具有非局部效应的时滞SEIR系统的周期行波解
Periodic Traveling Wave Solutions of Delayed SEIR Systems with Nonlocal Effects
通讯作者:
收稿日期: 2023-02-6 修回日期: 2023-08-16
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Received: 2023-02-6 Revised: 2023-08-16
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作者简介 About authors
张广新,E-mail:
宋雪,E-mail:
该文研究了一类具有非局部效应和非线性发生率的时滞 SEIR 系统的周期行波解. 首先, 定义基本再生数ℜ0并构造适当的上下解, 将周期行波解的存在性转化为闭凸集上非单调算子的不动点问题, 利用 Schauder 不动点定理结合极限理论建立该系统周期行波解的存在性. 其次, 利用反证法结合比较原理, 建立当基本再生数ℜ0<1时该系统周期行波解的不存在性.
关键词:
In this paper, the periodic traveling wave solutions to a class of delayed SEIR systems with nonlocal effects and nonlinear incidence are investigated. Firstly, the existence of periodic traveling waves is transformed into the fixed point problem of an non-monotone operator defined on a closed convex set by defining the basic reproducing numberℜ0and constructing appropriate upper and lower solutions, and thus the existence of periodic traveling waves of the system is established by using Schauder fixed point theorem and limit theory. Secondly, the non-existence of periodic traveling wave solutions of the system is proved when the basic regeneration numberℜ0<1by contradictory arguments and comparison principle.
Keywords:
本文引用格式
张广新, 杨赟瑞, 宋雪.
Zhang Guangxin, Yang Yunrui, Song Xue.
1 引言
周期行波解的 (不) 存在性, 其中S(t,x),I(t,x),R(t,x)分别表示易感者, 感染者和治愈者的密度,β(t)和γ(t)分别表示感染率和恢复率.
的周期行波解, 通过构造适当的上下解, 结合 Schauder 不动点定理和极限理论建立系统 (1.4) 周期行波解的存在性, 利用反证法和比较原理建立系统 (1.4) 周期行波解的不存在性. 与系统 (1.1) 相比,E(t,x)表示携带者的密度, 核函数
注意到, 当f(S(t,x),I(t,x))=S(t,x)I(t,x)时, 系统 (1.4) 退化为系统 (1.2). 因此, 本文推广了 Wang 等[7]对具有双线性发生率的系统 (1.2) 和 Wu 等[8]对无时滞系统 (1.3) 的研究, 完善了非线性发生率的传染病系统周期行波解的研究结果. 另外, 在建立系统 (1.4) 周期行波解的存在性时, 由于时间周期性和时滞的同时出现, 常用的下一代矩阵法不再适用, 为此借助次代算子法定义基本再生数ℜ0. 而且, 由于 Schauder 不动点定理不能直接应用于周期系统, 为了克服这一缺陷, 需要定义具有周期性的闭凸集并在其上定义非单调算子, 从而将周期行波解的存在性转化为非单调算子的不动点问题, 再利用上下解结合不动点定理得到系统 (1.4) 周期行波解的存在性.
下面给出本文用到的假设条件
(A1)f(S,I)对S,I≥0是二阶连续可微的, 并且f(0,I)=f(S,0)=0,(S,I>0).
(A2)当S>0,I>0时,∂2f(S,I)=∂f(S,I)∂I>0,∂22f(S,I)=∂2f(S,I)∂I2≤0; 当I≥0时,∂1f(S,I)=∂f(S,I)∂S>0且对所有S≥0有界.
因为系统 (1.4) 中的第二个和第四个方程相对独立, 故仅需考虑系统 (1.4) 的子系统
系统 (1.5) 的周期行波解是指形如
(1.5) 式的解. 对任意的(t,z)∈R2, 满足
这里(\phi_+(t,z),\psi_+(t,z))和(\phi_-(t,z),\psi_-(t,z))是系统 (1.5) 相应 Kinetic 系统
的周期解. 将 (1.6) 式代入 (1.5) 式, 可得相应 (1.5) 式的行波系统为
因此, 系统 (1.5) 的周期行波解也就是研究系统 (1.8) 满足渐近边界条件
的周期解, 其中S_0和S^\infty分别是疾病开始传播时易感个体的数量和疾病传播后易感个体的数量.
2 周期行波解的存在性
本节建立系统 (1.4) 周期行波解的存在性. 首先借助 Zhao[10] 提出的周期时滞模型基本再生数理论, 通过次代算子的方法定义基本再生数并构造 (1.8) 式的上下解, 然后在截断区间上定义闭凸集, 将周期行波解的存在性转化为定义在这个闭凸集上的非单调算子的不动点问题, 再利用 Schauder 不动点定理结合极限理论建立系统 (1.4) 周期行波解的存在性.
2.1 基本再生数
记Y=C\left([-\tau,0],\mathbb{R}\right),\:Y^+=C\left([-\tau,0],\mathbb{R}_+\right).令C_T\subset C(\mathbb{R})表示所有T周期连续函数组成的集合, 因此,C_T是有序 Banach 空间.
