设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是具有内积 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 和范数 $\|\cdot\|$ 的两个实 Hilbert 空间, $C_{1}\subset H_{1}$ 和 $C_{2}\subset H_{2}$ 是两个非空闭凸子集. 令 $R, \rightarrow$ 和 $\rightharpoonup$ 分别为实数集, 强收敛和弱收敛. 设$S:C_{1}\mapsto C_{1}$ 是一个映射, 如果存在一个序列 $\{\theta_{n}\}\subset [1, \infty)$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\theta_{n}=1$, 那么称 $S$ 是渐近非扩张映射, 即 $\|S^{n}x-S^{n}y\|\leq\theta_{n}\|x-y\|, \forall n\geq 1, x, y\in C_{1}.$ 记 $S$ 的不动点集为 Fix$(S)$, 显然 Fix$(S)$ 是一个非空闭凸集.

均衡问题是当前的研究热点之一, 许多关于力学、优化理论和经济学等问题都与寻找均衡问题的解相关^[1⇓-3]. 近年来, 围绕构造有效的迭代方法来寻找均衡问题解的研究成果出现较多^{[4⇓⇓⇓-8]}.

设 $F_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 是二元函数, 均衡问题是指求一点 $x^{*}\in C_{1}$, 使得

问题 (1.1) 的解集记为 $EP(F_{1}).$

设 $\varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 是一个非线性二元函数, 广义均衡问题是指求一点 $x^{*}\in C_{1}$, 使得

问题 (1.2) 的解集记为 $GEP(F_{1}, \varphi_{1})$, 特别地, 如果 $\varphi_{1}=0$, 那么问题 (1.2) 转化为问题 (1.1).

最近, Withun^[9]考虑以下分裂广义均衡问题, 求一点 $x^{*}\in C_{1},$ 满足 (12) 式和

这里 $F_{1}, \varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 和 $F_{2}, \varphi_{2}:C_{2}\times C_{2}\mapsto \mathbb{R}$ 是非线性二元函数, $A:H_{1}\mapsto H_{2}$ 是有界线性算子. 定义分裂广义均衡问题 (1.2)-(1.3) 的解集为

变分不等式理论是研究纯粹数学和应用数学的多个分支问题的重要工具之一, 在现实中有诸多的应用, 如博弈论、信号处理和平衡问题等, 因此对解决变分不等式问题的可行迭代方法受到了很多的关注^{[10⇓⇓⇓⇓-15,22]}.

在 2008 年, Ceng 等^[16]在 Hilbert 空间 $H_{1}$ 中引入如下变分不等式系统, 即寻找 $(x^{*}, y^{*})\in C_{1}\times C_{1}$, 使得

这里 $\lambda_{1}>0, \lambda_{2}>0, A, B:C_{1}\mapsto H_{1}$ 是两个非线性映射, 问题 (1.5) 称为广义变分不等式系统.

在此基础上, 我们考虑更一般的变分不等式系统问题, 即寻找 $(u_{1}, u_{2},\cdots, u_{N})\in C_{1}\times C_{1}\times\cdots\times C_{1}$, 满足

这里 $a\in[0, 1)$, 对所有 $i\in(1, 2,\cdots, N), \lambda_{i}>0, B_{i}:C_{1}\mapsto H_{1}$ 是非线性映射. 若取 $N=2$, 那么问题 (1.6) 转化为文献 [17] 中的广义变分不等式系统问题; 若取 $a=0, N=2$, 那么问题 (1.6) 转化为问题 (1.5).

本文结合渐近非扩张映射的不动点问题、分裂广义均衡问题 (1.2)-(1.3) 和变分不等式系统 (1.6), 构造了一个修正的粘性迭代序列并证明了该生成序列强收敛到这三类问题的一个公共元.

设 $H$ 是实 Hilbert 空间, $C$ 是 $H$ 中的非空闭凸子集, 令 $F:C\mapsto H$ 是一个映射

(i) 如果 $\|Fx-Fy\|\leq\|x-y\|, \forall x, y\in C$, 那么称 $F$ 是非扩张的;

(ii) 如果存在一个常数 $\rho\in(0, 1)$, 使得 $\|Fx-Fy\|\leq\rho\|x-y\|, \forall x, y\in C$, 那么称 $F$ 是严格压缩映射;

(iii) 如果 $\langle Fx-Fy, x-y\rangle\geq0, \forall x, y\in C$, 那么称 $F$ 是单调的;

(iv) 如果存在一个常数 $b>0$, 使得 $\langle Fx-Fy, x-y\rangle\geq b\|Fx-Fy\|^{2}, \forall x, y\in C$, 那么称 $F$ 是 $b$-逆强单调的.

