近几年, 一部分学者开始运用差分方程理论解决计算机科学、经济学、生物学等多个研究领域关键性问题. 而差分方程不同性质的解又与这些关键性问题有密切的联系^{[1⇓⇓⇓-5]}. 对于差分方程的研究, 学者们主要使用临界点理论、上下解方法和不动点定理等方法对差分方程周期解、同宿轨、多解及正解的存在性进行研究, 详细的研究内容可见文献[6⇓⇓⇓⇓⇓-12]. 1899 年, Poincaré 首次在哈密顿系统中发现了同宿轨. 从此以后, 许多学者开始研究不同类型差分方程的同宿轨问题^{[9,13⇓⇓-16]}. 令$\mathbb{Z}$表示一个整数集, 通常情况下, 我们称差分方程的解$u=\{u(k)\}_{k\in\mathbb{Z}}$为收敛于$0$的同宿轨是指当$k\rightarrow\pm\infty$时,$u(k)\rightarrow0$.

本文主要运用临界点理论研究如下一类具有无界势能且依赖参数$\lambda$的 Kirchhoff-型差分方程多个同宿轨的存在性.

其中$\lambda$是一个正实参数,$a\geq1$和$b>0$都是实数.$\Delta$表示向前差分算子, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$,定义$\Delta u(k)=u(k+1)-u(k)$,$\Delta^{2} u(k)=\Delta(\Delta u(k))$. 假设非线性项$f(k,\cdot)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$和势能$V(k)$满足下列条件

(G$_{1})$对$\forall k\in\mathbb{Z}$,$V(k)>1$且$\lim\limits_{|k|\rightarrow+\infty}V(k)=+\infty$;

(G$_{2})$当$|t|\rightarrow0$时,$\frac{f(k,t)}{t}$在$\mathbb{Z}$上一致收敛于$0$.

(G$_{3})$存在实数$0<\alpha<1$和$\omega\in l^{2}$, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$和$t\in\mathbb{R}$, 都有

问题 (1.1) 可以看成下面一维 Kirchhoff-型微分方程的离散化

Kirchhoff-型微分方程是古典 D'Alembert's 波动方程的扩展,Kirchhoff-型微分方程描述了弦的长度由横向振动产生的变化^[17], 更多与物理学和生物动力学相关的 Kirchhoff-型模型可见文献[18⇓-20]. 从现有文献看, 对于Kirchhoff-型偏微分方程的研究成果较多, 作者主要集中在研究非线性项在零点或无穷远处可解性条件. 例如: 当非线性项在无穷远处满足$\lim\limits_{|u|\rightarrow\infty}\frac{f(x,u)}{|u|^{3}}=\infty$时, Wu^[20]在 2011 年研究了如下带有势能项$V$的 Kirchhoff-型偏微分方程的高能量解序列存在性问题.

其中常数$a>0$,$b>0$. 文中同时要求势能$V$和非线性项$f$满足下面的条件

(H$_{1})$$V\in C(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R})$,$\inf\limits_{x\in\mathbb{R}^{n}} V(x)>0$, 对于任意$\hat{V}>0$, meas$\{x\in\mathbb{R}^{n}|V(x)\leq \hat{V}\}<+\infty$;

(H$_{2})$$f\in C(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R},\mathbb{R})$, 并且$|f(x,u)|\leq \hat{c}(1+|u|^{p-1})$, 其中$\hat{c}$,$p$是正常数;

(H$_{3})$$uf(x,u)\geq4F(x,u)$,$x\in\mathbb{R}^{n}$,$u\in\mathbb{R}$, 其中$F(x,u)=\int_{0}^{u}f(x,s){\rm d}s$;

(H$_{4})$对$\forall x\in\mathbb{R}^{n}$, 当$|u|\rightarrow+\infty$时,$\frac{1}{4}uf(x,u)-F(x,u)\rightarrow+\infty$.

目前, 现有的关于 Kirchhoff-型差分方程研究成果主要考虑在有限维的实 Banach 空间中研究^{[21⇓⇓⇓-25]}. 例如: Chakrone 等^[24]在$T$-维实空间中利用三解定理证明了如下带有$p$-Laplacian 差分算子的 Kirchhoff-型方程多解的存在性.

其中$\mathbb{Z}(1,T)=\{1,2,\cdots,T\}$,$\phi_{p}(s)=|s|^{p-2}s$是$p$-Laplace 算子,$1<p<+\infty$.$M\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.在文献[25]中, 当$\lambda$属于一个有限区间时, Heidarkhani 等人进一步证明了方程 (1.4) 有无穷多个解, 并且这些解是无界的.

