本文考虑近年来受到广泛关注的广义地表准地转(gSQG)方程

其中$0<s<1$, $v(x,t):\mathbb{R} ^2\times \mathbb{R} _{+}\to \mathbb{R} ^2$ 是速度场, $\theta(x,t):\mathbb{R} ^2\times \mathbb{R} _{+}\to \mathbb{R}$是在自身产生的速度场$v$ 中输运的活动标量, $\nabla^{\perp}=\left(\partial_{2},-\partial_{1}\right)$, $(-\Delta)^{-s}$是分数阶拉普拉斯算子的逆算子, 定义为

其中$G_{s}$是Riesz位势, 由下式给出

这里的$\Gamma$是伽马函数.

对于$s=\frac{1}{2}$的情形, 方程(1.1)为无粘面准地转(SQG)方程, 用于模拟一般准地转系统中的大气和大气流的温度演变^[1⇓-3].对于$s\rightarrow 1$的特殊情形, 可以得到二维不可压缩欧拉方程的涡方程^[4].对于$s\rightarrow 0$的极限情形, 得到稳态方程$\partial_{t}\theta=0$, 从而产生稳态解.方程(1.1)与三维不可压缩欧拉方程具有一些相似的数学机制^[1].因此, 近年来人们对gSQG方程产生了浓厚的兴趣.

众所周知, 所有径向对称函数$\theta$都是gSQG方程的稳态解.我们在本文中将考虑该方程是否存在其他的全局经典解.据我们所知, 建立gSQG方程经典解的全局适定性, 或者解是否会在有限时间爆破, 仍然是一个公开问题^[5-6].

在文献[5]中, Castro等从一个特殊的径向对称函数出发, 利用分歧理论首次构造出了SQG 方程的非平凡全局光滑解, 该光滑解是通过围绕质心以恒定的角速度旋转而演化的匀速旋转解. Gravejat和Smets^[7]提出了另一种构造特殊的光滑全局解族的方法.他们利用变分法构造了SQG方程的光滑行波解族, 该结果由Godard-Cadillac在文献[8]中推广到了gSQG 方程. Ao等^[9]成功地应用Lyapunov-Schmidt约化方法构造了gSQG方程的旋转经典解和行波经典解.除了光滑的全局解, 人们还对匀速旋转的涡斑进行了广泛的研究, 参见文献[10⇓-12]及其参考文献. 关于gSQG方程的弱解, 有关结果请参阅文献[13⇓-15].最近, Cao 等^[17]研究了对称的行波涡对解的存在性, 得到了方程(1.1)的一些新的行波解族.

本文的主要目的是研究具有不同尺度、不同分布的非对称行波涡对的存在性.在说明我们的主要结果之前, 我们首先推导行波解所满足的方程.通过旋转, 可假设这些波在竖直方向上的速度是$-W$, 那么解具有如下的形式

将(1.4)式代入(1.1)式中的第一个方程, 则该方程被简化为如下稳态方程

在(1.5)式两边乘上检验函数$\varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$, 形式上的分部积分就可以得到如下弱解的定义.

定义 1.1 设 $s \in[\frac{1}{2},1)$, $\Theta\in{ L_c^\infty}(\mathbb{R} ^2)$, 如果对任意 $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R} ^2)$ 都成立

我们就称$\Theta$ 是方程(1.5)的弱解.

根据Riesz位势的正则性理论, 对所有的 $1<p<\infty$, ${\cal G}_{s} \Theta \in \dot{W}^{2s, p}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$, 所以(1.6)式中的积分只有在$s \in[\frac{1}{2},1)$时是有意义的. 如果$0<s <\frac{1}{2}$, ${\cal G}_{s} \Theta$ 的正则性不足以为(1.6)式提供严格意义. 因此, 我们将只考虑方程(1.5)在$s \in[\frac{1}{2},1)$上的弱解.

正如Arnol'd在文献[18]中所提到的, 获得稳态问题(1.5)的解的一种自然的方法, 是让$\Theta$和${\cal G}_s\Theta-Wx_{1}$局部函数相关, 即假设存在某个Borel可测函数$f:\mathbb{R} →\mathbb{R}$,使得

本文将采用Arnol'd的思想构造非对称涡对.我们假设

(A) $f(\tau)=0, \forall\tau \leq 0 ; uad f(\tau)>0, \forall\tau>0.$

记 $\Pi_{r}=\left\{x \in \mathbb{R} ^{2} \mid x_{1}>0\right\}, \Pi_{\ell}=\left\{x \in \mathbb{R} ^{2} \mid x_{1}<0\right\}.$

本文的主要结果如下.