为证明本文结论, 还需要以下引理.

引理 2.1^[14] 设 $H$ 是实 Hilbert 空间, $C$ 是 $H$ 中的非空闭凸子集, 如果算子 $B:C\mapsto H$ 是 $b$-逆强单调的, 那么有

其中 $x, y\in C, \lambda>0,$ 如果 $0<\lambda<2b,$ 那么称 $I-\lambda B$ 是非扩张的.

引理 2.2^[18] 设 $X$ 是 Banach 空间, $\{x_{n}\}$ 和 $\{y_{n}\}$ 是 $X$ 中的有界序列, 序列 $\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$ 且 $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}{\beta_{n}}\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}{\beta_{n}}<1,$ 令 $x_{n+1}=\beta_{n}x_{n}+(1-\beta_{n})w_{n}, n\geq0$, 若

则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|w_{n}-x_{n}\|=0.$

引理 2.3 假设 $H_{1}$ 是 Hilbert 空间, $C_{1}\subset H_{1}$ 是非空闭凸集, 令 $B_{i}:C_{1}\mapsto H_{1}$ 是 $b_{i}$-逆强单调映射, 这里 $i=1, 2,\cdots, N$. 对所有的 $\lambda_{i}>0$ 和 $a\in[0, 1)$, 以下结果等价

(1) $(u_{1}, u_{2},\cdots, u_{N})\in C_{1}\times C_{1}\times\cdots\times C_{1}$ 是问题 (1.6) 的解;

(2) $u_{N}$ 是映射 $G$ 的不动点, 即 $u_{N}\in$ Fix$(G), \forall x\in C_{1}$, 映射 $G:C_{1}\mapsto C_{1}$ 定义为 $G(x)=P_{C_{1}}(I-\lambda_{N}B_{N})(ax+(1-a)P_{C_{1}}(I-\lambda_{N-1}B_{N-1})\cdots(ax+(1-a)P_{C_{1}}(I-\lambda_{1}B_{1})))\cdots x,$ 且 $u_{i}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{i}B_{i})(au_{N}+(1-a)u_{i-1}), u_{1}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{1}B_{1})u_{N}, i= 2, 3, \cdots, N.$

证 $(1)\Rightarrow(2)$ 设 $(u_{1}, u_{2},\cdots, u_{N})\in C_{1}\times C_{1}\times\cdots\times C_{1}$ 是问题 (1.6) 的解, $\forall x\in C_{1}$, 则

由 $P_{C_{1}}$ 的性质, 可知

这说明 $u_{N}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{N}B_{N})(au_{N}+(1-a)P_{C_{1}}(I-\lambda_{N-1}B_{N-1})(au_{N}+(1-a) P_{C_{1}}(I-\lambda_{N-2}B_{N-2})\cdots(au_{N}+(1-a)P_{C_{1}}(I-\lambda_{1}B_{1})))\cdots u_{N}=G(u_{N}),$ 即 $u_{N}\in$ Fix$(G).$

$(2)\Rightarrow(1)$ 由于 $u_{N}\in$ Fix$(G)$, 有

已知 $u_{i}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{i}B_{i})(au_{N}+(1-a)u_{i-1}), u_{1}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{1}B_{1})u_{N}, i= 2, 3, \cdots, N.$ 得到

那么 $(u_{1}, u_{2},\cdots, u_{N})\in C_{1}\times C_{1}\times\cdots\times C_{1}$ 是问题 (1.6) 的解. 证毕.

引理 2.4 设 $C_{1}$ 是实 Hilbert 空间 $H_{1}$ 的非空闭凸子集, $B_{i}:C_{1}\mapsto H_{1}$ 是 $b_{i}$-逆强单调映射, 这里 $i=1, 2,\cdots, N.$ 映射 $G$ 的定义见引理 2.3 且 $a\in[0, 1)$. 如果 $0<\lambda_{i}\leq 2b_{i}, i=1, 2,\cdots, N$, 那么 $G$ 是非扩张的.

证 因 $B_{i}$ 是 $b_{i}$-逆强单调映射, 其中 $i=1, 2,\cdots, N.$ 由引理 2.1 可知, 对于所有的 $i$, $I-\lambda_{i}B_{i}$ 是非扩张映射, 那么得到 $P_{C_{1}}(I-\lambda_{i}B_{i})$ 也是非扩张映射. 取 $x, y\in C_{1}$, 有

所以, $G$ 是非扩张的.

