随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson^[24] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin^[2],^[3] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin^[26], Afanasyev 等^[1], Vatutin 和 Zheng^[27] 以及 Bansaye 和 Vatutin^[5]. 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等^[14], Hong 和 Zhang^[17], Gao^[13] 和 Li 等^[20]. 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting^[4], Bansaye 和 Böinghoff^[4], Huang 和 Liu^[18], Nakashima^[22], Böinghoff^[7] 以及 Grama 等^[15]. 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu^[28] 以及 Huang 等^[19].

首先, 我们来介绍经典的 BPRE 模型. 记 $\xi=\left(\xi_{0},\xi_{1},\cdots \right)$ 是一列独立同分布的随机变量. $\xi$ 表示分支过程所处的系统当中的环境条件, 它一般通过一个随机过程来刻画, 该随机过程通常被称为环境过程. 考虑单个随机环境 $\xi$ 下的分支过程. 在该过程中, 每一代粒子的种群数量由离散时间的随机过程 $(Z_n)_{n\geq0}$ 表示, 其衍化过程如下. 给定环境过程 $\xi$, 在第 $0$ 代时, 假设只有一个粒子 $\emptyset$, 即 $Z_0=1$; 在第 $1$ 代时, 粒子 $\emptyset$ 进行分裂产生数量为 $Z_1$ 的子代并被其取代, 且这些新粒子随即构成第 $1$ 代的种群; 在第 $2$ 代时, 每一个粒子, 例如粒子 $i\ (i={1,\cdots, Z_{1}})$, 独立地进行分裂产生数量为 $X_{1,i}$ 的子代并被其取代, 且这些新粒子随即构成第二代的种群; 更一般地, 在第 $n$$(n\geq 1)$ 代有 $Z_n$ 个粒子, 每个粒子独立地进行分裂产生数量为 $X_{n,i}$ 的子代并被其取代, 且这些新粒子随即构成第 $n+1$ 代的种群. 具体地, 一个离散时间的随机过程 $(Z_n)_{n\geq0}$ 称为随机环境 $\xi$ 下的分支过程, 若其满足递归关系: 对任意的 $n \geq 0$,

其中 $X_{n, i}$ 代表第 $n$ 代第 $i$ 个个体的子代数目. 随机变量 $X_{n,i}$ 的分布, 通常称之为后代分布 (offspring distibution), 依赖于随机环境 $\xi_{n}$. 后代分布律记为

假设对给定的第 $n$ 代的随机环境 $\xi_{n}$, $(X_{n, i})_{i\geq1}$ 是一列独立同分布的随机变量; 而且 $(X_{n, i})_{i\geq1}$ 与 $(Z_{1},\cdots,Z_{n})$ 相互独立. 记 $\left(\Gamma, \mathbb{P} _{\xi}\right)$ 为随机环境 $\xi$ 给定后的定义分支过程的条件概率空间. 记 $\Theta$ 为随机环境 $\xi$ 的状态空间, 则总的概率空间可以由乘积空间 $\left(\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma, \mathbb{P} \right)$ 来表示, 其中 $\mathbb{P} ({\rm d}x, {\rm d}\xi)=\mathbb{P} _{\xi}({\rm d}x) \tau({\rm d}\xi)$. 即, 对于任意的定义在完全概率空间 $\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma$ 上的非负可测函数 $g$, 我们有

其中 $\tau$ 表示环境 $\xi$ 的分布律. 通常, $\mathbb{P}$ 称为退火分布 (annealed law), 而 $\mathbb{P} _{\xi}$ 称为淬火分布 (quenched law) 且 $\mathbb{P} _{\xi}$ 可视为 $\mathbb{P}$ 在给定环境 $\xi$ 下的条件概率.

在本文中, 我们对两个分别处在不同随机环境 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 下的分支过程感兴趣. 具体地, 令 $\left(\xi_{1},\, \xi_{2}\right)^{T}:=\left(\left(\xi_{1, n},\, \xi_{2,n}\right)^{T}\right)_{n \geq 0}$ 是一列二维独立同分布的随机向量, 其中 $( \xi_{1,n},\, \xi_{2,n})^T \in \mathbb{R}^2$ 代表第 $n$ 代的随机环境. 对任意给定的 $n \in \mathbb{N}$, $\xi_{1,n}$ 对应一列后代分布律 $p(\xi_{1,n} ) = \{ p_i(\xi_{1,n}): i \in \mathbb{N}\}$, 且满足 $p_i(\xi_{1,n}) \geq 0$ 和 $\sum\limits_{i=0}^\infty p_{i}(\xi_{1,n})=1$. 同样地, $\xi_{2,n}$ 也对应一列后代分布律 $p(\xi_{2,n})$. 值得注意的是, $\xi_{1,n}$ 和 $\xi_{2,n}$ 可能不是独立的. 设 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ 和 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ 分别为在随机环境 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 下的两个分支过程. $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ 和 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ 可描述为: 对任意的 $n \geq 0$,

其中 $X_{1,n,i}$ 和 $X_{2,n,i}$ 分别代表第 $1$ 个分支过程和第 $2$ 个分支过程的第 $n$ 代第 $i$ 个个体在对应随机环境 $\xi_{1,n}$ 和 $\xi_{2,n}$ 下的子代数量. 此外, 我们假设对给定的第 $n$ 代随机环境 $(\xi_{1,n},\, \xi_{2,n})^T$, 随机变量序列 $\{X_{1, n, i},\, X_{2,n,i},\, i\geq 1 \}$ 是相互独立的, 并且也独立于 $\{Z_{1,k},\, Z_{2,k},\, 0 \leq k \leq n\}$. 随机环境 $(\xi_1,\, \xi_2)^T$ 给定时的条件概率记为 $\mathbb{P} _{\xi_1,\xi_2}$, 随机环境 $(\xi_1,\, \xi_2)^T$ 的联合分布记为 $\tau$. 那么, 随机环境下两个分支过程的联合退火分布 $\mathbb{P}$ 可表示为