定理 1.1 设 $\frac{1}{2}\leq s<1$, $\kappa>0$ 及 $W>0$, 假设 $f_{r}$ 和$f_{\ell}$ 是两个单调递增的有界连续函数, 且均满足假设 (A). 则存在$\varepsilon_{0}>0$, 使得对所有的 $\varepsilon, \nu \in\left(0, \varepsilon_{0}\right]$, 方程(1.1)有以下形式的行波解

此外, 如下结论成立

(i) $\Theta_{\varepsilon, \nu}$ 具有以下形式$\Theta_{\varepsilon, \nu}=\Theta_{r, \varepsilon}-\Theta_{\ell, \nu},$这里

其中 $\mu_{r, \varepsilon}$ 和 $\mu_{\ell, \nu}$ 均是正常数.

(ii) 存在不依赖于 $\varepsilon, \nu$ 的正常数 $C$, 使得

(iii) 当 $\max \{\varepsilon, \nu\} \rightarrow 0$ 时, 在测度的意义下成立

其中

(iv) 对于 $\mu_{r, \varepsilon}$ 和 $\mu_{\ell, \nu}$ 有

且

注 1.1 如果 $f_{r}$ 和$f_{\ell}$是光滑的, 那么根据标准的椭圆方程正则性理论可知上述行波解也是光滑的. 这里的 $f_{r}$ 和 $f_{\ell}$ 可以是不连续的.如果 $f_{r}$ 和 $f_{\ell}$ 都是Heaviside函数, 那么上述行波解为非对称涡对形式的涡斑.

注 1.2 如定理1.1所述, 当 $\max \{\varepsilon, \nu\}$ 趋于零时, 上述行波解在测度的意义下趋向于非对称平移点涡对.因此, 上述行波解族构成了一对强度相等、符号相反的点涡对的去奇异化.

在本节中, 我们将给出gSQG方程的非对称涡对解的变分构造, 并给出定理1.1的证明.对于行波解的存在性的证明, 我们参考了Cao-Lai-Zhan^[19]的对偶变分原理.在文献[19]中对于对称涡对, 可以将问题简化为半平面上的半线性椭圆问题.而本文研究非对称涡对的存在性, 需要在整个平面上考虑, 所以我们需要发展一些技术来摆脱对对称性的依赖, 该想法来源于Cao-Qin-Zhan-Zou^[16]关于欧拉方程的非对称涡对解的存在性的研究.对于渐近性的证明部分, 我们参考了Cao-Qin-Zhan-Zou^[17]证明gSQG方程的旋转解的渐近性的方法.

首先引入一些符号.用 $\bar{x}=\left(x_{1},-x_{2}\right)$ 表示 $x=\left(x_{1},x_{2}\right)$ 关于 $x_{1}$ 轴对称的点.设 $\kappa$ 和 $W$ 是两个固定的正数, 且 $L_{*}=\left(\frac{\kappa}{4 \pi W} \frac{\Gamma(2-s)}{\Gamma(s)}\right)^{\frac{1}{3-2 s}}$, 记$D_{r}=\overline{B_{\frac{L_{*}}{2}}\left(L_{*} {\bf e}_{1}\right)}, uad D_{\ell}=\overline{B_{\frac{L_{*}}{2}}\left(-L_{*} {\bf e}_{1}\right)}.$

我们考虑以下容许类

定义流体的动能

及其冲量

设 $f_{r}$ 和 $f_{\ell}$ 是两个单调递增的有界连续函数, 且均满足假设(A).定义

容易验证 $F_{r}$ 和 $F_{\ell}$ 均是凸函数.从而可以定义 $F_{r}$ 和 $F_{\ell}$ 的共轭凸函数(参见文献[20])

注意到 $J_{r}$ 和 $J_{\ell}$ 均是 $\mathbb{R}$ 上的下半连续的凸函数. 设 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 是两个正数, 我们定义

为了保证 ${\cal J}_{r, \varepsilon}$ 和 ${\cal J}_{\ell, \nu}$ 不恒等于 $+\infty$, 我们假设

其中 ${\rm meas}\left(K\right)$ 表示 $K$ 的二维勒贝格测度.

定义能量泛函

下面我们研究以下极大化问题

注意到能量泛函 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu}$ 在 ${\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 上可以取到 $-\infty$, 并且它不是 $C^1$ 光滑的.这导致了一些技术性的困难, 下面我们将发展一种摄动的方法来克服这些困难.

