本文考虑下面一类含有强制位势的分数阶薛定谔泊松方程

其中 $s\in (\frac{1}{2},1)$, $0<p\leq p_s^*\triangleq \frac{4}{3}s$, $\mu\in \mathbb{R}$ 是参数. 我们假设 $V(x)$ 满足下列强制性条件

例如, 调和位势函数 $V(x)=|x|^2$ 就满足上述条件 (V). 为了研究问题 (1.1), 我们首先定义一个函数空间 $D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$, 它是 $C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ 在下列范数 ${\left\|\cdot \right\|_{{D^{s,2}}}}$ 下的完备化空间,

其中 $\hat u$ 表示 $u$ 的傅里叶变换. 另外, 我们还定义如下的加权 Sobolev 空间

其上的范数定义为

由条件 (V) 我们可以得到, $H\hookrightarrow H^s(\mathbb{R}^3)$, 并且由文献 [1] 可知, 当 $2 \leq q < 2_s^ * \triangleq \frac{6}{{3 - 2s}}$ 时, 嵌入 $H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^3)$ 是紧的.

对于 $u\in H$, 方程 $(-\Delta)^s\phi = u^2$, $\phi\in D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$ 存在唯一解, 记作 $\phi_{u}^s(x)$, 且

其中 $C_{s}>0$ 是一个常数. 因此, 我们可以将问题 (1.1) 转化成下列方程

为了研究方程 (1.6) 的正规化解, 我们考虑下列约束极小值问题

其中能量泛函 $I_p: H\to \mathbb{R}$ 定义为

约束集合 $S_\rho$ 定义为

由文献 [2] 知, 存在常数 $C>0$ 使得

这里 $\|\cdot\|_{q}$ ($1\leq q<\infty$) 表示 Lebesgue 空间 $L^q(\mathbb{R}^3)$ 的范数. 当 $s \in \left [ {\frac{1}{2},1} \right), p \in \left( {0,\frac{{4s}}{3}} \right]$ 时, 我们可以推出 $I_p\in C^1(H, \mathbb{R})$. 如果 $u_{\rho}$ 为问题 (1.7) 的一个极小可达元, 那么存在相应的Lagrange乘子 $\mu_\rho$ 使得当 $\mu=\mu_\rho$ 时, $u_{\rho}$ 是方程 (1.6) 的解. 此时, 我们称 $(u_{\rho}, \mu_\rho)$ 是方程 (1.6) 的一组正规化解.

近年来, 当 $s=1$ 时, 极小值问题 (1.7) 受到了学者们的广泛研究. 例如, 文献 [3] 证明了当 $s=1$, 参数 $p,\rho$ 满足一定的条件, $V(x)$ 为强制位势时, 问题 (1.7) 存在极小元. 另外, 当 $s=1$, 位势 $V(x)=0$ 时, 不少学者也对问题(1.7) 进行了研究. 他们指出问题 (1.7) 极小元的存在性与参数$p,\rho$有关. Sanchez 和 Soler^[4,5] 证明了当 $s=1$, $0 < p < 1$ 且$\rho>0$ 充分小时, 问题 (1.7) 存在极小元, Georgiev 等^[6] 运用隐函数理论证明了该极小元是径向对称的. Bellazzini 和 Siciliano 等^[7] 证明了当 $s=1$, $1 < p < {p^ * } = \frac{{10}}{3}$ 且 $\rho>0$ 充分大时, 问题(1.7) 存在极小元. 更进一步, Luo 和 Jeanjean^[8] 推广了这个结论, 给出了当 $s=1$, $1 < p < {p^ * } = \frac{{10}}{3}$ 时问题 (1.7) 存在极小元的充分必要条件. 对于其它形式的薛定谔方程, 也有不少文献对其正规化解进行了研究, 读者可见文献 [9⇓⇓⇓-13] 等.

受上述工作的启发, 本文得到主要结论

定理 1.1 假设$V(x)$ 满足条件 (V), 当 $s\in (\frac{1}{2},1)$, $0 < p < p_s^ * = \frac{{4s}}{3}$ 时, 对任意的 $\rho >0$, 问题 (1.7) 都存在极小可达元.

根据文献 [14], 方程

具有唯一的非负基态解, 不妨假设 $u=Q_{p}(x)$ 是方程 (1.11) 的非负基态解, 则我们可以得到下面的定理.

