由于分数阶微积分在物理学、生物学、工程技术等诸多领域的广泛应用, 近年来分数阶微分方程理论及其应用的研究获得了快速发展, 见文献 [1⇓⇓⇓-5] 及其参考文献. 作为非牛顿力学, 弹性理论, 种群生物学等诸多领域中的重要数学模型, 带有 $p$-Laplacian 算子的分数阶微分方程边值问题正解理论的研究获得了越来越多的关注, 研究成果不断涌现. 见文献 [6⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-16] 其参考文献. 在这些文献中, 大多数文献研究的都是正解的存在性, 比如文献 [6⇓⇓⇓⇓⇓⇓-13], 而研究正解的存在唯一性的文献相对较少^[14⇓-16]. 文献 [14] 使用 $\delta$-凹增算子的不动点定理研究了如下带有 $p$-Laplacian 算子的 Caputo 型分数阶边值问题正解的存在唯一性

其中$0<\beta\leq 1, 2<\alpha\leq 3$, $0\leq\gamma<1$, $0\leq \xi\leq 1, \lambda>0$.

在文献 [16] 中, 作者使用 $\varphi$-$(h,e)$-凹增算子的不动点定理研究了如下带有 $p(t)$-Laplacian 算子的 Riemann-Liouville 型分数阶 $q$-微分方程的 Stieltjes 积分边值问题正解的存在唯一性

其中$0<q<1, 0<\alpha\leq 1, 2<\beta\leq 3$, $\gamma\geq 0$, $0\leq \xi\leq 1, \lambda>0$.

但是, 当 $p$-Laplacian 分数阶边值问题的非线性项中含有分数阶导数项, 而且边界条件中还含有非线性积分项时, 其正解的存在唯一性研究尚不多见. 特别地, 若确定边界条件中的非线性积分项的函数还是变号的、关于空间变量不单调的, 其正解的存在唯一性研究作者尚未见到. 受此激励, 本文研究如下非线性项中含有分数阶导数项以及边界条件中含有两个非线性积分项的 $p$-Laplacian 边值问题 (简记为 PBVP)

其中 $D^{\alpha}, D^{\beta}, D^\gamma$ 分别是 $\alpha$ 阶, $\beta$ 阶和 $\gamma$ 阶 Riemann-Liouville 型分数阶导数, $I^\nu, I^\omega$ 分别是 $\nu$ 阶和 $\omega$ 阶Riemann-Liouville 型分数阶积分; $0<\gamma<1<\beta<2<\alpha<3$, $\nu,\omega>0$, $0<\xi,\eta<1$, $k>0$; $f\in C([0,1]\times \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$, $h\in C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$, $g\in C([0,1]\times \mathbb{R}^+, \mathbb{R}), $ $\mathbb{R}=(-\infty, +\infty), \mathbb{R}^+=[0,+\infty)$; $\phi_p(s)=|s|^{p-2}s, p>1$. 显然, $\phi_p^{-1}=\phi_q, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

本文在 PBVP(1.1) 中的 $g(t,x)$ 可以是变号的、无界的、关于 $x$ 不单调的情况下, 通过一个推广的和算子不动点定理, 讨论了 PBVP(1.1) 存在唯一正解的一些充分条件, 获得了一些新的结论.

众所周知, 微分方程边值问题正解的存在唯一性问题无论在理论上还是在应用中都是非常重要的, 研究这类问题的主要工具是定义在锥上的带有凹(凸)性的单调算子理论, 参见文献 [14⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-22] 及其参考文献. 本文所讨论的 $p$-Laplacian 分数阶边值问题 (1.1) 无论是和文献 [17,18] 中所研究的不涉及 $p$-Laplacian 算子的整数阶边值问题相比, 还是和文献 [14⇓-16] 中所研究的 $p$-Laplacian 分数阶边值问题相比都是不同的, 不同之处在于不仅 PBVP(1.1) 的非线性项 $f$ 中涉及到未知函数的分数阶导数项, 而且其边界条件中还涉及到分别由非线性函数 $h$ 和 $g$ 所确定的两个积分项; 此外, 虽然文献 [19⇓⇓-22] 所研究的边值问题的边界条件也涉及到由函数 $g$ 所确定的非线性项, 但与这些文献本质上要求 $g$ 满足非负有上界 (或非正有下界) 且单调的条件不同, 本文 PBVP(1.1) 的边界条件中的非线性函数 $g$ 可以是变号的、无界的、不单调的. 正因为这些不同, 本文所使用的条件与这些文献是不同的, 进而本文使用的研究方法比如说获得等价积分方程的方法以及使用的单调算子的不动点定理也与这些文献是不同的.

