数学物理学报, 2024, 44(2): 417-428

一类带扰动项的拟线性薛定谔方程的多解性

陈铭超,, 薛艳昉,*

信阳师范大学数学与统计学院 河南信阳 464000

Multiple Solutions for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations with a Perturbed Term

Chen Mingchao,, Xue Yanfang,*

College of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University, Henan Xinyang 464000

通讯作者: * 薛艳昉，Email:xueyanfang2015@163.com

收稿日期: 2023-02-9   修回日期: 2023-08-24  

基金资助: 国家自然科学基金(11901499)
信阳师范学院南湖学者青年项目(201912)

Received: 2023-02-9   Revised: 2023-08-24  

Fund supported: NSFC(11901499)
Nanhu Scholar Program for Young Scholars of XYNU(201912)

作者简介 About authors

陈铭超，Email:1432064866@qq.com

摘要

该文研究了强制位势下非齐次拟线性薛定谔方程的多解性问题. 通过山路定理和 Ekeland 变分原理, 得到了该方程两个不同的解. 所得结论是对此类拟线性方程已有结果的补充和推广.

关键词： 拟线性薛定谔方程; 非齐次; 山路定理; Ekeland 变分原理

Abstract

In this paper, we study the multiplicity of solutions for nonhomogeneous quasilinear Schrödinger equation with coercive potential. We obtain two different solutions by applying the Mountain Pass Theorem and Ekeland's Variational Principle. The results in this paper extend and complement previously known results to the quasilinear equations.

Keywords： Quasilinear Schrödinger equation; Nonhomogeneous; Mountain Pass Theorem; Ekeland's Variational Principle

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本文引用格式

陈铭超, 薛艳昉. 一类带扰动项的拟线性薛定谔方程的多解性[J]. 数学物理学报, 2024, 44(2): 417-428

Chen Mingchao, Xue Yanfang. Multiple Solutions for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations with a Perturbed Term[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(2): 417-428

1 引言

本文研究如下的拟线性薛定谔方程

$ -\Delta u+V(x)u-\Delta (u^2)u=g(x,u)+h(x), \ \ x\in \mathbb{R}^N,$

其中 $N\geq 3$, $V$ 是一个无界位势, 非线性项 $g$ 满足次临界增长.

当 $h(x)\equiv0$, 位势 $V$ 和非线性项 $g$ 满足不同的假设条件时, 人们对问题 (1.1) 进行了广泛的研究, 参见文献 [2],[3],[8],[10],[11],[12],[13],[14],[16],[17]. 比较经典的结果是文献 [16], 为了克服拟线性项 $\Delta (u^2)u$ 所带来的困难, 作者采用约束极小的方法, 得到解的存在性与拉格朗日乘子有关, 并且限制在一维空间中讨论. 随后, 文献 [13] 将他们的结果推广到了高维空间. 在文献 [2],[8] 中, 作者通过变量代换方法将方程 (1.1) 转化为半线性方程, 得到了拟线性方程基态解的唯一性, 该方法更加简单有效, 所得到的结论也更加丰富 (见文献 [2],[3],[8],[14],[17]). 文献 [10],[11],[12] 采用扰动方法, 得到一系列存在性结果, 该方法包含逼近的思想, 有一定难度, 但是可以处理更加复杂的拟线性问题. 关于强制位势的结果, 我们主要关注文献 [18],[19], 这两个结果分别讨论具有奇异扰动和临界增长的拟线性薛定谔方程.

当 $h(x)\not\equiv0$ 时, 针对方程 (1.1) 的结论不多. 我们所知的结果仅有文献 [6],[15], 其中, 在文献 [6] 中, 作者通过山路定理证明了带有变号位势的方程 (1.1)有一个非平凡解. 但一般来说, 非线性项是非齐次的情况时, 方程应该有两个解, 参见文献 [4],[9]，[21],[22]. 其中, 文献 [21],[22] 讨论的是半线性薛定谔方程, 文献 [4], 19 分别考虑的是 Schrödinger-Poisson 和 Klein-Gordon-Maxwell 方程, 上述文献中, 都得到了相应方程的两个解. 由此产生的一个自然问题是: 在适当的条件下, 方程 (1.1) 是否也有两个解? 答案是肯定的. 受上述结果的启发, 我们考虑方程 (1.1) 的非齐次情况, 并得到了两个解, 分别是局部极小解和山路解.

本文中, 我们讨论的强制位势如下

(V) $V(x)\in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ 且满足 $\inf\limits_{x\in\mathbb{R}^N}V(x)\geq V_0>0.$ 此外, 对于任意的 $M>0$, $meas$ ($x\in\mathbb{R}^N$:$V(x)\leq M$)$<\infty$, 其中 $meas$ 表示 $\mathbb{R}^N$ 中的勒贝格测度.

