1 介绍
随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] .
首先, 我们来介绍经典的 BPRE 模型. 记 $\xi=\left(\xi_{0},\xi_{1},\cdots \right)$ $\xi$ $\xi$ $(Z_n)_{n\geq0}$ $\xi$ $0$ $\emptyset$ $Z_0=1$ $1$ $\emptyset$ $Z_1$ $1$ $2$ $i\ (i={1,\cdots, Z_{1}})$ $X_{1,i}$ $n$ $(n\geq 1)$ $Z_n$ $X_{n,i}$ $n+1$ $(Z_n)_{n\geq0}$ $\xi$ $n \geq 0$
其中 $X_{n, i}$ $n$ $i$ $ X_{n,i} $ $ \xi_{n} $ . 后代分布律记为
假设对给定的第 $n$ $ \xi_{n} $ $ (X_{n, i})_{i\geq1}$ $ (X_{n, i})_{i\geq1}$ $(Z_{1},\cdots,Z_{n})$ $\left(\Gamma, \mathbb{P} _{\xi}\right)$ $\xi$ $ \Theta $ $ \xi $ $\left(\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma, \mathbb{P} \right)$ $\mathbb{P} ({\rm d}x, {\rm d}\xi)=\mathbb{P} _{\xi}({\rm d}x) \tau({\rm d}\xi)$ . 即, 对于任意的定义在完全概率空间 $\Theta^{\mathbb{N}}\times\Gamma$ $g $
其中 $ \tau $ $ \xi $ $ \mathbb{P} $ $\mathbb{P} _{\xi}$ $\mathbb{P} _{\xi}$ $\mathbb{P} $ $ \xi $
在本文中, 我们对两个分别处在不同随机环境 $\xi_1$ $\xi_2$ $\left(\xi_{1},\, \xi_{2}\right)^{T}:=\left(\left(\xi_{1, n},\, \xi_{2,n}\right)^{T}\right)_{n \geq 0}$ $ ( \xi_{1,n},\, \xi_{2,n})^T \in \mathbb{R}^2$ $n$ $n \in \mathbb{N}$ $\xi_{1,n}$ $ p(\xi_{1,n} ) = \{ p_i(\xi_{1,n}): i \in \mathbb{N}\}$ $p_i(\xi_{1,n}) \geq 0 $ $ \sum\limits_{i=0}^\infty p_{i}(\xi_{1,n})=1$ . 同样地, $\xi_{2,n}$ $ p(\xi_{2,n})$ . 值得注意的是, $\xi_{1,n}$ $\xi_{2,n}$ $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $n \geq 0$
其中 $X_{1,n,i}$ $X_{2,n,i}$ $ 1 $ $ 2 $ $n$ $i$ $\xi_{1,n}$ $\xi_{2,n}$ $n$ $(\xi_{1,n},\, \xi_{2,n})^T$ $\{X_{1, n, i},\, X_{2,n,i},\, i\geq 1 \}$ $\{Z_{1,k},\, Z_{2,k},\, 0 \leq k \leq n\}$ . 随机环境 $(\xi_1,\, \xi_2)^T$ $\mathbb{P} _{\xi_1,\xi_2}$ $(\xi_1,\, \xi_2)^T$ $\tau $ . 那么, 随机环境下两个分支过程的联合退火分布 $\mathbb{P}$
特别地, 若 $\xi_1$ $\xi_2$ $ \tau ({\rm d}y_1, {\rm d}y_2)= \tau ({\rm d}y_1 ) \tau ( {\rm d}y_2)$ $\tau_1$ $\tau_2$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\mathbb{E}_{\xi_1, \xi_2}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{P} _{\xi_1, \xi_2}$ $\mathbb{P}$ $n \in \mathbb{N}$ $ p$
以及 $ \Pi_{1,0} = \Pi_{2,0} = 1$ . 为了简化记号, 定义
其中 $\mu_1$ $\mu_2$ $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $0<\sigma_1, \sigma_2 <\infty$ $\xi_1$ $\xi_2$ $X_{1,n}$ $X_{2,n}$
特别地, 如果 $\xi_1$ $\xi_2$ $\rho=0$ . 记 $\ln ^+ x = \max\{ \ln x, 0 \}$ . 在本文中, 引入条件
(1.1) $ \begin{equation} \mathbb{E} \frac{Z_{1,1}}{m_{1,0}} \ln^+ Z_{1,1} + \mathbb{E} \frac{Z_{2,1}}{m_{2,0}} \ln^+ Z_{2,1} < \infty \end{equation} $
(1.2) $ \begin{equation} p_0(\xi_{1,0})=p_0(\xi_{2,0} ) =0, \ \ \ \ \ \ {\rm a.s.} \end{equation} $
条件 (1.2) 表明每个个体至少有一个后代. 条件 (1.1) 和条件 (1.2) 共同表明过程 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $\mu_1, \mu_2 >0$ ) 以及 $\mathbb{P} (Z_{1, n} \rightarrow \infty )=\mathbb{P} (Z_{2, n} \rightarrow \infty )=1$ 3 ,25 ].
对于单个上临界 BPRE, 例如 $\{Z_{1,n}\}_{n \geq 0}$ [15 ] 得到了以下关于 $Z_{1,n}$ $ p_{0}\left(\xi_{0}\right)=0$ $p>1$ $\rho \in (0,1]$ $ \mathbb{E} \big(\frac{Z_{1,1}}{m_{1,0}} \big )^{p} < \infty$ $\mathbb{E}M_{1,0}^{2+\rho} < \infty$ $\ln Z_{1,n}$
(1.3) $ \begin{equation} \sup_{x\in \mathbb{R}} \Big|\mathbb{P}\Big( \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}} \leq x \Big) - \Phi(x) \Big| \leq \frac{ C }{ n^{\rho/2} }. \end{equation} $
假设存在两个常数 $p>1$ $\lambda_0 >0 $ $ \mathbb{E} \frac{Z_{1,1}^{p}}{m_{1,0}} < \infty$ $\mathbb{E}{\rm e}^{\lambda_0 M_{1,0}} < \infty$ . Grama 等[15 ] 还建立了以下 Cramér 型中偏差展开式: 当 $n \rightarrow \infty$ $0 \leq x=o(\sqrt{n})$
(1.4) $ \begin{equation} \Bigg| \ln \frac{\mathbb{P}\Big( \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}} \geq x \Big)}{1-\Phi(x)} \Bigg| \leq C \frac{ 1+x^3 }{ \sqrt{n} }, \end{equation} $
其中 $C$ $n\rightarrow \infty$ $0 \leq x = o(\sqrt{n} )$
(1.5) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P}\big( \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}} \geq x \big)}{1-\Phi(x)} =1+o(1). \end{equation} $
以上结果 ((1.3)-(1.5)式) 不仅在理论研究方面具有重要意义, 而且在实际应用中也极具价值. 例如, 当参数 $\sigma_1$ $\mu_1$ $n$ $Z_{1,n}$ .
尽管关于单个上临界 BPRE 的极限定理已经有了很好的研究, 但是到目前为止还未有对两个上临界 BPRE 关键参数比较的结果. 这篇文章的目标是补充这方面的空白. 考虑假设检验问题
当 $\mu_1$ $\mu_2$ [8 ] 考虑了这种类型的假设检验, 并建立了 Cramér 型中偏差. 在本文中, 我们研究 BPREs 的两个关键参数 $\mu_1$ $\mu_2$ . 注意到 $ \ln Z_{i, n}=\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k}+\ln \left(Z_{i, n} /\Pi_{i, n}\right), i=1,2 $ $ \frac{1}{n} \ln \left(Z_{i, n} / \Pi_{i, n}\right)$ $ 0 $ . 又因为 $\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k},\; i=1,2$ $ m \wedge n \rightarrow \infty$ $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}$ $\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ $\mu_{1} $ $\mu_{2} $ . 因此, 要回答上述假设检验问题, 我们需要研究 $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{m} \ln Z_{2, m}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}-\frac{1}{m} \sum\limits_{k=1}^m M_{2, k}$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}$ $\sum\limits_{k=1}^n M_{2, k}$ $U$
成立. 当 $m\wedge n \rightarrow \infty$ $\frac1n \sigma_1^2 + \frac1m \sigma_2^2 -2 \rho \sigma_1 \sigma_2 \frac{m\wedge n}{m\, n}$ $\frac{1 }{m\wedge n}$ $m \leq n,$
接下来将简单介绍本文的主要结果. 首先定理 2.1 给出了关于 $R_{m,n}$ $x \in \mathbb{R}$
(1.6) $ \begin{equation} \lim\limits_{m \wedge n \rightarrow \infty }\mathbb{P}\big( R_{m,n} \leq x \big) = \Phi(x), \end{equation} $
其中 $\Phi(x)$ $\delta \in (0, 1]$ $p>1$ $\mathbb{E} [ M_{1,0}^{2+\delta}+ M_{2,0}^{2+\delta} \,] < \infty $ $\mathbb{E}\Big[ \frac{Z_{1,1} ^{p}}{m_{1,0}^p} + \frac{Z_{2,1} ^{p}}{m_{2,0}^p} \Big]<\infty $ $R_{m,n}$ $\delta' \in (0, \delta)$ $x \in \mathbb{R}$
(1.7) $ \begin{equation} \bigg|\mathbb{P}\big( R_{m,n} \leq x \big) - \Phi(x) \bigg| \leq \frac{ C }{ (m\wedge n)^{\delta/2} }\frac{ 1 }{ 1+|x|^{1+\delta'} }. \end{equation} $
由本文中的引理 4.3 和 (4.1) 式, 在所述条件下, $R_{m,n}$ $1+\delta'$ $ \delta' \in (0, \delta)$ $\displaystyle |x|^{-1-\delta'}$ $\displaystyle |x|^{-2-\delta}$ . 特别地, 当 $m\rightarrow\infty$ $\frac{1}{m} \ln Z_{2,m} $ $ \mu_{2} $ $R_{m,n} $ $\frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1\ }{ \sigma_1 \sqrt{n}}$ . 那么, 利用不等式 (1.7) 可以得到
显然, 因为增加了代数衰减的因子 $ \frac{ 1 }{ 1+|x|^{1+\delta'} } $ $1$ $\lambda_0>0$ $p>1$ $\mathbb{E} \big[ {\rm e}^{\lambda_0 M_{1,0} } + {\rm e}^{\lambda_0 M_{2,0} } \big] < \infty $ $\mathbb{E} \Big[ \frac{ Z_{1,1} ^{p}}{m_{1,0}} + \frac{ Z_{2,1} ^{p}}{m_{2,0}} \Big] <\infty$ $0 \leq x \leq C^{-1} \sqrt{m \wedge n } $
(1.8) $ \begin{equation} \Bigg| \ln \frac{\mathbb{P}\big( R_{m,n} \geq x \big)}{1-\Phi(x)} \Bigg| \leq C \frac{ 1+x^3 }{ \sqrt{m \wedge n} \ }. \end{equation} $
利用 (1.8) 式, 我们还可以得到随机变量 $ R_{m,n}$ $ m\wedge n \rightarrow \infty$ $x \in [0, \, o((m \wedge n)^{1/6}))$
(1.9) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P}\big( R_{m,n} \geq x \big)}{1-\Phi(x)} =1+o(1). \end{equation} $
容易看出, 将 $R_{m,n}$ $\frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}} $ [15 ] 中建立的 Cramér 型中偏差 (1.4) 和 (1.5) 式. 最后, 作为本文结果的应用, 我们讨论了关于 $\mu_1-\mu_2$
本文的结构安排如下. 在第 2 节, 给出本文的主要结果. 第 3 节利用第 2 节中的结果构造了 $\mu_1-\mu_2$
在本文中, $C$ $c$ $C_K$ $K$ $ (a_n)_{n\geq 1}$ $ (b_n)_{n\geq 1} $ $ C $ $ n $ $C^{-1} b_n \leq a_n \leq C b_n$ $a_n \asymp b_n$ .
