数学物理学报, 2023, 43(4): 1073-1084

超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程

王继研,*, 程永宽

华南理工大学数学学院 广州 510640

Quasilinear Schrödinger Equations for the Heisenberg Ferromagnetic Spin Chain with the Supercritical Growth

Wang Jiyan,*, Cheng Yongkuan

Department of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640

通讯作者: *王继研, E-mail: 2585823895@qq.com

收稿日期: 2022-09-5   修回日期: 2023-02-6  

基金资助: 广东省自然科学基金(2020A1515010338)

Received: 2022-09-5   Revised: 2023-02-6  

Fund supported: GBABRF(2020A1515010338)

摘要

该文考虑一类来自于海森堡铁丝链模型的拟线性薛定谔方程, 通过摄动方法、截断技巧以及变量替换证明了超临界情形下该方程有一族单参数慢速衰减的正解.

关键词： 拟线性薛定谔方程; 约化方法; 变量替换

Abstract

In this paper, we consider a model problem arising from a classical planar Heisenberg ferromagnetic spin chain. Based on the perturbative approach, the cut off technique and the change of variables, we prove that the existence of infinity many positive solutions with slow decaying $O \big (|x| ^{-\frac{2}{p-1}}\big )$ at infinity.

Keywords： Schrödinger equations; Perturbative approach; Change of variables

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本文引用格式

王继研, 程永宽. 超临界拟线性海森堡铁丝链薛定谔方程[J]. 数学物理学报, 2023, 43(4): 1073-1084

Wang Jiyan, Cheng Yongkuan. Quasilinear Schrödinger Equations for the Heisenberg Ferromagnetic Spin Chain with the Supercritical Growth[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(4): 1073-1084

1 引言

本文研究的方程来源于以下物理模型

$\begin{equation}\label{1.1} iz_t=-\Delta z+W(x)z-\rho(|x|^{2})z-\Delta l(|x|^{2})l'(|x|^{2})z,\ x\in \mathbb{R} ^N, \end{equation} $

其中 $N\geq 3,\ z$ 是波函数, $W(x)$ 是给定的位势, 而 $l,\rho$ 是实值函数.随着实值函数 $l$ 的不同方程(1.1)出现在量子力学、弹性物理、海森堡铁磁体理论以及流体力学等学科中.例如当 $l(s)=s$ 时, 方程(1.1)出现在弹性力学的超流体膜方程中[1]; 当 $l(s)=\sqrt{1+s}$ 时, 方程(1.1)来自于高功率超短激光脉冲的研究中[2]; 当 $l(s)=\sqrt{1-s}$ 时, 方程(1.1)出现在经典平面海森堡铁丝自旋链中[3]. 其它请参见文献[4⇓-6]. 2002年以来, 对$l(s)=s$ 和 $l(s)=\sqrt{1+s}$ 的情况, 方程(1.1)一直是椭圆型偏微分方程中的研究热点之一, 吸引了国内外很多学者的关注. 考虑方程(1.1)的驻波解, 即形如 $\phi (x,t)=\exp(iFt)u(x)$ 的解, 这里 $F\in \mathbb{R} $, 且 $u>0$ 是实值函数. 将 $\phi$ 代入方程(1.1)整理得

$ \begin{equation} \Delta u-V(x)u+l'(u^{2})u\Delta l(u^{2})+\rho(u^{2})u=0,\ x\in \mathbb{R} ^N, \end{equation}$

这里 $V(x)=W(x)+F$ 为新位势.令 $l(s)=(1-s)^{\frac{1}{2}},$$\rho(s)=\varepsilon'(1-s)^ {-\frac{1}{2}}$ 且 $V(x)=\lambda+\varepsilon',$

由此得到最初描述海森堡铁丝链的方程

$\begin{equation}-\triangle u+\lambda u -\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\triangle \sqrt{1-u^2}=\varepsilon' \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}-\varepsilon' u,\ x\in\mathbb{R} ^{N}. \end{equation} $

在现有文献中关于方程(1.3)的结果很少. 文献[7] 就一维情形给出了方程(1.3)在 $\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}u(x)=0$ 时解的存在性结果. 文献[5]给出了此方程高维的结果.王友军[8]考虑方程

$\begin{equation}-\triangle u+\lambda u-\frac{ u}{\sqrt{1-u^2}}\triangle \sqrt{1-u^2}=\varepsilon' \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}-\varepsilon' u,\ x\in\mathbb{R} ^{3},\end{equation}$

且把文献[7] 中的结果推广到了三维情形. 令 $l(s)=\sqrt{1-s},\ \rho(s)=s^{\frac{p-1}{2}},$ 同时限制 $u$ 的取值并假设 $u$ 在无穷远处衰减到 $0,$ 于是方程(1.2)变成了拟线性薛定谔方程

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta u-V(x)u-\frac{u}{2\sqrt{1-u^{2}}}\Delta\sqrt{1-u^{2}}+u^p=0,x\in \mathbb{R} ^N,\\[3mm] 0<u<\frac{1}{2},\lim\limits_{|x|\to \infty}u(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

其中 $p>\frac{N+2}{N-2},\ N\geq 3.$ 本文考虑方程(1.5)在超临界下的多解问题.不同于前面的文献, 这里考虑的是超临界问题, 由于 Sobolev 嵌入定理的缺失, 我们必须跳出变分的范围.我们将利用文献[8⇓-10]给出的约化方法讨论方程(1.5) 的一族单参数解. 下面我们把主要结果陈述如下.