将 (1.7) 式的第二个方程在无病平衡点(S_0,0)处线性化得
记L(t,s)\:=\:{\rm e}^{-\int_s^t\gamma(r){\rm d}r},(t,s)\:\in\:\mathbb{R}^2, \:\:t\geq s.\:\:\vartheta\:\in\:C_T\:表示感染个体的初始分布, 定义乘积算子F(t)\text{:}C_T\rightarrow C_T,
对任意给定的s\geq0,F(t-s)\vartheta_{t-s}表示由[t-s-\tau,t-s]这段时间内被感染个体产生的t-s时刻的新感染个体的数量. 从而, 对任意的t\geq s,L(t,t\:-\:s)F(t\:-\:s)\vartheta_{t-s}表示t-s时刻新感染个体持续到t时刻仍为感染个体的数量, 则t时刻累积新感染个体的数量为
从而, 可以定义次代算子\mathcal{L}为\begin{bmatrix}\mathcal{L}\vartheta\end{bmatrix}(t):=\int_0^\infty L(t,t\:-\:s)F(t\:-\:s)\vartheta(t\:-\:s){\rm d}s\:.受文献[10]的启发, 定义基本再生数\Re_{0}:=r(\mathcal{L}), 其中r(\mathcal{L})为算子\mathcal{L}的谱半径. 本文第 2 节总假定\Re_{0}>1.
2.2 上下解
首先给出系统(1.8)的上下解定义.
定义 2.1 假设 (A_{1})-(A_{2})成立, 若(\phi^{+}(t,z),\psi^{+}(t,z))和(\phi^{-}(t,z),\psi^{-}(t,z))满足
则称(\phi^{+}(t,z),\psi^{+}(t,z))和(\phi^{-}(t,z),\psi^{-}(t,z))分别为(1.8)式的上解和下解.
将 (1.5) 式的第二个方程在无病平衡点(S_0,0)处线性化得
则对任意的\mu>0, 将I(t,x)\text{:}=\:{\rm e}^{\mu x}\eta(t)代入 (2.3) 式中, 可得
又因为\int_{\mathbb{R}}\Gamma(t,t-\tau;y){\rm e}^{\mu y}{\rm d}y={\rm e}^{-\int_{t-\tau}^t\gamma_L(s){\rm d}s}{\rm e}^{d_L\tau\mu^2}, 所以
下面定义 (2.5) 式的解半流I_t^\mu(\varphi)(s)=I(t+s;\varphi;\mu),\forall s\in[-\tau,0),t>0, 其中I(t;\varphi;\mu)是初值\varphi\in Y^{+}时 (2.5) 式的解. 进一步, 定义Y^{+}\rightarrow Y^{+}的 Poincaré映射P_{\mu}=I^{\mu}_{T}(\varphi), 记\rho(\mu)为P_{\mu}的谱半径,\rho_{0}=\rho(0)为方程 (2.1) Poincaré映射的谱半径. 根据文献 [10,定理 2.1] 知\Re_{0}-1与\rho_{0}-1符号相同. 由于\Re_{0}>1, 从而\rho(\mu)>\rho_{0}>1. 记\lambda(\mu):=\frac{\ln\rho(\mu)}{T}. 根据文献[11,命题 2.1] 知, 存在T周期函数K_\mu(t)使得\eta_\mu(t)\text{=}{\rm e}^{\lambda(\mu)t}K_\mu(t)是 (2.5) 式的一个解.
定义函数\Phi(\mu)=\frac{\lambda(\mu)}{\mu},\mu\in(0,\infty), 由文献[12,引理 3.8] 可知存在\mu^{\ast},c^{\ast}\in(0,\infty), 使得c^*=\Phi(\mu^*)=\operatorname*{inf}\limits_{\mu>0}\Phi({\mu}). 进一步, 对任意给定的c>c^{\ast}, 存在\mu_{1}(c),\mu_{2}(c)满足0<\mu_{1}<\mu_{2}<\infty, 使得\Phi(\mu_{1})=c且\Phi(\mu)<c, \forall \mu\in(\mu_{1},\mu_{2}). 由上面的讨论可知,K_{\mu_1}(t)满足线性方程
定义函数
其中\varepsilon_i>0,M_i>0,i=1,2为待定常数, 且\varepsilon_2\in\big(0,\mu_2-\mu_1\big),\mu_{\varepsilon_2}=\mu_1+\varepsilon_2,则有c^*<c_{\varepsilon_2}:=\Phi(\mu_{\varepsilon_2})<c.令\lambda\left(\mu_{\varepsilon_2}\right)=\frac{\ln\rho\left(\mu_{\varepsilon_2}\right)}{T}, 则存在一个正T周期函数K_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)使得\eta_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)={\rm e}^{\mu_{\varepsilon_2}z}K_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)是 (2.5) 式的解. 因此,K_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)满足
引理 2.1 函数\phi^{+}(t,z)=S_{0}满足
证 由条件 (A_{1})可知,f(\phi^{+}(t,z),\psi^{-}(t,z))\geq0, 从而 (2.8) 式显然成立. 证毕.
引理 2.2 假设0<\varepsilon_{1} <\min\{\mu_{1},\frac{c}{d_{1}}\}充分小且M_{1} >1充分大, 则对任意的z\neq z_{1} :=-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\ln M_{1}, 函数\phi^{-} (t,z)满足
证 若z>-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\ln M_{1}, 则\phi^{-} (t,z)=0, 从而 (2.9) 式成立. 若z<-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\ln M_{1}, 则\phi^-(t,z)=S_0(1-M_1{\rm e}^{\varepsilon_1z})且\psi^+\left(t,z\right)={\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}\left(t\right).此时, (2.9) 式等价于
由条件 (A_{1})和 (A_{2})可知,f(S_0(1-M_1{\rm e}^{\varepsilon_1z}),{\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}(t))<f(S_0,{\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}(t)), 再利用微分中值定理可得f(S_0,{\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}(t))\leq\partial_{2} f(S_0,0){\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}(t). 又因为0<\varepsilon_{1}<\mu_{1}, 从而
为了证明 (2.10) 式, 只需证明
注意到\beta(t),K_{\mu_1}(t)是正周期函数, 取0<\varepsilon_1<\min\big\{\mu_1,\frac{c}{d_1}\big\}充分小且M_{1}>1充分大, 则 (2.11) 式成立. 证毕.