特别地, 若 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是独立的, 则有 $\tau ({\rm d}y_1, {\rm d}y_2)= \tau ({\rm d}y_1 ) \tau ( {\rm d}y_2)$, 其中 $\tau_1$ 和 $\tau_2$ 分别是 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 的边际分布. 在下文中, $\mathbb{E}_{\xi_1, \xi_2}$ 和 $\mathbb{E}$ 分别表示关于概率测度 $\mathbb{P} _{\xi_1, \xi_2}$ 和 $\mathbb{P}$ 的期望. 对任意给定的 $n \in \mathbb{N}$ 和非负实数 $p$, 记

以及 $\Pi_{1,0} = \Pi_{2,0} = 1$. 为了简化记号, 定义

并且记

其中 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 分别称为两个随机环境下分支过程 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ 和 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ 的关键参数. 我们还假设 $0<\sigma_1, \sigma_2 <\infty$, 这样就避免了随机环境 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是退化的情况. 记 $X_{1,n}$ 和 $X_{2,n}$ 的相关系数为

特别地, 如果 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是相互独立的, 则有 $\rho=0$. 记 $\ln ^+ x = \max\{ \ln x, 0 \}$. 在本文中, 引入条件

和

条件 (1.2) 表明每个个体至少有一个后代. 条件 (1.1) 和条件 (1.2) 共同表明过程 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ 和 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ 都是上临界的 ($\mu_1, \mu_2 >0$) 以及 $\mathbb{P} (Z_{1, n} \rightarrow \infty )=\mathbb{P} (Z_{2, n} \rightarrow \infty )=1$, 见文献 [3,25].

对于单个上临界 BPRE, 例如 $\{Z_{1,n}\}_{n \geq 0}$, 正态逼近问题已经得到很好的研究. 特别地, Grama 等^[15] 得到了以下关于 $Z_{1,n}$ 的 Berry-Esseen 估计: 假设 $p_{0}\left(\xi_{0}\right)=0$ 几乎处处成立, 且存在两个常数 $p>1$ 和 $\rho \in (0,1]$ 使得 $\mathbb{E} \big(\frac{Z_{1,1}}{m_{1,0}} \big )^{p} < \infty$ 和 $\mathbb{E}M_{1,0}^{2+\rho} < \infty$ 成立. 则有以下关于 $\ln Z_{1,n}$ 的 Berry-Esseen 估计

假设存在两个常数 $p>1$ 和 $\lambda_0 >0$ 使得 $\mathbb{E} \frac{Z_{1,1}^{p}}{m_{1,0}} < \infty$ 和 $\mathbb{E}{\rm e}^{\lambda_0 M_{1,0}} < \infty$. Grama 等^[15] 还建立了以下 Cramér 型中偏差展开式: 当 $n \rightarrow \infty$ 时, 对任意的 $0 \leq x=o(\sqrt{n})$,

其中 $C$ 是一个正的常数. 并且由此可以得到以下关于正态尾部等价性的结果: 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 对任意的 $0 \leq x = o(\sqrt{n} )$, 一致地有

以上结果 ((1.3)-(1.5)式) 不仅在理论研究方面具有重要意义, 而且在实际应用中也极具价值. 例如, 当参数 $\sigma_1$ 已知时, 它们可以应用于构建置信区间以估计临界参数 $\mu_1$ 和第 $n$ 代的粒子数量 $Z_{1,n}$.

尽管关于单个上临界 BPRE 的极限定理已经有了很好的研究, 但是到目前为止还未有对两个上临界 BPRE 关键参数比较的结果. 这篇文章的目标是补充这方面的空白. 考虑假设检验问题

当 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 分别为两个独立总体的数学期望时, Chang 等 ^[8] 考虑了这种类型的假设检验, 并建立了 Cramér 型中偏差. 在本文中, 我们研究 BPREs 的两个关键参数 $\mu_1$和 $\mu_2$. 注意到 $\ln Z_{i, n}=\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k}+\ln \left(Z_{i, n} /\Pi_{i, n}\right), i=1,2$, 那么在适当的条件下, 有 $\frac{1}{n} \ln \left(Z_{i, n} / \Pi_{i, n}\right)$ 依概率收敛到 $0$. 又因为 $\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k},\; i=1,2$ 是独立同分布的随机变量之和, 由大数定律可知, 当 $m \wedge n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}$ 和 $\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ 分别依概率收敛于 $\mu_{1}$ 和 $\mu_{2}$. 因此, 要回答上述假设检验问题, 我们需要研究 $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ 的渐近分布. 这也是本文的主要目的. 注意到 $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{m} \ln Z_{2, m}$ 和 $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}-\frac{1}{m} \sum\limits_{k=1}^m M_{2, k}$ 具有相同的渐近分布. 当 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 独立时, $\sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}$ 和 $\sum\limits_{k=1}^n M_{2, k}$ 均是独立同分布的随机变量之和, 那么上述假设检验可以看成是关于双样本 $U$ 统计量的检验.