定理 1.1 对零质量情形, 即 $V(x)=0.$ 如果 $p>\frac{N+2}{N-2},$ 则方程(1.5)具有在无穷远处衰减为 $O(|x|^{-2/(p-1)})$ 的单参数族径向对称解.

定理 1.2 假设 $V>0$ 且 $V\in L^{\infty}(\mathbb{R} ^N).$ 则下列两个条件

(1) $N\geq 4,\ p\geq \frac{N+1}{N-3}$ 且 $V(x)= o(|x|^{-2}),\ |x|\rightarrow +\infty;$

(2) $N\geq 3,\ \frac{N+2}{N-2} <p < \frac{N+1}{N-3}$ 且存在 $C>0$ 和 $\mu >N$ 使得 $V(x) \leq C |x|^{-\mu}$

有一个成立时, 方程(1.5)存在一族单参数解 $u_{\lambda}(x)$ 满足 $\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0} u_{\lambda}(x)=0$ 关于 $x\in\mathbb{R} ^N$ 一致成立.

2 定理 1.1 的证明

2.1 摄动的引入

此时方程(1.5)变成

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta u-\frac{u}{2\sqrt{1-u^{2}}}\Delta\sqrt{1-u^{2}}+u^p=0,\ x\in \mathbb{R} ^N;\\[3mm] 0<u<\frac{1}{2},\ \lim\limits_{|x|\to \infty}u(x)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

类似文献[9], 引入积分变换

$v= G(u)= \int_{0}^{u} g(t) {\rm d} t,$

其中 $g^2(t) = 1+ \frac{1}{2} ( l(t^2)' )^2=1+ \frac{t^2}{2(1-t^2)},\ t\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big).$ 则方程(2.1)就可以变为如下的半线性方程

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v+f(v)=0,\ x\in \mathbb{R} ^N,\\ 0<v<G\left(\frac{1}{2}\right),\ \lim\limits_{|x|\to \infty}v(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

其中 $f(v)=\frac{G^{-1}(v)^p}{g\left(G^{-1}(v)\right)}.$由于约化和径向对称的需要, 用 $\lambda^{\frac{2}{p-1}}v(\lambda|x|)$ 来替代(2.2)式中的 $ v(x)$, 这里的参数 $\lambda>0.$于是通过替换并整理, 得到了以下与(2.2)式等价的方程

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v+\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)=0,\\[3mm] 0<v<\lambda^{\frac{-2}{p-1}}G\left(\frac{1}{2}\right),\ \lim\limits_{r\to \infty}v(r)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

其中 $r=|x|\in (0,\infty).$由于 $g(0)=1,\ g'(0)= 0,$ 所以

$\begin{eqnarray*}&&u=G^{-1}(v) = v-\frac{1}{12} v^3 + o(v^3),\ v\rightarrow 0^+,\\&&g\left( G^{-1}(v) \right) = 1+ \frac{1}{4} v^2 + o(v^2),\ v\rightarrow 0^+.\end{eqnarray*}$

进而

$\begin{eqnarray*}\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)&=&\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}\frac{G^{-1}\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)^p}{g\left(G^{-1}\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)\right)}\\&=&v^p-\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}}v^{p+2}+o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}v^{p+2}\right).\end{eqnarray*}$

又因为 $v$ 是一致有界的, 所以当 $\lambda\to0$ 时, $\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)\to v^{p},$ 因此方程(2.3)可以看成以下方程的摄动

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v+v^p=0;\\ 0<v<\lambda^{\frac{-2}{p-1}}G\left(\frac{1}{2}\right),\ \lim\limits_{r\to \infty}v(r)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

并且当 $p>\frac{N+2}{N-2}$ 时, 方程

$\left\{\begin{array}{lll}\Delta u + u^p=0,\ x\in\mathbb{R} ^N;\\u(0)=1\end{array}\right.$

具有唯一的径向对称解 $w(|x|),$ 满足

$w(r) = C_{p,N} r^{-\frac{2}{p-1}} + o(1),\ r\rightarrow +\infty.$

则该方程的所有径向对称解可以表示为 $w_{\lambda}(|x|) = \lambda^{\frac{2}{p-1}}w(\lambda |x|),\ \lambda>0.$

2.2 运用Banach不动点定理完成证明

在范数

$\begin{equation}\Vert \varphi\Vert_*=\sup\limits_{\Vert x\Vert\leq1}|x|^{\sigma}|\varphi(x)|+\sup\limits_{\Vert x\Vert\geq1}|x|^{\frac{2}{p-1}}|\varphi(x)|,\end{equation}$
$\begin{equation}\Vert h\Vert_{**}=\sup\limits_{\Vert x\Vert\leq1}|x|^{\sigma+2}|h(x)|+\sup\limits_{\Vert x\Vert\geq1}|x|^{2+\frac{2}{p-1}}|h(x)|\end{equation}$

下首先考虑以下的线性方程

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \varphi''+\frac{N-1}{r}\varphi'+pw^{p-1}\varphi=h,\ r\in (0,\infty),\\[2mm] \lim\limits_{r\to \infty}\varphi(r)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

这个方程的可解性依赖于下面的引理(见文献[11]).