本节我们将对极大化问题(2.2)进行微小扰动, 并研究由此产生的摄动问题.

设 $\rho$ 是一个充分小的正数, 定义

显然 $f_{r, \rho}$ 和 $f_{\ell, \rho}$ 均是非负的, 单增的, 无界的连续函数.

同样地, 我们可以用 $J_{r, \rho}$ 和 $J_{\ell, \rho}$ 分别表示 $F_{r, \rho}$ 和 $F_{\ell, \rho}$ 的共轭凸函数, 从而$J_{r, \rho}$ 和 $J_{\ell, \rho}$ 均是 $\mathbb{R}$ 上的下半连续的凸函数. 通过简单的计算知, 当 $\tau<0$ 时, $J_{r, \rho}$, $J_{\ell, \rho}(\tau)=+\infty$. 为了方便, 我们重新定义 $J_{r, \rho}$ 和 $J_{\ell, \rho}$ 在负半轴上的值恒为0.根据 $J_{r, \rho}$ 和 $J_{\ell, \rho}$ 的定义, 容易验证它们均是连续可微的.令

类似地, 定义扰动后的能量泛函为

相应的极大值问题为

我们将把极大值问题(2.2)作为摄动问题(2.3)在 $\rho\rightarrow 0$ 的极限来处理.

通过直接计算, 可得如下引理.

引理 2.1 存在常数 $C_{s}>0$, 对任意的 $\Theta \in L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$, 且满足${\rm supp}(\Theta) \subseteq B_{4L_{*}}(0)$, 成立

证 对任意的 $\Theta \in L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$ 以及任意的 $x \in B_{4L_{*}}(0)$,利用 Hölder 不等式可得

因此, 有$\|{\cal G}_{s} \Theta \|_{L^{\infty}\left(B_{4 L_{*}}(0)\right)} \leq C_{s}\|\Theta \|_{L^{1+\frac{1}{s} }\left(B_{4L_{*}}(0)\right)}.$ 证毕.

我们可以用直接法证明摄动问题(2.3)的极大元的存在性.

引理 2.2 存在 $\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho}, \Theta _{\ell, \nu, \rho}\right) \in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 使得

证 首先说明 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}$ 在 ${\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 上有上界. 对任意的 $\left(\Theta_{r}, \Theta_{\ell}\right) \in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$,由引理2.1和 Young 不等式可得

又因为 ${\rm supp}(\Theta_{r}) \subseteq D_{r}$, ${\rm supp}(\Theta_{\ell}) \subseteq D_{\ell}$, 所以

从而有

此外, 不妨设 $\Lambda_{r}:=\sup\limits_{\mathbb{R} } f_{r}$, $\Lambda_{\ell}:=\sup\limits_{\mathbb{R} } f_{\ell}$, 那么

从而有

进而对 $\forall \tau \geq 0$ 有

因此, 存在常数 $c_{0}>0$, 使得

根据(2.9), (2.10)式得

且

结合(2.5), (2.6), (2.11)和(2.12)式可得

这里的 $C_{s,\varepsilon, \nu, \rho}$ 表示依赖于 $s,\varepsilon, \nu, \rho$ 的正常数.这说明了 $\sup\limits_{{\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}} {\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho} \in \mathbb{R}$.从而我们可以取极大化序列 $\left\{\left(\Theta_{r}^j,\Theta_{\ell}^j\right)\right\}_{j\in{{\Bbb N}_{+}}} \subseteq {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 使得

我们断言 $\left\{\left(\Theta_{r}^j,\Theta_{\ell}^j\right)\right\}_{j\in{{\Bbb N}_{+}}}$ 是 ${\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 中的有界序列.事实上, 由 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}$ 的定义以及(2.6)式, 有

结合(2.5), (2.11), (2.12)和(2.13)式, 有

则

因此, 选取 $\left(\Theta_{r}^0,\Theta_{\ell}^0\right) \in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 使得 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\left(\Theta_{r}^0,\Theta_{\ell}^0\right) \leq {\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\left(\Theta_{r}^j,\Theta_{\ell}^j\right)+1$, 那么有

