考虑非参数固定设计回归模型:

其中$g(\cdot)$是定义在$[0,1]$区间上的未知回归函数, $\{t_{ni}, 1\leq i\leq n\}$是固定设计点列, 满足$0=t_{n0}\leq t_{n1} \leq t_{nn-1}\leq x_{nn}=1$, $\{\varepsilon_{ni}, 1\leq i\leq n\}$是随机误差. 由于回归模型(1.1)在实际问题中有非常广泛的应用, 许多学者对未知回归函数$g(\cdot)$提出了不同的估计方法, 并进行了相关的研究工作.

譬如: Georgiev^[1]提出了如下形式的回归函数加权核估计

其中, 权函数$\omega_{ni}(t)$依赖于固定设计点$t_{n1}, \cdots, t_{nn}$和样本观察数$n$. 之后, 一些学者对之进行了研究. 在独立误差情形^[2], 在混合相依误差情形, Roussas 等^[3], 杨善朝和李永明^[4]等分别研究了加权估计的渐近正态和一致渐近正态性等; 在负相依误差情形, Yang^[5]研究了加权估计的一致渐近正态性; 在线性过程误差情形, Liang和Li^[6]基于NA序列生成的线性过程误差下获得回归函数加权估计量的Berry-Esseen界, Ding等^[7]基于LNQD序列生成的线性过程误差下, 研究了回归函数加权估计量的Berry-Esseen界; 等等, 这里就不逐一列举相关文献.

在二十世纪九十年代, 小波估计方法被成功运用到估计未知密度函数、回归函数等统计推断中. 鉴于小波估计在统计应用中, 对待估函数要求较低的情形下也能得到令人满意的一些统计性质, 从而得到学者们广泛研究. 如Antoniadis等^[8]对模型(1.1)给出了未知回归函数$g(\cdot)$的小波估计形如

这里$t_{ni}\in A_i$, $A_i=[d_{i-1}, d_i],\ 1\leq i \leq n$是区间$[0,1]$上的一个分割, $d_0=0$, $d_i=(t_{ni}+t_{n(i+1)})/2$, $1\leq i\leq n-1, d_n=1;$ 小波再生核$E_m(t, x)$是由刻度函数$\varphi(t)$产生的, 即

此处$m=m(n)>0$是光滑参数仅与$n$有关.

对小波估计(1.3)进行研究的文献, 可参见文献^{[9,10,11,12,13,14,15,16,17]}等等, 其中文献^[14,15,16]在由混合序列生成的线性过程误差下, 研究了非参数回归函数小波估计的Berry-Esseen界等渐近性质.

由于LNQD相依序列在多元统计分析理论和可靠性理论等方面有着广泛应用, 受到学者们的广泛关注和研究. 2022年Li等^[18]提出了LENQD(Linearly extended negative quadrant dependent)序列, 是LNQD相依序列的拓广. 鉴于此, 本文将在Ding等^[7]基于LNQD序列生成的线性误差下研究回归函数加权估计的相关结果基础上, 推广研究在LENQD序列生成的线性过程误差下回归函数小波估计的Berry-Esseen界. 下面先回顾LENQD序列的定义.

定义1 称随机序列$\{X_n, n\geq 1 \}$是LENQD的, 如果对任意不交子集$A, B\subset \{1, 2, \cdots,\}$和正实数$\{l_1, l_2, \cdots, \}$, 或者负实数$\{l_1, l_2, \cdots, \}$, 有

称随机变量$X$和$Y$是ENQD的, 如果存在一个控制常数$M\geq 1$, 对每个实数$x, y$, 有

且

称随机序列$\{X_n, n\geq 1\}$是两两 ENQD 的, 如果对所有的$i, j \geq 1$, $i\neq j$, $X_i$和$X_j$是ENQD的.

由定义1.1可知, 当$M=1$时, LENQD序列就是LNQD的, 从而LEQND是一列更广泛的相依结构, 且弱于NQD、NOD、NA、LNQD和END等相依序列. 由此, 本文利用LEQND序列的性质, 矩不等式和特征函数不等式, 基于LENQD相依序列生成的线性过程误差下, 研究非参数回归函数小波估计的Berry-Esseen界是有意义的.

