设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$ 为具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $\omega$ 为 $\Omega$ 的非空开子集. 令 $T>0$, 记 $Q_{T}=\Omega\times(0,T)$, $\Sigma_{T}=\partial\Omega\times(0,T)$. 函数空间 $L^{p}(\Omega)$ 和 $L^{p}(Q_{T})\ (1\leq p\leq\infty)$ 的范数分别为 $|\cdot|_{p}$ 考虑非线性抛物型方程组

其中 $u_{t}=\partial u/ \partial t$, $v_{t}=\partial v/\partial t$. $\partial_{\nu}=\partial/\partial\nu$ 表示边界 $\partial \Omega$ 的外法向量导数. $1_{\omega}$ 指 $\omega$ 上的特征函数, $f=f(x,t)$ 为控制函数, $u=u(x,t)$ 为细菌密度, $v=v(x,t)$ 为催化剂浓度, $u_{0}(x)$ 和 $v_{0} (x)$ 表示初始值, $k_{0}>0$ 为趋化作用系数. 这里 $h(u,v)$ 和 $g(u,v)$ 都是 $\mathbb{R} \times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 的连续可微有界函数, $g(0,0)=h(0,0)=0.$ 为简化符号, 本文省略函数表达式中的 $x$ 和 $t$.

函数对 $(u,v)$ 称为方程组 (1.1) 的弱解, 如果 $u,v\in L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega)),$ $u_{t},v_{t}\in L^{2}(0,T;$ $H^{1} (\Omega)^{\ast}),$ $h(u,v),g(u,v)\in L^{2}(Q_{T}),$ $u\nabla v\in L^{2}(Q_{T})^{3},$ 在 $\Sigma_{T}$ 上 $\partial_{\nu}u=0,\partial_{\nu}v=0,$ 且

对所有的 $\phi,\psi\in L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))$ 成立, 这里 $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ 表示 $H^{1}(\Omega)^{\ast}$ 与 $H^{1}(\Omega)$ 之间的对偶.

当方程组 (1.1)中控制项 $f=0$ 时可得

非线性抛物型偏微分方程组 (1.2) 由文献 [1] 提出, 是较一般形式的 Keller-Segel 方程组, 旨在描述在催化剂的趋化作用下细菌向液体与空气接触面的游动和在细菌重力的作用下液体产生流动这一生物过程. 以 Keller-Segel 抛物方程为代表的具有漂移-扩散项的非线性偏微分方程组是近些年研究的热点问题之一. 该类方程在生物医学上有着重要的应用, 而其特殊的数学结构使得其在偏微分方程理论上的研究具有一定的难度. 其解的全局存在性因结构或初始值的变化出现差异^[2]; 解的性态会出现一些比较有趣的现象, 例如会出现爆破或聚集等现象等^[3]. 关于方程组 (1.2) 在偏微分方程理论领域的研究比较丰富. 如在有界区域 $\Omega \subset\mathbb{R}^{N}$ $(N=2,3)$ 上, 当 $h(u,v)=-up(v)$时, ${\normalsize p(v)}$ 为连续可微的单调递增函数且满足 $p(0)=0$, 文献 [4] 得到方程组 (1.2) 局部解的存在性. 若 $N=3$, $p\in C^{1}([T]),\ p(0)=0;$ 在 $[T]$ 内 $p>0;$ 在 $(0,T)$ 上 $p^{\prime}>0,\ p^{\prime\prime}\leq0$, 文献 [5] 给出方程组 (1.2) 在带光滑边界的有界凸区域上弱解的存在性. 更多的关于方程组 (1.2) 在偏微分方程和应用领域中的结论可参见文献 [6,7] 等.

本文将讨论非线性控制系统 (1.1) 的能控性及其在时间最优控制的存在性问题中的应用. 设 $(\overline{u},\overline{v})$ 是方程组 (1.2) 关于初值 $(\overline{u}_{0},\overline{v}_{0})$ 的轨迹, 称非线性控制系统 (1.1) 关于轨迹 $(\overline{u},\overline{v})$ 在时刻 $T$ 处局部精确能控, 如果存在 $(\overline{u}_{0},\overline{v}_{0})$ 的邻域 $\vartheta$, 对任一初值 $(u_{0},v_{0})\in\vartheta$, 存在函数 $f$ 使控制系统 (1.1) 解 $(u,v)$ 满足 $(u,v)(x,T)=(\overline{u},\overline{v})(x,T),$ a.e. $x\in\Omega.$ 记集合 $\Pi=\{T>0;$ 存在控制 $f\in L^{\infty}(Q_{T}),$ 使方程组 (1.1) 的解 $(u,v)$ 在时刻 $T$ 处满足 $(u,v)(x,T)=(0,0),$ a.e. $x\in\Omega\}$. 考虑时间最优控制问题

