最近, 不可料信号观察系统的滤波问题引起了人们的关注, 这一问题来自于内部人交易金融市场的均衡研究^[3,15]. 2011年, Aase等^[1]首次提出了不可料一维线性信号观察系统的滤波问题, 利用Hu^[7] 关于布朗运动滤子扩张结果, 将原一维不可料系统转化为关于扩张信息域相适应的更高维系统, 从而导出信号在观察下的滤波方程. 进一步, Tindel 等^[21]研究了高维不可料非线性系统滤波问题, 同样通过滤子扩张方法, 得到更高维的关于扩张信息域适应的信号观察系统, 从而推出Zakai方程和Kushner-FKK方程; 在此基础上得到了线性滤波的渐近稳定性. 注意, Kurtz和Xiong^[14]通过粒子表示, 研究了一类随机偏微分方程的数值解, 并由此求解滤波方程的数值解^[22]. Ji等^[9-10]还获得了模型不确定性下广义Kalman-Bucy模型的一些滤波方程. 关于更经典的滤波结果, 见文献^{[4,11-12,16-17,22]}.

该文将研究一类不可料信号过程噪声与观察过程噪声相关的非线性系统, 求解信号在观察下的滤波方程, 以及线性滤波的稳定性. 具体地, 设$T>0$,考虑完备的概率空间 $(\Omega,{\cal F}_t,{\cal F},P)$ 上的$m$ -维信号$X$和$n$ -维观察$Z$的不可料信号观察系统: 对$0\leq t\leq T$,有

其中信号过程 $X$ 同时受到相互独立的$m$ -维的布朗运动噪声 $W$ 和 $n$ -维布朗运动噪声 $N$ 驱动, 观察过程$Z$ 仅受到布朗运动噪声 $N$ 驱动, 可见信号过程噪声与观察过程噪声相关, $a,\sigma_1,\sigma_2,\phi$ 和 $c$ 及其可逆映射 $c^{-1}$ 都是具有适当维数的Borel 有界实矩阵. 假设系统满足

假设(A) 对于$t\in[T]$, $(X_0,W_t,N_t)$ 是联合高斯; $\sigma$ -域 ${\cal F}_t=\sigma{\{W_s,N_s,0\leq s\leq t}\}$; $X_0$ 关于 ${{\cal F}_T}$适应, 使得 $X_0$ 和观察噪音 $N_t$ 存在协相关函数 $\rho_N(t)$

其中 $\rho_N\in C^2([T],R^{n\times m})$, $*$表示矩阵转置符号.

显然, 信号观察系统(1.1)是不可料的, 因为$X_0\in{\cal F}_T$, 且与观察噪音 $N_t$ 相关. 该系统推广了文献[21]中信号观察系统, 其中$\sigma_2\equiv0$和$c\equiv1$. 该文将求解在信息流${\cal Z}_t=\sigma{\{Z_s, 0\leq s\leq t}\}$下信号 $X_t$ 的滤波 $E[X_t|{\cal Z}_t]$ 所满足的动力学方程, 包括Zakai 型方程和Kushner-FKK型方程, 以及线性情况下滤波的一些稳定性. 由于系统是不可料的, 因此使用的基本技术与文献[7,21,23]中的技术类似, 总结如下.

(a) 主要应用一些关于滤子扩张的结果, 通过过程 $A_t$ 来修正 $N_t$, 使得 $N_t-A_t$ 是 $\sigma{\{X_0, N_s: 0\leq s\leq t}\}$ -布朗运动, 其中过程 $A_t$ 依赖于过程 $N_t$、 相关函数 $\rho_N$、随机变量 $X_0$ 及其方差 $\Sigma$, 其他附加漂移项将反映在滤波方程的系数中.

(b) 在滤子扩张方法的帮助下, 引入一个更高维的扩展辅助信号过程 $U$, 将最初的不可料系统滤波问题转化到经典的适应系统的滤波问题. 该文所得的结果覆盖了一些经典信号观察系统的结果, 具体参见文献[1,11,21,23].

