在芬斯勒几何中, 有个非常著名的独角兽问题: "正则的 Landsberg 度量是否一定是 Berwald 度量?" 如果不考虑正则条件, 则有许多非 Berwald 的 Landsberg 度量. 例如, Asanov^[1]和 Shen^[10]在 $(\alpha, \beta)$-度量中, 构造了一类几乎正则非 Berwald 的 Landsberg 度量. Li 和 Shen^[6]给出了弱 Landsberg$(\alpha, \beta)$-度量的方程刻画. Cheng, Wang 和 Wang^[4]给出了具有迷向平均 Landsberg $(\alpha, \beta)$-度量的方程刻画. 对于广义$(\alpha, \beta)$-度量, Zhou, Wang 和 Li^[12]证明了正则的 Landsberg 度量一定是 Berwald 度量.

在本文中, 我们考虑芬斯勒卷积度量. 令 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 上的开集, $\breve M$ 是 $(n-1)$ 维流形且具有黎曼度量 $\tilde \alpha$. 则在卷积流形 $M=I\times \breve M$ 上, 称如下芬斯勒度量

为芬斯勒卷积度量. 其中 $x=(r,\breve x)$, $y=(y^1,\breve y)$, $s=\frac{y^1}{\breve\alpha(\breve x,\breve y)}$ 且函数 $\phi$ 定义在 $\mathbb{R}^2$ 某个区域上的光滑函数^[3].

芬斯勒卷积度量是黎曼卷积度量的自然推广. 在黎曼情形, 这些卷积度量主要用来构造具有特殊的曲率的黎曼流形^[2]. 最近, 芬斯勒卷积度量的研究取得重要的进展^[3,5,7,8,11]. Chen, Shen, Zhao, Liu 和 Mo^[3,8]得到了具有标量旗曲率的芬斯勒卷积度量的方程刻画. Liu 和 Mo^[7]给出了 Douglas 芬斯勒卷积度量的方程刻画. Yang 和 Zhang^[11]给出了具有迷向 Landsberg 芬斯勒卷积度量的刻画. 令

本文得到如下结果.

定理 1.1 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中 $n\geq3$. $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. 则 $F$ Landsberg 度量当且仅当下面两个之一成立

(1) $F$ 是 Berwald 度量;

(2) $\phi$ 由以下式子给出

其中 $a<-\frac12$ 是非零常数, $f=f(r)$ 是非零光滑函数且 $g=g(r)$ 是非常值函数.

注 1.1 在情形 (2) 中, 将 (1.2) 式代入到 (1.1) 式, 则有

(1.2) 式中的函数$\phi$ 可以表示成初等函数

非常有意思的是情形 $(2)$ 包含了所有 Shen 的例子^[10]. 注记 3.2 有详细说明. 进一步, 令

则 $b=||\beta||_\alpha=r$ 且芬斯勒卷积度量 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 可以重新表示为

这样我们就可以构造许多非 Berwald 的 Landsberg 广义 $(\alpha,\beta)$ 度量. 注记 3.3 有详细说明.

在 2 维情形, Bryant 称存在奇异的具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒度量. 然而, 目前还没有确切的例子. Shen 提出如下问题: 是否存在具有以下性质的芬斯勒度量,

$(1)$ $F$ 是 Landsberg 度量;

$(2)$ $F$ 不是 Berwald 度量;

$(3)$ $F$ 具有零旗曲率.

如果考虑非正则情形, 我们给出肯定答案.

定理 1.2 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中 $n\geq3$. $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. 则 $F(x,y)$ 是非 Berwald 且具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量当且仅当 $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k$ 且

其中$g=g(r)=\int\frac{c}{f}{\rm d}r,$ $a=-\frac12-\frac{k}{2c^2}$, $c$ 是非零常数, $f=f(r)$ 是处处不为零的光滑函数.

