在本文中, 规定 $0<q<1$. $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{C}$ 分别表示实数集, 正整数集和复数集. 对 $\mbox{Re}{x}>0$, 记 $\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t$ 为 Gamma 函数, 其对数导数 $\psi(x)=\Gamma'(x)/\Gamma(x)$ 为 Psi 函数.

对任给 $a,b,c\in \mathbb{C}$ 且 $c\neq0,-1,-2,\cdots$, Gauss 超几何函数定义为^[1]

其中 $(a,n)$ 为移位阶乘函数: 当 $a\neq0$ 时, $(a,0)=1$; 当 $n\in\mathbb{N}$ 时, $(a,n)=a(a+1)(a+2)$ $\cdots(a+n-1)=\Gamma(a+n)/\Gamma(a)$. 众所周知, Gauss 超几何级数在拟共形映照理论, 解析函数论, 模方程理论等数学分支及其物理学、工程学等其它学科都具有重要的应用, 众多特殊函数和初等函数都是它的特殊情形和极限情况 (参见文献 [2⇓⇓-5]). 特别地, 当 $c=a+b$ 时, 称 ${}_2F_1 (a,b;c;x)$ 为零平衡超几何函数. Ramanujan 给出了零平衡超几何函数当 $x\to 1$ 时的渐近公式, 即 Ramanujan 渐近公式.

其中

为 Ramanujan $R$-函数或 Ramanujan 常数^[3,6], $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\sum\limits_{k=1}^{n}1/k-\log n\Big)=0.5772156649\cdots$ 为 Euler-Mascheroni 常数. 当 $y=1-x\,(0<x<1)$ 时, 记

Ramanujan $R$-函数 $R(x,y)$ 和特殊情形 $R(x)$ 在研究高斯超几何级数和 Ramanujan 模方程理论中占据着重要的地位. 近几年, 裘松良、褚玉明、王淼坤等深入地揭示了 Ramanujan $R$-函数的一些的分析性质, 建立了它们的级数公式, 为研究高斯超几何函数和 Ramanujan 模方程理论提供了有力的工具, 参见文献 [6⇓⇓-9].

本文的主要目的是寻找 Ramanujan 渐近公式 (1.1) 和 Ramanujan $R$-函数 (1.2) 的 $q$-模拟, 探索 Ramanujan $R$- 函数的 $q$-模拟, 即 $q$-Ramanujan $R$-函数 $R_{q}(x)$, 满足的一些分析性质. 与此同时, 研究 $R_q(x)$ 关于参数 $q$ 的单调性, 建立了$R_{q}(x)$ 和 $R(x)$ 的渐近不等式. 为此, 需要引入标准的 $q$ 级数记号, 给出 $q$-Gamma 函数 $\Gamma_q$, $q$-Psi 函数 $\psi_{q}$ 及其基本超几何级数 $_r\phi_s$ 的定义^[10].

对 $a\in \mathbb{C}$, $n\in \mathbb{N}$, $q$ 升阶乘定义为

对任意的 $x,y\in\ \mathbb{C}$, ${\rm Re} x>0$, ${\rm Re} y>0$,

特别地, 当 $q\to1$ 时, $\Gamma_q$ 和 $\psi_{q}$ 分别退化为经典的 $\Gamma$ 和 $\psi$ 函数. 此外, $\psi_{q(x)}$ 满足如下高阶导数公式^[11]

设 $\{a_{i}\}_{i=1}^{r}$, $\{b_{j}\}_{j=1}^{s}$ 为两个复数列, 且对所有的 $j=1,2,\cdots,s$ 有 $b_{j}\neq q^{-k}$, 则关于变量 $z$ 的基本超几何级数定义为^[11]

其中 $(a_1,a_2,\cdots,a_i;q)_n=(a_1;q)_n (a_2;q)_n \cdots (a_i;q)_n$.

