设 $ \mathcal{H} $ 是复可分的无限维希尔伯特空间, $ B(\mathcal{H}) $ 表示 $ \mathcal{H} $ 到 $ \mathcal{H} $ 自身的所有有界线性算子组成的集合. 令记号 $ \mathbb{C} $ 为复平面, $ \mathbb{D} $ 和 $ \overline{\mathbb{D}} $ 分别表示复平面中的单位圆盘和单位闭圆盘, 同时标记 $ H(\mathbb{D})=\{f : f\ \text{为}\ \mathbb{D}\ \text{上的解析函数}\} $. 一方面, 对于 $ T\in B(\mathcal{H}) $, 其数值域 $ W(T) $ 定义为

进而 $ T $ 的数值域半径定义为

另一方面, 对于 $ T\in B(\mathcal{H}) $, 给定 $ \lambda \in \mathbb{C} $, 如果 $ \lambda{I}-T $ 的值域 $ R(\lambda{I}-T)=\mathcal{H} $, 且其逆算子 $ (\lambda{I}-T)^{-1}\in{B(\mathcal{H})} $, 则称 $ \lambda $ 在 $ T $ 的预解集中, 记作 $ \lambda\in \rho(T) $. 于是, $ T\in B(\mathcal{H}) $ 的谱定义为

进一步, 若有 $ f\neq0,$ 使 $(T-\lambda{I})f=0,$ 即 $Tf=\lambda{f} $, 这时称 $ \lambda $ 为算子 $ T $ 的特征值, $ f $ 为对应特征值 $ \lambda $ 的特征向量. 此时, 用 $ \sigma_{p}(T) $ 来表示 $ T $ 的全体特征值组成的集合. 此外, $ T\in B(\mathcal{H}) $ 的谱半径定义为

自 Toeplitz 和 Hausdorff 首次证明数值域的凸性定理之后, 关于数值域的研究课题不断深化和拓展, 并逐渐涉及数学的多个理论分支. 谱集与数值域之间也有着紧密的联系, 具体可参阅数值域的最新著作^[8]. 近几年, 许多特殊算子, 例如: 正规算子、幂零算子、 $ 0-1 $ 算子、加权移位算子和矩阵多项式等的数值域及高阶数值域、本性数值域和二次数值域等, 正在被通过多种的方法给出一些描述结果^[11]. 单边加权移位算子是移位算子最直接的非平凡推广, 对其的研究已形成了丰富的理论成果. 具体地, 单边加权移位算子的定义如下.

定义1.1 设 $ \{e_n\}_{n\in \mathbb{N}} $ 是 $ \mathcal{H} $ 的一个正规正交基, $ \{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} $ 是任一有界复数列. 如果 $ T\in B(\mathcal{H}) $ 满足 $ Te_n=a_ne_{n+1} $, $ n\in \mathbb{N} $, 则称 $ T $ 为以 $ \{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} $ 为权序列的单边加权移位算子. 同时它在 $ \{e_n\}_{n\in \mathbb{N}} $ 下的无限维矩阵表示为

1966 年 Kelley 首先对加权移位算子进行了系统的研究^[10], 在此之后, Herrero, Ridge, Shields 等人的工作使加权移位算子的研究工具及体系更加完善. 本文将在无限维可分希尔伯特空间上继续探究一类扰动周期权的单边加权移位算子的数值域. 特别地, 通过酉等价, 我们总是可以假设单边加权移位算子的权序列都是非负的^[1]. 另一方面, 对于任意 $ \theta\in \mathbb{R} $, 单边加权移位算子 $ T $ 都酉等价于 $ {\rm e}^{{\rm i}\theta}T $, 于是 $ T $ 的数值域总是以原点为中心的开或闭的圆盘^[5], 这也将加权移位算子数值域的研究转向了对算子数值域半径的具体计算. 尤其, 当单边加权移位算子蜕化为权序列都取值为常数 1 的单边移位算子 $ S $ 时, 文献 [7] 已经证明了$ S $ 的数值域是以原点为中心的开单位圆盘.