其中 $C_{s,\varepsilon,\nu}$ 是依赖于 $s$, $\varepsilon$, $\nu$, 但不依赖于 $\rho$ 的正常数. 这说明了 $\left\{\left(\Theta_{r}^j,\Theta_{\ell}^j\right)\right\}_{j\in{{\Bbb N}_{+}}}$ 在 $L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right) \times L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$ 中有界, 所以存在子序列 $\left\{\left(\Theta_{r}^{j_k},\Theta_{\ell}^{j_k}\right)\right\}_{k\in{{\Bbb N}_{+}}}$ 及 $\left(\Theta_{r,\varepsilon,\rho},\Theta_{\ell,\nu,\rho}\right)\in L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right) \times L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$, 使得当 $k\rightarrow +\infty$ 时, 在 $L^{1+\frac{1}{s}}$ 的弱拓扑下有

接下来证明 $\left(\Theta_{r,\varepsilon,\rho},\Theta_{\ell,\nu,\rho}\right)\in{\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$, 这里我们只证明 $\Theta_{r,\varepsilon,\rho}\in{\cal A}_{r}$,$\Theta_{\ell,\nu,\rho}\in{\cal A}_{\ell}$ 类似可证. 即要证$\Theta_{r,\varepsilon,\rho}$ 满足以下四点.

(1) $\Theta_{r,\varepsilon,\rho} \geq 0$, a.e..

我们采用反证法. 假设 ${\rm meas}\left(\{\Theta_{r,\varepsilon,\rho}<0\}\right)>0$, 则存在一个 $n_{0}\in {\Bbb N}_{+}$, 使得

取集合 $\{\Theta_{r,\varepsilon,\rho}<-\frac{1}{n_{0}}\}$ 的特征函数 $\phi=I_{\{\Theta_{r,\varepsilon,\rho}<-\frac{1}{n_{0}}\}}$, 则

令 $k\to\infty$, 由 $\Theta_{r}^{j_k}$ 的弱收敛性得

另一方面

然而这导致了矛盾.因此我们得到了 $\Theta_{r,\varepsilon,\rho} \geq 0$, a.e..

(2) ${\rm supp}(\Theta_{r,\varepsilon,\rho}) \subseteq D_{r}$.

由 ${\rm supp}(\Theta_{r}^{j_k}) \subseteq D_{r}$ 以及 $\Theta_{r}^{j_k}$ 的弱收敛性, 易得 ${\rm supp}(\Theta_{r,\varepsilon,\rho}) \subseteq D_{r}$.

(3) $\int_{\mathbb{R} ^{2}} \Theta_{r,\varepsilon,\rho} {\rm d}x=\kappa$.

这个结论可由 $\int_{\mathbb{R} ^{2}} \Theta_{r}^{j_k} {\rm d}x=\kappa$ 以及 $\Theta_{r}^{j_k}$ 的弱收敛性立即得到.

(4) $\Theta_{r,\varepsilon,\rho}(\bar{x})=\Theta_{r,\varepsilon,\rho}(x)$, a.e..

对任意的 $\phi\in C_{0}^\infty(\mathbb{R} ^{2})$, 我们有

因此 $\Theta_{r,\varepsilon,\rho}(x_{1},-x_{2})= \Theta_{r,\varepsilon,\rho}(x_{1},x_{2})$, a.e..

最后, 只需说明 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\left(\Theta_{r,\varepsilon,\rho},\Theta_{\ell,\nu,\rho}\right)=\sup\limits_{{\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}} {\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}$. 因为$G_{s}(\cdot,\cdot)\in L^{1+s}(\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2})$ 以及 $x_{1}\in L^{1+s}(\mathbb{R} ^{2})$, 则有

另一方面, 根据 $J_{r, \rho}$ 和 $J_{\ell, \rho}$ 的下半连续性, 有

因此, 结合(2.19), (2.20), (2.21)式得

从而容易得到

${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)=\sup\limits_{{\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}} {\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\in \mathbb{R}$. 证毕.

现在假设 $\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)$ 为变分问题(2.3)的解. 为了估计一些与 $\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)$ 相关的量,我们通过选取适当的检验函数来得到变分问题(2.3)对应的欧拉—拉格朗日方程.

引理 2.3 存在两个拉格朗日乘子$\mu_{r, \varepsilon, \rho}$, $\mu _{\ell, \nu, \rho}\in \mathbb{R}$, 使得

证 我们只证明(2.22)式, 对于(2.23)式类似可证.取 $\delta_0>0$ 使得

具有正测度, 则存在函数 $\phi \in L^{\infty}\left ( \mathbb{R} ^{2} \right )$, 满足

令$0<\delta<\delta_0$, 记 $S_{\delta}=\left\{x \in D_{r} \mid \Theta _{r, \varepsilon, \rho}(x) \geq \delta\right\}$.对任意给定的函数 $\Theta \in L^{\infty }\left ( \mathbb{R} ^{2} \right )$, 满足

