本文主要利用 Tauberian 定理考察非齐次 Cauchy 问题

的解在无穷远处的渐近周期状态, 这里 $ A $ 是 Banach 空间 $ X $ 上的 $C_{0}$-算子半群的生成元, $ \varPhi$ 是从 $ \mathbb{R} $ 到 $X$ 的连续映射. 所谓 Tauberian 定理是指从函数的某些平均性质 (例如函数的谱集性质) 推导出它在无穷远处的渐近性态. Tauberian 定理通常是一些简单结果的逆定理. 例如, 函数 $f$ 在无穷远处趋近于零, 则易见该函数的平均值函数 $F(t)=\frac{1}{t}\int^{t}_{0}f(s){\rm d}s$ 也是在无穷远处趋近于零的, 但是反过来不一定成立. 要用函数的平均状态推导出函数的渐近性态, 往往需要添加一些附加的条件, 这些条件通常称为 Tauberian 条件, 而这类定理通常称为 Tauberian 定理. 关于 Tauberian 定理的更多内容, 读者可以参见文献 [21, 第9章] 或文献 [2, 第4章].

一类典型 Tauberian 定理是利用函数的谱集性质来刻画函数的渐近周期状态^{[1⇓⇓⇓⇓-6,18,23,24]}. 例如, 在 1995 年, Ruess 和 Vu^[23]给出了如下关于渐近周期函数 (即周期函数和 $C_{0}$ 函数的直和) 的 Tauberian 定理.

定理 1.1^{[23, 命题6.2]} 设 $\omega >0$, $f \in BUC(\mathbb{R},X)$. 若 $f$ 的谱集 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \frac{2\pi}{\omega}\mathbb{Z}$ 且 $f$ 在每一个点 $\lambda \in \textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f)$ 处是一致遍历的, 即极限

关于 $\alpha \ge 0$ 一致存在, 则 $f$ 是渐近周期函数.

Tauberian 定理在判断 Cauchy 问题 (简记为 (CP) 解的渐近状态时起着桥梁作用. 简单来说, 考虑 (CP) 的特殊情况, 当非齐次项 $\varPhi \equiv 0$ 时, 经过一些技术性处理之后, 我们可以推出算子 $A$ 的谱集 $\sigma(A)$ 和 (CP) 解 $u$ 的谱集 $\textbf{sp}(u)$ 有着如下关联 (证明过程详见文献 [1, P373])

利用 (1.1) 式和定理 1.1, 在满足一定遍历性条件下, 当算子 $A$ 的谱集在虚轴的部分包含于 $\frac{2\pi}{\omega}\mathbb{Z}$ 时, 我们就可以推导出方程的解 $u$是渐近周期函数.

虽然 Ruess 和 Vu 研究 $(\textbf{CP})$ 解的渐近周期性的方法很有效, 但在大多实际情况中, 往往只知道算子 $A$ 的谱集性质, 而很难判断解是否具有遍历性. 因此, 本文将采用不同的思路研究, 试图把定理 1.1 中的遍历性假设去掉. 具体来说, 我们先考虑 $(\textbf{CP})$ 的一种特殊情况, 即当 $A=0$ 时, 则 $(\textbf{CP})$ 变成了求解非齐次项 $\varPhi$ 的原函数问题

从 (1.2) 式可以看出, 非齐次项函数 $\varPhi$ 在无穷远处的渐近周期状态与方程 (1.2) 的解 $u$ (即 $\varPhi$ 的原函数) 在无穷远处的渐近周期状态必然具有某种关联性. 例如, 周期函数的有界原函数一定是周期函数, 但是渐近周期函数的有界原函数却不一定是渐近周期函数 (见例 2.1). 从这个现象出发, 我们直接定义了一类新的函数空间, 缓慢周期函数空间 (见定义 2.3). 我们不但证明了渐近周期函数的有界原函数是缓慢周期函数 (见定理 2.1), 而且还发现了缓慢周期函数的差分也正好是渐近周期函数 (见定理 2.2). 更为有趣地是, 我们定义的缓慢周期函数是一类特殊的 $\S$-渐近周期函数 (见定义 2.4). $\S$-渐近周期函数的概念最早是由 Pierri 等^[13,19]提出的. 至今为止, $\S$-渐近周期函数的概念受到了越来越多学者的关注, $\S$-渐近周期函数理论已经非常丰富并且广泛运用于各类微 (积)分方程当中^{[7⇓⇓⇓-11,13⇓-15,17⇓⇓-20,24]}

本文给出了一系列 Tauberian 定理 (见定理 3.1, 3.2 和 3.3). 利用本文所得到的 Tauberian 定理, 我们给出了一个判断 $(\textbf{CP})$ 方程的解具有渐近周期性的谱集条件 (见定理 4.1), 并将此结果运用于一个具体的非齐次微分方程. 特别值得一提地是, 该方程的非齐次项是渐近周期函数, 但是它的解却不是渐近周期的而是 $\S$-渐近周期的. 这充分说明 $\S$-渐近周期函数是渐近周期函数的一类自然扩充.