引理 2.3 函数\psi^{+}(t,z)满足
证 由\psi^+\left(t,z\right)={\rm e}^{\mu_1z}K_{\mu_1}\left(t\right)和K'_{\mu_1}(t)的定义式可得
由微分中值定理和条件 (A_{2})可知
所以
从而 (2.12) 式成立. 证毕.
引理 2.4 假设0<\varepsilon_{2}<\min\{\varepsilon_{1},\mu_{2}-\mu_{1}\}充分小以及满足\max\limits_{t\in [T]}\frac{1}{\varepsilon_{2}}\ln\frac{K_{\mu_{1}}(t)}{M_{2}K_{\mu_{\varepsilon_{2}}} (t)} <-\frac{1}{\varepsilon_{1}} \ln M_{1}的正数M_{2}充分大, 则当z\neq z_{2}(t):=\frac{1}{\varepsilon_{2}}\ln\frac{K_{\mu_{1}}(t)}{M_{2} K_{\mu_{\varepsilon_{2}}}(t)}, 函数\psi^{-}(t,z)满足
证 若z>z_{2}(t), 则\psi^{-}(t,z)=0, 此时, (2.13) 式显然成立. 若z<z_{2}(t)<z_{1}, 则
此时, (2.13) 式等价于
根据K'_{\mu_1}(t)和K'_{\mu_{\varepsilon_{2}}}(t)的定义式, 计算 (2.14) 式的左边, 可得
其中\tilde{H}(t):=(c\!-\!c_{\varepsilon_2})\mu_{\varepsilon_2}K_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)-\beta(t-\tau)\partial_2f\big(S_0,0)({\rm e}^{-\mu_{\varepsilon_2}c\tau}\!-\!{\rm e}^{-\mu_{\varepsilon_2}c_{\varepsilon_2}\tau})\int_{\mathbb{R}}\Gamma(t,t-\tau;y){\rm e}^{-\mu_{\varepsilon_2}y} \times K_{\mu_{\varepsilon_2}}(t-\tau){\rm d}y 且 \tilde{H}(t)>0, 另一方面, 计算 (2.14) 式的右边, 可得
因此, 由 (2.15) 和 (2.16) 式, 只需证明
因为\beta(t),K_{_{\mu_1}}(t),\Gamma(t,t-\tau;\cdot)是正周期函数, 取M_{2}充分大时, 则 (2.17) 式成立, 故 (2.13) 式成立. 证毕.
2.3 有界区间上的不动点问题
令z^{\ast}=\max\limits_{t\in [T]}(-z_{2}(t)), 其中z_{2}(t)=\frac{1}{\varepsilon_{2}}\ln\frac{K_{\mu_{1}}(t)}{M_{2} K_{\mu_{\varepsilon_{2}}}(t)}(z_{2}(t)<0). 对任意的l>0, 设C_{l}:=C(\mathbb{R}\times[-l,l],\mathbb{R}^{2}). 取l>z^{\ast}, 定义集合
则对任意给定的(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})\in\Gamma_l,定义两个函数
和两个映射
这里\alpha_{i},i=1,2是两个正常数分别满足\alpha_1\geq\underset{t\in[T]}{\text{max}}\beta(t)N,\alpha_2\geq\underset{t\in[T]}{\text{max}}\gamma(t), 其中常数N满足\partial_1f(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})\leq N. 显然, 对任意l>z^{\ast},\chi_{l}[\tilde{\phi}](t,\cdot)和\chi_{l}[\tilde{\psi}](t,\cdot)是关于t的T周期函数.
记\mathcal{A}_i\varphi=d_i\varphi_{zz}-c\varphi_z-\alpha_i\varphi,i=1,2\text{.}对任意给定的(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})\in\Gamma_l,考虑如下线性抛物系统的初边值问题
其中\phi_0,\psi_0\in\left[-l,l\right],G_1\left(t,z\right)=\frac{1}{2}\phi^-\left(t,-l\right)-\frac{z}{2l}\phi^-\left(t,-l\right),G_2(t,z)\text{=}\frac{1}{2}\psi^-(t,-l)-\frac{z}{2l}\psi^-(t,-l),(t,z)\in(0,T)\times[-l,l]. 显然G_1(t,\pm l)=\phi^-(t,\pm l),G_2(t,\pm l)=\psi^-(t,\pm l),\forall t\in\Bbb R.G_i\in C^{1,2}(\mathbb{R}\times[-l,l]),i=1,2,是在时间t上的T周期函数.
