_{2}(t)$ 是问题 (5)- (7) 满足初值 $z_{1} =(u_{1_{\tau}},\eta_{1_{\tau}}), z_{2}=(u_{2_{\tau}},\eta_{2_{\tau}})$ 的弱解.

证 将方程 (2.1) 乘以 $u$, 可得

定义 $N(t)=\|u\|^{2}+\|u\|_{1}^{2}.$

利用 (1.3) 和 (1.4) 式, 可知

其中 $0<\theta\leq 1$. 此外

因此

其中 $Q_{0}=\frac{1}{\theta\lambda_{1}}\|g\|^{2}+4c_{f}.$

因此, 对 (3.11) 式在 $[\tau,t]$ 上积分, 得

根据定理 3.1, 可知

显然有

由 (3.13) 和 (3.14) 式, 得

即

其中 $Q_{1}=C(R,T,\delta,\theta,\lambda_1,\|g\|,c_f).$

方程 (2.1) 乘以 $\partial_{t}u$, 得

由 (1.2) 式, 可得

并且由条件 (H$_{2})$ 得

由 (3.16) 式可得

故

方程 (2.1) 乘以 $Au$, 得

其中 $N_1(t)=\|u\|_1^2+\|u\|_2^2$.

由 (1.3) 式, 知 $ -2\langle f(u),Au\rangle=-2 \int_\Omega f^\prime(u)|\nabla u|^2\mathrm{d}x\leq C\|u\|_1^2, $ 并且 $2\langle g,Au\rangle\leq \|g\|^2+\|u\|_2^2.$

因此

对上式在 $[\tau,t]$ 上积分, 有

根据定理 3.1, 可知

显然

故

应用 Gronwall 不等式, 得

假设 $\mathcal H^{1}$ 的正交基 $\{w_{j}\}_{j=1}^{\infty}$, 且 $Aw_{j}= \lambda_{j}w_{j}, j=1,2,\cdots.$ 设 $\{\varsigma_{j}\}_{j=1} ^{\infty}$ 是 $L_{\mu_t}^2(\mathbb R^+; \mathcal H^{1})$ 上的正交基, 且 $A\varsigma_{j}=\lambda_{j}\varsigma_{j}, j=1,2,\cdots.$ 对于每个 $n\in \mathbb N$, 存在有限维子空间

定义 $P_n: \mathcal H^{1}\rightarrow H_n$ 为 $H_n$ 上的正交投影, $Q_n$: $L_{\mu_t} ^2(\mathbb R^+; \mathcal H^{1})\rightarrow M_n$ 为 $M_n$ 上的正交投影.

设 $z_\tau=(u_\tau, \eta_\tau)$ 是满足序列 $\{z_{\tau_n}=(u_{\tau_n},\eta_{\tau_n})\}\subset\mathscr H_t^2$ 的初值, 其中 $u_{\tau_n}=P_nu_\tau \rightarrow u_\tau$ 于 $\mathcal H^{1}$, $\eta_{\tau_n}=Q_n\eta_\tau \rightarrow\eta_\tau$ 于 $\mathcal M_t^1$.

对于每一个 $n\in\mathbb N,$ 设 $z_{n}(t)=(u_{n},\eta_{n}^{t})$ 为问题的近似解, 其中 $u_{n}=\Sigma_{j=1}^{n}T_j^{n}(t)w_{j},$ $T_j^{n}\in C^{1}([\tau,T]),$ 并且 $\eta_{n}^t=\Sigma_{j=1}^{n}\Lambda_j^{n}(t)\varsigma_{j}$, $\Lambda_j^{n}\in C^1([\tau,T]).$ 那么, 对于任意的 $\varphi\in H_n$ 和每个 $t\in[\tau,T]$, $z_{n}(t)=(u_{n},\eta_{n}^{t})$ 满足

并且

假设 $\varphi\in H_m$ 是固定的, 则对于每个 $n\geq m,$ $(3.23)$ 式成立. 将 (3.20) 式乘以 $\psi\in C_0^\infty([\tau,T])$ 并在 $[\tau,T]$ 上积分, 得

又由于

则有如下结果

运用 Galerkin 逼近方法, 可知存在 $z=(u,\eta^t)\in L^\infty(\tau,T; \mathscr H_t^2),$ 使得

应用引理 2.1, 知

并且

由于 $f$ 的连续性, 则

由于 $\varphi\in H_n\subset\mathcal H^1$, 可得 $\varphi\in P_nL^{2}(\Omega).$ 因此

又 $f(u_n)$ 和 $f(u)$ 在 $L^{2}(\Omega)$ 有界, 应用控制收敛定理, 则有

又设

由 (2.5) 式得

根据极限的唯一性, 知 $q^{t}=\eta^{t}.$

由于

则有

再次利用条件 (H$_2),$ 得

因此,

又由于

因此, 应用 Lebesgue 控制收敛定理, 可得

令 (3.21) 式中 $n\rightarrow\infty$ 可得 $z=(u,\eta^{t})$ 为问题 (2.1)- (2.3) 的弱解.

