数学物理学报, 2023, 43(5): 1397-1408

三维可压缩 MHD 方程大解的时间衰减率

陈菲,1,*, 王帅,1, 赵永叶,2, 王传宝,1

1青岛大学数学与统计学院 山东青岛 266071

2广州航海学院 广州 510725

Time Decay Rate for Large-Solution About 3D Compressible MHD Equations

Chen Fei,1,*, Wang Shuai,1, Zhao Yongye,2, Wang Chuanbao,1

1School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Shandong Qingdao 266071

2Department of Basic Courses, Guangzhou Maritime University, Guangzhou 510725

通讯作者: * 陈菲，Email: feichenstudy@163.com

收稿日期: 2022-08-15   修回日期: 2023-04-10  

基金资助: 国家自然科学基金(12101345)
山东省自然科学基金(ZR2021QA017)
广州市基础研究计划基础与应用基础研究项目(202102020283)

Received: 2022-08-15   Revised: 2023-04-10  

Fund supported: NSFC(12101345)
Natural Science Foundation of Shandong Province of China(ZR2021QA017)
Basic and Applied Basic Research Project of Guangzhou Basic Research Plan(202102020283)

作者简介 About authors

王帅，Email:shuai172021@163.com;

赵永叶，Email:yongyezhao@163.com;

王传宝，Email:wcb1216@163.com

摘要

该文主要研究 $\mathbb{R}^3$ 中可压缩磁流体力学方程大解的时间衰减率. 当 $(\sigma_{0}-1,u_{0},M_{0})$ 属于 $L^1\cap H^2$ 时, 基于 Chen[1] 等人的成果, 文献 [2] 中得到了 $\|\nabla(\sigma-1,u,M)\|_{H^1}\leqslant C(1+t)^{-\frac{5}{4}}$, 可见, 解二阶导数的时间衰减率不是最理想的. 因此, 该文通过借助频率分解[3] 的方法将 $\|\nabla^2 (\sigma-1,u,M)\|_{L^2}$ 的时间衰减率改进为 $(1+t)^{-\frac{7}{4}}$.

关键词： 时间衰减率; 大解; 可压缩磁流体力学方程

Abstract

This paper focus on time decay rate for large-solution about compressible magnetohydrodynamic equations in $\mathbb{R}^3$. Provided that $(\sigma_{0}-1,u_{0},M_{0})\in L^1\cap H^2$, based on the work of Chen et al.[1], $\|\nabla(\sigma-1,u,M)\|_{H^1}\leqslant C(1+t)^{-\frac{5}{4}}$ is obtained in reference [2], obviously, time decay rate of the 2nd-order derivative of the solution in [2] is not ideal. Here, we improve that of $\|\nabla^2 (\sigma-1,u,M)\|_{L^2}$ to be $(1+t)^{-\frac{7}{4}}$ by the frequency decomposition method[3].

Keywords： Time decay rate; Large-solution; Compressible magnetohydrodynamic equations

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本文引用格式

陈菲, 王帅, 赵永叶, 王传宝. 三维可压缩 MHD 方程大解的时间衰减率[J]. 数学物理学报, 2023, 43(5): 1397-1408

Chen Fei, Wang Shuai, Zhao Yongye, Wang Chuanbao. Time Decay Rate for Large-Solution About 3D Compressible MHD Equations[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(5): 1397-1408

1 引言

对于 $(x,t)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^+$, 本文研究如下可压缩磁流体力学 (简写为 MHD) 方程

$ \begin{matrix} \begin{cases} \partial_{t}\sigma+\mathrm{div}(\sigma u)=0,\\ \partial_{t}(\sigma u)+\mathrm{div}(\sigma u\otimes u)+\nabla P-\mu\Delta u-(\mu+\lambda)\nabla\mathrm{div} u-(\mathrm{curl} M)\times M=0,\\ \partial_{t}M-\nu\Delta M-\mathrm{curl}(u\times M)=0,\quad \mathrm{div} M=0,\\ \end{cases} \end{matrix} $

其中, 函数 $\sigma\in \mathbb{R}^+$, $u\in \mathbb{R}^3$, $M\in \mathbb{R}^3$ 和 $P=P(\sigma)=\sigma^\gamma $ (绝热指数 $\gamma$ 满足 $\gamma \geqslant 1$ ) 分别为密度, 速度, 磁场和压力; $\mu$ 和 $\lambda$ ($\mu >0$, $2\mu+3\lambda>0$) 为粘性系数; $\nu>0$ 为磁扩散系数. 除此之外, 方程 (1.1) 附以初始条件

$ \begin{matrix} (\sigma,u,M)(x,0)=(\sigma_{0},u_{0},M_{0})(x)\rightarrow(1,0,0),\quad |x|\rightarrow +\infty. \end{matrix} $

显然, 可压缩 MHD 方程相比纳维斯托克斯方程加入了磁场项 $M$, 使得对其研究增加了困难, 基于其数学理论研究价值, 很多数学工作者取得了许多优异的成果. 比如, 文献 [4,5] 中在有界区域上建立了解的局部存在性, 文献 [6] 中研究了 Nishida-Smoller 解的整体存在性, 其中, 当 $\nu$ 充分大且 $\gamma$ 充分靠近 $1$ 时, 初始能量可以任意小. 一维初边值问题在 $H^1$ 中大解的整体存在唯一性和正则性参见文献 [7], 小初值经典解的整体存在性可参考文献 [8]. 关于弱解, Ducomet 等[9] 证明了有界区域上弱解的整体存在性, Hu 等[10,11] 证明了非等熵和等熵情况下大初值全局弱解的存在性, 而文献 [12,13,14] 对等熵可压缩 MHD 方程组小初值弱解的整体存在性做了相关研究, 进一步, Wu 等[15] 给出了解的最优时间衰减率. 除此之外, 有关不可压缩 MHD 方程的整体适定性可参考文献 [16,17,18,19,20] 等.