非线性项 $g(x,s)\in C(\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$ 满足以下条件

(G1) $\lim\limits_{s\rightarrow0}\frac{g(x, s)}{s}=0$ 关于 $x\in\mathbb{R}^N$ 一致成立;

(G2) 存在常数 $C_0,\tilde{C}_0>0$, $p\in(4, 2\cdot2^{\ast})$ 使得 $g(x,s)\leq C_0|s|+\tilde{C}_0|s|^{p-1},\forall(x,s)\in\mathbb{R}^N\times \mathbb{R};$

(G3) $ \frac{1}{4}g(x, s)s-G(x, s)\geq0,$ 其中 $G(x,s)=\int^{s}_{0}g(x,t){\rm d}t$;

(G4) $\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}\frac{G(x, s)}{s^4}=+\infty$ 关于 $x\in\mathbb{R}^N$ 一致成立.

主要结论如下

定理1.1 假设 $h\in L^2(\mathbb{R}^{N})$ 且 $h\not\equiv0$. 若 $V(x)$ 满足条件 (V), $g(x, s)$ 满足条件 (G1)-(G4), 则存在常数 $m_0>0$, 当 $\|h\|_{L^{2}}<m_0$ 时, 方程 (1.1) 至少有两个不同的解.

注1.1 如上文所述, 通过以下的 Ambrosetti-Rabinowitz 条件, Fang 等[6] 得到了一个非平凡解.

(AR) 存在 $\mu>4$ 使得$\frac{1}{\mu}g(x, s)s-G(x, s)\geq0.$

上述 (AR) 条件在证明 $(PS)_c$ 序列的有界性时, 发挥了重要的作用. 若 $g(x,s)$ 满足 (AR) 条件, 我们就可以去掉 (G4) 条件得到第二个主要结果.

定理1.2 假设 $h\in L^2(\mathbb{R}^{N})$ 且 $h\not\equiv0$. 若条件 (V), (G1), (G2), (AR) 都成立, 则存在常数 $m_0>0$, 当 $\|h\|_{L^{2}}<m_0$ 时, 方程 (1.1) 至少有两个不同的解.

注1.2 在文献 [15] 中, 作者需要条件 (G3), (G4) 和下面的假设

(G3)$'$ 当 $s$ 足够大时, 存在 $a_0>0$, $\gamma\in(\max\{1,\frac{2N}{N+2}\},2)$ 使得 $|g(x, s)|^{\gamma}\leq a_0\widetilde{G}(x,s)|s|^{\gamma}$ 关于 $x\in\mathbb{R}^N$ 一致成立, 其中 $\widetilde{G}(x,s)= \frac{1}{4}g(x, s)s-G(x, s)$.

该条件在文献 [15] 中非常重要, 用于证明 $(PS)_c$ 序列的有界性. 在本文中, (G3)$'$ 条件是不需要的. 此外, 与文献 [15] 相比, 我们的结果更加丰富.

在本文中, 我们使用以下符号

$\bullet$ $L^s(\mathbb{R}^N)$ 表示通常的 Lebesgue 空间. 对任意的$s \in [1,+\infty)$, 其范数定义为

$\|u\|_s=\left(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^s{\rm d}x\right)^{1/s}.$

$\bullet$ $H^{1}(\mathbb{R}^N): =\{{u\in L^{2}(\mathbb{R}^N):|\nabla u|\in L^{2}(\mathbb{R}^N)}\}$ 表示通常的 Hilbert 空间, 其范数定义为

$\|u\|_{H^{1}}=\left(\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^{2}+u^{2}){\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}.$

$\bullet$ $E:=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla u|^{2}+V(x)u^{2}){\rm d}x<\infty\}$, 其上的内积和范数分别为

$(u, v)=\int_{\mathbb{R}^N}(\nabla u\cdot\nabla v+V(x)uv){\rm d}x,\ \ \|u\|=(u, u)^{\frac{1}{2}}.$

$\bullet$ $o_n(1)$ 表示当 $n\rightarrow\infty$ 时的无穷小量.

$\bullet$ $C, C_\delta, C_1, C_2, \cdots$ 代表不同的常数. 在不同的章节里相同的符号可能代表不同的常数, 但这不影响文章最终的结论.

2 预备知识

从形式上看, 方程 $ (1.1)$ 所对应的能量泛函为

$ J(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}\left[(1+2u^2)|\nabla u|^{2}\right]{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)u^{2}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, u){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}h(x)u{\rm d}x,$

该泛函在空间 $ H^1(\mathbb{R}^N)$ 中可能没有定义. 为了找到合适的函数空间来讨论 $J(u)$ 的临界点, 我们借助文献 [3] 中给出的变量代换的方法. 令 $u:=f(v)$, 其中 $f$ 由如下的微分方程所确定

$ \begin{matrix} \begin{cases} f^\prime(t)=\frac{1}{(1+2f^2(t))^{1/2}}, \ &t\in[0, +\infty), \\ f(t)=-f(-t), \ & t\in(-\infty, 0]. \end{cases} \end{matrix}$

将上述变换代入 $J$, 得到泛函

$ I(v)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, f(v)){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v){\rm d}x.$

显然 $I(v)=J(u)=J(f(v))$, 且 $I$ 在 $E$ 中有定义. 在假设条件 (G1), (G2) 下, $I\in C^1(E, \mathbb{R})$. 此外, 如果 $v$ 是泛函 $I$ 的临界点, 那么函数 $u=f(v)$ 是问题 $ (1.1)$ 的解 (参见文献 [3]).