下面证明弱解关于初值的连续依赖性. 设

为问题 (5)- (7) 的两个弱解. 那么 $\bar z(t)=(\bar u(t),\bar\eta^{t})=z_{1}(t)-z_{2}(t)$ 满足

其中

方程 (3.22) 乘以 $\bar u$, 得

其中 $F(t)=\|\bar u\|^{2}+\|\bar u\|^{2}_{1}$.

因此, 对上式在 $[\tau,t]$ 上积分, 得

由定理 3.1 可知

设 $\mathcal F(t)=F(t)+\|\bar\eta^{t}\|_{\mathcal M_{t}^{1}}^{2},$ 显然有 $\|\bar z(t)\|_{\mathscr H_{t}^{1}}^{2}\leq \mathcal F(t)\leq C\|\bar z(t)\|_{\mathscr H_{t}^{1}}^{2},$ 则由以上结果可知

其中, $\|\bar z_{\tau}\|_{\mathscr H_{\tau}^{1}}^{2}\leq R.$ 证毕.

根据定理 3.2, 可以定义问题 (2.1)-(2.3) 在 $\mathscr{H} _{t}^{1}$ 上的解过程, 即

且 $\{U(t,\tau)\}$ 为作用于 $\{\mathscr{H}_{t}^{1}\}_{t\in\mathbb R}$ 上的过程族.

定理3.3 (耗散性) 假设 (1.2)-(1.4) 式以及条件 (H$_{1})$-(H$_{4})$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$, 设 $U(t,\tau),\\t\geq\tau\in\mathbb R$ 是 (3.25) 式所定义的解过程, 且 $z_{\tau}\in\mathscr{H}_{\tau}^{1}$ 满足$\|z_{\tau}\|_{\mathscr{H}_{\tau}^{1}}\leq R,$ 则存在 $\varepsilon>0, R_{0}>0$ 使得过程 $U(t,\tau)$ 存在时间依赖吸收集, 即族 $ \mathfrak{B}_t=\{B_t(R_0)\}_{t\in\mathbb R}. $

证 运用 Poincaré 不等式和条件 (H$_4)$, 并根据 (3.15) 式可得

即

其中 $\varepsilon=\min\{\frac{\theta}{2}, \frac{\theta\lambda_1}{2}, \delta\inf\limits_{y\in[\tau,t]}\kappa(y)\}$. 应用引理 2.2, 得

此外

这里 $R_{0}=\frac{2Q_{0}\mathrm{e}^{\varepsilon}}{1-\mathrm{e}^{-\varepsilon}}.$ 对于每一个 $R>0$, 存在$t_0=t_{0}(R)=\frac{1}{\varepsilon}\ln \frac{2(1+\frac{1}{\lambda_1})R}{ R_0}\leq t$ 以及 $R_0>0$, 使得

证毕.

引理3.4 如果非线性项 $f$ 满足 (1.2) 式, 将其分解为

其中 $f_1, f_2\in C^1(\mathbb R)$ 并且满足

定理 3.3 表明过程 $U(t,\tau)$ 有时间依赖吸收集 $\mathfrak{B}_{t} =\{B_{t}\}_{t\in\mathbb R}$. 对于任意的 $z_{\tau}=(u_{\tau},\eta_{\tau})\in B_{\tau},$ 分解方程 $(2.1)$-$(2.3)$ 的解$U(t,\tau)z_{\tau}$, 有

其中 $U_{0}(t,\tau)z_{\tau}=z_{1}(t)$ 且 $U_{1}(t,\tau)z_{\tau}=z_{2}(t),$ 即 $z=(u,\eta^{t})=z_{1}(t)+z_{2}(t),$ 并进一步分解为

其中 $z_{1}(t)$ 满足

且

$z_{2}(t)$ 满足

且

引理3.5 若引理 3.4 以及条件 (H$_1)$-(H$_4)$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$. 那么方程 (3.30) 满足

证 方程 (3.30) 乘以 $v$, 可得

其中 $N_1(t)=\|v\|^{2}+\|v\|_{1}^{2}.$

由引理 3.4, 知

上式在 $[\tau,t]$上积分, 有

根据定理 3.1, 得

显然有

因此

即

其中 $\varepsilon_1=\min\{1, \lambda_1, \delta\inf\limits_{y\in[\tau,t]}\kappa(y)\}$. 应用引理 $2.2$, 得

进一步

其中 $\|z(\tau)\|_{\mathscr H_\tau^1}^2\leq R$. 证毕.

