数学物理学报, 2023, 43(5): 1321-1332

Fock 型空间上的 Schödinger 测不准关系

李文鑫,, 连攀,*, 梁玉霞,

天津师范大学数学科学学院 天津 300387

The Schödinger Uncertainty Relation in the Fock-Type Spaces

Li Wenxin,, Lian Pan,*, Liang Yuxia,

School of Mathematical Sciences, Tianjin Normal University, Tianjin 300387

通讯作者: * 连攀，Email: panlian@tjnu.edu.cn

收稿日期: 2022-09-20   修回日期: 2023-04-10  

基金资助: 国家自然科学基金(12101451)

Received: 2022-09-20   Revised: 2023-04-10  

Fund supported: NSFC(12101451)

作者简介 About authors

李文鑫，Email:liwenxin1116@163.com;

梁玉霞，Email:liangyx1986@126.com

摘要

该文建立了 Fock 型空间上单边加权移位算子的 Schödinger 测不准关系, 并给出了等号成立时的显式表达, 进而推广了文献 [4] 中建立的 Fock 空间上 Heisenberg 型测不准关系并克服了文献 [16] 中的困难. 该文进一步将结果推广到多个算子情形, 还得到了单边加权移位算子的一个非自伴形式的测不准不等式.

关键词： Fock 空间; 测不准原理; 单边加权移位算子; Segal-Bargmann 变换; 求导算子

Abstract

In this paper, the Schödinger uncertainty relation for the unilateral weighted shift operators on Fock space is established, and the explicit expression when the equality attained is given, which further extends the Heisenberg uncertainty relation on Fock space established in [4] and overcomes the difficulty in [16]. In addition, we generalize the uncertainty relation to the multiple operators case. A new uncertainty inequality in the form of non-self adjoint operators is obtained as well.

Keywords： Fock space; Uncertainty Principle; Unilateral weighted shift operator; Segal-Bargmann transform; Derivation operator

PDF (660KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

李文鑫, 连攀, 梁玉霞. Fock 型空间上的 Schödinger 测不准关系[J]. 数学物理学报, 2023, 43(5): 1321-1332

Li Wenxin, Lian Pan, Liang Yuxia. The Schödinger Uncertainty Relation in the Fock-Type Spaces[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(5): 1321-1332

1 引言

测不准原理是量子力学中的一个基本原理, 粗略地说, 一个微观粒子的位置和动量不能同时被精确地测量. 测不准原理除了其深刻的物理意义外, 其在调和分析、信号处理以及神经网络等领域的研究中也随处可见. 测不准原理的数学基础及经典结果可参见 Folland 的著名综述[5].

Fock 空间是一类非常重要的全纯函数空间, 与量子力学、信号处理、算子理论等都有着密切联系. 经典的 Fock 空间由 Bargmann[2] 引入, 之后引起了广泛关注, 其上线性算子已得到了深入研究[7,8,9,13,15,17]. 近年来, 四元数量子力学引起了学者们的研究兴趣[1]. 而文献 [10] 则对四元数 Fock 空间中复合算子的一些分析性质进行了讨论.

2015 年, 陈泳和朱克和[4]将 Fock 空间与测不准原理相结合, 在《中国科学: 数学》上发表了经典 Fock 空间上的一个不确定原理并引起了广泛关注. 尽管通过 Segal-Bargmann 变换, 容易知道通常 Schödinger 空间 (平方可积函数空间) 中的测不准原理在 Fock 空间也必定存在类似结果[2], 但从解析函数空间的角度直接去研究有其自身的研究价值和算子理论方面的意义. 2018 年, 文献 [11] 使用类似的方法进一步得到了广义 Fock 空间上的不确定原理. 2020 年, 吴海桂等通过将求导算子和乘法算子理解为特殊的单边加权移位算子, 得到了 Fock 型空间上的更一般的测不准原理, 但他们在确定等号成立的条件时, 仅得到了一个非常复杂的迭代表达式, 参见文献 [16,定理 2.2]. 此外, 邓冠铁等[12] 也给出了 Fock 空间中 Heisenberg 不确定关系的一些更强形式的推广.

本文通过引入两个算子的协方差, 系统地讨论了单边加权移位算子及其对偶算子的任意实线性组合的 Schödinger 型测不准原理, 并明确给出等号成立的显式表达, 从而推广了文献 [4] 中的结果, 并克服了文献 [16] 中的困难. 这些结果可看作是平方可积函数空间中线性正则变换的相关测不准原理在 Fock 型空间中的对应. 本文的方法具有一般性, 也可应用于其他全纯函数空间, 如 Hardy 空间, Dirichlet 空间等. 此外, 本文还给出了 Fock 型空间中多个可观测量之间的测不准关系. 多个算子之间的测不准关系是近年来量子信息领域的热门研究论题, 本文给出了其在解析函数空间中的一个表达.

另外, 本文还使用函数论方法给出了乘法算子和求导算子的一个新的测不准不等式. 注意到 Fock 空间中的求导算子并不是自伴的, 因此不等式 (4.1) 与文献 [4,16] 中的结果不同. 我们进一步将结果推广到单边加权左移位算子.

本文的结构安排如下: 第 2 节简要介绍了 Fock 型空间, 单边加权左移位算子以及协方差的定义, 并回顾文献中已有的与本文密切相关的结果; 在第 3 节中, 我们给出 Fock 型空间中的 Schödinger 测不准原理, 并确定了等号成立的条件; 在第 4 节中, 我们给出 Fock 型空间中的一个新的 (非自伴形式) 测不准不等式.

2 预备知识

我们首先对本文用到的符号加以说明, $\mathbb{C}$ 为复数集, $H(\mathbb{C})$ 表示 $\mathbb{C}$ 上全纯函数组成的集合, $\mathbb{R}$ 为实数集. 对于任意的参数 $\alpha>0$, $\mathbb{C}$ 上的高斯测度定义为

$\begin{eqnarray*} {\rm d}\lambda_{\alpha}(z)=\frac{\alpha}{\pi}{\rm e}^{-\alpha|z|^2}{\rm d}A(z), \end{eqnarray*}$

其中 ${\rm d}A(z)={\rm d}x{\rm d}y$ 是 $\mathbb{C}$ 上的 Lebesgue 面积测度.

