考虑奇异超线性 $k$-Hessian 方程耦合系统的 Dirichlet 问题

其中 $\frac{n}{2}<k\leq n$, $B=\{x\in\mathbb{R}^{n}:|x|<1\}$, $\lambda$ 是正参数, 权函数 $\rho_i(i=1,2)$ 在 $\partial B$ 附近奇异, $f_i(t)(i=1,2)$ 在 $t=0$ 处可能奇异且在 $\infty$ 处满足一类超线性条件.

一般地, $k$-Hessian 算子 $S_k(D^2u)$ 被定义为 $D^2u$ 的 $k$-阶初等对称函数, 即

其中 $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n$ 是 Hessian 矩阵 $D^2u=\big[\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\big]_{n\times n}$ 的特征值, $\mu(D^2u)=(\mu_1,\mu_2,\cdots, \mu_n)$ 是 $D^2u$ 的特征向量. 显然, 当 $k\geq 2$ 时, $k$-Hessian 算子是二阶完全非线性算子, $\{S_{k}:k\in\{1,2,\cdots,n\}\}$ 是一个包含诸多著名算子的集合, 例如, 当 $k=1$ 时, Hessian 算子退化为经典的 Laplace 算子$\Delta u$^[1]; 当 $k=n$ 时, 是 Monge-Ampère 算子 det$(D^2 u)$^[2]. 关于这两类问题正径向解的存在性已有诸多学者对其进行了研究, 见文献 [3⇓⇓-6] 及其参考文献. 特别地, 应用 Banach 空间中的 Krasnosel'skii 型不动点定理, Hai 等^[3] 得到了椭圆问题

正径向解的存在性和不存在性, 其中 $\lambda$ 是正参数, $B=\{x\in\mathbb{R}^{n}:|x|>r_0>0\},f\in C((0,\infty),\mathbb{R})$ 且在 $u=0$ 处可能奇异. 随后, 作者在文献 [4],[5] 中分别建立了问题 (2) 所对应的系统问题和 $p$-Laplace 问题正径向解的存在性和多解性结果.

作为 Laplace 方程和 Monge-Ampère 方程的推广, $k$-Hessian 方程在几何学和其他应用学科中有着重要应用. 近年来, 许多学者在不同条件下研究了 $k$-Hessian 问题的径向解, 参见文献 [7],[8],[9],[10],[11],[12] 等. 特别地, S${\rm\acute{a}}$nchez 等^[7] 研究了 $k$-Hessian 问题

径向对称解的存在性、多解性和唯一性, 其中 $H(|x|)=|x|^{\sigma},f(-u)=(1-u)^{q},q>k,\sigma\geq0$, $\lambda $ 是正参数, $B$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的单位球. 当 $1\leq k\leq\frac{n}{2},\lambda\equiv1,H(|x|)\equiv1,|x|\in\partial B$ 时, 应用 Pohozaev 不等式和单调分离技巧, Wei^[8] 得到了问题 (3) 在条件 $f\in C^2[0,\infty),f(0)=0,f(s)>0,s\in(0,\infty)$ 下至多存在一个正径向解.

另外, 关于 $k$-Hessian 系统问题, 应用单调迭代技巧和 Arzel${\rm\grave{a}}$-Ascoli 定理, Zhang 等^[13] 考虑了 $k$-Hessian 系统

全局正 $k$-凸径向解的存在性, 其中 $p,q$ 是连续正函数, $f,g$ 是连续非负的不减函数. 在一些新的假设条件下, Covei^[14] 得到上述 $k$-Hessian 系统正径向解存在的充分必要条件. 此外, 当 $p(|x|)\equiv q(|x|)\equiv1, f(v)=(-v)^{\alpha},g(u)=(-u)^{\beta},\alpha,\beta>0$ 时, Gao 等^[15] 考虑了上述 $k$-Hessian 系统径向凸解的存在性.

然而, 据我们所知, 关于带参数的 $k$-Hessian 系统问题径向解的研究甚少. Feng 等^[16] 考虑了 $k$-Hessian 系统

其中 $\lambda_1,\lambda_2$ 是正参数, $f_1,f_2$ 是非负函数, $B$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的单位球. 基于锥上的特征值理论, 作者在文献 [16] 中得到了非平凡径向解的存在性和多解性. 受上述工作的启发, 我们期望在一些新的假设条件下, 获得系统 (1.1) 非平凡径向解的存在性、多解性、不存在性及解依赖于参数的渐近行为.

