1 引言
近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计.
设右连左极随机过程 $\{\xi(t), t\geq0\}$ $\xi(0)=0$ . 设 $\{B_1(t),$ $t\geq0\}$ $\{B_2(t),t\geq0\}$
其中, $\rho\in[-1,1]$ $B_3(t)$ $B_1(t)$ $t\geq0$ $(U_{1}(t),U_{2}(t))$
(1.1) $ \begin{matrix} \begin{pmatrix} U_{1}(t) \\ U_{2}(t) \end{pmatrix} = \mathrm{e}^{\xi(t)}\left[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \int_0^t \mathrm{e}^{-\xi(s)} \mathrm{d}s \\ c_2 \int_0^t \mathrm{e}^{-\xi(s)} \mathrm{d}s \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_1 \int_0^t \mathrm{e}^{-\xi(s)} \mathrm{d}B_1(s) \\ \sigma_2 \int_0^t \mathrm{e}^{-\xi(s)} \mathrm{d}B_2(s) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{N(t)} X_{i}\mathrm{e}^{-\xi(\tau_i)} ] \sum\limits_{j=1}^{N(t)} Y_{j}\mathrm{e}^{-\xi(\tau_j)} \end{pmatrix} \right], \end{matrix} $
其中, $(x,y)$ $(c_1, c_2)$ $c_1, c_2>0$ $\sigma_i\geq0$ $i=1,2$ $\{(X_i, Y_i), i\geq1\}$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\cdots $ $\lambda>0$ $\tau_n=\sum\limits_{i=1}^n \theta_i$ $n\geq1$ $\lambda_t=\lambda t$ $\{N(t):N(t)=\sum\limits_{i=1}^\infty\mathbb{I}_{[\tau_i\leq t]}, t\geq0\}$ $\mathbb{I}_{[A]}$ $A$
其中 $T_{\text{max}}=\inf{\left\{t>0: \max{(U_{1}(t), U_{2}(t))}<0 \right\}}$
本文的行文组织架构如下. 第 2 节介绍一些预备知识并呈现本文主要结果; 当描述投资收益的随机过程分别取 Lévy 过程, Vasicek 利率模型, CIR 利率模型, Heston 模型时, 在第 3 节得到相应投资收益情形下破产概率的渐近公式; 第 4 节证明了本文主要结果.
2 准备知识及主要结果
本文约定 $C$ $a$ $b$ $a \vee b=\max\{a,b\}$ $a \wedge b=\min\{a,b\}$ . 对于满足关系
的两个正函数 $f(\cdot,\cdot)$ $g(\cdot,\cdot)$ $l_2\leq1$ $f(x,y)\lesssim g(x,y)$ $l_1\geq1$ $f(x,y)\gtrsim g(x,y)$ $l_1=l_2=1$ $f(x,y)\sim g(x,y)$ $0<l_1 \leq l_2< \infty$ $f(x,y)\asymp g(x,y)$
定义2.1 称定义在 $[0,\infty)$ $F$ $-\alpha$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\alpha\geq0$ $\bar{F}(x)$
(2.1) $ \begin{matrix} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{ \bar{F}(xy) }{ \bar{F}(x) } =y^{-\alpha} \end{matrix} $
本文假设索赔额及其共同到达时间间隔服从三元 Sarmanov 相依结构, 即
假设2.1 设 $(X, Y, \theta)$ $\left\{(X_i, Y_i, \theta_i), i\geq1\right\}$ $[0,\infty)$ $F$ $G$ $H$
(2.2) $ \begin{matrix} &P(X \in \mathrm{d}x, Y \in \mathrm{d}y, \theta\in \mathrm{d}z)\nonumber\\ =\ &(1+\eta_{12}\varphi_{1}(x)\varphi_{2}(y)+\eta_{13}\varphi_{1}(x)\varphi_{3}(z) +\eta_{23}\varphi_{2}(y)\varphi_{3}(z))\mathrm{d}F(x)\mathrm{d}G(y)\mathrm{d}H(z), \end{matrix} $
其中, 参数 $\eta_{12}$ $\eta_{13}$ $\eta_{23}$ $\varphi_{1}(x)$ $\varphi_{2}(y)$ $\varphi_{3}(z)$
(2.3) $ \begin{equation} E \left( \varphi_{1}(X)\right) =E \left( \varphi_{2}(Y)\right) =E \left( \varphi_{3}(Z)\right) =0, \end{equation} $
(2.4) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \varphi_1(x)=d_1<\infty,\quad \lim\limits_{y\rightarrow\infty} \varphi_2(y)=d_2<\infty,\quad \widetilde{C}_d:=1+\eta_{12}d_1d_2>0, \end{equation} $
(2.5) $ \begin{equation} 1+\eta_{12}\varphi_{1}(x)\varphi_{2}(y)+\eta_{13}\varphi_{1}(x)\varphi_{3}(z)+\eta_{23}\varphi_{2}(y)\varphi_{3}(z)\geq0, \quad \text{对} \ x,y,z\geq0. \end{equation} $
微分等式 (2.2) 两边关于 $z$ $[0,\infty)$
(2.6) $ \begin{equation} P(X \in \mathrm{d}x, Y \in \mathrm{d}y) =\left(1+\eta_{12}\varphi_{1}(x)\varphi_{2}(y)\right) \mathrm{d}F(x)\mathrm{d}G(y), \end{equation} $
即随机向量 $(X,Y)$
(2.7) $ \begin{matrix} P(X \in \mathrm{d}x, \theta\in \mathrm{d}z) =(1+\eta_{13}\varphi_{1}(x)\varphi_{3}(z)) \mathrm{d}F(x)\mathrm{d}H(z), \end{matrix} $
(2.8) $ \begin{matrix} P(Y \in \mathrm{d}y, \theta\in \mathrm{d}z) =(1+\eta_{23}\varphi_{2}(y)\varphi_{3}(z)) \mathrm{d}G(y)\mathrm{d}H(z). \end{matrix} $
根据文献[26 ] , 存在常数 $b_1$ $b_2$ $b_3$
(2.9) $ \begin{matrix} \vert \varphi_1(x)\vert\leq b_1,\quad \vert \varphi_2(y)\vert\leq b_2,\quad \vert \varphi_3(z)\vert\leq b_3, \qquad \text{对} \ x,y,z\geq 0. \end{matrix} $
接下来首先引入一些记号. 由 (2.4) 式, 对 $s>0$ $\varphi_{31}(s)$ $\varphi_{32}(s)$ $\varphi_{33}(s)$
(2.10) $ \begin{matrix} &\varphi_{31}(s) := 1+\eta_{13}d_1\varphi_{3}(s)\geq0, \quad \varphi_{32}(s) := 1+\eta_{23}d_2\varphi_{3}(s)\geq0, \end{matrix} $
(2.11) $ \begin{matrix} \varphi_{33}(s) := 1+\varphi_3(s)(\eta_{13}d_1+\eta_{23}d_2)/\widetilde{C}_d\geq0. \end{matrix} $
根据 $\varphi_3(\cdot)$ $b_{31}$ $b_{32}$ $b_{33}$ $\varphi_{31}(\cdot)\leq b_{31}$ $\varphi_{32}(\cdot)\leq b_{32}$ $\varphi_{33}(\cdot)\leq b_{33}$ $\widehat{\theta}_1$ $\widehat{\theta}_2$ $\widehat{\theta}_3$ $\widehat{H}_1$ $\widehat{H}_2$ $\widehat{H}_3$
(2.12) $ \begin{matrix} \mathrm{d}\widehat{H}_1(s)=\varphi_{31}(s)\mathrm{d}H(s),\quad \mathrm{d}\widehat{H}_2(s)=\varphi_{32}(s)\mathrm{d}H(s),\quad \mathrm{d}\widehat{H}_3(s)=\varphi_{33}(s)\mathrm{d}H(s). \end{matrix} $
设随机向量 $(X^{\,*}, Y^{\,*}, \theta^*)$ $(X, Y, \theta)$ $(X^{\,*}, Y^{\,*}, \theta^*)$ $(X, Y, \theta)$ $(X^{\,*}, Y^{\,*}, \theta^*)$ $\{(X_k^{\,*},$ $ Y_k^{\,*}, \theta_k^*), k\geq1\}$ $(X^{\,*}, Y^{\,*}, \theta^*)$
(2.13) $ \begin{matrix} \widehat{N}_t^{(m)} =\sum\limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{I}_{(\widehat{\tau}_{k}^{(m)}\leq t)},\ \ \widehat{\tau}_{1}^{(m)}=\widehat{\theta}_m,\ \widehat{\tau}_{k}^{(m)}=\widehat{\theta}_m+\sum\limits_{i=2}^{k}\theta_i^*,\ k\geq 2,\ m=1,2,3;\end{matrix} $
(2.14) $ \begin{matrix}\widehat{N}_t^{(4)}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mathbb{I}_{(\widehat{\tau}_{k}^{(4)}\leq t)},\ \ \widehat{\tau}_{1}^{(4)}=\widehat{\theta}_1,\ \widehat{\tau}_{2}^{(4)}=\widehat{\theta}_1+\widehat{\theta}_2,\ \widehat{\tau}_{k}^{(4)}=\widehat{\theta}_1+\widehat{\theta}_2+\sum\limits_{i=3}^{k}\theta_i^*, \ k\geq 3;\end{matrix} $
(2.15) $ \begin{matrix}\widehat{N}_t^{(5)}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mathbb{I}_{(\widehat{\tau}_{k}^{(5)}\leq t)},\ \ \widehat{\tau}_{1}^{(5)}=\widehat{\theta}_2,\ \widehat{\tau}_{2}^{(5)}=\widehat{\theta}_2+\widehat{\theta}_1,\ \widehat{\tau}_{k}^{(5)}=\widehat{\theta}_2+\widehat{\theta}_1+\sum\limits_{i=3}^{k}\theta_i^*, \ k\geq 3. \end{matrix} $
(2.16) $ \begin{matrix} \widehat{\lambda}_{t}^{(m)} =E\widehat{N}_{t}^{(m)} =\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(\widehat{\tau}_k^{(m)}\leq t),\qquad m=1,2,3,4,5. \end{matrix} $
本文假设随机量 $\left\{(X_i, Y_i, \theta_i), i\geq1\right\}$ $\left\{(X_i^{\,*}, Y_i^{\,*}, \theta_i^*), i\geq1\right\}$ $\left\{\xi(t), t\geq0\right\}$ $\left\{(B_1(t),B_2(t)), t\geq0\right\}$ $(\widehat{\theta}_1, \widehat{\theta}_2, \widehat{\theta}_3)$
定理2.1 考虑二维保险风险模型 (1.1). 设 $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G \in \mathcal{R}_{-\beta}$ $\alpha>0$ $\beta>0$ . 在假设 2.1 成立的条件下, 若存在常数 $\kappa > \max\{ \alpha+\beta, 2 \}$ $\int_{0}^{T}E\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty$ $0<T<\infty$ $0< t\leq T$ $ \Psi(x,y;t) \sim \bar{F}(x)\bar{G}(y)P(t), $
当对数投资收益过程 $\{\xi(t),t\geq0\}$
推论2.1 考虑二维保险风险模型 (1.1). 设 $\{\xi(t),t\geq0\}$ $\phi(\cdot)$ $\{\xi(t),t\geq0\}$ $0< t\leq T$
设随机向量 $(X,Y)$ $(X,Y\,)$ $\theta$ $\eta_{13}=\eta_{23}=0$ $\varphi_3(z)=0$ . 于是由 (2.12) 式, $\widehat{H}_1=\widehat{H}_2=\widehat{H}_3=H$ $\widehat{\lambda}_t^{(m)}=\lambda_t$ $m=1,2,3,4,5$ $t>0$
推论2.2 考虑二维保险风险模型 (1.1). 设随机向量 $(X,Y)$ $F,G\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\alpha>0$ . 设随机向量 $(X,Y\,)$ $\theta$ $\kappa > \max\{ 2\alpha, 2 \}$ $\int_{0}^{T}E\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty$ $0<T<\infty$ $0<t\leq T$
3 两个应用
当对数投资收益过程 $\{\xi(t),t\geq0\}$ $E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}$ $a$ $b$ $E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}$ .