对 MHD 方程解的时间衰减率的研究, 我们强调以下几篇文献. 关于小初值解, 当初值属于 $L^l(1\leqslant l<\frac{6}{5})\cap H^3$ 时, 文献 [21,22,23,24] 对 (1.1) 式解的时间衰减率进行了研究, 有关完全可压缩 MHD 方程解的时间衰减率可以阅读文献 [25,26] 的研究, 其中, 文献 [24,26] 中得到解更高阶导数的时间衰减率. 当初值分别满足 $H^L (L\geqslant 3)\cap \dot{H}^{-n}(0\leqslant n<\frac{3}{2})$ 和 $H^S(S\geqslant 3)\cap \dot{B}^{-s}_{2,\infty}(0\leqslant s\leqslant\frac{5}{2})$ 时, 文献 [27,28] 得到 (1.1) 式小初值解最高阶导数的时间衰减率. 除此之外, Zhu 等[29] 得到 (1.1) 式在 $\mathbb{T}^3$ 上解的时间衰减率, 当初值的低频部分在 $\dot{B}_{2,\infty}^{-b}$$(b_{1}\geqslant 2, b_{2}=\frac{2b_{1}}{q}-\frac{b_{1}}{2}, 1-\frac{b_{1}}{2}<b\leqslant b_{2})$ 中时, Shi 等[30] 研究了 Besov 空间中 (1.1) 式解的时间衰减率, 另有 Wei 等[31] 研究了导热传导系数为 $0$ 时小初值解的时间衰减率.

关于大初值解, 2019 年, 当 (1.1) 式的初值 $(\sigma_{0}-1,u_{0},M_{0})$ 属于 $L^1\cap H^2$ 时, Chen 等[1] 得到解的时间衰减率

$ \begin{matrix} \|(\sigma-1,u,M)\|_{H^1} \leqslant C(1+t)^{-\frac{3}{4}}, \end{matrix} $

基于此, Gao 等[32] 得到磁场 $M$ 更高阶导数的时间衰减率

$ \begin{matrix} \|\nabla M\|_{H^1}+\| M_t\|_{L^2}\leqslant C(1+t)^{-\frac{5}{4}}. \end{matrix} $

Wang 等[2] 进一步建立了 $(\sigma,u,M)$ 更高阶导数的时间衰减率

$ \begin{matrix} \|\partial_{t}(\sigma-1,u,M)\|_{L^2}+\|\nabla(\sigma-1,u,M)\|_{H^1}\leqslant C(1+t)^{-\frac{5}{4}}, \end{matrix} $

因此, 基于 (1.5) 式, 是否可以进一步优化 $\|\nabla^2(\sigma-1,u,M)\|_{L^2}$ 的时间衰减率?

在介绍本文定理前, 说明一些符号和预备知识. 常数 $C>0$ 与时间无关且在不同行可能不同, 用 $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{L^2}$, $\|\cdot\|_{p}=\|\cdot\|_{H^p}$, $\|(\flat_{1},\flat_{2})\|_{W}=\|\flat_{1}\|_{W}+\|\flat_{2}\|_{W}$ 和 $\|(\flat_{1},\flat_{2})\|_{W}^v=\|\flat_{1}\|_{W}^v+\|\flat_{2}\|_{W}^v$ 简化书写. 定义 $\chi_{x}=\frac{1}{\sqrt{-1}}\nabla=\frac{1}{\sqrt{-1}}(\partial_{x_{1}},\partial_{x_{2}},\partial_{x_{3}})$ 以及伪微分算子 $\phi_{0}(\chi_{x})$ 和 $\phi_{1}(\chi_{x})$, 光滑截断函数 $0\leqslant \phi_{0}(\xi)$, $\phi_{1}(\xi)\leqslant 1$$(\xi\in \mathbb{R}^3)$ 满足

$\begin{matrix}\nonumber \phi_{0}(\xi)= \begin{cases} 0, |\xi|>b_{0},\\ 1, |\xi|<\frac{b_{0}}{2}, \end{cases} \phi_{1}(\xi)= \begin{cases} 1, |\xi|>B_{0}+1,\\ 0, |\xi|<B_{0}, B_{0}\geqslant 1, \end{cases} \end{matrix}$

其中, 常数 $b_{0}$ (即为 $k_{0}$[33]) 满足 $0<b_{0}\leqslant \min\Big\{\sqrt{\frac{P'(1)}{\eta+\mu}},\frac{1}{2},\frac{P'(1)}{2}\Big\}$. 对函数 $\hbar(x)\in L^2(\mathbb{R}^3)$ 定义频率分解 $(\hbar^l(x),\hbar^m(x),\hbar^h(x))$

$ \begin{matrix} \hbar^l(x)=\phi_{0}(\chi_{x})\hbar(x), \hbar^m(x)=(I-\phi_{0}(\chi_{x})-\phi_{1}(\chi_{x}))\hbar(x), \hbar^h(x)=\phi_{1}(\chi_{x})\hbar(x), \end{matrix} $

定义 $\hbar^{L}(x):=\hbar^l(x)+\hbar^m(x), \hbar^{H}(x):=\hbar^m(x)+\hbar^h(x)$, 则有

$ \begin{matrix} \hbar(x)=\hbar^l(x)+\hbar^m(x)+\hbar^h(x):=\hbar^l(x)+\hbar^{H}(x):=\hbar^{L}(x)+\hbar^h(x), \end{matrix} $

进一步, 由 Plancherel 定理和 (1.6) 式, 对任意的整数 $p_{0}$, $p$, $p_{1}$, $s$$(p _{0}\leqslant p\leqslant p_{1} \leqslant s)$ 和 $\hbar(x)\in H^s(\mathbb{R}^3)$, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla^p \hbar^h\|\leqslant \frac{1}{B_{0}^{p_{1}-p}}\|\nabla^{p_{1}} \hbar^h\|, \|\nabla^p \hbar^h\|\leqslant \|\nabla^{p_{1}} \hbar\|. \end{matrix} $

由于在我们的分析过程中多次用到 Chen 等[1] 研究中的定理 1.1, 所以将其写在这里, 具体如下

定理1.1 假定满足以下条件: $\mu>\frac{1}{2}\lambda$, $(\sigma,u,M)$ 是 (1.1) 式的全局光滑解, $\sigma\in[N_{1}]$, $(\sigma_{0},u_{0},M_{0})(0<a\leqslant\sigma_{0})$ 满足允许条件, $(\sigma_{0}-1,u_{0},M_{0})\in L^1\cap H^2$, $\sup\limits_{t\geqslant 0}\|\sigma(\cdot,t)\|_{C^{\beta}}+\sup\limits_{t\geqslant 0}\|M(\cdot,t)\|_{L^\infty}\leqslant N_{2}$, $ 0<\beta<1 $, 对任意的 $t>0$, 存在 $\underline{\sigma}=\underline{\sigma}(a,N_{2})>0$ 使得

$ \begin{equation} \sigma(x,t)\geqslant\underline{\sigma}, \end{equation} $
$ \begin{equation} \|(\sigma-1,u,M)\|_{2}^2 +\int_{0}^\infty\Big(\|\nabla(\sigma-1)(\iota)\|_{1}^2+\|\nabla (u,M)(\iota)\|_{2}^2 \Big)\,\mathrm{d}\iota \leqslant C_{0}, \end{equation} $
$ \begin{equation} \|(\sigma-1,u,M)\|_{1} \leqslant C_{0}(1+t)^{-\frac{3}{4}}, \end{equation} $

其中, $N_{1}$, $a$ 和 $N_{2}$ 为适当的正常数, $C_{0}>0$ 与时间无关.