定义 2.1^[2] 函数 $x:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ 的 $\alpha>0$ 阶 Riemann-Liouville 分数积分是指

只要上式右端在 $(0,+\infty)$ 有定义. 连续函数 $x:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ 的 $\alpha>0$ 阶 Riemann-Liouville 分数导数是指

只要上式右端在 $(0,+\infty)$ 有定义. 其中 $n-1<\alpha\leq n$, $n$ 为正整数, $\Gamma(\alpha)$ 为 Gamma 函数.

引理 2.1^{[13, 引理2.6]} 设 $\vartheta\in C[0,1]$, $\mu,\lambda\in \mathbb{R}$, $0<\gamma<1<\beta<2<\alpha<3$, $\omega>0$, $0<\xi<1$. 若 $\Gamma(\beta+\omega)\neq \mu \xi^{\beta+\omega-1}$, 则分数阶边值问题

有唯一解

其中

其中 $\Delta=\Gamma(\beta)(\Gamma(\beta+\omega)- \mu \xi^{\beta+\omega-1}).$

注 2.1 容易看到: 若 $y$ 是 PBVP(2.1) 的解, 则

容易验证结论

引理 2.2 引理 2.1 中给出的函数 $G(t,s)$ 和 $H_\mu(t,s)$ 满足性质

(i) $0\leq G(t,s)\leq \frac{1}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}, \ t,s\in [0,1];$

(ii) 当 $\mu\geq 0,$ 且 $\Gamma(\beta+\omega)>\mu \xi^{\beta+\omega-1}$ 时, $0\leq H_\mu(t,s)\leq \frac{\Gamma(\beta+\omega)t^{\beta-1}}{\Delta}, t,s\in [0,1];$

(iii) 当 $\mu\leq 0$, 且 $ \Gamma(\beta+\omega)\geq |\mu| \max\{1-\xi^{\beta+\omega-1}+\frac{\omega}{\beta-1},\ \ \frac{\xi^{\beta+\omega-1}(1-\xi)^{\beta-1})}{1-(1-\xi)^{\beta-1}}\}$ 时,

设 $E$ 是实 Banach 空间, $\theta$ 是 $E$ 中的零元素, $P$ 是 $E$ 中的锥. 锥 $P$ 在 $E$ 中定义的半序关系如下: 设 $x,y\in E$, $x\preceq y$ 当且仅当 $y-x\in P$. 若 $x\preceq y$ 且 $x\neq y$, 则记作$x\prec y$. 锥 $P$ 称为正规锥, 若存在常数 $N>0$, 使得对任意 $x,y\in E$ 且 $\theta \preceq x\preceq y$, 有 $\Vert x\Vert \leq N\Vert y\Vert $. 关于锥的详细理论参见文献 [23]. 设 $x,y\in E$, 若存在实数 $l_1>0$, $l_2>0$ 使得 $l_1 x \preceq y \preceq l_2 x $, 则称 $x$ 与 $y$ 具有关系 $\sim$, 记为 $x\sim y$. 显然关系 $\sim$ 是一个等价关系. 设 $e\succ\theta$, 即 $e\in P, e\neq\theta$, 记 $e$ 的等价类为 $P_e$, 即

引理 2.3^{[19, 定理 2.2]} 设 $P$ 是 $E$ 中的正规锥, $A:P\to P$ 及 $B: P\to P$ 皆为增算子. 若

(G1-1) 存在 $e\succ\theta$ 使得 $Ae\in P_e$, $Be\in P_e$;

(G2) 存在实数$\delta\in [0,1)$使得 $A(\tau x)\succeq \tau^{\delta} Ax$ 及 $B(\tau x)\succeq\tau Bx,\ \forall x\in P, \forall \tau\in (0,1);$