引理3.6 若 (1.2)-(1.4) 式和 (3.26)-(3.29) 式以及条件 (H$_1)$-(H$_4)$ 成立,$g\in L^2(\Omega)$, 对于每一个 $T>0$ 和任意初值 $z_\tau\in\mathscr H_\tau^1,$ 存在正常数 $P=P(\|g\|,\|z_\tau\|_{\mathscr H_\tau^1},\lambda_1,T)$, 使得方程 (3.31) 的解满足

证 将方程 (3.31) 乘以 $A^{\frac{1}{3}}w,$ 可得

其中 $N_{2}(t)=\|w(t)\|_{\frac{1}{3}}^{2}+\|w(t)\|_{\frac{4}{3}}^{2}.$

由定理 3.1, 得

其中 $C_0=C_0(Q_1),$ 并使用了嵌入 $\mathcal H^{\frac{4}{3}}\hookrightarrow L^{18}, \mathcal H^{\frac{2}{3}}\hookrightarrow L^{\frac{18}{5}},$ 以及 $\mathcal H^{1}\hookrightarrow L^{6}\hookrightarrow L^{3}.$

将 (3.35)-(3.37) 式代入 (3.34) 式, 有

对 (3.38) 式在 $[\tau,T+\tau]$ 上积分, 得

设

利用定理 3.1, 可得

故

根据 Gronwall 不等式, 有

最后得到

因此, (3.33) 式成立. 证毕.

对于任意的 $\zeta_\tau\in L_{\mu_\tau}^2(\mathbb R^+; \mathcal H^1)$, Cauchy 问题

有唯一解 $\zeta^t\in C([\tau, +\infty); L_{\mu_\tau} (\mathbb R^+; \mathcal H^1))$, 并有表达式

记 $\mathfrak B_t$ 为所得到的时间依赖吸收集. 设

其中 $\Pi: \mathcal H^1\times L_{\mu_t}(\mathbb R^+; \mathcal H^1)\rightarrow L_{\mu_t}(\mathbb R^+; \mathcal H^1)$ 是一个投影算子.

引理3.7 设 $z_2(t)=(w(t), \zeta^t)$ 是问题 (26) 的解. 假设 (1.2)-(1.4) 式和 (3.26)-(3.29) 式以及条件 (H$_1)$-(H$_4)$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$. 对于任意给定的 $T>\tau,$ 存在正常数$P_1=P_1(\|\mathfrak B_{\tau}\|_{\mathscr H_{\tau}^{1}})$, 使得

(i) $\mathcal K_{T}$ 在$L_{\mu_\tau}^2(\mathbb R^+; \mathcal H^{\frac{4}{3}})\cap H_{\mu_\tau}^1(\mathbb R^+;\mathcal H^1)$ 上是有界的;

(ii) $\sup\limits_{\eta^T\in\mathcal K_{T}}\|\zeta^T(s)\|_{1}^2\leq P_1$.

证 根据表达式 (3.41), 有

由引理 3.6 即知 (i) 式成立.

其次, 易知

从而根据 (3.33) 式可知 (ii) 式成立. 证毕.

引理3.8 假设引理 3.7 成立, 则对于任意给定的 $T>\tau, U_1(T,\tau)\mathfrak B_\tau$ 在 $\mathscr H_T^1$ 是相对紧的.

证 事实上, 应用引理 2.3 可知 $\mathcal K_T$ 在 $L_{\mu_\tau}(\mathbb R^+; \mathcal H^1)$ 上是相对紧的. 再次应用条件 (H$_2)$, 可得 $\mathcal K_T$ 在 $L_{\mu_t}(\mathbb R^+; \mathcal H^1)$ 上是相对紧的. 进一步, 根据紧嵌入: $\mathcal H^{\frac{4}{3}}\hookrightarrow\hookrightarrow\mathcal H^1,$ 得 $U_1(T,\tau)\mathfrak B_\tau$ 在 $\mathscr H_T^1$ 上是相对紧的. 证毕.

