期权定价和保险定价本质上都是对更广泛意义上的未定权益的权利价值进行定价, 这就为期权定价方法和保险定价方法的交叉融合提供了可能. 保险证券化产品的急剧发展, 特别是保险期权等产品的相继面市, 对这两种定价方法的融合提出了迫切的要求. 因此, 研究期权定价方法和保险定价方法的融合, 具有重要的理论意义和现实意义. 本文主要研究将保险定价中的概率扭曲变换应用到期权定价中, 并讨论由此得到的期权价格是否无套利的问题.

在保险精算理论中, 概率变换是一种常用的风险定价方法. 设随机变量$X$代表风险, Wang^[1]利用Choquet积分定义其价格$H[X;\gamma]$如下

其中$S_X(x)$是$X$的生存函数, $g_{\gamma}$是某个概率扭曲算子. 如果$X$非负, 则$H[X;\gamma]$简化为

基于标准正态分布, Wang^[1]提出了著名的王变换

其中$\Phi(u)$是标准正态分布函数. 王变换不仅具有良好的数学性质, 而且能够给出合理的经济学解释. 王变换最突出的性质是与Buhlmann的保费原理一致. 在经典Black-Scholes模型中, 当$\gamma=\frac{(r-\mu)\sqrt{T}}{\sigma}$时, 利用王变换可以证明, 按(1.1)式计算欧式期权的价格恰好和Black-Scholes公式一致. 2等^[2], 3等^[3]进一步研究了王变换在期权定价中的应用.

Hamada等^[4]的结果表明: 在收益率为正态分布的条件下, 按王变换计算的期权价格和按Black-Scholes公式计算的价格一致; 在收益率为非正态分布时, 按王变换计算的期权价格却不尽人意. 然而, 金融资产的收益率呈非正态分布特征早已成为人们的共识. 因此, 为了适应收益率的非正态特征, 王变换必须进行某些修正. 目前国内关于扭曲算子的研究主要集中在保险精算中, 基本没有考虑将扭曲算子应用到期权定价. 国外关于这方面的研究已有一些结果, 参见Wang^[5]、Kijima等^[6]、Godin等^[7]、Godin等^[8]以及Debora等^[9].

为了刻画收益率的非正态性质, 国内外学者提出了很多模型模拟收益率. VG(Variance Gamma)过程就是其中之一. VG过程是具有有限变差的纯跳Lévy过程, 其增量分布具有尖峰厚尾性质, 这些性质非常适合刻画资产价格的收益率. 本文利用概率变换思想, 基于VG分布定义了一类新的概率扭曲算子—VG扭曲算子, 证明了在VG模型中, 按VG扭曲算子得到的期权价格和在均值修正鞅测度(mean correcting martingale measure)下的期权价格一致, 从而说明了按VG扭曲算子得到的期权价格无套利. 数值计算结果表明, 按VG扭曲算子得到的期权价格比较准确.

Madan等^[10]利用VG过程模拟资产收益率过程, 并在此基础上得到了期权定价公式. 之后, Madan等^[11], Madan等^[12]进一步研究了 VG过程在金融建模中的应用. 目前VG过程是金融数学常用数学模型. 本节将介绍 VG分布和VG过程以及它们的性质.

定义2.1 如果随机变量$Z$的特征函数为

其中$\mu\in R, \theta\in R, \sigma>0, \nu>0,$ 则称$Z$服从参数为$(\sigma,\nu,\theta, \mu)$的VG 分布, 记为 $Z\sim{\rm VG}(\sigma,\nu,\theta,\mu).$

由于VG分布无穷可分, 因而可以如下定义VG过程.

定义2.2 概率空间$(\Omega, {\cal F}, ({\cal F}_t)_{t\geq 0}, P)$上的右连左极过程$Z=\{Z_t,t\geq 0\}$称为具有参数$(\sigma,\nu,\theta, \mu)$ 的VG过程, 如果$ Z_t$ 满足

(1) $Z_0=0$ a.s.,

(2) $ Z_t$具有独立增量和平稳增量,

(3) $Z_t\sim{\rm VG}(\sigma\sqrt{t},\nu/t,\theta t,\mu t)$.

$Z_t$也可以表示成如下形式,

其中$W=\{W_t, t\geq 0\}, G=\{G_t, t\geq 0\}$分别是标准布朗运动和参数为$(\frac {1}{\nu},\nu)$的伽玛过程, 且$W,G$独立. 可以看到, 在给定伽玛时变过程$G_t$条件下, $Z_t$是均值为$\mu t+\theta G_t$, 方差为$\sigma^2 G_t$的布朗运动. 因此, $Z_t$的密度函数可表示为

其中

显然, $f_{Z_t}(x)$是权重由伽玛密度函数确定的混合高斯密度函数. 可证上面的无穷积分收敛, 且

其中

记

Madan等^[12]给出了VG过程的特征三元组为$(\gamma, 0, F_{{\rm VG}}({\rm d}x))$, 其中

本节基于VG分布提出VG扭曲算子, 并研究VG扭曲算子对VG随机变量的影响.