本文的结构大致如下: 第 2 节, 我们介绍了本文的基本记号, 并回顾一些函数空间的基本概念和性质; 第 3 节, 研究并建立关于 $\S$-渐近周期等函数的 Tauberian 定理; 第 4 节, 我们将主要结果运用于研究 Cauchy 问题解的渐近周期性并举例说明.

在本文中, 分别用 $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{N}$ 表示复数集, 实数集, 整数集和正整数集. 记 $ X $ 为一个复 Banach 空间, 用 $BUC(\mathbb{R},X)$ 表示所有从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 有界且一致连续函数的全体在上确界范数 $\left|\left|\cdot\right|\right|_{\infty}$ 意义下构成的 Banach 空间.

设 $t \in \mathbb{R} $, 记$S(t):BUC(\mathbb{R},X)\to BUC(\mathbb{R},X)$,

称 $S(t)$ 是 $BUC(\mathbb{R},X)$ 上的位移算子. 易见 $\{ S(t): t \in \mathbb{R} \}$ 是一个 $C_{0}$-群, 用 $B$ 表示它的生成元. 若 $BUC(\mathbb{R},X)$ 的子空间 $\mathcal{F}$ 满足

则称 $\mathcal{F}$ 是 $BUC(\mathbb{R},X)$ 的平移不变的子空间.

设 $\eta \in \mathbb{R}$, 记 $Q_{\eta}:BUC(\mathbb{R},X)\to BUC(\mathbb{R},X)$,

下面, 我们回顾一下几类函数空间的定义. 记

和

这里 $ \omega > 0.$

定义 2.1^[6] 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$, 若对于任意 $\omega > 0$, 有

则称 $f$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的缓慢变化函数, 用 $SV(\mathbb{R},X)$ 表示所有这样函数构成的全体.

定义 2.2^[23] 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$ 和 $\omega > 0$, 若存在 $g \in P_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 $\varphi \in C_{0}(\mathbb{R},X)$ 使得 $f=g+\varphi$, 则称 $f$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的渐近 $\omega$-周期函数, 用 $AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 表示所有这样函数构成的全体.

由 $AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 的定义, 不难验证

定义 2.3 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$ 和 $\omega > 0$, 若存在 $g_{n} \in P_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 $\phi_{n} \in SV(\mathbb{R},X)$ 使得极限

在 $BUC(\mathbb{R},X)$ 中收敛到 $f$, 则称 $f $ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的缓慢 $\omega$-周期函数, 用 $SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 表示所有这样函数构成的全体.

定义 2.4^[13] 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$ 和 $\omega > 0$, 若

则称 $f$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的 $\mathcal{S}$-渐近 $\omega$-周期函数, 用 ${\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 表示所有这样函数构成的全体.

由 ${\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 的定义, 不难验证

由以上定义, 易见 $SV(\mathbb{R},X)$, $AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, $SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 ${\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 都是 $BUC(\mathbb{R},X)$ 的闭子空间, 且我们有

接下来, 为了说明 (2.3) 和 (2.4) 式中的包含号都可以是真包含号, 我们引入如下几个定理和例子.

定义 2.1 设 $\omega > 0$ 和 $f \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, 则对于任意 $t \in \mathbb{R}$, 有 $S(t)f-f \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 特别地, 若 $f$ 可导且 $f' \in BUC(\mathbb{R},X)$, 则 $f' \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

证 设 $f \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, 则存在 $g_{n} \in P_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 $\phi_{n} \in SV(\mathbb{R},X)$ 使得

于是, 对于任意 $t\in \mathbb{R}$, 我们有

由于 $S(t)$ 是有界线性算子, 则

特别地, 若 $f$ 可导且 $ f' \in BUC(\mathbb{R},X)$, 由文献 [2, 引理 4.5.5]{ABHN11} 知

证毕.

