近年来, 应遍历理论研究的需要和双边算子的推广, 单边算子和单边函数空间的研究受到广泛关注. 1986 年, Sawyer^[1]首次建立了单边 Hardy-Littlewood 极大算子的加权有界性刻画. 随之, 学者们对更多单边算子的加权有界性进行了深入研究, 参看文献[2⇓⇓⇓-6]. 这些结果表明对于一类更"小"的算子 (单边算子) 和更"大"的权 (单边权), 调和分析中许多经典的结果都成立.

关于单边交换子的研究工作始于 Lorente 和 Riveros 在文献[7]中通过 Sharp 极大函数控制法建立了单边奇异积分算子与 BMO 函数生成的交换子在加权 Lebesgue 空间上的有界性. 2005 年, 他们在文献[3,8]中采用同样的方法获得了单边离散面积函数以及单边分数次积分与 BMO 函数生成的交换子的加权有界性. 随着单边算子与单边函数空间的不断发展, 更多关于单边算子与 BMO 函数生成的交换子有界性问题受到关注和探讨, 进一步推动了单边理论的发展. Janson 在文献[9]中指出交换子的有界性质与象征函数的光滑性有着重要联系, 而我们知道 Lipschitz 空间中的函数虽然具有光滑性但未必有界, 因此研究算子与 Lipschitz 函数生成的交换子的有界性问题与研究算子与 BMO 函数生成的交换子有界性具有同样重要的意义.

对于$0<\alpha<1$和$1<p<\infty$, 傅尊伟和陆善镇在文献[10]中定义了一类加权的单边 Triebel-Lizorkin 空间$\dot{F}_{p,+}^{\alpha,\infty}(\omega)$

并证明了单边 Calderón-Zygmund 奇异积分算子与 Lipschitz 函数生成的一阶交换子在单边 Triebel-Lizorkin 空间上的加权有界性. 受该结果的启发, 本文将建立单边奇异积分算子, 单边离散面积函数以及单边 Weyl 分数次积分分别与 Lipschitz 函数生成的多线性交换子在单边 Triebel-Lizorkin 空间上的加权有界性.

为了便于叙述本文的主要结果, 这里介绍几个相关定义.

定义 1.1^[9] 对于$0<\alpha<1,$如果函数$b$满足

我们称其属于$\mathrm{Lipschitz}$空间$\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}).$

定义 1.2^[11] 对于$\mathbb{R}$上的局部可积函数$f$, 单边离散面积函数$S^{+}$定义如下

这里$A_{n}f(x)=\frac{1}{2^{n}}\int_{x}^{x+2^{n}}f(y){\rm d}y$.

由文献[12]不难知道,$S^{+}f(x)=\|U^{+}f(x)\|_{l_{2}}$,$U^{+}$为序列值算子

其中$H(x)=\big(\frac{1}{2^{n}}\chi_{(-2^{n},0)}-\frac{1}{2^{n-1}}\chi_{(-2^{n-1},0)}\big)_{n\in\mathbb{Z}}.$

对于多线性交换子$\vec{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}), b_{j}\in{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\mathbb{(R)}\ (1\leq j\leq m)$, 单边离散面积函数的多线性交换子可以定义为

定义 1.3^[13] 若函数$K\in L^{1}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}\setminus\{0\})$满足下面的条件

$C_{1}, C_{2}$和$C_{3}$为互不相同的正常数, 则称$K$为 Calderón-Zygmund 核. 进一步, 若$K$支在$\mathbb{R}^{-}=(-\infty,0)$或$\mathbb{R}^{+}=(0,+\infty)$上, 则称$K$为单边 Calderón-Zygmund 核. 与其相应的单边 Calderón-Zygmund 奇异积分算子定义为$T^{+}f(x)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{x+\varepsilon}^{\infty}K(x-y)f(y){\rm d}y,$其中$K$是支在$\mathbb{R}^{-}=(-\infty,0)$上的单边 Calderón-Zygmund 核.