定义3.1 设$Z\sim{\rm VG}(\sigma,\nu,\theta,\mu),$ 称概率扭曲算子

为VG扭曲算子.

与王变换只有一个参数不一样, VG扭曲算子有5个参数. 本质上, VG扭曲算子就是把$-Z$的$x$分位数向左或向右平移$|\gamma|$个单位, 然后重新用$-Z$的分布函数作用. 设$h_1(x)$是连续、严格递增的非负函数, 定义

其中参数$a\geq 0$. 我们这样定义$ h(x;h_1, a)$的原因, 主要是方便后面的期权定价. 显然$ h(x;h_1, 0)=h_1(x).$ 下面讨论VG扭曲算子对VG随机变量的影响.

定理3.1 设 $Z\sim{\rm VG}(\sigma,\nu,\theta,\mu), h_1(x)$是连续、严格递增的非负函数, $X=h(Z; h_1, a)$, 则

证 对$\forall x>0,$ 显然有$\{h(Z; h_1, a)>x\}=\{h_1(Z)> a+x\}.$ 又$Z$是连续型随机变量, 故

将VG扭曲算子$g_{\gamma;\sigma,\nu,\theta,\mu}(x)$作用于$S_X(x)$, 可得

两边积分, 即可得到(3.2)式.

从定理3.1的证明可看到, 我们只要求随机变量$Z$的分布函数连续且严格单调递增, 并不需要$Z$的其他信息. 因此, 定理3.1可推广如下, 证明过程基本不变.

定理3.2 设随机变量 $Z$的分布函数$F_Z$是连续、严格单调递增的函数, $h_1(x)$ 是连续、严格递增的非负函数, $X=h(Z; h_1, a)$. 则

注3.1 在随机变量$Z$的密度函数关于原点对称并且分布函数严格单调的条件下, Hamada等^[4]也得到了(3.3)式. Godin等^[7]基于NIG分布的扭曲算子也用到了对称性. 定理 3.2 只需要$F_Z$连续、严格单调递增, 因此我们推广了Hamada^[4]的结果, 更具一般性.

本节研究VG扭曲算子在期权定价中的应用.

假设市场中有两种资产, 一种为无风险资产, 其价格过程为

另一种资产称为股票, 其价格过程为

其中, 无风险利率$r$和股票初值$X_0$都是常数且$r>0, X_0>0; Z=\{Z_t, t\in [T]\}$是定义在带域流的概率空间 $(\mathit\Omega, {\cal F}, \mathbf{F}=({\cal F}_t)_{t\in [T]}, P)$上的L$\acute{e}$vy过程, 且$\mathbf{F}$满足通常条件. 上述市场模型一般不完备, 因而存在无穷多个等价鞅测度. 如果按照某种标准, 选定一个等价鞅测度作为定价测度, 则按资产定价基本定理就可以得到期权价格计算公式. 在L$\acute{e}$vy模型中, 通常选均值修正鞅测度作为定价测度(参见文献^[13]). 均值修正鞅测度的基本思想是修正L$\acute{e}$vy过程的均值, 使得该过程为鞅过程. 我们把Schoutens^[13]的结果总结为如下引理.

引理4.1 在模型(4.1)中, 设$Z_t$是参数为$(\sigma,\nu,\theta,\mu)$的VG过程, 则执行价格为$K$、到期日为$T$的欧式看涨期权$(X_T-K)^+$ 在均值修正鞅测度$Q$ 下的无套利价格为

其中, $Z_t$在$Q$下是参数为$(\sigma,\nu,\theta,r+\frac 1\nu\ln(1-\theta\nu-\frac 12\sigma^2\nu))$的VG过程.

在模型(4.1)中, 设$Z_t$是定义在带域流的概率空间 $(\mathit\Omega, {\cal F}, \mathbf{F}=({\cal F}_t)_{t\in [T]}, P)$上的参数为$(\sigma,\nu,\theta,\mu)$的VG过程. 由定义2.2, $Z_T\sim\hbox{VG}(\sigma\sqrt{T},\nu/T,\theta T,\mu T).$ 令$h_1(x)=X_0{\rm e}^x$, 则$X_T=h(Z_T;h_1,0 ).$ 利用定理3.1, 我们有

其中, $\phi(-{\rm i})=\ln E^P[{\rm e}^{X_1}]=\mu-\frac 1\nu\ln(1-\theta\nu-\frac 12\sigma^2\nu).$ 容易看到, 如果令

则有

换句话说, 在VG扭曲算子$g_{-\gamma^*;\sigma\sqrt{T},\nu/T,\theta T,\mu T}$作用下, 资产的收益率等于无风险利率.