3.1 应用于 Vasicek 模型和 CIR 模型
设对数投资收益过程 $\{\xi(t),\ t\geq 0\}$
(3.1) $ \begin{matrix} \xi(t)=\int_0^t r_s \mathrm{d}s, \quad \xi(0)=0, \end{matrix} $
(3.2) $ \begin{matrix} \mathrm{d}r_t=m(l-r_t)\mathrm{d}t+\delta r_t^{\pi}\mathrm{d}W_t, \end{matrix} $
其中, $\{r_t,\ t\geq 0\}$ $m$ $l$ $\delta$ $\pi=0$ $1/2$ $\{W_t,\ t\geq 0\}$ $\pi=0$ $\pi=1/2$
引理3.1 设右连左极随机过程 $\{\xi(t),t\geq 0\}$ $a$ $b$
(1) 当 $\pi=0$
(3.3) $ \begin{matrix} E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)} &=\exp{\left\{ \widehat{A}_1(a,b)+\widehat{A}_2(a,b)v+\widehat{A}_3(a,b)\mathrm{e}^{-mv}\right\}}\nonumber\\ &\quad\cdot\exp{\left\{ \widehat{A}_4(a,b)u +\widehat{A}_5(a,b)\mathrm{e}^{-mu}+\widehat{A}_6(a,b)\mathrm{e}^{-2mu}\right\}}\nonumber\\ &\quad\cdot\exp{\left\{ \widehat{A}_7(a,b)\mathrm{e}^{-mu-mv}+\widehat{A}_8(a,b)\mathrm{e}^{-2mu-mv}+\widehat{A}_{9}(a,b)\mathrm{e}^{-2mu-2mv}\right\}}, \end{matrix} $
(2) 当 $\pi=1/2$ $m^2+2\delta^2[(a+b)\wedge a]>0$
(3.4) $ \begin{matrix} E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)} \\ =&\left(\frac{k_a\mathrm{e}^{mv/2}}{k_a\cosh(k_av)\!+\!\sinh(k_av)m/2}\right)^{2aml/\delta^2} \left(\frac{(\widehat{B}_1(v)\!-\!1)\mathrm{e}^{(m-2k_{a+b})u/2}}{\widehat{B}_1(v)\!-\!\mathrm{e}^{-2uk_{a+b}}}\right)^{2ml/\delta^2}\nonumber\\ & \cdot \exp{\left\{r_0\left[\frac{m-2k_{a+b}}{\delta^2}-\frac{4k_{a+b}}{\delta^2[\widehat{B}_1(v)\mathrm{e}^{2uk_{a+b}}-1]}\right]\right\}}, \end{matrix} $
其中 $k_s=\sqrt{m^2+2s\delta^2}/2$ $\widehat{B}_1(v) =1-\frac{4k_{a+b}}{(2k_{a+b}-m)-\widehat{B}_2(v)\delta^2}$ $\widehat{B}_2(v)=\frac{2a}{m+2k_a\coth(k_av)}$ .
本证明的总体思路是首先计算 $E\big(\mathrm{e}^{-a\int_u^{u+v}r_sds}|\mathcal{F}_u\big)$ $E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}$ . $r(t)$ $ r(t)$ $\widetilde{T}\geq t$ $B(t,\widetilde{T}\,):=E\big(\mathrm{e}^{-a\int_t^{\widetilde{T}}r_sds}|\mathcal{F}_t\big)=f\,(t,r_t)$ $f\,(t,r)$ $t$ $r$ $E\big(\mathrm{e}^{-a\int_u^{u+v}r_sds}|\mathcal{F}_u\big)$ $f\,(t,r)$ 22 ], 需通过"建立鞅, 取微分, 令 $\mathrm{d}t$ $0$ $f\,(t,r)$ $ f\,(t,r)$ $0\leq s\leq t \leq \widetilde{T}$ $E\left\{\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot B(t,\widetilde{T}\,)\Big|\mathcal{F}_s\right\} =E\left\{\mathrm{e}^{-a\int_0^tr_u\mathrm{d}u}\cdot E\big(\mathrm{e}^{-a\int_t^{\widetilde{T}}r_s\mathrm{d}s}|\mathcal{F}_t\big)|\mathcal{F}_s\right\} =E\left\{\mathrm{e}^{-a\int_0^{\widetilde{T}}r_u\mathrm{d}u}|\mathcal{F}_s\right\} =\mathrm{e}^{-a\xi(s)}\cdot B(s,\widetilde{T})$ . 故 $\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot B(t,\widetilde{T}\,)=\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot f\,(t,r_t)$ $\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot f\,(t,r_t)$
令 $\mathrm{d}t$ $0$
(3.5) $ \begin{matrix} f_t(t,r)+m(l-r)f_r(t,r)+f_{rr}(t,r)\cdot\delta^2r^{2\pi}/2 =arf\,(t,r), \end{matrix} $
(3.6) $ \begin{equation} f\,(\widetilde{T},r)=1,\quad \text{对任意的}\ r. \end{equation} $
(1) 当 $\pi=0$
(3.7) $ \begin{matrix} f_t(t,r)+m(l-r)f_r(t,r)+f_{rr}(t,r)\cdot\delta^2/2 =arf\,(t,r). \end{matrix} $
$f\,(t,r)=\mathrm{e}^{-rC_1(t,\widetilde{T})-A_1(t,\widetilde{T})} $, 其中 $C_1(t,\widetilde{T})$ 和 $A_1(t,\widetilde{T})$ 是关于 $t\in[\widetilde{T}]$ 的函数. 将 $f\,(t,r)=\mathrm{e}^{-rC_1(t,\widetilde{T})-A_1(t,\widetilde{T})}$ 代入偏微分方程 (3.7) 得到
(3.8) $ \begin{matrix} \left[\left( -C'_1(t,\widetilde{T})+ mC_1(t,\widetilde{T})- a\right)r -A'_1(t,\widetilde{T}) -mlC_1(t,\widetilde{T}) +\frac{\delta^2C_1^2(t,\widetilde{T})}{2}\right]f\,(t,r) =0. \end{matrix} $
对任意的 $r$ $-C'_1(t,\widetilde{T})+mC_1(t,\widetilde{T})-a=0$ $r$ $0$ . 于是得到常微分方程
(3.9) $ \begin{matrix} C'_1(t,\widetilde{T})=mC_1(t,\widetilde{T})-a. \end{matrix} $
(3.10) $ \begin{equation} A'_1(t,\widetilde{T})=-mlC_1(t,\widetilde{T})+\delta^2C_1^2(t,\widetilde{T})/2. \end{equation} $
由终端条件 (3.6), $C_1(\widetilde{T},\widetilde{T})=A_1(\widetilde{T},\widetilde{T})=0$ . 故根据 (3.9) 和 (3.10)} 式及终端条件可得
(3.11) $ \begin{equation} C_1(t,\widetilde{T})=\frac{a}{m}\left(1-\mathrm{e}^{-m(\widetilde{T}-t)}\right), \end{equation} $
(3.12) $ \begin{equation} A_1(t,\widetilde{T}) =\left(al-\frac{a^2\delta^2}{2m^2}\right)(\widetilde{T}-t) +\left(\frac{al}{m}-\frac{a^2\delta^2}{m^3}\right)\mathrm{e}^{-m(\widetilde{T}-t)} +\frac{a^2\delta^2}{4m^3}\mathrm{e}^{-2m(\widetilde{T}-t)} -\left(\frac{al}{m}-\frac{3a^2\delta^2}{4m^3}\right). \end{equation} $
于是, $B(t,\widetilde{T}\,)$ $B(t,\widetilde{T}\,)=f\,(t,r_t)=\mathrm{e}^{-r_tC_1(t,\widetilde{T})-A_1(t,\widetilde{T})}$ $0\leq t\leq \widetilde{T}$ $C_1(t,\widetilde{T})$ $A_1(t,\widetilde{T})$
(3.13) $ \begin{matrix} E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)} &=E\left\{\mathrm{e}^{-(a+b)\xi(u)}\cdot B(u,u+v)\right\}\nonumber\\ &=\mathrm{e}^{-A_1(u,u+v)}E\left\{\mathrm{e}^{-C_1(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\}. \end{matrix} $
要得到 $ E\left\{\mathrm{e}^{-C_1(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\} $ $E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $p_1$ $p_2$ $D(p_1,p_2,t)=E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $r_t$ 22 ,例 4.4.10] 知 $\xi(t)=\int_0^t r_s \mathrm{d}s=(mlt+r_0-r_t+\delta W_t)/m$ $p_1$ $p_2$ $D(p_1,p_2,t)$ $\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\int_0^t r_s \mathrm{d}s}$
其中上式用到了矩母函数的性质 $\partial D(p_1,p_2,s) /\partial p_1 =E(r_s\mathrm{e}^{p_1r_s+p_2\int_0^s r_v \mathrm{d}v})$ . 于是得到 $D(p_1,p_2,t)$ $t$
(3.14) $ \begin{matrix} \frac{\partial D(p_1,p_2,t)}{\partial t } + (p_1m-p_2)\frac{\partial D(p_1,p_2,t)}{\partial p_1} =\left(p_1ml+\frac{p_1^2\delta^2}{2}\right)D(p_1,p_2,t), \end{matrix} $
且初始条件为 $D(p_1,p_2,0)=\mathrm{e}^{p_1r_0}$ . 要得到方程 (3.14) 的解, 首先要找到 (3.14) 式的特征线方程的解. 由特征线方程的定义,
(3.15) $ \begin{matrix} \frac{\mathrm{d}p_1}{\mathrm{d}s}=(p_1m-p_2),\quad \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1,\quad p_1(0)=c,\quad t(0)=0. \end{matrix} $
(3.16) $ \begin{matrix} p_1(s) =\frac{p_2}{m}+\left(c-\frac{p_2}{m}\right)\mathrm{e}^{ms},\quad t(s)=s. \end{matrix} $
取 $U(s)=D(p_1(s),p_2,t(s))$
结合 (3.14) 式, 则 $\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}s} =\left(p_1ml+\frac{p_1^2\delta^2}{2}\right)U(s)$ $U(0)=D(p_1(0),p_2,t(0))=D(c,p_2,0)=\mathrm{e}^{cr_0}$ . 于是,
(3.17) $ \begin{matrix} U(s)=\exp{\left\{cr_0+ml\int_0^sp_1(v)\mathrm{d}v+\frac{\delta^2}{2}\int_0^sp_1^2(v)\mathrm{d}v\right\}}. \end{matrix} $
由 (3.16) 式, 根据 $p_1$ $t$ $c$ $s$
(3.18) $ \begin{matrix} D(p_1,p_2,t) =\exp{\left\{\bar{A}_1(p_1,p_2)+\bar{A}_2(p_1,p_2)t+\bar{A}_3(p_1,p_2)\mathrm{e}^{-mt}+\bar{A}_4(p_1,p_2)\mathrm{e}^{-2mt}\right\}}, \end{matrix} $
其中 $\bar{A}_1(p_1,p_2) =\frac{p_2r_0}{m} +\left(l+\frac{p_2\delta^2}{m^2}\right) \left(p_1-\frac{p_2}{m}\right) +\left(p_1-\frac{p_2}{m}\right)^2\frac{\delta^2}{4m}$ $\bar{A}_2(p_1,p_2) =p_2l+\frac{p_2^2\delta^2}{2m^2}$ $\bar{A}_3(p_1,p_2)$ $ =\left(r_0-l-\frac{p_2\delta^2}{m^2}\right) \left(p_1-\frac{p_2}{m}\right)$ $\bar{A}_4(p_1,p_2) =-\frac{\delta^2(p_1-p_2/m)^2}{4m}$ . 事实上, 根据 (3.18) 式,
(3.19) $ \begin{matrix} E\left\{\mathrm{e}^{-C_1(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\} &=E\left\{\mathrm{e}^{\frac{-a(1-\mathrm{e}^{-mv})}{m}r_u-(a+b)\xi(u)}\right\}\nonumber\\ &=D\left(-a\left(1-\mathrm{e}^{-mv}\right)/m,-(a+b),u\right). \end{matrix} $
故将 (3.19) 式代入 (3.13) 式即可得到 (3.3) 式.