对应于这类单边奇异积分算子$T^{+}$合适的权函数为单边权$A_{p}^{+}$, 定义如下

类似地可以定义$A_{p}^{-}$. 值得注意的是, 这类权比经典的$\mathrm{Muckenhoupt}$权要大, 即它们之间存在这样的关系:$A_{p}=A_{p}^{+}\cap A_{p}^{-}, A_{p}\subsetneqq A_{p}^{+}$且$A_{p}\subsetneqq A_{p}^{-}$. 它不仅刻画了单边 Calderón-Zygmund 积分的有界性, 同时也刻画了单边离散面积函数的加权有界性, 结果参见文献[14].

与定义单边离散面积函数的多线性交换子类似, 我们给出上述单边奇异积分算子的多线性交换子定义如下

定义 1.4^[11] 设$0<\beta<1$, 分数次积分定义为

文献[6]中的结果表明$I_{\beta}^{+}$从$L^{p}(\omega^{p})$到$L^{q}(\omega^{q})$有界当且仅当$\omega\in A_{(p,q)}^{+}$

相似地也可以定义$A_{(p,q)}^{-}$. 与单边$A_{p}$权 ($A_{p}^{+},A_{p}^{-}$) 类似, 单边$A_{(p,q)}$权 ($A_{(p,q)}^{+},A_{(p,q)}^{-}$) 与经典的分数次 Muckenhoupt 权$A_{(p,q)}$存在如下关系

对于$\vec{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}), b_{j}\in{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\mathbb{(R)}$$(1\leq j\leq m)$, 对应的分数次积分的多线性交换子定义如下

关于上面介绍的几类单边算子的多线性交换子, 本文建立如下结果.

定理 1.1 设$0<\alpha<\frac{1}{m}, 1<p<\infty,$则对于$\vec{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}), b_{j}\in{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\mathbb{(R)}$$(1\leq j\leq m),$$\omega\in A_{p}^{+}$,$T_{\vec b}^{+}f(x)$和$S_{\vec b}^{+}f(x)$从$L^{p}(\omega)$到$\dot{F}_{p,+}^{\alpha m,\infty}(\omega)$有界.

定理 1.2 设$0<\alpha<\frac{1}{m}, 1<p<q<\infty$且$\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\beta$, 则对于$\vec{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}), b_{j}\in{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\mathbb{(R)}$$(1\leq j\leq m), \omega\in A^{+}_{(p,q)}$,$I_{\vec b,\beta}^{+}f(x)$从$L^{p}(\omega^{p})$到$\dot{F}_{q,+}^{\alpha m,\infty}(\omega^{q})$有界.

不难看出, 当$b_{1}=b_{2}\cdots=b_{m}$时, 多线性交换子为一般的高阶交换子. 因此上述结论对高阶交换子也是成立的.

引理 2.1^[11] 对于任意的$x, y\in\mathbb{R},$如果$f\in \mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}),$则$|f(x)-f(y)|\leq\|f\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}|x-y|^{\alpha},$进一步, 对于任意的区间$I$, 有$\sup\limits_{x\in I}|f(x)-f_{I}|\leq C\|f\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}|I|^{\alpha}.$如果$I^{*}\subset I,$则$|f_{I^{*}}-f_{I}|\leq C\|f\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}|I|^{\alpha}.$其中$f_{I}=\frac{1}{|I|}\int_{I}f.$这是 Lipschitz 空间的一个重要性质, 在证明中起重要作用.

引理 2.2^[10] 设$\omega\in A_{1}^{-},$则存在$s>1,$使得对$1<r\leq s, \omega^{r}\in A_{1}^{-}.$

引理 2.3^[15] 设$T$为$C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$上的次线性算子. 如果对于$\omega^{-1}\in A_{1}^{-}$, 存在$C=C(\omega)$使得$\|\omega Tf\|_{\infty}\leq C\|f\omega\|_{\infty},$则所有的$\omega\in A_{p}^{+}, 1<p<\infty,$存在$C=C(\omega)$使得

引理 2.4^[11] 设$\omega\in A_{(p,q)}^{+},$则$\omega^{q}\in A_{q}^{+}$且$\omega^{p}\in A_{p}^{+}$, 其中$1<p<q<\infty$.