该文组织结构如下. 在第2节中, 介绍一些关于滤子扩张的经典结果. 在第3节中, 通过滤子扩张技术, 得到一个更高维的扩展适应系统, 然后导出非归一化滤波的Zakai型方程、归一化滤波的Kushner-FKK 型方程以及线性情况下的显式解. 作为应用, 第4节中讨论线性滤波的渐近稳定性. 最后, 进行总结.

Tindel等在文献[21]中得到了以下两个关于多维布朗运动滤子扩张引理, 推广了Hu^[7]的一维情况扩张结果. 这些结果在处理不可料信号观察系统滤波问题中起重要作用.

引理 2.1 设$(B_t,0\leq t \leq T)$ 是在 ${\cal F}^B_t$ 下的$n$ -维标准布朗运动, $X\in R^m$ 是中心高斯随机向量, 协方差$\Sigma\in R^{m\times m}$. 假设 $B_t$ 和 $X$ 满足以下条件

(i) ${\{X,B_t;0\leq t \leq T}\}$ 是联合高斯的;

(ii) 对于$t\in [T]$, $\rho(t)=E[B_tX^*]$ 且 $\rho\in C^2([T];R^{n\times m})$;

(iii) 存在函数 $g\in C^1([T];R)$ 使得

对于所有$t\in [T], s\in [t]$,定义函数 $\lambda$

对所有$s\in [t]$, 函数

则过程

是 ${\cal G}_t$ -布朗运动, 其中 ${\cal G}_t=\sigma{\{X,B_t; 0\leq t \leq T}\}$.

引理 2.2 在引理2.1的假设下, 下列结果成立

(i) 对所有 $t\in [T],$$\Sigma-\int_0^t\rho'(s)^*\rho'(s){\rm d}s=E[(X-E[X|{\cal F}_t^{B}])(X-E[X|{\cal F}_t^{B}])^*].$

(ii)对所有 $t\in[T]$, 当$Xtin{\cal F}_T^{B}$, 矩阵 $\Sigma-\int_0^t\rho'(s)^*\rho'(s){\rm d}s$ 是非奇异的.

(iii)对一些$t_0>0$, 如果 $\rho'(t_0)\neq 0$, 则对所有$t\in[t_0]$, 矩阵$\Sigma-\int_0^t\rho'(s)^*\rho'(s){\rm d}s$ 是非奇异的.

注 2.1 引理2.1指出, 在滤子扩张的情况下可以构造一个新的布朗运动; 而引理2.2给出了适定性条件.

为了便于计算, 定义过程 $\bar{Z}_t$, 使得 $\bar{Z}_t$ 满足微分方程

由于 $c_t$ 是可逆且有界, 因此系统(1.1)等价于系统

其中 $\phi_1(t,X_t)=c(t)^{-1}\phi(t,X_t)$. 显然, 系统(3.2)仍然是一个不可料信号观察系统. 下面的引理是 [21,引理3.1] 的推广, 主要是运用第2节中关于滤子扩张的引理将其转化为适应的信号观察系统.

引理 3.1 设 $(X,\bar{Z})$ 满足方程(3.2).令

其中函数 $p,q, \lambda$ 和 $g$ 与引理2.1相同, $\rho$ 被 $\rho_N$ 取代. 则下列结论成立

(i) $(W, \tilde{N})$ 是 $\mathcal{H}_{t}$ - 布朗运动, 其中 $\mathcal{H}_{t}=\sigma\left\{X_{0}, W_{s}, N_{s}, s \leq t\right\}$.

(ii) 扩展信号观察系统 $(U, \bar{Z})$ 是关于 $\mathcal{H}_{t}$ - 适应系统

系数 $A,k_1,k_2$ 满足

其中

证 令 $B=(W,N),X=X_0$ 以及 $\rho=\rho_N$. 由引理2.1, 可直接得到结论(i).

