假设$\Omega\subset\mathbb{R}^N$是有界域,其Lipschitz边界记为$\partial\Omega$.$T>0$是有限数;$Q_T=\Omega\times(0,T)$是一柱体,$\Gamma_T=\partial\Omega\times(0,T)$是其侧边界.考虑如下抛物问题

关于方程(1.1)的进一步假设如下

(H1)$p(x,t)$是$Q_T$上的可测函数,$p^{+}:=\underset{Q_T}{\operatorname{ess} \sup }\ p(x, t)$,$p^{-}:=\underset{Q_T}{\operatorname{ess} \inf }\ p(x, t)$且$1<p^-\leq p(x,t)\leq p^+<+\infty$.此外,$p(x,t)$满足log-Hölder 连续性条件^[9].

(H2) 向量场$A(x,t,\xi):Q_T\times \mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}^N$是一Carathéodory函数. 同时,$A$满足结构条件

其中,$\xi,\xi^\prime\in\mathbb{R}^N$,$\xi\neq\xi^\prime$;常数$\alpha,\beta>0$.

(H3) 源项$f(x,t)\in L^1(Q_T)$.初值$u_0(x)\in L^\infty(\Omega)$.零阶项的正系数$a(x,t)\in L^1(Q_T)$;且存在一个正常数$\Upsilon\geq\|u_0\|_{L^\infty(\Omega)}$,使得对几乎所有的$(x,t)\in Q_T$有

在过去的二十年,许多数学工作者都对变指数问题进行了广泛的研究.具变指数的偏微分方程模型可以描述非牛顿流体.例如, 文献[14]系统研究了电流变液这种智能流体.问题(1.1)是具有$p(\cdot,\cdot)$结构的抛物方程,其与众多的物理现象有关.例如,通过多孔介质过滤的过程,图像处理等^[6].Antontsev和Shmarev在文献[1]研究了具变指数的各向异性抛物方程.作者引入了具$p_i(\cdot,\cdot)$结构的各向异性泛函空间,借助于Galerkin方法和Minty技术证明了方程弱解的存在性.Diening,Nägele和Růžička研究了具$p(\cdot,\cdot)$结构的发展方程的单调算子理论^[9],并且引入了变指数背景下新的解空间并证明了新的分部积分公式.

在文献[8],Diening,Málek和Steinhauer指出这样的一个事实:假设条件(H1)中的log-Hölder连续性在变指数问题中是至关重要的.在log-Hölder 连续性条件下,Hardy-Littlewood最大值算子$M$映$L^{p(x)}(\mathbb{R}^N)$到$L^{p(x)}(\mathbb{R}^N)$是连续的.这种连续性能够保证$C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$在变指数的Sobolev空间$W^{1,p(x)}(\mathbb{R}^N)$中稠密.

假设条件(H2)表明非线性主部项$A$满足具$p(\cdot,\cdot)$结构的Leray-Lions条件.问题(1.1)可以看作是常指数抛物$p$-Laplace方程

的一个推广.与常指数情形相比较,变指数问题有其自身的特点.比如说,范数$|u|_{L^{p(x)}(\Omega)}$与模$(\int_\Omega|u|^{p(x)}{\rm d}x)^{\frac{1}{p(x)}}$并不总是相等.同时,如果$|u|_{L^{p(x,t)}(Q_T)}$被定义为$|u|_{L^{p(x,t)}(0,T;L^{p(x,t)}(\Omega))}$,那是不合适的.这是因为变指数$p(x,t)$对于空间与时间都有依赖,导致$L^{p(x,t)}(Q_T)$没有Bochner空间结构.与$p(x)$恒等于常数的情形不同,不等式

是不成立的.

通常来讲,在椭圆与抛物方程理论中^[5,7,13],源项$f$充分高的可积性才能蕴含弱解的存在性.比如说,$f$仅仅$L^1$可积时,方程不存在弱解,更不存在有界解.当$f\in L^1$时,往往要考虑方程的重整化解或熵解.例如,在变指数$p(x)$背景下, 文献[3,17]研究了具$L^1$数据和$a(x,t)\equiv0$时的问题(1.1).文献[3,17]主要使用的工具是truncation方法和非线性半群理论.