下面给出 $f$ 的相关性质, 具体的证明参见文献 [3] 和 [5].

引理2.1 函数 $f$ 满足以下性质

(1) $f$ 是唯一确定的, 可逆的且 $f\in C^\infty$;

(2) 对任意 $t\in \mathbb{R}$, 有 $|f^\prime(t)|\leq 1$;

(3) 对任意 $t\in \mathbb{R}$, 有 $|f(t)|\leq |t|$;

(4) 当 $t\rightarrow0$ 时, 有 $\frac{f(t)}{t}\rightarrow 1$;

(5) 当 $t\rightarrow+\infty$ 时, 有 $\frac{f(t)}{\sqrt{t}}\rightarrow 2^{1/4}$ ;

(6) 当 $t>0$ 时, 有 $\frac{f(t)}{2}\leq tf^\prime(t)\leq f(t)$;

(7) 存在一个正常数 $C$, 当 $|t|\leq 1$ 时, 有 $|f(t)|\geq C|t|$; 当 $|t|\geq 1$ 时, 有 $|f(t)|\geq C|t|^{1/2}$ ;

(8) 对任意 $t\in \mathbb{R}$, 有 $|f(t)|\leq 2^{1/4}|t|^{1/2}$.

事实上, 在全空间 $\mathbb{R}^{N}$ 中讨论解的存在性需要克服紧性缺失, 对 $V(x)$ 的假设条件 (V) 可以帮助克服该问题带来的困难.

引理2.2[23] 在假设条件 (V) 下, 当 $s\in[2,2^*)$ 时, 嵌入 $E\hookrightarrow L^s(\mathbb{R}^N)$ 是紧的.

引理2.3 (山路定理 [1]) 设 $E$ 是 Banach 空间, $I\in C^1(E, \mathbb{R})$. 设 $S$ 是 $E$ 的一个闭子集, 将 $E$ 分为两个不同的连通分支 $E_{1}$ 和 $E_{2}$. 假设 $I(0) = 0 $ 并且 $I$ 满足下面的山路几何结构

(i) $0\in E_1$ 且存在 $\rho>0$, $\alpha>0$, 使得 $I|_{S}\geq\alpha>0$,

(ii) 存在 $e\in E_2$, $\|e\|>\rho$, 使得 $I(e)<0$.

那么 $c\geq\alpha>0$, $I$ 有一个 $(PS)_c$ 序列, 其中

$c:=\mathop{\inf}\limits_{\gamma\in\Gamma}\mathop{\max}\limits_{0\leq t\leq1}I(\gamma(t)), $
$\Gamma=\{\gamma\in C([0,1], E):\gamma(0)=0, I(\gamma(1))<0\}.$

如果 $I$ 还满足 $(PS)_c$ 条件, 那么 $I$ 存在一个水平为 $c$ 的临界点.

3 山路几何结构

本章中, 我们将证明 $I(v)$ 满足山路定理的几何结构.

引理3.1 假设 (V) 和 (G1), (G2) 条件成立, 且 $h\in L^{2}(\mathbb{R}^{N})$, 那么存在 $\rho_0$, $\alpha$, $m_0>0$, 当 $\|h\|_2<m_0$ 时, 有 $I(v)|_{S_{\rho_0}}\geq\alpha$.

证 对任意的 $\rho>0$, 定义

$S_{\rho}=\bigg\{v\in E:\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v){\rm d}x=\rho^{2}\bigg\},$

由假设条件 (G1) 和 (G2) 知, 对任意的 $\delta>0$, 存在 $C_\delta$ 使得

$ G(x, s)\leq \delta |s|^{2}+C_\delta |s|^{2\cdot2^*}, \ \ \forall (x, s)\in \mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}.$

根据假设条件 (V), 引理 2.1 的性质 (8) 和 Sobolev 不等式, 对任意的 $v\in S_{\rho}$, 有

$ \int_{\mathbb{R}^N} f^2(v){\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R}^N}\frac{V(x)}{V_0} f^2(v){\rm d}x\leq\frac{1}{V_0}\rho^{2},$
$ \int_{\mathbb{R}^N} f^{2\cdot2^*}(v){\rm d}x\leq 2^{\frac{2^*}{2}}\int_{\mathbb{R}^N} v^{2^*}{\rm d}x\leq C\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2^*}{2}}\leq C\rho^{2^*},$

以及

$ \int_{\mathbb{R}^N}h(x) f(v){\rm d}x\leq \|h\|_{2}\bigg(\int_{\mathbb{R}^N} \frac{V(x)}{V_0}f^{2}(v){\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2}\leq C_2\|h\|_{2}\rho,$