后面的证明和数值计算需要用到如下定理.

定理4.1 设$X\sim$ VG$(\sigma,\nu,\theta, \mu)$, 记$Y=aX+b, a\neq 0.$ 则

证 只需证明$Y$的特征函数具有(2.1)式的形式.

最后等式表明$Y\sim{\rm VG}(|a|\sigma,\nu,a\theta, a\mu+b).$

下面的定理说明在指数VG模型中, 由VG扭曲算子得到的期权价格等于均值修正鞅测度下的期权价格.

定理4.2 在模型(4.1)中, 如果$Z_t$是参数为$(\sigma,\nu,\theta,\mu)$的VG过程, 则

其中$Q$是均值修正鞅测度, $\gamma^*$由(4.3)式定义.

证 令$h_1(x)={\rm e}^{-rT}X_0{\rm e}^x$, 则$h(Z_T;h_1, {\rm e}^{-rT}K)={\rm e}^{-rT}(X_T-K)^+$. 由定理3.1,

记$Y_T=Z_T-\gamma^*.$ 由于在实际概率$P$下, $Z_T\sim{\rm VG}(\sigma\sqrt{T},\nu/T,\theta T,\mu T), $ 由定理4.1可知, 在实际概率$P$下, $Y_T\sim{\rm VG}(\sigma\sqrt{T},\nu/T,\theta T,\mu T-\gamma^*)$. 另一方面,

由引理4.1, 在均值修正鞅测度$Q$下, $Z_T\sim{\rm VG}(\sigma\sqrt{T},\nu/T,\theta T, (r+\frac 1\nu\ln(1-\theta\nu-\frac 12\sigma^2\nu)) T).$ 容易验证, $\mu T-\gamma^*=(r+\frac 1\nu\ln(1-\theta\nu-\frac 12\sigma^2\nu))T$. 因此, $Y_T$在概率$P$下的分布, 与$Z_T$在概率$Q$下的分布完全相同. 从而我们有

因此, 定理的结论成立.

本节将根据Godin等^[7n]中的方法, 对来自四个期权定价模型(B-S 模型、Merton跳扩散模型、NIG模型和VG 模型)的模拟数据, 讨论三种扭曲算子(分别基于正态分布、 NIG分布和VG分布)定价的准确性. 以王变换为例, Godin等^[7]计算相对误差的算法如下

S1. 输入$T,r,K$和模型给定的各参数, 模拟股票价格$X_T=S_0{\rm e}^{Z_T}$;

S2. 计算$X_T$的经验尾分布函数$\widehat{S_{X_T}}(x)$;

S3. 利用王变换(1.1)式, 求出参数$\hat{\lambda}$, 使得$H(X_T; -\hat{\lambda})=S_0{\rm e}^{rT}$;

S4. 计算欧式看涨期权$C_T=(X_T-K)^+$的经验尾分布函数$\widehat{S_{C_T}}(x)$;

S5. 计算期权价格${\rm e}^{-rT}H(C_T; -\hat{\lambda})={\rm e}^{-rT}\int_0^{+\infty}g_{\hat{\lambda}}(\widehat{S_{C_T}}(x)){\rm d}x$;

S6. 计算各模型下期权的理论价格和${\rm e}^{-rT}H(C_T; -\hat{\lambda})$的相对误差.

由于NIG、VG扭曲算子计算相对误差的算法, 除了需要参数估计外, 其他完全类似, 这里不再列出.

理论上, 在将要讨论的四个模型中, 股票价格的下确界为0, 上确界为$+\infty$. 但在计算机模拟过程中, 必有$\min\{X_T\}>0, \max\{X_T\}<+\infty.$ 同时, 在数值计算中, 需要用经验分布函数代替真实分布函数. 这些都会对相对误差产生无法避免的影响. 接下来将分两种情况讨论执行价格变动对相对误差产生的影响.

情况1 若$K\geq\max\{X_T\}$, 则$C_T\equiv 0,$ 且

注意到三种扭曲算子可以统一写成$g_{\gamma}(x)=F\left(F^{-1}(x)+\gamma\right)$形式, 这里$F$可以是标准正态分布、NIG分布和VG分布的分布函数. 故这三种扭曲算子得到的期权价格为

这就意味着一旦执行价格$K$大于或等于$\max\{X_T\}$, 任何模型下,三种扭曲算子的相对误差都等于1.