利用高斯测度, 我们给出 Fock 型空间的定义. 对于任意给定的 $\alpha>0$, 在 $\mathbb{C}$ 上关于 ${\rm d}\lambda_{\alpha}$ 绝对值平方可积的可测函数全体组成空间

$L^2(\mathbb{C}, {\rm d}\lambda_{\alpha})=\left \{f:\int_{\mathbb{C}} |f|^2{\rm d}\lambda_{\alpha}<\infty\right\}.$

定义2.1 给定 $\alpha>0,$ Fock 型空间 $F^2_{\alpha}$, 也称为 $\alpha$-Fock 空间, 定义为 $L^2(\mathbb{C},{\rm d}\lambda_{\alpha})$ 的闭子空间, 表示为

$F^2_{\alpha}:=\left\{f\in H(\mathbb{C}):\;\|f\|_{2,\alpha} :=\left(\int_{\mathbb{C}} |f|^2{\rm d}\lambda_{\alpha}\right)^{1/2}<\infty\right\}.$

注2.1 特别地, 当 $\alpha=1$ 时, $F_1^2$ 就是经典的 Fock 空间, 记为 $F^2.$

定义2.2 设 $H$ 是一个 Hilbert 空间, $\{e_n\}_{n=0}^\infty$ 是 $H$ 上的一组正规正交基, $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 是一个复数序列, 定义一个线性算子;$T:\;H\rightarrow H$ 满足

$ \begin{matrix} T e_0=0,\;T e_{n}=u_{n} e_{n-1},\;n=1,2,\cdots, \end{matrix} $

则称 $T$ 是具有权序列 $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权左移位算子. 类似地, 对于一个给定的复数序列 $\{w_{n}\}^\infty_{n=1}$, 我们称 $W$ 是具有权序列 $\{w_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权右移位算子, 当 $W$ 满足

$\begin{eqnarray*}W e_n=w_{n+1} e_{n+1},\;n=0,1,2,\cdots. \end{eqnarray*}$

注2.2 Fock 型空间 $F_{\alpha}^{2}$ 中的一组正规正交基可如下给出

$e_{n}(z)=\sqrt{\frac{\alpha^{n}}{n!}} z^{n}, n=0,1,2,\cdots.$

对任一 $f=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_{n}e_{n}\in F_{\alpha}^{2}$, 求导算子 $D$ 在 $f$ 上的作用为

$Df(z)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_{n}\sqrt{\frac{\alpha^{n}}{n!} }z^{n} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{\alpha(n+1)}x_{n+1}e_{n}(z).$

因此, 求导算子实际上是 Fock 型空间 $F_{\alpha}^{2}$ 上的一个权序列 $\{\sqrt{n\alpha}\}_{n=1}^{\infty}$ 的单边加权左移位算子.

文献 [16] 指出单边加权左移位算子 $T$ 的共轭算子 $T^*$ 满足

$ T^*e_{n}=\overline{u_{n+1}}e_{n+1},\;n=0,1,2,\cdots. $

引理2.1 设函数 $f =\sum\limits_{n=0}^\infty x_{n}e_{n}\in F^2_{\alpha},$ 则单边加权左移位算子 $T$ 及其共轭算子 $T^*$ 作用于 $f$ 的表达式分别为

$ Tf=\sum^\infty_{n=1}x_{n}u_{n}e_{n-1}, T^*f=\sum^\infty_{n=0}x_{n}\overline{u_{n+1}}e_{n+1}. $

定义2.3 设 $A$ 为 $H$ 上的一个线性算子, 对于 $F^2_{\alpha}$ 中任一模为 $1$ 的函数 $f$, 我们记 $A$ 的平均值为 $\langle A\rangle$,

$ \langle A\rangle=\langle Af,f\rangle. $

定义2.4 对于线性算子 $A$ 和 $B$, 其换位子和反换位子定义为

$ [A, B] = AB-BA, \qquad [A, B]_{+}=AB+BA.$

易见这两个算子的乘积可表为

$ AB=\frac{1}{2}[A, B]_{+}+\frac{\rm i}{2}([A, B]/{\rm i}), $

线性算子 $A$ 和 $B$ 的协方差定义为

$ {\rm Cov}_{AB}=\frac{1}{2}\langle[A, B]_{+}\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle=\frac{1}{2}\langle[A-\langle A\rangle, B-\langle B\rangle]_{+}\rangle. $

定义2.5 对于任意的 $ \beta, \gamma>0$, 我们定义关于线性算子 $A$ 和 $B$ 的一个量为

$ \operatorname{COV}_{AB}=\frac{1}{2}\langle[A-\beta,B-\gamma]_{+}\rangle. $

下面我们介绍一些 Fock 空间上测不准原理的与本文密切相关的一些结果. Fock 空间中关于测不准原理的第一个具体结果在文献 [4] 中给出.

定理 A 令 $f\in F^2,$ 则对于任意给定的 $a,\;b\in \mathbb{R}$ 有

$\begin{eqnarray*}\left\|f^{\prime}(z)+z f(z)-a f(z)\right\|\cdot\left\|f^{\prime}(z)-z f(z)-{\rm i} b f(z)\right\| \geqslant\|f\|^{2}, \end{eqnarray*}$

等式成立当且仅当存在正数 $c$ 和复数 $C$ 使得

$\begin{eqnarray*}f(z)=C \exp \left(\frac{c-1}{2(c+1)} z^{2}+\frac{a-{\rm i} b c}{c+1} z\right). \end{eqnarray*}$