本文定理

定理1.2 若满足定理 1.1 的条件, 则对任意 $ t\geqslant \widetilde{T}$, (1.1) 的解 $(\sigma,u,M)$ 成立如下时间衰减率

$ \begin{equation} \|\nabla^k(\sigma-1,u,M)\|\leqslant C(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}, k=0,1,2. \end{equation} $

$\widetilde{T}$ 为足够大的时间, 详见引理 2.9.

主要证明思路

第一步, 基于 $(q,u,M)$$(q:=\sigma-1)$ 二阶导数和 $\nabla ^2 q$ 的估计, 得到能量 $E(t)$

$ E(t):=\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q \,\mathrm{d}x+\frac{p'(1)}{2}\|\nabla^2 q\|^2 +\frac{1}{2}\|\nabla^2 u\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla^2 M\|^2 $

和对应的能量估计. 值得注意的是, 相比文献 [2] 中得到的能量

$ \varepsilon^2(t):=2\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q \,\mathrm{d}x+p'(1)\|\nabla q\|_{1}^2+\|\nabla u\|_{1}^2+\|\nabla M\|_{1}^2, $

$E(t)$ 未包含解一阶导数, 原因在于, 由 $\delta$ 的小性得到 $\varepsilon^2(t)$ 等价于 $\|\nabla (q,u,M)\|_{1}^2$, 这会使得 $\|\nabla(q,u,M)\|$ 和 $\|\nabla^2 (q,u,M)\|$ 时间衰减率均为 $(1+t)^{-\frac{5}{4}}$.

第二步, 为了得到解二阶导数更优的时间衰减率, 采用频率分解方法[3]将困难项 $ \int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q \, \mathrm{d}x$ 中 $\nabla^2 q$ 的中低频率部分消除, 利用

$ \delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^h \, \mathrm{d}x\leqslant\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 u\|^2, $

得到

$ E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \, \mathrm{d}x\sim\|\nabla^2(q,u,M)\|^2, $

进一步, 可得存在与时间无关的常数 $C_{*}>0$, 使得对充分大的时间 $T_{*}$ 有

$ \|\nabla^2 (q,u,M)(t)\|^2\leqslant C {\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2(q,u,M)(T_{*})\|^2+C\int_{T_{*}}^t {\rm e}^{-C_{*}(t-\iota)}\|\nabla^2(q^L,u^L,M^L)(\iota)\|^2 \,\mathrm{d}\iota. $

最后, 由线性方程解的中低频率估计得到非线性方程解的中低频率估计, 进而, 得到解二阶导数的时间衰减率.

2 定理证明过程

定理 1.2 的证明过程主要分为 4 部分: 能量估计, $\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q^L \mathrm{d}x$ 的移除, 解的中低频率估计和非线性方程解的时间衰减率.

定义 $q :=\sigma-1$ 和 $\eta:=\mu+\lambda$, 改写 (1.1) 和 (1.2) 式得到

$ \begin{equation} \begin{cases} \partial_{t}q+\mathrm{div} u=\mathfrak{a},\\ \partial_{t}u+P'(1)\nabla q-\eta\nabla \mathrm{div} u-\mu\Delta u=\mathfrak{b},\\ \partial_{t}M-\nu\Delta M=\mathfrak{c}, \end{cases} \end{equation} $
$ \begin{equation} (q,u,M)(x,0)=(q_{0},u_{0},M_{0})(x)\rightarrow (0,0,0),\quad {\rm as} |x|\rightarrow +\infty, \end{equation} $

其中, 非线性项 $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ 和 $\mathfrak{c}$ 为

$ \begin{matrix} \begin{cases} \mathfrak{a}:=- u\cdot\nabla q -q \mathrm{div} u, \mathfrak{b}:=-\Big(\frac{P'(1+q)}{1+q}-P'(1)\Big)\nabla q+\frac{1}{q+1}(M\cdot\nabla M+M\cdot \nabla^{t}M)\\ \qquad - \frac{q}{q+1}(\mu\Delta u+\eta\nabla \mathrm{div} u)-u\cdot \nabla u, \mathfrak{c}:=-(\mathrm{div} u)M-u\cdot \nabla M+M\cdot \nabla u. \end{cases} \end{matrix} $

2.1 能量估计

由如下两个引理 (文献 [2,引理 2.1,引理 2.2]), 对 $(q,u,M)$ 二阶导数和 $\nabla ^2 q$ 的估计, 便可得到引理 2.3 的能量估计.

引理2.1[2] 若满足定理 1.1 的条件, 则 $(q,u,M)$ 二阶导数的估计为

$ \begin{matrix} && \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\frac{p'(1)}{2}|\nabla^2 q|^2 +\frac{1}{2}|\nabla^2 u|^2+\frac{1}{2}|\nabla^2 M|^2 \Big)\,\mathrm{d}x \\ &&+\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\eta|\nabla^2\mathrm{div} u|^2 +\mu|\nabla^3 u|^2+\nu|\nabla^3 M|^2 \Big)\,\mathrm{d}x \\ &\leqslant & C\Big(\|(u,M)\|_{1}+\|(q,u,M,\nabla u)\|^\frac{1}{4}\Big)\Big(\|\nabla^2 q\|^2+\|\nabla^2 (u,M)\|_{1}^2\Big). \end{matrix} $

引理2.2[2] 若满足定理 1.1 的条件, 则 $\nabla ^2 q$ 的估计为

$ \begin{matrix} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q \,\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^3}\frac{7p'(1)}{8}|\nabla^2 q|^2 \,\mathrm{d}x \\ &\leqslant & C\|\nabla^2 u\|_{1}^2 + C\Big(\|(q,u,M)\|_{1}+\|(q,u,M)\|^\frac{1}{4}\Big)\Big(\|\nabla^2q\|^2+\|\nabla^2 M\|_{1}^2\Big). \end{matrix} $

引理2.3 若满足定理 1.1 的条件, 定义

$ \begin{matrix} E(t):=\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q \,\mathrm{d}x+\frac{p'(1)}{2}\|\nabla^2 q\|^2 +\frac{1}{2}\|\nabla^2 u\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla^2 M\|^2, \end{matrix} $