定理 2.2 设 $\omega > 0$ 和 $f \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, 若 $F(t)=\int^{t}_{0}f(s){\rm d}s$ 有界, 则 $F \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

证 设 $f=g+\varphi$, $g \in P_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 $\varphi \in C_{0}(\mathbb{R},X)$. 记 $G(t)=\int^{t}_{0}g(s){\rm d}s$ 和 $\varPhi(t)=\int^{t}_{0}\varphi(s){\rm d}s$. 由于 $F$ 有界, 据文献 [22, 引理 4.6]{RS89} 知 $G$ 也是有界的. 由于 $\omega$- 周期函数的有界原函数也是 $\omega$-周期函数, 于是 $ G \in P_{\omega}(\mathbb{R},X) $. 因此, $\varPhi$ 也是有界的. 对于任意 $\tau>0$, 我们有

因此, $\varPhi \in SV(\mathbb{R},X)$. 综上, $F \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X).$ 证毕.

我们用下述两个例子说明 $C_{0}(\mathbb{R},X)\subsetneqq SV(\mathbb{R},X)$ 和 $SP_{\omega}(\mathbb{R},X)\subsetneqq {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, 且渐近周期函数的有界原函数不一定是渐近周期的.

例 2.1 设 $f(t)=\sin{(1+t^{2})^{\frac{1}{4}}},\ t \in \mathbb{R}$. 易见

因此, $f \in SV(\mathbb{R},X)$. 下面我们说明 $f \notin C_{0}(\mathbb{R},X)$. 对于正整数 $k \in \mathbb{N},$ 取 $t_{k} \in \mathbb{R}^{+} $ 满足

则当 $k \to \infty$ 时, 有 $t_{k}\to +\infty$. 由于 $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f(t_{k}) = 1$, 则 $f \notin C_{0}(\mathbb{R},X)$. 因此, 我们有

接下来, 我们再用反证法说明 $f$ 不是渐近周期的. 假设 $f \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 记 $f=h+\varphi$, 这里 $h \in P_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 和 $\varphi \in C_{0}(\mathbb{R},X)$. 由于 $f \in SV(\mathbb{R},X)$, 因此我们有

于是,

则 $h$ 是一个常函数. 从而极限 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty}f(t)$ 存在, 这显然是错误的. 因此, 我们有 $f \notin AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 注意到 $f'\in C_{0}(\mathbb{R},X)$, 这说明了渐近周期函数的有界原函数不一定是渐近周期的.

例 2.2 设 $g(t)={\rm e}^{{\rm i}t} f(t) ={\rm e}^{{\rm i}t} \sin{(1+t^{2})^{\frac{1}{4}}},\ t \in \mathbb{R}$, 这里的函数 $f$ 是在例 2.1 中定义的. 由于 $f \in SV(\mathbb{R},X)$, 易见 $g \in {\S}AP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$. 下面用反证法证明 $f \notin SP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$. 假设 $f \in SP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$. 根据定理 2.1 知 $S(\pi)g-g \in AP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$. 再由于

据 (2.1) 式知 $h\in AP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$, 这里

据 $f \in SV(\mathbb{R},X)$, 易见 $h \in SV(\mathbb{R},X)$. 设 $h =\varphi + \phi$, $\varphi \in P_{2 \pi}(\mathbb{R},X)$, $\phi \in C_{0}(\mathbb{R},X)$. 于是, 对于任意 $t \in \mathbb{R}$, 有

因此, $ S(t)\varphi-\varphi \in P_{2 \pi}(\mathbb{R},X) \cap C_{0}(\mathbb{R},X)$, 即 $S(t)\varphi-\varphi \equiv 0.$ 由 $t$ 的任意性知 $\varphi$ 是常函数. 于是我们有下述极限存在

一方面, 利用 (2.5), (2.6) 和 (2.7) 式, 由微分中值定理, 我们有

这里 $\xi_{k} \in [t_{k},\ t_{k}+\pi]$. 另一方面, 令 $s_{k} \in \mathbb{R}^{+} $ 满足

则当 $k \to \infty$ 时, 有 $s_{k}\to +\infty$. 又由于 $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f(s_{k}) = 0$, 同理可得

这显然与 (2.8) 式矛盾. 综上, $f \notin SP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$. 因此, 我们有 $SP_{2\pi}(\mathbb{R},X) \subsetneqq {\S}AP_{2\pi}(\mathbb{R},X)$.

从例 2.1 和例 2.2 中不难发现, (2.3) 和 (2.4) 式中的所有包含号都是真包含号.