根据 (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) 式和 Hölder 不等式, 有

$\begin{eqnarray*} I(v)&=& \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}\bigg(|\nabla v|^{2} +\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v)\bigg){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, f(v)){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v){\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}\rho^{2}-\delta\int_{\mathbb{R}^N} f^2(v){\rm d}x-C_\delta\int_{\mathbb{R}^N} f^{2\cdot2^*}(v){\rm d}x- C_2\|h\|_{2}\rho\\ &\geq& \rho (C_3\rho-C_1\rho^{2^*-1}-C_2\|h\|_{2}), \end{eqnarray*}$

其中 $C_1=CC_\delta >0$, $ C_3=\frac{1}{2}-\frac{\delta}{V_0}$, 让 $\delta$ 足够小, 可以保证 $C_3>0$. 对任意的 $t\geq0$, 令

$l(t)=C_3t-C_1t^{2^{\ast}-1}.$

则存在常数 $\rho_0>0$, 使得 $\max\limits_{t\geq0 } l(t) = l(\rho_0)>0$. 取 $m_0:=\frac{1}{2C_2}l(\rho_0)$, 则存在常数 $\alpha> 0$ 使得 $I(v)\geq\alpha$ 关于 $v\in S_{\rho_0}$ 一致成立, 并且 $h$ 满足 $\|h\|_{2}<m_0$. 证毕.

引理3.2 如果 (V) 和 (G1), (G2), (G4) 条件成立, 那么存在 $e\in E$, $\|e\|>\rho_0$, 使得 $I(e)<0$, 其中 $\rho_0$ 由引理 3.1 给出.

证 类似于文献 [20] 中的证明, 为使本文更加完整，我们在此略作说明. 对任意的 $v\neq0$, 我们只需要证明当 $\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla (tv)|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(tv){\rm d}x$ 足够大时, 有 $I(tv)<0$ 成立. 这里通过反证法进行证明, 假设存在一个序列 $\{t_n\}$, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

$\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla (t_nv)|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(t_nv){\rm d}x\rightarrow \infty, $

且 $I(t_nv)\geq0$ 对任意的 $n$ 一致成立. 我们可以推出 $t_n\rightarrow\infty$. 令 $\phi=\frac{v}{\|v\|}$, 则

$ \begin{matrix} 0&\leq&\frac{I(t_nv)}{\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla (t_nv)|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^2(t_nv){\rm d}x}\nonumber\\ &=&\frac{1}{2}-\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(x, f(t_nv))}{\int_{\mathbb{R}^N}[|\nabla (t_nv)|^{2}+V(x)f^2(t_nv)]{\rm d}x}{\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}\frac{h(x)f(t_nv){\rm d}x}{\int_{\mathbb{R}^N}[|\nabla (t_nv)|^{2}+V(x)f^2(t_nv)]{\rm d}x}{\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{2}-\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(x, f(t_nv))}{|f(t_nv)|^{4}}\frac{|f(t_nv)|^{4}}{|t_nv|^{2}}|\phi|^2{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^N}h(x)\frac{f(t_nv)}{\sqrt{|t_nv|}}\frac{|\phi|^2}{|t_nv|^{\frac{3}{2}}}{\rm d}x. \end{matrix}$

因为 $v\neq0$, 所以 $t_nv\rightarrow\infty$. 根据引理 2.1 的性质 (5) 和假设条件 (G4), 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(x, f(t_nv))}{|f(t_nv)|^{4}}\frac{|f(t_nv)|^{4}}{|t_nv|^{2}}|\phi|^2{\rm d}x \rightarrow+\infty, \end{matrix}$

并且当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)\frac{f(t_nv)}{\sqrt{|t_nv|}}\frac{1}{|t_nv|^{\frac{3}{2}}}|\phi|^2 {\rm d}x \rightarrow0. \end{matrix} $

我们将 (3.6), (3.7) 式代入 (3.5) 式, 会产生矛盾, 因此假设不成立, 即当 $t$ 足够大时, 有 $I(tv)<0$. 取 $e=tv$, 引理得证. 证毕.

引理3.3 假设 (V) 和 (G1), (G2), (AR) 条件成立, 那么存在 $e\in E$, $\|e\|>\rho_0$, 使得 $I(e)<0$, 其中 $\rho_0$ 由引理 3.1 给出.

证 根据 (AR) 条件, 存在 $C_4>0$ 使得

$ G(x, s)\geq C_4 |s|^\mu.$

由 (3.8) 式和引理 2.1 的性质 (3) 和 (7) 可得

$\begin{eqnarray*} I(tu)&\leq&\frac{t^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+\frac{t^2}{2} \int_{\mathbb{R}^N}V(x)u^{2}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}G(x,f(tu)){\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(tu){\rm d}x\\ &\leq& \frac{t^2}{2}\|u\|^{2}-C_4t^{\frac{\mu}{2}}\int_{\mathbb{R}^N} |u|^{\frac{\mu}{2}}{\rm d}x+C_5t\|h\|_2\|u\|_2. \end{eqnarray*}$

由于 $\mu>4$, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 我们有 $I(tu)\rightarrow-\infty$. 令 $e=tu$, 其中 $t$ 足够大, 引理得证. 证毕.