引理 2.1 设 $0\leq \sigma\leq N-2,p\geq\frac{N+2}{N-2}$, 那么存在正常数 $C$ 使得对于任意 $h$ 满足 $\Vert h\Vert_{**}$ 有界, 方程(2.7)都有一个解 $\varphi=\tau(h) $ {\rm (这是个有界线性算子)}满足以下范数不等式

$\Vert \varphi\Vert_*=\Vert \tau(h)\Vert_*\leq\Vert h\Vert_{**}.$

接下来就是要找到方程(2.4)的形如 $v=w+\varphi$ 的径向对称解, 其中的 $w $ 是方程(2.5)的正解, 那么我们就将问题转化为了求 $\varphi,$ 为了在 $\|\phi\|_{*}$ 很小的情况下保证 $\phi$ 很小, 结合 $\|\phi\|_{*}$ 的定义, 先说明 $\phi$ 是一致有界的.事实上, 首先 $v=w+\phi$ 是

$\left\{\begin{array}{lll} \Delta v + \lambda^{-\frac{2p}{p-1}} f(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v)=0,\ x\in\mathbb{R} ^N,\\[2mm] 0<v < \lambda^{-\frac{2}{p-1}} G\left(\frac{1}{2}\right),\ \lim\limits_{r\rightarrow \infty} v(r) =0\end{array}\right.$

的解.一方面, 如果 $x$ 满足 $|x|=1,$ 则 $|\phi|\leq C,$ 从而在 $|x|=1$ 时 $w+\phi$ 是有界的.另一方面, 注意到

$\begin{eqnarray*}\lambda^{\frac{-2pq}{p-1}}\int_{B_1(0)} f^q\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}v}\right){\rm d}x&\leq& C\int_{B_1(0)} w^{pq}{\rm d}x+C\int_{B_1(0)} |\varphi|^{pq}{\rm d}x\\&\leq& C+C\int_{B_1(0)} |x|^{-\sigma pq}{\rm d}x<C\end{eqnarray*}$

对 $\sigma > 0$ 适当小成立, 则 $\left\Vert \lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)\right \Vert_{L^q(B_1(0))}$ 在 $\lambda \to 0$ 和 $q>\frac{N}{2}$ 时保持有界.因此, 对任意 $|x|\leq 1,$ 都有$ | w+ \varphi | < C.$ 然后结合 $ v$ 在无穷远处的衰减性质有

$|\varphi| \leq C,\ \forall x\in\mathbb{R} ^N.$

将 $v=w+\varphi$代入到方程(2.3)中, 得到关于 $\varphi$ 的方程

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{lll}\Delta \varphi+pw^{p-1}\varphi=S(w)+N(\varphi),\ r\in (0,\infty),\\\lim\limits_{r\to+ \infty}\varphi(r)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

这里

$\begin{eqnarray*}&&S(w) = - \Delta w - \lambda^{-\frac{2p}{p-1}} f\left( \lambda^{\frac{2}{p-1}} w \right),\\&&N(\varphi) = \lambda^{-\frac{2p}{p-1}} f\left( \lambda^{\frac{2}{p-1}} w \right) + p w^{p-1} \varphi - \lambda^{-\frac{2p}{p-1}} f\left( \lambda^{\frac{2}{p-1}} (w+\varphi) \right).\end{eqnarray*}$

现在我们知道, 给定一个合适的 $\varphi$, 根据引理2.1就可得知方程(2.8)有相应的解, 我们将对应映射记为 $A,$ 具体来说 $A$ 的定义就是

$A(\varphi):=\tau\left(S(w)+N(\varphi)\right).$

于是显然求解方程(2.8)就变成了求 $A$ 的不动点.定义空间

$\Omega=\left\{\varphi:\mathbb{R} ^N\to R\;|\; \Vert \varphi\Vert_*\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\right\},$

我们接下来要证明两件事情, 一是 $A$ 是 $ \Omega$ 上的算子, 即 $ A(\Omega) \subset \Omega;$ 第二个就是说明 $ A$ 是一个压缩映射.对任意的 $\varphi \in \Omega$, 由引理2.1可知

$\begin{equation}\Vert A(\varphi)\Vert_*\leq C\Vert S(w)+N(\varphi)\Vert_{**}.\end{equation}$

先来估计 $ \Vert S(w)\Vert_{**}$, 事实上

$\begin{eqnarray*}|S(w)|&=&\left|\Delta w+\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right|\\&=&\left|\Delta w+w^p+\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)-w^p\right|\\&=&\left|\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)-w^p\right|,\end{eqnarray*}$

考虑展开

$\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)=w^p-\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{12}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}}w^{p+2}+o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}w^{p+2}\right),\lambda \to 0,$

这说明

$|S(w)|\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}|w|^{p+2}.$

进一步得到

$\sup\limits_{\Vert x\Vert\leq1}|x|^{\sigma+2}|S(w)|\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\Vert w\Vert^{p+2}_{\infty}\sup\limits_{\Vert x\Vert\leq1}|x|^{\sigma+2}\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}.$