2018年, 文献 [11] 在 Fock 型空间 $F^2_{\alpha}$ 上得到了类似结果: 对任意给定的 $\alpha>0$, 有

$\begin{eqnarray*} \Big\|\frac{1}{\alpha}f'(z)+zf(z)-af(z)\Big\|_{2,\alpha} \cdot\Big|\Big|\frac{1}{\alpha}f'(z)-zf(z)+{\rm i}bf(z)\Big\|_{2,\alpha} \geq\frac{1}{\alpha}\|f\|^2_{2,\alpha}, \end{eqnarray*}$

等式成立当且仅当存在 $c\in \mathbb{R}^+$ 和 $C'\in \mathbb{C}$, 使得

$\begin{eqnarray*} f(z)=C'\exp\Big(\frac{\alpha(c-1)}{2(c+1)}z^2+ \frac{\alpha(a-{\rm i}bc)}{c+1}z\Big). \end{eqnarray*}$

对于单边加权左移位算子 $T$ 及其伴随算子 $T^*$, 文献 [16] 借助 $T$ 和 $T^*$ 这两个线性算子构造了两个自伴算子

$ A =T+T^*,\;B ={\rm i}(T-T^*), $

建立了 Fock 型空间上的如下更一般测不准关系.

定理 B 假设 $T$ 是权序列为 $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权左移位算子, 其权序列满足 $|u_{n}|^2=n\lambda,$$n=1, 2, \cdots$, $\lambda$ 是一个正常数. 则对任意给定的 $\alpha>0$, $a,b\in \mathbb{R}$ 以及 $f\in F^2_{\alpha}$, 我们有

$\begin{equation*} \|(A-a)f\|_{2,\alpha}\cdot\|(B-b)f\|_{2,\alpha}\geq \lambda \|f\|^2_{2,\alpha}, \end{equation*}$

等号成立当且仅当存在正数 $c$ 和复数 $C$ 使得

$\begin{eqnarray*}f=C\sum\limits_{n=0}^\infty x_n e_n, \end{eqnarray*}$

其系数 $x_{n}(n\geq1)$ 满足的条件见文献 [16,定理 2.2]. 遗憾的是, 他们仅得到了一个复杂的迭代关系式.

另一方面, 文献 [14] 使用算子理论技巧给出了时间算子 $\mathcal{T}$ 以及频率算子 $\mathcal{W}$ 的实线性组合的不确定原理.

定理 C 令 $\mathcal{U}^M=a\mathcal{T}+b\mathcal{W}$, $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ 为任意给定的实数, 对于模为 $1$ 的 $f$, 有

$\begin{equation*} \Delta_{\mathcal{U}^{M_{1}}}^{2} \Delta_{\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2} \geq \frac{1}{4}\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)^{2}+\operatorname{Cov}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2}, \end{equation*}$

其中 $\Delta_{\mathcal{U}^{M}}^{2}=\langle (\mathcal{U}^M)^2\rangle-\langle \mathcal{U}^M\rangle^2$, $\operatorname{Cov}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}$ 为 $\mathcal{U}^{M_{1}}$ 和 $\mathcal{U}^{M_{2}}$ 的协方差. 等号成立当且仅当

$ f(t)=\left(\Re\left\{\frac{{\rm i}\left(\lambda a_{1}-a_{2}\right)}{\pi\left(\lambda b_{1}-b_{2}\right)}\right\}\right)^{\frac{1}{4}} {\rm e}^{{\rm i}\left(\frac{a_{2}-\lambda a_{1}}{\lambda b_{1}-b_{2}}\right) \frac{(t-\langle\mathcal{T}))^{2}}{2}+{\rm i}(\mathcal{W}\rangle t+{\rm i} \theta}, $

其中 $\Re\{\cdot\}$ 表示实部, $\lambda$ 和 $\theta$ 为任意常数.

3 Fock 空间上的 Schödinger 型测不准关系

论文 [16] 中针对单边加权左移位算子 $T$ 构造了两个自伴算子 $A=T+T^*$ 和 $B={\rm i}(T-T^*)$, 并讨论了$A, B$ 之间的测不准关系. 这里, 我们讨论算子 $A$ 和 $B$ 的任意实线性组合的不确定原理.

我们首先引入如下数列 $\{C_{n}\}$, 其通项为

$ \begin{equation} C_{n+1}=1+\sum\limits_{ p=1}^{\lfloor( n+1) / 2\rfloor} \sum\limits_{ q=1}^{{ M}({ n}, { p})} \Pi_{{ m}=1}^{ p}[ g( m, n, p, q) \cdot Q \cdot H[ g( m, n, p, q) g(m- 1, n, p, q)-2]]. \end{equation} $

其中 $H(x)$ 为海维赛德阶跃函数,

$ \begin{equation} H(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \geq 0, \\ 0,& x<0, \end{array}\right. \end{equation} $

以及

$ \begin{matrix} Q&=&\frac{\lambda\left[\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)^{2}-\left(a_{1}-c a_{2}\right)^{2}\right]}{(\beta-c \gamma)^{2}}, \end{matrix} $
$ \begin{matrix} M(n, p)&=&\prod_{j=1}^{p}(n-2 p+2 j)=\frac{n ! !(n-2 p+2)}{(n-2 p+2) ! !}, \end{matrix} $
$ \begin{matrix} g(m, n, p, q)&=&1+\left\lfloor(n-2 p+2 m)\left\{(q-1) / \prod_{j=1}^{m}(n-2 p+2 j)\right\}\right\rfloor, \end{matrix} $

这里 $\lfloor x\rfloor=\max (m \in \mathbb{Z} \mid m \leq x)$ 为高斯取整函数; $c$ 为复数, $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, \beta, \gamma$ 为实数, $\lambda$ 是一个正常数.

另外, 易见以下引理成立

引理3.1 设 $T$ 是权序列为 $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权左移位算子, 其权序列满足 $|u_{n}|^2=n\lambda,$$ n=1, 2, \cdots$, $\lambda$ 是任一给定的正常数, 则自伴算子 $A =T+T^*,\;B ={\rm i}(T-T^*)$ 的换位子满足

$\begin{equation*} [A,B]=-2{\rm i}\lambda I, \end{equation*}$

其中 $I$ 为 $F^2_{\alpha}$ 中的恒等算子.

