在不同的假设下, Minkowski 型公式将黎曼流形中闭超曲面和子流形的 (加权) $k$ 阶平均曲率的积分联系起来, 具体可参见文献 [1,2,6,12,15]. 作为一个典型的例子, 我们首先回顾一下文献 [6,9] 中经典的 Hsiung-Minkowski 公式.

定理 1.1 设 $\left(\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K), \bar{g}\right)$ 是空间形式, $\left(\Sigma, g\right)$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中具有单位外法向量场 $\nu$ 的闭超曲面. 假设 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 具有共形 Killing 向量场 $X$, 即 $\bar{g}$ 的李导数满足 $\mathcal{L}_{X} \bar{g}=2 \alpha \bar{g}$, 其中 $\alpha$ 表示某个函数. 那么我们有

其中 $H_{k}$, $k=1,\cdots,n$ 表示归一化 $k$ 阶平均曲率.

很多几何结果可以从这些简单的公式中推导出来. 例如文献 [11] 中的 Alexandrov 刚性定理以及文献 [1,8] 中特定超曲面的描述问题. 所以公式 (1.1) 的条件是否可以减弱, 以及在多大程度上可以应用于推广上述结果, 这就是个有趣的问题. 事实上, 由于 Fraser 和 Schoen^[3,4]在第一 Steklov 特征值以及极小带自由边界曲面上的重要工作, 建立球内带自由边界超曲面的几何不等式就是很自然的. 在文献 [14] 中, Scheuer, Wang 和 Xia 通过引入一种特定的曲率流, 得到了一族在单位欧式球内带自由边界超曲面上的 Alexandrov-Fenchel 类型不等式. 另见文献 [16,18]. 最近, Wang 和 Xia^[17]将 Minkowski 公式 (1.1) 由空间形式中的闭超曲面推广到单位球中带自由边界的超曲面上. 进一步, 我们可以将Wang 和 Xia^[17] 的结果推广为带权重的情形, 并且相应得到带权重的 Alexandrov 型刚性结果.

假设 $x: M^{n} \rightarrow B \subset \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 表示边界为 $\partial M$ 的 $n$ 维紧流形 $M$ 在测地球 $B$ 中的等距浸入, 使得

如果超曲面 $\Sigma=x(M)$ 与球面垂直相交, 则称为带自由边界的超曲面, 否则称为带毛细边界的超曲面. 为了方便起见, 我们使用以下模型来表示空间形式 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$.

(i) 如果 $K=0$, 那么 $\left(\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(0), \bar{g}\right)=\left(\mathbb{R}^{n+1}, \delta\right)$, $B=B_{R}$ 是半径为 $R$ 的欧式球, 其中 $\delta$ 表示标准欧式度量.

(ii) 如果 $K=-1$, 那么我们使用 Poincaré 球模型 $\left(\mathbb{B}^{n+1}, e^{2 u} \delta\right)$ 表示双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$, 其中 $\mathbb{B}^{n+1}$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中以原点为圆心的单位开球以及 $e^{2 u}=\frac{4}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}$. 假设 $B=B_{R}^{\mathbb{H}}$ 是 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中以原点为圆心 $R \in(0, \infty)$ 为双曲半径的测地球. 那么如果将$B_{R}^{\mathbb{H}}$ 看作 $\mathbb{B}^{n+1} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 中的集合, 作为欧式球, 它相应的半径 $R_{\mathbb{R}} :=\sqrt{\frac{1-\operatorname{arccosh} R}{1+\operatorname{arccosh} R}} \in(0,1)$.

(iii) 如果 $K=1$, 那么我们使用模型 $\left(\mathbb{R}^{n+1}, e^{2 u} \delta\right)$ 来表示去掉南极点的单位球面 $\mathbb{S}^{n+1} \backslash\{\mathcal{S}\}$, 其中 $e^{2 u}=\frac{4}{\left(1+|x|^{2}\right)^{2}}$. 假设 $B=B_{R}^{\mathbb{S}}$ 是 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中以北极点为圆心 $R \in(0, \pi)$ 为半径的测地球. 那么它相应的欧式球半径 $R_{\mathbb{R}} =\sqrt{\frac{1-\cos R}{1+\cos R}} \in(0,\infty)$.