我们有以下四个有趣的例子,

(a) 在 $\breve{M}$ 上, $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k=1$, $c=1$, $f=1$ 和 $g=r$, 则

是 $\mathbb{R}\times\breve{M}$ 上非 Berwald 且具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

(b) 在 $\breve{M}$ 上, $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k=1$, $c=-1$, $f=1$ 和 $g=-r$, 则

是 $\mathbb{R}\times\breve{M}$ 上非 Berwald 且具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

(c) 在 $\breve{M}$ 上, $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k=1$, $c=1$, $f=-1$ 和 $g=-r$, 则

是 $\mathbb{R}\times\breve{M}$ 上非 Berwald 且具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

(d) 在 $\breve{M}$ 上, $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k=1$, $c=-1$, $f=-1$ 和 $g=r$, 则

是 $\mathbb{R}\times\breve{M}$ 上非 Berwald 且具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

非负函数 $F:TM\rightarrow (0,\infty)$ 如果满足以下三个条件则称为$M$上的 $C^\infty$ 芬斯勒结果^[9]

(1) (正则性) $F$ 是 $TM\setminus \{0\}$ 上 $C^\infty$ 函数, 其中 $\{0\}$ 是零截面;

(2) (正一次齐次) $F(x,cy)=cF(x,y)$, 对所有的 $c>0$;

(3) (强凸性) 对所有的$(x,y)\in TM\setminus\{0\}$, $n\times n$ 矩阵

是正定的.

对于给定芬斯勒度量 $F=F(x,y)$, $F$ 的测地系数满足如下微分方程

其中测地系数 $G^i=G^i(x,y)$ 由下面式子给出

如果 $G^i=\frac12\Gamma^i_{jk}(x)y^jy^k$ 关于 $y=y^i\frac{\partial}{\partial x^i}\in T_xM $ 是二次型, 则称 $F$ 是 Berwald 度量. Landsberg 张量 $L=L_{ijk}{\rm d}x^i\bigotimes {\rm d}x^j\bigotimes {\rm d}x^k$ 定义如下

显然, 如果 $G^i=\frac12\Gamma^i_{jk}(x)y^jy^k$ 是二次型, 则 $L_{ijk}=0$. 如果$L_{ijk}=0$, 则称芬斯勒度量为 Landsberg 度量.

黎曼曲率 $R_y:=R^i_{k}{\rm d}x^k\bigotimes \frac{\partial}{\partial x^i}$ 定义如下

旗曲率 $K = K(P,y)$, $P=span{(y,u)}\subseteq T_xM$ 定义如下

很自然的需要研究具有特殊曲率性质的芬斯勒度量.

定义 2.1 $F$ 是 $n$ 维流形 $M$ 上的芬斯勒度量

(a) 如果 $K=K(x,y)$, $y\in T_xM$与 $P$ 无关, 则称 $F$ 具有标量旗曲率;

(b) 如果 $K=\sigma$ 是一个常数, 则称 $F$ 具有常旗曲率.

接下来, 我们考虑 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量.

引理 2.1^[3] 对于芬斯勒卷积度量 $F=\breve\alpha\phi(r,s)$, 其基本张量 $g_{AB}$ 和测地系数 $G^A$ 表示如下

其中 $\rho=\phi(\phi-s\phi_s), \rho_0=\phi\phi_{ss}+\phi_s\phi_s, \rho_1=\phi_s(\phi-s\phi_s)-s\phi\phi_{ss},$ $\breve G^k$ 是黎曼度量 $\breve\alpha$ 的测地系数, $\Psi$ 和 $\Phi$ 的表达式在 (1.1) 式给出.

进一步, $F$ 是强凸的当且仅当 $\phi-s\phi_s>0,\phi_{ss}>0.$

文献 [7] 证明了 Berwald 芬斯勒卷积度量,

引理 2.2^[7] $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. $F$ 是 Berwald 度量当且仅当

其中 $l(r)$, $m(r)$ 和 $n(r)$ 是光滑函数.

文献 [11] 证明了 Landsberg 芬斯勒卷积度量,

引理 2.3^[11] $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. $F$ 是 Landsberg 度量当且仅当$\phi$ 满足

文献 [3,8] 证明了具有标量旗曲率芬斯勒卷积度量,

引理 2.4^[3,8] $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量 则 $F$ 具有标量旗曲率当且仅当 $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k$ 以及

其中

在这种情形下, $F$ 的旗曲率 $K$ 满足

在这一章中, 我们考虑 Landsberg 芬斯勒卷积度量. 首先, 我们给出芬斯勒卷积度量的方程刻画.