引理 1.1^[2] 对 $-\infty<a<b<\infty$, 设 $f$ 和 $g$ 是两个在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可微的实函数, 且在 $(a,b)$ 上 $g'\neq 0$. 如果 $f'/g'$ 在 $(a,b)$ 上递增 (递减), 那么函数

也在 $(a,b)$ 上递增(递减). 而且, 若 $f'/g'$ 是严格单调的, 则 $F$ 和 $G$ 也是严格单调的.

定理 2.1 设 $a,b>0$, $_2\phi_1$ 满足如下渐近公式

其中

证 设 $a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$, 且满足 $abc=de$, $|c|<1$, $_3\phi_2$ 满足渐近公式^[13]: 当 $u\to 1$ 时,

其中

而 $(x;q)_n'$ 表示 $(x;q)_n$ 关于 $x$ 的导数. 令 $c=e\neq0$, 则 $ab=d$, 等式 (2.3) 退化为

其中

在 (2.4) 式中, 先用 $q^{a}$, $q^{b}$, $q^{d}$ 替换 $a$, $b$, $d$, 再在等式两端同时乘以 $-\log{q}$ 便得

其中

结合 (1.4)-(1.5) 式, (2.6) 式可改写成

注 2.1 令 $q \to 1$, (2.1) 和 (2.2) 式分别退化为 (1.1) 和 (1.2) 式, 故称 (2.1) 式为基本超几何级数 $_{2}\phi_{1}$ 的 $q$-Ramanujan 渐近公式, 同时将 (2.2) 式右端定义为 $q$-Ramanujan $R$-函数.

定义 2.1 对 $x,y\in(0,+\infty)$, $q$-Ramanujan $R$-函数定义为

对任意固定的 $c>0$, 当 $y=c-x (0<x<c)$ 时, 单变量的 $q$-Ramanujan $R$-函数定义为

特别地, 当 $c=1$ 时, 记 $R_q(x)=R_q(x,1-x)=2\psi_q(1)-\psi_q(x)-\psi_q(1-x)$.

本节将揭示 $q$-Ramanujan $R$-函数 $R_q(x,c-x)$ 与 $R_q(x)$ 的一些分析性质. 首先引入完全单调函数和绝对单调函数的定义, 对任意 $n\in \mathbb{N} \cup \{0\}$ 及 $x\in I$, $I$ 是 $\mathbb{R}$ 的子区间, 若 $(-1)^n f^{(n)}(x)\geq0$ 恒成立, 则称 $f(x)$ 是 $I$ 上的完全单调函数; 若 $f^{(n)}(x)\geq0$ 恒成立, 则称 $f(x)$ 是 $I$ 上的绝对单调函数.

定理 3.1 对任意 $c\in(0,+\infty)$, 令 $\lambda=2\psi_q(1)-2\psi_q(c/2)$. 函数 $x\mapsto R_q(x,c-x)-\lambda$ 是 $(0,c/2]$ 上的完全单调函数. 作为结论, $x\mapsto R_q(x,c-x)$ 在 $(0,c/2]$ 上严格递减且向下凸, 值域为 $[\lambda,+\infty)$.

证 显然 $R_q(c/2,c/2)=\lambda$. 根据文献 [11, (1.8)式] 知, $\psi_q(0^+)=-\infty$, 便得 $R_q(0^+,c)=2\psi_q(1)-\psi_q(0^+)-\psi_q(c)=+\infty$.

由 (2.8) 式, $R_q^{(n)}(x,c-x)=-\psi_q^{(n)}(x)+(-1)^{n+1}\psi_q^{(n)}(c-x)$. 结合 (1.6) 式可得

下面对 $n$ 分奇偶两种情况讨论. 对任意 $x\in(0,c/2]$, 设 $m\in \mathbb{N}$, 当 $n=2m$ 时,

当 $n=2m+1$ 时,

因此, 对任意给定的 $c\in(0,+\infty)$, $x\mapsto R_q(x,c-x)-\lambda$ 是 $(0,c/2]$ 上的完全单调函数. 故函数 $x\mapsto R_q(x,c-x)$ 在 $(0,c/2]$ 上严格递减且向下凸. 证毕.