(2) 当 $\pi=1/2$
(3.20) $ \begin{matrix} f_t(t,r)+m(l-r)f_r(t,r)+\delta^2rf_{rr}(t,r)/2=arf\,(t,r). \end{matrix} $
该偏微分方程的解具有形式 $f\,(t,r)=\mathrm{e}^{-rC_2(t,\widetilde{T})-A_2(t,\widetilde{T})}$
类似地, 得到 $-C'_2(t,\widetilde{T})+mC_2(t,\widetilde{T}) +\frac{\delta^2}{2}C_2^2(t,\widetilde{T})-a=0$ $-A'_2(t,\widetilde{T})-mlC_2(t,\widetilde{T})=0$ $C'_2(t,\widetilde{T})=mC_2(t,\widetilde{T})+\delta^2C_2^2(t,\widetilde{T})/2-a$ $A'_2(t,\widetilde{T})=-mlC_2(t,\widetilde{T})$ . 而且, 该方程满足终端条件 $C_2(\widetilde{T},\widetilde{T})=A_2(\widetilde{T},\widetilde{T})=0$ . 首先求解 $C_2(t,\widetilde{T})$ . 令 $Z(t,\widetilde{T})=C_2(t,\widetilde{T})+(m+2k_a)/\delta^2$ $k_a=\sqrt{m^2+2a\delta^2}/2$ . 于是, $Z'(t,\widetilde{T}) =\frac{\delta^2}{2}Z^2(t,\widetilde{T})-2k_aZ(t,\widetilde{T})$ $Z(\widetilde{T},\widetilde{T})=(m+2k_a)/\delta^2$ $Z(t,\widetilde{T}) =\left(\frac{\delta^2}{4k_a} +\delta^2\left[\frac{1}{m+2k_a}-\frac{1}{4k_a}\right] \mathrm{e}^{-2k_a(\widetilde{T}-t)}\right)^{-1}$ . 于是
(3.21) $ \begin{matrix} C_2(t,\widetilde{T}) =\frac{a\sinh(k_a(\widetilde{T}-t))}{ k_a\cosh(k_a(\widetilde{T}-t)) +\frac{m}{2}\sinh(k_a(\widetilde{T}-t))}. \end{matrix} $
然后求解 $A_2(t,\widetilde{T})$ . 对微分方程 $A'_2(t,\widetilde{T})=-mlC_2(t,\widetilde{T})$ $A_2(\widetilde{T},\widetilde{T})=0$
(3.22) $ \begin{gather} A_2(t,\widetilde{T}) =-\frac{2mla}{\delta^2}\ln\left( \frac{k_a\mathrm{e}^{m(\widetilde{T}-t)/2}}{ k_a\cosh(k_a(\widetilde{T}-t)) +\frac{m}{2}\sinh(k_a(\widetilde{T}-t)) }\right). \end{gather} $
于是, CIR 模型中 $f\,(t,r_t)$ $B(t,\widetilde{T}\,) =f\,(t,r_t) =\mathrm{e}^{-r_tC_2(t,\widetilde{T})-A_2(t,\widetilde{T})}$ $0\leq t\leq \widetilde{T}$ $C_2(t,\widetilde{T})$ $A_2(t,\widetilde{T})$
(3.23) $ \begin{matrix} E\left(\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}\right) &=E\left\{\mathrm{e}^{-(a+b)\xi(u)}\cdot B(u,u+v)\right\}\nonumber\\ &=\mathrm{e}^{-A_2(u,u+v)}E\left\{\mathrm{e}^{-C_2(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\}. \end{matrix} $
为得到 $E\{\mathrm{e}^{-C_2(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\}$ $D'(p_1,p_2,t)=E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $p_1$ $p_2$ 13 ], $r_t$ $\xi(t)=\int_0^tr_s\mathrm{d}s$ $D(p_1,p_2,t)$ $m^2>2\delta^2p_2$
(3.24) $ \begin{matrix} D'(p_1,p_2,t) =\exp{\left\{\hat{c}(p_1,p_2)r_0+\frac{[m-\Omega(p_2)]mlt}{\delta^2}- \frac{2ml}{\delta^2}\ln{\frac{\zeta(p_1,p_2)-\mathrm{e}^{-\Omega(p_2)t}}{\zeta(p_1,p_2)-1}}\right\}}, \end{matrix} $
其中$\Omega(p_2)=\sqrt{m^2-2\delta^2p_2}$
(3.25) $ \begin{matrix} \hat{c}(p_1,p_2) = \frac{m - \Omega(p_2)}{\delta^2} - \frac{2\Omega(p_2)} {\delta^2[\zeta(p_1,p_2)\mathrm{e}^{\Omega(p_2)t} - 1]},\ \zeta(p_1,p_2) = 1 - \frac{2\Omega(p_2)}{\Omega(p_2) - m + p_1\delta^2}. \end{matrix} $
事实上, 由引理 3.1 知 $m^2>-2\delta^2(a+b)$ $E\left\{\mathrm{e}^{-C_2(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\}$
定理3.1 考虑二维带扰动保险风险模型 (1.1). 设随机向量 $(X,Y)$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $\alpha, \beta>0$ . 设随机向量 $(X,Y)$ $\{\xi(t),t\geq 0\}$ $\{\xi(t),t\geq 0\}$ $\{(X_i,Y_i),\ i\geq1 \}$ $\{\theta_i,i\geq1\}$ $\{(B_1(t),B_2(t)),t\geq0\}$ $t>0$
其中 $E\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)\xi(u)}$ $E\mathrm{e}^{-\beta\xi(u)-\alpha\xi(u+v)}$ $E\mathrm{e}^{-\alpha\xi(u)-\beta\xi(u+v)}$
证 本定理的证明分成两部分. 首先证明 Vasicek 模型情形. 由 (3.3) 式有
其中 $\widetilde{A}_1(\kappa)=\frac{\kappa}{m}(l-r_0)-3\frac{\kappa^2\delta^2}{4m^3}$ $\widetilde{A}_2(\kappa)=\kappa\left(\frac{\kappa\delta^2}{2m^2}-l\right)$ $\widetilde{A}_3(\kappa)=\frac{\kappa}{m}\left(r_0-l+\frac{\kappa\delta^2}{m^2}\right)$ $\widetilde{A}_4(\kappa)=-\frac{\kappa^2\delta^2}{4m^3}$ . 则 $\int_0^tE\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty$ $\kappa>0$
其次证明 CIR 模型情形. 由 (3.4) 式得
则 $\int_0^tE\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty$ $\kappa>0$
3.2 应用于 Heston 模型
1993 年, Steven Heston 建立了一类随机波动率模型, Heston 模型[14 ] . 与 Black-Scholes 模型相比, Heston 模型中波动率是任意的. 令投资收益过程 $\left\{S_t=\mathrm{e}^{\xi(t)},\ t\geq0 \right\}$
(3.26) $ \begin{equation} \mathrm{d}S_t =\mu S_t\mathrm{d}t+\sqrt{r_t}S_t\mathrm{d}W_t^{(1)}, \end{equation} $
其中, $\mu$ $\{W_t^{(1)}, t\geq0\}$ $\{r_t, t\geq0\}$
(3.27) $ \begin{equation} \mathrm{d}r_t =m(l-r_t)\mathrm{d}t+\delta\sqrt{r_t}\mathrm{d}W_t^{(2)}. \end{equation} $
此处, $r_0>0$ $l>0$ $m>0$ $l$ $\delta>0$ $2ml>\delta^2$ $\{W_t^{(2)}, t\geq0\}$ $\{W_t^{(1)}, t\geq0\}$
(3.28) $ \begin{equation} \mathrm{d}W_t^{(1)} =\tilde{\rho} \mathrm{d}W_t^{(2)} +\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\mathrm{d}W_t^{(3)}, \end{equation} $
其中, $\tilde{\rho}\in[-1,0]$ $\{W_t^{(3)}, t\geq0\}$ $\{W_t^{(2)}, t\geq0\}$
引理3.2 设投资收益过程 $\{S_t=\mathrm{e}^{\xi(t)},t\geq 0\}$ $a, b>0$
(3.29) $ \begin{equation} (\delta^2+2m\delta)(a+b)+(a+b)^2\delta^2<m^2, \end{equation} $
(3.30) $ \begin{matrix} E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)} &=\exp\left\{ -b\mu u-a\mu(u+v)+\frac{a\tilde{\rho} mlv}{\delta} \right.\nonumber\\ &\left.\qquad\qquad +\frac{(a+b)\tilde{\rho} (r_0+mlu)}{\delta}+f\,(u,v)+g(u) \right\}, \end{matrix} $
其中 $f(u,v) =\frac{(m-\Omega(e_2))mlv}{\delta^2} -\frac{2ml}{\delta^2}\ln\left(\frac{\zeta(e_1,e_2)-\mathrm{e}^{(u-v)\Omega(e_2)}}{\zeta(e_1,e_2)-\mathrm{e}^{u\Omega(e_2)}}\right)$ $e_1=-\frac{a\tilde{\rho}}{\delta}$ $e_2=\frac{a+a^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2} -\frac{am\tilde{\rho}}{\delta}$ $e_3=-\frac{b\tilde{\rho}}{\delta}+\hat{c}(e_1,e_2)$ $e_4=\frac{(b+a)+(b+a)^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2} -\frac{(b+a)m\tilde{\rho}}{\delta}$ $g(u)=\hat{c}(e_3,e_4)r_0 +\frac{(m-\Omega(e_4))mlu}{\delta^2} -\frac{2ml}{\delta^2}\ln\left(\frac{\zeta(e_3,e_4)-\mathrm{e}^{-\Omega(e_4)u}}{\zeta(e_3,e_4)-1}\right)$ $\hat{c}(\cdot,\cdot)$ $\Omega(\cdot)$ $\zeta(\cdot,\cdot)$
(3.31) $ \begin{matrix} \mathrm{e}^{\xi(t)}=S_t&=\exp\left\{\mu t-\int_0^t \frac{r_s}{2} \mathrm{d}s +\int_0^t \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(1)}\right\}\nonumber\\ &=\exp\left\{\mu t-\int_0^t \frac{r_s}{2} \mathrm{d}s +\tilde{\rho}\int_0^t \sqrt{r_s}\mathrm{d}W_s^{(2)}+\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_0^t \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)}\right\}. \end{matrix} $
将 (3.31) 式代入 $E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}$
(3.32) $ \begin{matrix} &\quad\, E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}=E\left(S_u^{-b}S_{u+v}^{-a}\right)\nonumber\\ &=\mathrm{e}^{-b\mu u-a\mu(u+v)}E\left[\exp\left( \frac{b}{2}\int_0^u r_s\, \mathrm{d}s -b\tilde{\rho}\int_0^u \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)}-b\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_0^u \sqrt{r_s}\, \mathrm{d}W_s^{(3)}\right)\right.\nonumber\\ &\left.\quad \cdot\exp\left( \frac{a}{2}\int_0^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s -a\tilde{\rho}\int_0^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)}-a\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_0^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)}\right)\right]\nonumber\\ &=\mathrm{e}^{-b\mu u-a\mu(u+v)}E\left\{ \exp\left( \frac{b+a}{2}\int_0^u r_s \,\mathrm{d}s -(b+a)\tilde{\rho}\int_0^u \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)}\right.\right.\nonumber\\ &\quad\left.\left. -(b+a)\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_0^u \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)}\right)\right.\nonumber\\ &\left.\quad \cdot E\left[\exp\left( \frac{a}{2}\int_u^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s -a\tilde{\rho}\int_u^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)}-a\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_u^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)} \right) |\mathcal{F}_u\right]\nonumber \right\}\\ &=:\mathrm{e}^{-b\mu u-a\mu(u+v)}E[M_1(u)\cdot M_2(u,v)]. \end{matrix} $