关于非线性抛物型方程组 (1.1) 在控制理论领域的相关成果较少. 据我们所知, 文献 [8] 为第一篇关于此类方程组在控制理论领域的论文, 该文首次研究了经典的 Keller-Segel 方程组 (即 $g(u,v)=0,h(u,v)=-\gamma v+\delta u)$ 的最优控制问题, 并给出最优控制的存在性和必要条件. 在文献 [9] 中, 作者给出抛物-椭圆型 Keller-Segel 方程组 (即 $v_{t} =0,g(u,v)=0,h(u,v)=-\gamma v+\delta u$) 的局部精确能控性; 其后在文献 [10] 中, 作者研究了如下抛物型 Keller-Segel 方程组的局部精确能控性问题

应该指出, 文献 [9,10] 的研究方法不同. 抛物-椭圆型 Keller-Segel 方程组可以视为单个非局部抛物型方程, 因此抛物-椭圆型 Keller-Segel 方程组可转化为单个非线性抛物型方程, 进而其能控性可采用单个非线性抛物型方程的能控性的处理方法; 但是抛物型 Keller-Segel 方程组 (1.4) 与抛物-椭圆型 Keller-Segel 方程组相比有本质的区别, 不能将之转化为单个非线性抛物型方程. 此外, 控制系统 (1.4) 为单个控制问题, 即控制仅施加于其中一个状态方程, 此时控制系统的能控性在建立能观性时存在一定的技术困难. 事实上, 具有单个控制的抛物型方程组的能控性问题目前仍属公开问题, 相关的综述性工作可参见文献 [11]; 关于非线性抛物型偏微分方程的能控性结论可参见文献 [12,13] 等.

本文为文献 [10] 的后续工作, 这里控制系统 (1.1) 具有非线性项 $h(u,v)$ 和 $g(u,v).$ 首先, 从偏微分方程理论角度来看, 方程组 (1.1) 与抛物-椭圆型偏微分方程组有本质的不同, 不属于非局部问题, 因此不能采用文献 [9] 的处理方法. 其次, 方程组 (1.1) 相比于 (1.4) 而言更具一般性, 其中的非线性项 $h(u,v)$ 和 $h(u,v)$ 的存在导致方程组的解的探讨具有一定的难度. 本文没有直接探讨解的全局或局部存在性问题, 方程组 (1.1) 的解可能会在有限时间爆破; 这里从能控性的角度探讨解的性态, 能控性结论不仅说明了方程组 (1.1) 解的存在性, 而且证明在控制的作用下可以保证方程组 (1.1) 的解不会在有限时间发生爆破现象. 再次, 控制系统 (1.1) 为具有单个控制的抛物型方程组的能控性问题, 该类问题目前尚未完全解决, 为研究的热点问题之一. 最后, 关于控制系统 (1.1) 的时间最优控制问题, 目前还没有相关的结果, 本文仅证明了时间最优控制的存在性, 时间最优控制的必要条件是值得继续探讨的问题. 本文拟研究线性偏微分方程组的正则性和零能控性, 运用不动点定理推导非线性抛物型偏微分方程组的局部能控性, 并给出该结论在时间最优控制的存在性问题中的应用. 本文所用的方法可用于研究其他的具有漂移-扩散项的非线性抛物型方程组的能控性.

考虑线性抛物型方程组

其中 $a_{i}=a_{i}(x,t),B_{i}=B_{i}(x,t),c_{i}=c_{i} (x,t),i=1,2,F=F(x,t).$

命题 2.1 设 $a_{1}$, $a_{2}$, $B_{1}$, $c_{1},c_{2}\in L^{\infty}(Q_{T})$, $B_{2}\in L^{\infty}(Q_{T})^{3}$, 在 $\Sigma_{T}$ 上 $B_{2}\cdot\nu=0$.

$(1)$ 若 $U_{0},V_{0}\in L^{2}(\Omega)$, $F\in L^{2}(Q_{T})$, 则方程组 $(2.1)$ 有唯一解 $(U,V)\in(L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega)) \cap W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast}))^{2}$, 且

$(2)$ 当 $2\leq p<\infty$ 时, 若 $F\in L^{p}(Q_{T})$, $U_{0}\in L^{p}(\Omega),\ V_{0}\in W^{2(1-\frac{1}{p}),p}(\Omega),$ 在 $\partial\Omega$ 上 $\partial_{\nu}V_{0}=0$, 则方程组 $(2.1)$ 有唯一解 $(U,V)\in L^{p}(Q_{T})\times W_{p}^{2,1} (Q_{T})$, 且

$(3)$ 当 $p>5$ 时, 若 $F\in L^{\infty}(Q_{T})$, $U_{0}\in L^{\infty}(\Omega),\ V_{0}\in W^{1,p}(\Omega),$ 在 $\partial\Omega$ 上 $\partial_{\nu}V_{0}=0$, 则方程组 (2.1) 有唯一解 $(U,V)\in L^{\infty}(Q_{T})^{2}$, 且

其中 $C=C(\Omega),$

证 线性方程组 (2.1) 弱解的存在性和不等式 (2.2) 的建立是经典的, 可参见文献 [14]. 故只证不等式 (2.3) 和 (2.4). 方程组 (2.1) 的前两式两端分别乘以 $|U|^{p-2}U$ 和 $|V|^{p-2}V$, 并在 $\Omega$ 上积分可得