该文总假设 $\rho_i,f_i\ (i=1,2)$ 满足

(C1) $\rho_i\in C([0,1),(0,\infty))$;

(C2) $f_i(t)\in C((0,\infty),[0,\infty))$, 当 $t$ 充分大时, $f_i(t)$ 非减且 $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f_i(t)=\infty$, 当 $l>0$ 时,

(C3) 存在正常数 $\beta_i,\gamma_i$ 且 $\beta_i+\gamma_i<1$, 使得

(C4) $f_i=h_i+H_i$, 其中 $h_i\in C((0,\infty),[0,\infty)),H_i\in C((0,\infty), [0,\infty))$ 且 $H_i$ 非减, 存在常数 $\alpha\in(0,1),m_0,\hat{a}>0$, 使得

(C5) $f_i:=\inf\limits_{t\in(0,\infty)}f_i(t)>0, \lambda\gg1$;

(C6) $f_i(t)>0,t\in(0,\infty)$, 存在 $L>0,0<\zeta<k$, 使得当 $\lambda\gg1$ 时, $f_i(t)\geq Lt^{\zeta},t\approx0$.

主要结果如下

定理1.1 假设 (C1)-(C3) 成立. 则存在常数 $\lambda_0>0$, 使得当 $\lambda<\lambda_0$ 时, 系统 (1) 存在一个非平凡径向解 $(u_1,u_2)$ 满足

且当 $\lambda\rightarrow0^+$ 时, 在 $(0,1)$ 的任意紧子集中, $u_i\rightarrow-\infty$ 一致成立, 其中 $i,j=1,2, i\neq j$.

定理1.2 假设 (C1)-(C4) 成立, 取 $\delta_0\in(0,1)$ 满足

则存在依赖于 $\hat{a}$ 的正常数 $\hat{b}$, 使得如果 $\min\limits_{i=\{1,2\}}H_i(\hat{a})>\hat{b}$, 那么存在区间 $E\subset(0,\infty)$, 当 $\lambda\in E$ 时, 系统 (1.1) 至少存在两个非平凡径向解.

定理1.3 假设 (C1)-(C3), (C5) 成立. 则当 $\lambda\gg1$ 时, 系统 (1.1) 不存在非平凡径向解.

定理1.4 假设 (C1)-(C3), (C6) 成立. 则当 $\lambda\gg1$ 时, 系统 (1.1) 不存在非平凡径向解.

令 $r=|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$, 设径向函数 $u(|x|)=u(r)$, 则

基于此, 令 $v_i=-u_i\ (i=1,2)$, 系统 (1.1) 转化为

若 $(v_1,v_2)$ 满足系统 (2.1) 且对任意 $r\in(0,1), v_1(r)>0,v_2(r)>0$, 则称 $(v_1,v_2)$ 是系统 (4) 的正径向解. 进一步, $(u_1,u_2)=(-v_1,-v_2)$ 称为系统 (4) 的非平凡径向解.

令 $X=C[0,1]\times C[0,1]$, 对任意 $v=(v_1,v_2)\in X$, 定义范数 $\|v\|=\max\{\|v_1\|_{\infty}, \|v_2\|_{\infty}\}$, 其中 $\|v_{i}\|_{\infty}=\max\limits_{r\in[0,1]}|v_{i}(r)| \ (i=1,2)$, 则 $X$ 在此范数下构成一个 Banach 空间.

引理2.1 假设 C1 和 C2 成立. 如果对任意 $(y_1,y_2)\in X$, $v_i$ 满足

则 $v_i(r)\geq q(r)\|v_i\|_\infty\ (i=1,2)$, 其中 $q(r)=1-r,r\in[0,1]$.

证 由系统 (2.2) 可得

对 (2.3) 式两边积分, 有

这表明,

其中 $i,j=1,2,i\neq j$. 因为 C1 和 C2 成立, 故 $v_i'(r)\leq0,r\in[0,1]$. 因此, 在 $[0,1]$ 上满足 (2.2) 式的任意一个 $v_i$ 都是上凸函数, 即 $v_i"(r)\leq0 (i=1, 2)$. 根据凸函数的性质, 有

由 $v_i'(0)=v_i(1)=0$, 可得

又因为 $v_i(0)=\|v_i\|_\infty$, 因此, $v_i(r)\geq q(r)\|v_i\|_\infty (i=1,2)$, 其中 $q(r)=1-r,r\in[0,1]$. 证毕.

令 $p(r)=\max\limits_{i=\{1,2\}}\frac{\rho_i(r)} {q^{\gamma_i}(r)}$. 因为 $\limsup\limits_{t\rightarrow 1^-}(1-t)^{\beta_i}\rho_i<\infty, \beta_i+\gamma_i<1 (i=1,2)$ 且 $q(r)=1-r$, 所以 $p(r)\in L^1(0,1)$.