2 主要结果
(A1) 存在常数 $\delta \in (0,1]$
记 $ \Phi(x) $
(2.1) $ \begin{equation} R_{m,n} = \frac{ \frac{1}{n} \ln Z_{1,n} - \frac{1}{m} \ln Z_{2,m} - (\mu_1 - \mu_2) }{ V_{m,n,\rho}}, \quad n, m \in \mathbb{N}. \end{equation} $
我们首先得到了关于 $ R_{m,n} $
定理 2.1 对任意的 $x \in \mathbb{R}$
以下定理给出了 $ R_{m,n} $
定理 2.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 设 $\delta^{'}$ $\delta^{'}\in (0,\delta)$ $x \in \mathbb{R}$
(2.2) $ \begin{equation} \Big|\mathbb{P} \big( R_{m,n} \leq x \big) - \Phi(x) \Big| \leq \frac{ C }{ (m\wedge n)^{\delta/2} }\frac{ 1 }{ 1+|x|^{1+\delta'} }. \end{equation} $
注 2.1 根据 (4.1) 式和引理 4.3, 当条件 (A1) 和 (A2) 成立时, $R_{m,n}$ $1+\delta'$ $\ \delta' \in (0, \delta)$ . 这就解释了为什么当 $x \rightarrow \infty$ $ |x|^{-1-\delta'} $ $ |x|^{-2-\delta} $ .
以下的推论是定理 2.2 的直接结果, 它给出了 $R_{m,n}$ $1$ $\mu$ $\nu$ $1$
其中, $\mathcal{L}(\mu, \nu)$ $\mu$ $\nu$ $\mu_M$ $M$ $\nu$
推论 2.1 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立, 则下式成立
根据定理 2.2, 我们还可以得到关于 $R_{m,n}$
推论 2.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立, 则下式成立
(2.3) $ \begin{equation} \sup_{x\in \mathbb{R}} \Big|\mathbb{P}\big( R_{m,n} \leq x \big) - \Phi(x) \Big| \leq \frac{ C }{ (m\wedge n)^{\delta/2} }. \end{equation} $
注意到, 当 $m\rightarrow \infty$ $\frac{1}{m} \ln Z_{2,m}$ $\mu_2 $ $R_{m,n} $ $R_{\infty,n}:=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}R_{m,n}=\displaystyle \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 }{ \sigma_1 \sqrt{ n } } $ . 因此, 当 $m\rightarrow \infty$ 15 ] 中的 Berry-Esseen 估计, 即
容易知道, 上式 Berry-Esseen 估计的收敛速度与具有 $2+\delta$
接下来,我们得到了 $R_{m,n}$
(A3) 随机变量 $M_{1,0} $ $M_{2,0} $ $\lambda_{0}>0$
根据 $M_{1,0}$ $M_{2,0}$ $ \mathbb{E} \big[ m_{1,0} ^{\lambda_0 } + m_{2,0} ^{\lambda_0 } \big] < \infty.$
对于 $R_{m,n}$
定理 2.3 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则对任意的 $0 \leq x < c\sqrt{ m\wedge n }$
(2.4) $ \begin{equation} \Bigg|\ln \frac{\mathbb{P} \big( R_{m,n} \geq x \big)}{1-\Phi(x)} \Bigg| \leq C \frac{ 1+x^3 }{\sqrt{ m \wedge n }}. \end{equation} $
注 2.2 由 $m$ $n$ $R_{m,n}$ $-R_{m,n}$
利用与文献 [12 ,推论 2.2] 类似的证明, 由定理 2.3 可以得到以下关于 $R_{m,n}$
推论 2.3 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 实数列 $\left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}$ $ m\wedge n\rightarrow \infty$ $a_n \rightarrow \infty$ $a_n/\sqrt{m\wedge n}\rightarrow 0.$ $B$
(2.5) $ \begin{equation} - \inf_{x \in B^o}\frac{x^2}{2} \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{a_n^2} \mathbb{P} \left( \frac{R_{m,n} }{ a_n } \in B \right) \\ \leq \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{a_n^2}\ln \mathbb{P} \left(\frac{ R_{m,n} }{ a_n } \in B \right) \leq - \inf_{x \in \overline{B}}\frac{x^2}{2}, \end{equation} $
其中 $B^o$ $\overline{B}$ $B$
利用定理 2.3 和不等式 $|{\rm e}^y-1| \leq {\rm e}^C |y|$ $|y| \leq C$ $ R_{m,n}$
推论2.4 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则当$ m\wedge n \rightarrow \infty$ $x \in [0, \, o((m \wedge n)^{1/6}))$
(2.6) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P} \big( R_{m,n} \geq x \big)}{1-\Phi(x)} =1+ o(1), \end{equation} $
并且当 $\mathbb{P} (R_{m,n} \geq x )/1-\Phi(x)$ $\mathbb{P} ( - R_{m,n} \geq x )/\Phi(-x)$
注2.3 当 $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\mu_1 = \mu_2, \ \sigma_1 = \sigma_2$ $\rho=0$ . 那么当 $m=n$ $ R_{n,n}=\frac{ \ln Z_{1,n}- \ln Z_{2,m} }{ \sqrt{2 n } \sigma_1 }$ $x\in \mathbb{R},$
然后, 根据推论 (2.4), 在条件 (A3) 和 (A4) 下, 当 $ n \rightarrow \infty$ $x \in [0, \, o(n^{1/6}))$
3 区间估计上的应用
在本节中, 我们对构造 $\mu_1-\mu_2$ $ \sigma_1, \sigma_2$ $ \rho$ $\mu_1-\mu_2$
定理3.1 设 $ \kappa_{m,n} \in (0,1)$ . 考虑以下两组条件
假设 (B1) 或 {(B2)} 成立, 则对充分大的 $n$ $ \left[A_{m,n},\, B_{m,n}\right] $ $ \mu_1-\mu_2 $ $ 1-\kappa_{m,n} $
证 假设条件 {(B1)} 成立. 由定理 2.2 可得, 当 $m\wedge n\rightarrow\infty$
(3.1) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P} \left(R_{m,n} > x\right)}{1-\Phi(x)}=1+o(1)\quad\text{和}\quad \frac{\mathbb{P} \left(R_{m,n} < -x\right)}{\Phi(-x)}=1+o(1) \end{equation} $
在 $ 0\leq x=o\left(\sqrt{\ln (m\wedge n) }\right)$ $ p\searrow 0 $
特别地, 当 $\kappa_{m,n}$ $\left(1-\kappa_{m,n}/2\right)$
且它是 $ \sqrt{\ln(m\wedge n) }$ $ m\wedge n\rightarrow \infty $
因此, 当 $ m \wedge n\rightarrow \infty $
上式表明当 $m \wedge n$ $[A_{m,n},\,B_{m,n}]$ $\mu_1-\mu_2$ $1-\kappa_{m,n}$
现在, 假设条件 {(B2)} 成立. 根据定理 2.3, 当 $m \wedge n\rightarrow\infty $
(3.2) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P} \left(R_{m, n}> x\right)}{1-\Phi(x)}=1+o(1)\quad\text{和}\quad \frac{\mathbb{P} \left(R_{m, n} <-x\right)}{\Phi(-x)}=1+o(1) \end{equation} $
在$ 0\leq x=o( (m\wedge n)^{1/6})$ $\kappa_{m,n}$ $(1-\kappa_{m,n}/2)$
并且它是 $(m\wedge n)^{1/6}$
由上式可知, 定理 3.1 的结论仍然成立. 证毕.
如果分支过程 $\left(Z_{1, n}\right)_{ n \geq 0}$ $\left(Z_{2, n}\right)_{ n \geq 0}$ $\sigma_1^2$
定理3.2 设 $\kappa_{n, n} \in(0,1)$ . 若 (B1) 或 (B2) 成立, 则对充分大的 $n$ $\left[A_{m,n},\, B_{m,n}\right] $ $ \sigma_{1}^2 $ $ 1-\kappa_{m,n} $
这里 $\chi_{q}^{2}(1)$ $q$
证 假设 (B1) 成立. 根据定理 2.2, 当 $n\rightarrow \infty$
(3.3) $ \begin{equation} \frac{\mathbb{P} \left(\frac{\left(\ln Z_{1, n}-\ln Z_{2, n}\right)^{2}}{2 n \sigma_{1}^{2}}>x\right)}{\mathbb{P} \left(\chi^{2}(1) \geq x\right)}=1+o(1) \end{equation} $
在 $0 \leq x=o(\sqrt{\ln n})$ $n\rightarrow \infty$
上式表明当 $n$ $[A_{n},\,B_{n}]$ $\sigma_{1}^{2}$ $1-\kappa_{n,n}$
当 (B2) 成立时, 可利用与上述证明类似的方法即可完成定理 3.2 的证明.