对 $|\nabla V|_{p}^{p}$ 关于 $t$ 微分, 再利用 (2.1) 式的第二个方程有

于是联立不等式 (2.6)-(2.8) 并利用 Gronwall 不等式得到

此外, 对 (2.1) 式的第二式应用发展方程的最大正则性^[15]得

其中常数 $C$ 与 $T$ 无关. 于是, 不等式 (2.3) 由不等式 (2.9) 和 (2.10) 可得. 下证不等式 (2.4). 令参数 $0<\delta<1$, 设 $A$ 为扇形算子

则 $-(A+\delta)$ 和 $-A$ 在 $L^{p}(\Omega)(1<p<\infty)$ 上分别生成解析半群 $\{{\rm e}^{-t(A+\delta )}\}_{t\geq0}$ 和 $\{{\rm e}^{-tA}\}_{t\geq0}.$ 令 $\alpha>0,$ 设 $D(A^{\alpha})$ 为 $L^{p}(\Omega)$ 中赋以图范数的 Banach 空间, 则有如下嵌入定理^[16]

对任意的 $\varepsilon>0,1<p\leq q<\infty,$ 半群 $\{{\rm e}^{-tA}\}_{t\geq0}$ 满足 $L^{p}$-$L^{q}$ 估计

设 $U_{0}\in C(\overline{\Omega}),V_{0}\in C^{1}(\overline{\Omega})$, $F\in C(\overline{Q}_{T})$. 用半群 $\{{\rm e}^{-tA}\}_{t\geq0}$ 将 (2.1) 式中第一个方程的解写为

上式两端取 $C(\overline{\Omega})$ 范数可得: $\forall t\in\lbrack0,T],$

下面估计 (2.12) 式中各项. 注意 $-A$ 在 $C(\overline{\Omega})$ 上生成压缩的解析半群, 则对 $0\leq s<t\leq T$ 有

取 $\varepsilon$ 和 $\alpha$ 满足 $0<\varepsilon<\frac{p-5}{2p},\frac{3}{2p}<\alpha<\frac{1}{2}-\frac{1}{p}-\varepsilon,$ 由此根据嵌入 (2.15) 式和不等式 (2.15a) 并应用 Hölder 不等式有

和

类似估计 (2.16) 式中其余各项并联立 (2.17) 式可得

由此式以及 (2.9) 式得

应用半群 $\{{\rm e}^{-t(A+\delta)}\}_{\geq0}$ 于 (2.1) 式中第二个方程有表达式

上式两端取 $W^{1,p}(\Omega)$ 范数, 则对任意的 $0\leq t\leq T,$

下面估计 (2.19) 式中各项. 首先, 类似于 (2.3) 式进行能量估计可得

其次, 根据嵌入 (2.12) 和不等式 (2.15) 知, 对 $t\in \lbrack0,T],$

类似的方式估计 (2.19) 式中其余各项, 可以得到

联立不等式 (2.18), (2.21), 以及 Sobolev 嵌入 $W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow C(\overline{\Omega})\ (p>3)$, 有

即证当 $U_{0}\in C(\overline{\Omega}),V_{0}\in C^{1}(\overline{\Omega})$ 和 $F\in C(\overline{Q}_{T})$ 时, 不等式 (2.4) 成立. 对 $U_{0}\in L^{\infty}(\Omega),V_{0}\in W^{1,p}(\Omega),$ $F\in L^{\infty}(Q_{T})$ 的情形, 可取光滑函数列 $\{(U_{0n},V_{0n})\}_{n=1}^{\infty}$ 和 $\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$分别在 $L^{2}(\Omega)^{2}$ 和 $\ L^{2}(Q_{T})$ 中收敛于 $(U_{0},V_{0})$ 和 $F$. 由于方程组 (2.1) 相应于 $(U_{0n},V_{0n},F_{n})$ 的解$(U_{n},V_{n})$ 满足不等式 (2.4), 故可取 $\{(U_{n},V_{n})\}_{n=1}^{\infty}$ 的子列使其在 $L^{2}(Q_{T})$ 中收敛于 $(U,V),$ 从而 $(U,V)$ 为 (2.1) 式相应于$(U_{0},V_{0},F)$ 的弱解, 且满足不等式 (2.4).

考虑线性方程组刻画的线性控制系统

其中系数 $a_{1},a_{2},c_{1},c_{2},B_{1}\in L^{\infty}(Q_{T}),B_{2}\in L^{\infty}(Q_{T})^{3};$ 在 $\Sigma_{T}$ 上 $B_{2}\cdot\nu=0;$ $c_{1}$ 满足

注 3.1 这里关于系数 $c_{1}$ 的条件 (3.2) 是合理的. 事实上, 如果 $c_{1}=0,$ 那么由于关于 $V$ 的状态方程无控制作用, $V$ 的轨迹无法在给定的时刻 $T$ 到达 $0,$ 亦即零能控不存在. 条件 3.2 可弱化为: 存在非空开子集 $\omega^{\prime}\subset\omega,$ 使得 $c_{1}(x,t)\geq\sigma_{0}>0\text{ }(\text{或}\ c_{1}(x,t)\leq-\sigma _{0})\text{a.e. }(x,t)\in\omega^{\prime}\times(0,T).$