本节的主要目的是为了引入渐近周期函数的 Tauberian 定理, 即定理 3.3. 为了叙述方便, 在下文中我们引入如下记号.

设 $ h: \mathbb R \to \mathbb C $ 和 $ f: \mathbb R \to X $ 是可测函数, 若下述 Bochner 积分

存在, 则称 $h*f$ 是 $h$ 和 $f$ 的卷积.

设 $ \varphi \in L^{1}(\mathbb{R},X) $, 记 $ \widehat{\varphi}: \mathbb{R} \to X $,

称 $ \widehat{\varphi}$ 是 $\varphi$ 的 Fourier 变换.

记 $\rho_{1} \in L^{1}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 满足 $\mbox{supp}\widehat{\rho}_{1} \subset [-2,2] $ 且有

这里 $\mbox{supp}\widehat{\rho}_{1} =\overline{ \{t\in \mathbb{R} : \widehat{\rho}_{1}(t) \ne 0 \}}$.

对于 $r > 0$, 记 $\rho_{r} \in L^{1}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 满足

易见 $ \mbox{supp}\widehat{\rho}_{r} \subset [-{2}{r}, {2}{r}] $ 且

引理 3.1 以下命题成立

(i) 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$, 则 $\mathop{\lim }\limits_{r \to +\infty}f * \rho_{r}=f. $

(ii) 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$, 若 $f$ 的原函数有界, 则

引理 3.1 的证明读者可以参见文献 [2, 引理 1.3.3]{ABHN11} 和文献 [16, 引理 2, p89].

定义 3.1^[25] 设 $\mathcal{F} \subset BUC(\mathbb{R},X)$ 是平移不变的闭子空间, $\eta \in \mathbb{R} $ 和 $f \in BUC(\mathbb{R},$ $ X)$. 若对于任意 $\varepsilon > 0$, 存在 $\varphi \in L^{1}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 且 $\mbox{supp} \widehat{\varphi} \subset(\eta-\varepsilon, \eta+\varepsilon)$, 使得

则称 $\eta $ 是 $f$ 关于 $\mathcal{F}$ 的谱点. 记 $\textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f)$ 为所有这样的点组成的集合. 特别地, 当 $\mathcal{F} = \{ 0 \} $ 时, 称 $\eta$ 是 $f$ 的 Beurling 谱点, 将 $\textbf{sp}_{\{0\}}(f)$ 记为 $\textbf{sp}_{B}(f)$. 为简便起见, 当 $\mathcal{F} = SV(\mathbb{R},X)$ 时, 我们将$\textbf{sp}_{SV(\mathbb{R},X)}(f)$ 简记为 $\textbf{sp}_{SV}(f)$, 其它情况也类似简记.

由定义 3.1 易见 $\textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f)$ 是闭集, 且我们有

和

关于 Beurling 谱集的更多内容, 参见文献 [2,16,25].

命题 3.1 设 $f \in BUC(\mathbb{R}, X)$, $ \varphi \in L^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) $, $\mathcal{F}\subset BUC(\mathbb{R}, X)$ 是平移不变的闭子空间. 则

(i) $ \textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f) = \emptyset $ 当且仅当 $ f \in \mathcal{F} $.

(ii) 对于任意 $ t \in \mathbb R $, $ \alpha \in \mathbb{C} \text{且} \alpha \ne 0 $, 有

(iii) $ \textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f * \varphi) \subset \textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f) \cap \mathrm{supp \ }\widehat \varphi $.

(iv) $ \textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f-f * \varphi) \subset \textbf{sp}_{\mathcal{F}}(f) \cap \mathrm{supp \ }(1-\widehat \varphi) $.

(v) $ \varphi * f \in \overline{span}\{S(t)f: \ t \in \mathbb{R}\}, $

这里的闭包是在 $BUC(\mathbb{R},X)$ 中取闭包.

命题 3.1 中 (i)--(iv) 的证明, 参见文献 [15, 3.5 节]; (v) 的证明, 参见文献 [3, 引理 1.2.1] 或者文献 [25, 引理 5.4, p252].

引理 3.2^[16] 设 $f \in BUC(\mathbb{R},X)$. 若 $\textbf{sp}_{B}(f)$ 紧, 则对于任意 $n \in \mathbb{N}$, $f^{(n)}$ 存在且 $f^{(n)} \in BUC(\mathbb{R},X)$, 这里 $f^{(n)}$ 表示 $f$ 的 $n$ 阶导函数.

关于引理 3.2 的证明, 参见文献 [16, p88].