引理 2.5^[15] 设$1<p_{0}<\infty$且$T$为$C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$上的次线性算子. 如果对于$\omega\in A_{(p_{0},\infty)}^{+},$存在$C=C(\omega)$使得$\|\omega Tf\|_{\infty}\leq C\|f\omega\|_{p_{0}}$, 则对于$1<p<p_{0}, 1/p-1/q=1/p_{0}$和所有的$\omega\in A_{(p,q)}^{+}$, 有$\|\omega Tf\|_{q}\leq C\|f\omega\|_{p}.$

在证明之前首先引入一些记号. 对于$m\in\mathbb{Z}$和$\{1\leq j\leq m\}$, 用$C_{j}^{m}$表示${1,\cdots,m}$中$j$个不同元素构成的有限子集$\sigma=\{\sigma(1),\cdots,\sigma(j)\}$. 对任意的$\sigma\in C_{j}^{m}$, 用$\sigma^{c}=\{1,\cdots,m\}\setminus\sigma$表示$\sigma$的补序列. 对于$\vec{b}=(b_{1},\cdots,b_{m}), b_{m}\in \mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})$,$\sigma=\{\sigma(1),\cdots,\sigma(j)\}\in C_{j}^{m},$$1\leq j\leq m$, 记$\vec{b_{\sigma}}=(b_{\sigma(1)},\cdots,b_{\sigma(j)}), (b(x)-(b)_{J})_{\sigma}:=\prod\limits_{i=1}^{j}((b_{\sigma(i)})(x)-(b_{\sigma(i)})_{J})$,$\|\vec{b_{\sigma}}\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}=\prod\limits_{i=1}^{j}\|b_{\sigma(j)}\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}$. 特别地,$\|\vec{b}\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}=\prod\limits_{i=1}^{j}\|b_{j}\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R})}$.

证 设$x\in\mathbb{R}, h>0.$令$i\in\mathbb{Z}$, 使得$2^{i}\leq h<2^{i+1}$, 令$J=[x,x+2^{i+3}]$,$(b_{j})_{J}=\frac{1}{|J|}\int_{J}b_{j}(x){\rm d}x$$(1\leq j\leq m)$, 则有

现将$f$分解$f=f_{1}+f_{2}$, 其中$f_{1}=f\chi_{J}$, 则可得.

对于$\rm{D_{3}}$, 由$S^{+}$的定义有

为估计$\rm{D_{1}}$,$\rm{D_{2}}$,$\rm{D_{3}}$,$\rm{D_{4}}$, 先引入几个在$C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$上的次线性算子

以及

综上所述, 容易知道

下面来证上述算子是从$L^{p}(\omega)$到$L^{p}(\omega)$有界的.

则由$M^{+}$和文献[14]中的$S^{+}$的$L^{p}(\omega)$有界性结果, 可得

下面处理$M_{2}^{+}$, 设$\omega^{-1}\in A_{1}^{-}$由引理 2.2 可得, 存在$r>1$, 使得$\omega^{-r} \in A_{1}^{-}$, 应用 Hölder 不等式以及$S^{+}$的$L^{r}$有界性, 可得

上述最后一个不等式由$\omega^{-r}\in A_{1}^{-}$可以得到, 所以$\|\omega M_{2}^{+}f(x)\|_{\infty}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\omega\|_{\infty}$.

由引理 2.3 可得$\|M_{2}^{+}f(x)\|_{L^{p}(\omega)}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega)}.$

设$k\in\mathbb{Z}$,$I_{k}=[x,x+2^{k+1}]$和$1<1/(1-m\alpha)<r<\infty$,$1/r+1/r'=1$, 则$m\alpha<1/r'<1$. 由文献[12]的证明过程表明: 对于$y\in [x,x+2^{i+3}]$, 核$H$满足

并且注意到$|b_{I_{k}}-b_{J}|\leq C2^{k\alpha}\|b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}$, 所以这里对$M_{3}^{+}$有如下估计.