假设 $\Sigma$ 将 $B$ 分解为两个连通分支. 我们选择其中一个, 并用 $\Omega$ 表示. 用 $T$ 表示 $\partial \Omega$ 位于 $\partial B$ 上的部分, 因此, $\partial \Omega=\Sigma \cup T$. 为了简便起见, 我们统一采用文献 [17] 中的记号

以及

其中 $a$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中一个固定的单位向量. 容易看出, $X_{a}$ 是共形 Killing 向量场, 并且它在 $\partial B$ 上的限制恰与球面 $\partial B$ 相切. 也就是说, $X_{a}$ 具有以下两个简单但很关键的性质.

(i) $X_{a}$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中的共形 Killing 向量场并且 $\mathcal{L}_{X_{a}} \bar{g}=2V_a \bar{g}$, 也就是说,

(ii) $\left.X_{a}\right|_{\partial B}$ 是 $\partial B$ 上的切向量场, 特别地,

其中 $\bar{N}$ 是 $\partial B$ 相对于 $B$ 的单位外法向量.

基于这两个事实, Wang 和 Xia^[17]得到了以下的 Minkowski 型公式.

定理 1.2 设 $x: M \rightarrow \bar {\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 是嵌入到 $B$ 中且与 $B$ 正交的光滑超曲面. 设 $H_{k}, k=1, \cdots, n$ 是归一化 $k$ 阶平均曲率. 那么有

在本文中, 我们的主要结果如下.

定理 1.3 设 $x: M \rightarrow \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 是嵌入到 $B$ 中且与 $B$ 正交的光滑超曲面. 设 $H_{k},$ $k=1, \cdots, n$ 是归一化 $k$ 阶平均曲率, $f$ 是 $\Sigma$ 上的光滑函数. 那么有

其中 $X_{a}^{T}$ 是 $X_{a}$ 在 $\Sigma$上的切向部分.

我们注意到, 通过在上述公式中令 $f=1$, 即可得 Minkowski 公式 (1.4). 据作者所知, 这些公式是新的, 并且通过在定理 1.3 中选择合适的 $f$, 我们还可以得到以下推论.

推论 1.1 设 $\Sigma$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中的半球内带自由边界的凸超曲面. 假设 $f>0$, $f' \geq 0$ 且存在 $1 \leq k \leq n$ 使得 $f(u)H_{k}$ 是常数, 其中 $u=\bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)$. 那么 $\Sigma$ 是一个球冠.

推论 1.2 设 $\Sigma$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中的半球内带自由边界的凸超曲面. 假设 $f>0$, $f' \geq 0$ 且存在 $1 \leq l < k \leq n$ 使得 $f(u) \Big(\frac{H_{k}}{H_{l}} \Big)$ 是常数, 其中 $H_l$ 在 $\Sigma$ 上不为零, $u=\bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)$. 那么 $\Sigma$ 是一个球冠.

这些推论推广了文献 [17] 中的 Alexandrov 型结果. 它给出了带自由边界球冠的两种新的描述.

本文的结构安排如下: 在第 2 节中, 我们收集了一些关于带自由边界超曲面的基本事实和高阶平均曲率的一些基本性质. 在第 3 节中, 我们给出了主要结果的证明.

设 $(\Sigma, g)$ 是由浸入 $x: M^{n} \rightarrow$ $B \subset \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 给出的带自由边界的超曲面. 我们分别用 $\bar{\nabla}$ 和 $\nabla$ 表示 $\left(\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K), \bar{g}\right)$ 和 $(\Sigma, g)$ 上的梯度. 沿着浸入 $x$, 我们选择一个单位法向量场, 并用 $\nu$ 表示. 用 $h$ 和 $H$ 分别表示超曲面 $\Sigma$ 的第二基本形式和平均曲率. 确切地说, $h(X, Y)= \bar{g}(\bar{\nabla}_X \nu, Y)$ 和 $H=\frac{1}{n}\operatorname{tr_{g}} h$. 对于我们主要研究的常平均曲率超曲面, 我们总是选择使得 $H \geq 0$ 的单位法向量 $\nu$. 我们分别用 $\mu$ 表示在 $\Sigma$ 中 $\partial \Sigma$ 的单位外法向量, $\bar{N}$ 表示在 $B$ 中 $\partial B$ 的单位外法向量, $\bar{\nu}$ 表示在 $\partial B$ 中 $\partial \Sigma$ 的单位外法向量. 如果 $\Sigma$ 是 $B$ 中带自由边界的超曲面, 则沿边界 $\partial \Sigma$ 有, $\mu=\bar{N}$ 以及 $\nu=\bar{\nu}$. 参见图1.