对 $M_2(u,v)$
(3.33) $ \begin{matrix} M_2(u,v) &=E\left\{E\left[\exp\left( \frac{a}{2}\int_u^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s -a\tilde{\rho}\int_u^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)}-a\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_u^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)} \right) \right.\right.\nonumber\\ &\quad\ \left.\left. \cdot \mid\mathcal{F}_u,W_s^{(2)},u\leq s\leq u+v\right]\mid \mathcal{F}_u \right\}\nonumber\\ &=E\left\{ \exp\left( \frac{a}{2}\int_{u}^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s -a\tilde{\rho}\int_{u}^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)} \right)\right. \nonumber\\ &\quad\ \cdot E\left[\exp\left( -a\sqrt{1-\tilde{\rho}^2}\int_{u}^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(3)} \right.\right.\left.\left. \mid \mathcal{F}_u,W_s^{(2)},u\leq s\leq u+v\right] \mid \mathcal{F}_u\right\}\nonumber\\ &= E\left[ \exp\left( \frac{a}{2}\int_{u}^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s -a\tilde{\rho}\int_{u}^{u+v} \sqrt{r_s}\,\mathrm{d}W_s^{(2)} +\frac{a^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2}\int_{u}^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s \right)\mid \mathcal{F}_u \right]. \end{matrix} $
更进一步地, 由 (3.27), (3.29) 和 (3.24) 式得
(3.34) $ \begin{matrix} M_2(u,v) &=E\left\{ \exp\left[ \frac{a+a^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2}\int_{u}^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s \right.\right. \\ &\quad\ \left.\left. -\frac{a\tilde{\rho}}{\delta}\left( m\int_{u}^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s-mlv+r_{u+v}-r_{u} \right)\right]\mid \mathcal{F}_u \right\}\nonumber\\ &=\exp\left(\frac{a\tilde{\rho} mlv+a\tilde{\rho} r_{u}}{\delta}\right) \\ &\quad\ \cdot E\left\{ \exp\left[ -\frac{a\tilde{\rho}}{\delta}r_{u+v} +\left(\frac{a+a^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2}-\frac{am\tilde{\rho}}{\delta}\right)\int_u^{u+v} r_s \,\mathrm{d}s \right] |\mathcal{F}_u\right\}\nonumber\\ &=\exp\left[ \frac{a\tilde{\rho} mlv+a\tilde{\rho} r_u}{\delta} +\hat{c}\left(-\frac{a\tilde{\rho}}{\delta}, \frac{a+a^2(1-\tilde{\rho}^2)}{2}-\frac{am\tilde{\rho}}{\delta}\right)r_u +f\,(u,v)\right], \end{matrix} $
其中 $f\,(u,v)$ $\hat{c}(\cdot,\cdot)$
对 $\widetilde{M}_1(u)$
定理3.2 考虑二维带扰动的保险风险模型 (1.1). 设随机向量 $(X,Y)$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $\alpha, \beta>0$ $(X,Y)$ $\{S_t=\mathrm{e}^{\xi(t)},\ t\geq0 \}$ $\{\xi(t),t\geq 0\}$ $\{(X_i,Y_i),i\geq1\}$ $\{\theta_i,i\geq1\}$ $\{(B_1(t),B_2(t)),t\geq0\}$ $\kappa>\max{\{\alpha+\beta,2\}}$ $\delta\kappa[2m+(\kappa+1)\delta]<m^2$ $t>0$
其中 $E\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)\xi(u)}$ $E\mathrm{e}^{-\alpha\xi(u)-\beta\xi(u+v)}$ $E\mathrm{e}^{-\beta\xi(u)-\alpha\xi(u+v)}$
证 由引理 3.2, 在 (3.32)-(3.34) 式的推导过程中, 令 $b=0$ $a=\kappa$ $u=0$ $v=t$
于是根据定理 (2.1) 即可得到结果, 定理 (3.2) 得证.
4 主要结果的证明
4.1 一些引理
首先引入若干证明主要结果需要的关系式. 设 $F$ $[0,\infty)$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $0<\alpha<\infty$ $0<a<b<\infty$ $y\in[a,b]$
(4.1) $ \begin{matrix} \bar{F}(xy)\sim y^{-\alpha}\bar{F}(x). \end{matrix} $
根据专著 [2 ] , 若 $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\alpha>0$ $C_F>1$ $D_F>0$ $0<\delta_0<\alpha$ $x, xy\geq D_F$
(4.2) $ \begin{matrix} \frac{1}{C_F}(y^{-\alpha+\delta_0}\wedge y^{-\alpha-\delta_0}) \leq \frac{\bar{F}(xy)}{\bar{F}(x)} \leq C_F(y^{-\alpha+\delta_0}\vee y^{-\alpha-\delta_0}). \end{matrix} $
于是对任意的$p>\alpha$
(4.3) $ \begin{equation} x^{-p}=o(\bar{F}(x)),\quad x\rightarrow \infty. \end{equation} $
设 $X$ $Y$ $X$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $p>\alpha$ $Y$ $EY^{p}<\infty$ 24 ] 的 (4.4) 式, 对任意给定的 $M\geq0$
(4.4) $ \begin{matrix} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{P\left( XY>x, Y>M\right)}{\bar{F}(x)} =E\left( Y^{\alpha}\mathbb{I}_{[Y>M]} \right), \end{matrix} $
同时, 根据文献 [15 ] 得到对任意固定的 $\delta>0$ $\alpha<p<\infty$ $x$ $Y$ $\delta$ $C>0$
(4.5) $ \begin{matrix} P\left( XY>\delta x\,\big|\, Y \right) \leq C\bar{F}(x) \left(\delta^{-p}Y\,^{p} \mathbb{I}_{[Y\geq\delta]} + \mathbb{I}_{[Y<\delta]}\right). \end{matrix} $
引理4.1 设 $X^{\,*}$ $Y^{\,*}$ $X^{\,**}$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $F^{\,**}\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\alpha>0$ $\beta>0$ . 设非负随机变量 $\Theta_1$ $\Theta_2$ $X^{\,*}$ $Y^{\,*}$ $X^{\,**}$ $\eta>\alpha+\beta$
(4.6) $ \begin{matrix} E\Theta_k^{\eta}<\infty,\qquad k=1,2, \end{matrix} $
和 $P\left\{\omega:\Theta_1(\omega)\Theta_2(\omega)\neq0\right\}>0$
(4.7) $ \begin{matrix} &\,\,P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_2>y \right\} \sim \bar{F}(x)\bar{G}(y)E\left( \Theta_1^{\alpha}\Theta_2^{\beta} \right), \end{matrix} $
(4.8) $ \begin{matrix} P\left\{ X^{\,**}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_1>y,\ X^{\,*}\Theta_2>x \right\}=o(1)\bar{F}(x)\bar{G}(y). \end{matrix} $
证 由 (4.6) 式和 Hölder 不等式, 对任意的 $0<l\leq\eta$
(4.9) $ \begin{matrix} E\Theta_k^{l} \leq \left(E\Theta_k^{\eta}\right)^{l/\eta} <\infty,\quad k=1,2. \end{matrix} $
对任意的 $\varepsilon>0$ $b\in (1,\infty)$ $a\in(0,1)$ $a^{\alpha} \vee a^{\beta}<\varepsilon$ $\alpha+\beta+2\varepsilon<\eta$
(4.10) $ \begin{matrix} E\left\{ \Theta_k^{l} \left(\mathbb{I}_{[\Theta_k<a]} +\mathbb{I}_{[\Theta_k>b]} \right) \right\} <\varepsilon. \end{matrix} $
首先证明 (4.7) 式. 先证明概率 $P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_2>y \right\}$ $E_{1}=\left\{ \Theta_1<a \right\}$ $E_{2}=\left\{ a\leq\Theta_1\leq b \right\}$ $E_{3}=\left\{ \Theta_1>b \right\}$ . 于是 $P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_2>y \right\}$ $P\{ X^{\,*}\Theta_1>x,$ $Y^{\,*}\Theta_2>y \} = \sum\limits_{s=1}^3P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x, Y^{\,*}\Theta_2>y,E_{s}\right\} :=\sum\limits_{s=1}^3 Q_{s}$ . 由$F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $x_1>0$ $y_1>0$ $ x>x_1$ $y>y_1$
根据 (4.4), (4.1), (4.10) 和 (4.9) 式知, 存在 $x_2>x_1$ $y_2>y_1$ $x>x_2$ $y>y_2$
由 (4.4), (4.5), (4.10) 式和 Hölder 不等式, 存在 $x_3>x_2$ $y_3>y_2$ $ x>x_3$ $ y>y_3$
于是, 由上述关于 $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ $P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_2>y \right\}$ $P\left\{ X^{\,*}\Theta_1>x,\ Y^{\,*}\Theta_2>y \right\}$ $Q_2$ $x_4>x_3$ $y_4>y_3$ $x>x_4$ $y>y_4$
由 Hölder 不等式, (4.9) 和 (4.10) 式得
类似地, $ E\left(\Theta^{\alpha}_1\Theta^{\beta}_2\mathbb{I}_{[\Theta_1>b]} \right) +E\left(\Theta^{\alpha}_1\Theta^{\beta}_2\mathbb{I}_{[\Theta_2<a]} \right) +E\left(\Theta^{\alpha}_1\Theta^{\beta}_2\mathbb{I}_{[\Theta_2>b]}\right) \leq C\varepsilon. $ $\varepsilon>0$ $x>x_4$ $y>y_4$
其次证明 (4.8) 式. 对上述 $\varepsilon>0$
设 $\left\{(\widetilde{X}^{\,*}_k, \widetilde{Y}^{\,*}_k,\widetilde{\theta}^{\,*}_k),k\geq 1\right\}$ $(\widetilde{X}^{\,*}, \widetilde{Y}^{\,*},\widetilde{\theta}^{\,*})$ . 设 $(\widetilde{X}^{\,*}, $ $\widetilde{Y}^{\,*},\widetilde{\theta}^{\,*})$ $\widetilde{F}$ $\widetilde{G}$ $\widetilde{H}$
其中, $\varphi_1(x)$ $\varphi_2(y)$ $\varphi_3(z)$ $b_i$ $i=1,2,3$
(4.11) $ \begin{matrix} \bar{\widetilde{F}}(x)=\int_x^{\infty} \left(1-\varphi_1(u)/b_1\right)\mathrm{d}F(u) \sim \left(1-d_1/b_1 \right)\bar{F}(x),\quad x\rightarrow\infty, \end{matrix} $
(4.12) $ \begin{matrix} \bar{\widetilde{G}}(y)=\int_y^{\infty} \left(1-\varphi_2(v)/b_2\right)\mathrm{d}G(v) \sim \left(1-d_2/b_2\right)\bar{G}(y),\quad y\rightarrow\infty, \end{matrix} $
其中 $d_1$ $d_2 $ $0<\alpha, \beta<\infty$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $\widetilde{F} \in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\widetilde{G}\in\mathcal{R}_{-\beta}$ .
其中, $g$ $\Delta$ $f_0=1+\eta_{12}b_1b_2+\eta_{13}b_1b_3+\eta_{23}b_2b_3$ $f_{12}=\eta_{12}b_1b_2$ $f_{13}=\eta_{13}b_1b_3$ $f_{23}=\eta_{23}b_2b_3$ .