此外, 回忆 $w(x)\leq C(1+|x|)^{\frac{-2}{p-1}},\ x\in \mathbb{R} ^N,$\ 得到

$\sup\limits_{\Vert x\Vert \geq1}|x|^{2+\frac{2}{p-1}}|S(w)| \leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\sup\limits_{\Vert x\Vert \geq1}\left(\frac{|x|}{1+|x|}\right)^{\frac{2(p+2)}{p-1}}\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}},$

综合上式有

$\begin{equation}\Vert S(w)\Vert_{**}\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}.\end{equation}$

接下来估计$\Vert N(\varphi)\Vert_{**}.$对任意\ $\varphi \in \Omega,\ \sigma \in \left(0,\min\{2,\frac{2}{p-1}\}\right)$, 根据文献[11]与已有展开

$\begin{equation}\Vert N(\varphi)\Vert_{**}\leq C\left[\Vert \varphi \Vert^2_{*}+\Vert \varphi \Vert^p_*\right].\end{equation}$

因为

$\begin{eqnarray*}N(\varphi)&=&\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)+pw^{p-1}\varphi-\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}(w+\varphi)\right)\\&=&w^p+pw^{p-1}\varphi-(w+\varphi)^p+o(1),\lambda \to 0,\end{eqnarray*}$

结合 (2.10), (2.11)式与引理2.1, 可得到

$\begin{equation} \Vert A(\varphi)\Vert_{*}\leq C\left[\Vert N(\varphi) \Vert_{**}+\Vert S(w) \Vert_{**}\right] \leq C\left[ \lambda^{\frac{4}{p-1}}+\lambda^{\frac{8}{p-1}}+\lambda^{\frac{4p}{p-1}}\right]\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}. \end{equation}$

这说明 $A(\Omega)\subset \Omega.$接下来再证明第二点, 即 $A$ 是一个压缩映射, 假设 $\varphi_1,\varphi_2 \in \Omega$, 于是

$\begin{equation}\Vert A(\varphi_1)-A(\varphi_2)\Vert_{*}\leq C\Vert N(\varphi_1)-N(\varphi_2)\Vert_{**}.\end{equation}$

进一步, 注意到

$|N(\varphi_1)-N(\varphi_2)|\leq C\left(w^{p-2}(|\varphi_1|+|\varphi_2|)+|\varphi_1|^{p-1}+|\varphi_2|^{p-1}\right)|\varphi_1-\varphi_2|,$

此时有估计

$\begin{eqnarray*}\Vert A(\varphi_1)-A(\varphi_2)\Vert_{*}&\leq& C \Vert N(\varphi_1)-N(\varphi_2)\Vert_{**}\\&\leq& C\left[\Vert \varphi _1\Vert^{\min\{1,p-1\}}_{*}+\Vert \varphi _2\Vert^{\min\{1,p-1\}}_{*}\right]\Vert \varphi_1-\varphi_2\Vert_{*}\\&\leq& \frac{1}{2}\Vert \varphi_1-\varphi_2\Vert_{*}.\end{eqnarray*}$

所以当 $\lambda$ 足够小的时候, $A$ 是从 $\Omega$ 到它自身的压缩映射, 根据 {\rm Banach} 不动点定理, 在 $\Omega$ 中一定存在 $ A$ 的一个不动点, 记为 $\varphi.$ 于是函数 $v_{\lambda}(|x|):=\lambda^{\frac{2}{p-1}}\left(w(\lambda|x|)+\varphi(\lambda|x|)\right)$ 是 (2.4)式满足条件的连续解.由于对于足够小的 $\lambda,$$0< w+\varphi<\lambda^{\frac{2}{p-1}}G\left(\frac{1}{2}\right)$ 成立, 我们得到 $0< v_{\lambda}(|x|)<G\left(\frac{1}{2}\right),$ 于是$0< u_{\lambda}(|x|)<\frac{1}{2},$ 最终得 $ u_{\lambda}(|x|)=G^{-1}(v_{\lambda}(|x|))$ 就是我们想要找到的解.

3 定理 1.2 的证明

3.1 一些准备工作

在这一部分, 先对一般情况进行证明, 首先的第一步和零质量情形的第一步是相似的, 即通过换元引入摄动, 但是在这里会有小小的不同.同样令

$v= G(u)= \int_{0}^{u} g(t) {\rm d} t,$

其中 $g^2(t) = 1+ \frac{1}{2} ( l(t^2)' )^2=1+ \frac{t^2}{2(1-t^2)},\ t\in \Big[0,\frac{1}{2}\Big).$ 那么我们可以将方程 (1.5) 转化为

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v-V(x)l(s)+f(v)=0,x\in \mathbb{R} ^N,\\[2mm] 0<v<G\left(\frac{1}{2}\right),\ \lim\limits_{|x|\to+ \infty}v(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

这里

$l(s)=\frac{G^{-1}(s)}{g\left(G^{-1}(s)\right)}.$

用 $\lambda^{\frac{2}{p-1}}v(\lambda x+\xi)$ 替换上述方程中的 $ v(x),$ 得到与 方程(3.1)等价的方程

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v-V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)+\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right)=0,x\in \mathbb{R} ^N,\\[2mm] 0<v<\lambda^{\frac{-2}{p-1}}G\left(\frac{1}{2}\right),\lim\limits_{|x|\to+ \infty}v(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