则存在充分小的常数 $\delta>0$, 与时间无关的常数 $C_{1}>0$ 和足够大的时间 $T_{1}>0$, 使得

$ \begin{matrix} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}E(t)+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\delta P'(1)|\nabla^2 q|^2+\eta|\nabla^2 \mathrm{div} u|^2+\mu|\nabla^3 u|^2+\nu|\nabla^3 M|^2 \Big)\,\mathrm{d}x \\ &\leqslant &C_{1}\delta \Big(\|\nabla ^2 u\|^2+\|\nabla^2 M\|^2\Big). \end{matrix} $

证 取一小常数 $\delta>0$, 将 (2.4) 和 $\delta\times (2.5)$ 式相加, 运用 (1.10) 式, 得到

$ \begin{matrix} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\delta\nabla u\cdot\nabla^2 q +\frac{p'(1)}{2}|\nabla^2 q|^2 +\frac{1}{2}|\nabla^2 u|^2+\frac{1}{2}|\nabla^2 M|^2\Big)\,\mathrm{d}x \\ &&+\frac{3}{4}\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\delta P'(1)|\nabla^2 q|^2+\eta|\nabla^2 \mathrm{div} u|^2+\mu|\nabla^3 u|^2+\nu|\nabla^3 M|^2 \Big)\,\mathrm{d}x \\ &\leqslant &C \Big(\|(q,u,M)\|_{1}+\|(q,u,M,\nabla u)\|^\frac{1}{4}\Big)\Big(\|\nabla^2 q\|^2+\|\nabla^3 u\|^2+\|\nabla^3 M\|^2 \Big) \\ &&+C \Big(\|(q,u,M)\|_{1}+\|(q,u,M,\nabla u)\|^\frac{1}{4}\Big)\Big(\|\nabla^2 u\|^2+\|\nabla^2 M\|^2 \Big) \\ &&+\widetilde{C}\delta\Big(\|\nabla^2 u\|^2+\|\nabla^2 M\|^2\Big). \end{matrix} $

由 (1.11) 式验证得到

$\|(q,u,M)\|_{1}+\|(q,u,M,\nabla u)\|^\frac{1}{4}\leqslant C(1+t)^{-\frac{3}{16}},$

因此, 对一个大的时间 $T_{1}>0$, 成立

$ \begin{matrix} C\Big(\|(q,u,M)\|_{1}+\|(q,u,M,\nabla u)\|^\frac{1}{4}\Big)\leqslant C(1+t)^{-\frac{3}{16}}\leqslant \frac{1}{4}\min\{\delta P'(1), \mu, \nu,4\widetilde{C}\delta\}. \end{matrix} $

综上, 结合 $E(t)$ 的定义, 由 (2.8) 和 (2.9) 式可得 (2.7) 式. 证毕.

2.2 $\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x$ 的移除

本节通过对 $E(t)$ 移除 $\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u\cdot\nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x$ 得到 $\|\nabla^2(q,u,M)\|_{L_{x}^2 L_{t}^\infty}$ 的估计.

引理2.4 存在一充分大的时间 $T_{*}>0$ 和与时间无关的常数 $C_{*}>0$, 使得

$\begin{matrix}\nonumber \|\nabla^2 (q,u,M)(t)\|^2\leqslant C{\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2(q,u,M)(T_{*})\|^2+C\int_{T_{*}}^t {\rm e}^{-C_{*}(t-\iota)}\|\nabla^2(q^L,u^L,M^L)(\iota)\|^2 \,\mathrm{d}\iota. \end{matrix}$

证 对 $\nabla(2.1)_{2}$ 乘以 $\nabla^2 q^L$, 在 $R^3$ 上积分, 分部积分并运用 $(2.1)_{1}$ 式, 可得

$ \begin{matrix} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x &=&-P'(1)\int_{\mathbb{R}^3}\nabla^2 q\cdot\nabla^2 q^L\,\mathrm{d}x+\eta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla^2 \mathrm{div} u\cdot\nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x \\ &&+\mu\int_{\mathbb{R}^3}\nabla\Delta u\cdot\nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^3}\nabla \mathfrak{b}\cdot\nabla^2 q^L\,\mathrm{d}x \\ &&+\int_{\mathbb{R}^3}\nabla \mathrm{div} u^L\cdot\nabla \mathrm{div} u \,\mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^3}\nabla \mathfrak{a}^L \cdot\nabla \mathrm{div} u \,\mathrm{d}x, \end{matrix} $

进一步, 通过 Hölder 和 Young 不等式得到

$ \begin{matrix} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x &\leqslant& \frac{P'(1)}{4}\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\eta}{2}\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2+\frac{\mu}{2}\|\nabla^3 u\|^2 \\ &&+\frac{1}{2}\|\nabla \mathfrak{b}\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla \mathfrak{a}^L\|^2+\Big(P'(1)+\frac{\mu+\eta+1}{2}\Big)\|\nabla^2 q^L\|^2 \\ && +\frac{1}{2}\|\nabla \mathrm{div} u^L\|^2+\|\nabla \mathrm{div} u\|^2. \end{matrix} $

由 $(2.3)_{1}$ 式, Hölder, Sololev 和 G-N (Gagliardo-Nirenberg) 不等式以及 (1.10) 式得到

$ \begin{matrix} \|\nabla \mathfrak{a}\|&\leqslant &C \|\nabla^2 q\|\|u\|_{L^\infty}+\|\nabla q\|_{L^3}\|\nabla u\|_{L^6}+ \|\nabla q\|_{L^3}\|\mathrm{div} u\|_{L^6}+ \| q\|_{L^\infty}\|\nabla\mathrm{div} u\| \\ &\leqslant &C(\|u\|_{L^\infty}+\|\nabla q\|_{L^3}+ \| q\|_{L^\infty})(\|\nabla^2 q\|+\|\nabla^2 u\|) \\ &\leqslant& C\Big(\|u\|^{\frac{1}{4}}\|\nabla^2 u\|^{\frac{3}{4}}+\|q\|^{\frac{1}{4}}\|\nabla^2 q\|^{\frac{3}{4}}\Big)(\|\nabla^2 q\|+\|\nabla^2 u\|) \\ &\leqslant &C\|(q,u)\|^{\frac{1}{4}}\|\nabla^2(q,u)\|, \end{matrix} $