定理 1.2 假设 $V(x)$ 满足条件 (V), 当 $s\in (\frac{1}{2},1)$, $p= p_s^ *=\frac{{4s}}{3}$ 时, 对任意的 $0<\rho \leq \rho_{*}:=\|Q_{p_s^ *}\|_2^2$, 问题 (1.7) 都存在极小可达元.

注 1.1 $s\in (\frac{1}{2},1)$ 这一条件是为了使得算子 $\Phi:H\rightarrow D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$, $\Phi(u)=\phi_u^s$ 是紧的, 其中$\phi_u^s$ 由 (1.5) 式给出.

首先我们定义一个算子 $\Phi:H\rightarrow D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$, $\Phi(u)=\phi_u^s$, 其中$\phi_u^s$ 由 (1.5) 式给出. 下面我们证明算子 $\Phi$ 是紧的.

引理 2.1 假设 $V(x)$ 满足条件(V), 当 $s\in (\frac{1}{2},1)$ 时, 如果函数列 $\{u_n\}$ 在 $H$ 中弱收敛于 $u$, 则

$\Phi(u_n)$ 在 $D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $\Phi(u)$.

证 由 $s\in (\frac{1}{2},1)$ 得 $\frac{12}{3+2s}\in (2,2_s^*)$. 再由嵌入 $H\hookrightarrow L^{\frac{12}{3+2s}}(\mathbb{R}^3)$ 是紧的, 可得

因此, $\Phi(u_n)$ 在 $D^{s,2}(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $\Phi(u)$. 证毕.

在证明定理 1.2 中 $\rho=\rho^{*}$ 的情形时, 参照文献 [15, 引理 2.2], 我们有如下消失引理成立.

引理 2.2 如果序列 $\{u_n\}$ 在空间 $H^s(\mathbb{R}^d)$中有界, 且满足消失情形, 即对于任意 $0<R<+\infty$,

其中 $d\ge 2$, 则在空间 $L^q(\mathbb{R}^d), 2<q<2_s^{*}$ 中, $u_n\to 0$.

下面为了表达式简洁起见, 对于任意的 $u\in H$, 我们定义如下泛函

则能量泛函 $I_p(u)$ 可简写为

定理 1.1 的证明 设 $\left\{ {{u_n}} \right\} \subset {S_\rho }$ 是问题 (1.7) 的一个极小化序列. 根据文献 [14] 中分数阶 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式的定义, 即对任意的 $u\in H^s(\mathbb{R}^3)$ 都有

其中 ${\alpha _p} = \frac{{2s}}{{2ps - 3p + 4s}},{\beta _p} = {\left( {\frac{{2ps - 3p + 4s}}{{3p}}} \right)^{\frac{{3p}}{{4s}}}}$, $q = \frac{{2ps - 3p + 4s}}{{4s}}$, $Q_{p}$ 是方程 (1.1) 的基态解, 并且上述不等式中的等号成立当且仅当 $u=Q_{p}$, 由此我们可以推出

因为 ${u_n} \in {S_\rho }$, 所以 ${\int_{{R^3}} {\left| {{u_n}} \right|} ^2}{\rm d}x = \rho$. 令 $a = \frac{{{\rho ^q}}}{{\left\| Q_{p} \right\|_2^p}}2{\alpha _p}{\beta _p},\quad\sigma = \frac{{3p}}{{4s}}$, 由 (3.4) 式可得

当 $0 < p < p_s^ * = \frac{{4s}}{3}$ 时, 有 $0 < \sigma = \frac{{3p}}{{4s}} < 1$, 由 (3.5) 式可以推出 ${m_p}\left( \rho \right)>-\infty$. 因为对任给的正数 $\varepsilon$, 存在与 $\varepsilon$ 有关的常数 $c\left( \varepsilon \right)$ 使得对任意的 $t \ge 0$, 都有 ${t^\sigma } \le \varepsilon t + c\left( \varepsilon \right)$, 选取 $\varepsilon = \frac{1}{2a}$, 并将 $t$ 替换为 $A(u_n)$, 由 (3.5) 式我们得到

因为 ${m_p}\left( \rho \right)>-\infty$, 且当 $n \to \infty$ 时, ${I_p}\left( {{u_n}} \right) \to {m_p}\left( \rho \right)$, 所以存在常数 $C>0$, 使得对于任意的 $n\in \mathbb{N}$, 有 $\left| {{I_p}\left( {{u_n}} \right)} \right| \le C$. 由 (3.6) 式可得

于是

由此推出 $\{\|u_n\|_{H}\}$ 是有界的.