下面给出本文需要的LENQD序列的性质, 特征函数不等式和矩不等式, 具体参见文献^[18].

引理1.1 ^[18] 设随机序列$\{X_n, n\geq 1 \}$是LENQD的, $f_n$是一列同为非增(或非降)的函数序列, 则随机函数序列$\{f_n(X_n), n\geq 1 \}$也是LENQD的, 且其控制系数不变.

引理1.2 ^[18] 设随机序列$\{X_1,\cdots, X_m\}$是LENQD的, 有有限的二阶矩. 则对任意的实数$t_1, \cdots,t_m\in R$, 有

引理1.3 ^[18] 设随机序列$\{X_1, \cdots, X_n\}$是LENQD的. 如果对$p\geq 2$, 有${\rm E}X_j=0$和${\rm E}|X_j|^p< \infty$, $j=1,\cdots, n$. 则存在$M>0$, 有

此处$C_p$是仅依赖于$p$的某一正常数. 进一步, 如果$\{b_j, j\geq 1\}$是实数列, 则有

为了定理叙述简洁, 下面给出一些假设.

(A1) 设$\{\varepsilon_{ni}, 1\leq i\leq n\}$线性表示为$\varepsilon_{ni}=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}a_{j}e_{i-j}$, $\{a_j\}$为实数列且满足$\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}|a_j|<\infty$, $\{e_j, -\infty< j< \infty \}$是同分布LENQD序列, ${\rm E}e_0=0, {\rm E}|e_0|^{2+\rho}<\infty$, $\rho>0$.

(A2) $\{\varepsilon_ {ni}\}$的谱函数$f(\omega)$满足$0<c_1\leq f(\omega)\leq c_2<\infty$, $\omega\in (-\pi,\pi].$

(A3) $({\rm i})$ 刻度函数$\varphi(\cdot)$是$\gamma$-正则, $\gamma$是正整数, 即对任意的 $l\leq \gamma$和整数$z$, $\left|d^l \varphi/dx^l\right| \leq c_z(1+|x|)^{-z},$其中$c_z$是一仅依赖于$z$的常数;

$({\rm ii})$ 刻度函数$\varphi(\cdot)$满足一阶Lipschitz条件, 且有紧支撑. 又当$\xi\to \infty$时, 有$|\hat{\varphi}(\xi)-1|=O(\xi), $ 其中$\hat{\varphi}$是$\varphi$的Fourier变换. $\max\limits_{1\leq i \leq n}|d_i-d_{i-1}-n^{-1}|=o(n^{-1})$.

(A4) $({\rm i})$ 回归函数$g(\cdot)$满足一阶Lipschitz条件;

$({\rm ii})$ 回归函数$g(\cdot)$属于$\nu$-阶Sobolev空间${\rm H}^{\nu}$, 即$g\in {\rm H}^\nu$则 ${\rm H}^\nu=\big\{g: \int|\overline{g}(w)|^2(1+w^2)^\nu {\rm d}w<\infty\big\}, $ 此处$\overline{g}$是$g$的Fourier变换.

(A5) 令$p=p_n$, $q=q_n$, $k=k_n=[3n/(p+q)]$为正整数, 使得$p+q\leq 3n$, $qp^{-1}\to 0$, $\gamma_{in}\to 0$, $i=1,2,3,4$, 其中$\gamma_{1n}=qp^{-1} 2^m, $$\gamma_{2n}=p\frac{2^m}{n},$$\gamma_{3n}=n\big(\sum\limits_{|j|>n}|a_{j}|\big)^2, $$\gamma_{4n}=u(q)(2^m/n)^2$, 这里$u(q)=\sup\limits_{j\geq 1}\sum\limits_{j:|j-i|\geq q}|{\rm Cov}(e_i, e_j)|.$

令

下面给出本文的主要结果.