由文献 [2] 中的 (2.14) 和 (2.15) 式得到

$ \begin{equation} \|\nabla \mathfrak{b}\|\leqslant C\big(\|(u,M)\|_{1}+\|(q,u,M)\|^\frac{1}{4}\big)(\|\nabla^2 q\|+\|\nabla^2 (u,M)\|_{1}), \end{equation} $

且由 (1.7) 和 (1.8) 式得到

$ \begin{equation} \|\nabla \mathfrak{a}^L\|\leqslant \|\nabla \mathfrak{a}\|+\|\nabla \mathfrak{a}^h\|\leqslant C \|\nabla \mathfrak{a}\|. \end{equation} $

结合 (2.11)-(2.14) 式可得

$ \begin{matrix} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x &\leqslant& \frac{P'(1)}{4}\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\eta}{2}\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2+\frac{\mu}{2}\|\nabla^3 u\|^2+C\|\nabla^2 q^L\|^2 \\ &&+\frac{1}{2}\|\nabla \mathrm{div} u^L\|^2+\|\nabla \mathrm{div} u\|^2 \\ &&+C\big(\|(u,M)\|_{1}^2+\|(q,u,M)\|^\frac{1}{2}\big)\big(\|\nabla^2 q\|^2+\|\nabla^2 (u,M)\|_{1}^2 \big).\quad \end{matrix} $

类似于 (2.9) 式, 运用 (1.11) 式, 可得存在一个充分大的时间 $T_{2}>0$ 使得

$ \begin{matrix} C\Big(\|(u,M)\|_{1}^2+\|(q,u,M)\|^\frac{1}{2}\Big)\leqslant \frac{P'(1)}{8}, \end{matrix} $

将 $\delta\times(2.15)$ 和 (2.7) 式相加并运用 (2.16) 式, 对 $T_{*}=\max\{ T_{1},T_{2}\}$, 可以证实

$ \begin{matrix} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x\Big) \\ &&+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\Big(\delta P'(1)|\nabla^2 q|^2+\eta|\nabla^2 \mathrm{div} u|^2+\mu|\nabla^3 u|^2+\nu|\nabla^3 M|^2 \Big)\,\mathrm{d}x \\ &\leqslant &\frac{P'(1)}{4}\delta\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\eta}{2}\delta\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2+\frac{\mu}{2}\delta\|\nabla^3 u\|^2+C\delta\|\nabla^2 q^L\|^2 \\ && +\frac{1}{2}\delta\|\nabla \mathrm{div} u^L\|^2 +\delta\|\nabla \mathrm{div} u\|^2+ C_{1}\delta \Big(\|\nabla ^2 u\|^2+\|\nabla^2 M\|^2 \Big) \\ && +\frac{P'(1)}{8}\delta\Big(\|\nabla^2 q\|^2+\|\nabla^2 u\|_{1}^2+\|\nabla^2 M\|_{1}^2 \Big). \end{matrix} $

由 (1.8) 式得到

$ \begin{matrix} \frac{\mu}{2}\|\nabla^3 u\|^2+\frac{\nu}{2}\|\nabla^3 M\|^2\geqslant \frac{\mu}{4}\|\nabla^3 u\|^2+\frac{\mu}{4}\|\nabla^2 u^h\|^2+\frac{\nu}{4}\|\nabla^3 M\|^2+\frac{\nu}{4}\|\nabla^2 M^h\|^2, \end{matrix} $

将 (2.18) 代入 (2.17) 式, 再将 $\frac{\mu}{4}\|\nabla^2 u^L\|^2+\frac{\nu}{4}\|\nabla^2 M^L\|^2$ 加到所得不等式的两端, 得到

$ \begin{matrix} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x\Big)+\frac{P'(1)}{8}\delta\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\eta}{2}\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2 \\ &&+\frac{\mu}{4}\|\nabla^3 u\|^2+\frac{\nu}{4}\|\nabla^3 M\|^2+\frac{\mu}{8}\|\nabla^2 u\|^2+\frac{\nu}{8}\|\nabla^2 M\|^2 \\ &\leqslant & \frac{\eta}{2}\delta\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2+\frac{\mu}{2}\delta\|\nabla^3 u\|^2+C\delta\|\nabla^2 q^L\|^2+\frac{1}{2}\delta\|\nabla \mathrm{div} u^L\|^2+\delta\|\nabla \mathrm{div} u\|^2 \\ &&+ C_{1}\delta \big(\|\nabla ^2 u\|^2+\|\nabla^2 M\|^2 \big)+\frac{P'(1)}{8}\delta \big(\|\nabla^2 u\|_{1}^2+\|\nabla^2 M\|_{1}^2 \big) \\ && +\frac{\mu}{4}\|\nabla^2 u^L\|^2+\frac{\nu}{4}\|\nabla^2 M^L\|^2, \end{matrix} $

进一步, 通过选取充分小的正数 $\delta$ 可得

$ \begin{matrix} & &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x\Big)+\frac{P'(1)}{8}\delta\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\eta}{4}\|\nabla^2 \mathrm{div} u\|^2 \\ &&+\frac{\mu}{8}\|\nabla^3 u\|^2+\frac{\nu}{8}\|\nabla^3 M\|^2+\frac{\mu}{16}\|\nabla^2 u\|^2+\frac{\nu}{16}\|\nabla^2 M\|^2 \\ &\leqslant & C\|\nabla^2(q^L,u^L,M^L)\|^2. \end{matrix} $

由 (1.7) 和 (1.8) 式可得

$ \begin{matrix} \begin{aligned} E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x &=\frac{P'(1)}{2}\|\nabla^2 q\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla^2 u\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla^2 M\|^2 +\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^h \,\mathrm{d}x,\\ \delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^h \,\mathrm{d}x &=-\delta\int_{\mathbb{R}^3} \nabla \mathrm{div} u \cdot\nabla q^h \,\mathrm{d}x \leqslant\frac{\delta}{2}\|\nabla q^h\|^2+\frac{\delta}{2}\|\nabla \mathrm{div} u\|^2\\ &\leqslant\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 q\|^2+\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 u\|^2, \end{aligned} \end{matrix} $

结合 $\delta$ 的小性得到

$ \begin{matrix} E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x\sim\|\nabla^2(q,u,M)\|^2. \end{matrix} $

结合 (2.20) 和 (2.22) 式, 可知存在常数 $C_{*}$ 使得

$ \begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x\Big)+C_{*}\Big(E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x \Big) \leqslant C\|\nabla^2(q^L,u^L,M^L)\|^2, \end{equation} $

对 $(2.23)\times {\rm e}^{C_{*}t}$ 在 $[T_{*},t]$ 上关于时间积分, 得到

$ \begin{matrix} E(t)-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u \cdot \nabla^2 q^L \,\mathrm{d}x &\leqslant& C {\rm e}^{-C_{*} t}\Big(E(T_{*})-\delta\int_{\mathbb{R}^3}\nabla u(T_{*})\cdot \nabla^2 q^L(T_{*}) \,\mathrm{d}x\Big) \\ &&+C\int_{T_{*}}^t {\rm e}^{-C_{*}(t-\iota)}\|\nabla^2(q^L,u^L,M^L)(\iota)\|^2 \,\mathrm{d}\iota. \end{matrix} $

由 (2.22) 和 (2.24) 式完成引理 2.4 的证明.