控制系统 3.1 的共轭线性方程组为

其中 $\eta^{T}$, $\zeta^{T}\in L^{2}(\Omega)$. 本节将建立线性控制系统 3.1在单个控制 $f$下的能控性. 为此, 需建立合适的Carleman估计并由此推导所需的能观性估计. 设 $\omega_{0}$ 是 $\omega$ 的非空开子集, $\overline{\omega_{0}}\subset\omega,$ 则存在函数^[12] $\beta\in C^{2}(\overline{\Omega})$, 满足 $\beta(x)>0,\ \forall x\in\Omega$; $\beta|_{\partial\Omega}=0$; $|\nabla\beta(x)|>0$, $\forall x\in\overline{\Omega\setminus\omega_{0}}$. 有如下 Carleman 不等式^[10]

引理 3.1 设 $g_{i}=g_{i}(x,t)\in L^{2}(Q_{T}),i=0,1,\cdots,3,$ $z=z(x,t)$ 为方程

的弱解, 则对任意的实数 $d,$ 存在常数 $C=C(\Omega,\omega_{0},d)$ 和常数 $\lambda_{0}=\lambda_{0}(\Omega,\omega_{0},d)>1$, 当 $\lambda\geq\lambda_{0}$ 和 $s\geq\gamma(\lambda)(T+T^{2})$ 时有

其中

下面建立适合于方程组 (3.3) 的Carleman估计.

引理 3.2 设共轭方程组 (3.3) 中系数 $c_{1}$ 满足条件 (3.2), 则存在正常数 $\lambda_{1}=C_{0}(\Omega,\omega,\omega_{0})\varpi$, 满足 $\gamma(\lambda_{1})\geq\lambda_{1}>1$, 对于任意的 $\lambda \geq\lambda_{1}$, $s\geq\gamma(\lambda)(T+T^{2})$ 和 $\eta^{T}$, $\zeta^{T}\in L^{2}(\Omega)$, 方程组 (3.3) 的解 $(\eta,\zeta)$ 满足

其中常数 $C=C(\Omega,\omega,\omega_{0})$, 常数 $\varpi$ 由 (2.5) 给出,

证 以下常数 $C_{i}$ 表示不同的依赖于 $\Omega,\omega$ 和 $\omega_{0}$ 的常数. 对方程组 (3.3) 的前两式分别应用引理 3.1, 其中参数 $d$ 分别取 $2$ 和 $0,$ 由此存在常数 $\widetilde{\lambda}_{1}$ 满足 $\gamma(\widetilde{\lambda}_{1})\geq\widetilde{\lambda}_{1}=C(\Omega,\omega_{0})\varpi>1,$ 使对所有的 $\lambda>\widetilde{\lambda}_{1}$ 和 $s\geq \gamma(\lambda)(T+T^{2})$, 方程组 (3.3)的解 $(\eta,\zeta)$ 满足不等式

下面希望消除 (3.7) 式右端中关于 $\zeta$ 的项. 为此, 采用乘子方法. 设截断函数$\xi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, 在 $\omega_{0}$ 上 $\xi=1$; 在 $\Omega\backslash\overline {\omega}$ 中 $\xi=0$; 在 $\Omega$ 中 $0\leq\xi\leq1$, 并且满足 $\xi^{-1/2}\triangle\xi\in L^{\infty}(\Omega)$ 和 $\xi^{-1/2}\nabla\xi\in L^{\infty}(\Omega)^{3}.$ 函数 $\xi$ 的存在性易证. 事实上, 可取截断函数$\psi\in C^\infty_0({\Omega})$, 在 $\omega_0$ 上 $\psi=1$; 在 $\Omega\setminus\overline{\omega}$ 上, $\psi=0$; 在 $\Omega$ 上 $0\leq\psi\leq 1$. 若取 $\xi=\psi^4$, 则 $\xi$ 即满足所需条件.

令 $\Theta=\lambda^{4}(s\varphi)^{3}{\rm e}^{2s\alpha}.$ 根据方程组 (3.3) 中第一式可知 $c_{1}\zeta=\eta_{t}+\triangle\eta+B_{2}\cdot\nabla\eta+a_{1}\eta$, 于是两边同乘 $\Theta\xi\zeta$, 并再 $Q_{T}$ 上积分可得

上式应用分部积分并根据 (3.1) 中第二式有

其中

下面估计 $J_{1}$, $J_{2}$ 和 $J_{3}.$ 已知 $s$ 足够大时 $s\varphi\geq1,$ 且有估计

则利用 Cauchy 不等式可知对任意的正实数 $\varepsilon_{1},$

下面将近一步消除(3.9)-(3.11) 式中关于 $|\nabla\eta|$ 的项. 为此, 令 $\Psi=\lambda^{7}(s\varphi)^{5}{\rm e}^{2s\alpha},$ 再次根据方程组 (3.3) 中第一式可知 $-\triangle\eta=\eta_{t}+B_{2}\cdot\nabla\eta+a_{1}\eta-c_{1}\zeta$, 此式乘以 $\Psi\xi\eta$ 并在 $Q_{T}$ 上积分可得

注意

故利用 Cauchy 不等式对上面的等式做估计得到

因为系数 $c_{1}$ 满足条件 (3.2), 所以

根据此 (3.8)-(3.12) 式, 并取

于是有不等式

最后取 $\lambda_{1}=C(\Omega,\omega,\omega_{0})\varpi \geq\widetilde{\lambda}_{1}$ 足够大, 故当 $\lambda \geq\lambda_{1}$, $s\geq\gamma(\lambda)(T+T^{2})$ 时, 由 (3.13) 式即可得所需不等式 (3.6).