为了解决广义均衡问题, 令二元函数 $F_{1}, \varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto R$ 满足下列条件

(A1) 对于所有的 $x\in C_{1}, F_{1}(x, x)=0;$

(A2) $F_{1}$ 是单调的, 即 $F_{1}(x, y)+F_{1}(y, x)\leq0, \forall x, y\in C_{1};$

(A3) $F_{1}$ 是弱上半连续的, 即对于每一个 $x, y, z\in C_{1}, \lim\limits_{t\rightarrow0}F_{1}(tz+(1-t)x, y)\leq F_{1}(x, y)$;

(A4) 对于每一个 $x\in C_{1}, y\mapsto F_{1}(x, y)$ 是凸的和下半连续的;

(A5) 对于所有的 $x\in C_{1}, \varphi_{1}(x, x)\geq0;$

(A6) 对于每一个 $y\in C_{1}, x\mapsto \varphi_{1}(x, y)$ 是上半连续的;

(A7) 对于每一个 $x\in C_{1}, y\mapsto \varphi_{1}(x, y)$ 是凸的和下半连续的.

引理 2.5^[9] 设 $H_{1}$ 是实 Hilbert 空间, $C_{1}$ 是 $H_{1}$ 的非空闭凸子集. 设 $F_{1}, \varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto R$ 是二元函数且满足条件 (A1)-(A7). 令 $\varphi_{1}$ 是单调的, 对于每一个 $r>0$ 和 $x\in H_{1}$, 定义映射 $T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})}:H_{1}\mapsto C_{1}$ 如下

那么以下结论成立

(1) 对于每一个 $x\in H_{1}, T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})}\neq\emptyset$;

(2) $T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})}$ 是单值的;

(3) $T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})}$ 是定非扩张的. 即对于任何 $x, y\in H_{1}$, 有

(4) Fix$(T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})})=GEP(F_{1}, \varphi_{1});$

(5) $GEP(F_{1}, \varphi_{1})$ 是紧凸集.

设 $H_{2}$ 是一个实 Hilbert 空间, $C_{2}$ 是 $H_{2}$ 的非空闭凸子集, 设 $F_{2}, \varphi_{2}:C_{2}\times C_{2}\mapsto R$ 是二元函数且满足条件 (A1)-(A7), 对于每一个 $s>0$ 和 $w\in H_{2}$, 定义映射 $T_{s}^{(F_{2}, \varphi_{2})}:H_{2}\mapsto C_{2}$ 如下

那么以下结论成立

(6) 对于每一个 $v\in H_{2}, T_{s}^{(F_{2}, \varphi_{2})}\neq\emptyset$;

(7) $T_{s}^{(F_{2}, \varphi_{2})}$ 是单值的;

(8) $T_{s}^{(F_{2}, \varphi_{2})}$ 是定非扩张的;

(9) Fix$(T_{s}^{(F_{2}, \varphi_{2})})=GEP(F_{2}, \varphi_{2})$;

(10) $GEP(F_{2}, \varphi_{2})$ 是闭凸集, 这里 $GEP(F_{2}, \varphi_{2})$ 是下列广义均衡问题的解集.

对于所有的 $y\in C_{2}$, 存在 $y^{*}\in C_{2},$ 使得

显然, $SGEP(F_{1}, \varphi_{1}, F_{2}, \varphi_{2})$ 是闭的和凸的.

引理 2.6^[19] 设 $H_{1}$ 是实 Hilbert 空间, $C_{1}$ 是 $H_{1}$ 的非空闭凸子集. 设 $F_{1}, \varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 是二元函数且满足条件 (A1)-(A7). $T_{r}^{(F_{1}, \varphi_{1})}$ 的定义见引理 2.5, 令 $x, y\in H_{1}$ 和 $r_{1}, r_{2}>0$, 有

引理 2.7 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $C$ 是 $H$ 上的非空闭凸子集, 定义 $P_{C}$ 是 $H$ 到 $C$ 上的投影, 众所周知, $P_{C}$ 是非扩张的且满足以下不等式

(1) $\|P_{C}x-P_{C}y\|^{2}\leq\langle x-y, P_{C}x-P_{C}y\rangle, \ \ \ \forall x, y\in H$;

(2) $\|x-y\|^{2}\geq\|x-P_{C}x\|^{2}+\|y-P_{C}x\|^{2}, \ \ \ \forall x\in H, y\in C;$