定理 3.2 对任意 $c\in(0,+\infty)$, $R_q(x,c-x)$ 有如下级数展开式

证 令 $f_1(x)=\psi_q(1)-\psi_q(c-x)$, $f_2(x)=\psi_q(1)-\psi_q(x+1)$, 利用 $\psi_q$ 的递推公式

(参见文献 [14, (1.10)式])化简得 $f_1(x)+f_2(x)=R_q(x,c-x)+\frac{q^x \log q}{1-q^x}$. 易知 $f_1^{(n)}(x)=(-1)^{n+1} \psi_q^{(n)}(c-x)$, 故 $f_1^{(n)}(0)=(-1)^{n+1} \psi_q^{(n)}(c)$ 且 $f_1(x)$ 具有如下麦克劳林级数

同理 $f_2^{(n)}(0)=- \psi_q^{(n)}(1)$, $f_2(x)$ 有如下麦克劳林级数

结合 (3.2) 和 (3.3) 式得

定理中的第一个等式得证.

另一方面, (3.1) 式表明

计算得 $f_3^{(n)}(x)=-\psi_q^{(n)}(x+1)+(-1)^{n+1}\psi_q^{(n)}(1+c-x)$, 于是

故 $f_3(x)$ 在 $x=c/2$ 处有 Taylor 级数

定理中的第二个等式得证.

在定理 3.2 中令 $c=1$, 便得 $R_q(x)$ 的级数展开式.

定理 3.3 对任意 $x\in(0,1/2]$, $R_q(x)$ 有如下级数展开式

根据定理 3.3, 便得

推论 3.1 记 $\alpha_q=2\psi_q(1)-2\psi_q(1/2)$, 下列结论成立

$(1)$ 函数 $r_1(x)\equiv R_q(x)+\frac{q^x \log q}{1-q^x}$ 是 $(0,1/2]$ 上的绝对单调函数. 作为结论, $r_1(x)$ 从 $(0,1/2]$ 到 $(0,\alpha_q+\frac{\sqrt q \log q}{1-\sqrt q})$ 上递增且向下凸. 特别地, 对任意的 $x\in(0,1/2]$ 和 $q\in(0,1)$, 成立不等式

$(2)$ 函数 $r_2(x)\equiv R_q(x)+\frac{q^x \log q}{1-q^x}+\frac{q^{1-x} \log q}{1-q^{1-x}}$ 从 $(0,1/2]$ 到 $(\alpha_q+\frac{2\sqrt q \log q}{1-\sqrt q},\frac{q\log q}{1-q})$ 上递减且向下凸. 特别地, 对任意的 $x\in(0,1/2]$ 和 $q\in(0,1)$, 成立不等式

证 (1) 由 (3.4) 式得

(1.6) 式表明对任意 $n\in \mathbb{N}$, 有

将上式代入 (3.8) 式, 不难发现, $r_1(x)$ 是 $(0,1/2]$ 上的绝对单调函数, 故 $r_1(x)$ 在 $(0,1/2]$ 上递增且向下凸. 根据 (3.8) 式, 易知 $r_1(0)=0$; 由 $R_{q}(x)$ 的定义得 $r_1(1/2)=\alpha_q+\frac{\sqrt q \log q}{1-\sqrt q}$. 不等式 (3.6) 显然成立.

(2) 由 (3.5) 式得

同理, (1.6) 式表明: 对任意 $n\in \mathbb{N}$ 有

容易证明, 对任意给定的 $n\in \mathbb{N}$, 函数 $x \mapsto (x-1/2)^{2n}$ 在 $(0,1/2]$ 上递减且向下凸. 将上式代入 (3.9) 式, 可以看出, $r_2(x)$ 在 $(0,1/2]$ 上递减且向下凸. 因为 $r_2(x)=r_1(x)+\frac{q^{1-x} \log q}{1-q^{1-x}}$, 所以 $r_2(0)=\frac{q\log q}{1-q}$, $r_2(1/2)=\alpha_q+\frac{2\sqrt q \log q}{1-\sqrt q}$. 不等式 (3.7) 显然成立. 证毕.