定理2.1 假设(A1)-(A5)成立. 则对任意的$t\in [0,1]$,

推论 2.1 假设(A1)-(A5)成立, 且$u(1)<\infty$, 则对任意的$t\in [0,1]$,

推论 2.2 假设(A1)-(A5)成立, 取$\rho=\frac{2}{3}$. 如果$\frac{2^m}{n}=O(n^{-\theta})$, $u(n)=O\big(n^{-\frac{\theta-\tau}{3(2\tau-1)}}\big)$, $\frac{1}{2}<\tau\leq \theta<1$, 以及 $\sup\limits_{n\geq 1} \big(n^{\frac{\theta-\tau+1}{2}}\big)\sum\limits_{|j|>n}|a_j| <\infty, $ 则对任意的$t\in [0,1]$, $\sup\limits_{u}\big|{\rm P}(S_n(t)\leq u) -\Phi (u)\big|= O\big(n^{-\frac{ \theta-\tau }{3}}\big).$

注2.1 关于假设条件的注记

$({\rm i})$ 条件(A2)-(A4)是回归函数小波估计的常规性假设. 见文献^{[8,9,10,11,12,13,14,15]}.

$({\rm ii})$ 条件(A5)中, 适当选取$p, q, m$可使得$\gamma _{in}\to 0, i=1, 2, 4$成立. 如$p, q$和$2^m$选取如下: $p\sim n^{\tau_1}$, $q\sim n^{\tau_2}$, $2^m\sim n^{\tau_3}$, 其中$\tau_1>\tau_2>0,\ \tau_3>0$, $\tau_2+\tau_3<\tau_1<1-\tau_3$, 此处$x_n\sim y_n$表示$x_n/y_n\to C$. 故取$\tau_1=0.58, \tau_2=0.30, \tau_3=0.20$, 则有$\gamma _{in}\to 0, i=1, 2, 4$.

(${\rm iii}$) 在一些正规条件情况下, 常用的AR、MA和ARMA过程广泛用于序列相关数据的建模, $\gamma_{3n}\to 0$是容易得到的, 见文献[6,注2.1(c)].

注2.2 由推论2.2知, 当$\theta\approx1$,$\tau>\frac{1}{2}$且接近于$\frac{1}{2}$时, Berry-Esseen界逼近$O(n^{-\frac{ 1}{6}})$.

注2.3 本文所得结果把文献^[14]基于混合序列生成的线性过程误差的小波估计的Berry-Esseen界, 推广到基于LENQD序列生成的线性过程误差情形. 同时, 也把文献^[7]基于LNQD序列生成的线性过程误差的回归函数加权核估计的Berry-Esseen界, 推广到基于LENQD序列生成的线性过程误差回归函数小波估计.

为了记号和叙述方便, 把$S_n$分解,

而$S_{1n}$可表示为

且可分解为

这里

从而$S_n$可表示为

为了证明主要结论, 先给出辅助结果.

引理3.1 ^{[13,引理3.1]} 假设(A3)-(A4)成立, 则有

${\rm (i)}$$|\int_{A_i} E_m(t,s){\rm d}s|=O(\frac{2^m}{n}),i=1,2,\cdots,n;$

${\rm (ii)}$$\sum\limits_{i=1}^{n}(\int_{A_i} E_m(t,s) {\rm d}s)^{2}=O(\frac{2^m}{n});$

${\rm (iii)} $$\sup\limits_{m}\int_{0}^{1} |E_m(t,s){\rm d}s|\leq C;$

$\rm{(iv)}$$\sum\limits_{i=1}^{n}|\int_{A_i} E_m(t,s){\rm d}s|\leq C.$

引理3.2 ^{[14,引理3.5]} 假设(A1)-(A5)成立, 则有

引理3.3 假设(A1)-(A5)成立, 则有

$({\rm i})$${\rm E}(S_{1n}^{\prime\prime})^2\leq C\gamma _{1n}, \ {\rm E}(S_{1n}^{\prime\prime\prime})^2\leq C\gamma _{2n},\ {\rm E}(S_{2n})^2\leq C\gamma _{3n}$;

$({\rm ii})$${\rm P}(|S''_{1n}|\geq \gamma _{1n}^{1/3}) \leq C \gamma _{1n}^{1/3}, \ {\rm P}(|S'''_{1n}|\geq \gamma _{2n}^{1/3}) \leq C \gamma _{2n}^{1/3}, \ {\rm P}(|S_{2n}|\geq \gamma _{3n}^{1/3}) \leq C \gamma _{3n}^{1/3}.$

证 在条件(A1)-(A5)下, 由引理3.2和引理1.3, 计算可得

利用引理1.3, 引理1.2(iv)和引理3.2, 注意到${\rm E}e_0^2<\infty$, 计算可得

结合(3.1)-(3.3)式, 证得引理3.1(i). 再利用Markov不等式和引理3.3(i), 引理3.3(ii)立即得证.