令V_1(t,z)=\phi(t,z)-G_1(t,z),V_2(t,z)=\psi(t,z)-G_2(t,z),\widetilde{G}_i(t,z)=\mathcal{A}_i G_i(t,z)-\partial_{t}G_i(t,z),i=1,2, 则 (2.18) 式化为关于(V_{1},V_{2})具有齐次边界条件的初边值问题
定义\mathcal{B}_i\varphi=\mathcal{A}_i\varphi,D\left(\mathcal{B}_i\right)=\Big\{\varphi\in\bigcap\limits_{p\geq1}W^{2,p}_{\text{loc}}:\varphi,\mathcal{A}_i\varphi\in C\left(\left[-l,l\right]\right),\varphi\left(\pm l\right)=0\Big\},i=1,2, 则\mathcal{B}_i:D(\mathcal{B}_i)\subset C([- l,l])\to C\big([- l,l])生成强连续解析半群T_i(t)_{t\geq0}:
其中\Gamma_{i}是d_{i}\partial_{xx}-c\partial_{x}关于 (2.18) 式中 Dirichlet 边界条件的 Green 函数,i=1,2.将 (2.19) 式改写为
由V_{i}(t,z)\ (i=1,2)的定义结合 (2.20) 式, 可得
从而系统 (2.21) 的任意连续解是系统 (2.19) 的一个 mild 解. 另外, 考虑到f_i[\tilde{\phi},\tilde{\psi}]\in C(\mathbb{R}\times[-l,l]),i=1,2,且\phi_0(z),\psi_0(z)\in C([-l,l]),根据文献[13,定理 5.1.18,定理 5.1.19] 可知, 对于满足 (2.19) 式关于时间的可微函数\phi和\psi, 对任意的\varepsilon\in(0,2T),\theta\in(0,1), 有\phi,\psi\in C\left(\left[2T\right]\times\left[-l,l\right]\right) \cap C^{\theta,2\theta}\left(\left[\varepsilon,2T\right]\times\left[-l,l\right]\right)成立.
定义如下集合
则\Gamma_{l}^{\prime}是C([-l,l],\mathbb{R}^{2})上具有上确界范数的闭凸集.
引理 2.5 任意给定(\phi_{0},\psi_{0})\in\Gamma_{l}^{\prime}, 记(\phi_{l} (t,z;\phi_{0},\psi_{0}),\psi_{l} (t,z;\phi_{0},\psi_{0}))是系统(2.21)以(\phi_{0},\psi_{0})为初值的解, 则对所有的t>0,z\in[-l,l], 有
证 对所有的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l],有\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0)\le\phi^+(t,z). 令
这里(t,z)\in(0,\infty)\times\mathbb{R}. 因为\alpha_1>\underset{t\in[T]}{\text{max}}\beta(t)N,则对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 有
这是因为: 为使
只需使
因此当\alpha_{1}\geq\beta(t)\partial_{1}f(\tilde{\phi}(t,z),\tilde{\psi}(t,z))时, 由条件 (A_{2})中:\partial_{1}f(S,I)>0且对所有S\geq0有界可知, 存在正常数N使得\partial_{1}f(\tilde{\phi}(t,z),\tilde{\psi}(t,z))\leq N, 所以当\alpha_1>\underset{t\in[T]}{\text{max}}\beta(t)N时, 可以得到f_1[\tilde{\phi},\tilde{\psi}](t,z)\leq f_1[\phi^+,\psi^-](t,z).那么对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 可得\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\overline{\phi}(t,z;\phi_0,\psi_0). 又因为当\theta\in(0,1)时, 有f_1[\phi^+,\psi^-]\in C^{\frac{\theta}{2},\theta}(\mathbb{R}\times[-l,l]),G_{1}(\cdot,\cdot)\in C^{1,2}(\mathbb{R}\times[-l,l])且\overline{\phi}_{0}(\cdot)\in C([-l,l]), 从而由文献[13,定理 5.1.18] 可知, 对任意的\delta>0, 有\partial_t\overline{\phi},\mathcal{A}_1\overline{\phi}\in C^{\frac{\theta}{2},0}([\delta,+\infty)\times[-l,l]).又由文献[13,定理 5.1.19] 可知, 对任意的\delta>0, 有\partial_t\overline{\phi},\mathcal{A}_1\overline{\phi}\in C^{0,\theta}([\delta,+\infty)\times[-l,l]), 所以\partial_t\overline{\phi},\mathcal{A}_1\overline{\phi}\in C^{\frac{\theta}{2},\theta}([\delta,+\infty)\times[-l,l]). 此外, 由文献[13,定理 5.1.18 和定理 5.1.19] 可知,\overline{\phi}在(0,\infty)\times[-l,l]上关于t是可微的,且对任意的p\geq1, 有\overline{\phi}(t,\cdot)\in W_{loc}^{2,p}((-l,l)), 其中W_{loc}^{2,p}((-l,l))=\{u|u\in L_{loc}^{p}((-l,l)), D^{r}u\in L_{loc}^{p}((-l,l)), \forall|r|\leq2\}.因此, 由空间W_{loc}^{2,p}((-l,l))的定义并结合\overline{\phi}_{0}(\cdot)\in C([-l,l]), 以及\overline{\phi}在(0,\infty)\times[-l,l]上关于t是可微的, 从而有\overline{\phi}\in C([l])\cap C^{1,2}((0,+\infty)\times[-l,l])并满足
另一方面, 由引理 2.1 可知,\phi^{+}满足
由比较原理可知,\overline{\phi}(t,z)\leq\phi^+(t,z),\forall(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l].因此, 对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l],有\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\overline{\phi}(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\phi^+(t,z)\text{.}
下证对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 有\phi^-\left(t,z\right)\leq\phi_l\left(t,z;\phi_0,\psi_0\right). 令
这里(t,z)\in(0,\infty)\times\mathbb{R}. 因为\alpha_1>\underset{t\in[T]}{\text{max}}\beta(t)N,则对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 有f_1[\phi^-,\psi^+](t,z)\leq f_1[\tilde{\phi},\tilde{\psi}](t,z),即对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l],有\underline{\phi}(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0). 类似于\overline{\phi}的讨论, 有
令\underline{\phi}^*\equiv0,则\underline{\phi}^*满足\underline{\phi}_t^*(t,z)-\mathcal{A}_{1}\underline{\phi}^*(t,z)\leq f_1[\phi^-,\psi^+](t,z),(t,z)\in\big(0,\infty\big)\times\big[-l,l],由抛物比较原理可得, 对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l],有\underline{\phi}(t,z)\geq0, 然后根据引理 2.2 得
其中z_{1}已在引理 2.2 中定义, 再次利用抛物比较原理得\phi^-(t,z)\leq\underline{\phi}(t,z),\forall(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,z_1],所以\phi^-(t,z)\leq\underline{\phi}(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0),结合\phi_l(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\overline{\phi}(t,z;\phi_0,\psi_0)\leq\phi^+(t,z), 可得\phi^-\left(t,z\right)\leq\phi_l\left(t,z;\phi_0,\psi_0\right)\leq\phi^+\left(t,z\right).同理可得, 对任意的(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 有\psi^-\left(t,z\right)\leq\psi_l\left(t,z;\phi_0,\psi_0\right)\leq\psi^+\left(t,z\right).证毕.