定义 $\Theta _{r, \varepsilon, \rho}$ 的一个扰动

则可以验证当 $\tau$ 充分小时(比如 $0<\tau\leq \frac{4\delta}{4{\Vert \Theta\Vert_{\infty}}+\pi L_{*}^{2}{\Vert \phi\Vert_{\infty}}{\Vert \Theta\Vert_{\infty}}}$), 有 $\Theta _{\tau}\in {\cal A}_{r}$. 因此可得

其中

定义

从而有

根据 $\Theta$ 的任意性可得

令 $\delta \rightarrow 0^{+}$, 则

且

$\psi_{r, \varepsilon, \rho} \leq 0, uad x\in\left\{x \in D_{r} \mid \Theta_{r, \varepsilon, \rho}(x)=0\right\}.$ 因为 $J_{r, \rho}^{\prime}$ 与 $f_{r, \rho}$ 互为逆映射, 所以有 $\Theta _{r, \varepsilon, \rho}(x)=\frac{1}{\varepsilon^{2}} f_{r, \rho}\left(\psi_{r, \varepsilon, \rho} \right), uad \mbox{ a.e. } x \in D_{r}.$

故(2.22)式成立. 证毕.

我们希望通过计算变分问题(2.3)的解在$\rho \rightarrow 0$ 的极限值, 来得到变分问题(2.2)的解.为此, 需要先建立一些关于 $\rho \rightarrow 0$ 时的一致有界性.为了方便, 记

$\psi_{r, \varepsilon, \rho}(x)={\cal G}_s\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho}-\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)(x)-W x_{1}-\mu_{r, \varepsilon, \rho},$$\psi_{\ell, \nu, \rho}(x)=-{\cal G}_s\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho}-\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)(x)+W x_{1}-\mu_{\ell, \nu, \rho}.$

引理 2.4 存在不依赖于 $\rho$ 的正常数 $C$, 使得对所有的 $\rho \in\left ( 0,1 \right )$ 有

证 根据(2.14)式有

又由(2.5), (2.6), (2.11)和(2.12)式可得 $\left|{\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\left(\Theta_{r}^0,\Theta_{\ell}^0\right)\right| \leq \frac{C_{s,\varepsilon, \nu}}{\rho^{\frac{1}{s}}}.$ 所以对所有的 $\rho \in\left ( 0,1 \right )$ 有 $\left\|\Theta_{r, \varepsilon, \rho}\right\|_{L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)}^{1+\frac{1}{s}}+\left\|\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right\|_{L^{1+\frac{1}{s}}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)}^{1+\frac{1}{s}} \leq C_{s,\varepsilon, \nu}.$

再由引理2.1, 对所有的 $\rho \in\left ( 0,1 \right )$有

我们现在来证明当 $\rho$ 充分小时, $\mu_{r, \varepsilon, \rho}$ 和 $\mu_{\ell, \nu, \rho}$ 是一致有界的.

由 $\psi_{r, \varepsilon, \rho}(x)={\cal G}_s\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho}-\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)(x)-W x_{1}-\mu_{r, \varepsilon, \rho}$ 得

因为 ${\cal G}_s\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho}-\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)$ 和 $W x_{1}$ 在 $D_{r}$ 上一致有界, 所以只需证明

事实上, 一方面, 根据(2.22)式, 一定有 $\inf\limits_{D_{r}} \psi_{r, \varepsilon, \rho} \leq 1$.否则, 若假设$\inf\limits_{D_{r}} \psi_{r, \varepsilon, \rho} > 1$, 那么有

从而有

同理可得

因此由(2.30), (2.31)式以及 $\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)\in{\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 可得

这与(2.1)式矛盾.

另一方面, 根据 $\int_{D_{r}} \Theta _{r, \varepsilon, \rho} {\rm d}x=\kappa$, 一定有 $\sup\limits_{D_{r}} \psi_{r, \varepsilon, \rho} \geq 0$.否则, 若假设 $\sup\limits_{D_{r}} \psi_{r, \varepsilon, \rho}<0$, 那么有 $\int_{D_{r}} \Theta _{r, \varepsilon, \rho} {\rm d}x=0$, 矛盾.因此当 $\rho$ 充分小时, $\mu_{r, \varepsilon, \rho}$ 是一致有界的, 类似地可得 $\mu_{\ell, \nu, \rho}$ 也是一致有界的.

此外, 通过(2.28), (2.29)式可得

同理可得

再结合引理易得

引理得证.

