等周问题是数学中一个古老而又经典的问题, 该问题的发展极大地促进了几何与分析的发展. 在欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$ 中经典的等周问题描述为: 在所有固定表面积的域中, 球的体积最大; 或在所有固定体积的域中, 球的表面积最小. 其数学表述是: 设 $K$ 为欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$ 中表面积为 $S$, 体积为 $V$ 的域, 则 $\mathbb{R} ^n$ 中的经典等周不等式 (参见文献[1,10]) 为

等号成立当且仅当 $K$ 为球. 其中 $\omega_n=\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}$ 表示 $n$ 维单位球的体积, $\Gamma(\cdot)$ 表示 Gamma 函数. 由 (1.1)式, 定义 $\mathbb{R} ^n$ 中凸体 $K$ 的等周亏格为

对于 $\mathbb{R} ^n$ 中任意的凸体 $K$, $\Delta_n(K)$ 刻画了表面积为 $S$, 体积为 $V$ 的凸体 $K$ 与半径为 $\big(\frac{S}{n\omega_n}\big)^{\frac{1}{n-1}}$ 的 $n$ 维球的差别程度.

在二十世纪二十年代, Bonnesen 发现了平面上一系列形如

的不等式, 其中 $B_2(K)$ 是一个仅与 $K$ 有关的非负几何不变量, $B_2(K)$ 为零当且仅当 $K$ 为圆盘.这类不等式 (1.3) 是等周不等式的加强, 称为 Bonnesen 型不等式. 因为对于欧氏平面 $\mathbb{R} ^2$ 中面积为 $A$, 周长为 $L$ 的域 $K$, 它的凸包 $K^*$ 的面积 $A^*$ 增大而周长 $L^*$ 减小, 即 $A^*\geq A, L^*\leq L$,从而 $L^2-4\pi A\geq L^{*2}-4\pi A^*$, 即 $\Delta_2(K)\geq \Delta_2(K^*)$. 因此对于平面的情形, 只需对凸域情形证明 Bonnesen 型不等式即可.

对于 $\mathbb{R} ^2$ 中可求长的若尔当曲线围成的域 $K$, Bonnesen, Osserman 等人^[8] 得到一系列平面上的 Bonnesen 型不等式, 其中比较著名的结果

等号成立当且仅当 $K$ 为圆盘. 其中 $r, R$ 分别为域 $K$ 的最大内切圆半径与最小外接圆半径.对于 $\mathbb{R} ^2$ 中的域 $K$, 周等^[15,18] 利用积分几何的办法估计随机凸域包含另一域的包含测度, 得到了一些新的 Bonnesen 型不等式. 现在 $\mathbb{R} ^2$ 中的部分结果已经被推广到了常曲率平面^[4,16].

Bonnesen 主要得到了平面 $\mathbb{R} ^2$ 上一些 Bonnesen 型不等式, 随后, 数学家们开始寻找高维的 Bonnesen 型不等式, 即

其中 $B_n(K)$ 是一个仅与 $K$ 有关的非负几何不变量, $B_n(K)$ 为零当且仅当 $K$ 为球.高维的结果很久以后才被数学家发现.在高维欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$$(n\geq3)$ 中, 域 $K$ 的凸包并不能同时保证体积增大而表面积减小.因此对于证明高维的 Bonnesen 型不等式, 域的凸性要求是基本的.

对于欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$ 中域 $K$, 周^[17]利用其凸包 $K^*$ 的表面积 $S^*$ 与体积 $V^*$, 得到了一些新的 Bonnesen 型不等式:如果 $S\geq S^*$, 则有

其中常数 $C\leq\frac{n^n}{2^{n-2}}$, 当 $K$ 为球时等号成立. Hadwiger、 Dinghas^[3]、张^[12]等在高维的 Bonnesen 型不等式方面也做出了重要的工作.

在努力寻找等周亏格下界 $B_n(K)$ 的同时, 另一个自然的问题是: 是否存在几何意义深刻的不变量 $U_n(K)$ 使得

同时也期望 $K$ 为圆盘时等号成立. 形如 (1.5)式的不等式称为逆 Bonnesen 型不等式.