据作者所知, 关于 Kirchhoff-型的差分方程同宿轨的存在性研究成果很少, 而大部分研究差分方程同宿轨文献主要是考虑带有$p$-Laplacian 差分算子的差分方程^[13⇓-15]. 2010 年, Cabada 等^[13] 研究了系数为周期的$p$-Laplacian 差分方程的同宿轨的存在性.

其中$V:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$是周期为$T$的势能. 在文中作者主要考虑非线性项$f$满足下面的条件

(F$_{1})$对$\forall k\in\mathbb{Z}$,$f(k,\cdot)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 并且$f(k,t)=f(k+T,t)$;

(F$_{2})$当$|t|\rightarrow0$时,$\frac{f(k,t)}{|t|^{q-1}}$在$\mathbb{Z}$上一致收敛于$0$,$q>1$;

(F$_{3})$存在正实数$\mu>p\geq q>1$和$\kappa>0$使得

和

许多学者也研究了如下带有$p$-Laplacian 差分算子的差分方程的同宿轨问题.

其中$a, b: \mathbb{Z}\rightarrow (0,+\infty)$.

在$a=1$的情形下, 2013 年, Iannizzotto 等^[14]利用下面 (F$_{4})$-(F$_{8})$的假设条件得到了差分方程 (1.6) 多个同宿轨的存在性.

(F$_{4})$对$\forall k\in\mathbb{Z}$,$b(k)\geq b_{0}>0$, 并且当$|k|\rightarrow+\infty$时,$b(k)\rightarrow+\infty$;

(F$_{5})$当$|t|\rightarrow0$时,$\frac{f(k,t)}{|t|^{p-1}}$在$\mathbb{Z}$上一致收敛于$0$;

(F$_{6})$对所有的$T>0$,$\sup \limits_{|t|\leq T}|F(\cdot,t)|\in l^{1}$;

(F$_{7})$对$\forall k\in\mathbb{Z}$, 都有$\limsup\limits_{|t|\rightarrow+\infty}\frac{F(k,t)}{|t|^{p}}\leq0$;

(F$_{8})$存在某个$k_{0}\in\mathbb{Z}$,$t_{0}\in\mathbb{R}$使得$F(k_{0},t_{0})>0$.

2014 年, Kong^[15]在上述文献假设条件的基础上, 进一步给出下列条件得到方程有无穷多个同宿轨.

(A$_{1})$存在$\hat{d}>0$,$q>p$, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$和$t\in\mathbb{R}$, 都有$|F(k,t)|\leq \hat{d} |t|^{q}$;

(A$_{2})$对$\forall k\in\mathbb{Z}$, 都有$\lim\limits_{|t|\rightarrow+\infty}\frac{f(k,t)t}{|t|^{p}}=+\infty$;

(A$_{3})$存在正数$\sigma\geq1$和$s\in[0,1]$, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$和$t\in\mathbb{R}$, 有

注 1.1 从上述文献的假设条件可以看出, 为了研究带有$p$-Laplacian 差分算子的差分方程的同宿轨问题, 作者主要假设非线性项$f$关于变量是线性条件增长的, 见文献[14,15,20]中假设条件 (H$_{2})$, (F$_{6})$-(F$_{7})$和 (A$_{1})$. 另外从条件 (H$_{3})$-(H$_{4})$以及 (F$_{3})$看出, 上述文献同时考虑了当$|t|$充分大时,$tf(k,t)\geq\mu F(k,t)>0$的情形, 即$tf(k,t)$在无穷远处是不变号的. 这些条件一方面用于证明能量泛函的连续可微; 另一方面证明能量泛函满足 Palais-Smale 条件. 而在文献 [14]中, 作者在证明能量泛函的连续可微时并没有用 (H$_{2})$的全局条件, 仅假设$f$在零点处满足局部条件 (F$_{5})$. 本文中, 我们研究了势能是无界的并且依赖参数$\lambda$的 Kirchhoff- 型差分方程 (1.1) 的多个同宿轨问题. 从文中假设可以看出, 文中没有考虑全局性条件 (F$_{3})$, 而是仅假设$f$在零点处满足超线性条件 (G$_{2})$和全局次线性增长条件 (G$_{3})$, 通过借助于临界点理论得到了依赖参数$\lambda$的 Kirchhoff-型差分方程 (1.1)的多个同宿轨. 明显地, 我们的假设是对前面差分方程同宿轨问题研究的一个拓展和延伸.