假设在 $H$ 中 $u_n\overset{n}{\rightharpoonup} u_0$, 由范数的弱下半连续性可知

由引理 $2.1$ 可得 $\int_{\mathbb{R}^3} {\phi _{{u_n}}^s} u_n^2{\rm d}x \stackrel{n}{\rightarrow} \int_{\mathbb{R}^3} {\phi _{{u_0}}^s} {u_0^2}{\rm d}x$, 即 $B\left( {{u_n}} \right) \stackrel{n}{\rightarrow} B\left( u_0 \right)$. 由于嵌入 $H\hookrightarrow L^{q}(R^3),$ $2 \le q < 2_s^ * = \frac{6}{{3 - 2s}}$ 是紧的, 且当 $0 < p < \frac{{4s}}{3}$ 时, 有 $2 < p + 2 <\frac{{6 + 4s}}{3} < 2_s^ *$, 因此, ${\int_{\mathbb{R}^3} {\left| {{u_n}} \right|} ^{p + 2}}{\rm d}x \stackrel{n}{\rightarrow} {\int_{\mathbb{R}^3} {\left| u_0 \right|} ^{p + 2}}{\rm d}x$. 于是,

另一方面, 由于

所以 $u_0\in S_{\rho}$. 再由 $m_{p}(\rho)$ 的定义得 ${I_p}\left( u_0 \right) \ge {m_p}\left( \rho \right)$. 综合上述, 我们可以得到 ${I_p}\left( u_0 \right) = {m_p}\left( \rho \right)$. 证毕.

定理 1.2 的证明 我们分如下两种情况分别证明问题 (1.7) 都存在极小可达元.

情形 1 当 $p = p_s^ * = \frac{{4s}}{3}$, 且 $0 < \rho < {\rho ^ * } \buildrel \Delta \over = {\left\| Q_{p^{*}_{s}} \right\|_2^p}$ 时, 对于 (3.3) 式中的常数 $\alpha _p,\beta _p$ 及 (3.5) 式中的常数 $a$, 有

设 $\left\{ {{u_n}} \right\} \subset {S_\rho }$ 是问题 (1.7) 的一个极小化序列, 由 (3.5) 式可得

根据 (3.12) 式我们可以推出 ${m_p}\left( \rho \right)\geq 0$. 因为当 $n \to \infty$ 时, ${I_p}\left( {{u_n}} \right) \to {m_p}\left( \rho \right)$, 所以存在常数 $C_1>0$, 使得对于任意的$n\in \mathbb{N}$, 有 $\left| {{I_p}\left( {{u_n}} \right)} \right| \le {C_1}$, 并且

因此, $\{\|u_n\|_{H}\}$ 是有界的.

假设在 $H$ 中 $u_n\overset{n}{\rightharpoonup} u_0$, 由范数的弱下半连续性可知

由引理 2.1 可得 $B\left( {{u_n}} \right) \to B\left( u_0 \right)$. 由于 $H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^3), 2 \le q < 2_s^ * = \frac{6}{{3 - 2s}}$ 是紧嵌入, 注意到对于 $p = \frac{{4s}}{3}$, 有 $p + 2 = \frac{{6 + 4s}}{3} <2_s^ *$, 所以 ${\int_{{\mathbb{R}^3}} {\left| {{u_n}} \right|} ^{p + 2}}{\rm d}x \to {\int_{{\mathbb{R}^3}} {\left| u_0 \right|} ^{p + 2}}{\rm d}x$. 由上述分析我们可以推出

下面证明 ${I_p}\left( u_0 \right) \ge {m_p}\left( \rho \right)$, 因为在 $H$ 中 $u_n\overset{n}{\rightharpoonup} u_0$, 而$H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^3), 2 \le q < 2_s^ *$ 是紧嵌入, 因此 ${u_n} \to u_0$ 在 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 中, 由此可得

所以 $u_0\in S_{\rho}$, 由 $m_{\rho}(\rho)$ 的定义得 ${I_p}\left( u_0 \right) \ge {m_p}\left( \rho \right)$, 所以 ${I_p}\left( u_0 \right) ={m_p}\left( \rho \right)$.