定义

在本文中, 假设

或者

成立. 当 $m\wedge n \rightarrow \infty$ 时, 最后一个条件可以保证 $\frac1n \sigma_1^2 + \frac1m \sigma_2^2 -2 \rho \sigma_1 \sigma_2 \frac{m\wedge n}{m\, n}$ 与 $\frac{1 }{m\wedge n}$ 是同阶的. 事实上, 如果 $m \leq n,$ 容易看出

接下来将简单介绍本文的主要结果. 首先定理 2.1 给出了关于 $R_{m,n}$ 的中心极限定理: 对任意的 $x \in \mathbb{R}$, 有

其中 $\Phi(x)$ 是标准正态随机变量的分布函数. 其次, 若存在常数 $\delta \in (0, 1]$ 和 $p>1$ 使得 $\mathbb{E} [ M_{1,0}^{2+\delta}+ M_{2,0}^{2+\delta} \,] < \infty$ 和 $\mathbb{E}\Big[ \frac{Z_{1,1} ^{p}}{m_{1,0}^p} + \frac{Z_{2,1} ^{p}}{m_{2,0}^p} \Big]<\infty$, 定理 2.2 建立了以下关于 $R_{m,n}$ 的非一致性 Berry-Esseen 估计: 对任意的 $\delta' \in (0, \delta)$ 和 $x \in \mathbb{R}$, 有

由本文中的引理 4.3 和 (4.1) 式, 在所述条件下, $R_{m,n}$ 只有 $1+\delta'$ 阶矩, 其中 $\delta' \in (0, \delta)$, 这就解释了非一致性 Berry-Esseen 估计的渐进行为的阶是 $\displaystyle |x|^{-1-\delta'}$ 而不是的 $\displaystyle |x|^{-2-\delta}$. 特别地, 当 $m\rightarrow\infty$ 时, 我们有 $\frac{1}{m} \ln Z_{2,m}$ 依概率收敛到 $\mu_{2}$, 由此可以得到 $R_{m,n}$ 依概率收敛到 $\frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1\ }{ \sigma_1 \sqrt{n}}$. 那么, 利用不等式 (1.7) 可以得到

显然, 因为增加了代数衰减的因子 $\frac{ 1 }{ 1+|x|^{1+\delta'} }$, 上面的非一致性 Berry-Esseen 估计比 (1.3) 式的结果更加精确. 此外, 利用上述非一致性 Berry-Esseen 估计, 我们还可以得到 Wasserstein-$1$ 距离下的最佳收敛率. 最后, 我们建立了 Cramér 型中偏差. 假设存在常数 $\lambda_0>0$ 和 $p>1$ 使得 Cramér 条件, 即 $\mathbb{E} \big[ {\rm e}^{\lambda_0 M_{1,0} } + {\rm e}^{\lambda_0 M_{2,0} } \big] < \infty$ 和 $\mathbb{E} \Big[ \frac{ Z_{1,1} ^{p}}{m_{1,0}} + \frac{ Z_{2,1} ^{p}}{m_{2,0}} \Big] <\infty$ 成立, 定理 2.3 得到了以下结果: 对任意的 $0 \leq x \leq C^{-1} \sqrt{m \wedge n }$,

利用 (1.8) 式, 我们还可以得到随机变量 $R_{m,n}$ 与正态随机变量的尾部分布是等价的, 即当 $m\wedge n \rightarrow \infty$ 时, 对任意的 $x \in [0, \, o((m \wedge n)^{1/6}))$ 一致地有

容易看出, 将 $R_{m,n}$ 替换成 $\frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}}$ 时, (1.8) 和 (1.9) 式也是成立的. 因此, 由我们的结果可以得到 Grama 等^[15] 中建立的 Cramér 型中偏差 (1.4) 和 (1.5) 式. 最后, 作为本文结果的应用, 我们讨论了关于 $\mu_1-\mu_2$ 置信区间的构造.

本文的结构安排如下. 在第 2 节, 给出本文的主要结果. 第 3 节利用第 2 节中的结果构造了 $\mu_1-\mu_2$ 置信区间. 第 4 节给出主要结果的证明.

在本文中, $C$ 或 $c$ 都是代表正的常数, 而 $C_K$ 代表依赖于 $K$ 的正数, 且它们的确切值可随所在位置的不同而变化. 对于两个正的数列 $(a_n)_{n\geq 1}$ 和 $(b_n)_{n\geq 1}$, 如果存在一个正数 $C$ 使得对任意的 $n$ 有 $C^{-1} b_n \leq a_n \leq C b_n$, 则记 $a_n \asymp b_n$.

在下文中, 我们将需要以下条件

(A1) 存在常数 $\delta \in (0,1]$ 使得

(A2) 存在常数 $p>1$ 使得

记 $\Phi(x)$ 是标准正态随机变量的分布函数. 设

则 $R_{m,n}$ 可以写成

我们首先得到了关于 $R_{m,n}$ 的中心极限定理.

定理 2.1 对任意的 $x \in \mathbb{R}$, 我们有

以下定理给出了 $R_{m,n}$ 的非一致性 Berry-Esseen 估计.

定理 2.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 设 $\delta^{'}$ 是一个常数并满足 $\delta^{'}\in (0,\delta)$, 则对任意的 $x \in \mathbb{R}$, 以下不等式成立

注 2.1 根据 (4.1) 式和引理 4.3, 当条件 (A1) 和 (A2) 成立时, $R_{m,n}$ 有一个 $1+\delta'$ 阶矩, 其中 $\ \delta' \in (0, \delta)$. 这就解释了为什么当 $x \rightarrow \infty$ 时, 非一致性 Berry-Esseen 估计不等式 (2.2) 的阶是 $|x|^{-1-\delta'}$, 而不是 $|x|^{-2-\delta}$.

以下的推论是定理 2.2 的直接结果, 它给出了 $R_{m,n}$ 在 Wasserstein-$1$ 距离下收敛到标准正态随机变量的速率. 两个分布函数 $\mu$ 和 $\nu$ 的Wasserstein-$1$ 距离定义为

其中, $\mathcal{L}(\mu, \nu)$ 是由所有边际分布分别为 $\mu$ 和 $\nu$ 的两个随机变量构成的集合. 特别地, 如果 $\mu_M$ 是随机变量 $M$ 的分布函数, $\nu$ 是标准正态随机变量的分布函数, 则我们有

见 Röllin^[23].

推论 2.1 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立, 则下式成立

根据定理 2.2, 我们还可以得到关于 $R_{m,n}$ 的一致性 Berry-Esseen 估计.