对任意给定的(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})\in\Gamma_{l},定义\Gamma'_{l}\to C([-l,l],\mathbb{R})的映射F_{(\tilde{\phi},\tilde{\psi})},
这里(\phi_l(t,\cdot;\phi_0,\psi_0),\psi_l(t,\cdot;\phi_0,\psi_0))是 (2.21) 式以\text{(}\phi_0,\psi_0\text{)}\in\Gamma'_l为初值的解. 由引理 2.5 可知,F_{(\tilde{\phi},\tilde{\psi})}(\Gamma'_l)\subset\Gamma'_l.此外\Gamma'_l是完备的距离空间. 由解析半群T_{i}(t)和 (2.21) 式可知, 对任意的\left(\phi_0^i,\psi_0^i\right)\text{}\in\Gamma_l',i=1,2,有
由于{\rm e}^{-\alpha_{i}T}<1,\text{}i=1,2,故F_{(\tilde{\phi},\tilde{\psi})}:\Gamma'_l\rightarrow\Gamma'_l是压缩映射. 则由 Banach 不动点定理, 可知F_{(\tilde{\phi},\tilde{\psi})}在\Gamma'_l上存在唯一的不动点\left(\phi_0^*,\psi_0^*\right). 令\left(\phi_l^*\left(t,z\right),\psi_l^*\left(t,z\right)\right):=\left(\phi_l^*\left(t,z;\phi_0^*,\psi_0^*\right),\psi_l^*\left(t,z;\phi_0^*,\psi_0^*\right)\right)为 (2.21) 式以\left(\phi_0^*,\psi_0^*\right)为初值的解, 这里(t,z)\in(0,\infty)\times[-l,l], 那么, 由解的唯一性可得,(\phi_l^*(t+T,z),\psi_l^*(t+T,z))=(\phi_l^*(t,z),\psi_l^*(t,z)).进一步, 通过定义
其中k\in\mathbb{Z}满足kT<t<(k+1)T, 则\text{(}\overset{\text{.}}{\phi_l^{\ast},\psi_l^{\ast}}\text{)}(t,\cdot)的定义区间可以延拓至整个\mathbb{R}, 同时保证对所有z\in\left[-l,l\right],\left(\phi_l^*,\psi_l^*\right)关于t\in\mathbb{R}是T周期的. 此外, 由引理 2.5 知\left(\phi_l^*(t,z), \psi_l^*(t,z)\right)\in\Gamma_l.于是, 对所有的(t,z)\in(s,\infty)\times[-l,l], 可知\left(\phi_l^*,\psi_l^*\right)满足
由上述讨论可知, 对任意给定的(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})\in\Gamma_l,存在唯一的\left(\phi_l^*,\psi_l^*\right) \in\Gamma_l 使得 (2.24) 式成立. 因此, 由此定义的\Gamma_{l}\rightarrow\Gamma_{l}上的算子\mathcal{F}, 满足\mathcal{F}(\tilde{\phi}, \tilde{\psi})=(\phi_l^*,\psi_l^*).
引理 2.6\mathcal{F}:\Gamma_{l}\rightarrow\Gamma_{l}是一个全连续算子.
证明类似文献[7], 故此省略.
由引理 2.6, 结合 Schauder 不动点定理可知\mathcal{F}存在不动点\left(\phi_l^*,\psi_l^*\right) \in\Gamma_l. 特别地, 对任意的t\in\mathbb{R}可得\left(\phi_l^*(t+T,\cdot),\psi_l^*(t+T,\cdot)\right)\text{=}(\left(\phi_l^*(t,\cdot),\psi_l^*(t,\cdot)\right).进一步, 存在常数\theta\in(0,1)使得\phi^*_l, \psi^*_l\in C^{\frac{\theta}{2},\theta}(\mathbb{R}\times[-l,l]), 再利用文献[13,定理 5.1.18 和定理 5.1.19] 可知,\phi_{l}^{*}, \psi_{l}^{*}满足
下面定理给出\phi_l^*,\psi_l^*的局部一致估计.