(G3) 存在常数 $\sigma_0>0$ 使得 $Ax\succeq\sigma_0 Bx, \ \forall x\in P.$

则算子方程 $Ax+ Bx=x$ 在 $ P_e$ 中有唯一解 $x^*$. 进而对任意的 $x_0\in P_e$, 做迭代序列 $x_n=Ax_{n-1}+ Bx_{n-1}(n=1,2,\cdots)$, 则有

就本文的算子 $B$ 而言, 对任意的 $e\succ\theta$ 皆有 $Be\not\in P_e$, 即引理 2.3 中的条件 (G1-1) 不能满足. 为了获得本文的结论, 我们需推广引理 2.3. 为此令

显然 $P_{e}\subset \overline P_e\subset P$. 根据文献 [19, 定理 2.1] 证明, 引理 2.3 中的条件 (G1-1) 可以减弱为

(G1-2) 存在 $e\succ\theta$ 使得 $Ae\in P_e$, $Be\in \overline P_e$.

于是可获得结论

定理 2.1 设 $P$ 是 $E$ 中的正规锥, $A:P\to P$ 及 $B: P\to P$ 皆为增算子. 若条件 (G1-2), (G2) 和 (G3) 成立. 则算子方程 $A x+ Bx=x$ 在 $ P_e$ 中有唯一解 $x^*$. 进而对任意的 $x_0\in P_e$, 构造迭代序列 $x_n=Ax_{n-1}+ Bx_{n-1}\ (n=1,2,\cdots)$, 则有$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\|x_{n}-x^*\|=0.$

令

对任意的 $x\in X$, 定义其范数为 $\|x\|=\max\limits_{t\in[0,1]}|x(t)|+\max\limits_{t\in[0,1]}|D^{\beta}x(t)|,$ 则 $X$ 为 Banach 空间.

再令

容易证明 $P$ 是 $X$ 中的锥. 显然, $x,y\in P$, $ x\preceq y$ 当且仅当

进而有 $\|x\|\leq \|y\|$, 故 $P$ 是 $X$ 中正规常数为1的正规锥.

定义 3.1 若函数 $x\in X$ 是 PBVP(1.1) 的解, 且 $x(t)>0, t\in(0,1)$, 称 $x$ 为 PBVP(1.1) 的正解.

本文将使用条件

(H1) $f(t, x_1, y_1)\leq f(t, x_2, y_2),\ h(x_1)\leq h(x_2), \ 0\leq x_1\leq x_2,0\leq y_1\leq y_2, \ t\in[0,1].$

(H2-1) $g(t,0)\geq 0, t\in[0,1]$. 存在 $\mu\geq 0$ 满足

使得

此外, 存在非负函数 $\varphi\in L[0,1]$ 使得 $\int_0^\xi (\xi-s)^{\omega-1}\varphi(s){\rm d}s>0$, 且

(H2-2) $g(t,0)\geq 0, t\in[0,1]$. 存在 $\mu\geq 0$ 满足 $\Gamma(\beta+\omega)>\mu \xi^{\beta+\omega-1}$, 使得

此外, 存在非负函数 $\varphi\in L[0,1]$ 使得 $\int_0^\xi (\xi-s)^{\omega-1}\varphi(s){\rm d}s>0$, 且

(H3) $h(1)>0$, 且存在 $\delta_i\in (0,1), i=1,2$ 使得对任意的 $ r\in (0,1)$ 有

(H4) $g(t, rx) \geq r g(t,x),\ r\in(0,1), \ x\geq 0,\ t\in[0,1].$

注 3.1 由 (H2-1) 可知: $g(t,x)+\mu x\geq g(t,0)\geq 0, t\in[0,1], x\geq 0.$ 但在此情况下, $g(t,x)$ 可以是变号的、无界的, 也可以关于 $x$ 没有单调性.

由 (H2-2) 可知: $g(t,x)\geq 0, t\in[0,1], x\geq 0.$ 但在此情况下, $g(t,x)$ 可以是无界的.