引理2.2^[3] 设 $X$ 是 Banach 空间, $T:X\rightarrow X$ 是全连续算子. 假设存在 $\rho\in X,\rho\neq0$ 以及常数 $R_1,R_2>0$ 且 $R_1\neq R_2$, 使得

(i) 如果 $x\in X$ 满足 $x=\theta Tx, \theta\in(0.1]$, 则 $\|x\|\neq R_1,$

(ii) 如果 $x\in X$ 满足 $x=Tx+\xi\rho, \xi\geq0$, 则 $\|x\|\neq R_2.$

则 $T$ 有一个不动点 $x\in X$ 且 $\min\{R_1,R_2\}<\|x\|<\max\{R_1,R_2\}$.

定理 1.1 的证明 假设 $(z_1,z_2)\in X$, 定义 $T(z_1,z_2)=(v_1,v_2)$, 其中 $v_i$ 满足

$\tilde{z}_j(r)=\max\{z_j(r),q(r)\}, i,j=1,2,i\neq j$. 则有

根据条件(C3), 存在一个依赖于 $\|\tilde{z}_j\|_\infty$ 上界的正常数 $M$, 使得当 $i,j=1,2,i\neq j$ 时, 有

因此, 由 Lebesgue 控制收敛定理容易证得 $T:X\rightarrow X$ 是全连续算子.

取 $a>1$, 使得 $f_i\ (i=1,2)$ 在 $[a,+\infty)$ 上是正的非减函数. 由 (3.1) 式知, 存在 $M_a>0$, 使得

且 $\|\tilde{z}_j\|_\infty\leq a$, $i,j=1,2, i\neq j$. 取 $\lambda_0=\frac{C_{n-1}^{k-1}}{kM_a\|p\|_1}a^k$, 则当 $\lambda<\lambda_0$ 时,有下列结论成立

(a1) 若 $v\in X$ 满足 $v=\theta Tv, \theta\in(0,1]$, 则 $\|v\|\neq a$.

事实上, 假设 $v=(v_1,v_2)$ 且 $\|v\|=a$. 因为 $v=\theta Tv, \theta\in(0,1]$, 则有

其中 $i,j=1,2,i\neq j$. 因为 $\tilde{v}_j(r)\leq a,r\in[0,1]$, 于是

因此, $\|v\|<a$, 矛盾! 结论 (a1) 得证.

(b1) 存在常数 $b>a$, 若 $v=Tv+(\xi,\xi),\xi\geq0$, 则 $\|v\|\neq b$.

令 $v=(v_1,v_2)\in X$, 使得 $v=Tv+(\xi,\xi),\xi\geq0$, 则 $(v_1-\xi,v_2-\xi)=T(v_1,v_2)$. 因此,

其中 $i,j=1,2,i\neq j$.

假设 $b>0$ 充分大, 使得 $b>4a$. 不失一般性, 设 $\|v\|=\|v_1\|_\infty=b$. 根据引理 2.1, 有

于是,

同理可得

其中 $c_i=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}s^{n-1}\rho_i(s){\rm d}s$. 方便起见, 记

结合 (3.3)-(3.5) 式得

于是, 有

根据条件 (C2), 当 $\|v_1\|_\infty\rightarrow\infty$ 时, (3.6) 式左端趋于 $\infty$, 矛盾! 因此, $\|v\|\neq b$. 结论 (b1) 得证.

引理 2.2 表明, 算子 $T$ 存在一个不动点 $v=(v_1, v_2)\in X$ 且 $a<\|v\|<b$. 下证当 $\lambda\rightarrow0^+$ 时, $\|v_i\|_\infty\rightarrow\infty (i=1,2)$.

不失一般性, 假设 $\|v\|=\|v_1\|_\infty$. 根据引理 2.1 有

因此, $\tilde{v}_i(r)=v_i(r),r\in[0,1]\ (i=1,2)$. 由 (3.2) 式得

这表明

显然, 当 $\lambda\rightarrow0^+$时, (3.7) 式右端趋于 $\infty$, 根据条件 (C2) 知 $\|\tilde{v}_2\|_\infty \rightarrow\infty$. 同理可得, 当 $\lambda\rightarrow0^+$ 时, $\|\tilde{v}_1\|_\infty\rightarrow \infty$. 因此, $\|v_i\|_\infty\rightarrow\infty\ (i=1,2)$. 进一步, 由引理 2.1 知, $v_i(r)\rightarrow\infty (i=1,2)$. 最后, 令 $v_i=-u_i (i=1,2)$, 定理 1.1 得证.