4 $(PS)_c$ 序列的有界性和强收敛性

本章中, 我们将证明 $(PS)_c$ 序列的有界性和强收敛性.

引理4.1 假设 (V), (G1)-(G3) 条件成立, $\{v_n\}$ 是 $I$ 的一个 $(PS)_c$ 序列, 那么 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有界.

证 首先, 我们证明: 如果存在 $C_1>0$ 使得

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\leq C_1, \end{eqnarray*}$

那么 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有界. 为了证明该结论成立, 只需证明 $\int_{\mathbb{R}^N}v_n^{2}{\rm d}x$ 有界. 事实上, 根据假设条件 (V), 引理 2.1 的性质 (7) 和 Sobolev 不等式, 有

$\begin{eqnarray*} \int_{\{x:|v_n(x)|\leq1\}}v_n^{2}{\rm d}x&\leq&\frac{1}{C^{2}}\int_{\{x:|v_n(x)|\leq1\}}f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{C^{2}V_0}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\leq\frac{C_1}{C^{2}V_0}, \end{eqnarray*}$

并且

$\begin{eqnarray*} \int_{\{x:|v_n(x)|\geq1\}}v_n^{2}{\rm d}x&\leq&\int_{\{x:|v_n(x)|\geq1\}}v_n^{2^{\ast}}{\rm d}x\leq C_2\bigg(\int_{\{x:|v_n(x)|\geq1\}}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2^{\ast}}{2}}\nonumber\\ &\leq&C_2\bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2^{\ast}}{2}}\leq C_2C_1^{\frac{2^{\ast}}{2}}. \end{eqnarray*}$

因此存在常数 $C_3$ 使得

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}v_n^{2}{\rm d}x=\int_{\{x:|v_n(x)|\leq1\}}v_n^{2}{\rm d}x+\int_{\{x:|v_n(x)|\geq1\}}v_n^{2}{\rm d}x\leq C_3. \end{matrix}$

下面, 我们来证明

$ \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x $

有界. 因为 $\{v_n\}$ 是 $I$ 的一个 $(PS)_c$ 序列, 所以

$I(v_n)\rightarrow c>0,\ \ I'(v_n)\rightarrow0,$

即

$ \begin{matrix} I(v_n)&=&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, f(v_n)){\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x=c+o_n(1). \end{matrix}$

对任意的 $\varphi\in E$, 有

$\begin{eqnarray*} \langle I'(v_n), \varphi\rangle&=&\int_{\mathbb{R}^N}\Big[\nabla v_n\cdot\nabla \varphi+V(x)f(v_n)f'(v_n)\varphi\Big] {\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}\Big[g(x, f(v_n))f'(v_n)\varphi+h(x)f(v_n)f'(v_n)\varphi \Big]{\rm d}x=o_n(1), \end{eqnarray*}$

我们选取

$\varphi=\varphi_n=\sqrt{1+2f^{2}(v_n)}f(v_n)=\frac{f(v_n)}{f'(v_n)},$

根据引理 2.1 的性质 (6), 可得 $\|\varphi_n\|_{2}\leq2\|v_n\|_{2}$ 和

$\begin{eqnarray*} |\nabla\varphi_n|=(1+\frac{2f^{2}(v_n)}{1+2f^{2}(v_n)})|\nabla v_n|\leq2|\nabla v_n|. \end{eqnarray*}$

因此, 存在 $C_4>0$ 使得 $\|\varphi_n\|\leq C_4\|v_n\|$ 并且

$ \begin{matrix} \langle I'(v_n), \varphi_n\rangle &=&\int_{\mathbb{R}^N}(1+\frac{2f^{2}(v_n)}{1+2f^{2}(v_n)})|\nabla v_n|^{2}+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}g(x, f(v_n))f(v_n){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x=o_n(1). \end{matrix}$

计算 (4.2) $-\frac{1}{4}$ (4.3), 并且根据假设条件 (G3), 有

$ \begin{matrix} c+o_n(1)&=&I(v_n)-\frac{1}{4}\langle I'(v_n), \varphi_n\rangle\nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{1+2f^{2}(v_n)}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{\mathbb{R}^N}\bigg[\frac{1}{4}g(x, f(v_n))f(v_n)-G(x, f(v_n))\bigg]{\rm d}x\nonumber\nonumber\\ &&+\int_{\mathbb{R}^N}\bigg[\frac{1}{4}h(x)f(v_n)-h(x)f(v_n)\bigg]{\rm d}x\nonumber\\ &\geq&\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{1+2f^{2}(v_n)}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x \\ -\frac{3}{4}\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x. \end{matrix}$