定理 3.1 如果条件 (H1), (H2-1), (H3) 及 (H4) 成立, 则 PBVP(1.1) 有唯一正解 $ x^*\in P$, 且存在实数 $l^*>0, L^*>0$ 使得

进而, 对任意的 $x_0\in P$, 做迭代序列

$n=1,2,\cdots,$ 则有

证 对任意给定的 $x\in P$, 构造如下边值问题

根据引理 2.1, 边值问题 (3.5) 有唯一解

定义算子 $A$ 和 $B$ 如下: 对任意的 $x\in P$,

则根据注 2.1 可得

于是由引理 2.2 及注 3.1 可知 $A:P\to P$, $B:P\to P$. 再根据PBVP(1.1), PBVP(3.5) 及 (3.6) 式容易看到, $x^*\in P$ 是算子 $A+B$ 的不动点当且仅当$x^*$ 为 PBVP(1.1) 在 $P$ 中的解.

以下分四步来证明定理 2.1 中所有的条件皆成立.

(i) 首先证明算子 $A$ 和 $B$ 皆为锥 $P$ 上的增算子. 对任意 $x_1,x_2\in P, x_1\preceq x_2$ 有

进而, 根据条件 (H1) 及 (H2-1) 可得

故 $ Ax_1\preceq Ax_2, \ Bx_1\preceq Bx_2$.

(ii) 证明存在 $e\succ \theta$ 使得 $ Ae\in P_e$, $Be\in\overline P_e$.

为此令

则

其中

于是

故 $e\in P$ 且 $e\neq \theta$, 即 $e\succ \theta$.定义 $P_{e}$ 和 $\overline P_{e}$ 分别如 (2.2) 式及 (2.3) 式.

根据引理 2.2, 条件 (H1), (H3) 和 (3.7) 式, 对任意的 $t\in[0,1]$ 皆有

此即

其中

既然 $h(1)>0$, 故 $L_0\geq l_0>0$. 从而有 $Ae\in P_{e}$. 再由 (H2-1) 可得

此即

从而有 $Be\in \overline P_e.$

由此可知定理 2.1 中的条件 (G1-2) 成立.

(iii) 证明存在实数 $\delta\in (0,1)$ 使得对任意的 $x\in P$, $r\in (0,1)$ 有 $A(rx)\succeq r^{\delta} Ax$ 及 $B(r x)\succeq r Bx$. 取 $\delta=\max \{\delta_1, \ \delta_2\}$, 于是对任意的 $r\in(0,1)$ 和 $x\in P$, 根据条件 (H3) 有

此即$A(rx)\succeq r^{\delta}A x, r\in(0,1), x\in P$.

另一方面, 对任意的 $r\in(0,1), x\in P$, 由条件 (H4) 可得

此即 $B(rx)\succeq r Bx, r\in(0,1), x\in P.$ 于是, 定理 2.1 中的条件 (G2) 成立.

(iv) 证明存在常数 $\sigma_0>0$ 使得 $Ax\succeq\sigma_0 Bx, \forall x\in P$, 此即定理 2.1 中的条件 (G3). 事实上, 根据 (H2-1), 取 $\sigma=\frac{\int_0^\xi (\xi-s)^{\omega-1}\varphi(s){\rm d}s}{k\Gamma(\omega)}$, $\sigma_0=\frac{1}{\sigma}$, 则对任意的 $x\in P$ 有

故

综上所述, 定理 2.1 中所有条件皆满足. 故根据定理 2.1 可知算子 $A+B$ 在 $P_e$ 中有唯一解 $x^*$, 注意到 $(A+B)(P)\subset P_e$, 故 $x^*$ 就是 PBVP(1.1) 唯一正解, 且 (3.1) 式和 (3.2) 式成立. 进而, 对任意的 $x_0\in P$, 做迭代序列如 (3.3) 则有 (3.4) 式成立. 定理 3.1 得证.

定理 3.2 设条件 (H1), (H2-2), (H3) 及 (H4) 成立, 则 PBVP(1.1) 有唯一正解 $ x^*\in P$, 且存在实数 $l^*>0, L^*>0$ 使得解 $x^*$ 满足 (3.1) 和 (3.2) 式. 进而, 对任意的 $x_0\in P$, 令

$n=1,2,\cdots,$ 则有 $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\max\limits_{t\in[0,1]}|x_{n}(t)-x^*(t)|=0,\ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\max\limits_{t\in[0,1]}|D^{\beta}x_{n}(t)-D^{\beta}x^*(t)|=0. $

证 对任意给定的 $x\in P$, 考虑如下边值问题

根据引理 2.1, (3.8) 式有唯一解

定义算子 $A$ 和 $B$ 如下: 对任意的 $x\in P$,

则

以下类似于定理 3.1 的证明可证本结论成立.