引理 3.3 设共轭方程组 (3.3) 中系数 $c_{1}$ 满足条件(3.2), 则存在正常数 $\lambda$ 和 $s$, 使对任意的 $T>0,\ \eta^{T}$, $\zeta^{T}\in L^{2}(\Omega)$, 方程组 (3.1) 的解 $(\eta,\zeta)$ 满足

特别地, 当 $\lambda$ 和 $s$ 足够大时,

其中参数 $\kappa<2s,$ $\varpi$由 (2.5) 式给出.

证 首先根据能量估计可得对任意的 $t\in \lbrack0,T],$

上式两端取 $[T/4,3T/4]$ 上的积分, 有

因为在 $\Omega\times\left[ T/4,3T/4\right]$ 上 $(s\varphi)^{-5}{\rm e}^{-2s\alpha}\leq {\rm e}^{Cs/T^{2}},\ (s\varphi)^{-3}{\rm e}^{-2s\alpha}\leq {\rm e}^{Cs/T^{2}},$ 所以上式表明

最后取 $\lambda=\lambda(\Omega,\omega,\varpi)>1$ 和 $s=\gamma(\lambda)(T+T^{2})$ 足够大使得

故由引理 3.2 中 (3.6) 式以及 (3.16) 式可得 (3.14) 式; 进一步, 若取 $\lambda$ 和 $s$ 足够大时也有 (3.15) 式.

下面建立线性控制系统 (3.1) 的零能控性.

定理 3.1 设方程组 (3.1) 的系数 $c_{1}$ 满足条件 (3.2), 则对任意的初值 $(U_{0},V_{0})\in L^{2}(\Omega)^{2}$, 存在控制函数 $f\in L^{\infty}(Q_{T})$, 使得方程组 (3.1) 的解 $(U,V)$ 满足 $U,V\in L^{2}([0,T);H^{1} (\Omega))\cap C([0,T);L^{2}(\Omega),$ $U(x,T)=0, V(x,T)=0,\text{ a.e. }(x,t)\in Q_{T},$ 且控制函数 $f$ 满足

这里的 $C$ 为仅依赖于 $\Omega$ 和 $\omega$ 的正常数, $\varpi$ 由 (2.5) 式给出.

证 设参数 $s$ 和 $\kappa<2s$ 由引理 3.3 给出. 对于任意给定的实数 $\varepsilon>0$, 考虑最优控制问题

其中 $J_{\varepsilon}(f)=\frac{1}{2}\Vert1_{\omega}f{\rm e}^{-\frac{1}{2}\kappa\alpha}\Vert_{2}^{2}+\frac{1}{2\varepsilon}\left\Vert (U,V)(\cdot,T)\right\Vert_{L^{2}(\Omega)^{2}}^{2},$ 函数对 $(U,V)$ 为线性方程组 (3.1) 相应于 $f$ 的解. 易知该最优控制问题存在最优解 $(f_{\varepsilon},(U_{\varepsilon},V_{\varepsilon}))$, 其中控制函数 $f_{\varepsilon}$ 有表达式

函数对 $(U_{\varepsilon},V_{\varepsilon})$ 为方程组 (3.1) 相应于 $f=f_{\varepsilon}$ 的解, $(\eta_{\varepsilon},\zeta_{\varepsilon})$ 为共轭方程组 (3.3)相应于

的解. 根据线性方程组 (3.1) 和共轭方程组 (3.3) 之间的对偶关系以及引理 3.3 可知

注意控制函数 $f_{\varepsilon}$ 的表达式 (3.18), 则可知 $f_{\varepsilon}$ 在 $L^{2}(Q_{T})$ 中有估计

下证控制函数 $f_{\varepsilon}$ 在 $L^{\infty}(Q_{T})$ 中的估计. 令 $1<\mu<\kappa$, 并取单调递增的有限序列 $\{\mu_{j}\}_{0}^{\ell+1}$ 使得 $0<\mu_{j}<\mu_{\ell+1}=\mu.$ 令 $\alpha_{0}:=\alpha_{0}(t)=\min\{\alpha(x,t);x\in\overline{\Omega}\}$, 则

其中 $\gamma(\lambda)$ 和 $\alpha=\alpha(x,t)$ 由 (3.5) 式给出. 对每个 $i$ $(i=0,1,\cdots,\ell,\ell+1)$, 定义

则函数 $(\widehat{\eta}_{i},\ \widehat{\zeta}_{i})$ 为方程组

的解, 其中系数 $\widehat{a}_{1}$ 定义为 $\widehat{a}_{1}(x,t)=a_{1}(x,T-t),$ 其余系数 $\widehat{a}_{2},\widehat{c}_{1}, \widehat{c}_{2},\widehat{B}_{1}$ 和 $\widehat{B}_{2}$ 用类似方式给出. 利用半群 $\{{\rm e}^{-tA}\}_{t\geq0}$ 将方程组 (3.22) 的解表示为