下面给出本文的主要定理.

定理3.1 设 $T$ 是一个权序列为 $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权左移位算子, 其权序列满足 $|u_{n}|^2=n\lambda,$$ n=1, 2, \cdots$, 这里 $\lambda$ 是任一给定的正常数. 我们考虑自伴算子 $A =T+T^*,\;B ={\rm i}(T-T^*)$ 的任意实线性组合, 即

$\mathcal{U}^{M}=aA+bB.$

则对于任意给定的 $\alpha, \beta, \gamma>0$, $M_{1}:=(a_{1}, b_{1}), M_{2}:=(a_{2}, b_{2})$ 以及 $F^2_{\alpha}$ 中模为 $1$ 的向量 $f$, 我们有如下 Schödinger 测不准关系成立

$ \begin{equation} \|(\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f\|_{2,\alpha}^2\cdot\|(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f\|_{2,\alpha}^2 \geq \lambda^2\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)^{2}+\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2}, \end{equation} $

等号成立当且仅当

$ f=C\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty x_n e_n, $

其中系数 $x_{n}$ 满足

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle x_{0}=\frac{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] c_{2}(\beta-c\gamma) u_{1} u_{2}}{(\beta-c\gamma)^{2}-\lambda\left[\left(a_{1}-c a_{2}\right)^{2}-\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)^{2}\right]} \\ \displaystyle x_{1}=\frac{c_{2} u_{2}(\beta-c\gamma)^{2}}{(\beta-c\gamma)^{2}-\lambda\left[\left(a_{1}-c a_{2}\right)^{2}-\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)^{2}\right]} \\ \displaystyle x_{n+1}=C_{n+1} \cdot \prod_{j=1}^{n} A_{j}, \end{array}\right. \end{equation} $

这里 $c$ 为任一不等于$\frac{a_{1}+{\rm i} b_{1}}{a_{2}+{\rm i} b_{2}}$ 的复数,

$A_{j}=\frac{\beta-c \gamma}{[a_{1}-ca_{2}+({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c)]u_{j+1}},$

$ C_{n+1}, Q, M(n,p), g(m,n,p,q)$ 和 $H(x)$ 为 (3.5)-(3.4) 式中所定义, $C$ 满足 $|C|^{2}=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty|x_{n}|^{2}\right)^{-1}$.

证 为了简化书写, 我们记

$ \begin{equation} \mathcal{O}_{1}=\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta, \mathcal{O}_{2}=\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma, \end{equation} $

由柯西—施瓦兹不等式与 (2.3) 式, 我们有

$ \begin{matrix} \|(\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f\|_{2,\alpha}^2\cdot\|(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f\|_{2,\alpha}^2 &=\left\langle\mathcal{O}_{1}f, \mathcal{O}_{1}f\right\rangle \times\left\langle\mathcal{O}_{2}f, \mathcal{O}_{2}f\right\rangle \\ &=\left\langle\mathcal{O}_{1}^{2} f, f\right\rangle \times\left\langle\mathcal{O}_{2}^{2} f, f\right\rangle \geq\left|\left\langle\mathcal{O}_{2} f, \mathcal{O}_{1} f\right\rangle\right|^{2} \\ &=\left|\left\langle\mathcal{O}_{1} \mathcal{O}_{2} f, f\right\rangle\right|^{2} =\left|\left\langle\mathcal{O}_{1} \mathcal{O}_{2}\right\rangle\right|^{2}. \end{matrix} $

另一方面由 (2.5) 式可知

$\begin{eqnarray*} \langle\mathcal{O}_{1}\mathcal{O}_{2}\rangle =\frac{1}{2}\langle[\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2}]_{+}\rangle+\frac{\rm i}{2}\langle[\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2}]/{\rm i}\rangle, \end{eqnarray*}$

易见

$\begin{eqnarray*} [\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2}]_{+}=[\mathcal{U}^{M_{1}},\mathcal{U}^{M_{2}}]_{+}-2 \gamma\mathcal{U}^{M_{1}}-2 \beta \mathcal{U}^{M_{2}}+2\beta\gamma, \end{eqnarray*}$

由 (2.7) 式, 上述反对易子的平均值为

$\begin{eqnarray*} \langle[\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2}]_{+}\rangle=2\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}. \end{eqnarray*}$

而由引理 3.1, 我们有

$\begin{eqnarray*} [\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2}]=[\mathcal{U}^{M_{1}},\mathcal{U}^{M_{2}}] =(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1})[A,B] =(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1})(-2{\rm i}\lambda I). \end{eqnarray*}$

因此,

$ \begin{matrix} \langle\mathcal{O}_{1}\mathcal{O}_{2}\rangle =\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}+\frac{\rm i}{2}\langle[\mathcal{U}^{M_{1}}_{1},\mathcal{U}^{M_{2}}]/{\rm i}\rangle, \end{matrix} $

结合 (3.10) 式与 (3.11) 式, 我们即得到了 Fock 型空间上的 Schödinger 型测不准关系

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|(\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f\|_{2,\alpha}^2\cdot\|(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f\|_{2,\alpha}^2& \geq\left|\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}} +\frac{\rm i}{2}\left\langle\left[\mathcal{U}^{M_{1}}, \mathcal{U}^{M_{2}}\right] / {\rm i}\right\rangle\right|^{2} \\ &=\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}}\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2}+\lambda^{2}\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)^{2}. \end{aligned} \end{equation*}$

等号成立当且仅当存在复数 $c$ 使得

$ \begin{matrix} (\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f=c(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f, \end{matrix} $

其中 $\|f\|=1$.