(3) $\|(x-y)-(P_{C}x-P_{C}y)\|^{2}\geq\|x-y\|^{2}-\|P_{C}x-P_{C}y\|^{2}, \ \ \ \forall x, y\in H.$

引理 2.8^[20] 设 $H$ 是实 Hilbert 空间, $C$ 是 $H$ 上的非空闭凸子集, 令 $T:C\mapsto C$ 是渐近非扩张映射, 如果 $x_{n}\rightharpoonup x$ 且 $x_{n}-Tx_{n}\rightarrow 0$, 那么有 $Tx=x.$

引理 2.9^[21] 假设 $\{a_{n}\}$ 是一非负实序列, 使得 $a_{n+1}\leq (1-\delta_{n})a_{n}+\varepsilon_{n},$ 其中 $\{\delta_{n}\}$ 是 (0, 1) 中的序列且 $\{\varepsilon_{n}\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的序列, 满足

(i) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\delta_{n}=\infty;$

(ii) $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{\delta_{n}}\leq0$ 或者 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}|\varepsilon_{n}|<\infty.$

那么 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0.$

定理 3.1 设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是两个实 Hilbert 空间, $C_{1}\subset H_{1}$ 和 $C_{2}\subset H_{2}$ 是非空闭凸集. 令$A:H_{1}\mapsto H_{2}$ 是一个有界线性算子, $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随算子. 设 $B_{1}, B_{2},\cdots, B_{N}:C_{1}\mapsto H_{1}$ 分别是 $b_{1}, b_{2},\cdots, b_{N}$-逆强单调算子. 假定 $F_{1}, \varphi_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 和 $F_{2}, \varphi_{2}:C_{2}\times C_{2}\mapsto \mathbb{R}$ 是二元函数且满足条件 (A1)-(A7), 其中 $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ 是单调的, $\varphi_{1}$ 是弱上半连续的, $F_{2}$ 和 $\varphi_{2}$ 是上半连续的. 设 $S:C_{1}\mapsto C_{1}$ 是一个具有参数 $\theta_{n}$ 的渐近非扩张映射, $f:C_{1}\mapsto C_{1}$ 是一个严格压缩映射, 压缩系数 $0<\rho<1$. 假设 $\Omega= SGEP(F_{1}, \varphi_{1}, F_{2}, \varphi_{2})\cap$ Fix$(G)\cap$ Fix$(S)\neq\emptyset,$ 这里 $G$ 的定义见引理 2.3. 令 $x_{0}\in C_{1}$, 定义序列 $\{x_{n}\}$ 由下式生成

这里 $\{r_{n}\}\subset(r, \infty), r>0, \lambda_{i}\in (0, 2b_{i}), i=1, 2,\cdots, N, \gamma\in (0, \frac{1}{L_{A}}), L_{A}$ 是算子 $A^{*}A$ 的谱半径. $\{\alpha_{n}\}, \{\beta_{n}\}, \{\gamma_{n}\}\subset(0, 1)$ 且$\alpha_{n}+\beta_{n}+\gamma_{n}=1,$ 满足条件

(i) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0, \sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha_{n}=\infty$;

(ii) $\theta_{n}-1=\eta\alpha_{n}, 0<\eta<1-\rho, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\theta_{n}=1$;

(iii) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|r_{n+1}-r_{n}|=0, \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}>0;$

(iv) $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}<1;$

(v) $S$ 满足渐进正则条件, 即 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|S^{n+1}x-S^{n}x\|=0$, 对于所有的 $x\in C_{1}$. 那么序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛到 $u_{N}=P_{\Omega}f(u_{N})$.

证 我们将证明过程分以下五步.

第一步 证明序列 $\{x_{n}\}$ 是有界的. 设 $u_{N}\in\Omega$, 有 $u_{N}=T_{r_{n}}^{(F_{1}, \varphi_{1})}u_{N}$ 和 $Au_{N}=T_{r_{n}}^{(F_{2}, \varphi_{2})}Au_{N}.$

因为 $\gamma\in (0, \frac{1}{L_{A}})$, 可知

由引理 2.4 得到

根据 (3.1) 式和条件 (ii) 有

由数学归纳法, 我们得到

因此 $\{x_{n}\}$ 是有界的, $\{u_{n}\}, \{v_{n}\}, \{f(x_{n})\}$ 和 $\{S^{n}x_{n}\}$ 也是有界的.