Arcoya和Boccardo在文献[2]研究了当右端源项$f\in L^1$时,借助于低阶项的正则化效应,证明了椭圆方程有界弱解的存在性.这是关于椭圆方程理论的一个新结果.由于右端项的低可积性,使得无法使用Stampacchia迭代技术^[7]去做最大模估计.文献[2]主要的想法是:利用方程低阶项系数函数与右端仅仅$L^1$的可积函数$f$之间的关系去得到$L^\infty$估计.借助于解的一致$L^\infty$界,作者证明了弱解$u\in H_0^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$的存在性.受研究静态方程^[2]技术的启发,借助于正则化条件(1.5),我们将要证明在$L^1$源和$p(\cdot,\cdot)$结构框架下,方程存在有界弱解.

泛函空间$X(Q_T)$定义为

赋予其范数

其中

正如文献[9]所指出,$X(Q_T)$可以看作是基于Gelfand三元组的经典Bochner空间的替代.

$V_\tau(\Omega)$的对偶记作$V^\prime_\tau(\Omega)$,而$X^\prime(Q_T)$表示$X(Q_T)$的对偶.关于具$p(\cdot,\cdot)$变指数的泛函空间的更多性质,参看文献[9].

问题(1.1)的有界弱解定义如下

定义 1.1$u\in X(Q_T)\cap L^\infty(Q_T)$称为问题(1.1)的一个有界弱解.如果$\partial_tu\in X^\prime(Q_T)+L^1(Q_T)$,$u(x,0)=u_0(x)$几乎处处于$\Omega$;且对每一个$\phi\in X(Q_T)\cap L^\infty(Q_T)$,有积分等式

成立. 这里,$\partial_tu=\alpha^{(1)}+\alpha^{(2)}\in X^\prime(Q_T)+L^1(Q_T)$理解为

$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示$V^\prime_\tau(\Omega)+L^1(\Omega)$与$V_\tau(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$之间的对偶.

现在给出本文的主要结果

定理 1.1 在假设条件(H1),(H2),(H3)下,问题(1.1)至少存在一个弱解$u\in X(Q_T)\cap L^\infty(Q_T)$.

受文献[2]启发,首先,我们建立一个对应于问题(1.1)的逼近方程

其中,

注意到$\{\frac{s}{1+\epsilon s}\}_s$关于$s$是不减的,从(2.2),(2.3)和(1.5)式可知,对于几乎所有的$(x,t)\in Q_T$,

根据pseduo-monotone 算子理论^[16]或Galerkin方法^[1,9],对每一个固定的$0<\epsilon<1$,问题(2.1)存在弱解$u^\epsilon\in X(Q_T)$.

记$G_k(s)=(|s|-k)_+$sign$(s)$.选取$G_\Upsilon(u^\epsilon)\chi_{[\tau]}$作为问题(2.1)的一个检验函数.注意到在集合$\{(x,t):|u^\epsilon(x,t)|>\Upsilon\}$上,sign$(G_\Upsilon(u^\epsilon))={\rm sign}(u^\epsilon)$,由(1.3)和(2.4)式可得

其中$\chi_A$表示集合$A$上的特征函数;$\tau\in[T]$,$Q_\tau=\Omega\times(0,\tau)$.

注意到$\Upsilon$的限制$\Upsilon\geq\|u_0\|_{L^\infty(\Omega)}$,运用分部积分^[9]得到

结合(2.5)、(2.6) 式,取时间在$\tau\in[T]$上的上确界,我们得到

根据$G_\Upsilon(u^\epsilon)$的定义并且去掉上式非负的积分项,由(2.7)式可推出

这蕴含着

因此,$u^\epsilon$的一致$L^{\infty}$范数可以被估计为

选择$u^\epsilon$作为(2.1)式的一个检验函数,注意到$u^\epsilon$的一致$L^\infty$界,那么

因此由(2.8)和(2.9)式推出

进一步就有,存在一个函数$u\in X(Q_T)\cap L^\infty(Q_T)$和$\{u^\epsilon\}_\epsilon$的一个子序列(为简洁起见, 仍然记作其本身),使得$u^\epsilon\overset{\text{弱}}{\rightharpoonup} u$于$X(Q_T)$;且

由(1.4)和(2.9)式可推出

即有$\{A(x,t,\nabla u^\epsilon)\}_\epsilon$在$(L^{p^\prime(x,t)}(Q_T))^N$有界.这样就存在一个函数$\xi\in(L^{p^\prime(x,t)}(Q_T))^N$,使得