4 定理的证明
那么在退火分布 $\mathbb{P} $ $\left(W_{1, n}\right)_{n \geq 0}$ $\left(W_{2, n}\right)_{n \geq 0}$ $\sigma$ - 代数流
的非负鞅. 根据 Doob 鞅收敛定理和 Fatou 引理可知, 极限
存在并且满足 $\mathbb{E} W_{i, \infty} \leq 1$ . 条件 (1.1) 和 (1.2) 共同表明 $\mathbb{P} (W_{l,n}>0)=\mathbb{P} \left(Z_{l,n} \rightarrow \infty\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left(Z_{l,n}>0\right)=1,$ $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ $\{W_{l,n}\}_{n\geq1}$ $W_{l, \infty}$ ( 见文献 [3 ,25 ]).
为了简化符号, 不一般性, 我们假设 $m\leq n$ . 在下文中, 我们记
(4.1) $ \begin{equation} R_{m,n}=\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i} +\frac{\ln W_{1, n}}{ n\, V_{m,n,\rho} \ } - \frac{\ln W_{2,m}}{ m\, V_{m,n,\rho} \ }. \end{equation} $
设 $Y_{i}=\eta_{m, n, i}+\eta_{m, n, n+i}, \ i=1, \cdots, m, \ \text { 和 } \ Y_{i}=\eta_{m, n, i}, \ i=m+1, \cdots, n. $ $\left(Y_{i}\right)_{1 \leq i \leq n}$
此外, 当 $m \rightarrow \infty$
(4.2) $ \begin{equation} R_{m,n}=\sum\limits_{i=1}^n Y_i +\frac{\ln W_{1, n}}{ n\, V_{m,n,\rho} \ } - \frac{\ln W_{2,m}}{ m\, V_{m,n,\rho} \ }. \end{equation} $
4.1 定理 2.1 的证明
证 不失一般性, 假设 $ m\leq n $ . 由独立随机变量的中心极限定理, 当 $m \rightarrow \infty$ $\sum\limits_{i=1}^{n+m}\eta_{ m,n, i}$ $ l=1,2 $ $n \rightarrow \infty$ $W_{l,n}$ $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ $W_{l, \infty}.$ $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$ $m \rightarrow \infty$ $\frac{\ln W_{1, n}}{n V_{m, n, \rho}}$ $\frac{\ln W_{2, m}}{m V_{m, n, \rho}}$ $ 0 $ . 因此, 根据 (4.9) 式, 当 $m \rightarrow \infty$ $R_{m, n}$
4.2 定理 2.2 的准备引理
在定理的证明中, 我们需要以下关于独立随机变量之和的非一致性 Berry-Esseen 估计. 见文献 [6 ,9 ].
引理4.1 设 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$
其中常数 $\delta \in(0, 1]. $ $\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbb{E} Y_{i}^{2}=1$ . 则对任意的 $ x \in \mathbb{R}$
考虑 $W_{1,\infty}$ $W_{2,\infty}$ $ t>0 $
由于 $W_{i, \infty} \geq 0$ $ \mathbb{P} $ - a.s., 有 $\phi_i(t) \in(0,1], i=1,2.$ $\phi_i(t), i=1,2$
引理4.2 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对于 $i=1,2,$
证 设 $ i=1,2 $ . 引入位移运算符 $ T^{n} $ $T^{n}\left(\xi_{i, 0}, \xi_{i, 1}, \cdots \right)=\left(\xi_{i, n}, \xi_{i, n+1}, \cdots \right), n\geq 1 $ . 对任意给定的 $ k\geq 0 $
特别地, 我们有 $\Pi_{i,n}=\Pi_{i,n}\left(T^{0}\xi_{i}\right)$ . 接下来, 我们借鉴 Grama 等[16 ] 的方法来完成此定理的证明. 由文献 [16 ,(3.15) 式], 可证明对任意的 $t>0 $ $n\geq1 $
(4.3) $ \begin{matrix} \phi_{i}(t) \leq \ & \mathbb{E}\phi_{i}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}\right)\prod_{j=0}^{n-1}\left(p_{1}(\xi_{i,j})+(1-p_{1}(\xi_{i,j}))\beta_{K}\right) \nonumber \\ & + \frac{1}{K}\mathbb{E}\left[\phi_{i, T^{n}\xi_{i}}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}\right)\left(\mathbb{E}_{T^{n}\xi_{i}}W_{i,\infty}^{p}\right)\right] + \mathbb{P}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}<t_{K}\right), \end{matrix} $
其中 $ t_{K}:=(CK)^{-1/(p-1)} $ $C$ $K$
(4.4) $ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\phi_{i,T^{n}\xi_{i}}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}\right)\mathbb{E}_{T^{n}\xi_{i}}W_{i,\infty}^{p} \right]\leq \mathbb{E}\phi_{i}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}\right)\!+\!\sum\limits_{k=0}^{\infty}\mathbb{E}\frac{\phi_{i}\left(t/\Pi_{i,k+1}(T^{n}\xi_{i})\Pi_{i,n}(\xi_{i})\right)}{\Pi_{i,k}^{p-1 }(T^{n}\xi_{i})}\frac{m_{i,k}^{(p)}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{m_{i,k}^{p}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}. \end{equation} $
设 $p\in(1, 2]$ . 对给定的 $n,\ K$ $ \widetilde{N}_{i, n, K}$ $g$
(4.5) $ \begin{matrix} \mathbb{E}g(\widetilde{N}_{i, n, K})&=&\frac{1}{q_{i,n,K}}\left[\mathbb{E}g\left(\frac{1}{\Pi_{i,n}}\right)\prod_{j=0}^{n-1}\left(p_{1}(\xi_{i,j})+(1-p_{1}(\xi_{i,j}))\beta_{K}\right)\right. \notag\\ &&+\left. \frac{1}{K }\mathbb{E}g\left(\frac{1}{\Pi_{i,n}}\right)+\frac{1}{K }\sum\limits_{k=0}^{\infty}\mathbb{E}\frac{g\left( \frac{1}{ \Pi_{i,k+1}\left(T^{n}\xi_{i}\right)\Pi_{i,n}\left(\xi_{i}\right)}\right)}{\Pi_{i,k}^{p-1 }\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\frac{m_{i,k}^{(p)}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{m_{i,k}^{p}\left(T^{n}\xi_{i}\right)} \right], \end{matrix} $
其中 $ q_{i,n,K}$ $ g =1$ $ \mathbb{E} g(\widetilde{N}_{i, n, K})=1$
(4.6) $\begin{gathered} q_{i,n,K} \begin{aligned}=\mathbb{E}\Big[\prod_{j=0}^{n-1}\left(p_{1}(\xi_{i,j})+(1-p_{1}(\xi_{i,j}))\beta_{K}\right)\Big]+\frac{1}{K}\left[1+\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{E}\frac{1}{\Pi_{i,k}^{p-1}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\frac{m_{i,k}^{(p)}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{m_{i,k}^{p-1}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\right]\end{aligned} \\ =\left[\mathbb{E}\left(p_{1}(\xi_{i,0})+(1-p_{1}(\xi_{i,0}))\beta_{K}\right)\right]^{n}+\frac{1}{K}\left[1+\frac{1}{1-\mathbb{E}m_{i,0}^{-(p-1)}}\mathbb{E}\Big(\frac{m_{i,0}^{(p)}}{m_{i,0}^{p}}\Big)\right]. \end{gathered}$
上式来自文献 [16 ,(3.21) 式]. 综合 (4.3)-(4.5) 式, 可得
(4.7) $ \begin{matrix} \phi_{i}(t)\leq q_{i,n,K}\mathbb{E}\phi_{i}(\widetilde{N}_{i, n, K}t)+\mathbb{P}\left(\frac{t}{\Pi_{i,n}}<t_{K}\right). \end{matrix} $
选择常数 $A_{i}$ $\ln A_{i}>\mu_{i}$ $A_{i}>1$ . 当 $A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2}$ $K=K_{i,n}=((n + 1)\ln A_{i} )^{1+\delta} $ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{t_{K_{i,n}}} = 1$ . 并且由 Fuk-Nageav 不等式(见文献 [11 ,推论 2.5], $p=2+\delta,\;V^2=O(n)$ $C_p=O(n)$ ) , 我们有, 当 $n$
(4.8) $ \begin{matrix} \mathbb{P}\Big(\frac{t}{\Pi_{i,n}}<t_{K_{i,n}}\Big) &=\mathbb{P}\Big(\Pi_{i,n}>\frac{t}{t_{K_{i,n}}}\Big) \leq \mathbb{P}\Big(S_{i,n}-n \mu_{i} > n(\ln \frac{A_{i}}{\sqrt[n]{t_{K_{i,n}}}} -\mu_{i})\Big) \nonumber\\ &\leq \exp \left\{-c n c_i^2\right\}+C_1 \frac{n c_i^{2+\delta}}{n^{2+\delta}} \\ \leq \frac{C}{n^{1+\delta}}, \end{matrix} $
其中 $S_{i, n}=\sum\limits_{j=1}^{n} M_{i, j-1}$ $c_i=\ln \frac{A_i}{\sqrt[n]{t_{K_{i, n}}}}-\mu_i,\; i=1,2.$ $t\geq A_{i}^{2}$ $n$ $ A_{i}^{n+1}\leq t< A_{i}^{n+2},$
那么由 (4.8) 式, 对任意的 $ A_{i}^{n+1}\leq t< A_{i}^{n+2},$
(4.9) $ \begin{equation} \mathbb{P}\Big(\frac{t}{\Pi_{i,n}}<t_{K_{i,n}}\Big)\leq \frac{C}{n^{1+\delta}} < C\left(\frac{\ln t }{\ln A_{i}}-2\right)^{-1-\delta} \leq \frac{C}{(\ln t)^{1+\delta}}. \end{equation} $
注意到 $0\leq \phi_{i}(t)\leq 1\ (t>0)$ . 所以由 (4.7) 和 (4.9) 式, 我们有
(4.10) $ \begin{matrix} \phi_{i}(t)&\leq& \sum\limits_{n=1}^{\infty}q_{n,K_{i,n}} \mathbf{1}_{\{ A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2} \} } +\frac{C}{1+(\ln^+ t)^{1+\delta}}. \end{matrix} $
由 $q_{i,n,K}$ $ A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2}$
(4.11) $ \begin{matrix} q_{i,n,K_{i,n}} \leq \, \frac{C}{1+(\ln^+ t)^{1+\delta}}. \end{matrix} $
最后, 由 (4.10) 和 (4.11) 式可得对任意的 $t > 0$
Grama 等[15 ] (定理 3.1) 得到了以下结果: $ \phi(t) \leq C t^{-\alpha},\; t>0$ $\alpha$ [15 ] 中定理 3.1 的条件 (A3) 却比本文中的条件 (A1) 更严格.