主曲率 $\kappa=\left(\kappa_{1}, \cdots, \kappa_{n}\right)$ 是 Weingarten 矩阵 $\mathcal{W}=\big(h_{i}^{j}\big)=\left(g^{j k} h_{k i}\right)$ 的特征值, 即 $\Sigma$ 的第二基本形式 $h$ 关于诱导度量 $g$ 的特征值. 对于 $k \in\{1,2, \cdots, n\}$, 定义第 $k$ 个平均曲率 $\sigma_{k}$ 为

定义 Garding 锥 $\Gamma_{k}$ 为

称

为归一化的第 $k$ 个平均曲率, 规定 $H_{0}=1$. 关于 $H_{k}$ 有以下的 Newton-Maclaurin 不等式.

引理 2.1 对于 $1 \leq k \leq n$ 和 $\Lambda \in \Gamma_{k}$, 我们有

此外, 不等式 (2.2) 在 $\Lambda$ 处等号成立, 当且仅当 $\Lambda=c(1,1, \cdots, 1)$.

对于 $k \in\{0,1, \cdots, n-1\}$, 第 $k$ 个牛顿变换定义如下

其中 $h_{i}^{j}=g^{jk}h_{ki}$. 我们收集了关于 $T_{k}$ 的以下基本事实(见文献 [7,12]):

引理 2.2 我们有

(i) 如果 $\Sigma$ 是空间形式中的浸入超曲面, 则 $\operatorname{div}\left(T_{k}\right)=0$, 即 $\sum\limits_{i=1}^{k} \nabla_{e_{i}}\left(T_{k}\right)_{j}^{i}=0$.

(ii)

关于带自由边界的超曲面, 以下命题是众所周知的一个事实.

命题 2.1^[10,13,17] 设 $x: M \rightarrow \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 表示在测地球 $B$ 中带自由边界的浸入超曲面 $\Sigma$. 那么 $\mu$ 是在 $\Sigma$ 中 $\partial \Sigma$ 的一个主方向. 也就是说,

反过来, $\bar{\nabla}_{\mu} \nu=h(\mu, \mu) \mu$. 此外, 对于任何切向量场 $Z \in T(\partial \Sigma)$, 我们有

最后, 我们需要 Wang 和 Xia^[17]导出的 Heintze-Karcher 类型的不等式, 这也是得到本文结果的一个关键因素.

命题 2.2 设 $x: M \rightarrow \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 是嵌入到 $B$ 中的一张光滑超曲面, 使得 $\partial \Sigma \subset \partial B$. 假设 $\Sigma$ 位于一个半球 $B_{a+}$ 内,

如果 $\Sigma$ 具有正平均曲率, 那么有

此外, (2.6) 式中等号成立当且仅当 $\Sigma$ 是 $B$ 中带自由边界的球冠.

关于命题 2.2 的证明, 读者可以参考文献 [17].

经过所有的准备工作, 接下来我们对主要结果给出证明, 证明方法与文献 [19] 类似.

定理 3.1 设 $x: M \rightarrow \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 是嵌入到 $B$ 中且与 $B$ 正交的光滑超曲面. 设 $H_{k}, k=1, \cdots, n$ 是归一化 $k$ 阶平均曲率, $f$ 是 $\Sigma$ 上的光滑函数. 那么有

其中 $X_{a}^{T}$ 是 $X_{a}$ 在 $\Sigma$上的切向部分.