令 $w_n=f(v_n)$, 则 $|\nabla v_n|^{2}=(1+2|w_n|^{2})|\nabla w_n|^{2}$. 代入 (4.2), (4.4) 式得

$ \begin{matrix} &&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}(1+2w_n^{2})|\nabla w_n|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)w_n^2{\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, w_n){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^N}h(x)w_n{\rm d}x=c+o_n(1), \end{matrix}$

和

$ \begin{matrix} \frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla w_n|^{2}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)w_n^2{\rm d}x-\frac{3}{4}\int_{\mathbb{R}^N}h(x)w_n{\rm d}x\leq c+o_n(1). \end{matrix}$

由 (4.6) 式, 可得

$ \begin{matrix} \frac{1}{4}\|w_n\|^{2}&\leq& c+o_n(1)+\frac{3}{4}\|h\|_2\|w_n\|_{2}\nonumber\\ &\leq&c+o_n(1)+\frac{3}{4}C_5\|h\|_{2}\|w_n\|\nonumber\\ &\leq&c+o_n(1)+\frac{3}{4}C_5m_0\|w_n\|, \end{matrix}$

其中 $m_0$ 由引理 3.1 给出. 根据 (4.7) 式可知, 当 $\|h\|_2<m_0$ 时, $w_n$ 在 $E$ 中有界. 借助于 Hölder 不等式, 存在 $C_6>0$ 使得

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}h(x)w_n{\rm d}x\leq \|h\|_2\|w_n\|_2\leq C_6. \end{matrix}$

根据 (3.1) 式和 $w_n$ 在 $E$ 中的有界性, 存在 $C_7>0$ 使得

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}G(x, w_n){\rm d}x\leq\int_{\mathbb{R}^N}(\delta |w_n|^{2}+C_\delta |w_n|^{2\cdot2^*}){\rm d}x\leq C_7. \end{matrix}$

结合 (4.5), (4.8), (4.9) 式, 可得

$ \begin{matrix} \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}(1+2w_n^{2})|\nabla w_n|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)w_n^2{\rm d}x\leq \frac{3}{4}C_6+C_7+c+o_n(1), \end{matrix}$

即

$ \begin{matrix} \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\leq \frac{3}{4}C_6+C_7+c+o_n(1). \end{matrix}$

因此 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有界. 证毕.

引理4.2 假设 (V), (G1), (G2), (AR) 条件成立, $\{v_n\}$ 是 $I$ 的一个 $(PS)_c$ 序列, 那么 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有界.

证 类似于引理 4.1 的证明, 我们只需要得到下列积分的有界性

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

注意到

$\begin{eqnarray*} I(v_n)&=&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}G(x, f(v_n)){\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x=c+o_n(1). \end{eqnarray*}$

并且对于任意的 $\varphi\in E$,

$\begin{eqnarray*} \langle I'(v_n), \varphi\rangle&=&\int_{\mathbb{R}^N}\bigg[\nabla v_n\cdot\nabla \varphi+V(x)f(v_n)f'(v_n)\varphi\bigg] {\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}\bigg[g(x, f(v_n))f'(v_n)\varphi+h(x)f(v_n)f'(v_n)\varphi \bigg]{\rm d}x=o_n(1). \end{eqnarray*}$

我们依然选取

$\varphi=\varphi_n=\sqrt{1+2f^{2}(v_n)}f(v_n)=\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.$

根据 (AR) 条件, 我们有

$\begin{eqnarray*} c+o_n(1)&=&I(v_n)-\frac{1}{\mu}\langle I'(v_n), \varphi_n\rangle\nonumber\\ &=&\int_{\mathbb{R}^N}\bigg[\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu}\bigg(\frac{2f^{2}(v_n)}{1+2f^{2}(v_n)}\bigg)\bigg]|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu}\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{\mathbb{R}^N}\frac{1}{\mu}g(x, f(v_n))f(v_n)-G(x, f(v_n)){\rm d}x\nonumber\nonumber\\ &&+\bigg(\frac{1}{\mu}-1\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &\geq&\frac{\mu-4}{2\mu}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu}\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\nonumber\\ &&-\bigg(1-\frac{1}{\mu}\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\mu-4}{2\mu}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+\frac{\mu-2}{2\mu}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\\ &\leq& c+o_n(1)+\bigg(1-\frac{1}{\mu}\bigg)\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(v_n){\rm d}x\\ &\leq& c+o_n(1)+\bigg(1-\frac{1}{\mu}\bigg)\|h\|_2\|f(v_n)\|_{2}\\ &\leq&c+o_n(1)+C m_0 \bigg(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*}$

其中 $m_0$ 由引理 3.1 所给出. 根据上述不等式, 可得

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla v_n|^{2}{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(v_n){\rm d}x \end{eqnarray*}$

有界. 证毕.

引理4.3 假设 (V), (G1), (G2) 条件成立, $v_n\in E$ 是 $I$ 的一个 $(PS)_c$ 序列, 那么 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有一个强收敛的子列.