下面将证明 $q$-Ramanujan $R$-函数 $R_q(x)$ 关于参数 $q$ 在 $(0,1)$ 上的单调性, 以此建立 $R_q(x)$ 与 $R(x)$ 的一个渐近不等式.

定理 3.4 对任意的 $x\in(0,1)$, 函数 $q \mapsto R_q(x)$ 从 $(0,1)$ 到 $(0,R(x))$ 上严格递增. 特别地, 对一切 $q,x\in(0,1)$, 成立 $0\leq R_q(x)\leq R(x)$.

证 当 $k>0$ 时, $\lim \limits_{q\to 0^+}q^k \log q=0$, 结合 (1.5) 式, 得 $\lim \limits_{q\to 0^+}R_q(x)=0$. 依文献 [15, 定理1],

将其代入 (2.8) 式得

设 $n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$, $x\in(0,1)$, 令

则 $R_q(x)=\sum_{n=0}^{\infty} g_{n}(q,x)+\sum_{n=0}^{\infty} g_{n}(q,1-x)$. 下面分 $n=0$ 和 $n\in \mathbb{N}$ 两种情形证明 $g_{n}(q,x)$ 关于 $q$ 是严格递增即可.

情形 1 当 $n=0$ 时, $g_{n}(q,x)=g_{0}(q,x)=\frac{\log{q}}{1-q}-\frac{\log{q}}{1-q^{x}}$, 令 $h_{1}(q,x)=\frac{\log{q}}{1-q^{x}}$, 则 $g_{0}(q,x)=h_{1}(q,1)-h_{1}(q,x)$,

令 $h_{2}(x)=1-q^x+xq^x\log q$, $h_{3}(x)=q(1-q^x)^2$, 则 ${\partial h_1(q,x)}/{\partial q}=h_{2}(x)/h_{3}(x)$, $h_{2}(0^+)=h_{3}(0^+)=0$,

不难验证, 函数 $x\mapsto \frac{x}{1-q^x}$ 在 $(0,1)$ 上严格递增, 根据引理 1.1 便知 $h_{2}(x)/h_{3}(x)$ 也在 $(0,1)$ 上严格递增, 故对任意 $x,q\in (0,1)$, 成立不等式

这就证明了 $g_{0}(q,x)$ 关于 $q$ 的单调性.

情形 2 当 $n\in \mathbb{N}$, 对任意 $x\in (0,1)$, 令

则 $g_{n}(q,x)=\frac{P_{1}(q)P_{2}(q)}{n+1}$. 一方面, 由于函数 $q \mapsto \sqrt q \log q/(q-1)$ 从 $(0,1)$ 到 $(0,1)$ 上严格递增, 于是对任意 $n\in \mathbb{N}$, $P_1(q)$ 在 $(0,1)$ 上严格递增. 另一方面, 令 $h_{4}(q)=q^{(n+1)/2+x-1}-q^{(n+1)/2}$, $h_5(q)=1-q^{n+x}$, 则 $h_4(1^{-})=h_5(1^{-})=0$, $P_{2}(q)=h_{4}(q)/h_{5}(q)$ 且

对 $h_{6}$ 求导得, 当 $q\in(0,1)$ 时,

因此 $h_{6}(q)$ 在 $(0,1)$ 上严格递增, 根据引理 1.1, $P_2(q)$ 在 $(0,1)$ 上也严格递增. 综合上述两个方面, 当 $n\in \mathbb{N}$, 对任意 $x\in (0,1)$, $g_{n}(q,x)$ 关于 $q$ 严格递增. 证毕.

推论 3.2 对任意 $x\in(0,1)$, 函数 $q \mapsto \psi_q(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递减.

证 利用定理 3.4, $\psi_q(x)$ 可改写成

由 $g_{n}(q,x)$ 关于 $q$ 的单调性, 并结合文献 [15, 定理1] 可知: 函数 $q \mapsto \psi_q(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递减. 证毕.