证 由假设 2.1 及 $\widetilde{F}(x)$ $\widetilde{G}(y)$ $\widetilde{H}(z)$
对任意的 $t>0$ $i>0$ $\tau_i=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_i$ $\tau_i^*=\theta_1^*+\theta_2^*+\cdots+\theta_{i}^*$ $\vartheta_i(t)=\mathrm{e}^{-\xi(\tau_i)}\mathbb{I}_{[\tau_i \leq t]}$ $\vartheta_i^*(t)=\mathrm{e}^{-\xi(\tau_i^*)}\mathbb{I}_{[\tau_i^* \leq t]}$ $\widehat{\vartheta}_{ki}(t)=\mathrm{e}^{-\xi(\hat{\tau}^{(k)}_i)}\mathbb{I}_{[\hat{\tau}^{(k)}_i\leq t]}$ $k=1,2,3,4,5$ $\hat{\tau}^{(k)}_i$ $q \geq 0$
(4.13) $ \begin{matrix} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{q} \frac{ s^{n-1} \lambda^{n}}{(n-1)!} \mathrm{e}^{-\lambda s} \leq \begin{cases} C(s^q \vee 1), & q=0,1,2\cdots,\\ C(s^{[q]+1} \vee 1), & \text{其它}, \end{cases} \end{matrix} $
其中 $[q]$ $q$ $q\geq0$ $0<l \leq \kappa$ $\kappa$
(4.14) $ \begin{matrix} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^q E\vartheta_n^{\,l}(t) & =\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^q E\left\{\mathbb{I}_{[\tau_n \leq t]}E\left(\mathrm{e}^{-l\xi(\tau_n)}|\tau_n \right)\right\} \nonumber\\ & =\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^q \int_0^t E(\mathrm{e}^{-l\xi(s)})\frac{s^{n-1}\lambda^n}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda s}{\rm d}s\nonumber\\ &=\int_0^t E(\mathrm{e}^{-l\xi(s)}) \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^q \frac{s^{n-1}\lambda^n}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda s}{\rm d}s\nonumber\\ & \leq C(t^{[q]+1} \vee 1)\int_0^t E\mathrm{e}^{-l\xi(s)}{\rm d}s \nonumber\\ & \leq C(T) \int_0^t \left( E\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)} \right)^{l/\kappa}{\rm d}s\nonumber\\ & \leq C(T) \left( \int_0^t E\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}{\rm d}s \right)^{l/\kappa} <\infty, \quad 0<t\leq T, \end{matrix} $
其中, 上式的第二步是由伽马分布的定义得到. 在 (4.27) 式中取 $q=0$ $0<l \leq \kappa$ $0<t\leq T$
(4.15) $ \begin{equation} E\vartheta_n^{\,l}(t)<\infty, \quad \text{对任意的}\ n\geq1. \end{equation} $
引理4.3 在定理 (2.1) 的条件下, 对任意的 $i\geq1$ $j\geq1$ $0<t\leq T$
(1) 当 $i=j$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_i\vartheta_i(t)>y \right\}\sim \widetilde{C}_d\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\widehat{\vartheta}_{3i}^{\alpha+\beta}(t)$ $\widetilde{C}_d$
(2) 当 $i<j$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_j\vartheta_j(t)>y \right\}\sim \bar{F}(x)\bar{G}(y)E\left\{ \widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t) \right\}$
(3) 当 $i>j$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_j\vartheta_j(t)>y \right\}\sim \bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left\{\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t) \right\}$ .
(4.16) $ \begin{equation} \vartheta_i^*(s_k,s_m;t) \nonumber\\ =\mathrm{e}^{-\xi(\theta_1^*+\cdots+\theta_{k-1}^*+s_k+\cdots+\theta_{m-1}^*+s_m+\cdots+\theta_i^*)} \mathbb{I}_{[\theta_1^*+\cdots+s_k+\cdots+s_m+\cdots+\theta_i^*\leq t]}, \ 1\leq k< m \leq i \end{equation} $
(4.17) $ \begin{equation} \vartheta_i^*(s_k;t) =\mathrm{e}^{-\xi(\theta_1^*+\cdots+\theta_{k-1}^*+s_k+\cdots+\theta_i^*)}\mathbb{I}_{[\theta_1^*+\cdots+\theta_{k-1}^*+s_k+\cdots+\theta_i^*\leq t]}, \quad 1\leq k \leq i. \end{equation} $
(4.18) $ \begin{equation} {\rm d}\widetilde{H}(w) =\left( 1-\varphi_3(v)/b_3 \right){\rm d}H(w), \end{equation} $
得, 对任意的 $n$ $0<l\leq\kappa$
(4.19) $ \begin{matrix} E\left\{\vartheta_{n}^{*l}(\widetilde{\theta}_n^*;t)\right\} &=E\left\{E\left[\vartheta_{n}^{*l}(\widetilde{\theta}_n^*;t) \mid\widetilde{\theta}_n^*\right]\right\} =\int_0^t E\left(\mathrm{e}^{-l\xi(\theta_1^*+\cdots+u)}\right){\rm d}\widetilde{H}(u)\nonumber\\ &\leq 2\int_0^t E\left(\mathrm{e}^{-l\xi(\theta_1^*+\cdots+u)}\right){\rm d}H(u) \nonumber\\ & =2E\left\{\vartheta_{n}^{*l}(t)\right\} <\infty \end{matrix} $
(4.20) $ \begin{equation} E\left\{\vartheta_{n}^{*l}(\widetilde{\theta}_k^*,\widetilde{\theta}_n^*;t)\right\} =E\left\{E\left[\vartheta_{n}^{*l}(\widetilde{\theta}_k^*,\widetilde{\theta}_n^*;t)\mid\widetilde{\theta}_k^*,\widetilde{\theta}_n^*\right]\right\} \leq4E\left\{\vartheta_{n}^{*l}(t)\right\}<\infty. \end{equation} $
对任意的 $i\geq1$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_i\vartheta_i(t)>y \right\}\sim \widetilde{C}_d\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\widehat{\vartheta}_{3i}^{\alpha+\beta}(t)$ . 注意到 $(X_i,Y_i,\theta_i)$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_i\vartheta_i(t)>y \right\}$
根据引理 4.2, (4.15), (4.19), (4.7), (4.11) 和 (4.12) 式得到
(4.21) $ \begin{matrix} &P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_i\vartheta_i(t)>y \right\} \\ =\ &f_0P\left\{X_i^{\,*}\vartheta_i^{\,*}(t)>x,Y_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>y\right\} -(f_{12}+f_{13})P\left\{\widetilde{X}_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>x,Y_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>y \right\}\nonumber\\ & -(f_{12}+f_{23})P\left\{X^{\,*}_i\vartheta_i^*(t)>x,\widetilde{Y}_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>y\right\} \nonumber\\ & -(f_{13}+f_{23})P\left\{X^{\,*}_i\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>x,Y_i^*\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>y\right\} +f_{12}P\left\{\widetilde{X}_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>x,\widetilde{Y}_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>y\right\} \nonumber\\ & +f_{13}P\left\{\widetilde{X}_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>x,Y_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>y\right\} +f_{23}P\left\{X_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>x,\widetilde{Y}_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>y\right\}\nonumber\\ \sim\,& f_0\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\vartheta^{*\alpha+\beta}_i(t) -(f_{12}+f_{13})\left(1-d_1/b_1\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\vartheta^{*\alpha+\beta}_i(t) \nonumber\\ & -(f_{12}+f_{23})\left(1-d_2/b_2\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\vartheta^{*\alpha+\beta}_i(t) -(f_{13}+f_{23})\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left[\vartheta_i^{*\alpha+\beta}(\widetilde{\theta}_i^*;t)\right] \nonumber\\ & +f_{12}\left(1-d_1/b_1\right) \left(1-d_2/b_2\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\vartheta^{*\alpha+\beta}_i(t) \nonumber\\ & +f_{13}\left(1-d_1/b_1\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left[\vartheta_i^{*\alpha+\beta}(\widetilde{\theta}_i^*;t)\right] +f_{23}\left(1-d_2/b_2\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left[\vartheta_i^{*\alpha+\beta}(\widetilde{\theta}_i^*;t)\right] \nonumber\\ =\ &\widetilde{C}_d\bar{F}(x)\bar{G}(y) \int_0^t \varphi_{33}(u)E \left[ \mathrm{e}^{-(\alpha + \beta)\xi(\tau_{i - 1}^* +u)}\mathbb{I}_{[\tau_{i - 1}^* +u\leq t]}\right] H(\mathrm{d}u)\nonumber\\ =\ & \widetilde{C}_d \bar{F}(x)\bar{G}(y)E\widehat{\vartheta}_{3i}^{\alpha + \beta}(t), \end{matrix} $
其中 $\vartheta_i^*(\cdot;t)$
对 $i<j$ $P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_j\vartheta_j(t)>y \right\}$ . 由于 $(X_i,\theta_i)$ $\eta_{12}=\eta_{23}=0$
(4.22) $ \begin{matrix} &P\left\{ X_i\vartheta_i(t)>x,\ Y_j\vartheta_j(t)>y \right\} \nonumber\\ =\,&(1+\eta_{13}b_1b_3)P\left\{X_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>x, Y_j\vartheta_j^{\,*}(\theta_j;t)>y\right\}-\eta_{13}b_1b_3P\left\{\widetilde{X}_i^{\,*}\vartheta_i^*(t)>x, Y_j\vartheta_j^{*}(\theta_j;t)>y\right\}\nonumber\\ & -\eta_{13}b_1b_3P\left\{X_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>x, Y_j\vartheta_j^*(\widetilde{\theta}_i^*,\theta_j;t)>y\right\} \nonumber\\ &+\eta_{13}b_1b_3P\left\{\widetilde{X}_i^{\,*}\vartheta_i^*(\widetilde{\theta}_i^*;t)>x, Y_j\vartheta_j^*(\widetilde{\theta}_i^*,\theta_j;t)>y\right\}\nonumber\\ :=\,&(1+\eta_{13}b_1b_3)L_1-\eta_{13}b_1b_3L_2-\eta_{13}b_1b_3L_3+\eta_{13}b_1b_3L_4, \end{matrix} $
其中, $\vartheta_j^*(\cdot;t)$ $\vartheta_j^*(\cdot,\cdot;t)$
考虑$L_1$ $(Y_j,\theta_j)$ $\eta_{12}=\eta_{13}=0$
(4.23) $ \begin{matrix} L_1 =\,&(1+\eta_{23}b_2b_3)P\left\{X^{\,*}_i\vartheta_i^*(t)>x,Y_j^{\,*}\vartheta_j^*(t)>y\right\} -\eta_{23}b_2b_3P\left\{X^{\,*}_i\vartheta_i^*(t)>x,\widetilde{Y}_j^{\,*}\vartheta_j^*(t)>y\right\} \nonumber\\ & - \eta_{23}b_2b_3P \left\{ X_i^{\,*}\vartheta_i^*(t) > x,Y_j^{\,*}\vartheta_j^*(\widetilde{\theta}_j^* ; t) > y \right\} + \eta_{23}b_2b_3 P \left\{ X_i^{\,*}\vartheta_i^*(t) > x, \widetilde{Y}_j^{\,*}(\widetilde{\theta}_j^* ; t) > y \right\}, \end{matrix} $
类似于 (4.21) 式的讨论可得 $L_1\sim\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\left\{\vartheta^{*\alpha}_{i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\right\}$ . 由 (4.20) 式及类似于 $L_1$ $L_3\sim\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left\{\vartheta^{*\alpha}_{i}(\widetilde{\theta}^*_i;t) \vartheta^{*\beta}_{j}(\widetilde{\theta}^*_i,\widehat{\theta}_2;t)\right\}$ $\widehat{\theta}_2$ $L_2\sim\left(1- \frac{d_1 }{b_1}\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y)E\left\{\vartheta^{*\alpha}_{i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\right\}$ $L_4\sim\left(1- \frac{d_1 }{b_1}\right)\bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left\{\vartheta^{*\alpha}_{i}(\widetilde{\theta}^*_i;t) \vartheta^{*\beta}_{j}(\widetilde{\theta}^*_i,\widehat{\theta}_2;t)\right\}$ . 将 $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_4$ $i<j$ $P\{ X_i\vartheta_i(t)>x,$ $ Y_j\vartheta_j(t)>y\} \sim \bar{F}(x)\bar{G}(y)E\left\{ \widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t) \right\}$ . 当 $i>j$ $i<j$ $P\{ X_i\vartheta_i(t)>x,$ $ Y_j\vartheta_j(t)>y \} \sim \bar{F}(x)\bar{G}(y) E\left\{\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t) \right\}$ . 引理得证.