推论 2.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立, 则下式成立

注意到, 当 $m\rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{m} \ln Z_{2,m}$ 依概率收敛到 $\mu_2$, 则有 $R_{m,n}$ 依概率收敛到 $R_{\infty,n}:=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}R_{m,n}=\displaystyle \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 }{ \sigma_1 \sqrt{ n } }$. 因此, 当 $m\rightarrow \infty$ 时, 由推论 2.2 可以得到文献 [15] 中的 Berry-Esseen 估计, 即

容易知道, 上式 Berry-Esseen 估计的收敛速度与具有 $2+\delta$ 阶矩的独立同分布随机变量收敛之和到正态分布随机变量的最佳收敛速度是一致的.

接下来,我们得到了 $R_{m,n}$ 的 Cramér 型中偏差. 为此, 我们需要以下条件

(A3) 随机变量 $M_{1,0}$ 和 $M_{2,0}$ 具有指数矩, 即存在常数 $\lambda_{0}>0$ 使得

(A4) 存在常数 $p>1$ 使得

根据 $M_{1,0}$ 和 $M_{2,0}$ 的定义, 条件 (A3) 等价于 $\mathbb{E} \big[ m_{1,0} ^{\lambda_0 } + m_{2,0} ^{\lambda_0 } \big] < \infty.$

对于 $R_{m,n}$, 我们有以下 Cramér 型中偏差.

定理 2.3 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则对任意的 $0 \leq x < c\sqrt{ m\wedge n }$, 我们有

注 2.2 由 $m$ 和 $n$ 的对称性, 当 $R_{m,n}$ 被 $-R_{m,n}$ 代替时, 定理 2.1, 定理 2.2 和定理 2.3 仍然成立.

利用与文献 [12,推论 2.2] 类似的证明, 由定理 2.3 可以得到以下关于 $R_{m,n}$ 的中偏差原理.

推论 2.3 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 实数列 $\left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}$ 满足当 $m\wedge n\rightarrow \infty$ 时, 有 $a_n \rightarrow \infty$ 和 $a_n/\sqrt{m\wedge n}\rightarrow 0.$ 则对任意的 {Borel} 集 $B$, 有下式成立

其中 $B^o$ 和 $\overline{B}$ 分别代表$B$ 的内部和闭包.

利用定理 2.3 和不等式 $|{\rm e}^y-1| \leq {\rm e}^C |y|$, $|y| \leq C$, 我们还可以得到随机变量 $R_{m,n}$ 与正态随机变量的尾部分布是等价的.

推论2.4 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则当$m\wedge n \rightarrow \infty$ 时, 对任意的 $x \in [0, \, o((m \wedge n)^{1/6}))$ 一致地有

并且当 $\mathbb{P} (R_{m,n} \geq x )/1-\Phi(x)$ 被 $\mathbb{P} ( - R_{m,n} \geq x )/\Phi(-x)$ 代替时, 该结果仍然成立.

注2.3 当 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ 与 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ 是独立且同分布时, 则 $\mu_1 = \mu_2, \ \sigma_1 = \sigma_2$ 和 $\rho=0$. 那么当 $m=n$ 时, (2.6) 式对于 $R_{n,n}=\frac{ \ln Z_{1,n}- \ln Z_{2,m} }{ \sqrt{2 n } \sigma_1 }$ 也成立. 因此, 由定理 2.2 并在条件 (A1) 和 (A2) 下, 对任意的 $x\in \mathbb{R},$ 我们有

然后, 根据推论 (2.4), 在条件 (A3) 和 (A4) 下, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, 对所有的 $x \in [0, \, o(n^{1/6}))$ 一致地有

在本节中, 我们对构造 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间感兴趣. 这个问题是 Behrens 在 1929 年提出的, 因为 Fisher 也讨论过这个问题, 所以又被称为 Behrens-Fisher 问题. 当参数 $\sigma_1, \sigma_2$ 和 $\rho$ 已知时, 我们可以应用定理 2.2 和定理 2.3 来构造 $\mu_1-\mu_2$ 的置信区间.

定理3.1 设 $\kappa_{m,n} \in (0,1)$. 考虑以下两组条件

(B1) 定理 2.2 的条件成立并且有

(B2) 定理 2.3 的条件成立并且有

假设 (B1) 或 {(B2)} 成立, 则对充分大的 $n$, $\left[A_{m,n},\, B_{m,n}\right]$ 是 $\mu_1-\mu_2$ 的置信水平为 $1-\kappa_{m,n}$ 的置信区间, 其中

和

证 假设条件 {(B1)} 成立. 由定理 2.2 可得, 当 $m\wedge n\rightarrow\infty$ 时, 有

在 $0\leq x=o\left(\sqrt{\ln (m\wedge n) }\right)$ 上一致成立. 当 $p\searrow 0$ 时, 标准正态分布的分位数具有以下展式

特别地, 当 $\kappa_{m,n}$ 满足条件 (B1) 时, 标准正态分布的 $\left(1-\kappa_{m,n}/2\right)$ 分位数, 满足

且它是 $\sqrt{\ln(m\wedge n) }$ 的无穷小量. 然后, 将上述等式代入 (3.1) 式, 则当 $m\wedge n\rightarrow \infty$ 时, 有

和

因此, 当 $m \wedge n\rightarrow \infty$ 时, 有

上式表明当 $m \wedge n$ 充分大时, $[A_{m,n},\,B_{m,n}]$ 是 $\mu_1-\mu_2$ 的置信水平为 $1-\kappa_{m,n}$ 的置信区间.

现在, 假设条件 {(B2)} 成立. 根据定理 2.3, 当 $m \wedge n\rightarrow\infty$, 我们有

在$0\leq x=o( (m\wedge n)^{1/6})$ 上一致成立. 当 $\kappa_{m,n}$ 满足条件 {(B2)} 时, 标准正态分布的 $(1-\kappa_{m,n}/2)$ 分位数满足

并且它是 $(m\wedge n)^{1/6}$ 的无穷小量. 那么由 (3.2) 式, 可以得到

由上式可知, 定理 3.1 的结论仍然成立. 证毕.