定理3.4 假设 (1.2)-(1.4) 式以及条件 (H$_1)$-(H$_4)$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$, 且$z_{\tau}=(u_{\tau},\eta_{\tau}) \in\mathscr H_{\tau}^{1},$ 满足 $\|z_{\tau}\|_{\mathscr H_{\tau}^{1}}\leq R.$ 过程 $U(t,\tau)$ 拥有时间依赖全局吸引子 $\mathscr A=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb R}.$ 此外, 吸引子是不变的, 即, $U(t,\tau)A_{\tau}=A_{t}, \forall t\geq\tau.$

证 定理 3.3 表明 $U(t,\tau)$ 具有时间依赖吸引集 $\mathfrak B_{t}=\{B_{t}(R_0)\}_{t\in\mathbb R}.$ 引理 3.6 表明, 对于足够大的正常数 $R_1,$ 集族 $\mathcal B_{t}^{\frac{1}{3}}=\{B_{t}^{\frac{1}{3}}(R_1)\}_{t\in\mathbb R}$ 是拉回吸引的, 其中 $B_{t}^{\frac{1}{3}}(R_1)=\{\zeta|\|\zeta\|_{\mathscr H_{t}^{\frac{4}{3}}}\leq R_1\}$.

结合 (3.32) 式和 (3.33) 式, 有

其中 $\varepsilon_1=\min\{1, \lambda_1, \delta\inf\limits_{y\in[\tau,t]}\kappa(y)\}$.

对于 $\mathscr H_\tau^1$ 上的任意有界集 $\mathcal B_\tau=\{B_\tau(R)\}_{\tau\in\mathbb R},$ 存在 $t_0=t_0(R)$ 使得

因此

其中 $\varpi=\sup\limits_{0\leq t-\tau\leq t_0}\|U(t,\tau)\mathcal B_{\tau}\|_{\mathscr H_t^1}$.

应用引理 2.4, 可得

结合引理 3.8 知, 问题 (5)- (7) 的解过程 $U(t,\tau)$ 在 $\mathscr H_{t}^{1}$ 上是渐近紧的. 因此, 在$\mathscr H_t^1$ 上存在时间依赖吸引子 $\mathscr A=\{A_t\}_{t\in\mathbb R}$, 且 $\mathscr A$ 是不变的, 即

并且

证毕.

对于任意固定的 $\tau\in\mathbb R$ 以及 $z_{\tau}\in A_{\tau},$ 将 $U(t,\tau)z_{\tau}$ 分解为

其中 $U_{0}(t,\tau)z_{\tau}$ 满足

且

$U_{1}(t,\tau)z_{\tau}$ 满足

且

其中 $\eta_{\tau}=\xi_{\tau}+\zeta_{\tau}.$

类似于引理 3.5 的证明, 可得

定理3.5 假设 (1.2)-(1.4) 式以及条件 (H$_1)$-(H$_4)$ 成立, $g\in L^2(\Omega)$, 设 $z_2(t)$ 是方程 (3.43) 具有初值 $z_2(\tau)\in A_\tau$ 的解, 则时间依赖全局吸引子 $\mathscr A=\{A_{t}\}_{t\in\mathbb R}$ 在空间$\mathscr H_{t}^{2}$ 上是有界的, 并且界是独立于 $t$ 的.

证 方程 (3.43) 乘以 $Aw,$ 可得

其中 $J(t)=\|w(t)\|_{1}^{2}+\|w(t)\|_{2}^{2}.$

由 Sobolev 嵌入, 得

将 (3.46)-(3.47) 式代入 (3.45) 式, 有

对 (3.48) 式在 $[\tau,t]$ 上积分, 得

设

由定理 3.1 可知

即

其中 $\varepsilon_2=\min\{\frac{1}{2}, \frac{\lambda_1}{2}, \delta\inf\limits_{y\in[\tau,t]}\kappa(y)\}$.

利用引理 2.2, 可知

又

则

那么, $\|U_1(t,\tau)z_\tau\|_{\mathscr H_t^2}$ 关于 $t$ 是一致有界的.

由 (3.44) 和 (3.51) 式, 得

根据时间依赖吸引子的不变性, 可知

因此, $A_t\subset\overline{K_t^2}=K_t^2.$ 证毕.