引理 2.7 令p\geq2. 对任意给定的Z>0, 存在常数B(p,Z)>0, 使得对充分大的l>\max\{Z,z^{\ast}\}, 有
进一步, 存在常数B^{\prime}(Z)>0, 使得对任意的z_{0} \in\mathbb{R}和充分大的l>\max\{Z+|z_{0}|,z^{\ast}\}, 均有
其中\theta\in (0,1)是一个常数.
证 固定Z>0和z_{0}\in\mathbb{R}, 令l>\max\{Z+|z_{0}|,z^{\ast}\}. 因为\left(\phi_l^*,\psi_l^*\right) \in\Gamma_l 且满足 (2.25) 式, 则存在与l无关的正常数M, 使得
令\hat{\phi_l}\left(t,z\right)\text{:}={\rm e}^{-\frac{c\left(z-z_0\right)}{2d_1}}\phi_l^*\left(t,z\right),\hat{\psi_l}\left(t,z\right)\text{:}={\rm e}^{-\frac{c\left(z-z_0\right)}{2d_2}}\psi_l^*\left(t,z\right),\forall t\in\mathbb{R},\text{}z\in[-l,l],则对任意的t\in\mathbb{R},\text{}z\in[-l,l],\hat{\phi_l},\hat{\psi_l}满足
对任意的r>0和t',z'\in\mathbb{R}, 令\mathcal{Q}((t',z'),r):=\{(t,z)\in\mathbb{R}^2:|t-t'|<r,|z-z'|<r,t<t'\}, 取R=\max\big\{2Z,\sqrt{3T}\big\}, 定义
由文献[14,性质 7.14], 对l>72R+\left|z_0\right|存在不依赖于l的常数B_1(p,R)>0使得
结合\hat{\phi_l}和\hat{\psi_l}的定义可知, 存在不依赖于l的常数B_2(p,R)使得
另外, 由文献[14,性质 7.18] 可知, 存在不依赖于l的常数B_3(p,R)使得
因此, 存在不依赖于l的常数B(p,R), 使得
注意到[T]\times[- Z,Z]\subset\mathcal{Q}((2T,z_0), 2R)且R只依赖于Z. 那么,\left\|\phi_l^*\right\|_{W_p^{1,2}([T]\times[-Z,Z])}\leq B,\left\|\psi_l^*\right\|_{W_p^{1,2}([T]\times[-Z,Z])}\leq B.取p>3, 由空间W_p^{1,2}([T]\times[-Z,Z])=\{u|u\in L_{p}([T]\times[-Z,Z]), D_{t}^{r}D_{x}^{s}u\in L_{p}([T]\times[-Z,Z]), \forall 2r+|s|\leq2\}的定义以及文献[15,定理 5.5.5] (嵌入定理) 可知, 当p>3,n=1,u\in W_{p}^{1,2}([T]\times[-Z,Z]), \partial([-Z,Z])\in C^{2}(\mathbb{R})时, 则满足定理 5.5.5 中的p>\frac{3}{2}且\alpha=2-\frac{3}{p}不是整数(1<\alpha<2), 从而有u\in C^{\frac{\alpha}{2},\alpha}([T]\times[-Z,Z]), 并且|u|_{C^{\frac{\alpha}{2},\alpha}([T]\times[-Z,Z])}\leq C\|u\|_{W_p^{1,2}([T]\times[-Z,Z])} (C为常数). 因此, 对某个\theta\in(0,1)和z_{0}\in\mathbb{R}, 有W_{p}^{1,2}([T]\times[-Z,Z])\hookrightarrow C^{\frac{1+\theta}{2},1+\theta}([T]\times[z_0-Z,z_0+Z]), 故\phi_l^*,\psi_l^*\in C^{\frac{1+\theta}{2},1+\theta}([T]\times[z_0-Z,z_0+Z]), 进而存在不依赖于l的常数B'(p,R)使得
证毕.
2.4 周期行波解的存在性
定理 2.1 若\Re_0>1且c>c^*时,则系统(1.4)存在周期行波解(\phi^{*}(t,z),\psi^{*}(t,z)).
证 对\forall m\in\mathbb{N}, 令l_{m}是递增序列满足l_{m}>z^{\ast}且\lim\limits_{m\to+\infty}l_m=+\infty, 由前面的讨论可知,\left(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*\right)\in\Gamma_{l_{m}}满足 (2.25) 式和引理 2.7. 由引理 2.7 以及(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*)关于t\in\mathbb{R}的周期性, 可知存在(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*)的子列, 不妨仍记为(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*)以及\left(\phi^*,\psi^*\right)\text{}\in C\left(\mathbb{R}^2\right)使得在C^{\frac{1+\beta}{2},1+\beta}_{loc}(\mathbb{R}^2),H^1_{loc}(\mathbb{R}^2)以及L_{loc}^2\left(\mathbb{R},H_{loc}^2\left(\mathbb{R}\right)\right)中有
其中\beta\in\left(0,\theta\right),\theta\in\left(0,1\right). 显然
因为(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*)是T-周期函数, 所以对(t,z)\in\mathbb{R}^{2}, 有
进一步, 由 (2.27) 式可知, 对所有的l>0, 存在与l无关的常数B_{4}>0使得
对给定的u,\nu \in C^\infty_0\left(\mathbb{R}^2\right), 对于任意足够大的m, 有\text{supp}(u)\times\text{supp}(\nu)\subset\mathbb{R}\times(-l_m,l_m). 那么,(\phi_{l_m}^*, \psi_{l_m}^*)满足
和
由勒贝格控制收敛定理可知, 当m\rightarrow\infty时, 对任意的(t,z)\in\mathbb{R}^{2}都有
结合 (2.27) 和 (2.29)-(2.31) 式可知,\phi^*,\psi^*满足
和
由u,\nu\in C^\infty_0\left(\mathbb{R}^2\right)的任意性, 可知\left(\phi^{*}, \psi^{*}\right)在(t,z)\in\mathbb{R}几乎处处满足
考虑如下柯西问题
由文献[13,定理 5.1.3、定理 5.1.4] 可知\left(\phi^{*}, \psi^{*}\right)是 (2.32) 式的唯一解, 进而, 对于某个\theta\in(0,1),\phi^*,\psi^* \in C^{1+\frac{\theta}{2},2+\theta}(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\mathbb{R})满足行波方程 (1.8), 即
且有
证毕.