现在, 证明结论(ii). 根据引理2.1可得

其中 $\lambda(t,s)=g(t)p(s)+q(s),$ 则有等式

因此, 应用分部积分可得

现在, 将方程(3.6)代入系统方程(3.2)的第一个方程, 可得

进而, 结合方程(3.6)和方程(3.5)的第二个方程, 可得扩张信号过程 $U$ 满足方程

其中, 系数 $A,k_1,k_2$ 满足

进一步, 将方程(3.6)代入方程(3.2)的第二个方程, 则观察过程 $\bar{Z}_t$ 满足方程

其中, $k_3(t)=\phi_1(t,X_t)+g'(t)\bar{X}_t+r(t)N_t$.

很明显, 由(i)可知, $(W,\tilde{N})$ 是 ${\cal H}_t$ -布朗运动, 故而新的扩展信号观察系统 $(U,\bar{Z})$ 关于 ${\cal H}_t$ -适应.

从引理3.1中不难看出, 在滤子扩展的辅助下, 不可料系统(3.2)转化为由布朗运动 $(W,\tilde{N})$ 驱动的 ${\cal H}_t$ -适应系统. 为了求解在给定观察的条件下获得扩展信号 $U$ 的非线性滤波, 需要进行Girsanov 变换, 以便在新的概率测度下, 使得 $\bar{Z}$ 成为布朗运动.

注意, 根据假设, 上述过程 $k_3$ 是有界的. 因此, 通过Giranov定理, 在样本空间 $\Omega$ 上可以定义概率测度 $\tilde{P}$

其中 $\Lambda_T=\exp[-\int_0^Tk_3(t,U_t)^*{\rm d}\tilde{N}_t-\frac{1}{2}\int_0^T||k_3(t,U_t)||^2{\rm d}t]$,使得 $(W,\bar{Z})$ 是 ${\cal H}_t$ -布朗运动.

下列定理推导了具有修正系数的扩展信号观察系统(3.4)的滤波方程, 证明类似于文献[22](或文献[4])中的定理5.5 和定理5.7, 具体证明细节略.

定理 3.1 设 $(U,\bar{Z})$ 满足系统(3.4). 对所有 $\varphi\in C_b^{1,2}([T]\times R^{2m+n})$, 下列结论成立

(i) 若定义算子 $\Phi(t)(\cdot)$

则 $\Phi(t)(\cdot)$ 满足下列随机微分微分方程(Zaikai方程)

其中 $\tilde{E}$ 表示关于概率测度 $\tilde{P}$ 的期望, 二阶微分算子 $L$ 满足

其中 $Q=k_1k_1^*+k_2k_2^*$, $d_1=2m+n$ 为 $U$ 的维数.

(ii) 若定义算子 $\Pi(t)(\cdot)$

则 $\Pi(t)(\cdot)$ 满足下列随机微分方程(Kushner-FKK 方程)

其中 $I_t$ 是更新过程且满足 $I_t=\bar{Z}_{t}-\int_0^t\Pi(s)(k_3(s)){\rm d}s$.

考虑系统(3.4)的系数是线性的情况, 即

其中$A(t),\bar{f}(t), k_3(t)$ 和 $h_1(t)$ 都是$[T]$上的有界可测实矩阵.

由引理3.1, 可得适应系统

其中

因此, 由定理3.1(ii), 可得线性信号观察系统(4.1)的Kushner-FKK滤波方程.

定理 4.1 记 $\hat{U}_t=E[U_t|\bar{{\cal Z}}_t]$,$P_t=E[(U_t-\hat{U}_t)(U_t-\hat{U}_t)^*]$, 则 $\hat{U}_t$ 满足下列微分方程

其中, 矩阵 $P(t)$ 满足 Riccati 方程

更新过程 $I_t=\int_0^tk_3(s)(U_s-\hat{U}_s){\rm d}s+\tilde{N}_t$ 且矩阵 $K(t)=k_1(t)k^*_1(t)+k_2(t)k^*_2(t)$.