我们首先解方程 (3.12), 即

$ \begin{matrix} (a_{1}A+b_{1}B-\beta) \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}=c(a_{2}A+b_{2}B-\gamma)\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}, \end{matrix} $

代入算子 $A,B$ 的表达式化为

$\begin{equation*} {\left[a_{1}\left(T+T^{*}\right)+{\rm i}b_{1}\left(T-T^{*}\right)-\beta\right) \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}} =c\left[a_{2}\left(T+T^{*}\right)+{\rm i}b_{2}\left(T-T^{*}\right)-\gamma\right) \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}. \end{equation*}$

由引理 2.1 中给出的单边加权移位算子的具体作用表达式, 上式化为

$\begin{align*} &{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n+1} u_{n+1} e_{n}} +\left[a_{1}-c a_{2}-\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n-1} \overline{u_{n}} e_{n}\\ =\ &(\beta-c \gamma) \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n} \cdot \end{align*}$

由于 $\{e_n\}_{n=0}^\infty$ 是 $F_\alpha^2$ 的一组正规正交基, 解上式得到以下方程组

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} {\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i}b_{1}-{\rm i}b_{2} c\right)\right] x_{1} u_{1}=(\beta-c \gamma) x_{0}}; \\ {\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i}b_{1}-{\rm i}b_{2} c\right)\right] x_{n+1} u_{n+1}} \\ \quad +\left[a_{1}-c a_{2}-\left({\rm i}b_{1}-{\rm i}b_{2} c\right)\right] x_{n-1} \overline{u_{n}}=(\beta-c \gamma) x_{n}, \quad n \geq 1. \end{array}\right. \end{equation} $

下面进行分类讨论:

(1) 若存在 $c$ 同时使得 $a_{1}-c a_{2}+({\rm i} b_{1}-{\rm i}b_{2} c)=0, \beta-c \gamma=0$, 此时有 $x_{n}=0, n \geq0$, 不满足 $f$ 的模为 $1$ 的条件, 所以该情况排除;

(2) 若存在 $c$ 仅使得 $a_{1}-c a_{2}+({\rm i}b_{1}-{\rm i}b_{2} c)=0$, 但 $\beta-c \gamma\neq0$, 此时方程组 (3.9) 变成了

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l}\displaystyle x_{0}=0, \\ \displaystyle [a_{1}-c a_{2}-({\rm i}b_{1}-{\rm i}b_{2} c)]x_{n-1}\overline{u_{n}}=(\beta-c \gamma)x_{n}, \quad n \geq 1, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

此时解得 $x_{n}=0, n \geq0$, 与 $f$ 的模为 $1$ 矛盾, 因此这种情况也排除;

(3) 当 $c$ 使得 $a_{1}-c a_{2}+({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c)\neq0$ 时, 方程组 (3.9) 实际上给出了数列 $\{x_{n}\}$ 的一个三项迭代关系, 通过变形可以得到

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}&=&\frac{\beta-c \gamma}{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] u_{n+1}} \cdot x_{n} -\frac{\left[a_{1}-c a_{2}-\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] \bar{u}_{n}}{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] u_{n+1}} \cdot x_{n-1}, \end{eqnarray*}$

为方便起见, 我们记

$ \begin{matrix} x_{n+1}=A_{n}x_{n}+B_{n}x_{n-1}, \end{matrix} $

其中

$ A_{n} =\frac{\beta-c \gamma}{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] u_{n+1}}, $
$B_{n} =\frac{\left[\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)-\left(a_{1}-c a_{2}\right)\right] \bar{u}_{n}}{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right] u_{n+1}}, $

我们将三项迭代关系 (3.15) 做前两项系数归一化处理, 记

$ \begin{matrix} x_{n+1}=C_{n+1}\cdot \prod_{j=1}^{n} A_{j}, \end{matrix} $

此时 $C_{n}$ 满足新的迭代关系

$ C_{n+1}=C_{n}+\frac{B_{n}}{A_{n}A_{n-1}}\cdot C_{n-1}, \quad C_{0}=1, \quad C_{1}=1. $

其中

$\begin{align*} \frac{B_{n}}{A_{n} \cdot A_{n-1}} &=\frac{\left[\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)-\left(a_{1}-c a_{2}\right)\right] \bar{u}_{n} \cdot\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)\right]^{2} u_{n+1} u_{n}}{\left[a_{1}-c a_{2}+\left({\rm i} b_{1}-{\rm i}b_{2} c\right)\right] u_{n+1} \cdot(\beta-c \gamma)^{2}} \\ &=\frac{\left|u_{n}\right|^{2} \cdot\left[\left({\rm i} b_{1}-{\rm i} b_{2} c\right)^{2}-\left(a_{1}-c a_{2}\right)^{2}\right]}{(\beta-c \gamma)^{2}} \\ &=n \cdot Q. \end{align*}$

由文献 [6] 中的递归法, 知 $C_{n}$ 的显式表达由 (3.1) 式给出. 最后, 将 $C_{n}$ 的表达代回 (3.16) 式. 又因为我们考虑等号成立的模为 1 的向量, 我们对 $f$ 的模做归一化处理, 对系数 $x_{n}$ 除以 $\|f\|$, 此时对线性方程 (3.13) 没有影响, 即得 (3.7) 式. 证毕.

对于文献 [16] 中的定理 2.2, 类似地, 我们可给出等号成立时的显式表达 (非迭代表示).

推论3.1 对于上述定义的两个自伴算子 $A =T+T^*,\;B ={\rm i}(T-T^*),$ 对于任意给定的 $\alpha>0$, $a, b\in \mathbb{R}$ 和 $F^2_{\alpha}$ 中模为 $1$ 的向量 $f$, 我们有

$\begin{equation*} \|(A-a) f\| \cdot\|(B-b) f\| \geq \lambda, \end{equation*}$

等号成立当且仅当存在 $c\in \mathbb{R}, C\in \mathbb{C}$, 使得

$\begin{eqnarray*}f=C\sum\limits_{n=0}^\infty x_n e_n, \end{eqnarray*}$

其中 $c\neq-1$ 且 $C$ 满足使 $f$ 的模为 $1$, 系数 $x_{n}$ 满足

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle x_{0}=\frac{(1+c) c_{2} u_{1} (a-{\rm i} b c)}{(a-{\rm i} b c)^{2}-\lambda\left(1-c^{2}\right)}, \\ \displaystyle x_{1}=\frac{ c_{2} (a-{\rm i} b c)^{2}}{(a-{\rm i} b c)^{2}-\lambda\left(1-c^{2}\right)}, \\ \displaystyle x_{n+1}=C_{n+1} \cdot \prod_{i=1}^{n} {\rm A}_{i}. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

其中 ${\rm Q}=\frac{\lambda\left(1-c^{2}\right)}{(a-{\rm i} b c)^{2}}$, $C_{n+1}, M(n,p), g(m,n,p,q), H(x)$ 由 (3.5)-(3.4) 式给出, $C$ 是任一满足 $|C|^{2}=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty|x_{n}|^{2}\right)^{-1}$ 的复数.