第二步 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n+1}-x_{n}\|=0$ 和 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|v_{n}-x_{n}\|=0.$ 由引理 2.6 可知

这里

根据序列 $\{u_{n}\}$ 的定义, 我们得到

设 $x_{n+1}=\beta_{n}x_{n}+(1-\beta_{n})w_{n}$, 结合 (3.1) 式, 我们有

将 (3.3) 式代入 (3.4) 式, 我们得到

从而有

由条件 (i), (iii), (iv) 和 (v), 我们有

根据引理 2.2, 可知

由序列 $\{w_{n}\}$ 的定义, 我们得到

结合 (3.1) 式, (3.2) 式和条件 (ii), 得到

移项整理后, 有

由于 $\alpha_{n}\rightarrow0$ 和 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}<1,$ 可知 $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n}>0.$ 再结合 $\theta_{n}\rightarrow1$ 和 (3.5) 式, 我们得到

对于 $u_{N}\in\Omega, u_{N}=T_{r_{n}}^{(F_{1}, \varphi_{1})}u_{N}, T_{r_{n}}^{(F_{1}, \varphi_{1})}$ 是定非扩张的, $I-\gamma A^{*}(I-T_{r_{n}}^{(F_{2}, \varphi_{2})})A$ 是非扩张的, 我们有

从而有

将 (3.8) 式代入 (3.6) 式, 得到

移项整理后, 得到

结合 $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n}>0, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\theta_{n}=1,$ (3.5) 式和 (3.7) 式, 我们得到

第三步 证明

设

这里取 $i=\{1, 2,\cdots, N\}$ 和 $\Phi^{0}=I$, 其中 $I$ 是 $H_{1}$ 上的恒等映射. 假设 $u_{N}\in\Omega,$ 那么 $\Phi^{N}u_{N}=u_{N}.$ 运用引理 2.1, 我们有

因此, 由数学归纳法可以得到

结合 (3.6) 式和 (3.10) 式, 我们有

移项整理后, 可知

结合 $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n}>0, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0$ 和 (3.5) 式, 我们有

利用引理 2.7, 得到

移项整理后, 得到

类似可得

结合 (3.12) 式和 (3.13) 式, 有

由数学归纳法可知

将 (3.14) 式代入 (3.6) 式, 得到

这表明

由于 $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n}>0, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\theta_{n}=1$, 再结合 (3.5) 式和 (3.11) 式, 我们有

根据 (3.15) 式, 可得

即 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|G(v_{n})-v_{n}\|=0.$ 由引理 2.4 可知, $G$ 是非扩张映射, 那么有

由 (3.5) 式, (3.9) 式和 (3.16) 式得

即

对于每一个 $n\geq0$, 有

进一步有

根据条件 (i), 条件 (iv) 和 (3.5) 式, 得到

观察

由 (3.5) 式, (3.18) 式和 (3.19) 式, 得到

由于 $S$ 是渐近非扩张映射, 可知

结合 (3.5) 式和 (3.20) 式, 有

第四步 证明 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle f(u_{N})-u_{N}, x_{n}-u_{N}\rangle\leq0, u_{N}=P_{\Omega}f(u_{N}).$ 由于$\{x_{n}\}$ 是有界的, 取 $\{x_{n}\}$ 的子序列 $\{x_{n_{j}}\}$, 使得

当 $\{x_{n_{j}}\}$ 是有界的, 存在子序列 $\{x_{n_{j_{i}}}\}\subset\{x_{n_{j}}\}$ 弱收敛到某一点 $w\in C_{1}$. 不失一般性, 设 $x_{n_{j}}\rightharpoonup w$.

下证 $w\in\Omega.$ 首先, 证明 $w\in$ Fix$(S)\bigcap$ Fix$(G)$, 结合 (3.17) 式, (3.21) 式和 $x_{n_{j}}\rightharpoonup w,$ 利用引理 2.8 可知 $w\in$ Fix$(S)\bigcap$ Fix$(G)$. 接着证明 $w\in SGEP(F_{1}, \varphi_{1}, F_{2}, \varphi_{2}),$ 根据 (3.1) 式定义, 有

即

由于 $F_{1}$ 和 $\varphi_{1}$ 是单调的, 可得

用 $n_{j}$ 代替上式的 $n$, 我们有

由于 $\|v_{n_{j}}-x_{n_{j}}\|\rightarrow0, \|A^{*}(I-T_{r_{n_{j}}}^{(F_{2}, \varphi_{2})})Ax_{n_{j}}\|\rightarrow0$ 和 $\|x_{n_{j}}-w\|\rightarrow0, j\rightarrow\infty.$ 并结合条件 (iii), 条件 (A4) 和条件 (A7), 我们得到