定理 3.1 设 $\omega>0$, $f \in BUC(\mathbb{R}, X)$. 则 $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}(f) \subset \{ 0 \}$ 当且仅当 $ f \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

证 充分性由命题 3.1(i) 易见成立. 下面用反证法证明必要性.

设 $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}(f) \subset \{ 0 \}$. 假设 $f \notin SP_{\omega}(\mathbb{R}, X) $. 由命题 3.1(i) 知 $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}(f) \ne \emptyset $. 于是 $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}(f) = \{0\}$. 根据定义 3.1, 存在 $\varphi \in L^{1}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 且 $\mbox{supp}\widehat{\varphi}$ 是紧集, 使得

由命题 3.1(iii) 知 $\textbf{sp}_{B}(\varphi * f) \subset \mbox{supp}\widehat{\varphi}$ 紧, 据引理 3.2 得 $\varphi * f$ 可导且 $g := (\varphi * f)' \in BUC(\mathbb{R},X)$.

我们断言

为了证明 3.3 式成立, 下面我们证明

设 $\lambda \in \mathbb{R} \backslash \textbf{sp}_{SP_{\omega}}( \varphi *f)$. 据定义 3.1 得, 存在 $\varepsilon >0$, 对于任意 $\phi \in L^{1}(\mathbb{R},X)$ 且 $\mbox{supp}\widehat{\phi} \subset (\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)$, 有

利用定理 2.1 和 (3.4) 式得

因此, $\lambda \in \mathbb{R} \backslash \textbf{sp}_{AP_{\omega}}(g) $. 故断言成立.

由命题 3.1(iii) 知, $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}( \varphi *f) \subset \textbf{sp}_{SP_{\omega}}( f) $. 于是再根据 (3.3) 式, 我们有

利用 (3.1) 和 (3.5) 式, 据命题 3.1(iv), 对于任意 $r>0$, 我们有

于是, 由命题 3.1(i) 知 $g-\rho_{r}*g \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 根据引理 3.1(ii), 我们有

因此, 由定理 2.2 得 $\phi * f \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$, 这与 (3.2) 式矛盾. 证毕.

易见一个 $ C_{0}$ 函数的有界原函数一定是缓慢变化函数. 因此, 参照定理 3.1 的证明过程, 可以类似证明如下一个关于缓慢变化函数的 Tauberian 定理.

定理 3.2 设 $f \in BUC(\mathbb{R}, X)$. 则 $\textbf{sp}_{SV}(f) \subset \{ 0 \}$ 当且仅当 $ f \in SV(\mathbb{R},X)$.

接下来, 我们结合 (2.1) 和 (2.2) 式, 给出关于渐近周期函数的 Tauberian 定理.

定理 3.3 设 $\omega>0$, $f \in BUC(\mathbb{R}, X)$. 若 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \frac{2 \pi}{\omega}\mathbb{Z} $, 则 $f \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

证 我们用归纳法分四步给出证明.

第一步, 当 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \{{2 k_{0}\pi }/{\omega}\}$ 时, 这里 $k_{0} \in \mathbb{Z}$. 根据 (2.1) 式, 不难验证

由于 $\textbf{sp}_{SP_{\omega}}(Q_{-2k_{0}\pi/\omega} f )\subset \textbf{sp}_{AP_{\omega}}(Q_{-2k_{0}\pi/\omega} f ) \subset \{0\}$, 根据定理 3.1, 我们有

再由 (2.2) 式知 $f \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

第二步, 当 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \{{2 k_{1}\pi}/{\omega}, \ {2 k_{2}\pi}/{\omega} \}$ 时, 这里 $k_{1},\ k_{2} \in \mathbb{Z}$ 且 $k_{1} < k_{2}$. 记 $\varphi \in L^{1}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 满足

再由命题 3.1(iii) 知

据第一步知 $f * \varphi \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 再由命题 3.1(iv) 知

据第一步知 $f-f * \varphi \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$. 因此, $f = f-f * \varphi+f * \varphi \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X).$

第三步, 当 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \{{2 k_{1}\pi}/{\omega}, \ {2 k_{2}\pi}/{\omega}, \cdots \ {2 k_{j}\pi}/{\omega}\}$ 时, 参照第二步中的证明过程, 由归纳法得 $f\in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X). $

第四步, 当 $\textbf{sp}_{AP_{\omega}}(f) \subset \frac{2 \pi}{\omega}\mathbb{Z} $ 时, 根据 (3.1) 式和命题 (3.1)(iii), 我们有

是 $\frac{2\pi}{\omega}\mathbb{Z}$ 中的有限集. 由第三步得 $f *\rho_{n} \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X) $. 根据引理 (3.1)(i) 知

证毕.