当单边加权移位算子取为特殊的求导算子 $D$ 时, 即令 $A=D+D^*, B={\rm i}(D-D^* )$, 我们有如下测不准不等式, 其实际上是线性正则变换在平方可积函数空间中测不准不等式在 Fock 型空间中的对应结论.

推论3.2 令 $\mathcal{U}^{M}=aA+bB$, 则对于任意给定的 $\alpha, \beta, \gamma>0$$a, b, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}\in \mathbb{R}$ 以及 $F^2_{\alpha}$ 中任意模为 $1$ 的向量 $f$, 我们有

$ \begin{equation} \|(\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f\|_{2,\alpha}^2\cdot\|(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f\|_{2,\alpha}^2\geq\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)^{2}+\operatorname{COV}_{\mathcal{U}^{M_{1}} \mathcal{U}^{M_{2}}}^{2}, \end{equation} $

等号成立当且仅当存在 $c,C\in \mathbb{C}$ 使得

$ \begin{equation} f(z)=\operatorname{C \cdot exp}\left(\frac{-\left(a_{1}-c a_{2}-{\rm i} b_{1}+{\rm i} c b_{2}\right)}{2\left(a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}\right)} z^{2}+\frac{\beta-c \gamma}{a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}} z\right), \end{equation} $

其中 $a_{2}bb_{1}\leq a_{1}bb_{2}$, $c\neq\frac{a_{1}+{\rm i} b_{1}}{a_{2}+{\rm i} b_{2}}$ 且 $C$ 为使得 $f$ 的模为 $1$ 的一个复数.

证 对于模为 $1$ 的 $f\in F^2_{\alpha}$ 和满足定理条件的任意实数 $a, b, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ 以及 $\alpha, \beta, \gamma>0$, 由定理 3.1 可知 (3.17) 式成立. 等号成立当且仅当存在复数 $c$ 使得

$ (\mathcal{U}^{M_{1}}-\beta)f=c(\mathcal{U}^{M_{2}}-\gamma)f, $

即

$ (a_{1}A+b_{1}B-\beta) f=c(a_{2}A+b_{2}B-\gamma)f, $

即

$\begin{equation*} \left(a_{1}-c a_{2}\right)\left(f^{\prime}(z)+z f(z)\right)+\left(b_{1}-c b_{2}\right)\left({\rm i}\left(f^{\prime}(z)-z f(z)\right)=(\beta-c \gamma) f,\right. \end{equation*}$

整理得

$\begin{equation*} \left(a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}\right) f^{\prime}(z)+\left[z\left(a_{1}-c a_{2}-{\rm i} b_{1}+{\rm i} c b_{2}\right)-(\beta-c \gamma)\right] f=0, \end{equation*}$

若 $ c=\frac{a_{1}+{\rm i} b_{1}}{a_{2}+{\rm i} b_{2}}$, 则只有解 $f=0$, 此时与 $f$ 的模为 $1$ 矛盾, 所以排除. 若 $c\neq\frac{a_{1}+{\rm i} b_{1}}{a_{2}+{\rm i} b_{2}}$, 则由解常微分方程的初等方法可得一般解为

$\begin{equation*} f(z)=\operatorname{C \cdot exp}\left(\frac{-\left(a_{1}-c a_{2}-{\rm i} b_{1}+{\rm i} c b_{2}\right)}{2\left(a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}\right)} z^{2}+\frac{\beta-c \gamma}{a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}} z\right), \end{equation*}$

其中 $C$ 为任意复数. 由 $f\in F^2_{\alpha}$, 我们有

$\begin{equation*} \lim _{z \rightarrow \infty} f(z) \exp \left(-\frac{1}{2}|z|^{2}\right)=0, \end{equation*}$

所以要使函数在空间 $F^2_{\alpha}$ 中的一个必要条件是 $C=0$ 或

$\left|a_{1}-c a_{2}-{\rm i} b_{1}+{\rm i} c b_{2}\right| \leq\left|a_{1}-c a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i} c b_{2}\right|,$

令 $c=a+b{\rm i}$, 则有

$\begin{equation*} \left|a_{1}-(a+b {\rm i}) a_{2}-{\rm i}b_{1}+{\rm i}(a+b {\rm i}) b_{2}\right| \leq\left|a_{1}-(a+b {\rm i}) a_{2}+{\rm i} b_{1}-{\rm i}(a+b {\rm i}) b_{2}\right|, \end{equation*}$

即

$\begin{equation*} {\left[\left(a_{1}-a a_{2}\right)-b b_{2}\right]^{2}+\left[a_{2} b+\left(b_{1}-a b_{2}\right)\right]^{2}} \leq \left[\left(a_{1}-a a_{2}\right)+b b_{2}\right]^{2}+\left[a_{2} b-\left(b_{1}-a b_{2}\right)\right]^{2}, \end{equation*}$

有

$\begin{eqnarray*} a_{2}bb_{1}\leq a_{1}bb_{2}. \end{eqnarray*}$

证毕.

更特殊地, 我们仅考虑空间 $F^2_{\alpha}$ 上的求导算子和乘法算子时, 即

$ \begin{equation} A f(z)=f^{\prime}(z)+z f(z),\quad B f(z)={\rm i}\left(f^{\prime}(z)-z f(z)\right), \end{equation} $

推论 3.2 给出了定理 A 的一个更优的下界.