推论 3.1 设条件 (H1), (H3) 及 (H4) 成立. 若 $g(t,x)$ 还满足如下条件

(H5) 对任意的 $0\leq x_1\leq x_2, t\in[0,1]$ 有 $g(t, x_1)\leq g(t, x_2),$ 且存在非负函数 $\varphi\in L[0,1]$ 使得 $\int_0^\xi (\xi-s)^{\omega-1}\varphi(s){\rm d}s>0$ 以及 $ g(t,x)\leq \varphi(t), t\in [0,1], x\geq 0.$

则 PBVP(1.1) 有唯一正解 $ x^*\in P$, 且存在实数 $l^*>0, L^*>0$ 满足 (3.1) 式和 (3.2) 式.

进而, 对任意的 $x_0\in P$, 做迭代序列

$n=1,2,\cdots,$ 则有 $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\max\limits_{t\in[0,1]}|x_{n}(t)-x^*(t)|=0,\ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\max\limits_{t\in[0,1]}|D^{\beta}x_{n}(t)-D^{\beta}x^*(t)|=0. $

注 3.2 推论 3.1 虽是定理 3.1 及定理 3.2 在 $\mu=0$ 时的特殊情况, 但仍是新的结果.

注 3.3 当边值问题的边界条件中带有由变号的、非单调的、或者无界的函数确定的非线性项时, 本文提供了一种用锥理论及单调算理论研究此类边值问题存在唯一正解的方法. 这突破了相似文献对所研究的边值问题中涉及到的和未知函数有关的非线性函数必须都满足非负 (非正) 及某种单调性的限制. 但这个研究只是是一个尝试性的工作, 它不仅仅限于讨论 $p$-Laplacian 分数阶边值问题, 也可以用以研究其它的边值问题; 它也不仅仅限于讨论边界条件中带有变号的、非单调的非线性函数, 也可以尝试讨论方程中的非线性项是变号的或者非单调的情况等等, 总之还有许值得期许的后续工作.

考虑如下分数阶 p-Laplician 微分方程的边值问题

即 $\alpha=\frac{5}{2}, \beta=\frac{3}{2}, \gamma=\frac{1}{2}$, $\nu=\frac{1}{3},\omega=\frac{7}{2}$, $\eta=\frac{1}{4}, \xi=\frac{3}{4}, k=\frac{1}{100}$, $p=\frac{10}{3}$; $h(x)=x^{\frac{5}{7}}, x\in R^+,$

显然有 $f\in C([0,1]\times \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$, $h\in C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+), g\in C([0,1]\times \mathbb{R}^+, \mathbb{R})$, 且 $f $ 和 $ h$ 满足条件 (H1). 此外, $h(1)>0$, $g(t,0)\geq 0, t\in[0,1]$.

取 $\mu=\frac{3}{4}$, 容易验证

对任意的 $0\leq x_1\leq x_2$ 有

再取 $\varphi(t)=\frac{21te^t}{4}, t\in[0,1]$, 则 $\int_0^\xi (\xi-s)^{\omega-1}\varphi(s){\rm d}s>0$ 且

这就证明了条件 (H2-1) 成立.

再取 $\delta_1=\frac{2}{3}, \delta_2=\frac{5}{7}$, 则对任意的 $ r\in (0,1)$ 有

故条件 (H3) 和 (H4) 成立.

既然定理 3.1 的所有条件皆满足, 于是由定理 3.1 可知 PBVP(4.1) 有唯一正解 $x^*\in P$, 且存在正数 $l^*, L^*>0$ 使得

进而, 对任意的初值 $x_0\in P$, 做迭代序列

$n=1,2,\cdots,$ 那么 (3.4) 式成立.

注 4.1 考察本节的边值问题 (4.1), 其边界条件涉及了由 (4.2) 式给出的非线性函数 $g(t,x)$. 容易看到, 该函数是变号的、无界的、关于 $x$ 不单调的. 因此, 文献 [14⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-22] 中所获结论不适合讨论本文边值问题(4.1) 的正解的存在唯一性.