取单调递增的有限序列 $\{p_{i}\}_{0}^{\ell}$ 使得 $p_{0}=2,$ $p_{\ell}>5/2,$ 且 $0<1/p_{i-1}-1/p_{i}<1/10.$ 应用半群的 $L^{p_{i-1}}$-$L^{p_{i}}$ 估计^[15]有

其中 $m(t)=\min\{1,t\}.$ 对上式应用 Young 卷积不等式可得

用类似的方式估计 (3.23) 和 (3.24) 式中其余各项得到

一方面, 根据命题 2.1

另一方面, 根据 $\widehat{\eta}_{i}$ 和 $\widehat{\zeta}_{i}$ 的表达式有估计

由此根据 (3.25)-(3.27) 式得到迭代不等式

此外, 对 (3.22) 式的第一个方程应用命题 2.1, 可得

因为 $p_{\ell}>5/2$ 有嵌入 $W_{p_{\ell}}^{2,1}(Q_{T})\subset C(\overline{Q}_{T}),$ 所以

注意 $\widehat{\eta}_{\ell+1}$ 和 $f_{\varepsilon}$ 的定义以及不等式 (3.21)

故可在引理 3.3 中取参数 $\lambda$ 足够大使得 $\kappa-\mu-\mu\gamma(\lambda)^{-1/2}>0$, 从而根据 (3.29) 和 (3.30) 式可得 $f_{\varepsilon}$的$L^{\infty}$ 估计式

最后, 由于序列 $\{f_{\varepsilon}\}$ 在 $L^{\infty}(Q_{T})$ 中有界, 故存在子列 $\{f_{\varepsilon_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$, 当 $\varepsilon_{k}\rightarrow0$ 时, $f_{\varepsilon_{k}}$ 在 $L^{2}(Q_{T})$ 中弱收敛于 $f\in L^{\infty}(Q_{T}).$ 设 $(U_{\varepsilon},V_{\varepsilon})$ 是线性方程组 (3.1) 相对于 $f_{\varepsilon}$ 的解. 根据命题 2.1, 序列 $\{U_{\varepsilon}\}$ 和 $\{V_{\varepsilon}\}$ 在 $L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))\cap W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast})$ 中有界, 从而也存在子列 $\{U_{\varepsilon_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ 和 $\{V_{\varepsilon_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ 使得 $U_{\varepsilon_{k}}$, $V_{\varepsilon_{k}}$ 分别在 $L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))$ 和 $W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast})$ 中弱收敛于 $U$, $V$, 且 $U$ 和 $V$ 属于 $L^{2}([0,T);H^{1}(\Omega))\cap C([T],L^{2}(\Omega))$. 取 $\varepsilon_{k}\rightarrow0$ 时的极限可知 $(U,V)$ 是方程组 (3.1) 相对于 $f\in L^{\infty}(Q_{T})$ 的解. 在式 (3.19) 中取 $\varepsilon_{k}\rightarrow0$ 的极限可知 $(U,V)(x,T)=(0,0)$, a.e. $x\in\Omega;$ 即证方程组 (3.1) 的零能控性. 定理 3.1 得证.

本节将证明非线性控制系统(1.1)的局部精确能控性, 并探讨其在时间最优控制问题中的应用.

定理 4.1 设函数 $h(u,v)$ 满足

令 $p>5$, $(\overline{u},\overline{v})$ 为方程组 (1.2) 相对于 $(\overline{u}_{0},\overline{v}_{0})$ 的轨迹, 则存在不依赖于 $T$ 的正常数 $\tau_{0}$, 使对任意的 $(\overline{u}_{0},\overline{v}_{0})$, 当

时, 存在 $f\in L^{\infty}(Q_{T})$, 使得 (1.1) 的解 $(u,v)$ 满足 $(u,v)(x,T)=(\overline{u},\overline{v})(x,T)$, a.e. $x\in\Omega$.

证 令 $u=\overline{u}+U,$ $v=\overline{v}+V,\ u_{0}=\overline{u}_{0}+U_{0},\ v_{0}=\overline{v}_{0}+V_{0}$, 则方程组 (1.1) 可写为

因此方程组 (1.1) 关于轨迹 $(\overline{u},\overline{v})$ 的精确能控性等价于方程组 (4.3) 的零能控性. 令 $X=L^{2}(Q_{T})\times L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega)),$ 取其子集

对任意的 $(\alpha,\beta)\in K$, 有如下的线性化方程组

其中 $B_{1}=k_{0}\overline{u}\in L^{\infty}(Q_{T}),\ B_{2}:=B_{2}^{\beta}=k_{0}\nabla(\overline{v}+\beta)\in L^{\infty}(Q_{T})^{3},$ 在 $\Sigma_{T}$ 上 $B_{2}\cdot\nu=0,$