这里 $\lambda>0,\ \xi \in \mathbb{R} ^N,\ V_{\lambda}(x)=\lambda^{-2}V\left(\frac{x-\xi}{\lambda}\right).$ 由前面已经展开证明过的结论可知

$\lambda^{\frac{-2p}{p-1}}f\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right) \to v^p, \lambda \to 0.$

同理可知

$\lambda^{\frac{-2}{p-1}}l\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}v\right) \to v,\ \lambda \to 0.$

于是想要求解的方程就可以看成是以下方程的摄动

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta v-V_{\lambda}(x)v+v^p=0,x\in \mathbb{R} ^N,\\[2mm] 0<v<\lambda^{\frac{-2}{p-1}}G\left(\frac{1}{2}\right),\lim\limits_{|x|\to+ \infty}v(x)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

接下来在范数

$\begin{equation}\Vert \varphi\Vert_{*,\xi}=\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \leq1}|x-\xi|^{\sigma}|\varphi(x)|+\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \geq1}|x-\xi|^{\frac{2}{p-1}}|\varphi(x)|,\end{equation}$
$\begin{equation}\Vert h\Vert_{**,\xi}=\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \leq1}|x-\xi|^{\sigma+2}|h(x)|+\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \geq1}|x-\xi|^{2+\frac{2}{p-1}}|h(x)|\end{equation}$

下考虑以下方程的可解性

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta \varphi-V_{\lambda}(x)\varphi+pw^{p-1}\varphi=h+\sum_{i=1}^{N}c_iZ_i,\ x\in\mathbb{R} ^N,\\ \lim\limits_{|x|\to \infty}\varphi(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

其中 $Z_i=\eta \frac{\partial w}{\partial x_i},$ 这里的 $ w$ 是方程 (3.3) 的解, 而 $\eta$ 是截断函数.为了证明的完成, 还需要两个引理(见文献[11]).

引理 3.1 若 $N\geq4, p\geq\frac{N+1}{N-3}$, 方程(3.6)在 $c_i=0,\xi=0$ 时有依赖于 $h$ 的解 $\varphi=\tau_{\lambda}(h),$ 且存在常数 $C$ 使得

$\Vert \tau_{\lambda}(h)\Vert_{*,0}\leq C\Vert h\Vert_{**,0}.$

引理 3.2 若 $N\geq3, p<\frac{N+1}{N-3}$, 那么方程 {\rm (3.6)} 有解 $(\varphi,c_1,c_2,\cdots,c_N)=\tau_{\lambda}(h)$ 线性依赖于 $h,$ 并且存在常数 $C$ 使得

$\Vert \varphi \Vert_{*,\xi}+\max\limits_{1\leq i\leq N}|c_i|\leq C\Vert h\Vert_{**,\xi}.$

进一步, 所有 $c_i=0$ 当且仅当

$\int_{\mathbb{R} ^N}h\frac{\partial w}{\partial x_i}=0,\ \forall 1\leq i\leq N.$

准备工作完成后, 正式开始证明一般情况, 这里根据 $p$ 分为两种情况进行证明.

3.2 $p\geq \frac{N+1}{N-3}$

这一种情形我们的证明和零质量情况很相似, 将 $\xi$ 取为 $0,$ 还是寻求方程(3.2)形如 $ w+\varphi$ 的解, 将它代入方程(3.2) 并改写形式得

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta \varphi-V_{\lambda}(x)\varphi+pw^{p-1}\varphi=S_1(w)+N(\varphi)+P(\varphi),\ x\in\mathbb{R} ^N,\\ \lim\limits_{|x|\to \infty}\varphi(x)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

其中

$\begin{eqnarray*}&&S_1(w)=S(w)+V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right),\\&&P(\varphi)=V_{\lambda}(x)\left[\lambda^{-\frac{2}{p-1}}\left(l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}(w+\varphi)\right)- l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right)-\varphi \right],\end{eqnarray*}$

这里的$S(w),\ N(\varphi)$和上一章节是同样的定义.与第一部分的证明一样, 先来估计一下各项.由于

$\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)=w+o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}w^3\right),\lambda \to 0,$

所以

$\left \Vert V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right \Vert _{**,0}:=\delta (\lambda)=o(1),\lambda \to 0.$

当 $\sigma \in \left(0,\min \{2,\frac{2}{p-1}\}\right)$ 时, 有

$\Vert S_1(w)\Vert _{**,0}=\left \Vert S(w)+V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right \Vert _{**,0}\leq C\rho(\lambda),$

这里 $\rho(\lambda)=\lambda^{\frac{4}{p-1}}+\delta(\lambda).$ 定义空间与算子

$\begin{eqnarray*}&&\Omega_{\lambda}=\left\{\varphi:\mathbb{R} ^N\to R\;|\; \Vert \varphi\Vert_{*,0}\leq C\rho(\lambda)\right \},\\&&A_{\lambda}(\varphi):=\tau_{\lambda}\left(S_1(w)+N(\varphi)+P(\varphi)\right).\end{eqnarray*}$