如果分支过程 $\left(Z_{1, n}\right)_{ n \geq 0}$ 与 $\left(Z_{2, n}\right)_{ n \geq 0}$ 是相互独立的并且具有相同的分布律, 那么我们可以应用定理 2.2 和定理 2.3 来建立 $\sigma_1^2$ 的置信区间.

定理3.2 设 $\kappa_{n, n} \in(0,1)$. 若 (B1) 或 (B2) 成立, 则对充分大的 $n$, $\left[A_{m,n},\, B_{m,n}\right]$ 是 $\sigma_{1}^2$ 的置信水平为 $1-\kappa_{m,n}$ 的置信区间, 其中

这里 $\chi_{q}^{2}(1)$ 表示自由度为 1 的卡方分布 $q$ 分位数.

证 假设 (B1) 成立. 根据定理 2.2, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 有

在 $0 \leq x=o(\sqrt{\ln n})$ 上一致成立. 则由 (3.8) 式, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 我们有

上式表明当 $n$ 足够大时, $[A_{n},\,B_{n}]$ 是 $\sigma_{1}^{2}$ 的置信水平为 $1-\kappa_{n,n}$ 的置信区间.

当 (B2) 成立时, 可利用与上述证明类似的方法即可完成定理 3.2 的证明.

对于 $l= 1, 2$, 记正则化种群数量为

那么在退火分布 $\mathbb{P}$ 下, $\left(W_{1, n}\right)_{n \geq 0}$ 和 $\left(W_{2, n}\right)_{n \geq 0}$ 都是关于如下定义的自然 $\sigma$-代数流

的非负鞅. 根据 Doob 鞅收敛定理和 Fatou 引理可知, 极限

存在并且满足 $\mathbb{E} W_{i, \infty} \leq 1$. 条件 (1.1) 和 (1.2) 共同表明 $\mathbb{P} (W_{l,n}>0)=\mathbb{P} \left(Z_{l,n} \rightarrow \infty\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left(Z_{l,n}>0\right)=1,$ 并且在 $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ 空间中, $\{W_{l,n}\}_{n\geq1}$ 收敛于 $W_{l, \infty}$(见文献 [3,25]).

为了简化符号, 不一般性, 我们假设 $m\leq n$. 在下文中, 我们记

则 $R_{m,n}$ 可以写成

设 $Y_{i}=\eta_{m, n, i}+\eta_{m, n, n+i}, \ i=1, \cdots, m, \ \text { 和 } \ Y_{i}=\eta_{m, n, i}, \ i=m+1, \cdots, n.$ 那么 $\left(Y_{i}\right)_{1 \leq i \leq n}$ 是零均值且相互独立的随机变量序列, 并且满足

此外, 当 $m \rightarrow \infty$ 时, 我们有

由 (4.1) 式可得

证 不失一般性, 假设 $m\leq n$. 由独立随机变量的中心极限定理, 当 $m \rightarrow \infty$ 时, 有 $\sum\limits_{i=1}^{n+m}\eta_{ m,n, i}$ 依分布收敛于标准正态随机变量. 又因为, 对于 $l=1,2$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $W_{l,n}$ 依 $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ 收敛到 $W_{l, \infty}.$ 注意到 $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$, 则当 $m \rightarrow \infty$ 时, 随机变量 $\frac{\ln W_{1, n}}{n V_{m, n, \rho}}$ 和 $\frac{\ln W_{2, m}}{m V_{m, n, \rho}}$ 均依概率收敛到 $0$. 因此, 根据 (4.9) 式, 当 $m \rightarrow \infty$ 时, 有 $R_{m, n}$ 依分布收敛于标准正态随机变量. 这就完成了定理 2.1 的证明.

在定理的证明中, 我们需要以下关于独立随机变量之和的非一致性 Berry-Esseen 估计. 见文献 [6,9].

引理4.1 设 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 是相互独立的随机变量, 且满足

其中常数 $\delta \in(0, 1].$ 假设 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E} Y_{i}^{2}=1$. 则对任意的 $x \in \mathbb{R}$, 下式成立

考虑 $W_{1,\infty}$ 和 $W_{2,\infty}$ 的拉普拉斯变换: 对任意的 $t>0$,

由于 $W_{i, \infty} \geq 0$$\mathbb{P}$-a.s., 有 $\phi_i(t) \in(0,1], i=1,2.$ 我们有以下关于 $\phi_i(t), i=1,2$ 的上界估计.

引理4.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对于 $i=1,2,$ 下式成立

证 设 $i=1,2$. 引入位移运算符 $T^{n}$, 即 $T^{n}\left(\xi_{i, 0}, \xi_{i, 1}, \cdots \right)=\left(\xi_{i, n}, \xi_{i, n+1}, \cdots \right), n\geq 1$. 对任意给定的 $k\geq 0$, 记

特别地, 我们有 $\Pi_{i,n}=\Pi_{i,n}\left(T^{0}\xi_{i}\right)$. 接下来, 我们借鉴 Grama 等^[16] 的方法来完成此定理的证明. 由文献 [16,(3.15) 式], 可证明对任意的 $t>0$ 和 $n\geq1$, 有

其中 $t_{K}:=(CK)^{-1/(p-1)}$, $C$ 和 $K$ 都是正数且满足下式

再由文献 [16,(3.18) 式], 可以得到

设 $p\in(1, 2]$. 对给定的 $n,\ K$, 令 $\widetilde{N}_{i, n, K}$ 是一个取值为正的随机变量, 其分布定义如下: 对任意有界可测函数 $g$,

其中 $q_{i,n,K}$ 是归一化常数 (使得当 $g =1$ 时, $\mathbb{E} g(\widetilde{N}_{i, n, K})=1$, 其表达式为