我们还得到了以下关于 $\ln W_{i, \infty}$ $\ln W_{i, n }\ (i=1,2)$ $\mathbb{L}^p(\mathbb{P})$ [15 ] 中的引理 2.3 已经证明了 $ q\in (1, 1+\delta/2)$ $ q\in (1, 1+\delta/2)$ $ q\in (1, 1+\delta )$ .
引理4.3 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对 $i=1,2$ $q\in(1, 1+\delta)$
(4.12) $ \begin{equation} \mathbb{E} |\ln W_{i, \infty}|^q<\infty \end{equation} $
(4.13) $ \begin{equation} \sup_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{E} |\ln W_{i, \infty}|^q <\infty. \end{equation} $
证 设 $i=1,2$ . 考虑关于 $\mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q$
(4.14) $ \begin{equation} \mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q=\mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q \mathbf{1}_{\{W_{i, \infty}>1\}}+ \mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q \mathbf{1}_{\{W_{i, \infty}\leq1\}}. \end{equation} $
(4.15) $ \begin{equation} \mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q \mathbf{1}_{\{W_{i, \infty}>1\}}\leq C\, \mathbb{E}W_{i, \infty}<\infty. \end{equation} $
(4.16) $ \begin{matrix} \mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q\mathbf{1}_{\{W_{i, \infty}\leq1\}}&=&\, q\int_1^{\infty}\frac{1}{t}(\ln t)^{q-1}\mathbb{P}(W_{i, \infty}\leq t^{-1}){\rm d}t \notag \\ &\leq&\, q\, {\rm e}\int_1^{\infty}\frac{\phi_{i}(t)}{t}(\ln t)^{q-1}{\rm d}t\notag\\ &=&q\, {\rm e}\left(\int_1^{e}\frac{\phi_{i}(t)}{t}(\ln t)^{q-1}{\rm d}t+\int_{\rm e}^{\infty}\frac{\phi_{i}(t)}{t}(\ln t)^{q-1}{\rm d}t\right). \end{matrix} $
(4.17) $ \begin{equation} \int_1^{\rm e}\frac{\phi_{i}(t)}{t}(\ln t)^{q-1}{\rm d}t<\infty. \end{equation} $
那么由引理 4.2 以及条件 $q<1+\delta,$
(4.18) $ \begin{equation} \int_{\rm e}^{\infty}\frac{\phi_{i}(t)}{t}(\ln t)^{q-1}{\rm d}t\leq\, C \int_{\rm e}^{\infty}\frac{1}{t(\ln t)^{2+\delta-q}}{\rm d}t<\infty. \end{equation} $
然后将 (4.17) 和 (4.18) 式代入 (4.16) 式,
(4.19) $ \begin{equation} \mathbb{E}|\ln W_{i, \infty}|^q \mathbf{1}_{\{W_{i, \infty}\leq1\}}<\infty. \end{equation} $
综合 (4.14), (4.15) 式以及 (4.19) 知 (4.12) 式成立.
接下来, 证明 (4.13) 式. 由于函数 $x\mapsto\left|\ln^q(x)\textbf{1}_{\{x\leq1\}}\right|$ $q>1$ 18 ] 中的引理 2.1, 我们有
通过类似于 $\mathbb{E}\left|\ln W\right|^q$
以下结果来自文献 [15 ,引理 2.4], 其详细证明可参考文献 [15 ].
引理4.4 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则存在常数 $\gamma\in(0,1)$ $\,n\geq0$
在定理 2.2 的证明中, 以下引理起着关键作用.
引理4.5 假设条件 (A1) 和 (A2) 成立. 则对任意的 $ x\in \mathbb{R}$ $\delta^{'}\in(0,\delta)$
(4.20) $ \begin{equation} \mathbb{P} \left(R_{m,n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i}\geq x\right) \leq \frac{C}{(m \wedge n)^{\delta / 2}}\frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{'}}} \end{equation} $
(4.21) $ \begin{equation} \mathbb{P} \left(R_{m,n} \geq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i}\leq x\right) \leq \frac{C}{(m \wedge n)^{\delta / 2}}\frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{'}}}. \end{equation} $
证 由于 (4.21) 式的证明方法与 (4.20) 式类似, 在此仅证明 (4.20) 式. 不失一般性, 不妨假设 $m\leq n$ .
首先证明对任意的$x\leq-C m^{1/2}$
(4.22) $ \begin{equation} R_{m,n} = \frac{ \log Z_{1,n} -n \mu_1 }{ n V_{m,n, \rho}} - \frac{ \log Z_{2,m} - m\mu_2 }{m V_{m,n, \rho}},\ \ \quad m,n \in \mathbb{N}. \end{equation} $
则对任意的 $x \in \mathbb{R},$
(4.23) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left(R_{m,n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i}\geq x\right) \ \leq \ \mathbb{P} \left(R_{m,n} \leq x\right) \ \leq \ P_1 + P_2, \end{matrix} $
因为 $Z_{1,n} \geq 1$ $\mathbb{P} $ - a.s. 且 $ V_{m,n, \rho}\asymp m^{-1/2}\ (m\rightarrow \infty)$ $C$
由此可得对任意的 $x \leq -C m^{1/2}$ $P_1=0$ . 对于 $P_2,$ $ \mathbb{E} W_{2,m} =1$ $x\leq -C m^{1/2},$
(4.24) $ \begin{matrix} P_2 &\leq & \mathbb{P} \bigg( \sum\limits_{j=1}^{m} \eta_{m,n,n+j} \leq -\frac{ |x|} 4 \bigg) + \mathbb{P} \left( \frac{\log W_{2,m}}{ m\, V_{m,n,\rho} \ } \geq \frac{ |x|} 4 \right) \nonumber \\ &\leq & \mathbb{P} \bigg( \sum\limits_{j=1}^{m} \eta_{m,n,n+j} \leq -\frac{ |x|} 4 \bigg) + \exp\Big\{ - \frac{ |x|} 4 m\, V_{m,n,\rho} \Big\} \mathbb{E} W_{2,m} \nonumber \\ &\leq & \frac{C}{m^{\delta / 2}}\frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix} $
故, 对任意的 $x\leq - C m^{1/2}$
然后证明对任意的 $x\geq C m^{1/2}$ $ x\geq0 $
将引理 4.1 应用于上述不等式可知, 对任意的 $ x\geq 0 $
(4.25) $ \begin{matrix} &&\sum\limits_{i=1}^m \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, i}+\eta_{m, n, n+i}\right|^{2+\delta}+\sum\limits_{i=m+1}^n \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, i}\right|^{2+\delta} \nonumber\\ &\leq& C_1\bigg(\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, i}\right|^{2+\delta}+\sum\limits_{i=1}^m \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, n+i}\right|^{2+\delta}\bigg). \end{matrix} $
注意到, 当 $ m \rightarrow \infty $ $ V_{m, n, \rho} \asymp m^{-1 / 2} $ . 故由不等式
(4.26) $ \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2 {\rm \pi}}(1+x)} {\rm e}^{-x^{2} / 2} \leq 1-\Phi(x) \leq \frac{1}{\sqrt{\rm \pi}(1+x)} {\rm e}^{-x^{2} / 2}, \quad x \geq 0, \end{equation} $
可得, 对任意的 $x\geq C m^{1/2},$
(4.27) $ \begin{matrix} && \mathbb{P} \bigg(R_{m,n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i}\geq x\bigg) \\ &\leq&\frac{C_2}{m^{\delta / 2}}\frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}+ \frac{C_3}{ 1+|x| ^{2+\delta}} \left( \frac{n}{n^{2+\delta} m^{-1 -\delta/2} } + \frac{m}{m^{2+\delta} m^{-1 -\delta/2} } \right) \nonumber \\ &\leq&\frac{C}{m^{\delta / 2}}\frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix} $
这就证明了对任意的 $|x|\geq C m^{1/2}$
最后证明对任意的 $ |x| < C m^{1/2}$ $ k \in[m-1]$
再设 $ \alpha_{m}= m^{-\delta/2}$ $k=[ m^{1-\delta/2} \,]$ $ [t]$ $t$ $ x \in \mathbb{R}$
(4.28) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \bigg(R_{m,n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i}\geq x\bigg) &=&\mathbb{P} \left(Y_{m,n,0}+H_{m,n,k}+D_{m, n, k}\leq x, Y_{m,n,0}\geq x\right) \notag \\ &\leq& \mathbb{P} \left(Y_{m,n,0}+H_{m,n,k}\leq x+ \alpha_{m}, Y_{m,n}\geq x\right) \\ && +\ \mathbb{P} \left(|D_{m, n, k}|\geq \alpha_{m}\right).\notag \end{matrix} $
对于尾部概率 $\mathbb{P} \left(|D_{m, n, k}|\geq \alpha_{m}\right)$ $ \gamma \in (0, 1)$ $ - m < x < m$
(4.29) $\begin{matrix} \mathbb{P} \left(\left|D_{m, n, k}\right|>\alpha_{m}\right) & \leq \frac{\mathbb{E} \left|D_{m, n,k}\right|}{\alpha_{m}}\notag\\ &=\frac{m^{ \delta/2} }{V_{m,n,\rho}}\mathbb{E} \Bigg| \left[\left(\frac{\log W_{1, n}}{n}-\frac{\log W_{1, \infty}}{n}\right) - \left(\frac{\log W_{2,n}}{m}-\frac{\log W_{2,\infty}}{m}\right)\right]\notag\\ &\quad\ -\left[\left(\frac{\log W_{1, k}}{n}-\frac{\log W_{1, \infty}}{n}\right) - \left(\frac{\log W_{2,k}}{m}-\frac{\log W_{2, \infty}}{m}\right)\right]\Bigg| \notag\\ &\leq\frac{m^{ \delta/2} }{V_{m,n,\rho}}\Bigg( \mathbb{E} \left|\frac{\log W_{1, n}}{n}-\frac{\log W_{1, \infty}}{n}\right| + \mathbb{E} \left|\frac{\log W_{2,n}}{m}-\frac{\log W_{2,\infty}}{m}\right| \notag\\ &\quad\ + \mathbb{E} \left|\frac{\log W_{1, k}}{n}-\frac{\log W_{1, \infty}}{n}\right| + \mathbb{E} \left|\frac{\log W_{2,k}}{m}-\frac{\log W_{2, \infty}}{m}\right| \Bigg) \notag\\ & \leq C_1 \, m^{(1+ \delta)/2 } \left( \frac1n \gamma ^{n} + \frac1m \gamma ^{n}+ \frac1n \gamma ^{k} + \frac1m \gamma ^{k} \right) \nonumber \\ & \leq \frac{C_2 }{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix}$
由于 $ Y_{m, n,k} $ $(\tilde{Y}_{m,n, k},H_{m,n,k}) $
(4.30) $ \begin{matrix} &&\mathbb{P} \left(Y_{m,n,0}+H_{m,n,k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m,n,0} \geq x\right)\notag \\ &=&\mathbb{P} \left(Y_{m,n,k}+\tilde{Y}_{m,n, k} +H_{m,n,k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m,n,k}+ \tilde{Y}_{m,n, k} \geq x\right) \notag\\ &=& \iint \mathbb{P} \left(Y_{m, n,k}+s+t \leq x+\alpha_{m}, Y_{m,n,k}+s \geq x\right) v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t) \notag\\ &=& \iint \mathbf{1}_{\{t \leq \alpha_{m}\}}\Big(G_{m, n,k}\left(x-s-t+\alpha_{m}\right)-G_{m, n,k}(x-s)\Big) v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t). \end{matrix} $