接下来将证明上述算子在上述空间中有不动点, 于是也就证明了方程(3.2)的解的存在性.对 $\forall \varphi \in \Omega_{\lambda}$, 根据第 2 节对 $G^{-1}(v)$ 和 $g(G^{-1}(v))$ 的展开以及 $l(v)= \frac{G^{-1}(v)}{g(G^{-1}(v))},$ 又注意到 $V(x) = o(|x|^{-2}),$ 可知

$\begin{eqnarray*}&&V_{\lambda}(x)\left[\lambda^{-\frac{2}{p-1}}\left(l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}(w+\varphi)\right)- l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right)-\varphi \right]\\&=&-\frac{5}{12}\lambda^{\frac{4}{p-1}}[(w+\varphi)^3-\varphi ^3)]+o(\lambda^{\frac{4}{p-1}}),\lambda \to0.\end{eqnarray*}$

于是有

$\begin{eqnarray*}\sup\limits_{\Vert x\Vert \leq 1}|x|^{\sigma+2}|P(\varphi)|&\leq& C \sup\limits_{\Vert x\Vert \leq 1}|x|^{\sigma+2}V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{4}{p-1}}(|w^2\varphi|+|\varphi|^3)\\&\leq& C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\sup\limits_{\Vert x\Vert \leq 1}|x|^{\sigma}(|w^2\varphi|+|\varphi|^3)\\&\leq& C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\Vert \varphi \Vert_{*,0}.\end{eqnarray*}$

另外由范数的定义知

$\begin{eqnarray*}&&|\varphi(x)|\leq C|x|^{-\frac{2}{p-1}}\Vert \varphi \Vert_{*,0},\ \forall |x|\geq1,\\&&w(x)\leq C(1+|x|)^{-\frac{2}{p-1}},\ \forall x\in \mathbb{R} ^N,\end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray*}\sup\limits_{\Vert x\Vert \geq 1}|x|^{2+\frac{2}{p-1}}|P(\varphi)|&\leq& C \lambda^{\frac{4}{p-1}}\sup\limits_{\Vert x\Vert \geq 1}|x|^{2+\frac{2}{p-1}}V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{4}{p-1}}(|w^2\varphi|+|\varphi|^3)\\&\leq& C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\sup\limits_{\Vert x\Vert \geq 1}\left( (1+|x|)^{-\frac{4}{p-1}}\Vert \varphi \Vert_{*,0}+|x|^{-\frac{4}{p-1}}\Vert \varphi \Vert_{*,0}^3\right)\\&\leq &C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\left( \Vert \varphi \Vert_{*,0}+\Vert \varphi \Vert_{*,0}^3\right).\end{eqnarray*}$

综合上述各式得

$\Vert P(\varphi) \Vert_{**,0}\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\left( \Vert \varphi \Vert_{*,0}+\Vert \varphi \Vert_{*,0}^3\right).$

最后结合在上一部分对 $N(\varphi)$ 的估计有

$\begin{eqnarray*}\Vert A_{\lambda}(\varphi) \Vert_{*,0}&\leq& C\Vert S_1(w)+N(\varphi)+P(\varphi)\Vert_{**,0}\\&\leq &C\left[\rho(\lambda)+\rho(\lambda)^2 +\rho(\lambda)^p+\rho(\lambda)+\rho(\lambda)^3\right]\\&\leq &C\rho(\lambda),\forall \varphi \in \Omega_{\lambda}.\end{eqnarray*}$

这说明 $A_{\lambda}(\Omega_{\lambda}) \subset \Omega_{\lambda}.$

接下来说明它是压缩算子.任取 $\varphi_1,\ \varphi_2\in \Omega_{\lambda},$ 记

$|P(\varphi_1)-P(\varphi_2)|=|D_{\varphi}P(\hat{\varphi})(\varphi_1-\varphi_2)|,$

这里的 $\hat{\varphi}$ 位于 $\varphi_1$ 与 $\varphi_2$ 的连线之上, 因此有

$\begin{eqnarray*}&&|x|^{2+\sigma}|P(\varphi_1)-P(\varphi_2)|\leq |x|^2|D_{\varphi}P(\hat{\varphi})|\;\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0},\forall|x|\leq 1,\\&&|x|^{2+\frac{2}{p-1}}|P(\varphi_1)-P(\varphi_2)|\leq |x|^2|D_{\varphi}P(\hat{\varphi})|\;\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0},\forall|x|\geq 1.\end{eqnarray*}$

进一步

$\Vert P(\varphi_1)-P(\varphi_2) \Vert_{**,0}\leq C\sup\limits_{x\in \mathbb{R} ^N}\left(|x|^2|D_{\varphi}P(\hat{\varphi})|\right)\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0},$

直接计算 $P(\varphi)$ 的导数

$\begin{eqnarray*}D_{\varphi}P(\hat{\varphi})&=&V_{\lambda}(x)\left[l'\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}(w+\hat{\varphi })\right)-1\right]\\&=&V_{\lambda}(x)\left[-2\lambda^{\frac{4}{p-1}}(w+\hat{\varphi} )^2+o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}(w+\hat{\varphi} )^2\right)\right],\lambda \to 0, \end{eqnarray*}$