推论3.3 令 $f$ 为 $F^2_{\alpha}$ 中模为 $1$ 的向量, 则对任意的 $\alpha>0$, $a,b\in \mathbb{R}$ 有

$ \begin{equation} \left\|f^{\prime}+z f-a f\right\|^{2}\left\|f^{\prime}-z f-{\rm i} b f\right\|^{2} \geq \operatorname{COV}_{A B}^{2}+1, \end{equation} $

等号成立当且仅当存在复数 $c$ 和 $C$ 使得

$\begin{equation*} f(z)=\operatorname{C\cdot exp}\left(\frac{-(1+{\rm i} c)}{2(1-{\rm i} c)} z^{2}+\frac{a+b c}{1-{\rm i} c} z\right), \end{equation*}$

其中 $b\geq0$, $c\neq-{\rm i}$ 且 $C$ 满足使 $f$ 的模为 $1$.

定理 3.1 中, 我们考虑了 $F^2_{\alpha}$ 空间中两个自伴算子

$\mathcal{U}^{M_{1}}=a_{1}A+b_{1}B, \quad \mathcal{U}^{M_{2}}=a_{2}A+b_{2}B$

之间的测不准关系. 本节的末尾, 我们基于 Dodonov 不等式, 给出 Fock 型空间中任意 $N$ 个 $A$ 和 $B$ 实线性组合的测不准关系.

定理3.2 (Dodonov 不等式[3]) 设 $T_{j}\ (1\leq j\leq m)$ 是复 Hilbert 空间中的 $m$ 个自伴算子, 则有如下的加和测不准关系成立

$\begin{equation*} \sum\limits_{k=1}^{m} \Delta^{2} T_{j} \geq 2\left[\sum\limits_{j<k}^{m}\left\langle T_{j}, T_{k}\right\rangle^{2}\right]^{\frac{1}{2}}. \end{equation*}$

基于上述一般结论, 我们给出 Fock 型空间中的一个具体应用.

定理3.3 设 $\mathcal{U}^{M_{1}}=a_{1}A+b_{1}B, \mathcal{U}^{M_{2}}=a_{2}A+b_{2}B,\cdots,\mathcal{U}^{M_{m}}=a_{m}A+b_{m}B$ 为 $F^2_{\alpha}$ 上的 $m$ 个自伴算子, 其中算子 $A, B$ 由定理 3.1 定义. 我们记 $a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right), b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}\right)$, 则有如下的测不准关系

$\begin{equation*}\displaystyle \frac{\Delta_{\mathcal{U}^{M_{1}}}^{2}+\Delta_{\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2}+\cdots+\Delta_{\mathcal{U}^{M_{m}}}^{2}}{m} \geq\left(\Delta_{\mathcal{U}^{M_{1}}}^{2} \Delta_{\mathcal{U}^{M_{2}}}^{2} \cdots \Delta_{\mathcal{U}^{M_{m}}}^{2}\right)^{\frac{1}{m}} \geq \frac{|a \wedge b|}{m}, \end{equation*}$

这里向量 $a$ 和 $b$ 外积模的平方为 $|a \wedge b|^{2}=\sum\limits_{j>k}^{m}\left(a_{j} b_{k}-a_{k} b_{j}\right)^{2}$.

注3.1 该结果实际上是平方可积函数空间中位置和动量的线性组合的测不准关系在 Fock 空间中的另一表现形式, 参见文献 [11]. 其是 Dodonov 不等式的直接推论, 这里我们不再给出证明.

4 非自伴形式的测不准关系

上面均是通过构造自伴算子来建立测不准关系, 本节指出在 Fock 空间中可直接建立加权左移位算子的测不准关系.

定理4.1 设 $T$ 是权序列为 $\{u_{n}\}^\infty_{n=1}$ 的单边加权左移位算子, 其权序列满足 $|u_{n}|^2=n\lambda,$$ n=1, 2, \cdots$, 这里 $\lambda$ 是任意给定的一个正常数, $T^*$ 为其伴随算子. 对于 $F^2_{\alpha}$ 中任意模为 $1$ 的向量 $f=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n}e_{n}$, 我们有

$ \begin{equation} \|T f\| +\left\|T^{*} f\right\| \geq \sqrt{\lambda}. \end{equation} $

证 由三角不等式 $|a|+|b|\geq|a-b|$, 我们有

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|T f\|^{2}+\left\|T^{*} f\right\|^{2} & \geq\left|\langle T f, T f\rangle-\left\langle T^{*} f, T^{*} f\right\rangle\right| \\ &=\left|\left\langle T^{*} T f, f\right\rangle-\left\langle T T^{*} f, f\right\rangle\right| \\ &=\left|\left\langle\left(T^{*} T f-T T^{*} f\right), f\right\rangle\right|. \end{aligned} \end{equation*}$

由引理 2.1 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|T f\|^{2}+\left\|T^{*} f\right\|^{2} & \geq\left|\left\langle T^{*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n} u_{n} e_{n-1}-T \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} \overline{u_{n+1}} e_{n+1}, f\right\rangle\right| \\ &=\left|\left\langle\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n+1} u_{n+1} \overline{u_{n+1}} e_{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} \overline{u_{n+1}} u_{n+1} e_{n}, f\right\rangle\right| \end{aligned} \end{equation*}$

由 $\left|u_{n}\right|^{2}=n \lambda$ 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} &=\left|\left\langle\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n+1}(n+1) \lambda e_{n+1}-\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n}(n+1) \lambda e_{n}, f\right\rangle\right| \\ &=\left|\left\langle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda x_{n} e_{n}, \sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}\right\rangle\right| \\ &=\lambda\|f\|^{2} =\lambda, \end{aligned} \end{equation*}$

又由于 $\|T f\|>0, \left\|T^{*} f\right\|>0$, 所以

$ (\|T f\|+\left\|T^{*} f\right\|)^2\geq\|T f\|^{2}+\left\|T^{*} f\right\|^{2}\geq\lambda, $

故有

$ \|T f\| +\left\|T^{*} f\right\| \geq \sqrt{\lambda}. $

证毕.