定理 2.2 假设\mathfrak{R}_0>1,c>c^*\text{},则系统(1.8)的周期解满足
证 由定理 2.1 可知
因此, 对任意的t\in\mathbb{R}, 有\lim\limits_{z\to-\infty}\phi^*(t,z)=S_0,\lim\limits_{z\to-\infty}\psi^*(t,z)=0一致成立. 由 (2.34) 式和文献[16]中的 Landau 型不等式可知, 当\phi^*(t,z):[T]\times(-\infty,N]\rightarrow\mathbb{R}关于z二阶可微且\phi^*(t,z),\partial_{zz}\phi^*(t,z)\in L^{p}([T]\times(-\infty,N]),p\in[\infty]时, 有\partial_{z}\phi^*(t,z)\in L^{p}([T]\times(-\infty,N]), 其中N\in\mathbb{R}_{+}是正常数 (且可以充分大). 并且, 当p=\infty, 常数C_{\infty}(\mathbb{R}_{+})=2时, 有
同理可得
因此, 对t\in\mathbb{R}, 有\lim\limits_{z\to-\infty}(\partial_z\phi^*,\partial_z\psi^*)=(0,0)一致成立. 进一步, 对 (2.33) 式两边关于z微分, 可得
类似 (2.34) 式的证明, 由\phi^*,\psi^*的周期性及文献[13,定理 5.1.3、定理 5.1.4] 可知, 对任意的\theta\in(0,1), 有
同理, 由 Landau 型不等式可知\lim\limits_{z\to-\infty}(\partial_{zz}\phi^*,\partial_{zz}\psi^*)=(0,0)关于t\in\mathbb{R}一致成立.
令\Phi(z)=\frac{1}{T}\int_0^T\phi^*(t,z)\text{}{\rm d}t, 由 (2.33) 式的第一个方程可知,
因为\Phi(-\infty)=S_{0}且\lim\limits_{z\to-\infty}\partial_z\Phi(z)=0, 对 (2.35) 式从-\infty到z关于z积分, 可得
由于\phi^*(t,z),\partial_z\phi^*(t,z)一致有界, 则\Phi(z)=\frac{1}{T}\int_0^T\phi^*(t,z){\rm d}t, \partial_{z}\Phi(z)=\frac{1}{T}\int_0^T\partial_{z}\phi^*(t,z){\rm d}t一致有界, 从而\int_0^T\beta(t)f(\phi^*(t,z), \psi^*(t,z)){\rm d}t在\mathbb{R}上可积. 对 (2.35) 式两边同乘\frac{1}{d_1}{\rm e}^{-\frac{cz}{d_1}}并从z到+\infty关于z积分, 可得
因此, 对任意的z\in\mathbb{R}, 有\partial_z\Phi(z)<0. 又因为\Phi(z)是一致有界的, 所以\Phi(+\infty)存在且\Phi(+\infty)<\Phi(-\infty)=S_{0}.由 Barbalat's 引理[17]可知, 当z\rightarrow+\infty时,\partial_z\Phi(z)\rightarrow0. 在 (2.36) 式中令z\rightarrow+\infty, 则
其中S^\infty:=\Phi(+\infty)<S_0.
下证对任意的t\in\mathbb{R},有\lim\limits_{z\to+\infty}\psi^{*}(t,z)=0一致成立. 令\Psi(z)=\frac{1}{T}\int_0^T{\psi^{*}(t,z){\rm d}t},则\Psi(z)满足
其中\hat\gamma:=\mathop{\min}\limits_{t\in[T]}\gamma(t).令\hat\lambda^{\pm}:=\frac{c\pm\sqrt{c^2+4d_2\hat\gamma}}{2d_2}是特征方程-d_2\lambda^2+c\lambda+\hat\gamma=0的两相异实根. 定义\hat\rho:=d_2(\hat\lambda^{+}-\hat\lambda^{-})=\sqrt{c^2+4d_2\hat\gamma}.显然,\hat\lambda^{-}<0<\hat\lambda^{+}.则由 (2.38) 式, 可得
将 (2.39) 式从\zeta到\varsigma,可得
因为\int_{0}^{T}\int_{\mathbb{R}}\Gamma(t,t-\tau;y)\beta(t-\tau)f(\phi^{*}(t-\tau,z-c\tau-y),\psi^{*}(t-\tau,z-c\tau-y)){\rm d}y{\rm d}t在\mathbb{R}上可积, 根据 Fubini 定理[18]可知,\Psi(z)在\mathbb{R}上可积, 并有
及
因为\partial_z\psi^{*}(t,z)一致有界, 所以\partial_z\Psi(z)在\mathbb{R}上也有界. 因此由 Barbalat's 引理可知, 当z\to+\infty时,\Psi(z)\to0.另外, 由 (2.34) 式和\psi^{\ast}\in C^{1+\frac{\theta}{2},2+\theta}, 可知\partial_t\psi^*(t,z)在[T]\times\mathbb{R}上一致有界, 进而由\psi^*(t,z)的非负性和周期性可得, 当z\to+\infty时, 对任意的t\in\mathbb{R},有\psi^*(t,z)\to0一致成立.