证 令 $\varphi(x)=x$, 由方程(3.13)可得线性滤波方程(4.2).现在, 定义误差过程 $\varepsilon_t=U_t-\hat{U}_t$, 则由(4.1)和(4.2)式, 有

由于 $P(t)=E[\varepsilon_t\varepsilon_t^*]$, 由 Itô 公式可得 Riccati方程 (4.3).

此外, 根据文献[4,定理4.4.1和推论4.4.1], Zakai方程(3.11)的解和Kushner-FKK方程 (3.13)的解可表述如下, 证明从略.

推论 4.1 在定理3.1的假设下, 有

其中

且

注 4.1 显然, 我们的定理3.1是文献[1,定理3.1]和文献[21,定理4.1]的推广. 当然, 滤波方程(4.2)和Ricccati方程(4.3)可以通过文献[17,定理12.7]导出.

接下来, 考虑下面的不可料常系数线性信号观察系统滤波的渐近稳定性

该系统(4.6)是线性信号观测系统(3.2)的特殊情况, 即当对于所有$s\in [t]$, $a_s\equiv a\in R^{n \times n},$$\sigma_{1s}\equiv \sigma \in R^{m\times m},$$\sigma_{2s}\equiv \sigma_2\in R^{m\times n}$ and $\phi_{1s}\equiv \phi_1 \in R^{n\times m}$.

下面引入了一些关于渐近稳定性的概念和结果, 参见文献[22].

定义 4.1 设矩阵 $A \in R^{m\times m}$, 矩阵 $D\in R^{n\times m}$ 和矩阵 $B\in R^{m\times l}$.

(i) 矩阵A的稳定子空间定义为$(\lambda_iI-A)^{m_i}$的核的直和, 其中 $\lambda_i$是A的负特征值, $m_i$是$\lambda_i$的重数. $A$ 的不稳定子空间定义为 $A$ 的稳定子空间的正交.

(ii) 矩阵对$(A,D)$ 称为可检测, 如果(右)核

包含在$A$的稳定子空间中.

(iii) 如果 $A$ 的不稳定子空间包含在$(B,AB,\ldots,A^{m-1}B)$ 列所张成的线性空间中, 则矩阵对$(A,B)$ 被称为可稳定的.

以下引理类似于文献[21,引理9.35], 证明略.

引理 4.1 若 $((a-\sigma_2\phi)^*,\sigma_1)$ 是可检测的且 $((a-\sigma_2\phi_1)^*,\phi_1^*)$ 是稳定的. 则 代数 Riccati 方程

有唯一解 $\gamma_{\infty} \in R^{m\times m}$, 且数

注意, 如果 $X_0$ 独立于观察噪声 $N_t$, 则系统(4.6)变为适应的. 根据文献[17,定理12.7], 滤波$\hat{X}_t^0 =E[X_t|\bar{{\cal Z}}_{t}]$ 和其协方差$P_t^0 =E[(X_t-\hat{X}_t^0)(X_t-\hat{X}_t^0)^*]$ 分别满足

其中${\rm d}I_t=\phi_1(X_t-\hat{X}_t^0){\rm d}t+N_t$. 众所周知,最优滤波 $\hat{X}_t^0$ 的协方差 $P(t)$ 以指数速度收敛于代数Riccati方程(4.7)的解, 更多细节可参见文献[22,引理9.35].

下面将证明,在该框架下, 当 $X_0$ 和 $N_t$ 之间的相关性在有限时间内消失时, 上述收敛性仍然成立, 从而推广文献[21]中的一些结果.

为了方便起见, 我们先回顾概率测度的空间 ${\cal P}({R}^m)$ 中的Wasserstein度量

其中

现在, 我们讨论线性信号观测系统 (4.6) 滤波的渐近稳定性.