长期以来, 具有不同权序列的单边加权移位算子数值域的精确描述吸引了众多学者的关注. 其中作为对移位算子 $ S $ 直接扰动后的单边加权移位算子有一系列漂亮结果. 例如, 1967 年的文献 [2] 中给出了: 当 $ 1+h>\sqrt{2} $ 时, 权序列为 $ (1+h, 1, 1, \cdots ) $ 的单边加权移位算子的数值域半径为

2013 年的文献 [6] 则进一步描述了: 当 $ 1+h>\frac{\sqrt{6}}{2} $, 权序列为 $ (1, 1+h, 1, 1, \cdots ) $ 的单边加权移位算子的数值域半径为

此外, 1983 年的文献 [9] 中, Stout 在希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $ 上具体阐明了单边移位算子的权序列是周期的或具有周期性的有限扰动时的数值半径, 同时在多种情况下给出了数值域为闭集的刻画结论.

由于任何一个无限维可分的希尔伯特空间都等距同构于 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 空间, 进而等距同构于定义在单位圆盘上的哈代希尔伯特空间. 哈代希尔伯特空间在调和分析、控制论及散射理论中都有重要的应用, 其定义如下.

定义1.2 若 $ f\in H(\mathbb{D}) $, 设 $ f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n $. 哈代希尔伯特空间为

$ H^2(\mathbb{D}) $ 是一个无限维可分的希尔伯特空间, 其标准正交基为 $ \{z^n\}_{n=0}^\infty $, 并且其上内积的定义为

最近, 在 2022 年发表的文献 [1] 中, Chakraborty 等学者在哈代希尔伯特空间上初次探究了具有权序列为 $ (h, k, a, b, a, b, \cdots ) $, $ a, b, h, k>0 $ 的二次扰动的周期权加权移位算子的数值域, 给出了数值域半径的表示公式. 很自然地问

能否在一般的无限维可分希尔伯特空间上给出具有三次甚至更多有限次扰动周期权的加权移位算子的数值半径计算公式呢?

为了开展上述问题的研究, 本文将一般的无限维可分希尔伯特空间等距同构于哈代希尔伯特空间, 结合文献 [1] 的研究思路及哈代希尔伯特空间的特性给出了具有三次扰动周期权序列 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的加权移位算子的数值域半径的表示公式.

哈代希尔伯特空间上的复 Volterra 算子是一类特殊的单边加权移位算子, 其定义如下.

定义1.3 对 $ f\in H^2(\mathbb{D}) $, 定义 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上的复 Volterra 算子为

通过上述定义可以发现: 当取 $ \{z^n\}_{n=0}^\infty $ 为哈代希尔伯特空间的标准正交基时, 复 Volterra 算子就是具有调和权序列 $ (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, \cdots ) $ 的单边加权移位算子, 目前的研究还未能给出其数值域的精确解. 于是本文利用具有三次扰动周期权的加权移位算子的数值域结果给出了哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子数值域的一个比较精确的范围.

具体而言, 本文的结构框架为: 第 2 节包含了数值域的一些经典性质和单边加权移位算子数值域的相关引理. 第 3 节主要给出了具有权序列为 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的单边加权移位算子的数值半径的精确表达式. 在第 4 节中, 应用主要结果在哈代希尔伯特空间上给出了复 Volterra 算子数值域比较精确的范围. 相关结果可有效促进对带有调和权序列的单边加权移位算子数值域的进一步研究, 同时为希尔伯特空间上加权移位算子的谱问题和不变子空间问题的研究提供典型实例.

本小节首先给出了 $ \mathcal{H} $ 上有界线性算子数值域的一些经典性质; 其次, 引用了一系列关于单边加权移位算子数值域的相关研究结果.

引理2.1^[3],[4]

设 $ T\in B(\mathcal{H}) $, 则

(1) $ W(U^*TU)=W(T) $, 其中 $ U $ 是酉算子 (即 $ U^*U=UU^*=I $);

(2) 如果 $ T $ 为自伴算子 (即 $ T=T^* $), 则 $ r(T)=w(T)=\left\|T\right\| $;

(3) $ W(\Re(T))=\Re(W(T)) $, 其中 $ \Re(T)=(T+T^*)/2 $, 这里 $ T^* $ 是 $ T $ 的共轭算子.

引理2.2^[8] 设 $ A\in B(\mathcal{H}) $ 是一个单边加权移位算子, 其权序列为 $ \{w_n\}_{n=0}^{\infty} $, $ w_n{\neq}0 $. 具体地, $ A_1=[0] $, $ n\geq2 $ 时

则对于任意的 $ n\geq1 $, 成立 $ W(A_n){\subsetneqq}W(A_{n+1}) $.

引理2.3^[5] 设 $ A, B \in B(\mathcal{H}) $ 都为单边加权移位算子, 它们的权序列分别为 $ \{w_n\}_{n=0}^\infty $ 和 $ \{u_n\}_{n=0}^\infty $. 如果对任意的 $ n\geq 0 $, 有 $ |w_n|\leq|u_n| $, 则 $ W(A){\subseteq}W(B) $.