引理4.4 在定理 2.1 的条件下, 对任意的 $N$ $0<t\leq T$
证 首先证明概率 $P\Big\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y \Big\}$ $\varepsilon>0$ $\alpha+\beta+2\varepsilon<\kappa$ $0<\delta<1$ $(1-\delta)^{-(\alpha+\beta)}<1+\varepsilon$
(4.24) $ \begin{matrix} &P\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y \right\} =P\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y, E\cup E^c \right\} \nonumber\\ \leq\ & \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}P\left\{X_i\vartheta_i(t)>(1-\delta)x,Y_j\vartheta_j(t)>(1-\delta)y \right\}\nonumber\\ &+\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\sum\limits_{1\leq m\leq N,\atop{m\neq i}} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x/N, Y_j\vartheta_j(t)>y/N,\, X_m\vartheta_m(t)>\delta x/(N-1) \right\}\nonumber\\ &+\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\sum\limits_{1\leq m\leq N,\atop{m\neq j}} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x/N,Y_j\vartheta_j(t)>y/N,\,Y_m\vartheta_m(t)>\delta y/(N-1) \right\}\nonumber\\ :=\ &K_1+K_2+K_3. \end{matrix} $
考虑 $K_1$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $G\in\mathcal{R}_{-\beta}$ $x$ $y$
(4.25) $ \begin{matrix} K_1 &=\left(\sum\limits_{i=j=1}^{N}+\sum\limits_{j=1}^{N-1}\sum\limits_{i=j+1}^{N} +\sum\limits_{i=1}^{N-1}\sum\limits_{j=i+1}^{N}\right) P\left\{X_i\vartheta_i(t)>(1-\delta)x,Y_j\vartheta_j(t)>(1-\delta)y \right\} \nonumber\\ &\sim(1-\delta)^{-(\alpha+\beta)}\bar{F}(x)\bar{G}(y) \left\{\widetilde{C}_d \sum\limits_{i=1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t)\right) +\sum\limits_{j=1}^{N-1}\sum\limits_{i=j+1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) \right.\nonumber\\ &\quad\ \left.+\sum\limits_{i=1}^{N-1}\sum\limits_{j=i+1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right) \right\}\nonumber\\ & \sim(1-\delta)^{-(\alpha+\beta)}\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N}P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y\right\} \nonumber\\ &\leq(1+\varepsilon)\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y\right\} \nonumber\\ &\leq\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y\right\} +C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y). \end{matrix} $
因为 $(X_m,\theta_m)$ $\eta_{12}=\eta_{23}=0$
其中, $\vartheta_i^*(\cdot,\cdot;\,t)$ $\vartheta^*_m(\cdot;\,t)$ $K_{201}$ $(X_i,Y_i,\theta_i)$ $x$ $y$
由 (4.11), (4.19) 和 (4.20) 式, 且采用类似于 $K_{201}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$ $K_{202}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ . 故对足够大的 $x$ $y$ $K_{20}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ . 类似地, 对足够大的 $x$ $y$ $k=1,2,\cdots,9$ $K_{2k}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ . 将 $K_{2k}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $k=1,2,\cdots,9$ $K_2$ $K_{2} \leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$ $K_{3} \leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$
其次证明概率 $P\Big\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x, \sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y \Big\}$
(4.26) $ \begin{matrix} &P\bigg\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y \bigg\}\nonumber\\ \geq\ & P\bigg\{\bigcup_{i=1}^{N}\left(X_i\vartheta_i(t)>x\right), \bigcup_{j=1}^{N}\left(Y_j\vartheta_j(t)>y\right) \bigg\}\nonumber\\ \geq\ & \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y \right\} \nonumber\\ & -\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N\sum\limits_{1\leq m\leq N\atop{i\neq m}} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y, X_m\vartheta_m(t)>x \right\}\nonumber\\ & -\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N\sum\limits_{1\leq m\leq N\atop{j\neq m}} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>x,Y_j\vartheta_j(t)>y,Y_m\vartheta_m(t)>y \right\}\nonumber\\ :=\ &{K}{'}_1-{K}'_2-{K}'_3. \end{matrix} $
类似于 $K_2\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ ${K}'_{2}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ ${K}'_{3}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$
对 $0<r<1$ $0<l\leq \kappa$ $0<t\leq T$
(4.27) $ \begin{matrix} \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^q\left(E\vartheta^{\,l}_{n}(t)\right)^{r} \leq\bigg(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{(q+1)/r}E\vartheta^{l}_{n}(t)\bigg)^{r} \bigg(\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n^{1/(1-r)}\bigg)^{1-r} <\infty, \quad q\geq0. \end{matrix} $
对任意的$\varepsilon>0$ $\alpha+\beta+2\varepsilon<\kappa$
(4.28) $ \begin{matrix} &\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}i^{\,q}j^{\,q} E\left\{ \left[\vartheta_i^{\alpha-\varepsilon}(t)+\vartheta_i^{\alpha+\varepsilon}(t)\right] [\vartheta_j^{\beta-\varepsilon}(t)+\vartheta_j^{\beta+\varepsilon}(t)] \right\}\nonumber\\ \leq\ & \sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}i^{\,q}j^{\,q} \left\{E\left(\left[\vartheta_i^{\alpha-\varepsilon}(t)+\vartheta_i^{\alpha+\varepsilon}(t)\right] ^{\frac{\alpha+\beta+2\varepsilon}{\alpha+\varepsilon}}\right)\right\}^{\frac{\alpha+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon}} \\ &\cdot \left\{E\left(\left[\vartheta_j^{\beta-\varepsilon}(t)+ \vartheta_j^{\beta+\varepsilon}(t)\right]^{ \frac{\alpha+\beta+2\varepsilon}{\beta+\varepsilon}}\right)\right\} ^{\frac{\beta+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon}} \nonumber\\ \leq\ & C\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}i^{\,q}j^{\,q} \left\{\left(E\left[\vartheta_i^{\frac{\alpha-\varepsilon}{\alpha+\varepsilon}(\alpha+\beta+2\varepsilon)}(t)\right]\right) ^{\frac{\alpha+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon}} +\left(E\left[\vartheta_i^{\alpha+\beta+2\varepsilon}(t)\right]\right)^{ \frac{\alpha+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon} } \right\}\nonumber\\ &\cdot\left\{\left(E\left[\vartheta_j^{\frac{\beta-\varepsilon}{\beta+\varepsilon}(\alpha+\beta+2\varepsilon)}(t)\right]\right) ^{\frac{\beta+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon}} +\left(E\left[\vartheta_j^{\alpha+\beta+2\varepsilon}(t)\right]\right)^{ \frac{\beta+\varepsilon}{\alpha+\beta+2\varepsilon} } \right\} \nonumber\\ <\infty,\ q\geq0. \end{matrix} $
(4.29) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}i^{\,q}j^{\,q} E\left\{ \left[\vartheta_i^{\alpha-\varepsilon}(t)+\vartheta_i^{\alpha+\varepsilon}(t)\right] \vartheta_j^{\beta+\varepsilon}(t)+\vartheta_i^{\alpha+\varepsilon}(t) \left[\vartheta_j^{\beta-\varepsilon}(t)+\vartheta_j^{\beta+\varepsilon}(t)\right] \right\} <\infty. \end{matrix} $
引理4.5 在定理 (2.1) 的条件下, 当 $0<t\leq T$
(4.30) $ \begin{equation} \lim\limits_{N\rightarrow\infty}\limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{P\bigg\{\sum\limits_{i=N}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>x, \sum\limits_{j=1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>y \bigg\}} {\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0, \end{equation} $
(4.31) $ \begin{equation} \lim\limits_{N\rightarrow\infty}\limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{P\bigg\{\sum\limits_{i=1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>x, \sum\limits_{j=N}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>y \bigg\}} {\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0. \end{equation} $
证 首先证明 (4.30) 式. 取 $ M$ $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}<M$
考虑 $L'_1$ $L'_1$ . 具体来说, 因为 $(X_i,\theta_i)$ $\eta_{12}=\eta_{23}=0$ $L'_1$ $L'_{1k}$ $k=1,2,3,4$ . 又根据$(Y_j,\theta_j)$ $\eta_{12}=\eta_{13}=0$ $L'_{11}$ $L'_{11k}$ $k=1,2,3,4$ . 接下来根据 (4.2), (4.3), (4.28), (4.29) 和 (4.27) 式得到
于是, $\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{{L}'_{111}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0$ . 类似地, 当 $k=2,3,4$ $\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)}$ $ \frac{{L}'_{11k}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0$ . 所以, $\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{L'_{11}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0$ . 类似地, 当 $k=2,3,4$ $\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{L'_{1k}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0$ . 从而, $ \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{L'_{1}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0. $ $L'_{1}$ $ \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \limsup\limits_{(x,y)\rightarrow(\infty,\infty)} \frac{L'_{k}}{\bar{F}(x)\bar{G}(y)}=0, $ $ k=2,3. $
4.2 定理 (2.1) 的证明
证 首先给出证明定理 (2.1) 所需要的若干关系式. 在 (4.27) 和 (4.27) 式中取 $q=0$ $0<t\leq T$
(4.32) $ \begin{matrix} &\quad\ \sum\limits_{i=1}^{\infty}E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t)\right) +\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=1}^{\infty}E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) +\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right)\nonumber\\ &\leq b_{33}\sum\limits_{i=1}^{\infty}E\left(\vartheta^{*\alpha+\beta}_{i}(t)\right) +b_{32}b_{31}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=1}^{\infty} E\left(\vartheta^{*\beta}_{j}(t)\vartheta^{*\alpha}_{i}(t)\right) +b_{31}b_{32}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty} E\left(\vartheta^{*\alpha}_{i}(t)\vartheta^{*\beta}_{j}(t)\right)\nonumber\\ &\leq b_{33}\sum\limits_{i=1}^{\infty}E\left(\vartheta^{*\alpha+\beta}_{i}(t)\right) +2b_{32}b_{31}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\left(E\vartheta^{*\alpha+\beta}_{j}(t)\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{\infty}\left(E\vartheta^{*\alpha+\beta}_{i}(t)\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} \nonumber\\ <\infty, \end{matrix} $
其中, 上式的第一步是根据 (2.10)-(2.12) 式得到. 对任意的 $\varepsilon>0$ $\alpha+\beta+2\varepsilon<\kappa$ $N>1$ $x$ $y$
(4.33) $ \begin{matrix} &\qquad P\left\{\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>x, \sum\limits_{j=1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>y \right\} \leq \varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y), \end{matrix} $
(4.34) $ \begin{matrix} &\qquad P\left\{\sum\limits_{i=1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>x, \sum\limits_{j=N+1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>y \right\} \leq \varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y), \end{matrix} $
(4.35) $ \begin{matrix} &\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}E\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t) +\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=N+1}^{\infty} +\sum\limits_{j=N+1}^{\infty}\sum\limits_{i=j+1}^{\infty}\right) E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) <\varepsilon, \end{matrix} $
(4.36) $ \begin{matrix} &\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=N+1}^{\infty} +\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}\sum\limits_{j=i+1}^{\infty}\right) E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right) <\varepsilon, \quad \sum\limits_{i=N+1}^{\infty}\frac{1}{i^2}<1. \end{matrix} $