情形 2 当 $p = p_s^ * = \frac{{4s}}{3}$ 且 $\rho ={\rho ^ * }$ 时, 此时 $a = \frac{{{\rho ^q}}}{{\left\| {{Q_p}} \right\|_2^p}}\cdot 2{\alpha _p}{\beta _p} = \frac{{{\rho ^q}}}{{{{\left( {\left\| {{Q_p}} \right\|_2^2} \right)}^q}}} = 1$. 由 (3.12) 式可得

因此 $m_p(\rho )\ge 0$, 且当 $n\to \infty$ 时, ${I_p}({u_n}) \to {m_p}(\rho )$. 所以存在常数 $C_2>0$, 使得对于任意的 $n\in \mathbb{N}$, 有 $\left| {{I_p}\left( {{u_n}} \right)} \right| \le C_2$, 再由 (3.17) 式可得

接下来我们证明 $\{u_n\}$ 在 $H$ 中是有界的. 由 (3.18) 式可知, 只需证明存在常数 $C>0$ 使得

利用反证法, 假设存在 $\{u_n\}$ 的子列, 仍记为 $\{u_n\}$, 使得 $\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}} {u_n}{|^2}{\rm d}x\stackrel{n}{\longrightarrow}+\infty$. 则由 (3.18) 式以及 ${{I_p}\left( {{u_n}} \right)} \le C_2$ 可得

在能量泛函 $I_p(u_n)$ 的等式两边同除以 $\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{u_n}{|^{p_s^* + 2}}{\rm d}x}$, 再关于 $n\to +\infty$ 取极限可得

结合(3.18), (3.20)式得到

令${w_n} = \xi _n^{\frac{3}{2}}\cdot {u_n}({\xi _n}x)$, 其中${\xi _n} = {(\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}{u_n}{|^2}{\rm d}x} )^{\frac{{ - 1}}{{2s}}}}$, 则

根据 (3.23) (3.24) 式可知 $w_n\in S_{\rho}$, $\{w_n\}$ 在 $H^s({\mathbb{R}^3})$ 中有界且满足 (3.25) 式, 因此我们可以推出

根据引理 2.2 可知, 如果 $\{w_n\}$ 满足消失情形, 则 ${\left\| {{w_n}} \right\|_{{L^q}}}\stackrel{n}{\longrightarrow}0$, 其中 $2<q=p_s^* + 2<2_s^{*}$. 这与(3.25)式矛盾. 因此, 消失情形不成立, 根据 (2.1)式可知存在 $\{y_n\}\subset \mathbb{R}^3$, $0<R<+\infty,\eta >0$, 使得 $\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty }\int_{{B_R(y_n)}} {|{w_n}{|^2}{\rm d}x \ge \eta > 0}$.

令 $\widetilde w_n (x)={w_n}( x + {y_n})=\xi_n^{\frac{3}{2}}\cdot u_n(\xi_nx+\xi_ny_n), x'=x+y_n$, 我们有

则 $\widetilde w_n\in S_{\rho}$, 且 $\{\widetilde w_n\}$ 在 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中有界, 因此存在一个子列仍记为 $\{\widetilde w_n \}$, 使得在空间 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中, $\widetilde w_n\overset{n}{\rightharpoonup} w$. 由于 $H^s(B_R(0))\hookrightarrow L^{q}(B_R(0)), 0<R<+\infty,2\le q \le 2_s^{*}$ 是紧嵌入, 可得

再根据 (3.29) 式可得

其中 $0<R<+\infty$. 根据上式可知, $w t \equiv 0$.

接下来我们计算 $B(\widetilde w_n )$, 其中 $B(\cdot)$ 在 (3.1) 和 (1.5) 式中给出, 则

根据 $\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}} {u_n}{|^2}{\rm d}x\stackrel{n}{\longrightarrow}+\infty$ 可得 ${\xi _n} = {(\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}{u_n}{|^2}{\rm d}x} )^{\frac{{ - 1}}{{2s}}}}\stackrel{n}{\longrightarrow}0$. 由 (3.17) 式, 可得

在该不等式两边同乘以 $\xi_n^{3-2s}$, 并关于 $n\to \infty$ 取极限, 结合 (3.31) 式以及引理 2.1 可得如下矛盾

所以 $\int_{{\mathbb{R}^3}} {|{{( - \Delta )}^{\frac{s}{2}}}} {u_n}{|^2}{\rm d}x \le C$ 成立,

且序列 $\{u_n\}$ 在 $H$ 中有界. 假设在 $H$ 中 $u_n\overset{n}{\rightharpoonup} u_0$, 类似于前面情形 1 中的证明可得 ${I_p}\left( u_0 \right) ={m_p}\left( \rho \right)$. 证毕.