引理3.4 假设(A1)-(A5)成立. 记$s_n^2=\sum\limits_{w=1}^{k}{{\rm Var}(y_{nw})}$, 则有

证 记$\Gamma_n=\sum\limits_{1\leq i<j\leq k} {{\rm Cov}(y_{ni},y_{nj})}$, 则$s_{n}^2={\rm E}(S_{1n}^{\prime})^2-2\Gamma _n$. 注意到${\rm E}(S_n)^2=1$, 由引理3.3(i)可得

又由引理3.2和引理3.1(iv), 以及假设条件(A1), 可得

因此, 由(3.4)式和(3.5)式可得

引理证明完毕.

假设随机变量$\{\eta _{nw}:w=1, \cdots, k\}$是独立, 且对任意$w=1, \cdots, k$,$\eta_{nw}$ 和$y_{nw}$是同分布的随机变量. 令$T_n=\sum\limits_{w=1}^{k}{\eta _{nw}}$, 则有

引理3.5 假设(A1)-(A5)成立, 则有

证 由文献[19,定理5.7] (Berry-Esseen不等式), 当$r\geq 2$时, 计算可得

根据引理3.2和引理1.3, 利用$C_r$-不等式, 取$r=2+\rho$, 则有

因此, 根据引理3.4, 结合(3.6)式和(3.7)式, 引理得证.

引理3.6 假设(A1)-(A5)成立, 则有 $\sup\limits_{u}\big|{\rm P}(S_{1n}^{\prime}\leq u)-{\rm P}(T_n\leq u)\big| \leq C \big\{ \gamma _{2n}^{\rho/2} + \gamma _{4n}^{1/3} \big\}. $

证 假设$S_{1n}^{\prime}$和$T_n$的特征函数分别为$\phi_1 (t)$和$\psi_1 (t)$. 则由文献[19,定理5.3]得

又由引理1.2和引理3.1, 以及假设条件(A1), 计算可得

于是我们有

又由引理3.5, 通过计算可得

从而有

再结合(3.8)式, (3.9)式和(3.10)式, 取$T=\gamma _{4n}^{-1/3}$, 即可得

这样引理证明完毕.

引理3.7 [引理A3] 假设$\{\zeta _n: n\geq 1\}$, $\{\eta _n: n\geq 1\}$, $\{\xi _n: n\geq 1\}$和 $\{\varsigma_n: n\geq 1\}$是随机变量序列, $\{\gamma _n:n\geq 1\}$是一列正常数序列, $\gamma _n\to 0$. 如果 $\sup\limits_{u}\big|F_{\zeta _n}(u)-\Phi (u)\big| \leq C\gamma _n,$ 则对任意的 $\varepsilon_1> 0$, $\varepsilon_2> 0$和$\varepsilon_3> 0$有

定理2.1的证明 由引理3.7可得

而由引理3.6, 引理3.5和引理3.4, 计算可得

这样, 结合(4.1)式和(4.2)式, 利用引理3.3(ii), 计算可得

定理2.1证明完毕.

推论2.1的证明 由于$u(1)<\infty$, 则有$u(q)\rightarrow 0$ 且$\gamma_{4n}=u(q) (2^m/n)^2\rightarrow0$. 再由假设条件(A5)和定理2.1, 推论2.1立即得证.

推论2.2的证明 令 $p=[n^\tau]$,$q=[n^{2\tau-1}]$. 由于$ 2^m/n=O(n^{-\theta})$, 取$\tau<\theta$, 计算得到

从而, 根据定理2.1, 推论2.2立即得证.