对于 $\mathbb{R} ^2$ 中边界至少 $C^2$ 光滑的严格凸域 $K$, 即边界 $\partial K$ 的曲率 $\kappa>0$, Bottema^[9]于 1933 年得到了一个著名的逆 Bonnesen 型不等式

等号成立当且仅当 $\rho_M=\rho_m$, 即 $K$ 为圆盘. 其中 $\rho_M, \rho_m$ 为边界 $\partial K$ 的曲率半径的最大值与最小值. Pleijel^[9]于 1955 年改进了 Bottema 的结果, 即

等号成立当且仅当 $\rho_M=\rho_m$, 即 $K$ 为圆盘. 对于 $\mathbb{R} ^2$ 中的凸域 $K$, Bokowski, Heil, 周等^[17,18]也做了大量的工作, $\mathbb{R} ^2$ 中的部分结果已经被推广到了常曲率平面^[5,11].

对于 $\mathbb{R} ^n$ 中的凸体 $K$, 周等^[17]得到了一些高维逆 Bonnesen 型不等式, 部分结果如下

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

关于欧氏平面 $\mathbb{R} ^2$ 上的 Bonnesen 型不等式 (1.3) 与逆 Bonnesen 型不等式 (1.5), 已得到比较丰富的结果, 而关于高维的 Bonnesen 型不等式 (1.4) 与逆 Bonnesen 型不等式 (1.5), 发展比较缓慢, 目前已得到部分结果^{[2,12⇓-14,17]}, 但是还有待于进一步研究,最大的困难在于运用哪些仅与 $K$ 有关的几何量来刻画等周亏格 $\Delta_n(K)$ 的下界 $B_n(K)$ 与上界 $U_n(K)$,且使它们拥有相应的性质.基于此, 在本文中, 我们利用平均宽度与平均截面面积两个几何量, 运用 Urysohn 不等式与对偶等周不等式,建立了凸体的最大内切球半径, 平均截面面积, 表面积, 体积, 平均宽度与最小外接球半径之间的大小关系 (见引理 3.3),从而得到欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$ 中几个新的逆 Bonnesen 型不等式.

欧氏空间 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的点集 $K$ 称为凸集, 如果连接 $K$ 中任意两点 $x, y\in K$ 的线段 $[x, y]\subseteq K$,即

具有非空内点的紧凸集称为凸体. ${\cal K}^{n}$ 表示 $\mathbb{R} ^{n}$ 中所有凸体构成的集合.$S^{n-1}$ 与 $B$ 分别表示 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的单位球面和单位球.

设 $K, L\in{\cal K}^{n}$, $\lambda\in\mathbb{R}$, Minkowski 加法 $K+L$ 为

数量积 $\lambda K$ 为

设 $K\in{\cal K}^{n}$, $K$ 的支持函数 $h_{K}: \mathbb{R} ^{n}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ 为

凸体 $K\in{\cal K}^{n}$ 在 $x\in\mathbb{R} ^{n}$ 方向上的支撑超平面为

设 $\lambda_{1}\cdots\lambda_{m}\geq0$, $K_{1},\cdots,K_{m}\in{\cal K}^{n}$, 则有

其中系数 $V(K_{i_{1}},\cdots,K_{i_{n}})$ 称为 $K_{i_{1}},\cdots,K_{i_{n}}$ 的混合体积. 混合体积具有对称性, 单调性, 多重线性, 平移不变性, 仿射不变性等性质^[10].

设 $K,L\in{\cal K}^{n}$, 令

一个凸体 $K\in {\mathcal K}^{n}$ 的第 $i$ 阶均质积分定义为

设 $K_{1}, \cdots, K_{n}\in {\cal K}^{n}$,它们混合体积的积分表达式为

其中 $S(K_{1}, \cdots, K_{n-1}, u)$ 为凸体 $K_{1}, \cdots, K_{n-1}$ 的混合表面积测度. 当 $K_{1}=\cdots=K_{n-1}=K$ 时, $S(\underbrace{K, \cdots, K}_{n-1}, u)$ 为 $K$ 的表面积测度, 简记为 $S(K, u)$. 特别 $K=B$ 时, $S(B, u)$ 简记为 $S(u)$.