根据定义 2.1, 取 $v_1, v_2\in(1/2,1)$ $x$ $y$
(4.37) $ \begin{matrix} P(X>v_1x)\leq (1+\varepsilon)P(X>x) \;\text{ 和 }\; P(Y>v_2y)\leq (1+\varepsilon)P(Y>y). \end{matrix} $
令 $D_{0,t}^{(i)} =\sup\limits_{0\leq s\leq t}|\int_0^s\mathrm{e}^{-\xi(v)}\mathrm{d}B_i(v)|$ $i=1,2,3$ . 则根据 Hölder 不等式, Burkholder-Davis-Gundy 不等式, Fubini 定理及定理 (2.1) 中的 $\int_0^TE\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty$
(4.38) $ \begin{matrix} ED_{0,t}^{(i)l} &\leq \left\{ED_{0,t}^{(i)\kappa}\right\}^{l/\kappa} \nonumber\\ \leq C\left\{E\left(\int_0^t\mathrm{e}^{-2\xi(s)}{\rm d}s\right)^{\kappa/2}\right\}^{l/\kappa} \leq C\left\{t^{\kappa/2-1}E\int_0^t\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}{\rm d}s\right\}^{l/\kappa}\nonumber\\ &=C\left\{t^{\kappa/2-1}\int_0^tE\mathrm{e}^{-\kappa\xi(s)}{\rm d}s\right\}^{l/\kappa} <\infty,\quad 0<l\leq\kappa,\ 0<t\leq T. \end{matrix} $
(4.39) $ \begin{matrix} E\left(\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s\right) =\int_0^tE\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s<\infty, \quad 0<t\leq T. \end{matrix} $
故由 (4.38), (4.39) 和 (4.15) 式及 Hölder 不等式, 存在足够大的 $A>0$ $1\leq m,n\leq N$ $0<l\leq\kappa$ $0<t\leq T$ $i=1,2,3$
(4.40) $ \begin{matrix} &P\left\{D_{0,t}^{(i)}>A\right\}<\frac{\varepsilon}{4N^2}, \quad P\left\{\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}{\rm d}s>A\right\}<\frac{\varepsilon}{4N^{\,2}}, \end{matrix} $
(4.41) $ \begin{matrix} E\left\{\vartheta_m^{*l}(t)\left[ \mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(i)}>A]} + \mathbb{I}_{[\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}{\rm d}s>A]} \right]\right\} <\frac{\varepsilon}{4N^{\,\kappa+2}}, \end{matrix} $
(4.42) $ \begin{matrix} E\left\{\vartheta_m^{*\alpha+\varepsilon}(t)\vartheta_n^{*\beta+\varepsilon}(t) \left[ \mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(i)}>A]} + \mathbb{I}_{[\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}{\rm d}s>A]} \right] \right\}<\frac{\varepsilon}{4N^{\,2\kappa+2}}. \end{matrix} $
由 Hölder 不等式, (4.19) 和 (4.40) 式知, 当 $1\leq k\leq m\leq N$ $0<l\leq\kappa$
(4.43) $ \begin{matrix} &E\left\{\vartheta_m^{*l}(\widetilde{\theta}^*_k;t)\mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(1)}> A]}\right\} \leq \left\{E[\vartheta_m^{*\kappa}(\widetilde{\theta}^*_k;t)]\right\}^{l/\kappa} [P(D_{0,t}^{(1)}> A)]^{(\kappa-l)/\kappa}<\frac{C\varepsilon}{4N^{\,\kappa+2}}. \end{matrix} $
由 Hölder 不等式, (4.15) 和 (4.43) 式得, 当$1\leq k\leq m\leq N$
(4.44) $ \begin{matrix} E\left\{\vartheta_m^{*\alpha+\varepsilon}(\widetilde{\theta}^*_k;t) \vartheta_n^{*\beta+\varepsilon}(t)\mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(1)}> A]}\right\} <\frac{C\varepsilon}{4N^{\,2\kappa+2}}. \end{matrix} $
现在, 分成两步证明有限时间破产概率 $\Psi(x,y;t)$
第一步 证明 $\Psi(x,y;t)$ $N$ $A$ $0<t\leq T$
(4.45) $ \begin{matrix} \Psi(x,y;t) \geq\ & P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t) -c_1\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s -\sigma_1\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}B_1(s)>x,\right. \\ &\left. \sum\limits_{j=1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t) c_2\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s- \sigma_2\int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}B_2(s)>y \right\} \nonumber\\ \geq\ & P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x+(c_1+\sigma_1)A, \right.\nonumber\\ &\left. \sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y+(c_2+\sigma_2)A, D_{0,t}^{(1)}\leq A,D_{0,t}^{(2)}\leq A, \int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s\leq A\right\}\nonumber\\ \geq\ & P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x+(c_1+\sigma_1)A,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y+(c_2+\sigma_2)A\right\}\nonumber\\ &-P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x+(c_1+\sigma_1)A,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y+(c_2+\sigma_2)A, D_{0,t}^{(1)}>A\right\}\nonumber\\ &-P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x+(c_1+\sigma_1)A,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y+(c_2+\sigma_2)A, D_{0,t}^{(2)}>A\right\}\nonumber\\ &-P\left\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>x+(c_1+\sigma_1)A,\sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>y+(c_2+\sigma_2)A, \right. \\ &\left. \int_0^t\mathrm{e}^{-\xi(s)}\mathrm{d}s>A\right\} \nonumber\\ :={I}'_1-{I}'_2-{I}'_3-{I}'_4. \end{matrix} $
考虑 $I'_1$ $v_3$ $v_3x>(c_1+\sigma_1)A$ $v_3y>(c_2+\sigma_2)A$ $(1+v_3)^{-(\alpha+\beta)}\geq1-\varepsilon$ . 由引理 4.4, 引理 4.3, (4.35) 和 (4.36) 式得对足够大的 $x$ $y$
(4.46) $ \begin{matrix} {I}'_1 \gtrsim\ &\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} P\left\{X_i\vartheta_i(t)>(1+v_3)x, Y_j\vartheta_j(t)>(1+v_3)y\right\} \sim(1+v_3)^{-(\alpha+\beta)}\bar{F}(x)\bar{G}(y)\nonumber\\ &\cdot\bigg\{ \widetilde{C}_d \sum\limits_{i=1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t)\right) +\sum\limits_{j=1}^{N-1}\sum\limits_{i=j+1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) +\sum\limits_{i=1}^{N-1}\sum\limits_{j=i+1}^{N} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right) \bigg\}\nonumber\\ \geq\ &(1-\varepsilon)\bar{F}(x)\bar{G}(y)\bigg\{ \widetilde{C}_d\bigg(\sum\limits_{i=1}^{\infty}-\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}\bigg) E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t)\right) \nonumber\\ & +\bigg(\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=j+1}^{\infty} -\sum\limits_{j=1}^{N}\sum\limits_{i=N+1}^{\infty} \sum\limits_{j=N+1}^{\infty}\sum\limits_{i=j+1}^{\infty}\bigg) E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) \nonumber\\ & +\bigg(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=i+1}^{\infty} -\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=N+1}^{\infty} -\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}\sum\limits_{j=i+1}^{\infty}\bigg) E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right)\bigg\} \nonumber\\ \geq\ &(1-\varepsilon)\bar{F}(x)\bar{G}(y)\bigg\{\widetilde{C}_d \sum\limits_{i=1}^{\infty} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha+\beta}_{3i}(t)\right) +\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=j+1}^{\infty} E\left(\widehat{\vartheta}^{\beta}_{2j}(t)\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{5i}(t)\right) \nonumber\\ & +\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=i+1}^{\infty} E\left(\widehat{\vartheta}^{\alpha}_{1i}(t)\widehat{\vartheta}^{\beta}_{4j}(t)\right)\bigg\} -C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y) \\ :=\ &(1-\varepsilon)\bar{F}(x)\bar{G}(y)\left[I'_{11}+I'_{12}+I'_{13}\right]-C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y). \end{matrix} $
对 $I'_{11}$ $I'_{12}$
在引理 4.2 中取 $\eta_{12}=\eta_{13}=0$
进一步地, 在引理 4.2 中取 $\eta_{12}=\eta_{23}=0$ $I'_{211}$
根据 (4.5), (4.40), (4.41) 和 (4.42) 式得到
类似于 ${I}'_{2111}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$, 由 (4.11), (4.43) 和 (4.44) 式知 ${I}'_{2112}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 对足够大的 $x$ 和 $y$ 成立. 故 ${I}'_{211}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 对足够大的 $x$ 和 $y$ 成立. 由 Hölder 不等式, (4.20), (4.19), (4.40) 和 (4.43) 式得, 当 $0<l\leq\kappa$ 及 $1\leq n<m\leq N$ 时, $E\big\{\vartheta_m^{*l}(\widetilde{\theta}^*_n,\widetilde{\theta}^*_m;t) \mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(1)}> A]}\big\} <\frac{C\varepsilon}{4N^{\,\kappa+2}}$ 且 $E\big\{[\vartheta_m^{*\alpha+\varepsilon}(\widetilde{\theta}^*_m;t)+\vartheta_m^{*\alpha+\varepsilon}(\widetilde{\theta}^*_n, \widetilde{\theta}^*_m;t)]\vartheta_n^{*\beta+\varepsilon}(\widetilde{\theta}^*_n;t)\mathbb{I}_{[D_{0,t}^{(1)}> A]}\big\} <\frac{C\varepsilon}{4N^{\,2\kappa+2}}, $ 于是类似于 ${I}'_{211}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 的步骤可以得到 ${I}'_{212}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 对足够大的 $x$ 和 $y$ 成立, 故 ${I}'_{21}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 对足够大的 $x$ 和 $y$ 成立. 类似于$I'_{21}$, 当 $k=2,3$ 时, ${I}'_{2k}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ 对足够大的 $x$ 和 $y$ 成立. 于是,
将 $I'_k$ $k=1,2,3,4$
(4.47) $ \begin{matrix} \Psi(x,y;t) \geq\ & \bar{F}(x)\bar{G}(y) \left\{ \widetilde{C}_d \int_{0}^{t}E\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)\xi(u)} \mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(3)} \right.\nonumber\\ &\left. +\iint_{u+v\leq t} E\mathrm{e}^{-\beta\xi(u)-\alpha\xi(u+v)} [\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(5)}\mathrm{d}\lambda_v +\mathrm{d}\widehat{H}_2(u) (\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{v}^{(1)}-\mathrm{d}\lambda_v)] \right.\nonumber\\ &\left. +\iint_{u+v\leq t} E\mathrm{e}^{-\alpha\xi(u)-\beta\xi(u+v)} [\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(4)}\mathrm{d}\lambda_v +\mathrm{d}\widehat{H}_1(u) (\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{v}^{(2)} -\mathrm{d}\lambda_v)]\right\} \\ & -C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y). \end{matrix} $
第二步 证明概率 $\Psi(x,y;t)$ $N$ $v_1$ $v_2$
(4.48) $\begin{matrix} \Psi(x,y;t)&=P\bigg\{\bigcup_{0<s\leq t}\bigg( \sum\limits_{i=1}^{\infty}X_i\vartheta_i(s) -c_1\int_0^s\mathrm{e}^{-\xi(u)}\mathrm{d}u -\sigma_1\int_0^s\mathrm{e}^{-\xi(u)}\mathrm{d}B_1(u)>x, \nonumber\\ &\quad\ \sum\limits_{j=1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(s) -c_2\int_0^s\mathrm{e}^{-\xi(v)}\mathrm{d}v -\sigma_2\int_0^s\mathrm{e}^{-\xi(v)}\mathrm{d}B_2(v)>y \bigg)\bigg\}\nonumber\\ &\leq P\bigg\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)+\sigma_1D_{0,t}^{(1)}>x, \sum\limits_{j=1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)+\sigma_2D_{0,t}^{(2)}>y \bigg\}\nonumber\\ &\leq P\bigg\{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>v_1x, \sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>v_2y\bigg\} \nonumber\\&\quad\ +P\bigg\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>v_1x, \sum\limits_{j=N+1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>\frac{1-v_2}{2}y \bigg\}\nonumber\\ & \quad\ +P\bigg\{ \sum\limits_{i=1}^{N}X_i\vartheta_i(t)>v_1x, \sigma_2D_{0,t}^{(2)}>\frac{1-v_2}{2}y\bigg\}\nonumber\\&\quad\ +P\bigg\{ \sum\limits_{i=N+1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>\frac{1-v_1}{2}x, \sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>v_2y \bigg\}\nonumber\\ & \quad\ +P\bigg\{ \sum\limits_{i=N+1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>\frac{1-v_1}{2}x, \sum\limits_{j=N+1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>\frac{1-v_2}{2}y \bigg\}\nonumber\\& \quad\ +P\bigg\{ \sum\limits_{i=N+1}^{\infty}X_i\vartheta_i(t)>\frac{1-v_1}{2}x, \sigma_2D_{0,t}^{(2)}>\frac{1-v_2}{2}y\bigg\}\nonumber\\&\quad\ +P\bigg\{ \sigma_1D_{0,t}^{(1)}>\frac{1-v_1}{2}x, \sum\limits_{j=1}^{N}Y_j\vartheta_j(t)>v_{2}y\bigg\} \nonumber\\& \quad\ +P\bigg\{ \sigma_1D_{0,t}^{(1)}>\frac{1-v_1}{2}x, \sum\limits_{j=N+1}^{\infty}Y_j\vartheta_j(t)>\frac{1-v_2}{2}y \bigg\}\nonumber\\&\quad\ +P\bigg\{ \sigma_1D_{0,t}^{(1)}>\frac{1-v_1}{2}x, \sigma_2D_{0,t}^{(2)}>\frac{1-v_2}{2}y\bigg\}\nonumber\\ &:=I_1+I_2+I_3+I_4+I_5+I_6+I_7+I_8+I_9. \end{matrix}$