系数 $c_{1}:=c_{1}^{\alpha\beta},c_{2}:=c_{2}^{\alpha\beta}$ 类似 $a_{1}^{\alpha\beta},a_{2}^{\alpha\beta}$ 予以定义. 根据假设条件 (4.1) 可知 $c_{1}\geq\sigma_{0},$ 从而满足定理 3.1 的条件, 因此线性方程组 (4.4) 具有零能控性, 亦即对任意的 $(U_{0},V_{0})\in L^{2}(\Omega)^{2}$ 有 $f\in L^{\infty}(Q_{T})$ 使方程组 (4.4) 的解 $(U,V)\in L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))\cap C([T];L^{2}(\Omega))$ 满足 $(U,V)(x,T)=(0,0)$, a.e. $x\in\Omega,$ 且 $f$ 满足

这里以及下述中 $C$ 表示不依赖于 $T$ 的正常数. 定义多值映射 $\Lambda:K\rightarrow2^{L^{2}(Q_{T})},$

下证 $\Lambda$ 满足 Kakutani 不动点定理^[17]. 首先, 根据定理 3.1 可知对每个 $(\alpha,\beta)\in K,$ $\Lambda(\alpha,\beta)$ 非空; 此外, 线性方程组的线性结构保证 $\Lambda(\alpha,\beta)$ 为凸集. 应用命题 2.1 可知 $(U,V)$ 满足

由此可知 $\Lambda(\alpha,\beta)$ 为 $[L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))\times L^{2}(0,T;H^{2}(\Omega))]\cap W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast})^{2}$ 中的有界集, 于是 Aubin-Lions 引理^[17] 保证 $\Lambda(\alpha,\beta)$ 是 $X$ 中的紧集.

其次, 证明 $\Lambda$ 上半连续. 为此, 取 $K$ 的序列 $\{(\alpha_{n},\beta_{n})\}_{n=1}^{\infty}$ 使其当 $n\rightarrow\infty$ 时在 $X$ 中强收敛于 $(\alpha,\beta)$. 对每个 $n,$ 取 $(U_{n},V_{n})\in\Lambda(\alpha_{n},\beta_{n})$, 则由 $\Lambda(\alpha_{n},\beta_{n})$ 的定义, 存在 $f_{n}$ 使 $(U_{n},V_{n})$ 为以下方程组的解

且 $(U_{n},V_{n})(x,T)=(0,0)$, a.e. $x\in\Omega$. 这里 $f_{n}$ 和 $(U_{n},V_{n})$ 分别满足不等式 (4.5) 和 (4.6), 此即表明存在子序列 $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ 和 $\{(U_{k},V_{k})\}_{k=1}^{\infty}$ 使当 $k\rightarrow\infty$ 时, 函数 $f_{k}$ 在 $L^{\infty}(Q_{T})$ 中弱*收敛而在 $L^{2}(Q_{T})$ 中弱收敛于 $f;$ $(U_{k},V_{k})$ 在 $L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))^2$ 和 $W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast})^2$ 弱收敛于 $(U,V).$ 于是根据 Aubin-Lions 引理, $(U_{k},V_{k})$ 在 $L^{2}(Q_{T})^{2}$ 中强收敛于 $(U,V).$ 令 $k\rightarrow\infty,$ 则 $(U,V)$ 为方程组 (4.4) 相应于 $f$ 的弱解. 下证 $(U,V)\in\Lambda(\alpha,\beta)$. 令 $Y_{k}=U_{k}-U$, $Z_{k}=V_{k}-V$. 设 $(Y_{k},Z_{k})$ 为以下方程的解

其中 $G_{k} =-\nabla\cdot\lbrack(B_{2k}-B_{2})U]+(a_{2k}-a_{2})V+(a_{1k}-a_{1})U+1_{\omega}(f_{k}-f),$ $H_{k} =-(c_{1k}-c_{1})U-(c_{2k}-c_{2})V.$ 根据能量估计可得

这里用到 $(U,V)\in L^{\infty}(Q_{T})$. 由于 $\alpha_{k}$ 和 $\beta_{k}$ 分别在 $L^{2}(Q_{T})$ 和 $L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))$ 中强收敛于 $\alpha$ 和 $\beta,$ $f_{k}$ 在 $L^{2}(Q_{T})$ 中弱收敛于$f,$ 从而 $B_{2k},a_{ik}$ 和 $c_{ik}$ 均在 $L^{2}(Q_{T})$ 中收敛于 $B_{2},a_{i}$ 和 $c_{i}(i=1,2),$因此上式右端当 $k\rightarrow\infty$ 时趋于$0,$ 亦即在 $L^{2}(\Omega)^{2}$ 中 $(U_{k},V_{k})(\cdot,t)\rightarrow(U,V)(\cdot,t).$ 又 $(U_{k},V_{k})(\cdot,T)=(0,0),$ 故可知 $(U,V)(x,T)=0$ a.e. $x\in\Omega,$ 即证 $(U,V)\in\Lambda(\alpha,\beta),$ 即证 $\Lambda$ 上半连续.