由 (2.1) 与 (2.2)式可得

设 $\beta_K(u)$ 为凸体 $K\in {\cal K}^{n}$ 在方向 $u\in S^{n-1}$上的宽度, 即 $\beta_K(u)=h_K(u)+h_K(-u)$. 设 $P_u$ 为过原点 $o$ 且以 $u\in S^{n-1}$ 为法方向的一个超平面. 设 $P_u(t)$ 为与 $P_u$ 平行且在 $u$ 方向上的有向距离为 $t$ 的超平面. 对于 $K\in{\cal K}^{n}$, 存在 $t_1, t_2$ 使得 $P_u(t_1)=H_K(-u), P_u(t_2)=H_K(u)$. 由宽度的定义可知 $\beta_K(u)=t_2-t_1$. 那么凸体 $K$ 在 $u$ 方向上的平均截面面积 $\alpha_K(u)$ (参见文献[6]) 可表示为

其中 $V_{n-1}\left(P_u(t)\cap K\right)$ 为 $P_u(t)$ 交 $K$ 所得截面的 $n-1$ 维体积. 若 $K$ 为 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的单位球 $B$, 则关于任意的方向 $u\in S^{n-1}$, $\alpha_B(u)=\frac{1}{2}\omega_n$. 由 (2.6)式可知, 对于任意的 $u\in S^{n-1}$ 与 $K\in{\cal K}^{n}$ 都有

事实上, $\alpha_K(u)$ 可视为与凸体 $K\in{\cal K}^{n}$ 等体积且以 $\beta_K(u)$ 为高的柱体的底面积.

设凸体 $K$ 的平均宽度 $\bar{\beta}$ 为

类似于平均宽度的概念, 定义 $K$ 的平均截面面积 $\bar{\alpha}$ 为

在二维平面 $\mathbb{R} ^2$ 中, $\bar{\alpha}$ 就是 $K$ 的平均弦长.

由 (2.5) 与 (2.8)式可知, 平均宽度 $\bar{\beta}$ 与均质积分 $W_{n-1}(K)$ 有如下关系

为得到本文的主要结果, 需要以下几个引理.

Lutwak^[6] 在 1976 年得到了一个与经典等周不等式对偶的不等式,即

引理 3.1 设 $K\in{\cal K}^{n}$, $\alpha_K(u)$ 为 $K$ 在 $u$ 方向上的平均截面面积, 则

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

在文献[3] 中介绍了广义的 Urysohn 不等式.

引理 3.2 设 $K\in{\cal K}^{n}$, $W_i(K)$ 为 $K$ 的第 $i$ 阶均质积分, 则

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

事实上, 当 $i=0$ 时, (3.2)式就是经典 Urysohn 不等式

等号成立当且仅当 $K$ 为球. 当 $n=2$ 时, (3.2)式就是欧氏平面 $\mathbb{R} ^2$ 上经典等周不等式.

根据以上两个引理, 得到本文的主要引理.

引理 3.3 设 $K\in{\cal K}^{n}$, $\bar{\alpha}, \bar{\beta}, r, R$ 分别为 $K$ 的平均截面面积, 平均宽度, 最大内切圆半径与最小外接圆半径, 则

任意一个等号成立当且仅当 $K$ 为球;

当 $K$ 为球时等号成立.

证 由平均截面面积的定义 (2.9)式与对偶等周不等式 (3.1) 可得

即

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

就是经典等周不等式 (1.1), 等号成立当且仅当 $K$ 为球.

在 (3.2)式中取 $i=1$, 有

等号成立当且仅当 $K$ 为球. 然后, 利用 $S(K)=nW_1(K)$ 与 $\bar{\beta}=2\omega_n^{-1}W_{n-1}(K)$, 我们得到

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

下面只需证明(3.4)式中的两个不等式.

因为 $r$ 为凸体 $K$ 的最大内切球半径, 所以存在 $x_0\in\mathbb{R} ^n$ 使得 $x_0+rB\subseteq K$, 因此 $\bar{\alpha}(rB)\leq\bar{\alpha}$. 由 (2.7)式可得对于所有的 $u\in S^{n-1}$都有

从而, 根据平均截面面积的定义可得

即

若 $K$ 为球, 则 $K=x_0+rB$. 由 (2.7) 与 (2.9)式可知 (3.5)式中的等号成立.

因为 $R$ 为凸体 $K$ 的最小外接球半径, 所以存在 $y_0\in\mathbb{R} ^n$ 使得 $K\subseteq y_0+RB$, 于是对于所有的 $u\in S^{n-1}$都有 $\beta_K(u)\leq\beta_{RB}(u)=2R$. 从而, 根据平均宽度的定义(2.8)式可得

即

若 $K$ 为球, 则 $K=y_0+RB$. 由 (2.8)式可知 (3.6)式中的等号成立.