考虑 $I_1$
其中, $I'_{1k}$ $k=1,2,3$ $I_3$ $\eta_{12}=\eta_{23}=0$
由 (4.5), Hölder 式不等式, Markov 不等式, (4.38), (4.27) 和 (4.3) 式得
类似地, $I_{32}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$
类似于 $I_3\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $I_{6}\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$ $\sum\limits_{i=N+1}^{\infty}P\left( X_i^{\,*}\vartheta_i^*(t) \mathbb{I}_{[\sigma_2D_{0,t}^{(2)}>(1-v_2)y/2]} >\frac{(1-v_1)x}{2i^2}\right) \leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ . 而由 (4.5) 式, Hölder 不等式, Markov 不等式, (4.38), (4.27) 和 (4.3) 式得
其中, 上式的最后一步由下式得到: 当 $q\geq0$ $0<r\leq1$ $0<t\leq T$
类似于 $I_3\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $I_6\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $I_7\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $I_8\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $ I_k\leq C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y), \ k=2,4,5, $ $I_9$ $\sigma_1=0$ $\sigma_2=0$ $I_9\leq C\varepsilon \bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$ $\sigma_1\neq0$ $\sigma_2\neq0$ . 由于 $B_2(t)=\rho B_1(t)+\sqrt{1-\rho^2}B_3(t)$ $I_9$
若 $\rho\in(-1,0)\cup(0,1)$
对足够大的 $x$ $y$ $I_{92}$ $\rho=0$ $\pm1$
$I_9\leq C\varepsilon \bar{F}(x)\bar{G}(y)$ $x$ $y$
将$I_k$ $k=1,\cdots,9$
(4.49) $ \begin{matrix} \Psi(x,y;t) \leq\ & \bar{F}(x)\bar{G}(y) \left\{ \widetilde{C}_d \int_{0}^{t}E\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)\xi(u)} \mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(3)} \right.\nonumber\\ &\left. +\iint_{u+v\leq t} E\mathrm{e}^{-\beta\xi(u)-\alpha\xi(u+v)} [\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(5)}\mathrm{d}\lambda_v +\mathrm{d}\widehat{H}_2(u) (\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{v}^{(1)} -\mathrm{d}\lambda_v)] \right.\nonumber\\ &\left. +\iint_{u+v\leq t} E\mathrm{e}^{-\alpha\xi(u)-\beta\xi(u+v)} [\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{u}^{(4)}\mathrm{d}\lambda_v +\mathrm{d}\widehat{H}_1(u)(\mathrm{d}\widehat{\lambda}_{v}^{(2)} -\mathrm{d}\lambda_v)]\right\} \\ &+C\varepsilon\bar{F}(x)\bar{G}(y). \end{matrix} $
结合 (4.47) 和 (4.49) 式即可得到结果, 定理 (2.1) 得证.
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By expressing the discounted net loss process as a randomly weighted sum, we investigate the finite-time ruin probabilities for the Poisson risk model with an exponential Lévy process investment return and heavy-tailed claims. It is found that in finite time, however, the extreme of insurance risk dominates the extreme of financial risk, but, for the case of dangerous investment (see Klüppelberg and Kostadinova (2008) for an accurate definition of dangerous investment), the extreme of financial risk has more and more of an effect on the total risk, and as time passes, the extreme of financial risk finally dominates the extreme of insurance risk.
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1
2010
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
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1987
... 根据专著 [2 ] , 若 $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $\alpha>0$ $C_F>1$ $D_F>0$ $0<\delta_0<\alpha$ $x, xy\geq D_F$
Some results on ruin probabilities in a two-dimensional risk model
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2003
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Asymptotic results for ruin probability of a two-dimensional renewal risk model
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2013
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform asymptotics for the ruin probabilities in a bidimensional renewal risk model with strongly subexponential claims
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2019
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform asymptotics for the ruin probabilities of a two-dimensional renewal risk model with dependent claims and risky investments
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2017
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
On a two-dimensional risk model with time-dependent claim sizes and risky investments
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2018
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Ruin probabilities in the presence of regularly varying tails and optimal investment
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2002
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Asymptotic ruin probabilities in a generalized bidimensional risk model perturbed by diffusion with constant force of interest
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2014
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform asymptotic estimates for ruin probabilities of renewal risk models with exponential Levy process investment returns and dependent claims
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2013
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Tail asymptotic for discounted aggregate claims with one-sided linear dependence and general investment return
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2019
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Asymptotic results for ruin probability in a two-dimensional risk model with stochastic investment returns
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2017
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Finite-and infinite-time ruin probabilities with general stochastic investment return processes and bivariate upper tail independent and heavy-tailed claims
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2013
... 为得到 $E\{\mathrm{e}^{-C_2(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\}$ $D'(p_1,p_2,t)=E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $p_1$ $p_2$ 13 ], $r_t$ $\xi(t)=\int_0^tr_s\mathrm{d}s$ $D(p_1,p_2,t)$ $m^2>2\delta^2p_2$
A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options
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1993
... 1993 年, Steven Heston 建立了一类随机波动率模型, Heston 模型[14 ] . 与 Black-Scholes 模型相比, Heston 模型中波动率是任意的. 令投资收益过程 $\left\{S_t=\mathrm{e}^{\xi(t)},\ t\geq0 \right\}$
Finite-time ruin probability with an exponential Lévy process investment return and heavy-tailed claims
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2009
... 同时, 根据文献 [15 ] 得到对任意固定的 $\delta>0$ $\alpha<p<\infty$ $x$ $Y$ $\delta$ $C>0$
On joint ruin probabilities of a two-dimensional risk model with constant interest rate
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2013
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform asymptotic estimate for finite-time ruin probabilities of a time-dependent bidimensional renewal model
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2015
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
A revisit to asymptotic ruin probabilities for a bidimensional renewal risk model
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2018
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
The ruin probabilities of a discrete-time risk model with dependent insurance and financial risks
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2016
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Some asymptotic results of the ruin probabilities in a two-dimensional renewal risk model with some strongly subexponential claims
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2016
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform estimate on finite time ruin probabilities with random interest rate
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2010
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
3
2004
... 本证明的总体思路是首先计算 $E\big(\mathrm{e}^{-a\int_u^{u+v}r_sds}|\mathcal{F}_u\big)$ $E\mathrm{e}^{-b\xi(u)-a\xi(u+v)}$ . $r(t)$ $ r(t)$ $\widetilde{T}\geq t$ $B(t,\widetilde{T}\,):=E\big(\mathrm{e}^{-a\int_t^{\widetilde{T}}r_sds}|\mathcal{F}_t\big)=f\,(t,r_t)$ $f\,(t,r)$ $t$ $r$ $E\big(\mathrm{e}^{-a\int_u^{u+v}r_sds}|\mathcal{F}_u\big)$ $f\,(t,r)$ 22 ], 需通过"建立鞅, 取微分, 令 $\mathrm{d}t$ $0$ $f\,(t,r)$ $ f\,(t,r)$ $0\leq s\leq t \leq \widetilde{T}$ $E\left\{\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot B(t,\widetilde{T}\,)\Big|\mathcal{F}_s\right\} =E\left\{\mathrm{e}^{-a\int_0^tr_u\mathrm{d}u}\cdot E\big(\mathrm{e}^{-a\int_t^{\widetilde{T}}r_s\mathrm{d}s}|\mathcal{F}_t\big)|\mathcal{F}_s\right\} =E\left\{\mathrm{e}^{-a\int_0^{\widetilde{T}}r_u\mathrm{d}u}|\mathcal{F}_s\right\} =\mathrm{e}^{-a\xi(s)}\cdot B(s,\widetilde{T})$ . 故 $\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot B(t,\widetilde{T}\,)=\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot f\,(t,r_t)$ $\mathrm{e}^{-a\xi(t)}\cdot f\,(t,r_t)$
... 根据文献 [22 ], 该偏微分方程的解的形式为 ...
... 要得到 $ E\left\{\mathrm{e}^{-C_1(u,u+v)r_u-(a+b)\xi(u)}\right\} $ $E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $p_1$ $p_2$ $D(p_1,p_2,t)=E\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\xi(t)}$ $r_t$ 22 ,例 4.4.10] 知 $\xi(t)=\int_0^t r_s \mathrm{d}s=(mlt+r_0-r_t+\delta W_t)/m$ $p_1$ $p_2$ $D(p_1,p_2,t)$ $\mathrm{e}^{p_1r_t+p_2\int_0^t r_s \mathrm{d}s}$
Asymptotic ruin probabilities of the renewal model with constant interest force and regular variation
1
2005
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Uniform tail asymptotics for the stochastic present value of aggregate claims in the renewal risk model
1
2010
... 设 $X$ $Y$ $X$ $F\in\mathcal{R}_{-\alpha}$ $p>\alpha$ $Y$ $EY^{p}<\infty$ 24 ] 的 (4.4) 式, 对任意给定的 $M\geq0$
Asymptotic ruin probabilities for a bidimensional renewal risk model
1
2017
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
Tail behavior of the product of two dependent random variables with applications to risk theory
1
2012
... 根据文献[26 ] , 存在常数 $b_1$ $b_2$ $b_3$
On the first time of ruin in the bivariate compound Poisson model
1
2006
... 近年来, 一维风险模型破产概率的研究成果丰硕[1 ,8 ,10 ,11 ,19 ,21 ,23 ] . 对于保险公司来说, 只经营一种业务是不大可能的, 因此多维保险风险模型的研究被提上日程, 而二维保险风险模型作为一维保险风险模型的自然推广及高维保险风险模型的特例具有重要意义, 见文献 [3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12 ,16 ,17 ,18 ,20 ,25 ,27 ]. 随着我国财富日益增多和金融活动日益频繁, 保险公司资产的投资收益对其风险具有越来越重要的影响, 故在度量保险公司的破产概率时须考虑到资产的投资收益这一重要因素. 很多学者假设保险公司资产的投资收益是常数, 但即使保险公司在债券市场投资, 其收益率也是变化的, 这一理想化假设只是为了方便在数学上处理. 在金融活动日益频繁的今天, 保险公司通常会将投资组合的一部分资产购买可能获得较高回报的风险资产, 因此, 保险公司资产的投资收益具有不确定性与风险性. 也有学者假设保险公司资产的对数投资收益过程由 Lévy 过程刻画, 但对保险公司来说, 其投资收益过程并非全是由平稳独立过程刻画, 例如, CIR 利率模型刻画的投资收益过程是 Markov 过程, 基于分形布朗运动的随机波动性模型刻画的投资收益过程甚至不能由 Markov 过程刻画. 为保证保险公司破产概率的估计不会过低或过高, 如何选择随机过程描述保险公司资产的投资收益具有挑战性, 为解决这一问题, 假设保险公司的对数投资收益过程由一般的右连左极随机过程刻画, 本文研究二维带扰动保险风险模型破产概率的渐近估计. ...