引理2.4^[5] 设 $ A\in B(\mathcal{H}) $ 为单边加权移位算子, 其权序列为 $ \{w_n\}_{n=0}^{\infty} $, 满足 $ \lim\limits_{n{\to}\infty}|w_n|=a $, 则

(1) $ w(A)\geq{a} $;

(2) $ W(A) $ 是闭的当且仅当 $ a\in{W(A)} $;

(3) 如果 $ W(A) $ 是开的, $ W(A)=\{z\in \mathbb{C}:|z|<a\} $.

引理2.5^[1] 设 $ T\in B(\mathcal{H}) $ 是一个单边加权移位算子, 其权序列 $ (w_1, w_2, \cdots ) $ 满足 $ \lim\limits_{n{\to}\infty}w_{2n+1}=a $, $ \lim\limits_{n{\to}\infty}w_{2n}=b $, 其中 $ a, b>0 $. 如果 $ \alpha=\left\|\Re(T)\right\|=w(\Re(T))=w(T)>(a+b)/2 $, 则 $ \alpha $ 是 $ \Re(T) $ 的一个特征值.

本小节给出了哈代希尔伯特空间上权序列为 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的单边加权移位算子数值半径的精确表达式.

定理3.1 设 $ T $ 是 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上权序列为 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的单边加权移位算子, 并且满足以下关系

1. 若 $ F>0 $ 时, $ g=\sqrt[3]{E+\sqrt{F}}+\sqrt[3]{E-\sqrt{F}}-\frac{A}{3}>1 $;

2. 若 $ F=0 $ 时, $ g=2\sqrt[3]{E}-\frac{A}{3}>1 $ 或 $ g=-\sqrt[3]{E}-\frac{A}{3}>1 $;

3. 若 $ F<0 $ 时, $ g=2\sqrt{-\frac{B}{3}+\frac{A^2}{9}}\cos\theta-\frac{A}{3}>1 $, $ \theta=\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{\frac{A^3}{27}-\frac{AB}{6}+\frac{C}{2}}{\sqrt{-(\frac{B}{3}-\frac{A^2}{9})^3}}\right) $, 其中

那么

证 对于单边加权移位算子 $ T\in B(H^2(\mathbb{D})) $, 它的数值域是一个以原点为中心, 以自伴算子 $ (T+T^*)/2 $ 的最大特征值为半径的开或者闭的圆盘. 于是令

其中 $ w(T)=\alpha $, 并且 $ f(z)=f(0)+f'(0)z+\frac{f"(0)}{2!}z^2+\cdots \in H^2(\mathbb{D}) $, 因此

由 $ (T+T^*)f(z)=2{\alpha}f(z) $, 得

令 $ z=0 $, 得

等式两端分别求一阶导和二阶导, 并令 $ z=0 $, 分别得

然而

化简, 得

即

令 $ -z $ 代替 $ z $, 有

联立方程 $ (3.1) $ 和 $ (3.2) $, 得

由引理 2.5, 当 $ \alpha>(a+b)/2 $ 时, 存在 $ x>0 $ 使得

由此, 上式可化简为

由于 $ z={\rm e}^{-x} $ 是方程左边的根, 也应该为方程右边的根, 因此

将 $ 2\alpha=\sqrt{ab({\rm e}^{2x}+{\rm e}^{-2x})+a^2+b^2} $ 代入上式化简, 得

因为 $ \sqrt{ab({\rm e}^{4x}+1)+(a^2+b^2){\rm e}^{2x}}+a{\rm e}^{2x}+b\neq0(x>0) $, 所以有

如果再考虑 $ z=-{\rm e}^{-x} $ 或 $ z=e^x $, $ z=-e^x $, 通过类似讨论均可得到上述方程. 由于 $ x>0 $, 设 $ g={\rm e}^{2x} $, 从而 $ g>1 $ 且

根据一元三次方程求根公式可得出定理中的结论, 证毕.

注3.1 将 $ j=a $ 代入定理主要的证明过程可得

有大于 $ 1 $ 的解当且仅当 $ bh^2+(a+b)k^2>(a+b)^2b $.

同样假设 $ g={\rm e}^{2x} (x>0) $, 则

根据一元二次方程求根公式得

此时, 结果可以蜕化为文献 [1,定理 2.4].