定理 3.1 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. 则 $F$ 是 Landsberg 芬斯勒卷积度量当且仅当 $\Psi$ 和$\Phi$ 满足

其中 $h=h(r)$, $l=l(r)$, $m=m(r)$ 和 $n=n(r)$ 是光滑函数. 在这种情形, $F$ 是 Berwald 度量当且仅当 $h=0$.

证 $\Rightarrow$ 由引理 2.3, $\phi$ 满足 (2.3) 和 (2.4) 式. (2.4) 式两边对 $s$ 求导, 可得

将 (2.3) 式代入 (3.2) 式得

(3.3) 式两边乘以 $\phi_s$ 得

将 (2.4) 式代入 (3.4) 式得

情形 1 $\Psi_{ss}\neq0$.

由 (3.5) 式可得

因此我们有

所以存在一个函数 $p=p(r)$ 使得

于是

其中 $q=q(r)$ 是一个光滑函数. 将 (3.9) 式代入 (1.1) 式得 $\Psi=\frac{p's}{2p}$. 由此 $\Psi_{ss}=0$ 与假设 $\Psi_{ss}\neq0$ 矛盾.

情形 2 $\Psi_{ss}=0$.

将 $\Psi_{ss}=0$ 代入 (2.3) 和 (2.4) 式, 可得 $\Phi_{sss}=0$ 以及 $\Phi_{s}-s\Phi_{ss}=0$. 于是 $\Psi$ 和 $\Phi$ 满足

其中 $h=h(r)$, $l=l(r)$, $m=m(r)$ 和 $n=n(r)$ 是光滑函数.

$\Leftarrow$ 如果 $\Psi$ 和 $\Phi$ 满足 (3.1) 式, 则

意味着 $\Psi$ 和 $\Phi$ 满足 (2.3) 和 (2.4) 式. 由引理 2.3, $F$ 是 Landsberg 度量. 证毕.

接下来, 我们求解方程 (3.1).

引理 3.1 方程 $\Psi=0$ 的解为 $\phi=\phi(fs)$, 其中 $f=f(r)$ 是一个光滑函数.

证 由 (1.1) 式, 我们可得 $\Psi=0$ 当且仅当 $s\phi_r\phi_{ss}+\phi_s(\phi_r-s\phi_{rs})=0,$ 等价于 $(\frac{s\phi_s}{\phi_r})_s=0.$ 于是存在一个函数 $g=g(r)$ 使得 $\phi_r=gs\phi_s.$ 于是我们有 $\phi=\phi(fs),$ 其中 $f={\rm e}^{\int g{\rm d}r}.$

注 3.1 在这种情形下, 可以计算得 $\Phi=\frac{f'}{2f}s^2.$ 由引理 2.2, $F$ 是 Berwald 度量.

引理 3.2 方程 (3.1) 的解为以下情形之一

情形 1 $h=l=m=0$,

其中 $f={\rm e}^{\int 2n{\rm d}r}$;

情形 2 $h=0$, $l\neq 0$ 以及 $m\neq 0$,

其中 $g=\int l{\rm d}r$ 是个光滑函数;

情形 3 $l=0$ or $m=0$ 以及 $(h, l, m)\neq(0, 0, 0)$,

这种情况下 $\phi_{22}=0$, 可以排除掉;

情形 4 $h\neq0$, $ l\neq0$ 以及 $m\neq0$,

其中 $a$ 是非零常数, $f=\frac{h}{l}$ 和 $g=\int{l{\rm d}r}$ 不是常值函数.

证 将 (3.1) 式代入 (1.1) 式, 可得

将 (3.13) 式代入 (3.12) 式, 可得

(3.14) 式两边对 $s$ 求导, 可得

将 (3.14) 和 (3.15) 式代入 (3.13) 式, 可得

如果 $-2m+2hs+ls^2=0$, 则 $h=l=m=0$ 以及 $\Psi=0$. 由引理 3.1 可得 $\phi=\phi(fs)$, 其中

如果 $-2m+2hs+ls^2\neq0$, 则

于是

其中 $g=g(r)$ 是光滑函数.

如果 $h=0$, $l\neq 0$ 和 $m\neq 0$, 则由 (3.18), 可得

在这种情况下 $\Psi=g's$, 其中 $g=\int l{\rm d}r$.