证 因为 $\{v_n\}$ 在 $E$ 中有界, 所以存在弱收敛的子列, 不妨仍记作 $v_{n}$, 即在 $E$ 中, $v_{n}\rightharpoonup v$. 根据引理 2.2, 对任意的 $ s\in[2,2^{\ast})$, $v_n\rightarrow v$ 在 $L^s(\mathbb{R}^N)$ 是成立的, 并且 $v_n\rightarrow v$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处成立. 我们证明, 存在 $C_{0}>0$ 使得

$ \begin{matrix} &&\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla (v_n-v)|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f(v_n)f'(v_n)(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f(v)f'(v)(v_n-v){\rm d}x\geq C_{0}\|v_n-v\|^{2}. \end{matrix}$

假设 $v_n\neq v$, (如果 $v_n=v$, 结论显然成立). 令

$\begin{eqnarray*} \alpha_n=\frac{v_n-v}{\|v_n-v\|},\ \ \ \beta_n=\frac{f(v_n)f'(v_n)-f(v)f'(v)}{v_n-v}. \end{eqnarray*}$

仍然借助于反证法来证, 假设当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

$\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla\alpha_n|^{2}+V(x)\beta_n\alpha_n^{2}{\rm d}x\rightarrow0.$

因为

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(t)f'(t))=f(t)f"(t)+(f'(t))^{2}=\frac{1}{(1+2f^{2}(t))^{2}}>0,$

所以 $f(t)f'(t)$ 严格单调递增, 并且对于任意的 $C_{1}>0$, 存在 $\widetilde{\delta}>0$, 使得当 $|t|\leq C_{1}$ 时, 有

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(t)f'(t))\geq\widetilde{\delta}.$

因此 $\beta_n(x)$ 是正的. 由此可得

$\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla\alpha_n|^{2}\rightarrow0, \int_{\mathbb{R}^N} V(x)\beta_n\alpha_n^{2}{\rm d}x\rightarrow0,$

并且

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N}V(x) \alpha_n^{2}{\rm d}x\rightarrow1. \end{matrix}$

令 $\Omega_1:=\{x\in\mathbb{R}^N:|v_n|\geq C_{2}$ 或 $|v|\geq C_{2}$, $\Omega_2:=\mathbb{R}^N\setminus\Omega_1$. 并且对任意的 $\varepsilon>0$, 选取适当的 $C_{2}$, 使得 $|\Omega_1|<\varepsilon$. 由拉格朗日中值定理可得

$ \begin{matrix} \widetilde{\delta}\int_{\Omega_2}V(x)\alpha_n^{2}{\rm d}x\leq\int_{\Omega_2}V(x)\beta_n\alpha_n^{2}{\rm d}x\rightarrow0. \end{matrix}$

根据积分的绝对连续性, 我们可以选取 $\varepsilon_1$ 足够小, 使得 $meas(\Omega_1)<\varepsilon_1$, 再根据 Hölder 不等式, 有

$ \begin{matrix} \int_{\Omega_1}V(x)\alpha_n^{2}{\rm d}x\leq \varepsilon_1^{\frac{r-2}{r}}\|V(x)\alpha_n^{2}\|_{r}^{2}\leq\frac{1}{3}. \end{matrix}$

结合 (4.14), (4.15) 式可知

$ \begin{matrix} \int_{\mathbb{R}^N} V(x)\alpha_n^{2}{\rm d}x=\int_{\Omega_1}V(x)\alpha_n^{2}{\rm d}x+\int_{\Omega_2}V(x)\alpha_n^{2}{\rm d}x\leq\frac{1}{3}+o_n(1). \end{matrix}$

由 (4.13) 和 (4.16) 式得: $1\leq 1/3$, 因此 (4.12) 式是成立的. 根据条件 (G2), 引理 2.1 的性质 (2), (3), (8) 和 Hölder 不等式, 可得

$ \begin{matrix} &&\bigg|\int_{\mathbb{R}^N}\big(g(x, f(v_n))f'(v_n)-g(x, f(v))f'(v)\big)(v_n-v){\rm d}x\bigg|\nonumber\\ &\leq&\int_{\mathbb{R}^N}C_3(|v_n|+|v_n|^{\frac{p}{2}-1}+|v|+|v|^{\frac{p}{2}-1})|v_n-v|{\rm d}x\nonumber\\ &=&C_3\int_{\mathbb{R}^N}(|v_n|+|v|)|v_n-v|+(|v_n|^{\frac{p}{2}-1}+|v|^{\frac{p}{2}-1})|v_n-v|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq&C_3((\|v_n\|_{2}+\|v\|_{2})\|v_n-v\|_{2}+(\|v_n\|_{\frac{p}{2}}^{\frac{p-2}{2}}+\|v\|_{\frac{p}{2}}^{\frac{p-2}{2}})\|v_n-v\|_{\frac{p}{2}})\nonumber\\ &=&o_n(1), \end{matrix}$