记 $ C_{m,n,k}^2= \textrm{Var} (Y_{m,n,k}).$ $ m \rightarrow \infty$ $ C_{m,n,k}^{2}= 1 + O(k/n) \nearrow 1 $ . 利用引理 4.1 和 (4.25) 式, 可以得到, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
由此可知, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
因此, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
(4.31) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left(Y_{m,n,0}+H_{m,n,k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m,n,0} \geq x\right) \leq J_{1}+J_{2} +J_3, \end{matrix} $
对于 $J_{1}$ $x \in \mathbb{R},$
(4.32) $ \begin{matrix} J_{1}&\leq C\iint |\alpha_{m}-t|\exp\left\{-\frac{x^{2}}{8}\right\} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)+ \iint |\alpha_{m}-t|\mathbf{1}_{\{|s| \geq 1+ \frac{1}{4 }|x| \}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\nonumber\\ &\quad\ +\iint |\alpha_{m}-t|\mathbf{1}_{\{|t| \geq 1+ \frac{1}{4 }|x| \}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\nonumber\\ &:= J_{11}+ J_{12}+ J_{13}, \end{matrix} $
由引理 4.3 可知, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
(4.33) $ \begin{matrix} J_{11}& \leq & C_1 \exp\left\{-\frac{x^{2}}{8}\right\} \left( \alpha_{m}+ \mathbb{E} | H_{m,n,k}| \right) \leq \frac{C_2}{m^{\delta/ 2}} \frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix} $
并且容易看出, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
记 $\tilde{C}_{m,n,k}^2= \textrm{Var}(\tilde{Y}_{m,n, k} ),$ $\tilde{C}_{m, n, k}^{2} \asymp \frac{1}{m^{\delta / 2}}.$ $\delta^{'}\in (0,\delta).$ $x\in \mathbb{R},$
(4.34) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left( |\tilde{Y}_{m,n, k} | \geq 1+ \frac{1}{4 }|x| \right) &=&\mathbb{P} \left( \frac{\tilde{Y}_{m,n, k} }{\tilde{C}_{m,n,k} } \geq \frac{1+|x|/4}{ \tilde{C}_{m,n,k} } \right)+\mathbb{P} \left( \frac{\tilde{Y}_{m,n, k} }{\tilde{C}_{m,n,k} } \leq -\frac{1+|x|/4}{ \tilde{C}_{m,n,k} } \right)\notag\\ &\leq& 1-\Phi\left(\frac{1+|x|/4}{ \tilde{C}_{m,n,k} }\right)+\Phi\left(-\frac{1+|x|/4}{ \tilde{C}_{m,n,k} }\right)\notag\\ &&+ \frac{C}{1+ \Big| \frac{1+|x|/4}{ \tilde{C}_{m,n,k} }\Big|^{2+\delta}} \sum\limits_{i=1}^{k}\mathbb{E} \Big|\frac{\eta_{m, n, i}+\eta_{m, n, n+i}}{\tilde{C}_{m,n,k} } \Big|^{2+\delta} \notag\\ &\leq & \frac{C_1}{1+|x|^{2+\delta}} \frac{1}{m^{\delta(2+\delta) / 4}} \frac{1}{k^{\delta / 2}} \leq \frac{C_{2}}{1+|x|^{2+\delta}} \frac{1}{m^{\delta}}. \end{matrix} $
令 $\tau=1+\frac{\delta+\delta^{\prime}}{2+2 \delta-\delta^{\prime}}$ $\iota$ $\frac{1}{\tau}+\frac{1}{\iota}=1$ . 由Hölder不等式, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$
于是, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$
(4.35) $ \begin{equation} J_{12} \leq \frac{C_{3}}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{\prime}}}. \end{equation} $
然后考察 $J_{13}$ . 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
(4.36) $ \begin{matrix} J_{13} \leq \alpha_{m} \mathbb{P} \left(\left|H_{m, n, k}\right| \geq 1+\frac{1}{4}|x|\right)+\mathbb{E} \left|H_{m, n, k}\right| \mathbf{1}_{\left\{\left|H_{m, n, k}\right| \geq 1+\frac{1}{4}|x|\right\}}. \end{matrix} $
令 $p^{\prime}=1+\delta / 2$ $|x| \leq C m^{1 / 2},$
(4.37) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left(\left|H_{m, n, k}\right| \geq 1+\frac{1}{4}|x|\right) & \leq \frac{4^{p^{\prime}}}{1+|x|^{p^{\prime}}} \mathbb{E} \left|H_{m, n, k}\right|^{p^{\prime}} \leq \frac{C}{1+|x|^{p^{\prime}}} \frac{1}{m^{p^{\prime} / 2}} \leq \frac{C}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix} $
再由引理 4.3 并取 $p^{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(\delta+\delta^{\prime}\right)$
(4.38) $ \begin{matrix} \mathbb{E} \left|H_{m, n, k}\right| \mathbf{1}_{\left\{\left|H_{m, n, k}\right| \geq 1+\frac{1}{4}|x|\right\}} &\leq \frac{C_1}{1+|x|^{p^{\prime \prime}}} \mathbb{E} \left|H_{m, n, k}\right|^{1+p^{\prime \prime}} \\ & \leq \frac{C_2}{1+|x|^{p^{\prime \prime}}} \frac{1}{m^{\left(1+p^{\prime \prime}\right) / 2}} \leq \frac{C_3}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{\prime}}}. \end{matrix} $
将 (4.37) 和 (4.38) 式代入 (4.36) 式可得, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2},$
(4.39) $ \begin{equation} J_{13} \leq \frac{C^{\prime}}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{\prime}}}. \end{equation} $
因此, 将 (4.33), (4.35) 和 (4.39) 式代入 (4.32) 式可得, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2},$
(4.40) $ \begin{equation} J_{1} \leq \frac{C}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{\prime}}}. \end{equation} $
接下来考察 $ J_{2} $ . 通过与 (4.34) 式类似的证明过程, 可以得到, 对任意的 $ x\in\mathbb{R} $
对于 $ J_{3} $ $|x| \leq C m^{1 / 2}$
(4.41) $ \begin{matrix} J_{3}&=\frac{C_{1}}{m^{\delta / 2}} \iint 1_{\left\{t \leq \alpha_{m}\right\}} \frac{1}{1+|x-s-t|^{2+\delta}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t) \\ &\leq \frac{C_{1}}{m^{\delta / 2}}\bigg(\iint_{|s+t| \leq 2+|x| / 2} \frac{1}{1+|x / 2|^{2+\delta}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)+\iint_{|s|>1+|x| / 4} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t) \\ &\quad\ +\iint_{|t|>1+|x| / 4} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\bigg) \\ &\leq \frac{C_{2}}{m^{\delta / 2}}\left[\frac{1}{1+|x / 2|^{2+\delta}}+\mathbb{P} \left(\left|\frac{\tilde{Y}_{m, n, k}}{\tilde{C}_{m, n, k}}\right|>\frac{1+|x| / 4}{\tilde{C}_{m, n, k}}\right)+\mathbb{P} \left(\left|H_{m, n, k}\right|>1+\frac{|x|}{4}\right)\right] \\ &\leq \frac{C_{3}}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{2+\delta}}. \end{matrix} $
再将不等式 (4.40)-(4.41) 应用到 (4.31) 式中, 则对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$
(4.42) $ \begin{equation} \mathbb{P} \left(Y_{m, n, 0}+H_{m, n, k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m, n, 0} \geq x\right) \leq \frac{C}{m^{\delta / 2}} \frac{1}{1+|x|^{1+\delta^{\prime}}}. \end{equation} $
最后, 综合 (4.28), (4.29) 和 (4.42) 式, 对任意的 $|x| \leq C m^{1 / 2}$
4.3 定理 2.2 的证明
证 根据引理 4.1 和 $V_{m, n, \rho} \asymp \sqrt{m^{-1}+n^{-1}}$ $x \in \mathbb{R},$
(4.43) $ \begin{matrix} \left|\mathbb{P} \bigg(\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{ m,n, i} \leq x\bigg)\!-\!\Phi(x)\right| & \leq& \frac{C_{1}}{1\!+\!|x|^{2+\delta}}\bigg(\sum\limits_{i=1}^{m} \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, i}\!+\!\eta_{m, n, n+i}\right|^{2+\delta}\!+\!\sum\limits_{i=m+1}^{n} \mathbb{E} \left|\eta_{m, n, i}\right|^{2+\delta}\bigg) \nonumber \\ &\leq& \frac{C_{2}}{ 1+|x| ^{2+\delta}} \sum\limits_{i=1}^{m+n} \mathbb{E} \left| \eta_{ m,n, i}\right|^{2+\delta} \nonumber \\ &\leq& \frac{C_3}{ 1+|x| ^{2+\delta}} \left( \frac{n}{n^{2+\delta} \, ( \frac1n + \frac1m )^{(2+\delta)/2} } + \frac{m}{m^{2+\delta} \, ( \frac1n + \frac1m )^{(2+\delta)/2} } \right) \nonumber \\ &\leq& \frac{C}{ (m \wedge n)^{ \delta/2} } \frac{1}{ 1+|x| ^{2+\delta}}. \end{matrix} $
将 (4.43) 式应用到上述等式, 可以推出, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
最后由引理 4.5 可得, 对任意的 $x \in \mathbb{R},$
4.4 定理 2.3 的准备引理
为证明定理 2.3, 我们将用到以下引理 (见文献 [15 ,定理 3.1]). 该引理表明, 由条件 (A3) 和 (A4) 可以得到 $ W_{1,\infty}^{-1} $ $ W_{2,\infty}^{-1}$
引理4.6 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立. 则存在正数 $a_{0}$ $ \alpha\in (0,a_{0}) $
(4.44) $ \begin{matrix} \mathbb{E} W_{1, \infty}^{-\alpha}+\mathbb{E} W_{2, \infty}^{-\alpha}<\infty \end{matrix} $
(4.45) $ \begin{equation} \sup _{n \in \mathbb{N}}\left(\mathbb{E} W_{1, n}^{-\alpha}+\mathbb{E} W_{2, n}^{-\alpha}\right)<\infty. \end{equation} $
证 该证明是文献 [15 ,定理 3.1] 的另一种证明方法. 设 $ i=1,2 $ . 注意到