2.3 解的中低频率估计

本节主要得到非线性方程 $(2.1)$ 和 $(2.2)$ 式解的 $L_{x}^2 L_{t}^\infty$ 范数的中低频率估计.

首先, 定义

$ \begin{matrix} \mathbf{Q}= \begin{pmatrix} 0& \mathrm{div} &0\\ P'(1)\nabla & -\eta\nabla \mathrm{div}-\mu\Delta &0\\ 0&0&-\nu\Delta \end{pmatrix}, \end{matrix} $

$X(t):=(q(t),u(t),M(t))^{T}$, $X(0):=(q_{0},u_{0},M_{0})^{T}$ 和 $F(X):=(\mathfrak{a},\mathfrak{b},\mathfrak{c})^{T}$, 从而, $(2.1)$ 和 $(2.2)$ 式等价于

$ \begin{matrix} \begin{cases} \partial_{t}X+\mathbf{Q}X=F(X),\quad \quad t>0, \\ X=X(0),\quad\quad t=0, \end{cases} \end{matrix} $

进一步, 定义 $\widetilde{X}(t):=(\widetilde{q}(t),\widetilde{u}(t),\widetilde{M}(t))^{T}$, 则线性方程

$ \begin{matrix} \begin{cases} \partial_{t}\widetilde{X}+\mathbf{Q}\widetilde{X}=0,\quad \quad t>0, \\ \widetilde{X}=X(0),\quad \quad t=0, \end{cases} \end{matrix} $

的解为 $\widetilde{X}=\mathbf{q}(t)X(0)$ 且 $\mathbf{q}(t)={\rm e}^{-t\mathbf{Q}}$.

其次, 引入如下引理 2.5 和引理 2.6 (即文献 [33,定理 1.1,定理 1.2]), 分别为线性方程解的低频率估计和中频率估计, 借助引理 2.5 和引理 2.6, 可得引理 2.7.

引理2.5[33] 对任意 $|\xi|\leqslant k_{0}$, $k_{0}\leqslant \min\Big\{\sqrt{\frac{P'(1)}{\eta+\mu}},\frac{1}{2},\frac{P'(1)}{2}\Big\}$, 存在常数 $C_{l}>0$ 使得

$ \begin{equation} \ell(\xi,t)\leqslant {\rm e}^{-C_{l}|\xi|^2 t}\ell(\xi,0), \end{equation} $

其中, $\ell(\xi,t)\sim|\widehat{q}|^2+|\widehat{\Upsilon}|^2+|\widehat{M}|^2$ 和 $\Upsilon:=(-\Delta)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{div} u$.

引理2.6[33] 对任意的常数 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 满足 $0<k_{1}<k_{2}$, 存在依赖于 $\eta$, $\nu$, $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的常数$\varsigma>0$, 对 $\forall \, |\xi|\in [k_{1}, k_{2}]$ 和 $t\in \mathbb{R}^+$, 成立 $|{\rm e}^{-t\mathbb{Q}}|\leqslant C{\rm e}^{-\varsigma t}$, 进一步,

$ \begin{matrix} \begin{aligned} |(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi,t)|=|{\rm e}^{-t\mathbb{Q}}(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi,0)|\leqslant C{\rm e}^{-\varsigma t}|(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi,0)|, \end{aligned} \end{matrix} $

其中, $\mathbb{Q}= \begin{pmatrix} 0& |\xi| &0\\ -P'(1)|\xi| & (\eta+\mu) |\xi|^2 &0\\ 0&0&\nu|\xi|^2 \end{pmatrix}$.

引理2.7 假定 $1\leqslant j\leqslant 2$, 则对任意的正整数 $k\geqslant0$, 成立如下估计

$ \begin{matrix} \|\nabla^k \big(\mathbf{q}(t)X^L(0)\big)\|\leqslant C\|X(0)\|_{L^j}(1+t)^{-[\frac{3}{2}(\frac{1}{j}-\frac{1}{2})+\frac{k}{2}]}. \end{matrix} $

证 通过 Plancherel 定理, (2.28) 和 (2.29) 式, 取 $k_{0}=k_{1}=b_{0}$, $k_{2}=B_{0}$, 得到

$ \begin{matrix} \|\partial_{x}^k(\widetilde{q}^L,\widetilde{\Upsilon}^L,\widetilde{M}^L)(t)\|&=&\|({\rm i}\xi)^k(\widehat{\widetilde{q}^L},\widehat{\widetilde{\Upsilon}^L},\widehat{\widetilde{M}^L})(t)\|_{L_{\xi}^2} \\ &=&\bigg(\int_{\mathbb{R}^3}|({\rm i}\xi)^k(\widehat{\widetilde{q}^L},\widehat{\widetilde{\Upsilon}^L},\widehat{\widetilde{M}^L})(\xi,t)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ &\leqslant &C \bigg(\int_{|\xi|\leqslant B_{0}}|\xi|^{2k}|(\widehat{\widetilde{q}},\widehat{\widetilde{\Upsilon}},\widehat{\widetilde{M}})(\xi,t)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ &\leqslant& C \bigg(\int_{|\xi|\leqslant b_{0}}|\xi|^{2k}{\rm e}^{-C_{l}|\xi|^2 t}|(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi,0)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ &&+C \bigg(\int_{b_{0}\leqslant|\xi|\leqslant B_{0}}|\xi|^{2k}{\rm e}^{-\varsigma t}|(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi,0)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}}, \end{matrix} $

进一步, 运用 Hölder 和 Hausdorff-Young 不等式, 对 $\frac{1}{j}+\frac{1}{j'}=1$, $1\leqslant j\leqslant 2\leqslant j'\leqslant\infty$, 成立