上式来自文献 [16,(3.21) 式]. 综合 (4.3)-(4.5) 式, 可得

选择常数 $A_{i}$ 满足 $\ln A_{i}>\mu_{i}$ 故有 $A_{i}>1$. 当 $A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2}$ 时, 取 $K=K_{i,n}=((n + 1)\ln A_{i} )^{1+\delta}$, 则有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{t_{K_{i,n}}} = 1$. 并且由 Fuk-Nageav 不等式(见文献 [11,推论 2.5], $p=2+\delta,\;V^2=O(n)$ 和 $C_p=O(n)$), 我们有, 当 $n$ 充分大时有

其中 $S_{i, n}=\sum\limits_{j=1}^{n} M_{i, j-1}$ 以及 $c_i=\ln \frac{A_i}{\sqrt[n]{t_{K_{i, n}}}}-\mu_i,\; i=1,2.$ 当 $t\geq A_{i}^{2}$ 时, 设正整数 $n$ 满足 $A_{i}^{n+1}\leq t< A_{i}^{n+2},$ 则

那么由 (4.8) 式, 对任意的 $A_{i}^{n+1}\leq t< A_{i}^{n+2},$ 有

注意到 $0\leq \phi_{i}(t)\leq 1\ (t>0)$. 所以由 (4.7) 和 (4.9) 式, 我们有

由 $q_{i,n,K}$ 的定义 (4.6) 式知, 当 $A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2}$ 时,

最后, 由 (4.10) 和 (4.11) 式可得对任意的 $t > 0$,

引理 4.2 证毕.

Grama 等^[15] (定理 3.1) 得到了以下结果: $\phi(t) \leq C t^{-\alpha},\; t>0$, 其中 $\alpha$ 是一个正的常数. 该结果要比引理 4.2 更优. 然而, Grama 等^[15] 中定理 3.1 的条件 (A3) 却比本文中的条件 (A1) 更严格.

我们还得到了以下关于 $\ln W_{i, \infty}$ 和 $\ln W_{i, n }\ (i=1,2)$ 的 $\mathbb{L}^p(\mathbb{P})$ 阶矩存在性的结果. Grama 等^[15] 中的引理 2.3 已经证明了 $q\in (1, 1+\delta/2)$ 的情况. 我们的结果对其进行了改进, 即将 $q\in (1, 1+\delta/2)$ 改进到了 $q\in (1, 1+\delta )$.

引理4.3 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对 $i=1,2$ 和 $q\in(1, 1+\delta)$, 下式成立

和

证 设 $i=1,2$. 考虑关于 $\mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q$ 的截断分解式

对于上述等式右边的第一项, 有

因为由 Markov 不等式, 可以得到

所以对于第二项, 我们有

注意到,

那么由引理 4.2 以及条件 $q<1+\delta,$ 可知

然后将 (4.17) 和 (4.18) 式代入 (4.16) 式,

综合 (4.14), (4.15) 式以及 (4.19) 知 (4.12) 式成立.

接下来, 证明 (4.13) 式. 由于函数 $x\mapsto\left|\ln^q(x)\textbf{1}_{\{x\leq1\}}\right|$, $q>1$ 是非负的凸函数, 则由文献 [18] 中的引理 2.1, 我们有

通过类似于 $\mathbb{E}\left|\ln W\right|^q$ 的截断方式并由 (4.19) 式可得

引理 4.3 得证.

以下结果来自文献 [15,引理 2.4], 其详细证明可参考文献 [15].

引理4.4 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则存在常数 $\gamma\in(0,1)$, 使得对任意的 $\,n\geq0$, 下式成立

在定理 2.2 的证明中, 以下引理起着关键作用.

引理4.5 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对任意的 $x\in \mathbb{R}$ 以及 $\delta^{'}\in(0,\delta)$, 有以下两个不等式成立

和

证 由于 (4.21) 式的证明方法与 (4.20) 式类似, 在此仅证明 (4.20) 式. 不失一般性, 不妨假设 $m\leq n$.

首先证明对任意的$x\leq-C m^{1/2}$, (4.20) 式成立. 注意到

则对任意的 $x \in \mathbb{R},$

其中

因为 $Z_{1,n} \geq 1$$\mathbb{P}$-a.s. 且 $V_{m,n, \rho}\asymp m^{-1/2}\ (m\rightarrow \infty)$, 所以存在一个正的常数 $C$, 使得

由此可得对任意的 $x \leq -C m^{1/2}$, $P_1=0$. 对于 $P_2,$ 根据引理 4.1, Markov 不等式以及 $\mathbb{E} W_{2,m} =1$, 对任意的 $x\leq -C m^{1/2},$

故, 对任意的 $x\leq - C m^{1/2}$, (4.20) 式成立.

然后证明对任意的 $x\geq C m^{1/2}$, (4.20) 式成立. 事实上, 当 $x\geq0$ 时,

将引理 4.1 应用于上述不等式可知, 对任意的 $x\geq 0$, 有

利用不等式

可得

则对任意的 $x\geq 0$, 有

注意到, 当 $m \rightarrow \infty$ 时, 有 $V_{m, n, \rho} \asymp m^{-1 / 2}$. 故由不等式

可得, 对任意的 $x\geq C m^{1/2},$

这就证明了对任意的 $|x|\geq C m^{1/2}$, (4.20) 式成立.