(4.46) $ \begin{matrix} \mathbb{E}W_{i, \infty}^{-\alpha} =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)} \int_{0}^{\infty} \phi_{i}(t) t^{\alpha-1}{\rm d}t =\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\left( \int_{0}^{1} \phi_{i}(t) t^{\alpha-1}{\rm d}t+ \int_{1}^{\infty} \phi_{i}(t) t^{\alpha-1}{\rm d}t\right), \end{matrix} $
其中 $\Gamma$ $0\leq \phi_{i}(t)\leq 1\; (t \geq 0)$ $a_{0}>0$
(4.47) $ \begin{equation} \int_{0}^{1} \phi_{i}(t) t^{a_{0}-1}{\rm d}t\leq C \int_{0}^{1} t^{a_{0}-1}{\rm d}t<\infty. \end{equation} $
接下来考虑第二项. 首先证明存在正数 $a_0$ $t>0 $
(4.48) $ \begin{equation} \phi_{i}(t)\leq \frac{C}{1+t^{a_0}}. \end{equation} $
该过程借鉴 Grama 等[16 ] 的方法. 引入 (4.5) 式定义的随机变量 $\widetilde{N}_{i, n, K}$ . 由 (4.7) 式可知, 对任意的 $t> 0$
(4.49) $ \begin{matrix} \phi_{i}(t)\leq q_{l,n,K}\mathbb{E}\phi_i(\widetilde{N}_{i, n, K}t)+\mathbb{P}\Big(\frac{t}{\Pi_{i,n}}<t_{K}\Big). \end{matrix} $
设 $p\in(1,2]$ . 由 (4.5) 式, 我们有
由于在概率测度 $ \mathbb{P} $ $ k\geq 0 $ $\Pi_{i,n}(\xi_{i}) $ $ \Pi_{i,k+1}(T^{n}\xi_{i}) $ $ \Pi_{i,k}(T^{n}\xi_{i}) $
(4.50) $\begin{aligned} q_{i,n,K}\mathbb{E}\tilde{N}_{i,n,K}^{-a}& =\mathbb{E}\left[\Pi_{i,n}^a\prod_{j=0}^{n-1}\left(p_1\left(\xi_{i,j}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i,j}\right)\right)\beta_K\right)\right] \\ &+\frac{1}{K}\mathbb{E}\Pi_{i,n}^{a}\mathbb{E}\left[1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Pi_{i,k+1}^{a}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{\Pi_{i,k}^{p-1}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\left(\frac{m_{i,k}^{(p)}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{m_{i,k}^{p}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\right)\right] \\ &=\mathbb{E}\prod_{j=0}^{n-1}\left[m_{i,j}^a\left(p_1\left(\xi_{i,j}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i,j}\right)\right)\beta_K\right)\right] \\ &+\frac{1}{K}\mathbb{E}\Pi_{i,n}^{a}\mathbb{E}\left[1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Pi_{i,k+1}^{a}\left(T^{n}\xi_{i,k}\right)}{\Pi_{i,k}^{p-1}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\left(\frac{m_{i,k}^{(p)}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}{m_{i,k}^{p}\left(T^{n}\xi_{i}\right)}\right)\right] \\ &=\left\{\mathbb{E}\left[m_{i,0}^a\left(p_1\left(\xi_{i,0}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i,0}\right)\right)\beta_K\right)\right]\right\}^n \\ &+\frac{\left(\mathbb{E}m_{i,0}^{a}\right)^{n}}{K}\left[1+\frac{1}{1-\mathbb{E}m_{i,0}^{a-(p-1)}}\mathbb{E}\left(\frac{m_{i,0}^{a}m_{i,0}^{(p)}}{m_{i,0}^{p}}\right)\right]. \end{aligned}$
注意到 $0 \leq m_{i, 0}^a\left(p_1\left(\xi_{i, 0}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i, 0}\right)\right) \beta_K\right) \leq m_{i, 0}^a$ $\mathbb{E} m_{i,0}^{\lambda_0}<\infty.$
又因为 $m_{i, 0} \geq 1$ $p>1$ $\lim _{a \searrow 0} \mathbb{E} m_{i, 0}^{a-(p-1)}=\mathbb{E} m_{i, 0}^{-(p-1)}$ . 当 $a \in(0, p-1]$ $0 \leq \frac{m_{i, 0}^a m_{i, 0}^{(p)}}{m_{i, 0}^p} \leq \frac{m_{i, 0}^{(p)}}{m_{i, 0}}$ . 由条件 (A4) 可知
由于$\beta_K \in(0,1)$ $\mathbb{E}\left[p_1\left(\xi_{i, 0}\right)+\left(1-p_1\left(\xi_{i, 0}\right)\right) \beta_K\right]<1$ . 由此可知
令 $n_0, K_{0}$ $ a_0 \in (0, \lambda_0)$ $q_{i, n_{0}, K_{0}} \mathbb{E} \widetilde{N}_{i, n_{0}, K_{0}}^{-a_{0}}<1$ . 再由 (4.49) 式与 Markov 不等式可得
(4.51) $ \begin{equation} \phi_{i}(t) \leq q_{i, n_{0}, K_{0}} \mathbb{E} \phi\left(\widetilde{N}_{i, n_{0}, K_{0}} t\right)+\mathbb{P}\left(\frac{t}{\Pi_{i, n_{0}}}<t_{K_{0}}\right) \leq q_{i, n_{0}, K_{0}} \mathbb{E} \phi\left(\widetilde{N}_{i, n_{0}, K_{0}} t\right)+\frac{C_{n_{0}, K_{0}}}{t^{a_{0}}}. \end{equation} $
注意到 $0\leq \phi_i(t)\leq 1\ (t>0)$ . 最后, 由 (4.51) 式以及文献 [21 ,引理 4.1] 可得, 对任意的 $t >0$
(4.52) $ \begin{equation} \int_{1}^{\infty} \phi_{i}(t) t^{\alpha-1}{\rm d}t \leq C \int_{1}^{\infty} t^{\alpha-a_{0}-1}{\rm d}t<\infty, \end{equation} $
综合 (4.46), (4.47) 和 (4.52), (4.44) 式得证.
接下来证明 (4.45) 式. 由于函数 $x\mapsto x^{-\alpha}\ (\alpha>0,\ x>0)$ 18 ,引理 2.1], 我们有
当条件 (A3) 和 (A4) 成立时, 我们有下列与引理 4.5 类似的结论.
引理4.7 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $|x| \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$
(4.53) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \bigg(R_{m, n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i} \geq x\bigg) \leq C \frac{1+x^{2}}{\sqrt{m \wedge n}} \exp \left\{-\frac{1}{2} x^{2}\right\} \end{matrix} $
(4.54) $ \begin{equation} \mathbb{P} \bigg(\left.R\right|_{m, n} \geq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i} \leq x\bigg) \leq C \frac{1+x^{2}}{\sqrt{m \wedge n}} \exp \left\{-\frac{1}{2} x^{2}\right\}. \end{equation} $
证 因为由条件 (A3) 和 (A4) 可以得到条件 (A1) 和 (A2). 则当 $ |x|\leq 1 $ $ 1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$
不失一般性, 不妨假设 $ m\leq n $ $Y_{m, n, k}$ $\tilde{Y}_{m, n, k}$ $H_{m, n, k}$ $ D_{m, n, k} $ . 设 $\alpha_{m}=m^{-1 / 2}$ $k=\left[m^{1 / 2}\right]$ . 由 (4.34) 式可得, 对任意的 $ x\in \mathbb{R} $
(4.55) $ \begin{matrix} & \mathbb{P}\bigg(R_{m, n} \leq x, \sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i} \geq x\bigg)\notag\\ \leq\ & \mathbb{P} \left(Y_{m, n, 0}+H_{m, n, k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m, n, 0} \geq x\right) +\mathbb{P} \left(\left|D_{m, n, k}\right| \geq \alpha_{m}\right). \end{matrix} $
对于 $\mathbb{P} \left(\left|D_{m, n, k}\right| \geq \alpha_{m}\right)$ $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.56) $ \begin{equation} \mathbb{P} \left(\left|D_{m, n, k}\right|>\alpha_{m}\right) \leq C \frac{x^{2}}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{1}{2} x^{2}\right\}. \end{equation} $
接下来给出 (4.55) 式右边第一项的上界估计. 继续沿用引理 4.5 中的记号, $G_{m, n, k}(x)$ $v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)$ $C_{m, n, k}^2=\operatorname{Var}\left(Y_{m, n, k}\right)$
根据独立随机变量的 Cramér 型中偏差与 Bernstein 不等式, 可以得到以下的非一致性 Berry-Esseen 估计: 对任意的 $ x\in \mathbb{R} $
由上述结果可得, 对任意的 $ x\in \mathbb{R} $
故对任意的 $ x\in \mathbb{R} $
(4.57) $ \begin{equation} \mathbb{P} \left(Y_{m, n, 0}+H_{m, n, k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m, n, 0} \geq x\right) \leq J_{1}+J_{2}+J_{3}, \end{equation} $
记 $\tilde{C}_{m, n, k}^{2}=\operatorname{Var}\left(\tilde{Y}_{m, n, k}\right)$ $m \rightarrow \infty$ $\tilde{C}_{m, n, k}^{2}=O(1 / \sqrt{m})$ . 对于 $ J_{1} $ $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.58) $ \begin{equation} J_{1} \leq J_{11}+J_{12}+J_{13}, \end{equation} $
由引理 4.3 知, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m},$
(4.59) $\begin{matrix} J_{11} \leq C_1\left(\alpha_m+\mathbb{E} \left|H_{m, n, k}\right|\right) \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\} \\ \leq \frac{C_2}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}. \end{matrix}$
对于 $J_{12}$, 容易看出, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,
利用 Bernstein 不等式可得, 对任意的 $ x\in \mathbb{R} $,
再由 Cauchy-Schwarz 不等式可得, 对任意的 $ x\in \mathbb{R} $,
因此, 对于任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,
(4.60) $\begin{equation} J_{12} \leq \frac{C}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}. \end{equation}$
考虑 $ J_{13} $. 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,
注意到 $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$ 以及 $\tilde{C}_{m, n, k} \asymp \frac{1}{m^{1 / 4}}$. 那么容易得到, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$,
利用引理 4.6 和 Markov 不等式并取 $ C_{0} $ $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
类似地, 对于 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
因此, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
再根据引理 4.6 和不等式 $|\ln x|^{2} \leq C_{\alpha}\left(x+x^{-\alpha}\right),\ (\alpha, x>0),$
利用 Markov 不等式和 Cauchy-Schwarz 不等式, 我们有, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$ $ C_{0} $
故对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.61) $ \begin{equation} J_{13} \leq \frac{C}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{1}{2} x^{2}\right\}. \end{equation} $