情况2 当$K<\min\{X_T\}$时, 欧式看涨期权价格为

于是有

另外, 模型的理论价格在执行价格$K\rightarrow 0^+$时都等于初始价格$X_0$. 因此, 当执行价格$K\rightarrow 0^+$时, 三种扭曲算子的相对误差收敛于 $\exp(-rT)\min\{X_T\}/X_0$.

注5.1 以上结论与扭曲算子和模型无关. 因此, 对于深度虚值期权和深度实值期权而言, 比较三种扭曲算子的准确性就没有什么实际意义. 基于这个原因, 下面只讨论在执行价格偏离股票初始价格$X_0$不大时的相对误差.

在模型(4.1)中, 令$Z_t=(\zeta-0.5\sigma^2)t+\sigma W_t$, 其中$W_t$是标准布朗运动. 首先, 利用参数$X_0=30, r=0.08, T=0.5, \sigma=0.15,\zeta=0.2$, 模拟出2000个股票价格$X_T$. 其次, 利用极大似然估计方法分别求出NIG分布和VG分布的各个参数, 结果如下

最后, 利用三种扭曲算子计算欧式看涨期权价格的相对误差(相对于B-S期权定价公式), 计算结果见图1. 从图1可以看到, 当执行价格在股票的初始价格附近时, 由这三种扭曲算子得到的期权价格都非常准确.

Merton^[14]考虑了跳扩散模型

其中$N_t$是参数为$\lambda$的Poisson过程, $W_t$为标准布朗运动, $\{Y_n\}_{n\geq 1}$是独立同分布的随机变量序列, $\ln Y_j\sim N(\mu_Y,\sigma^2_Y)$, 且$Y_n, N_t, W_t$三者独立. 在均值修正鞅测度下, Merton^[14]推导出到期日为$T$、执行价格为$K$的欧式看涨期权的价格$C_t$ 为

其中, $ \tau = T-t, $$ \sigma_n^2 = \sigma^2+\frac{n\sigma_Y^2}{\tau}, $$ S_n = X_0\exp[n\mu_Y+\frac{n\sigma_Y^2}{2}-\lambda\tau\exp(\mu_Y+\frac{\sigma_Y^2}{2})+\lambda\tau], $$C_{BS}(\tau, S, \sigma, K)$是在经典Black-Scholes模型中, 到期时间为$\tau$, 初始价格为$S$, 标准差为$\sigma$, 执行价格为$K$的欧式看涨期权的价格, 即

与B-S模型的做法类似, 给定参数$X_0=20, r=0.05, T=0.5, \mu=0.15, \sigma=0.1, \lambda=1,$$\mu_Y=0.2,$$ \sigma_Y=0.1$, 先模拟出2000个股票价格$X_T$, 然后利用极大似然估计方法求得NIG分布和VG分布的参数分别为

由三种扭曲算子得到的期权价格的相对误差见图2. 我们可以看到NIG价格和VG价格比较准确, 王变换价格比较差.

在模型(4.1)中, 设$Z_t$是参数为$(\alpha,\beta,\mu,\delta)$的NIG过程. 给定$X_0=30, r=0.05, T=0.5, $$\alpha=5,$$\beta=2,\mu=0.2,\delta=0.5$ 后, 模拟出2000个股票价格$X_T$. 利用极大似然估计方法求得VG分布的参数为 $\hat{\theta}=0.2536,\hat{\nu}=0.3124,\hat{\sigma}=0.3302,\hat{\mu}=0.1486.$

图3给出了由三种扭曲算子得到的期权价格的相对误差(相对于均值修正鞅测度下欧式看涨期权的理论价格). 在NIG模型中, 还是可以看到, NIG价格和VG价格比较准确, 王变换价格比较差.

设模型(4.1)中的$Z_t$是参数为$(\theta,\nu,\sigma,\mu)$的VG过程. 给定$X_0=50, r=0.05, T=0.5,$$ \theta=-0.1,$$\nu=0.2, \sigma=0.15, \mu=0.2$后, 模拟出2000个股票价格$X_T$. 由(4.3)式, $\gamma^*=0.0310$. 利用模拟价格, 得到其估计值$\hat{\gamma^*}=0.0323$. NIG分布参数的极大似然估计值为

图4给出了由三种扭曲算子得到的期权价格的相对误差(相对于均值修正鞅测度下欧式看涨期权的理论价格). 在VG模型中, 仍然可以看到, NIG价格和VG价格比较准确, 王变换价格比较差.

综合上面的数值结果, 可以发现两点. 第一, 在收益率为正态分布时, 王变换价格是非常准确的; 在收益率为非正态分布时, 王变换价格较差. 这和Hamada等^[4]的结果一致. 第二, 无论收益率是否为正态分布, VG价格和NIG价格都非常准确. 因此, VG扭曲算子为我们提供了一种新的期权定价思路.