在文中, 我们主要运用文献[26]中的临界点理论来研究 Kirchhoff-型差分方程 (1.1) 在无穷维的实 Banach 空间中同宿轨的存在性问题. 文中剩下内容结构如下: 第 2 节给出 Kirchhoff-型差分方程 (1.1) 的能量泛函及相关的定义和引理, 第 3 节给出我们的主要结论, 并举例说明结论的正确性.

为了研究我们的主要结论, 我们首先给出问题 (1.1) 的能量泛函及相关的定义和引理.

令$S$为所有实序列构成的一个向量空间

在 (G$_{1})$的假设下, 我们给出下面的空间

对任意的$u, v \in E$, 定义空间内积

显然,$E$是一个Hilbert空间, 其相应的范数为

引理 2.1 若条件 (G$_{1})$成立, 则嵌入$E\hookrightarrow l^{2}$是列紧的.

证 我们容易验证对于任意的$u\in E$,$\|u\|_{l^{2}}\leq\|u\|$, 因此, 嵌入$E\hookrightarrow l^{2}$是连续的. 下面证明该嵌入是列紧的. 令$\{u_{n}\}\subset E$是有界序列, 则存在一个$M_{1}>0$, 对任意的$n\in\mathbb{Z}$, 有$\|u_{n}\|<M_{1}$. 由于$E$是自反空间, 存在$\{u_{n}\}$的一个子序列满足$u_{n}\rightharpoonup u$,$u\in E$. 不失一般性, 我们可以假设$u=0$, 并且当$n\rightarrow+\infty$时,$u_{n}(k)\rightarrow0$,$\forall k\in\mathbb{Z}$. 从 (G$_{1})$条件, 对任意的$\varepsilon>0$, 我们能找到一个$h\in\mathbb{Z}$使得当$|k|>h$时, 有

从有限个函数和的连续性, 存在一个$n_{0}\in\mathbb{Z}$使得当$n>n_{0}$时, 有

所以当$n>n_{0}$时,

因此, 嵌入$E\hookrightarrow l^{2}$是列紧的. 证毕.

对任意$u\in E$, 令

和

定义

和

其中$F(k,t)=\int_{0}^{t}f(k,s){\rm d}s.$

下面我们将证明$J_{\lambda}(u)=\Phi(u)+\lambda\Psi(u)$是对应于问题 (1.1) 的能量泛函.

引理 2.2 若条件 (G$_{1})$成立, 则$\Phi\in C^{1}(E)$, 并且

证 首先证明$\Phi_{1}\in C^{1}(E)$. 任取$u,v\in E$, 一定存在$R>0$使得$\|u\|<R,\|v\|<R$. 则下面极限是成立的.

事实上, 对任意的$\varepsilon>0$, 存在一个$h>0$, 有

进一步, 取$0<\delta(\varepsilon)<1$, 当$|\tau|<\delta(\varepsilon)$时, 有

当$|k|>h$时, 由中值定理, 我们有$|\theta_{k}|<|\tau|<\delta(\varepsilon)$使得$\|u+\theta_{k}v\|\leq2R$和

于是,

由文献[14, 性质 5] 可知下式也成立,

从 (2.3) 和 (2.4) 式, 我们有

因此,$\Phi_{1}$是 Gâteaux 可导的. 下面证明$\Phi_{1}':E\rightarrow E$上连续的. 令$\{u_{n}\}$是$E$中的一个收敛序列且$u_{n}\rightarrow u$,$u\in E$. 对任意的$v\in E$, 我们有

当$n\rightarrow+\infty$,

因此,$\Phi_{1}':E\rightarrow E$上连续的. 从 (2.3) 式和复合函数连续性定义, 可知$\Phi_{2}\in C^{1}(E)$. 证毕.

类似文献[14, 性质 6], 我们有下面引理成立.

引理 2.3 若$f(k,t)$满足条件 (G$_{2})$时, 则$\Psi \in C^{1}(E)$, 并且

显然, 从引理 2.2 和引理 2.3 得到

从上式可知,$u\in E$是泛函$J_{\lambda}(u)=\Phi(u)+\lambda\Psi(u)$的临界点当且仅当$u$是问题 (1.1) 的解, 并且$u(\pm\infty)=\Delta u(\pm\infty)=0$.

为了证明我们主要结论, 我们先给出一些定义和引理.