将 (4.59), (4.60) 和 (4.61) 式代入到 (4.58) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.62) $ \begin{equation} J_{1} \leq \frac{C}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}. \end{equation} $
对于 $ J_{2} $ $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.63) $ \begin{matrix} J_{2} &=C_{1} \iint 1_{\left\{t \leq \alpha_{m}\right\}} \frac{1+|x-s|^{2}}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{(x-s)^{2}}{2\left(1+\frac{C_{2}}{\sqrt{m}}|x-s|\right)}\right\} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t) \notag\\ & \leq \frac{C_{3}}{\sqrt{m}}\Bigg(\int_{|s| \leq|x| \tilde{C}_{m, n, k}}\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C_{4}}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\} v_{k}(\mathrm{d}s) \\ &\quad\ +\int_{|s|>|x| \tilde{C}_{m, n, k}}\left(1+x^{2}\right) v_{k}(\mathrm{d}s)\Bigg) \notag\\ & \leq \frac{C_{3}}{\sqrt{m}}\left[\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2 \left(1+\frac{C_{4}}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}+\mathbb{P} \left(\left|\frac{\tilde{Y}_{m, n, k}}{\tilde{C}_{m, n, k}}\right|>|x|\right)\right] \notag\\ & \leq \frac{C}{\sqrt{m}}\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}. \end{matrix} $
类似地, 对于 $J_{3}$ $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.64) $ \begin{matrix} &J_{3}=C_{1} \iint \mathbf{1}_{\left\{t \leq \alpha_{m}\right\}} \frac{1+|x-s-t|^{2}}{\sqrt{m}} \exp \left\{-\frac{(x-s-t)^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x-s-t|\right)}\right\} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\notag \\ &\leq \frac{C_{2}}{\sqrt{m}}\left(\iint\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\right. \notag\\ &\left.\quad+\iint_{|s|>|x| \tilde{C}_{m, n, k}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)+\iint_{|t|>C_{0}|x| \tilde{C}_{m, n, k}} v_{k}(\mathrm{d}s, \mathrm{d} t)\right) \notag\\ &\leq \frac{C_2}{\sqrt{m}}\left(\left(1+x^2\right) \exp \left\{-\frac{x^2}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}+\mathbb{P} \left(\left|\frac{\tilde{Y}_{m, n, k}}{\tilde{C}_{m, n, k}}\right|>|x|\right)\right. \notag\\ & \quad\left.+\mathbb{P} \left(\left|H_{m, n, k}\right|>C_0|x| \tilde{C}_{m, n, k}\right)\right)\notag\\ &\leq \frac{C_{4}}{\sqrt{m}}\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}. \end{matrix} $
将 (4.62)-(4.64) 式代入 (4.57) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
(4.65) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left(Y_{m, n, 0}+H_{m, n \mid k} \leq x+\alpha_{m}, Y_{m, n, 0} \geq x\right) \notag \\ & \leq \frac{C_{1}}{\sqrt{m}}\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left(1+\frac{C}{\sqrt{m}}|x|\right)}\right\}\notag \\ & \leq \frac{C_{1}}{\sqrt{m}}\left(1+x^{2}\right)\left(1+\frac{C_{2}}{\sqrt{m}}|x|^{3}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2}\right\} \notag\\ & \leq \frac{C_{3}}{\sqrt{m}}\left(1+x^{2}\right) \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2}\right\}. \end{matrix} $
综合 (4.55), (4.56) 和 (4.65) 式可得, 对任意的 $1 \leq|x| \leq \sqrt{\ln m}$
4.5 定理 2.3 的证明
现在, 我们通过下面的引理 4.8 和引理 4.9 分别给出定理 2.3 关于 $\mathbb{P} \left(R_{m, n} \geq x\right)/(1-\Phi(x)),$ $ x \geq 0$ $ m $ $ n $ $|\mathbb{P} \left(-R_{m, n} \geq x\right)/\Phi(x)|$ $m \wedge n \geq 2$ .
引理4.8 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $0 \leq x \leq$ $c \sqrt{m \wedge n}$
(4.66) $ \begin{equation} \ln \frac{\mathbb{P} \left(R_{m, n} \geq x\right)}{1-\Phi(x)} \leq C \frac{1+x^{3}}{\sqrt{m \wedge n}}. \end{equation} $
证 首先考虑 $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$
利用独立随机变量的 Cramér 型中偏差 (见文献 [(1) 式]) 可得, 对任意的 $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$
由上述不等式并利用 $\ln (1+x) \leq x, x \geq 0$ $0 \leq x \leq \sqrt{\ln (m \wedge n)}$
然后考虑 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$ $ x\in \mathbb{R} $ $ \alpha $
接下来将分别给出 $I_{1}$ $I_{2}$ $I_{3}$ $\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i}$ 10 ]) 可得, 对任意的 $1 \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$
利用不等式 (4.26) 可以得到, 对任意的 $x \geq 1$ $\varepsilon_{n} \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$
(4.67) $ \begin{matrix} \frac{1-\Phi\left(x\left(1-\varepsilon_{n}\right)\right)}{1-\Phi(x)} &=1+\frac{\int_{x\left(1-\varepsilon_{n}\right)}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} {\rm e}^{-t^{2} / 2} \mathrm{d} t}{1-\Phi(x)} \leq 1+\frac{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} {\rm e}^{-x^{2}\left(1-\varepsilon_{n}\right)^{2} / 2} x \varepsilon_{n}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}(1+x)} {\rm e}^{-x^{2} / 2}} \notag\\ & \leq 1+C x^{2} \varepsilon_{n} \exp \left\{C x^{2} \varepsilon_{n}\right\} \leq \exp \left\{2 C x^{2} \varepsilon_{n}\right\}. \end{matrix} $
注意到, 对任意的 $1 \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$ $V_{m, n, \rho} \asymp \frac{1}{\sqrt{m}}$ . 故
(4.68) $ \begin{equation} I_{1} \leq(1-\Phi(x)) \exp \left\{C \frac{x^{3}}{\sqrt{m \wedge n}}\right\}. \end{equation} $
再由 Markov 不等式, 容易得到, 对任意的 $x \geq \sqrt{\ln (m \wedge n)},$
(4.69) $ \begin{matrix} I_{2} =\mathbb{P} \left(W_{1, n} \geq \exp \left\{x^{2}\right\}\right) \leq \exp \left\{-x^{2}\right\} \mathbb{E} W_{1, n}=\exp \left\{-x^{2}\right\} \leq C \frac{1+x}{\sqrt{m \wedge n}}(1-\Phi(x)) \end{matrix} $
(4.70) $ \begin{matrix} I_{3} &=\mathbb{P} \left(W_{2, m} \leq \exp \left\{-\alpha^{-1} x^{2}\right\}\right) \leq \exp \left\{-x^{2}\right\} \mathbb{E} W_{2, m}^{-\alpha} \leq C \exp \left\{-x^{2}\right\} \notag\\ & \leq C \frac{1+x}{\sqrt{m \wedge n}}(1-\Phi(x)). \end{matrix} $
综合 (4.68)-(4.70) 式可得, 对任意的 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n},$
上式表明, 对任意的 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$
引理4.9 假设条件 (A3) 和 (A4) 成立, 则对任意的 $0 \leq x \leq$ $c \sqrt{m \wedge n}$
(4.71) $ \begin{equation} \ln \frac{\mathbb{P} \left(R_{m, n} \geq x\right)}{1-\Phi(x)} \geq-C \frac{1+x^{3}}{\sqrt{m \wedge n}}. \end{equation} $
证 下界的证明与上界的证明类似. 例如, 要证明当 $\sqrt{\ln (m \wedge n)} \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$
(4.72) $ \begin{matrix} \mathbb{P} \left(R_{m, n} \geq x\right)=\mathbb{P} \left(\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i}+\frac{\ln W_{1, n}}{n V_{m, n, \rho}}-\frac{\ln W_{2, m}}{m V_{m, n, \rho}} \geq x\right) \geq I_{4}-I_{5}-I_{6}, \end{matrix} $
并且 $ \alpha$ $ I_{4} $ $ I_{5} $ $ I_{6} $
参考文献
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Conditional limit theorems for intermediately subcritical branching processes in random environment
1
2014
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
1
1971
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
3
1971
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
... 条件 (1.2) 表明每个个体至少有一个后代. 条件 (1.1) 和条件 (1.2) 共同表明过程 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $\mu_1, \mu_2 >0$ ) 以及 $\mathbb{P} (Z_{1, n} \rightarrow \infty )=\mathbb{P} (Z_{2, n} \rightarrow \infty )=1$ 3 ,25 ]. ...
... 存在并且满足 $\mathbb{E} W_{i, \infty} \leq 1$ . 条件 (1.1) 和 (1.2) 共同表明 $\mathbb{P} (W_{l,n}>0)=\mathbb{P} \left(Z_{l,n} \rightarrow \infty\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left(Z_{l,n}>0\right)=1,$ $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ $\{W_{l,n}\}_{n\geq1}$ $W_{l, \infty}$ ( 见文献 [3 ,25 ]). ...
Upper large deviations for branching processes in random environment with heavy tails
2
2010
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
... [4 ], Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
On the survival probability for a class of subcritical branching processes in random environment
1
2017
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
On estimates of the remainder term in the central limit theorem
1
1966
... 在定理的证明中, 我们需要以下关于独立随机变量之和的非一致性 Berry-Esseen 估计. 见文献 [6 ,9 ]. ...