如果 $l=0$ 或者 $m=0$, 则

此时 $\phi_{22}=0$, 可以排除掉.

接下来考虑 $h\neq0$, $l\neq0$, $m\neq0$ 情形. 将 (3.16) 式代入 (3.14) 式, 可得

(3.17) 式两边对 $r$ 求导, 可得

(3.19) 式两边对 $s$ 求导, 可得

(3.20) 和 (3.21) 式意味着

令 $f=\frac{h}{l}$, 则由 (3.22) 和 (3.23) 式, 可得

其中 $a$ 是常数. 将 (3.24) 式代入 (3.18) 式, 可得 (3.11) 式. 由 (3.11) 式, 可得

其中

代入到 (3.26) 式可得

另一方面, 将 (3.24) 和 (3.25) 式代入 (3.19) 式, 可得

由 (3.27) 和 (3.28) 式, 可得

等价于 $g=\int l{\rm d}r$. 引理 3.2 得证.

由定理 3.1 和引理 3.2, 我们可以证明定理 1.1.

定理 1.1 证明 由定理 3.1 和引理 3.2, 我们有四种情形. 情形 1 和 2 中 $F$ 是 Berwald 度量. 情形 3 由于 $\phi_{22}=0$, 无需讨论. 对于情形 4, 直接计算可得

和

注意到

于是

只需

这样 $F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是强凸的当且仅当 $a<-\frac{1}{2}$ 以及 $f$ 是处处不为零函数. 由 (3.29) 式知, $g$ 不是常数. 证毕.

注 3.2 令 $\alpha^2=(y^1)^2+r^2\breve\alpha^2,\beta=b_0y^1,$ 其中 $b_0>0$ 是一个常数, $r>0$ 以及 $b_{i|j}$ 为一形式 $\beta$ 关于$\alpha$ 的水平导数. 则

令 $s=\frac{\beta}{\alpha},\breve s=\frac{y^1}{\breve\alpha}.$

则

直接计算可得

因此芬斯勒卷积度量 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y){\rm e}^{g+\int_0^{\breve s}{\frac{t+2f}{t^2+2ft-2af^2}{\rm d}t}}$ 可以重新表示为

令

其中 $c_1\neq 0$, $c_3$ 和 $c_4$ 是常数. 则 $F$ 为以下 $(\alpha, \beta)$-度量

因此我们的例子包含 Shen 在文献 [10] 中构造的例子.

注 3.3 令 $\alpha^2=(y^1)^2+r^2\breve\alpha^2,\beta=ry^1$ 则

令 $s=\frac{\beta}{\alpha},\breve s=\frac{y^1}{\breve\alpha}.$

则

直接计算, 可得

因此芬斯勒卷积度量 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y){\rm e}^{g+\int_0^{\breve s}{\frac{t+2f}{t^2+2ft-2af^2}{\rm d}t}}$ 可以表示为以下广义 $(\alpha,\beta)$-度量

通过选取合适的 $m$, $n$ 和$a$, 我们可以得到 Zhou, Wang 和 Li 在文献 [12] 构造的例子.

在这一章, 我们考虑具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量. 由引理 2.4, 可得

引理 4.1 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 是 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量. 则 $F$ 具有零旗曲率当且仅当 $\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k$ 以及

证 由 (2.8) 式和 $K=0$, 可得 $\mu+k=0$. 将 $\mu+k=0$ 代入 (2.5) 式, 可得 $\tau=0$.

现在我们可以证明定理 1.2.

定理 1.2 证明 由定理 1.1, $F$ 是 非 Berwald Landersberg 度量. 由注记 1.1, 可得

由 $a=-\frac12-\frac{k}{2c^2}$ 和 $g=\int\frac{c}{f}{\rm d}r$, 可得

将 (4.4) 和 (4.5) 式代入 (2.6) 和 (2.7) 式, 可得

由引理 4.1, $F$ 具有零旗曲率.

反过来, 由引理 4.1, 可得 (4.6) 式. 将 (4.2) 和 (4.3) 式代入 (4.6) 式, 可得 $a=-\frac12-\frac{k}{2c^2}$ 和 $g=\int\frac{c}{f}{\rm d}r$. 证毕.