有了引理2.4, 我们现在可以利用紧性论证获得 $\rho \rightarrow 0$ 时 $\left(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},\Theta _{\ell, \nu, \rho}\right)$ 以及 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu, \rho}\big(\Theta _{r, \varepsilon, \rho},$$\Theta _{\ell, \nu, \rho}\big)$ 的极限.

引理 2.5 存在 $\left(\Theta _{r, \varepsilon}, \Theta _{\ell, \nu}\right) \in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 使得

此外, 存在两个拉格朗日乘子$\mu_{r, \varepsilon}$, $\mu _{\ell, \nu}\in \mathbb{R}$, 使得

因此

证 根据引理2.4, 知 $\mu_{r, \varepsilon, \rho}$ 和 $\mu_{\ell, \nu, \rho}$ 有收敛的子列(仍记为$\mu_{r, \varepsilon, \rho}$ 和 $\mu_{\ell, \nu, \rho}$), 使得当 $\rho \rightarrow 0$ 时

$\Theta _{r, \varepsilon, \rho}$ 和 $\Theta _{\ell, \nu, \rho}$ 有弱 $*$ 收敛的子列(仍记为$\Theta _{r, \varepsilon, \rho}$ 和 $\Theta _{\ell, \nu, \rho}$), 在 $L^{\infty}$ 的弱 $*$ 拓扑下有

根据正则性理论, 对任意的 $1<p<\infty$, 存在一个依赖于$s$ 和 $p$ 的正常数 $C_{s,p}$, 使得

结合$\psi_{r, \varepsilon, \rho}(x)$的表达式知, 存在不依赖于 $\rho$ 的常数 $C\left(R\right)$, 使得对任意的 $1<p<\infty$ 以及任意的正数 $R$ 有

因此, 存在子序列(仍然记为 $\psi_{r, \varepsilon, \rho}$)和连续函数$\psi_{r, \varepsilon}: \mathbb{R} ^{2} \rightarrow \mathbb{R}$,使得当 $\rho \rightarrow 0$ 时, 在 $L^{\infty}\left(B_{R}(0)\right)$的强拓扑下有

由(2.34), (2.35)及(2.36)式, 显然有

根据(2.22)式可得

取 $\rho \rightarrow 0$得

因此(2.32)式得证, (2.33)式可以用类似的方法得到.

接下来, 要证 $\left(\Theta _{r, \varepsilon}, \Theta _{\ell, \nu}\right)$ 是 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu}$ 在 ${\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$ 上的极大元. 对任意的 $\left(\Theta _{r}, \Theta _{\ell}\right)\in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$, 有

因此, 只需证明

一方面, 根据(2.35)式可得

另一方面, 根据(2.22), (2.23)式以及共轭函数的性质得

结合(2.32), (2.33), (2.35)和(2.36)式, 可得

由(2.40)和(2.41)式得(2.39)式成立.

为了得到拉格朗日乘子和$(\Theta_{r, \varepsilon},\Theta_{\ell, \nu})$ 的支集的估计, 我们需要对它们的能量进行下界估计, 并且推出一些相关的估计.由于 $\left(\Theta_{r, \varepsilon},\Theta_{\ell, \nu}\right)$ 是能量极大元, 因此可以通过选取适当的检验函数得到能量的下界估计.根据能量的定义

等价地, 有

其中

显然可见

记

引理 2.6 对任意的 $\delta_{r} \in \left(0,\sup_{R}f_{r}\right)$, $\delta_{\ell} \in \left(0,\sup_{R}f_{\ell}\right)$, 存在只依赖于 $\delta_{r}$ 与 $\delta_{\ell}$ 的常数 $C_{\delta_{r}}$, $C_{\delta_{\ell}}>0$, 使得

证 我们首先证明(2.42)式, 其关键在于选取合适的检验函数.取 $x_{0}=\left(a,0\right)\in D_{r}$, 记

则 $\varepsilon$ 充分小时 $\Theta_{r,\varepsilon}^{\delta_{r}}\in {\cal A}_{r}$.

容易验证当$\tau \notin\left[0, \sup _{\mathbb{R}} f_{r}\right]$时, $J_{r}(\tau)$ 等于正无穷, 因此 $J_{r}$ 的有效域包含在$\left[sup_{\mathbb{R} }f_{r}\right]$中.此外, 不难发现 $J_{r}$ 在$\left[\delta_{r}\right]$ 上是有界的. 通过直接计算得

因为 $\Theta_{r,\varepsilon}$ 是极大元, 所以 ${\cal E}_{r,\varepsilon}\left(\Theta_{r,\varepsilon}\right) \geq {\cal E}_{r,\varepsilon}\left(\Theta_{r,\varepsilon}^{\delta_{r}}\right).$ 故(2.42)式得证, 同理可得(2.43)式.