进一步, 可以证明对任意的t\in\mathbb{R},有\lim\limits_{z\to+\infty}\phi^{*}(t,z)=S^{\infty}一致成立. 由于\phi^{*}有界则上下极限必存在, 故令
结合\phi^*的T周期性, 仅需证明S_{+}^{\infty}=S^{\infty}=S_{-}^{\infty}即可. 由 (2.40) 式可知, 存在序列\{t_n\}和\{z_n\},当n\to+\infty时有\{t_n\}\subset[T]且z_n\to+\infty,满足\lim\limits_{n\to+\infty}\phi^{*}(t_n,z_n)=S_+^\infty.令
由 (2.34) 式可知, 存在函数列(\phi_n(t,z),\psi_n(t,z))的子列 (仍记为(\phi_n(t,z),\psi_n(t,z))), 使得当n\to+\infty时,(\phi_n(t,z),\psi_n(t,z))\to(\phi_*(t,z),0)\in C_{loc}^{1+\frac{\theta}{2},2+\theta}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}).
注意到\phi_*(0,0)=S_+^\infty,且\phi_*(t,z)是T-周期函数, 并对任意的(t,z)\in\ \mathbb{R}\times\mathbb{R},有\phi_*(t,z)\le S_+^\infty.由于\{t_n\}\subset[T],故存在t^*\subset[T]使得当n\to+\infty时t_n\to t^*.令\phi_*^+(t,z):=\phi_*(t-t^*,z),由 (2.21) 式可知,\phi_*^+(t,z)满足
且\partial_t\phi_*^+=d_1\partial_{zz}\phi_*^+ -c\partial_z\phi_*^+.由于\phi_*^+(t^*,0)=S_+^\infty和\phi_*^+(t^*,z)\le S_+^\infty,则由最大值原理可知, 当t<t^*时, 有\phi_*^+(t,z)=S_+^\infty.即对任意的t\in\mathbb{R},有\frac{1}{T}\int_0^{T}\phi_*^+(t,z){\rm d}t=S_+^\infty.下面, 记\Phi_*^+(z):=\frac{1}{T}\int_0^{T}\phi_*^+(t,z){\rm d}t,则\Phi_*^+(z)=S_+^\infty.同时, 有
又因为\Phi(+\infty)=S^\infty,从而S_+^\infty=S^\infty.同理可证,S_-^\infty=S^\infty.因此\lim\limits_{z\to+\infty}\phi^*(t,z)=S^\infty关于t\in\mathbb{R}一致成立. 证毕.
3 周期行波解的不存在性
本节建立\Re_{0}<1时, 系统 (1.4) 周期行波解的不存在性.
定理 3.1 若\Re_{0}<1,则对任意的c\geq0,系统(1.4)不存在满足渐近边界条件(1.9)的周期行波解.
证 利用反证法, 则系统 (1.4) 存在满足渐近边界条件 (1.9) 的周期行波解(\phi^*,\psi^*). 显然, 对任意的t\in \mathbb{R}, 总有\phi(t,z)\leq S_0, 因此, 当t>0,z\in \mathbb{R}时, 有
记\xi:=\sup _{z \in \mathbb{R}} \psi(0, z)<\infty, 则\psi(0,z)\leq \xi, 由比较原理可知, 对任意的z\in \mathbb{R}有
这里\omega(t;\xi)是如下常微分初值问题
的解. 记\rho_{0}为方程 (3.3) Poincaré映射的谱半径, 则由\Re_{0}<1和文献[10,定理 2.1] 可知\Re_{0}-1与\rho_{0}-1符号相同, 即\rho(0)=\rho_{0}<1. 由文献[11,命题 2.1] 可知, 存在以T为周期的正函数H_{\mu}(t)使得\omega(t;\xi)={\rm e}^{\lambda(0)t}H_{\mu}(t)满足 (3.3), 其中\lambda(0)=\frac{\ln \rho(0)}{T}<0, 从而t\rightarrow\infty时\omega(t;\xi)收敛于0. 于是\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\psi(t,z)=0关于z\in \mathbb{R}一致成立, 这与\psi(t,\cdot)不恒等于0产生了矛盾. 证毕.
参考文献
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一类非局部扩散的SIR模型的行波解
Traveling wave solutions of a class of SIR model with nonlocal diffusion
一类具有时滞的反应扩散登革热传染病模型的行波解
Traveling wave of a reaction-diffusion dengue epidemic model with time delays
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The periodic traveling waves in a diffusive periodic SIR epidemic model with nonlinear incidence
带有外部输入项的时间周期SIR传染病模型的周期行波解
Periodic traveling wave solutions of a time-period SIR epidemic model with external supplies
Basic reproduction ratios for periodic compartmental models with time delay
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Asymptotic speeds of spread and traveling waves for monotone semiflows with applications. Comm.Pure Appl
Some Landau type inequalities for functions whose derivatives are of locally bounded variation
New versions of Barbalat's lemma with applications
DOI:10.1007/s11768-010-8178-z URL [本文引用: 1]
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