定理 1.2 的证明 因为 $\limsup\limits_{t\rightarrow 0^+}t^{\gamma_i}f_i(t)<\infty$ 且 $H_i(t)\in C([0,\infty),[0,\infty))$, 所以

因此, 存在正常数 $c_0$, 使得

假设 $\hat{a}_0=\frac{\eta}{2}\hat{a}$. 令 $H(\hat{a})=\max\limits_{i=\{1,2\}}H_i(\hat{a})$, $\gamma\in\{\gamma_1, \gamma_2\}$ 满足 $\hat{a}_{0}^{\gamma}=\min\limits_{i=\{1, 2\}}\hat{a}_{0}^{\gamma_{i}}$. 选取常数 $\eta$ 满足

其中 $c=\min\limits_{i=\{1,2\}}\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}s^{n-1}\rho_i(s){\rm d}s$, $D=\int_{\frac{3}{4}}^{1}\tau^{\frac{k-n}{k}} {\rm d}\tau$. 假设 $H(\hat{a})>\frac{c_1} {\eta \hat{a}_0^{\gamma}\|p\|_1}$, 其中 $c_1=c_0\|p\|_1$. 定义

显然, $E\neq\emptyset$.

对任意 $(z_1,z_2)\in X$, 定义 $T(z_1,z_2)=(v_1,v_2)$, 其中 $v_i$ 满足

$\bar{z}_j(r)=\max\{z_j(r),\hat{a}_0q(r)\}, i,j=1,2,i\neq j$. 类似于定理 1.1, 由 Lebesgue 控制收敛定理容易证得 $T:X\rightarrow X$ 是全连续算子. 则当 $\lambda\in E$ 时, 有下列结论成立

(a2) 若 $v\in X$ 满足 $v=\theta Tv, \theta\in(0,1]$, 则 $\|v\|\neq \hat{a}$.

事实上, 假设 $v=(v_1,v_2)$ 且 $\|v\|=\hat{a}$. 因为 $v=\theta Tv,\theta\in(0,1]$, $\bar{v}_j\leq \hat{a}$, 则有

其中 $i,j=1,2,i\neq j$. 因此, $\|v\|<\hat{a}$, 矛盾! 结论 (a2) 得证.

(b2) 存在常数 $\hat{a}_1, \hat{b}$ 满足 $\hat{a}_1=\eta \hat{a}, \hat{b}\gg1$, 若 $v=Tv+(\xi,\xi),\xi\geq0$, 则 $\|v\|\neq \hat{a}_1,\hat{b}$.

令 $v=(v_1,v_2)$, 使得 $v=Tv+(\xi,\xi),\xi\geq0$, 则有 $(v_1-\xi,v_2-\xi)=T(v_1,v_2)$. 因此,

其中 $i,j=1,2,i\neq j$. 不失一般性, 设 $\|v\|=\|v_2\|_{\infty}=\hat{a}_1$. 因为 $\hat{a}_1>\hat{a}_0$, 由引理 2.1, 有

因此, $\bar{v}_2(r)\geq v_2(r)>\frac{1}{4}\hat{a}_0, r\in[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$. 根据 $H_i\ (i=1,2)$ 的非减性, 可得

因此, $\|v\|>\hat{a}_1$, 矛盾! 故 $\|v\|\neq \hat{a}_1$. 类似于定理 1.1 中 (b1) 的证明,可得当 $\hat{b}\gg1$ 时, $\|v\|\neq \hat{b}$, 结论 (b2) 得证.

引理 2.2 表明, 算子 $T$ 存在两个不动点 $v=(v_1,v_2),v'=(v_1',v_2')\in X$ 且 $\hat{a}_1<\|v\|<\hat{a},\hat{a}<\|v'\|<\hat{b}$. 不失一般性, 假设 $\|v\|=\|v_1\|_\infty,\|v'\|=\|v_1'\|_\infty$, 根据引理 2.1, 可得

因此, $\bar{v}_i=v_i(i=1,2)$. 故系统 (2.1) 存在两个正径向解 $v$ 和 $v'$. 最后, 令 $v=-u,v'=(-u)'$, 定理 1.2 得证.