根据 (3.3)式, 可以得到 $\mathbb{R} ^n$ 中一个高维逆 Bonnesen 型不等式.

定理 3.1 设 $K\in{\cal K}^{n}$, $\bar{\alpha}, \bar{\beta}$ 分别为 $K$ 的平均截面面积与平均宽度, 则

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证 由 (3.3)式可知

任意一个等号成立当且仅当 $K$ 为球. 所以

即

由 (3.8)式可知, (3.7)式等号成立等价于两不等式

等号同时成立. 由 (3.3)式可知 (3.9)式中两不等式等号同时成立当且仅当 $K$ 为球,因此不等式(3.7) 中等号成立当且仅当 $K$ 为球.

根据 (3.3) 与 (3.9)式, 还可得到 $\mathbb{R} ^n$ 中一些高维逆 Bonnesen 型不等式.

定理 3.2 设 $K\in{\cal K}^{n}$, $\bar{\alpha}, \bar{\beta}, r, R$ 分别为 $K$ 的平均截面面积, 平均宽度, 最大内切圆半径与最小外接圆半径, 则

任意一个等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证 由 (3.3) 与 (3.4)式可得

当 $K$ 为球时, 不等式(3.12) 中的等号均成立.

由 (3.12)式可知

因此

即

从而不等式 (3.10) 得证.由 (3.13})式可知, 不等式(3.10)中等号成立等价于两不等式 $r^{n(n-1)}\leq\big(\frac{V}{\omega_n}\big)^{n-1}$ 与 $\big(\frac{S}{n\omega_n}\big)^{n}\leq\big(\frac{\bar{\beta}}{2}\big)^{n(n-1)}$ 等号同时成立, 而由(3.3)与 (3.4)式可得两不等式等号同时成立当且仅当 $K$ 为球. 因此, 不等式(3.10)等号成立当且仅当 $K$ 为球.

又由(3.12)式可知

所以

即

从而不等式(3.11)得证. 由(3.14)式可知,(3.11)等号成立等价于两不等式 $\big(\frac{2\bar{\alpha}}{\omega_n}\big)^{n}\leq\big(\frac{V}{\omega_n}\big)^{n-1}$ 与 $\big(\frac{S}{n\omega_n}\big)^{n}\leq R^{n(n-1)}$ 等号同时成立, 而由 (3.3) 与 (3.4)式可得两不等式等号同时成立当且仅当 $K$ 为球. 因此, 不等式(3.11)等号成立当且仅当 $K$ 为球.

注 3.1 由 (3.3) 与(3.4)式可得

在 (3.15)式中, 因为 $\big(\frac{\bar{\beta}}{2}\big)^{n(n-1)}\leq R^{n(n-1)}$, 所以

因此 (3.7)式强于 (3.11)式, (3.10)式强于(1.6)式. 又因为 $r^{n(n-1)}\leq\big(\frac{2\bar{\alpha}}{\omega_n}\big)^{n}$, 所以

因此 (3.7)式强于(3.10)式, (3.11)式强于(1.6)式.

综上所述, (3.7)式分别强于(3.11), (3.10) 与(1.6)式, 并且 (3.11)与 (3.10)式分别强于(1.6)式.

当维数 $n=3$ 时, 由定理 3.1 与定理 3.2, 得到 $\mathbb{R} ^3$ 中几个逆 Bonnesen 型不等式.

推论 3.1 设 $K\in{\cal K}^{3}$, $\bar{\alpha}, \bar{\beta}, r, R$ 分别为 $K$ 的平均截面面积, 平均宽度, 最大内切圆半径与最小外接圆半径, 则

任意一个等号成立当且仅当 $K$ 为球.

当维数 $n=2$ 时, 平均截面面积就退化为平均弦长, 于是 由定理 3.1 与定理 3.2 得到欧氏平面 $\mathbb{R} ^2$ 上几个逆 Bonnesen 型不等式.

推论 3.2 设 $\bar{\alpha}, \bar{\beta}, r, R$ 分别为凸体 $K\in{\cal K}^{2}$ 的平均弦长, 平均宽度, 最大内切圆半径与最小外接圆半径, 则

任意一个等号成立当且仅当 $K$ 为圆盘.

注 3.2 由注 3.1 可知, (3.16), (3.17)与 (3.18)式均强于在文献[17] 中得到的

等号成立当且仅当 $K$ 为圆盘.