注 3.1 虽然定理 3.3 的结论是比渐近周期性略弱的 $\S$-渐近周期性, 但彻底去掉了文献 [23, 命题 6.2] (也就是定理 1.1) 中的遍历性假设.

在本节中, 我们将本文所得的 Tauberian 定理运用于研究非齐次的 Cauchy 问题的解的渐近周期性. 为方便起见, 我们先回顾一下 Cauchy 问题的概念

这里 $ A $ 是 $ X $ 上的 $C_{0}$-算子半群 ${T(t): t\in \mathbb{R}^+}$ 的生成元, $ \varPhi$ 是从 $ \mathbb{R} $ 到 $X$ 的连续映射. 若连续函数 $ u : \mathbb{R} \to X $满足

则称 $u$ 是 $(\textbf{CP})$ 的温和解. 关于温和解的更多细节, 读者可以参考文献 [2, 第3章].

引理 4.1^{[4, 推论 3.4]} 设 $\mathcal{F}$ 是 $BUC(\mathbb{R},X)$ 平移不变的闭子空间, $u \in BUC(\mathbb{R},$ $X)$ 是 $(\textbf{CP})$ 的温和解. 若 $\varPhi \in \mathcal{F}$, 则

这里 $\sigma(A)$ 表示 $A$ 的谱集.

由定理 3.1, 定理 3.2, 定理 3.3 和引理 4.1, 我们得到本节的主要结果

定理 4.1 设 $\omega >0$, $u \in BUC(\mathbb{R},X) $ 是 $(\textbf{CP})$ 方程的温和解. 则

(i) 若 $\varPhi \in SV(\mathbb{R},X)$ 且 $ \sigma(A) \cap {\rm i}\mathbb{R} \subset \{0\} $, 则 $ u \in SV(\mathbb{R},X);$

(ii) 若 $\varPhi \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 且 $ \sigma(A) \cap {\rm i}\mathbb{R} \subset \{0\} $, 则 $ u \in SP_{\omega}(\mathbb{R},X);$

(iii) 若 $\varPhi \in AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$ 且 $ \sigma(A) \cap {\rm i}\mathbb{R} \subset \frac{2 \pi {\rm i}}{\omega}\mathbb{Z} $, 则 $ u \in {\S}AP_{\omega}(\mathbb{R},X)$.

注 4.1 (a) 当 $u \in BUC(\mathbb{R},X) $ 时, 定理 4.1(i) 的条件 $\varPhi \in SV(\mathbb{R},X)$ 比文献 [5, 引理 4] 的条件 $\varPhi \in C_{0}(\mathbb{R},X)$ 更弱, 但结论完全一致.

(b) 定理 4.1(iii) 成功地把文献 [23, 定理 6.3(ii)] 中的一致遍历性 (uniformly convergent means) 条件去掉了. 虽然定理 4.1(iii) 的结论略弱 (即解 $u$ 是渐近周期的减弱到 $\S$-渐近周期的), 但下面的例子说明这种减弱是"自然"的.

例 4.1 设 $\{ T(t): t\in \mathbb{R} \}$ 是 $BUC(\mathbb{R}, P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$ 上的平移群, $A$ 是其生成元, 则 $\sigma(A)={\rm i}\mathbb{Z}$ (参见文献 [12, p254]). 记 $\mathtt{v}(t)={\rm e}^{{\rm i}t},\ t \in \mathbb{R},$ 则 $\mathtt{v} \in P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$ 且 $A\mathtt{v}={\rm i}\mathtt{v}$. 考虑非齐次 Cauchy 问题

这里非齐次项

不难验证 $\varPhi \in AP_{2\pi}(\mathbb{R}, P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$ 且方程 (4.1) 的解为

易见 $u \in BUC(\mathbb{R}, P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$. 据定理 4.1(iii) 知 $u \in \S AP_{2\pi}(\mathbb{R}, P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$. 参照例 2.1(ii) 中的过程可以证明

当然 $u \notin AP_{2\pi}(\mathbb{R}, P_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}))$.

有意思的是, 在例 4.1 中, 该方程的非齐次项是渐近周期函数, 但是它的解却不是渐近周期函数而是 $\S$-渐近周期函数. 这充分说明 $\S$-渐近周期函数是渐近周期函数的自然扩充且是一些微分方程解的"自然"函数类.