并且

$ \begin{matrix} &&\bigg|\int_{\mathbb{R}^N}h(x)(f(v_n)f'(v_n)-f(v)f'(v))(v_n-v){\rm d}x\bigg|\nonumber\\ &\leq&\int_{\mathbb{R}^N}|h(x)(f(v_n)f'(v_n)+f(v)f'(v))(v_n-v)|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\int_{\mathbb{R}^N}h(x)2^\frac{1}{4}(|v_n|^\frac{1}{2}+|v|^\frac{1}{2})(v_n-v){\rm d}x\nonumber\\ &\leq&C_4\|h\|_2(\|v_n\|^s_{\frac{s}{2}}+\|v\|^s_{\frac{s}{2}})\|v_n-v\|_{2^*-1}\nonumber\\ &=&o_n(1), \end{matrix}$

其中 $\frac{1}{2}+\frac{1}{s}+\frac{1}{2^*-1}=1$. 因此, 由 (4.12), (4.17) 和 (4.18) 式得

$\begin{eqnarray*} o_n(1)&=&\langle I'(v_n)-I'(v), v_n-v\rangle\\ &=&\int_{\mathbb{R}^N}(|\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)(f(v_n)f'(v_n)-f(v)f'(v))(v_n-v)){\rm d}x\\ &-&\int_{\mathbb{R}^N}(g(x, f(v_n))f'(v_n)-g(x, f(v))f'(v))(v_n-v){\rm d}x\\ &-&\int_{\mathbb{R}^N}h(x)(f(v_n)f'(v_n)-f(v)f'(v))(v_n-v){\rm d}x\\ &\geq&C_{0}\|v_n-v\|^{2}+o_n(1). \end{eqnarray*}$

由此可知: 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $\|v_n-v\|\rightarrow0$. 证毕.

5 主要结果的证明

定理1.1的证明 证明分两步进行.

第一步 存在 $v_0\in E$, 使得 $I(v_0)>0$ 且 $I'(v_0)=0$.

事实上, 根据引理 3.1 和引理 3.2, 我们可以得到一个 $(PS)_c$ 序列. 结合引理 4.1 与引理 4.3, 可得 $I$ 满足 (PS) 条件. 然后根据山路定理 (引理 2.3), 我们可以得到一个能量为正的解.

第二步 存在 $\tilde{v}_0\in E$, 使得 $I(\tilde{v}_0)<0$ 且 $I'(\tilde{v}_0)=0$. 根据条件 (G1)-(G3) 可得, 存在两个正常数 $C_{1}, C_{2}$, 使得

$G(x, v)\geq C_{1}|v|^4-C_{2}|v|^2,$

关于 $(x,v)\in\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}$ 一致成立. 由于 $h\in L^2(\mathbb{R}^N)$ 并且 $h\not\equiv0$, 我们可以适当选取 $\omega\in E$ 使得

$\int_{\mathbb{R}^N}h(x)\omega(x){\rm d}x>0.$

将上述两个不等式与引理 2.1 的性质 (3), (7) 相结合可知, 当 $t>0$ 足够小时, 有

$\begin{eqnarray*} I(t\omega)&\leq&\frac{t^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla \omega|^{2}{\rm d}x+\frac{t^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N}V(x)f^{2}(\omega){\rm d}x\\ &&-t^{4}C_{1}C\|\omega\|_4^4+t^{2}C_{2}\|\omega\|_2^2-tC\int_{\mathbb{R}^N}h(x)f(\omega){\rm d}x<0. \end{eqnarray*}$

因此, 我们可以得到

$c_1=\inf\{I(v):v\in\overline{B_{\rho_0}}\}<0,$

其中 $\rho_0>0$ 由引理 3.1 给出, $B_{\rho_0}=\{v\in E:\|v\|<\rho_0\}$.

根据 Ekeland 变分原理, 存在一个序列 $\{v_n\}\subset\overline{B_{\rho}}$, 对于任意的 $z\in\overline{B_{\rho_0}}$, 有

$c_1\leq I(v_n)<c_1+\frac{1}{n},$

并且

$I(z)\geq I(v_n)-\frac{1}{n}\|z-v_n\|.$

则 $\{v_n\}$ 是 $I$ 的一个有界的 Palais-Smale 序列. 因此, 由引理 4.3 可知, 存在 $\tilde{v}_0\in E$ 使得 $I(\tilde{v}_0)=c_1<0$ 且 $I'(\tilde{v}_0)=0$. 证毕.

定理 1.2 的证明 此定理的证明过程类似于定理 1.1 的证明. 首先, 由引理 3.1 和引理 3.3 可以得到一个 $(PS)_c$ 序列. 然后结合引理 4.2 和引理 4.3, 可得 $I$ 满足 (PS) 条件. 因此, 根据山路定理, 可以得到一个能量为正的解. 此外, 根据 Ekeland 变分原理, 可以得到一个能量为负的解. 证毕.

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