定理 1.3 的证明 事实上, 假设 $(v_1,v_2)$ 是问题 (2.1) 的一个正径向解. 不失一般性, 设 $f_1:=\inf\limits_{t\in(0,+\infty)}f_1(t)>0$, 则有

这表明

故当 $\lambda\gg1$ 时, $\|v_1\|_{\infty}\gg1$. 引理 2.1 表明, $v_1(r)\geq\frac{1}{8}\|v_1\|_{\infty}, r\in\left[\frac{1}{8},\frac{7}{8}\right]$. 因此, 当 $\lambda\gg1$, 由条件 (C2) 知 $v_2$ 满足

假设 $\varphi$ 是问题

的一个正径向解, 则有

且 $v_2(r)\geq\varphi(r),r\in\big[\frac{1}{8}, \frac{7}{8}\big]$. 方便起见, 记

则有

类似于引理 2.1 的证明, 有 $\varphi(r)\geq q(r)\|\varphi\|_{\infty}\geq\frac{1}{4}\|\varphi\|_{\infty},r\in\big[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\big]$. 因此,

这表明,

结合 (3.5) 式, 可得

进一步, 有

显然, 当 $\|v_1\|_\infty\rightarrow\infty$ 时, (3.8) 式左端趋于 $\infty$, 与 $\lambda\gg1$ 矛盾. 定理 1.3 得证.

定理 1.4 的证明 假设 $(v_1,v_2)$ 是问题 (2.1) 的正径向解. 由引理 2.1 知, $v_i(r)\geq\frac{1}{4}\|v_i\|_{\infty} (i=1,2), r\in\big[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\big]$. 条件 (C2) 和 (C6) 表明, 存在 $L_i,\omega>0$, 使得 $f_i(t)\geq L_it^{\zeta}(i=1,2),t\in(0,\omega)$. 不失一般性, 设 $\|v\|=\|v_1\|_{\infty}$. 下证当 $\lambda\gg1$ 时, $\|v_1\|_{\infty}\geq\omega$. 事实上, 假设 $\|v_1\|_{\infty}<\omega$, 则有

这表明

同理可得

方便起见, 记

则有

其中 $i,j=1,2,i\neq j$. 因此,

进一步, 有

与 $\lambda\gg1$ 矛盾,故当 $\lambda\gg1$ 时, $\|v_1\|_{\infty}\geq\omega$, 这表明

因此, 当 $\lambda\gg1$ 时, 有 $\|v_i\|_{\infty}\gg1\ (i=1,2)$. 根据 (3.4)-(3.6) 式, 可得

由条件 (C2) 知, 当 $\|v_1\|_\infty\rightarrow\infty$ 时, (3.9) 式左端趋于 $\infty$, 与 $\lambda\gg1$ 矛盾, 定理 1.4 得证.

本节给出系统 (1.1) 主要结果的一些推广.

定理 1.1 和 1.2 的证明方法仍然适用于更一般的 $n$ 维情形

首先, 假设 $f_i (i=1,2,\cdots n)$ 满足

$({\rm C2}^*)$ $f_i(t)\in C((0,+\infty), [0,+\infty))$, 当 $t$ 充分大时, $f_i(t)$ 非减且 $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f_i(t)=\infty$, 对每一个 $l_1,l_2,\cdots,l_{n-1}>0$,

其中 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in\{1,2,\cdots,n\}$.

令

对任意 $u=(u_1,u_2,\cdots,u_n)\in X$, 定义范数

其中 $\|u_{i}\|_{\infty}=\max\limits_{r\in[0,1]}|u_{i}(r)|\ (i=1,2,\cdots,n)$, 则 $X$ 在此范数下构成一个 Banach 空间.

则有下面的存在性和多解性结果. 这些结果的证明方法与定理 1.1 和 1.2 的证明方法类似, 此处不再赘述.

推论4.1 假设 (C1), (C3) 和 $({\rm C2}^*)$ 成立. 则存在常数 $\lambda_0>0$, 使得当 $\lambda<\lambda_0$ 时, 系统 (4.1) 存在一个非平凡径向解 $u=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 且当 $\lambda\rightarrow0^+$ 时, 在 $(0,1)$ 的任意紧子集中, $u_i\rightarrow-\infty\ (i=1,2,\cdots,n)$ 一致成立.

推论4.2 假设 (C1), (C3), (C4) 和 $({\rm C2}^*)$ 成立, 取 $\delta_0\in(0,1)$ 满足

则存在依赖于 $\bar{a}$ 的正常数 $\bar{b}$, 使得如果 $\min\limits_{i=\{1,2\}}H_i(\bar{a})>\bar{b}$, 那么存在区间 $E\subset(0,\infty)$, 当 $\lambda\in E$ 时, 系统 (4.1) 至少存在两个非平凡径向解.