设 $y_{t}=ty+(1-t)w, \forall t\in(0, 1], \forall y\in C_{1}$. 可知 $y_{t}\in C_{1}$, 且有

根据条件 (A1)-(A7), 我们得到

运用条件 (A3) 和 $\varphi_{1}$ 是弱上半连续的, 当 $t\rightarrow0$ 时, 我们有 $F_{1}(w, y)+\varphi_{1}(w, y)\geq0, \forall y\in C_{1}.$ 即 $w\in GEP(F_{1}, \varphi_{1}).$

下证 $Aw\in GEP(F_{2}, \varphi_{2}).$ 由于 $A$ 是有界线性算子, 那么 $Ax_{n_{j}}\rightarrow Aw.$ 设

结合 (3.7) 式, 可知 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_{n_{j}}=0$ 和 $T_{r_{n_{j}}}^{(F_{2}, \varphi_{2})}Ax_{n_{j}}=Ax_{n_{j}}-z_{n_{j}}.$ 对于 $\forall z\in C_{2}$, 利用引理 2.5, 我们有

由于 $F_{2}$ 和 $\varphi_{2}$ 是上半连续的, 得到 $F_{2}(Aw, z)+\varphi_{2}(Aw, z)\geq0, \forall z\in C_{2}.$ 即 $Aw\in GEP(F_{2}, \varphi_{2})$, 所以 $w\in SGEP(F_{1}, \varphi_{1}, F_{2}, \varphi_{2}).$ 综上可知, $w\in\Omega.$

已知 $u_{N}=P_{\Omega}f(u_{N})$ 和 $x_{n_{j}}\rightharpoonup w$, 可得

第五步 证明序列强收敛到 $u_{N}$. 考虑

这表明

令

由条件 (i) 和 (3.22) 式, 有

应用引理 2.9, 得到 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n+1}-u_{N}\|=0.$

因此, 序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛到 $u_{N}=P_{\Omega}f(u_{N})$. 再应用引理 2.3, 得 $(u_{1}, u_{2},\cdots, u_{N})$ 是问题 (1.6) 的一个解, 其中 $u_{i}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{i}B_{i})(au_{N}+(1-a)u_{i-1}), u_{1}=P_{C_{1}}(I-\lambda_{1}B_{1})u_{N},$ $i=2, 3, \cdots, N.$ 定理 3.1 得证.

推论 3.1 设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是两个实 Hilbert 空间, $C_{1}\subset H_{1}$ 和 $C_{2}\subset H_{2}$ 是非空闭凸集. 令 $A:H_{1}\mapsto H_{2}$ 是一个有界线性算子, $A^{*}$是 $A$ 的伴随算子. 设 $B_{1}:C_{1}\mapsto H_{1}$ 是 $b_{1}$-逆强单调算子. 假定 $F_{1}:C_{1}\times C_{1}\mapsto \mathbb{R}$ 和 $F_{2}:C_{2}\times C_{2}\mapsto R$ 是二元函数且满足条件 (A1)-(A4), 其中 $F_{2}$ 是上半连续的. 令 $S:C_{1}\mapsto C_{1}$是一个非扩张映射, $f:C_{1}\mapsto C_{1}$ 是一个严格压缩映射, 压缩系数 $0<\rho<1$. 假设 $\Omega= SEP(F_{1}, F_{2})\cap$ Fix$(G)\cap$ Fix$(S)\neq\emptyset,$ 取 $x_{0}\in C_{1}$, 定义序列 $\{x_{n}\}$ 由下式生成

这里 $\{r_{n}\}\subset(r, \infty), r>0, \lambda_{1}\in (0, 2b_{1}), \gamma\in (0, \frac{1}{L_{A}}), L_{A}$ 是算子 $A^{*}A$ 的谱半径. $\{\alpha_{n}\}, \{\beta_{n}\},$ $\{\gamma_{n}\}\subset(0, 1)$ 且 $\alpha_{n}+\beta_{n}+\gamma_{n}=1,$ 满足如下条件

(i) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0, \sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha_{n}=\infty$;

(ii) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|r_{n+1}-r_{n}|=0, \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}>0;$

(iii) $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}<1;$

那么序列 $\{x_{n}\}$ 强收敛到 $u=P_{\Omega}f(u)$.

证 在定理 3.1 中, 令 $\varphi_{1}=\varphi_{2}=0, N=1, a=0, S$ 是非扩张映射, 推论得证.