由此知

$\sup\limits_{x\in \mathbb{R} ^N}\left(|x|^2|D_{\varphi}P(\hat{\varphi})|\right)\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}.$

综上所述, 当 $\lambda$ 足够小有

$\Vert P(\varphi_1)-P(\varphi_2) \Vert_{**,0}\leq \frac{1}{4}\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0}.$

又因为

$\Vert N(\varphi_1)-N(\varphi_2) \Vert_{**,0}\leq \frac{1}{4}\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0},$

综合引理3.1得

$\begin{eqnarray*}\Vert A_{\lambda}(\varphi_1)-A_{\lambda}(\varphi_2) \Vert_{*,0}&\leq& C\left[\Vert N(\varphi_1)-N(\varphi_2) \Vert_{**,0}+\Vert P(\varphi_1)-P(\varphi_2) \Vert_{**,0}\right]\\&\leq &\frac{1}{2}\Vert \varphi_1-\varphi_2 \Vert_{*,0},\forall \varphi_1,\varphi_2\in \Omega_{\lambda}.\end{eqnarray*}$

因此 $A_{\lambda}$ 是$\Omega_{\lambda}$ 上的压缩算子, 它在 $\Omega_{\lambda}$ 有唯一的不动点, 将其记为 $\varphi_{\lambda},$ 那么易知函数 $u_{\lambda}(|x|)=G^{-1}\left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}\left(w(\lambda|x|)+\varphi_{\lambda}(\lambda|x|)\right)\right)$ 是方程 (3.1) 的连续解, 它依赖于 $\lambda,$ 有无数个.

3.3 $\frac{N+2}{N-2}<p<\frac{N+1}{N-3}$

此时不能直接考虑方程(3.7)的解, 因为此时的 $p$ 不能满足引理3.1 的条件, 所以要对第一种情况的一些地方做出改动.首先定义新的范数

$\begin{eqnarray*}&&\Vert \varphi\Vert_{*,\xi}^{\theta}=\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \leq1}|x-\xi|^{\theta}|\varphi(x)|+\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \geq1}|x-\xi|^{\frac{2}{p-1}}|\varphi(x)|,\\&&\Vert h\Vert_{**,\xi}^{\theta}=\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \leq1}|x-\xi|^{\theta+2}|h(x)|+\sup\limits_{\Vert x-\xi \Vert \geq1}|x-\xi|^{2+\frac{2}{p-1}}|h(x)|\end{eqnarray*}$

并考虑以下方程的可解性

$\begin{equation}\left \{ \begin{array}{lll} \Delta \varphi-V_{\lambda}(x)\varphi+pw^{p-1}\varphi=S_1(w)+N(\varphi)+P(\varphi)+\sum_{i=1}^{N}c_iZ_i,\ x\in\mathbb{R} ^N,\\ \lim\limits_{|x|\to \infty}\varphi(x)=0. \end{array}\right.\end{equation}$

固定 $\sigma \in \left(0,\min\{2,\frac{2}{p-1}\}\right),$ 我们有

$\Vert S_1(w)\Vert_{**,\xi}^{\sigma}\leq C\rho(\lambda),$

这里 $\rho(\lambda)=o(1),\ \lambda\to 0.$ 定义空间

$\Omega_{\lambda,\sigma}=\left\{(\varphi,c_1,c_2,\cdots,c_N)\in \mathbb{R} ^N\;|\; \Vert \varphi\Vert_{*,\xi}^{\sigma}+\sum_{i=1}^{N}|c_i| \leq C\rho(\lambda)\right \}$

算子 $A_{\lambda}$ 的定义同上, 于是根据引理3.2可知此算子定义是合理的, 同样运用前面的方法可以证明它是 $\Omega_{\lambda,\sigma}$ 上的压缩算子, 于是可知道$A_{\lambda}$ 在 $\Omega_{\lambda,\sigma}$ 中一定存在不动点, 即方程 (3.8) 的解

$\left(\varphi(\lambda,\xi),c_1(\lambda,\xi),c_2(\lambda,\xi),\cdots,c_N(\lambda,\xi)\right).$

这个解当且仅当它的所有 $c_i(\lambda,\xi)=0$ 时才是我们想要寻找的解, 到了这里读者应该可以明白为什么相比第一部分的换元多了一个位移$\xi.$ 接下来就是要寻找到合适的 $\xi$ 使得所有 $c_i(\lambda,\xi)=0,$ 根据引理3.2 可知这等价于寻找 $\xi=\xi(\lambda)$ 使得

$\int_{\mathbb{R} ^N}\left(S(w)+V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)+N\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)+P\left(\varphi(\lambda,\xi)\right) \right) \frac{\partial w}{\partial x_i}=0,\forall 1\leq i\leq N.$

接下来逐项计算.根据文献[10], 当 $\theta\in \left(0,\frac{4}{p-1}\right)$ 时 $\rho(\lambda)$ 相当于 $\lambda^{\theta}$ 阶.具体算来是