最后证明对任意的 $|x| < C m^{1/2}$, (4.20) 式成立. 设整数 $k \in[m-1]$ 并引入记号

再设 $\alpha_{m}= m^{-\delta/2}$ 和 $k=[ m^{1-\delta/2} \,]$, 其中 $[t]$ 代表不超过 $t$ 的最大整数. 由 (4.1) 式可知, 对任意的 $x \in \mathbb{R}$,

对于尾部概率 $\mathbb{P} \left(|D_{m, n, k}|\geq \alpha_{m}\right)$, 利用 Markov 不等式和引理 4.4, 可知存在一个常数 $\gamma \in (0, 1)$, 使得对任意的 $- m < x < m$,

接下来估计 (4.28) 式右边的第一项. 记

由于 $Y_{m, n,k}$ 和 $(\tilde{Y}_{m,n, k},H_{m,n,k})$ 是相互独立的, 则有

记 $C_{m,n,k}^2= \textrm{Var} (Y_{m,n,k}).$ 当$m \rightarrow \infty$时, 有 $C_{m,n,k}^{2}= 1 + O(k/n) \nearrow 1$. 利用引理 4.1 和 (4.25) 式, 可以得到, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

由此可知, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

因此, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

其中

和

对于 $J_{1}$, 利用微分中值定理, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

因此

其中

和

由引理 4.3 可知, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

并且容易看出, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

记 $\tilde{C}_{m,n,k}^2= \textrm{Var}(\tilde{Y}_{m,n, k} ),$ 则有 $\tilde{C}_{m, n, k}^{2} \asymp \frac{1}{m^{\delta / 2}}.$ 设 $\delta^{'}\in (0,\delta).$ 根据引理 4.1, 对任意的 $x\in \mathbb{R},$ 我们有

令 $\tau=1+\frac{\delta+\delta^{\prime}}{2+2 \delta-\delta^{\prime}}$, $\iota$ 为其共轭指数, 即满足 $\frac{1}{\tau}+\frac{1}{\iota}=1$. 由Hölder不等式, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$,

于是, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$,

然后考察 $J_{13}$. 对任意的 $x \in \mathbb{R},$ 有

令 $p^{\prime}=1+\delta / 2$ 并由引理 4.3 和 Markov 不等式可得, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2},$ 下式成立

再由引理 4.3 并取 $p^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(\delta+\delta^{\prime}\right)$ 可得,

将 (4.37) 和 (4.38) 式代入 (4.36) 式可得, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2},$

因此, 将 (4.33), (4.35) 和 (4.39) 式代入 (4.32) 式可得, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2},$ 有

接下来考察 $J_{2}$. 通过与 (4.34) 式类似的证明过程, 可以得到, 对任意的 $x\in\mathbb{R}$,

对于 $J_{3}$, 利用与 (4.34) 和 (4.37) 式类似的证明过程, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$,

再将不等式 (4.40)-(4.41) 应用到 (4.31) 式中, 则对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$, 有

最后, 综合 (4.28), (4.29) 和 (4.42) 式, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$, (4.28) 式成立. 这就完成了引理 4.5 的证明.

证 根据引理 4.1 和 $V_{m, n, \rho} \asymp \sqrt{m^{-1}+n^{-1}}$, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

注意到

将 (4.43) 式应用到上述等式, 可以推出, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

最后由引理 4.5 可得, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$

证毕.

为证明定理 2.3, 我们将用到以下引理 (见文献 [15,定理 3.1]). 该引理表明, 由条件 (A3) 和 (A4) 可以得到 $W_{1,\infty}^{-1}$ 和 $W_{2,\infty}^{-1}$ 的正阶矩的存在性.

引理4.6 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则存在正数 $a_{0}$, 使得对任意的 $\alpha\in (0,a_{0})$

和

证 该证明是文献 [15,定理 3.1] 的另一种证明方法. 设 $i=1,2$. 注意到

我们有

其中 $\Gamma$ 是伽马函数. 对于上述括号中的第一项, 由于 $0\leq \phi_{i}(t)\leq 1\; (t \geq 0)$, 则对任意的 $a_{0}>0$, 有

接下来考虑第二项. 首先证明存在正数 $a_0$, 使得对任意的 $t>0$ 有

该过程借鉴 Grama 等^[16] 的方法. 引入 (4.5) 式定义的随机变量 $\widetilde{N}_{i, n, K}$. 由 (4.7) 式可知, 对任意的 $t> 0$,

设 $p\in(1,2]$. 由 (4.5) 式, 我们有

由于在概率测度 $\mathbb{P}$ 下, 对任意的 $k\geq 0$, $\Pi_{i,n}(\xi_{i})$ 独立于 $\Pi_{i,k+1}(T^{n}\xi_{i})$ 和 $\Pi_{i,k}(T^{n}\xi_{i})$, 则

注意到 $0 \leq m_{i, 0}^a\left(p_1\left(\xi_{i, 0}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i, 0}\right)\right) \beta_K\right) \leq m_{i, 0}^a$, 则根据条件 (A3), 我们可以得到 $\mathbb{E} m_{i,0}^{\lambda_0}<\infty.$ 因此, 利用控制收敛定理, 有

和

又因为 $m_{i, 0} \geq 1$ a.s. 和 $p>1$, 则 $\lim _{a \searrow 0} \mathbb{E} m_{i, 0}^{a-(p-1)}=\mathbb{E} m_{i, 0}^{-(p-1)}$. 当 $a \in(0, p-1]$ 时, 有 $0 \leq \frac{m_{i, 0}^a m_{i, 0}^{(p)}}{m_{i, 0}^p} \leq \frac{m_{i, 0}^{(p)}}{m_{i, 0}}$. 由条件 (A4) 可知

再次利用控制收敛定理, 我们有

因此, 由 (4.50) 式可得

由于$\beta_K \in(0,1)$, 则 $\mathbb{E}\left[p_1\left(\xi_{i, 0}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i, 0}\right)\right) \beta_K\right]<1$. 由此可知

因此,

综合上述,

令 $n_0, K_{0}$ 以及充分小的 $a_0 \in (0, \lambda_0)$ 满足 $q_{i, n_{0}, K_{0}} \mathbb{E} \widetilde{N}_{i, n_{0}, K_{0}}^{-a_{0}}<1$. 再由 (4.49) 式与 Markov 不等式可得

注意到 $0\leq \phi_i(t)\leq 1\ (t>0)$. 最后, 由 (4.51) 式以及文献 [21,引理 4.1] 可得, 对任意的 $t >0$,

再令 $0<\alpha<a_{0}$, 有

综合 (4.46), (4.47) 和 (4.52), (4.44) 式得证.