证 由垂直条件, $\mu=\bar{N}$. 因为在 $\partial B$ 上有 $X_{a} \perp \bar{N}$, 可以得到在 $\partial \Sigma$ 上有 $X_{a} \perp \mu$. 用 $X_{a}^{T}$ 表示 $X_{a}$ 在 $\Sigma$ 上的切向部分. 由上述可知在 $\partial \Sigma$ 上有 $X_{a}^{T} \perp \mu$. 设 $\left\{e_{\alpha}\right\}_{\alpha=1}^{n}$ 是 $\Sigma$ 上的正交标架. 我们断言

这里 $\nabla_{\alpha}\left(X_{a}^{T}\right)_{\beta}:=\bar{g}\left(\nabla_{e_{\alpha}} X_{a}^{T}, e_{\beta}\right).$ 事实上,

通过利用 (1.2) 式, 我们得到该断言.

将 $fT_{k-1}^{\alpha \beta}(h)$ 乘以 (3.2) 式, 利用分部积分, (2.3) 和 (2.4) 式我们得到

在最后一个等式中, 我们利用了命题 2.1 和 $X_{a}^{T} \perp \mu$. 事实上, 由于 $\mu$ 是 $h$ 的主方向, 所以它也是 $h$ 的牛顿张量 $T_{k-1}$ 的主方向, 这意味着 $T_{k-1}\left(X_{a}^{T}, \mu\right)=0$. 证明完成.

引理 3.1 设 $x: M \rightarrow \bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 是 $B$ 中带自由边界的光滑浸入超曲面. 设 $f$ 是 $\mathbb R$ 上的光滑函数. 那么有

其中 $u=\bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)$.

证 在定理 3.1 中令 $f=f(u)$ 并注意到 $\nabla \bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)=h(X_{a}^{T})$ 即可得结论.

推论 3.1 设 $\Sigma$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中的半球内带自由边界的凸超曲面. 假设 $f>0$, $f' \geq 0$ 且存在 $1 \leq k \leq n$ 使得 $f(u)H_{k}$ 是常数, 其中 $u=\bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)$. 那么 $\Sigma$ 是一个球冠.

证 因为 $\Sigma$ 至少有一个椭圆点, 所以 $f(u)H_{k}$ 一定是正的, 因此 $H_{k}>0$. 从 Garding^[5] 的结果中, 我们知道 $\Sigma$ 的主曲率在定义为 (2.1) 式的 Garding 锥 $\Gamma_{k}$ 中, 因此 $T_{j}$ 是正定的, 对于 $0 \leq j < k$.

在 $\Sigma$ 是凸的假设下, 第二基本形式 $h$ 是非负的. 也就是说

所以由引理 3.1, 有

由此可得

由 Newton-Maclaurin 不等式 (2.2), 我们有

因此

另一方面, 利用命题 2.2 和 (1.3) 式可得

最后结合 (3.4) 和 (3.5) 式, 我们完成证明.

推论 3.2 设 $\Sigma$ 是 $\bar{\mathbb{M}}^{n+1}(K)$ 中的半球内带自由边界的凸超曲面. 假设 $f>0$, $f' \geq 0$ 且存在 $1 \leq l < k \leq n$ 使得 $f(u) \Big(\frac{H_{k}}{H_{l}} \Big)$ 是常数, 其中 $H_l$ 在 $\Sigma$ 上不为零, $u=\bar{g}\left(X_{a}, \nu\right)$. 那么 $\Sigma$ 是一个球冠.

证 第一步与上面类似. 首先因为 $\Sigma$ 至少有一个椭圆点, 所以 $H_{j}$ 和 $H_{k}$ 在该点都是正的. 这与 $f>0$ 一起推出 $f(u)\left(\frac{H_{k}}{H_{l}}\right)$ 是一个正常数. 因为假设 $H_{l}$ 在 $\Sigma$ 上不等于零, 所以 $H_{l}$ 和 $H_{k}$ 在 $\Sigma$ 上处处为正. 因此从文献 [5] 中, 我们知道 $\Sigma$ 的主曲率在定义为 (2.1) 式的 Garding 锥 $\Gamma_{k}$ 中.

假设用 $\alpha$ 表示正常数, 即

利用 Newton-Maclaurin 不等式 (2.2), 我们注意到

这意味着

根据引理 3.1 和 (1.4) 式可得

也就是说,

上式结合 (3.6) 式推出, 在 $\Sigma$ 上恒有

再通过迭代讨论可得, 在 $\Sigma$ 上恒有

最后, 由推论 3.1, 我们完成证明.