定义 3.1 设$E$是一个实 Banach 空间, 并且$J\in C^{1}(E,\mathbb{R})$. 对任意的序列$\{u_{n}\}$, 如果$\{J(u_{n})\}$是有界的, 并且当$n\rightarrow+\infty$时,$J'(u_{n})\rightarrow0$, 称$\{u_{n}\}\subset E$是一个 Palais-Smale 序列. 若对任意的 Palais-Smale 序列$\{u_{n}\}$都有一个收敛子列, 则称$J$是满足 Palais-Smale 条件的.

令$E$是一个自反实 Banach 空间,$I_{\lambda}:E\rightarrow \mathbb{R}$满足下面结构性假设

(H) 假设$\lambda$是一个正的实参数. 在$E$上定义泛函$I_{\lambda}(u)=\Phi(u)+\lambda\Psi(u)$, 其中$\Phi,\Psi\in C^{1}(E,\mathbb{R})$,$\Phi$是强制的:$\lim\limits_{\| u\|\rightarrow+\infty}\Phi(u)=+\infty$.

令

和

引理 3.1^[26] 假设 (H) 和下列条件成立,

(a$_{1})$对任意的$\lambda>0$, 泛函$I_{\lambda}=\Phi(u)+\lambda\Psi(u)$满足 Palais-Smale 条件, 并且是有下界的;

(a$_{2})$存在实数$r>\inf_{E}\Phi$使得$\varphi_{1}(r)<\varphi_{2}(r)$. 那么, 当$\lambda\in\left(\frac{1}{\varphi_{2}(r)},\frac{1}{\varphi_{1}(r)}\right)$时,$I_{\lambda}$至少有三个临界点.

引理 3.2 假设条件 (G$_{1})$-(G$_{3})$成立. 那么,$J_{\lambda}$满足 Palais-Smale 条件.

证 由引理 2.2 和 2.3, 可知$J_{\lambda}\in C^{1}(E,\mathbb{R})$. 令$\{u_{n}\}$是实 Banach 空间$E$中的任一序列,$\{J_{\lambda}(u_{n})\}$是有界的, 并且当$n\rightarrow+\infty$时,$J'_{\lambda}(u_{n})\rightarrow0$. 由$\{J_{\lambda}(u_{n})\}$的有界性, 一定存在一个正常数$C\in\mathbb{R}$使得$|J_{\lambda}(u_{n})|\leq C$. 我们首先证明序列$\{u_{n}\}$是有界的. 不妨先假设序列$\{u_{n}\}$是无界的, 即: 当$n\rightarrow\infty$时,$\|u_{n}\|\rightarrow+\infty$. 由次线性增长条件 (G$_{3})$, 我们有

令$\|u_{n}\|\rightarrow+\infty$, 推出矛盾. 因此,$\|u_{n}\|$是有界的. 另外, 从上式

容易看出能量泛函$J_{\lambda}(u)$是有下界的.

由引理 2.1, 从$\{u_{n}\}$中取出一个子列 (仍记为$\{u_{n}\}$),$u_{n}\rightharpoonup u\in E$,$u_{n}\rightarrow u\in l^{2}$, 并且对每一个$k$都有$u_{n}(k)\rightarrow u(k), n\rightarrow+\infty$.

经计算容易得

和

从$J_{\lambda}$满足 Palais-Smale 序列, 可得

结合 (3.2) 和 (3.3) 式, 我们有

由假设条件 (G$_{2})$, 对任意的$\forall\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$和一个充分大$h\in\mathbb{N}$, 对每一个$|k|>h$, 当$|u(k)|<\delta$时, 有

进一步, 由于序列$\{u_{n}\}$是有界的, 则存在一个正常数$\hat{M}>0$使得

首先, 我们将对下面求和进行估计,

由$f(k,t)$对$t$的连续性和$u_{n}(k)\rightarrow u(k)$,当$n\rightarrow\infty$时, 等式右边的第一项是收敛于$0$. 对于第二项, 我们使用 (G$_{3})$估计下面不等式

所以, 当$n\rightarrow\infty$时,

另外, 我们有

对 (3.4) 式两端同时取极限, 可得$\|u_{n}-u\|\rightarrow0$. 证毕.