定理 4.2 假定系统 (4.6) 满足引理4.1的条件.

(i) 设 $\lambda_0$ 满足等式(4.8), $P_{11t}$ 是给定$\bar{{\cal Z}}_t$ 的 $X_t$ 的条件协方差, 且存在 $T_0>0$, 对于所有$t>T_0$ 使得 $\rho'(t)=0$. 则对所有 $0\leq \lambda<\lambda_0$, 有

(ii) 若 $\pi_t$ 为条件Gaussian概率测度 ${\cal N}(\hat{X}_t,P_t)$, $\pi_t^0$为条件Gaussian 测度 ${\cal N}(\hat{X}_t^0,P_t^0)$, 则

证 从定理4.1可以看出, 滤波方程(4.2)此时化为

其中 $P$ 满足 Riccati 方程

且$U,A,k_1,k_2$ 和 $k_3$ 分别满足

显然

通过观察, 可知扩展信号过程 $U$ 由三个分量组成. 因此, 根据方程 (4.11), 可得到

以同样的方式, 根据在扩展信号 $U$ 的第一个分量上投影关系(4.12), 可获得$P_{11t}=E[(X_t-\hat{X}_t)(X_t-\hat{X}_t)^*]$ 满足

由引理2.1, 可知 $g'(t)$ 满足下列方程

且 $r(t)$ 满足

又由引理3.1, 对于$t>T_0$, 可得$g'(t)=0, r(t)=0, \rho'(t)=0$. 将其代入方程(4.12)和方程(4.14), 可得下列方程

当初始值记$X_0$和布朗运动$N$相互独立时, 记$\hat{X}_t^0=E[X_t|{\cal Z}_t]$和$P_t^0=E[(X_t^0-\hat{X}_t^0)(X_t^0-\hat{X}_t^0)^*]$. 由文献[17,定理12.7], 经计算,$\hat{X}_t^0$ 和 $P_t^0$ 分别满足

和

根据引理4.1, 方程(4.7)具有唯一解. 此外, 文献[22,引理9.35] 表明

由于 $P_t^0=P_{11t}$, 方程 $\hat{X}_t^0$ 可改写为

则, 由(4.15)和(4.17)式, 可得

应用Itô 公式, 有

因此, 由Burkholder-Davis-Gundy不等式, 下列不等式成立

其中 $K_1$ 是常数.

记$U_s=e^{-(a-\sigma_{2}\phi_{1}-\gamma_{\infty}\phi_{1}^*\phi_{1})s}(\hat{X}_s-\hat{X}_s^0),$则$|\hat{X}_s-\hat{X}_s^0|\leq e^{-\lambda_0s}|U_s|.$因此

故而

最后, 证明结论 (ii). 若 $\phi(z)$ 是$m$ -维标准正态随机向量的概率密度函数,则

因此, 对任意 $f\in {\Bbb B}_1$, 我们有

故而,$\lim_{t\rightarrow\infty} \rho(\pi_t,\pi_t^0)= 0, ~~{\rm a.s..}$证毕.

该文研究了一类不可料信号过程噪声与观察过程噪声相关的非线性系统的滤波方程及相关线性滤波的稳定性, 其中该系统的信号过程除受到独立的布朗运动驱动外, 还受到观察过程布朗噪音的影响; 所研究的系统是对Tindel等^[21] 的不可料系统的扩展. 借助于滤子扩展技巧, 将不可料系统变为更高维的适应系统, 得到Zakai方程和Kushner-FKK 方程及其显式解. 作为应用, 得到了不可料常数系数线性滤波的渐近稳定性, 类似于经典Kalman-Bucy滤波特征. 显然, 所得到的结果都与系统中初始信号和观测噪声过程之间的协相关系数函数矩阵相关, 覆盖了一些经典信号观察系统的有关滤波特征的结果^[1,11,21].