Limit theorems for strongly and intermediately supercritical branching processes in random environment with linear fractional offspring distributions
1
2014
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Cramér-type moderate deviations for Studentized two-sample U-statistics with applications
1
2016
... 当 $\mu_1$ $\mu_2$ [8 ] 考虑了这种类型的假设检验, 并建立了 Cramér 型中偏差. 在本文中, 我们研究 BPREs 的两个关键参数 $\mu_1$ $\mu_2$ . 注意到 $ \ln Z_{i, n}=\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k}+\ln \left(Z_{i, n} /\Pi_{i, n}\right), i=1,2 $ $ \frac{1}{n} \ln \left(Z_{i, n} / \Pi_{i, n}\right)$ $ 0 $ . 又因为 $\sum\limits_{k=1}^n M_{i, k},\; i=1,2$ $ m \wedge n \rightarrow \infty$ $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}$ $\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ $\mu_{1} $ $\mu_{2} $ . 因此, 要回答上述假设检验问题, 我们需要研究 $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{n} \ln Z_{2, n}$ $\frac{1}{n} \ln Z_{1, n}-\frac{1}{m} \ln Z_{2, m}$ $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}-\frac{1}{m} \sum\limits_{k=1}^m M_{2, k}$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\sum\limits_{k=1}^n M_{1, k}$ $\sum\limits_{k=1}^n M_{2, k}$ $U$
A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein's method
1
2001
... 在定理的证明中, 我们需要以下关于独立随机变量之和的非一致性 Berry-Esseen 估计. 见文献 [6 ,9 ]. ...
Cramér large deviation expansions for martingales under Bernstein's condition
1
2013
... 接下来将分别给出 $I_{1}$ $I_{2}$ $I_{3}$ $\sum\limits_{i=1}^{n+m} \eta_{m, n, i}$ 10 ]) 可得, 对任意的 $1 \leq x \leq c \sqrt{m \wedge n}$
Deviation inequalities for martingales with applications
1
2017
... 选择常数 $A_{i}$ $\ln A_{i}>\mu_{i}$ $A_{i}>1$ . 当 $A_{i}^{n +1}\leq t< A_{i}^{n +2}$ $K=K_{i,n}=((n + 1)\ln A_{i} )^{1+\delta} $ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{t_{K_{i,n}}} = 1$ . 并且由 Fuk-Nageav 不等式(见文献 [11 ,推论 2.5], $p=2+\delta,\;V^2=O(n)$ $C_p=O(n)$ ) , 我们有, 当 $n$
Self-normalized Cramér type moderate deviations for martingales
1
2019
... 利用与文献 [12 ,推论 2.2] 类似的证明, 由定理 2.3 可以得到以下关于 $R_{m,n}$
Exact convergence rate in the central limit theorem for a branching process in a random environment
1
2021
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Central limit theorems for a branching random walk with a random environment in time
1
2014
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Berry-Esseen's bound and Cramér's large deviation expansion for a supercritical branching process in a random environment
12
2017
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
... 对于单个上临界 BPRE, 例如 $\{Z_{1,n}\}_{n \geq 0}$ [15 ] 得到了以下关于 $Z_{1,n}$ $ p_{0}\left(\xi_{0}\right)=0$ $p>1$ $\rho \in (0,1]$ $ \mathbb{E} \big(\frac{Z_{1,1}}{m_{1,0}} \big )^{p} < \infty$ $\mathbb{E}M_{1,0}^{2+\rho} < \infty$ $\ln Z_{1,n}$
... 假设存在两个常数 $p>1$ $\lambda_0 >0 $ $ \mathbb{E} \frac{Z_{1,1}^{p}}{m_{1,0}} < \infty$ $\mathbb{E}{\rm e}^{\lambda_0 M_{1,0}} < \infty$ . Grama 等[15 ] 还建立了以下 Cramér 型中偏差展开式: 当 $n \rightarrow \infty$ $0 \leq x=o(\sqrt{n})$
... 容易看出, 将 $R_{m,n}$ $\frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 \ }{ \sigma_1 \sqrt{n}} $ [15 ] 中建立的 Cramér 型中偏差 (1.4) 和 (1.5) 式. 最后, 作为本文结果的应用, 我们讨论了关于 $\mu_1-\mu_2$
... 注意到, 当 $m\rightarrow \infty$ $\frac{1}{m} \ln Z_{2,m}$ $\mu_2 $ $R_{m,n} $ $R_{\infty,n}:=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}R_{m,n}=\displaystyle \frac{ \ln Z_{1,n} - n \mu_1 }{ \sigma_1 \sqrt{ n } } $ . 因此, 当 $m\rightarrow \infty$ 15 ] 中的 Berry-Esseen 估计, 即 ...
... Grama 等[15 ] (定理 3.1) 得到了以下结果: $ \phi(t) \leq C t^{-\alpha},\; t>0$ $\alpha$ [15 ] 中定理 3.1 的条件 (A3) 却比本文中的条件 (A1) 更严格. ...
... [15 ] 中定理 3.1 的条件 (A3) 却比本文中的条件 (A1) 更严格. ...
... 我们还得到了以下关于 $\ln W_{i, \infty}$ $\ln W_{i, n }\ (i=1,2)$ $\mathbb{L}^p(\mathbb{P})$ [15 ] 中的引理 2.3 已经证明了 $ q\in (1, 1+\delta/2)$ $ q\in (1, 1+\delta/2)$ $ q\in (1, 1+\delta )$ . ...
... 以下结果来自文献 [15 ,引理 2.4], 其详细证明可参考文献 [15 ]. ...
... ,引理 2.4], 其详细证明可参考文献 [15 ]. ...
... 为证明定理 2.3, 我们将用到以下引理 (见文献 [15 ,定理 3.1]). 该引理表明, 由条件 (A3) 和 (A4) 可以得到 $ W_{1,\infty}^{-1} $ $ W_{2,\infty}^{-1}$
... 证 该证明是文献 [15 ,定理 3.1] 的另一种证明方法. 设 $ i=1,2 $ . 注意到 ...
5
... 特别地, 我们有 $\Pi_{i,n}=\Pi_{i,n}\left(T^{0}\xi_{i}\right)$ . 接下来, 我们借鉴 Grama 等[16 ] 的方法来完成此定理的证明. 由文献 [16 ,(3.15) 式], 可证明对任意的 $t>0 $ $n\geq1 $
... 的方法来完成此定理的证明. 由文献 [16 ,(3.15) 式], 可证明对任意的 $t>0 $ $n\geq1 $
... 再由文献 [16 ,(3.18) 式], 可以得到 ...
... 上式来自文献 [16 ,(3.21) 式]. 综合 (4.3)-(4.5) 式, 可得 ...
... 该过程借鉴 Grama 等[16 ] 的方法. 引入 (4.5) 式定义的随机变量 $\widetilde{N}_{i, n, K}$ . 由 (4.7) 式可知, 对任意的 $t> 0$
Asymptotic behaviour of heavy-tailed branching processes in random environments
1
2019
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Moments, moderate and large deviations for a branching process in a random environment
3
2012
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
... 接下来, 证明 (4.13) 式. 由于函数 $x\mapsto\left|\ln^q(x)\textbf{1}_{\{x\leq1\}}\right|$ $q>1$ 18 ] 中的引理 2.1, 我们有 ...
... 接下来证明 (4.45) 式. 由于函数 $x\mapsto x^{-\alpha}\ (\alpha>0,\ x>0)$ 18 ,引理 2.1], 我们有 ...
Moments and large deviations for supercritical branching processes with immigration in random environments
1
2022
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Central limit theorem and convergence rates for a supercritical branching process with immigration in a random environment
1
2022
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Asymptotic properties of supercritical age-dependent branching processes and homogeneous branching random walks
1
1999
... 注意到 $0\leq \phi_i(t)\leq 1\ (t>0)$ . 最后, 由 (4.51) 式以及文献 [21 ,引理 4.1] 可得, 对任意的 $t >0$
Lower deviations of branching processes in random environment with geometrical offspring distributions
1
2013
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
On quantitative bounds in the mean martingale central limit theorem
1
2018
On branching processes in random environments
1
1969
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
A necessary and sufficient condition for a branching process in a random environment to grow like the product of its means
2
1988
... 条件 (1.2) 表明每个个体至少有一个后代. 条件 (1.1) 和条件 (1.2) 共同表明过程 $\left(Z_{1,n}\right)_{n\geq 0}$ $\left(Z_{2,n}\right)_{n\geq 0}$ $\mu_1, \mu_2 >0$ ) 以及 $\mathbb{P} (Z_{1, n} \rightarrow \infty )=\mathbb{P} (Z_{2, n} \rightarrow \infty )=1$ 3 ,25 ]. ...
... 存在并且满足 $\mathbb{E} W_{i, \infty} \leq 1$ . 条件 (1.1) 和 (1.2) 共同表明 $\mathbb{P} (W_{l,n}>0)=\mathbb{P} \left(Z_{l,n} \rightarrow \infty\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left(Z_{l,n}>0\right)=1,$ $\mathbb{L}^1(\mathbb{P} )$ $\{W_{l,n}\}_{n\geq1}$ $W_{l, \infty}$ ( 见文献 [3 ,25 ]). ...
1
2010
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Subcritical branching processes in a random environment without the Cramer condition
1
2012
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
Limit theorems for a supercritical branching process with immigration in a random environment
1
2017
... 随机环境下的分支过程 (BPRE) 最早由 Smith 和 Wilkinson[24 ] 引入, 该模型可用来描述独立同分布随机环境下的种群繁衍情况. 关于 BPRE 的极限理论吸引了许多学者的研究: Athreya 和 Karlin[2 ] ,[3 ] 得到了 BPRE 灭绝概率和极限定理的基本结果. 对于下临界的 BPRE, 研究对象主要集中在生存概率和条件概率的极限定理, 见 Vatutin[26 ] , Afanasyev 等[1 ] , Vatutin 和 Zheng[27 ] 以及 Bansaye 和 Vatutin[5 ] . 而对于上临界的 BPRE, 研究对象大多是关于分支过程自身的极限定理, 例如 Gao 等[14 ] , Hong 和 Zhang[17 ] , Gao[13 ] 和 Li 等[20 ] . 关于 BPRE 的中偏差和大偏差的研究, 可参考 Böinghoff 和 Kersting[4 ] , Bansaye 和 Böinghoff[4 ] , Huang 和 Liu[18 ] , Nakashima[22 ] , Böinghoff[7 ] 以及 Grama 等[15 ] . 此外, 关于带移民的 BPRE 的研究, 可参考 Wang 和 Liu[28 ] 以及 Huang 等[19 ] . ...