定理 3.1 假设条件 (H), (G$_{1})$-(G$_{3})$成立, 并且存在两个实数$c$,$d$满足$\frac{c^{2}b+1}{2b}<d^{2}$, 使得

那么, 对任意的$\lambda\in\left(\frac{1}{2}\frac{(2a+V(l))d^{2}+2bd^{4}}{F(l,d)-\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\max\limits_{|\xi| \leq c}F(k,\xi)},\frac{(c^{2}b+1)^{2}-1}{4b\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\max\limits_{|\xi|\leq c}F(t,\xi)}\right)$, 问题 (1.1) 至少有三个同宿轨.

证 下面我们将用引理$3.1$来证明我们的主要结论. 由引理 2.2 和 2.3 可知$\Phi, \Psi\in C^{1}(E,\mathbb{R})$, 并且

显然,$\Phi(u)$是强制的.$\Phi$和$\Psi$是满足假设 (H). 由引理$3.2$,$J_{\lambda}$满足 Palais-Smale 条件.

另外, 由 (3.1) 式, 当$\|u\|\rightarrow+\infty$时,$J_{\lambda}(u)$是有下界的. 因此, 引理 3.1 的 条件 (a$_{1})$满足, 下面我们验证条件 (a$_{2})$.

令

当$u\in E$时,

如果$\frac{1}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}<r$, 那么,

通过 (3.8) 式, 我们有

取$e_{l}\in E$,$e_{l}(k)=\delta_{lk}d$. 如果$l=k$,$\delta_{lk}=1$; 若$l\neq k$,$\delta_{lk}=0$,$k\in\mathbb{Z}$. 清楚地,$e_{l}\in E$. 由于$d^{2}>\frac{c^{2}b+1}{2b}$, 我们有

于是,

由 (3.7) 式, 我们有$\varphi_{1}(r)<\varphi_{2}(r)$. 条件 (a$_{2})$是满足的. 由引理 3.1, 当

问题 (1.1) 至少有三个同宿轨. 证毕.

定理 3.2 假设条件 (H), (G$_{1})$-(G$_{3})$成立, 并且存在两个实数$c$,$d$满足$\frac{c^{2}b+1}{2b}<d^{2}$使得

(G$_{4})$$\max\limits_{|\xi|\leq c}F(k,\xi)\leq0$,$k\in\mathbb{Z}$

和

(G$_{5})$$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}F(k,\delta_{lk}d)>0$

成立.那么, 对任意$\lambda\in\left(\frac{(2a+V(l))d^{2}+2bd^{4}}{2F(l,d)},+\infty\right)$, 问题 (1.1) 至少有三个同宿轨.

证 仍取

那么, 从$\Phi(u)<r$我们有$\max\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{|u(k)|\}< c$.再由 (G$_{4})$, 可推得$f(k,0)=0$,$k\in\mathbb{Z}$, 并且$\inf\limits_{\Phi^{-1}(-\infty,r)}\Psi=0$, 这就暗示$\varphi_{1}(r)=0$.

仍然选定理 3.1 中的$e_{l}\in E$, 由条件 (G$_{4})$和 (G$_{5})$, 我们有

另外,

因此, 我们有$\varphi_{1}(r)=0<\varphi_{2}(r)$. 由引理 3.1, 当$\lambda\in\left(\frac{(2a+V(l))d^{2}+2bd^{4}}{2F(l,d)},+\infty\right)$时, 问题 (1.1) 至少有三个同宿轨. 证毕.

最后, 我们给出一个例子来说明我们的结论.

例 3.1 我们考虑下面问题

其中, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$,

那么,

容易计算条件 (G$_{2})$是满足的. 取$c=1$,$\omega=\{\frac{3\pi}{k^{2}+2}\}_{k\in\mathbb{Z}}\in l^{2}$和$\alpha=\frac{1}{3}$. 从$f$的定义, 对$\forall k\in\mathbb{Z}$和$t\in\mathbb{R}$, 有$|f(k,t)|\leq\frac{3\pi}{k^{2}+2}|t|^{\frac{1}{3}}$, 即条件 (G$_{3})$满足. 另外,$\max\limits_{|\xi|\leq 1}F(k,\xi)=0$, 并且存在充分大的$d>0$使得$d^{2}>\frac{c^{2}b+1}{2b}=\frac{5}{8}$和$\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} F(k,\delta_{lk}d)=F(l,d)\rightarrow+\infty$. 条件 (G$_{4})$和 (G$_{5})$是满足的.

因此, 定理 3.2 的条件全部满足, 则当$\lambda\in\left(\frac{(2+V(l))d^{2}+8d^{4}}{2F(l,d)},+\infty\right)$时, 问题 (3.11) 至少有三个同宿轨.