记

那么

通过简单的计算有

记

由引理2.6, 我们可以得到以下结果.

引理 2.7 对任意的 $\delta_{r} \in \left(0,\sup_{\mathbb{R} }f_{r}\right)$, $\delta_{\ell} \in \left(0,\sup_{\mathbb{R} }f_{\ell}\right)$, 存在只依赖于 $\delta_{r}$ 与 $\delta_{\ell}$ 的常数 $C_{\delta_{r}}$, $C_{\delta_{\ell}}>0$, 使得

引理 2.8 对任意的 $\eta_{r}$, $\eta_{\ell} \in \left ( 0,\kappa \right )$, 存在正数 $R_{r}$, $R_{\ell}$ 使得

为了证明引理2.8, 我们需要介绍两个辅助引理.第一个是Lions^[21]中的集中紧性引理.

引理 2.9 设$\left\{\xi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 是定义在 $\mathbb{R} ^{2}$ 上的非负可积的函数序列, 对某个 $0<\beta<\infty$ 有

那么, 存在一个子序列(仍然记为 $\left\{\xi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$), 使得下述情形之一成立

(i) (紧性) 存在 $\mathbb{R} ^{2}$ 中的序列 $\left\{y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$, 使得对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $R>0$ 满足

(ii) (消失) 对每个 $R>0$, 有

(iii) (分裂) 存在一个数 $\beta_{1}\in (0,\beta)$, 使得对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $N=N(\varepsilon) \geq 1$ 以及 $0 \leq \xi _{i,n} \leq \xi _{n}$, $i=1,2$, 满足

另外, 还需要以下结果.

引理 2.10 (Riesz 积分的浴缸原理) 设 $s \in \left(0,1\right)$, $\beta_{1}$, $\beta_{2}$ 是两个正数, 给定一个正数 $\eta$, 记

那么极大值问题

的解为

注意到引理2.10是浴缸原理和 $Riesz$ 重排不等式的一个简单应用.此处略去证明, 请读者参考文献[22,定理1.14和定理3.9].

下面, 我们给出引理2.8的证明.

证 我们只证明(2.51)式, 同理可得(2.52)式.我们采用反证法, 假设存在 $\eta_{0}\in \left(0,\kappa \right)$, 使得对于任何整数 $n\geq1$, 存在 $\varepsilon_{n}>0$, 满足当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\varepsilon_{n}\rightarrow 0^{+}$, 使得

取 $\xi_{n}=\frac{\widetilde{\Theta}_{r,\varepsilon_{n}}}{\sup_{R} f_{r}}$, 则根据引理2.9, 存在子序列(仍记为$\xi_{n}$)满足引理2.9中的三种情况之一.

若$\left\{\xi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足引理2.9中的紧性情形, 那么这与假设相矛盾, 从而完成证明.因此, 现只需排除消失情形和分裂情形.

首先排除消失情形.假设对每个固定的 $R>0$, 有

则有 $\lim_{n \rightarrow \infty}{\cal I}_{r,s}(\xi_{n})=0$, 这与(2.49)式矛盾.

事实上, 对任意的 $x\in \mathbb{R} ^{2}$ 及 $R>0$, 由Hölder 不等式可得

其中 $C_{s}$ 是只依赖于 $s$ 的正常数.因此有

先令 $n \rightarrow \infty$, 再令 $R \rightarrow \infty$, 由(2.54)式可得

然后, 我们来排除分裂情形.假设存在 $\beta\in (0,\frac{\kappa}{\sup_{\mathbb{R} } f_{r}})$, 使得对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $N=N(\varepsilon) \geq 1$ 以及 $0 \leq {\xi}_{r,\varepsilon_{n}}^{i} \leq \xi_{n}$, $i=1,2,3$, 满足

其中 $\beta_{i, n}=\left\|{\xi}_{r,\varepsilon_{n}}^{i}\right\|_{L^{1}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)}$, $i=1,2,3$. 使用对角线方法, 可得一个子序列, 仍然记为 $\left\{\xi_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$, 使得

根据 ${\cal I}_{r,s}$ 的对称性可得

记 $r^{\prime}=\sqrt{\frac{\left \| {\xi}_{r,\varepsilon_{n}}^{1} \right \|_{L^{1}(\mathbb{R} ^{2})}}{\pi }}$, 利用引理2.10, 有