$ \begin{matrix} \|\partial_{x}^k(\widetilde{q}^L,\widetilde{\Upsilon}^L,\widetilde{M}^L)(t)\|&\leqslant& C \|(\widehat{q},\widehat{\Upsilon},\widehat{M})(\xi, 0)\|_{L_{\xi}^{j'}}(1+t)^{-[\frac{3}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{j'})+\frac{k}{2}]} \\ &\leqslant& C \|(q,\Upsilon,M)(0)\|_{L^{j}}(1+t)^{-[\frac{3}{2}(\frac{1}{j}-\frac{1}{2})+\frac{k}{2}]}. \end{matrix} $

同样地, 令 $\Gamma u=(-\Delta)^{-\frac{1}{2}}\nabla xu$ 由文献 [(9) 式], 得到

$ \begin{matrix} \|\partial_{x}^k(\widetilde{\Gamma u})^L(t)\|&\leqslant &C \bigg(\int_{|\xi|\leqslant B_{0}}|\xi|^{2k}|\widehat{\widetilde{\Gamma u}}(\xi,t)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ &\leqslant& C \bigg(\int_{|\xi|\leqslant B_{0}}|\xi|^{2k}{\rm e}^{-\mu|\xi|^2 t}|\widehat{\Gamma u}(\xi,0)|^2 \,\mathrm{d}\xi\bigg)^{\frac{1}{2}} \\ &\leqslant &C \|\Gamma u (0)\|_{L^{j}}(1+t)^{-[\frac{3}{2}(\frac{1}{j}-\frac{1}{2})+\frac{k}{2}]}. \end{matrix} $

结合 (2.32)、(2.33) 式和 $\|\tilde{u}^L\|\leq \|\widetilde{\Upsilon}^L\|+\|(\widetilde{\Gamma u})^2\|$, 即可证得 (2.30) 式.

根据 Duhamel 原理得到 (2.26) 式的解为

$ \begin{matrix} X(t)=\mathbf{q}(t)X(0)+\int_{0}^t \mathbf{q}(t-\iota)F(X)(\iota)\,\mathrm{d}\iota, \end{matrix} $

结合引理 2.7 和 (2.34) 式, 得到 (2.1) 和 (2.2) 式解 $(q,u,M)$ 的中低频率估计.

引理2.8 对任意的正整数 $ k\geqslant0$ 和 $1\leqslant j\leqslant 2$, 成立

$ \begin{matrix} \|\nabla^k X^L(t)\|&\leqslant & C\|X(0)\|_{L^1}(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}+C\int_{0}^\frac{t}{2}\|F(X)(\iota)\|_{L^1}(1+t-\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}\,\mathrm{d}\iota \\ &&+C\int_{\frac{t}{2}}^t\|F(X)(\iota)\|(1+t-\iota)^{-\frac{k}{2}}\,\mathrm{d}\iota. \end{matrix} $

2.4 非线性方程解的时间衰减率

本节由引理 2.4 和引理 2.8 得到非线性方程 (2.1) 和 (2.2) 式解的时间衰减率.

引理2.9 假设满足定理 1.1 的条件, 则存在充分大的时间 $\widetilde{T}>0$, 对任意 $t\geqslant \widetilde{T}$, $(\sigma,u,M)$ 的时间衰减率为

$ \begin{equation} \|\nabla^k(\sigma-1,u,M)\|\leqslant C(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}, \quad k=0,1,2. \end{equation} $

证 定义

$ \begin{equation} N(t):=\sup\limits_{0\leqslant\iota\leqslant t}\sum_{n=0}^2(1+\iota)^{\frac{3}{4}+\frac{n}{2}}\|\nabla^n(q,u,M)(\iota)\|, \end{equation} $

进而

$ \begin{equation} \|\nabla^n(q,u,M)(\iota)\|\leqslant CN(t)(1+\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{n}{2}},\quad 0\leqslant n\leqslant 2,\quad 0\leqslant\iota\leqslant t. \end{equation} $

通过 (1.9) 式, Hölder 和 Sobolev 不等式可以验证

$ \begin{matrix} \|\mathfrak{a}(\iota)\|_{L^1}&\leqslant& C\|(q,u)\|\|\nabla(q,u)\|, \end{matrix} $
$ \begin{matrix} \|\mathfrak{b}(\iota)\|_{L^1}&\leqslant& C(\|M\|\|\nabla M\|+\|q\|\|\nabla^2 u\|+\|q\|\|\nabla q\|+\|u\|\|\nabla u\|) \\ &\leqslant& C \big(\|(q,u,M)\|\|\nabla(q,u,M)\|+\|q\|\|\nabla^2 u\|\big) \end{matrix} $

和

$ \begin{equation} \|\mathfrak{c}(\iota)\|_{L^1}\leqslant C\|(u,M)\|\|\nabla(u,M)\|. \end{equation} $

结合 (2.39)-(2.41) 式并运用 (1.11) 式, 成立

$ \begin{matrix} \|F(X)(\iota)\|_{L^1}\leqslant \|(\mathfrak{a},\mathfrak{b},\mathfrak{c})(\iota)\|_{L^1} \leqslant C(1+\iota)^{-\frac{3}{2}}+C \|q\|\|\nabla^2 u\|. \end{matrix} $

同样地, 进一步运用 G-N 不等式, (2.38) 和 (1.10) 式, 得到

$ \begin{matrix} \|\mathfrak{a}(\iota)\|&\leqslant& C\|\nabla^2(q,u)\|\|(q,u)\|_{1}\leqslant C N(t)(1+\iota)^{-\frac{7}{4}}(1+\iota)^{-\frac{3}{4}}\leqslant C N(t)(1+\iota)^{-\frac{10}{4}}, \\ \|\mathfrak{b}(\iota)\|&\leqslant& C(\|M\|_{L^3}\|\nabla M\|_{L^6}+\|q\|_{L^\infty}\|\nabla^2 u\|+\|q\|_{L^3}\|\nabla q\|_{L^6}+\|u\|_{L^3}\|\nabla u\|_{L^6}) \\ &\leqslant &C \Big(\|\nabla^2(q,u,M)\|\|(q,u,M)\|_{1}+\|\nabla^2 u\|\|\nabla q\|^{\frac{1}{2}}\|\nabla^2 q\|^{\frac{1}{2}}\Big) \\ &\leqslant &C \Big(N(t)(1+\iota)^{-\frac{7}{4}}(1+\iota)^{-\frac{3}{4}}+N(t)(1+\iota)^{-\frac{7}{4}}(1+\iota)^{-\frac{3}{8}}\Big) \\ &\leqslant &CN(t)(1+\iota)^{-\frac{17}{8}} \end{matrix} $