对一般的单边加权左移位算子, 我们有

推论4.1 设 $T$ 是权序列为 $\{u_{n}\}_{n=1}^\infty$ 的单边加权左移位算子, 对于 $F^2_{\alpha}$ 中任意模为 $1$ 的向量 $f=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x_{n}e_{n}$, 我们有

$\begin{equation*} \|T f\|^{2}+\left\|T^{*} f\right\|^{2} \geq \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2}\left(\left|u_{n+1}\right|^{2}-\left|u_{n}\right|^{2}\right). \end{equation*}$

特别地, 当取单边加权移位算子为求导算子时, 我们有

推论4.2 令 $f\in F^2_{\alpha}$, 对于特殊的求导算子 $D$, 它是一个单边左移位算子, 它的伴随算子是乘法算子 $z$. 我们有

$\begin{equation*} \|D f\|^{2}+ \left\|z f\right\|^{2} \geq \|f\|^{2}. \end{equation*}$

参考文献

Alpay D, Colombo F, Sabadini I, Salomon G. The Fock space in the slice hyperholomorphic setting//Bernstein S, Kahler U, Sabadini I, Sommen F. Hypercomplex Analysis: New Perspectives and Applications Trends in Mathematics. Cham: Birkhäuser, 2014: 43-59

[本文引用: 1]

Bargmann V.

On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform

Comm Pure Appl Math, 1961, 14: 187-214

DOI:10.1002/(ISSN)1097-0312      URL     [本文引用: 2]

Chen B, Lian P.

Uncertainty relations for multiple operators without covariances

J Physics A: Math Theory, 2022, 55(9): 095303

DOI:10.1088/1751-8121/ac4ce8      [本文引用: 1]

In this paper, we prove the sum and product uncertainty relations conjectured by V Dodonov for multiple observables. The uncertainty relations for linear combinations of position and momentum recently obtained by Kechrimparis and Weigert are recovered. Furthermore, the entropic uncertainty relations conjectured by the latter authors are proved for specific cases. At last, we revisit the uncertainty relation for triple canonical operators and obtain a tighter bound on real Hilbert space. A quantitative stability result is given as well.

陈泳, 朱克和. Fock 空间上的测不准原理, 中国科学: 数学, 2015, 45(11): 1847-1854

DOI:10.1360/N012015-00057      URL     [本文引用: 4]

Chen Y, Zhu K H.

Uncertainty principles for the Fock space

Sci Sin Math, 2015, 45(11): 1847-1854

DOI:10.1360/N012015-00057      URL     [本文引用: 4]

Folland G B, Sitaram A.

The uncertainty principle: A mathematical survey

J Fourier Anal Appl, 1997, 3: 207-238

DOI:10.1007/BF02649110      URL     [本文引用: 1]

Gonoskov I.

Closed-form solution of a general three-term recurrence relation

Adv Difference Equ, 2014, 2014(1): 1-12

DOI:10.1186/1687-1847-2014-1      [本文引用: 1]

We consider the Witt-type formula for the n th twisted Daehee numbers and polynomials and investigate some properties of those numbers and polynomials. In particular, the n th twisted Daehee numbers are closely related to higher-order Bernoulli numbers and Bernoulli numbers of the second kind.

Hai P V, Khoi L H.

Complex symmetry of weighted composition operators on the Fock space

J Math Anal Appl, 2016, 433: 1757-1771

DOI:10.1016/j.jmaa.2015.08.069      URL     [本文引用: 1]

胡璋剑, 吕小芬.

Fock 空间及其相关算子

中国科学: 数学, 2015, 45(11): 1759-1778

DOI:10.1360/N012015-00141      URL     [本文引用: 1]

Hu Z J, Lv X F.

Fock spaces and relative operators

Sci Sin Math, 2015, 45(11): 1759-1778

DOI:10.1360/N012015-00141      URL     [本文引用: 1]

Le T.

Normal and isometric weighted composition operators on the Fock space

Bull Lond Math Soc, 2014, 46(4): 847-856

DOI:10.1112/blms/bdu046      URL     [本文引用: 1]

Lian P, Liang Y.

Weighted composition operator on quaternionic Fock space

Banach J Math Anal, 2021, 15(1): 1-20

DOI:10.1007/s43037-020-00085-8      [本文引用: 1]

Kechrimparis S, Weigert S.

Geometry of uncertainty relations for linear combinations of position and momentum

J Physics A: Math Theory, 2017, 51(2): 025303

DOI:10.1088/1751-8121/aa9cfc      URL     [本文引用: 3]

屈非非, 邓冠铁, 温志红.

Fock 空间上一般线性算子的不确定原理

北京师范大学学报, 2017, 53(2): 133-136

[本文引用: 1]

Qu F F, Deng G T, Wen Z H.

Uncertainty principles for the linear operators on Fock space

Journal of Beijing Normal University, 2017, 53(2): 133-136

[本文引用: 1]

Seip K, Youssfi E H.

Hankel operators on Fock spaces and related Bergman kernel estimates

J Geom Anal, 2013, 23: 170-201

DOI:10.1007/s12220-011-9241-9      URL     [本文引用: 1]

Shi J, Liu X, Zhang N.

On uncertainty principles for linear canonical transform of complex signals via operator methods

Signal Image Video Process, 2014, 8(1): 85-93

[本文引用: 1]

Wang X, Cao G, Zhu K H.

BMO and Hankel operators on Fock-type spaces

J Geom Anal, 2015, 25(3): 1650-1665

DOI:10.1007/s12220-014-9488-z      URL     [本文引用: 1]

吴海桂, 梁玉霞.

Fock 型空间上的广义不确定原理

数学物理学报, 2020, 40A(6): 1409-1419

[本文引用: 8]

Wu H G, Liang Y X.

The generalized uncertainty principle on Fock-type space

Acta Math Sci, 2020, 40A(6): 1409-1419

[本文引用: 8]

Zhu K H. Analysis on Fock Spaces. New York: Springer-Verlag, 2012

[本文引用: 1]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发