接下来证明 (4.45) 式. 由于函数 $x\mapsto x^{-\alpha}\ (\alpha>0,\ x>0)$ 是非负凸函数. 则根据文献 [18,引理 2.1], 我们有

引理 4.6 得证.

当条件 (A3) 和 (A4) 成立时, 我们有下列与引理 4.5 类似的结论.

引理4.7 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $|x| \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$ 有

和

证 因为由条件 (A3) 和 (A4) 可以得到条件 (A1) 和 (A2). 则当 $|x|\leq 1$ 时, (4.53) 和 (4.54) 式是引理 4.5 的直接结果. 因此, 只需证明: 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$, (4.53) 和 (4.54) 式成立.

不失一般性, 不妨假设 $m\leq n$, 并且引入引理 4.5 中定义的 $Y_{m, n, k}$, $\tilde{Y}_{m, n, k}$, $H_{m, n, k}$ 和 $D_{m, n, k}$. 设 $\alpha_{m}=m^{-1 / 2}$ 和 $k=\left[m^{1 / 2}\right]$. 由 (4.34) 式可得, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 有

对于 $\mathbb{P} \left(\left|D_{m, n, k}\right| \geq \alpha_{m}\right)$, 利用与 (4.37) 式类似的证明方法, 可以得到对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

接下来给出 (4.55) 式右边第一项的上界估计. 继续沿用引理 4.5 中的记号, $G_{m, n, k}(x)$, $v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)$ 和 $C_{m, n, k}^2=\operatorname{Var}\left(Y_{m, n, k}\right)$, 则有

和

根据独立随机变量的 Cramér 型中偏差与 Bernstein 不等式, 可以得到以下的非一致性 Berry-Esseen 估计: 对任意的 $x\in \mathbb{R}$,

由上述结果可得, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$,

故对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们有

其中

和

记 $\tilde{C}_{m, n, k}^{2}=\operatorname{Var}\left(\tilde{Y}_{m, n, k}\right)$, 则当 $m \rightarrow \infty$ 时, $\tilde{C}_{m, n, k}^{2}=O(1 / \sqrt{m})$. 对于 $J_{1}$ 的上界, 由微分中值定理可以得到, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

于是, 由上式可以得到

其中

和

由引理 4.3 知, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m},$

对于 $J_{12}$, 容易看出, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

利用 Bernstein 不等式可得, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$,

再由 Cauchy-Schwarz 不等式可得, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$,

因此, 对于任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

考虑 $J_{13}$. 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

注意到 $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$ 以及 $\tilde{C}_{m, n, k} \asymp \frac{1}{m^{1 / 4}}$. 那么容易得到, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

其中

利用引理 4.6 和 Markov 不等式并取 $C_{0}$ 充分大, 我们有, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

类似地, 对于 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

因此, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$, 有

再根据引理 4.6 和不等式 $|\ln x|^{2} \leq C_{\alpha}\left(x+x^{-\alpha}\right),\ (\alpha, x>0),$

利用 Markov 不等式和 Cauchy-Schwarz 不等式, 我们有, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$ 以及充分大的 $C_{0}$,

故对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

将 (4.59), (4.60) 和 (4.61) 式代入到 (4.58) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$, 有

对于 $J_{2}$, 通过类似于 (4.62) 式的证明过程, 可以得到, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

类似地, 对于 $J_{3}$ 有, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,

将 (4.62)-(4.64) 式代入 (4.57) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$, 有

综合 (4.55), (4.56) 和 (4.65) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$, (4.53) 式成立. 另外, 关于 (4.54) 式的证明, 可以采用类似的方法得到. 引理 4.7 证毕.

现在, 我们通过下面的引理 4.8 和引理 4.9 分别给出定理 2.3 关于 $\mathbb{P} \left(R_{m, n} \geq x\right)/(1-\Phi(x)),$$x \geq 0$ 的上界和下界估计. 由于 $m$ 和 $n$ 的对称性, 类似地也可以得到 $|\mathbb{P} \left(-R_{m, n} \geq x\right)/\Phi(x)|$ 的上界估计.为了避免平凡的情况发生, 这里假设 $m \wedge n \geq 2$.

引理4.8 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $0 \leq x \leq$$c \sqrt{m \wedge n}$ 有

证 首先考虑 $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$ 的情况. 注意到

利用独立随机变量的 Cramér 型中偏差 (见文献 [(1) 式]) 可得, 对任意的 $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$,

由上述不等式并利用 $\ln (1+x) \leq x, x \geq 0$ 可得, 对任意的 $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$, (4.66) 式成立.

然后考虑 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$ 的情况. 容易看出, 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 以及在引理 4.6 中给定的 $\alpha$, 我们有

其中

接下来将分别给出 $I_{1}$, $I_{2}$ 和 $I_{3}$ 的上界估计. 由条件 (A3) 可知, $\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i}$ 是一列矩母函数存在且有限的独立随机变量之和. 根据独立随机变量的 Cramér 型中偏差 (见文献 [10]) 可得, 对任意的 $1 \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$,

利用不等式 (4.26) 可以得到, 对任意的 $x \geq 1$ 和 $\varepsilon_{n} \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$,

注意到, 对任意的 $1 \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$, 有 $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$. 故

再由 Markov 不等式, 容易得到, 对任意的 $x \geq \sqrt{\ln (m \wedge n)},$

和

综合 (4.68)-(4.70) 式可得, 对任意的 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n},$

上式表明, 对任意的 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$, (4.66) 式成立. 证毕.

引理4.9 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $0 \leq x \leq$$c \sqrt{m \wedge n}$, 有

证 下界的证明与上界的证明类似. 例如, 要证明当 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$ 时, (4.71) 式成立, 仅需考虑

其中

并且 $\alpha$ 是由引理 4.6 给出的. 关于 $I_{4}$, $I_{5}$ 和 $I_{6}$ 的上界证明, 与引理 4.8 类似可证. 证毕.