和

$ \begin{equation} \|\mathfrak{c}(\iota)\|\leqslant C\|\nabla^2(u,M)\|\|(u,M)\|_{1}\leqslant C N(t)(1+\iota)^{-\frac{10}{4}}. \end{equation} $

结合 (2.43)-(2.45) 式, 成立

$ \begin{matrix} \begin{aligned} \|F(X)(\iota)\|\leqslant \|(\mathfrak{a},\mathfrak{b},\mathfrak{c})(\iota)\| \leqslant CN(t)(1+\iota)^{-\frac{17}{8}}. \end{aligned} \end{matrix} $

根据 (2.42), (2.46) 式和引理 2.8, 对 $k\in[0,2]$, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla^k X^L(t)\|&\leqslant& C\|X(0)\|_{L^1}(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}} +C \int_{0}^\frac{t}{2}\Big((1+\iota)^{-\frac{3}{2}}+\|q\|\|\nabla^2 u\|\Big)(1+t-\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}\,\mathrm{d}\iota \\ &&+CN(t)\int_{\frac{t}{2}}^t(1+\iota)^{-\frac{17}{8}}(1+t-\iota)^{-\frac{k}{2}}\,\mathrm{d}\iota \\ &\leqslant & C\Big(\|X(0)\|_{L^1}(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}+(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}+N(t)(1+t)^{-\frac{9}{8}-\frac{k}{2}}\Big) \\ &\leqslant& C \Big(\|X(0)\|_{L^1}+1+N(t)(1+t)^{-\frac{3}{8}}\Big)(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}, \end{matrix} $

其中, 运用 Young 不等式, (1.10) 和 (1.11) 式推理得到

$\begin{eqnarray*}\nonumber \int_{0}^\frac{t}{2}\|q\|\|\nabla^2 u\|(1+t-\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}} \,\mathrm{d}\iota &\leqslant &C \int_{0}^\frac{t}{2}\|(q,\nabla^2 u)(\iota)\|^2 (1+t-\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}} \,\mathrm{d}\iota \\ &\leqslant& C \int_{0}^\frac{t}{2}\Big((1+\iota)^{-\frac{3}{2}}+\|\nabla^2 u(\iota)\|^2 \Big)(1+t-\iota)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}} \,\mathrm{d}\iota \\ &\leqslant& C (1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}. \end{eqnarray*}$

根据引理 2.4 和 (2.47) 式得到, 对 $t\geqslant T_{*}$, $k\in[0,2]$, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla^2 X(t)\|^2&\leqslant& C {\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2 \\ &&+C\int_{T_{*}}^t {\rm e}^{-C_{*}(t-\iota)}(1+\iota)^{-\frac{7}{2}}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(\iota)(1+\iota)^{-\frac{3}{4}}\Big) \,\mathrm{d}\iota \\ &\leqslant& C \Big\{{\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2+(1+t)^{-\frac{7}{2}}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1\Big)+N^2(t)(1+t)^{-\frac{17}{4}}\Big\} \\ &\leqslant &C {\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2+C\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(t)(1+t)^{-\frac{3}{4}}\Big)(1+t)^{-\frac{7}{2}}.\qquad \end{matrix} $

除此之外, 根据 (1.7) 和 (1.8) 式, 对 $k\in[0,2]$, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla^k X(t)\|^2\leqslant C\Big(\|\nabla^k X^L (t)\|^2+\|\nabla^k X^h (t)\|^2 \Big)\leqslant C\Big(\|\nabla^k X^L (t)\|^2+\|\nabla^2 X(t)\|^2 \Big). \end{matrix} $

将 (2.47) 和 (2.48) 式代入 (2.49) 式, 对 $k\in[0,2]$, $t\geqslant T_{*}$, 可得

$ \begin{matrix} \|\nabla^k X(t)\|^2 &\leqslant& C (1+t)^{-\frac{3}{2}-k} \Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(t)(1+t)^{-\frac{3}{4}}\Big) \\ &&+ C {\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2+C(1+t)^{-\frac{7}{2}}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(t)(1+t)^{-\frac{3}{4}}\Big) \\ &\leqslant& C (1+t)^{-\frac{3}{2}-k}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(t)(1+t)^{-\frac{3}{4}}\Big)+ C {\rm e}^{-C_{*} t}\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2.\qquad \end{matrix} $

因此, 结合 (2.37) 和 (2.50) 式, 存在 $C_{**}>0$ 使得

$ N^2(t)\leqslant C_{**}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+N^2(t)(1+t)^{-\frac{3}{4}}+\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2\Big), $

进一步, 存在充分大的时间 $\widetilde{T}>0$, 使得对 $t\geqslant \widetilde{T}$ 成立

$ C_{**}(1+t)^{-\frac{3}{4}}\leqslant\frac{1}{2}, $

进而

$ N^2(t)\leqslant 2C_{**}\Big(\|X(0)\|_{L^1}^2+1+\|\nabla^2 X(T_{*})\|^2\Big), $

结合 (1.10) 式, 可以得到对 $\forall t\geqslant \widetilde{T}$, 成立

$ N(t)\leqslant C, $

根据 (2.38) 式即可证得 (2.36) 式, 即完成定理 1.2 的证明.

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The aim of this paper is to get an estimation of decay rates to first-order and second-order derivatives of space for large-solutions to 3D compressible magnetohydrodynamic system. While the condition ( σ0 − 1, u0, Q0) ∈ L1 ∩ H2 is satisfied via a classical energy method and Fourier splitting method, first-order and second-order derivatives of space for large-solutions tending to 0 by L2-rate [Formula: see text] are shown. It is a necessary supplement to the result of Gao, Wei, and Yao [Appl. Math. Lett. 102, 106100 (2020)] in which they only obtained an estimation of decay rates to magnetic fields. Meanwhile, compared with the work of Gao, Wei, and Yao [Physica D 406, 132506 (2020)], we find that the appearance of magnetic fields does not have any bad effect on the estimation of decay rates to both the velocity field and density.

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In this paper, we consider the Cauchy problem of the incompressible MHD system with discontinuous initial density in R3. We establish the global well-posedness of the MHD system if the initial data satisfies (rho(0), u(0), H-0) is an element of L-infinity (R-3) x H-S (R-3) x H-S (R-3) with 2 < s <= 1 and 0 < (rho)under bar> <= rho(0) <= (rho) over bar < +infinity, parallel to(u(0), H-0)parallel to(II1/2) <= C, for some small c > 0 which only depends on (rho) under bar, (rho) over bar. As a byproduct, we also get the decay estimate of the solution.

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