此外, 主要结果也可以给出哈代希尔伯特空间上权序列为 $ (a, b, j, a, b, a, b, \cdots ) $, 其中 $ a, b, j>0 $ 的单边加权移位算子数值半径的精确表达式.

推论3.1 设 $ T $ 是 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上权序列为 $ (a, b, j, a, b, a, b, \cdots ) $, 其中 $ a, b, j>0 $ 的单边加权移位算子, 并且满足以下关系

(1) 若 $ F>0 $ 时, $ g=\sqrt[3]{E+\sqrt{F}}+\sqrt[3]{E-\sqrt{F}}-\frac{A}{3}>1 $;

(2) 若 $ F=0 $ 时, $ g=2\sqrt[3]{E}-\frac{A}{3}>1 $ 或 $ g=-\sqrt[3]{E}-\frac{A}{3}>1 $;

(3) 若 $ F<0 $ 时, $ g=2\sqrt{-\frac{B}{3}+\frac{A^2}{9}}\cos\theta-\frac{A}{3}>1 $, $ \theta=\frac{1}{3}\arccos(-\frac{\frac{A^3}{27}-\frac{AB}{6}+\frac{A}{2}}{\sqrt{-(\frac{B}{3}-\frac{A^2}{9})^3}}) $, 其中

那么

证 将 $ h=a $, $ k=b $ 代入定理 3.1 以及证明过程可得

如果类似考虑 $ z=-{\rm e}^{-x} $ 或 $ z=e^x $, $ z=-e^x $ 同样可得到上述方程. 设 $ g={\rm e}^{2x} $, 则 $ g>1 $ 并且成立

最后通过求解 $ ba^2g^3+a(b^2-j^2)g^2+b(a^2-j^2)g+a(b^2-j^2)=0 $ 的大于 1 的根, 得到上述结果. 证毕.

本小节主要将定理 3.1 的结果应用于计算哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子的数值域范围, 这是一项创新性的工作.

定理4.1 $ V $ 是定义在哈代希尔伯特空间 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上的复 Volterra 算子, 则

证 任意给定的 $ f\in H^2(\mathbb{D}) $, 并设 $ f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n $, 则

取 $ S $ 为 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 上的单边加权移位算子定义为 $ Se_n=a_ne_{n+1} $, $ n\in \mathbb{N} $, 其中 $ a_n=(n+1)^{-1} $. 定义算子 $ U: H^2(\mathbb{D}){\to}\ell^2(\mathbb{N}) $ 为 $ Uz^n=e_n $, $ n\in \mathbb{N} $, 则 $ U $ 为酉算子且 $ U^* $ 是 $ \ell^2(\mathbb{N}){\to}H^2(\mathbb{D}) $ 的有界线性算子. 于是成立

由引理 2.1(1) 得 $ W(V)=W(U^*SU)=W(S) $. 于是, 通过酉等价可将计算 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上算子 $ V $ 的数值域转化求解 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 上权序列为 $ \{(n+1)^{-1}\}_{n=0}^{\infty} $ 的算子 $ S $ 的数值域. 由引理 2.1 的 (2) 和 (3) 可知 $ w(S)=w(\Re(S))=r(\Re(S)) $.

下面从上下界两个方向给出算子 $ S $ 的数值域半径 $ w(S) $ 的估计. 首先给出下界估计. 下面研究 $ n $ 维单边加权移位算子 $ S_n:\mathbb{C}^n{\to}\mathbb{C}^n $ 的数值域半径 $ w(\Re(S_n)) $, 其中

然后令

$ A_n $ 对应的特征多项式为

显然, $ D_n $ 满足如下迭代公式及初值条件

通过计算, 得

由引理2.2可推得

其次, 给出数值半径 $ w(S) $ 的上界估计. 根据引理 2.3 以及定理 3.1, 取 $ h=1, k=\frac{1}{2}, j=\frac{1}{3}, $ $b=\frac{1}{4}, a=\frac{1}{5} $, 从而算得

进一步解得 $ g $ 的近似值为 23.4126, 此时 $ T $ 的数值半径近似为 0.56463829. 于是得到 $ w(S)<w(T)\approx0.56463829 $.

最后, 结合引理 2.4 中 $ a=0 $ 的结果及 $ 0\in W(S) $ 的事实得到 $ W(S) $ 是一个闭集.

综上可得算子 $ S $ 的数值域是以原点为中心, 半径介于 0.56462725 和 0.56463829 之间的闭圆盘. 从而哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子的数值域为

证毕.