由定理 1.2 和注记 3.2, 我们有以下推论

推论 4.1 令 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中$n\geq3$ 且

是 $M=I\times \breve M$ 上的一个 $(\alpha, \beta)$-度量, 其中 $c_1\neq 0$, $c_3$ 以及 $c_4$ 是常数,

则 $F$ 是具有零旗曲率 非 Berwald Lansberg 度量当且仅当 $\breve\alpha$ 正截面旗曲率 $k$, 且

由定理 1.2 和注记 3.3, 我们有以下推论

推论 4.2 令 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中$n\geq3$ 且

是 $M=I\times \breve M$ 上的一个广义 $(\alpha, \beta)$-度量, 其中 $c_1\neq 0$, $c_3$ 以及 $c_4$ 是常数,

$a<-\frac12$ 是一个常数, $f=f(r)$ 是非零函数 以及 $ g=g(r)=\int\frac{c}{f}{\rm d}r,$ $c$ 为非零常数. 则 $F$ 是具有零旗曲率 非 Berwald Lansberg 度量当且仅当 $\breve\alpha$ 正截面旗曲率 $k$, 且 $k=-(2a+1)c^2.$

如果我们将条件: "$\breve\alpha$ 具有常截面曲率 $k$" 替换为"$\breve\alpha$ 具有常 Ricci 曲率 $Ric=(n-2)k$", 则由以下引理和定理 1.2 我们可以构造许多具有零旗曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

引理 5.1^[3] 假设 $ F(x,y)=\breve\alpha(\breve x,\breve y)\phi(r,s)$ 具有常旗曲率 $K$ 和 $\breve\alpha$ 具有常截面旗曲率 $k$. 给定另外一个具有常 Ricci 曲率 $(n-2)k$ 的黎曼度量 $\bar\alpha$, 则新构造的芬斯勒卷积度量 $\bar F=\bar\alpha\phi(r,s)$ 具有常 Ricci 曲率 $(n-1)K$.

"替换$\breve\alpha$" 在构造芬斯勒卷积度量时是一个非常有用的技巧. 例如, 在文献 [3,9] 中, 作者用这个方法构造了具有 Ricci, Douglas 或者相对迷向的 Landsberg 芬斯勒卷积度量. 利用这个技巧和定理 1.2, 我们可以构造许多具有零 Ricci 曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

定理 5.1 令$(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是一个 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中 $n\geq3$, 且

为 $M=I\times \breve M$ 上的芬斯勒卷积度量, 又$ g=g(r)=\int\frac{c}{f}{\rm d}r,$ $a=-\frac12-\frac{k}{2c^2}$, $c$ 是非零常数, $f=f(r)$ 是非零光滑函数. 假设 $\breve\alpha$ 正常 Ricci 曲率 $(n-2)k$, 则 $F$ 满足

$(1)$ $F$ 是 Landsberg 度量;

$(2)$ $F$ 不是 Berwald 度量;

$(3)$ $F$ 具有零 Ricci 曲率.

证 由定理 1.2 和引理 5.1 易得.

由定理 5.1 和注记 3.2, 我们有以下推论

推论 5.1 令 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中 $n\geq3$ 且

是 $M=I\times \breve M$ 上的一个 $(\alpha, \beta)$-度量, 其中 $c_1\neq 0$, $c_3$ 以及 $c_4$ 是常数,

假设 $\breve\alpha$ 具有常 Ricci 曲率 $(n-2)k$, 且

则 $F$ 是具有零 Ricci 曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.

由定理 5.1 和注记 3.3, 我们有以下推论.

推论 5.2 令 $(\breve{M},\,\breve{\alpha})$ 是 $(n-1)$ 维黎曼流形, 其中 $n\geq3$ 且

是 $M=I\times \breve M$ 上的一个广义 $(\alpha, \beta)$-度量, 其中 $c_1\neq 0$, $c_3$ 以及 $c_4$ 是常数,

$a<-\frac12$ 是一个常数, $f=f(r)$ 是非零函数 以及 $ g=g(r)=\int\frac{c}{f}{\rm d}r,$ $c$ 为非零常数. 假设 $\breve\alpha$ 有常 Ricci 曲率 $(n-2)k$, 且 $k=-(2a+1)c^2.$ 则 $F$ 是具有零 Ricci 曲率的 Landsberg 芬斯勒卷积度量.