$\begin{eqnarray*}&&\left\Vert V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\right\Vert^{\theta}_{**,\xi}\leq C\lambda^{\theta},\ \theta\in (0,N-2),\\&&\Vert S(w)\Vert^{\theta}_{**,\xi}\leq C\lambda^{\theta},\theta\in \left(0,\frac{4}{p-1}\right),\\&&\Vert \varphi(\lambda,\xi)\Vert^{\sigma}_{*,\xi}+\max\limits_{1\leq i\leq N}|c_i(\lambda)|\leq C\lambda^{\theta},\ \theta\in \left(0,\frac{4}{p-1}\right).\end{eqnarray*}$

注意到 $\frac{4}{p-1}<N-2,$ 于是

$\begin{eqnarray*}&&\int_{\mathbb{R} ^N}V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)\frac{\partial w}{\partial x_i}=o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}\right),\ \lambda \to 0,\\&&\int_{\mathbb{R} ^N}N\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)\frac{\partial w}{\partial x_i}=o\left(\lambda^{\frac{4}{p-1}}\right),\ \lambda \to 0.\end{eqnarray*}$

进一步注意到

$|P\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)|\leq C\lambda^{\frac{4}{p-1}}V_{\lambda}\left(|w^2\varphi(\lambda,\xi)|+|\varphi(\lambda,\xi)|^3\right),$

因此得到

$\begin{eqnarray*}\left|\int_{\mathbb{R} ^N}P\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)\frac{\partial w}{\partial x_i}\right|&\leq &C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\left|\int_{\mathbb{R} ^N}V_{\lambda}\varphi(\lambda,\xi)\left(w^2+\varphi^2(\lambda,\xi)\right)\frac{\partial w}{\partial x_i}\right|\\&\leq& C\lambda^{\frac{4}{p-1}}\left|\int_{\mathbb{R} ^N}V_{\lambda}\varphi(\lambda,\xi)\frac{\partial w}{\partial x_i}\right|\\&=&o(\lambda^{\frac{4}{p-1}}),\ \lambda \to 0,\end{eqnarray*}$

最后根据 $S(w)$ 的展开

$S(w)=\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}}w^{p+2}+o(\lambda^{\frac{4}{p-1}}w^{p+2}),\ \lambda \to 0,$

得

$\int_{\mathbb{R} ^N}S(w)\frac{\partial w}{\partial x_i}=\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}}\int_{\mathbb{R} ^N}w^{p+2}(x+\xi)\frac{\partial w}{\partial x_i}{\rm d}x+o(\lambda^{\frac{4}{p-1}}),\ \lambda \to 0.$

定义

$F^i_{\lambda}(\xi)=\int_{\mathbb{R} ^N}\left(S(w)+V_{\lambda}(x)\lambda^{\frac{-2}{p-1}} l \left(\lambda^{\frac{2}{p-1}}w\right)+N\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)+P\left(\varphi(\lambda,\xi)\right)\right)\frac{\partial w}{\partial x_i},$

这里 $F_{\lambda}(\xi)=\left(F^1_{\lambda}(\xi),F^2_{\lambda}(\xi),\cdots,F^N_{\lambda}(\xi)\right).$ 综合上述各式有

$F^i_{\lambda}(\xi)=\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}}\int_{\mathbb{R} ^N}w^{p+2}(x+\xi)\frac{\partial w}{\partial x_i}{\rm d}x+o(\lambda^{\frac{4}{p-1}}),\ \lambda \to 0.$

由于 $0$ 是 $w$ 的临界点, 所以可得到 $\xi_{\lambda}$ 的存在性.事实上, 由文献[p187]知对 $|\xi| = \rho>0$ 充分小, 有

$\langle \nabla w(\xi),\xi \rangle <0,$

所以对 $\delta>0$ 充分小有

$\sup_{x\in B_{\delta}} \langle \nabla w(x+\xi),\xi \rangle <0,$

对所有的 $|\xi| = \rho$ 成立.这样根据 $w$ 的衰减性我们得到

$\begin{eqnarray*}\langle F_{\lambda}(\xi),\xi \rangle &=&\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}} \int_{\mathbb{R} ^N}w^{p+2}(x+\xi) \langle \nabla w(x+\xi),\xi \rangle {\rm d} x + o( \lambda^{\frac{4}{p-1}} ) \\& =&\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}} \int_{ B_{\delta} \cup (\mathbb{R} ^N\setminus B_{\delta}) }w^{p+2}(x+\xi) \langle \nabla w(x+\xi),\xi \rangle {\rm d} x + o( \lambda^{\frac{4}{p-1}} )\\&=&\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{6}\right)\lambda^{\frac{4}{p-1}} \int_{ B_{\delta} }w^{p+2}(x+\xi) \langle \nabla w(x+\xi),\xi \rangle {\rm d} x + o( \lambda^{\frac{4}{p-1}} )\\&<&0,\ |\xi| =\rho.\end{eqnarray*}$

由度理论可知使得 $F_{\lambda}(\xi_{\lambda})=0$ 的 $\xi_{\lambda}$ 的存在性.在得到的解

$\left(\varphi(\lambda,\xi),c_1(\lambda,\xi),c_2(\lambda,\xi),\cdots,c_N(\lambda,\xi)\right)$

中令 $\xi=\xi_{\lambda},$ 那么这个解就变成了方程(3.7)的解, 至此我们完成了关于铁丝链方程具有无穷多解的所有证明过程.

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