因此, 据引理 2.3 可得$\|M_{3}^{+}(f)\|_{L^{p}(\omega)}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega)}.$

接下来利用引理 2.1 以及 Hölder 不等式给出$M_{4}^{+}$的估计. 令$\mu+\mu'=m.$

所以$\|M_{4}^{+}f\|_{L^{p}(\omega)}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega)}.$

综上估计,可得$\|S_{\vec b}^{+}\|_{\dot{F}_{p,+}^{m\alpha,\infty}(\omega)}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega)}.$

这样就得到了单边离散面积函数与 Lipschitz 函数生成的多线性交换子在单边 Triebel-Lizorkin 空间上的加权有界性. 对于$T_{\vec b}^{+}$, 主要利用$T^{+}$的$L^{r}$有界性以及上面的方法进行估计. 区别在于在处理与上面$\rm{D_{3}}$相似的作差部分时需要利用核条件(1.3)得到估计, 这里可以参见文献[10]的处理方法, 本文不再赘述.

综合上述估计, 定理 1.1 得证.

证明方法与定理 1.1 类似, 但细节上处理有所不同.

证 类似于$S_{\vec b}^{+}$的证明, 设$x\in\mathbb{R}, h>0,$且$J=[x,x+4h]$, 记$f=f_{1}+f_{2}$, 其中$f_{1}=f\chi_{J}, (b_{j})_{\lambda}=(b_{j})_{J}$$(1\leq j\leq m)$, 分为 4 部分进行估计.

为了控制$\rm{E_{1}}$, 我们定义

与定理 1.1 第一部分估计相似, 容易知${\rm E_{1}}\leq M_{5}^{+}(I_{\beta}^{+})f(x)$. 由引理 2.4, 设$\omega\in A^{+}_{(p,q)},$则$\omega^{q}\in A_{q}^{+}$, 由前面的估计可知$\ |M_{5}^{+}(I_{\beta}^{+})f(x)\|_{L^{q}(\omega^{q})}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}M^{+}(I_{\beta}^{+})f(x)$, 利用已知的$M^{+}$在$L^{q}(\omega^{q})$上有界, 和$I_{\beta}^{+}$的$(L^{p}(\omega^{p}),L^{q}(\omega^{q}))$有界性即可得到

下面估计${\rm E_{2}}$, 定义

不难看出${\rm E}_{2}\leq M_{6}^{+}f(x)$. 下面将证明$M_{6}^{+}f(x)$从$L^{p}(\omega^{p})$到$L^{q}(\omega^{q})$有界.

设$\omega\in A^{+}_{(\frac{1}{\beta},\infty)}$, 由文献[6]中的结果可知$\omega^{\frac{-1}{1-\beta}}\in A_{1}^{-}$. 那么由引理 2.2 知存在$t>1$使得$\omega^{\frac{-t}{1-\beta}}\in A_{1}^{-}$. 设$s, t>1$使得$s=t/(1-\beta)$且$1/r-1/s=\beta$. 应用 Hölder 不等式,$I_{\beta}^{+}$从$L^{r}(\mathbb{R})$到$L^{s}(\mathbb{R})$的有界性可得

上式最后一个不等式由$\omega^{-s}\in A_{1}^{-}$这个事实可以得到.

所以$\|\omega M_{6}^{+}f(x)\|_{\infty}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\omega\|_{\frac{1}{\beta}}$. 由引理 2.5, 对于$\omega\in A^{+}_{(p,q)}, 1/p-1/q=\beta$, 可得

对于$\rm{E_{3}}$, 设

其中

考虑$C_{c}^{\infty}\mathbb{(R)}$中的次线性算子

对于$j\in\mathbb{N}$, 令$I_{k}=[x,x+2^{k}h]$, 有

因此,$\|\omega M_{7}^{+}f(x)\|_{\infty}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\omega\|_{\frac{1}{\beta}}$. 由引理 2.5 则有

最后, 给出$\rm{E_{4}}$的估计. 依旧考虑下面$C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$上的次线性算子

利用 Hölder 不等式可以得到

所以,$\|\omega M_{8}^{+}f(x)\|_{\infty}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\omega\|_{\frac{1}{\beta}}$, 则$\|M_{8}^{+}f(x)\|_{L^{q}(\omega^{q})}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega^{p})}.$

根据上述的所有估计, 可得$\|I_{\vec b,\beta}^{+}\|_{\dot{F}_{q,+}^{m\alpha,\infty}(\omega^{q})}\leq C\|\vec b\|_{\mathrm{Lip}_{\alpha}}\|f\|_{L^{p}(\omega^{p})}.$

定理 1.2 的证明完毕.