最后, 证明 $\Lambda(K)\subset K.$ 对任意的 $(U,V)\in\Lambda(K)$, 因为当 $p>5$ 时, 有嵌入 $W_{p}^{2,1}(Q_{T})\subset L^{\infty}(0,T;W^{2(1-\frac{1}{p}),p}(\Omega))\subset L^{\infty}(0,T;W^{1.\infty}(\Omega)),$ 所以根据命题 2.1 和控制函数 $f$ 的估计式 (4.5)

显然, 当 $(U_{0},V_{0})=(u_{0}-\overline{u}_{0}, v_{0}-\overline{v}_{0})$ 满足不等式 (4.2) 时, $(U,V)\in K,$ 亦即 $\Lambda(K)\subset K.$ 综上所述, 多值映射 $\Lambda$ 在 $K\subset X$ 中满足 Kakutani 不动点定理, 即当 $(u_{0},v_{0})$ 满足 (4.2) 式时, 有不动点 $(U,V)\in\Lambda(U,V),$ 从而 $(U,V)$ 为非线性方程组 (4.3) 或 $(u,v)$ 为非线性方程组 (1.1) 的解, 且 $u(x,T)=\overline{u}(x,T)$, $v(x,T)=\overline {v}(x,T)$, a.e. $x\in\Omega$.

定理 4.2 设 $p,\tau_{0}$ 如定理 4.1 所述, 如果非零初值 $({u}_{0},{v}_{0})\in L^{\infty}(\Omega)\times W^{2(1-\frac{1}{p}),p}(\Omega)$ 满足

则问题 (1.3) 至少存在一个时间最优控制.

证 首先, 证明集合 $\Pi$ 非空. 当 $T=1$ 时, ${\rm e}^{-\tau_{0}(1+T+\frac{1}{T})}$ 可取得最大值 ${\rm e}^{-3\tau_{0}}$. 于是当 $(u_{0},v_{0})$ 满足不等式$|u_{0}|_{\infty}+\Vert v_{0}\Vert_{W^{2(1-\frac{1}{p}),p}(\Omega)}\leq {\rm e}^{-3\tau_{0}}$时, 根据定理 4.1, 存在 $f\in L^{\infty}(Q_{T})$, 使得方程组 1.1 的解 $(u,v)$ 在 $T=1$ 时满足 $(u,v)(x,1)=(0,0)$, a.e. $x\in\Omega,$ 从而表明 $T=1\in$ $\Pi,$ 即证集合 $\Pi$ 非空. 其次, 证明时间最优控制的存在性. 令 $T^{\ast}=\inf\Pi$, 并在 $\Pi$ 中取一列不增的数列 $\{T_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 使 $n\rightarrow\infty$ 时, $T_{n}\rightarrow T^{\ast}$. 对 $\forall n$, 由定理 4.1 可知存在控制函数 $f_{n}\in L^{\infty}(Q_{T_{n}})$, 使得方程 (1.1) 的解 $(u_{n},v_{n})\in(L^{2}(0,T_{n};H^{1}(\Omega))\cap C([T_{n}];L^{2}(\Omega)))^{2}$ 满足 $(u_{n},v_{n})(x,T_{n})=(0,0),$ a.e. $x\in\Omega.$ 设 $T>T_{1}$, 将 $u_{n}$, $v_{n}$ 和 $f_{n}$ 在 $[T_{n}]$ 外零延拓

则 $(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n},\widetilde{f}_{n})$ 满足

注意定理 4.1 保证了控制函数 $f_{n}$ 满足

由此 $\{\widetilde{f}_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $L^{\infty}(Q_{T})$ 中有界; 且根据定理 4.1 的证明可知序列

其中 $\rho$ 为有限的正实数, 于是$\left\Vert g(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n})\right\Vert _{L^{\infty}(Q_{T})}+\left\Vert h(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n})\right\Vert _{L^{\infty}(Q_{T})}\leq C_{\rho},$ 这里 $C_{\rho}$ 为依赖于 $\rho$ 的正实数. 根据能量估计可知

由此根据 Aubin-Lions 引理可知 $(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n})$ 在 $L^{2}(Q_{T})^{2}$ 中强收敛于 $(u^{\ast},v^{\ast}),$ 于是存在子列 (仍用相同记号) $\{(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n})\}_{n=1}^{\infty}$ 使当 $n\rightarrow\infty$ 时, $(\widetilde{u}_{n},\widetilde{v}_{n})(x,t)\rightarrow(u^{\ast},v^{\ast})(x,t),$ a.e. $(x,t)\in Q_{T}.$ 因此当 $n\rightarrow\infty$ 时下列子序列均在 $L^{2}(Q_{T})$ 中弱收敛

于是, 在 (4.10) 式中令 $n\rightarrow\infty$ 可知 $(u^{\ast},v^{\ast})\in(L^{2}(0,T;H^{1}(\Omega))\cap W^{1,2}([T];H^{1}(\Omega)^{\ast}))^{2}$ 是方程组 (1.1) 相应于 $f^{\ast}\in L^{\infty}(Q_{T})$ 的弱解$.$ 最后, 注意到 $\widetilde{u}_{n}(\cdot,T_{n})=0,$

可得 $u^{\ast}(T^{\ast},\cdot)=0$; 同理, $v^{\ast}(\cdot,T^{\ast})=0,$ 由此 $T^{\ast}\in\Pi,$ 即证时间最优控制的存在性.