由等式$\partial_tu^\epsilon=\text{div}A(x,t,\nabla u^\epsilon)-a^\epsilon(x,t)|u^\epsilon|^{p(x,t)-2}u^\epsilon+f^\epsilon(x,t)$和文献[9]可得

使用嵌入^[9]

则(2.10)式表明

另外注意到嵌入关系^[9]

那么由(2.14)式可推出$\{\partial_tu^\epsilon\}_\epsilon$在$L^1(0,T;L^2(\Omega)+W^{-1,(p^+)^\prime}(\Omega))+L^1(Q_T)$有界.进一步,我们得到当$s>\frac{N}{2}+1$时,

其中常数$C$与$\epsilon$无关.

考虑到$W_0^{1,p^-}(\Omega)\overset{\text{紧}}{\hookrightarrow} L^{p^-}(\Omega)\hookrightarrow H^{-s}(\Omega)$,(2.18)和(2.16) 式,根据Simon紧性定理^[15],$\{u^\epsilon\}_\epsilon$在$L^s(0,T;L^{p^-}(\Omega))$紧.通过抽取$\{u^\epsilon\}_\epsilon$的一个子列(仍然记作其本身),我们得到当$\epsilon$趋于$0$时,

与线性静态情形^[2]相比较,主部非线性项的极限问题是需要重点关注的.

选取$u^\epsilon-u^\eta$作为$u^\epsilon$和$u^\eta$对应方程(2.1)之差的检验函数,得到

对于固定的$\epsilon$,令$\eta\rightarrow0$,那么由(2.13),(2.19),(2.11),(2.12),(2.8)式和Vitali定理,去掉等式的第一个非负积分项,我们得到

这里,我们用到了由Vitali定理可推出的零阶项的强收敛

当$\epsilon\rightarrow0$时,再次应用Vitali定理,那么就有

接下来,为了确立(2.13)式中的弱极限$\xi$,我们采用文献[11]的Young测度方法.

从(2.11)式可知

其中,$\nu_{t,x}$是由$\{\nabla u^\epsilon\}_\epsilon$生成的Young测度.于是,

注意到$A$是一Carathéodory函数以及(2.13) 式,那么$\{A(x,t,\nabla u^\epsilon)\}_\epsilon$在$(L^1(Q_T))^N$弱紧.运用文献[12, 命题2]得到

因此

因为$\nu_{t,x}$是一概率测度,所以$\int_{\mathbb{R}^{N+1}}{\rm d}\nu_{t,x}(\lambda)=1$.由(2.21)式可得

条件(1.3)蕴含$A(x,t,\nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon\geq0$.自然地,

$[A(x,u^\epsilon,\nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon]^-$在$L^1(Q_T)$弱紧.

根据Fatou型引理^[10],我们得到

由(2.20),(2.24),(2.22)式可推出

结果就有

从(2.23)和(2.25)式我们可推出

考虑到算子$A$的单调性(1.2) 式,估计(2.26)式蕴含着

注意到$\nu_{t,x}\geq0$是一个概率测度以及$A$是严格单调的,由此得到,对于所有的$\lambda\neq\nabla u$,$[A(x,t,\lambda)-A(x,t,\nabla u)]\cdot(\lambda-\nabla u)$是严格正的.事实上我们有

也就是说,$\nu_{t,x}=\delta_{\nabla u(x,t)}$.返回到(2.22) 式,那么

选取$\phi\in X(Q_T)\cap L^\infty(Q_T)$作为问题(2.1)的检验函数.返回(2.13) 式,一旦$A(x,t,\nabla u^\epsilon)$的弱极限通过(2.27)式确定,那么根据Lebesgue控制收敛定理,(2.11),(2.12),(2.14),(2.19) 式,积分等式(1.6)可以由标准的极限过程得到.

采用文献[4]的方法,现在考虑初值条件.注意到(2.10),(2.14)和(2.17)式,由Simon紧性定理^[15],实际上我们得到,对于任意的$s>\frac{N}{2}+1$,$\{u^\epsilon\}_\epsilon$是$W^{1,1}(0,T;H^{-s}(\Omega))$中的紧集,结果就有

这表明初值有意义且$u(x,0)=u_0(x)$.