同样地, 可得

对于 $I_{3}$, 当 $n$ 充分大时有

最后对于 $I_{4}$, 当 $n$ 充分大时有

通过以上的计算可得

当 $n$ 充分大时, 由(2.58)式可得

另一方面, 根据引理2.7, 对任意的 $\delta_{r} \in \left(0,\sup_{\mathbb{R} }f_{r}\right)$ 有

则对任意的 $\delta_{r} \in \left(0,\sup_{\mathbb{R} }f_{r}\right)$, 存在 $\beta\in (0,\frac{\kappa}{\sup_{\mathbb{R} } f_{r}})$, 使得

由此容易推出 $s\leq 0$, 这与 $0<s<1$ 矛盾.故假设不成立. 引理得证.

引理 2.11 存在 $x_{1}$ 轴上的点 $\left\{y_{r,\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$ 和 $\left\{y_{\ell,\nu}\right\}_{\nu>0}$, 使得对任意的 $\eta_{r}$, $\eta_{\ell} \in \left ( 0,\kappa \right )$, 存在正数 $R_{\eta_r}$, $R_{\eta_\ell}$ 满足

证 根据引理2.8以及 $\widetilde{\Theta}_{r,\varepsilon}$ 关于 $x_{1}$ 轴对称性, 可以取 $\left\{y_{\varepsilon}^{0}\right\}_{\varepsilon>0}\in \mathbb{R} \times \left \{ 0 \right \}$ 和 $R_{0}>0$, 使得

对任意的 $\eta_r \in \left(0,\frac{\kappa}{2}\right)$, 我们将证明存在 $R_{\eta_r}>R_{0}$, 使得

事实上, 由引理2.8知, 存在 $\widetilde{R}_{\eta_r}>R_{0}$ 及 $\left\{y_{\varepsilon}^{\eta_r}\right\}_{\varepsilon>0}\subseteq \mathbb{R} ^{2}$, 使得

我们断言 $\left|y_{\varepsilon}^{\eta_r} - y_{\varepsilon}^{0}\right| \leq 2 \widetilde{R}_{\eta_r}, \ \forall \varepsilon>0.$ 下面采用反证法, 若 $\left|y_{\varepsilon}^{\eta_r} - y_{\varepsilon}^{0}\right| > 2 \widetilde{R}_{\eta_r}, \ \forall \varepsilon>0$, 则有

从而

这导致了矛盾.

取 $R_{\eta_r}=3\widetilde{R}_{\eta_r}$, 那么有

因此(2.62)式得证, 同理可得(2.63)式. 引理得证.

接下来, 我们考虑函数 $\Theta_{r,\varepsilon}$ 和 $\Theta_{\ell,\nu}$, 可立即得到以下引理.

引理 2.12 存在 $x_{1}$ 轴上的点 $\left\{z_{r,\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$ 和 $\left\{z_{\ell,\nu}\right\}_{\nu>0}$, 使得对任意的 $\eta_{r}$, $\eta_{\ell} \in \left ( 0,\kappa \right )$, 存在正数 $R_{\eta_r}$, $R_{\eta_\ell}$ 满足

证 根据(2.44)式以及引理2.11得

因此存在 $z_{r,\varepsilon}=y_{r,\varepsilon}\in \mathbb{R} \times \left\{0\right\}$, 使得(2.64)式成立, 同理可得(2.65)式. 证毕.

有了引理2.12, 我们就可以给出拉格朗日乘子 $\mu _{r,\varepsilon}$ 和 $\mu _{\ell,\nu}$ 的估计.

引理 2.13 设 $\frac{1}{2} \leq s<1$, 则

证 对任意的 $x\in D_{r}$, 利用重排不等式得

从而

一方面, 我们断言对任意的 $x\in D_{r}$, 有$\psi_{r, \varepsilon}(x)\geq 0$.否则, 假设在$D_{r}$上有 $\psi_{r, \varepsilon}(x)< 0$, 那么 $\Theta_{r,\varepsilon}\equiv 0$, 这与 $\int_{D_{r}} \Theta_{r,\varepsilon} {\rm d}x=\kappa$ 矛盾.因此

另一方面, 由引理2.12知, 存在不依赖于 $\varepsilon$ 的$R_{0}>\left[f_{r}(1)\pi\right]^{-\frac{1}{2}}$, 使得

则对任意的 $x\in B_{R_{0}\varepsilon}(z_{r,\varepsilon})$, 有

其中 $C_{s}$ 是只与 $s$ 有关的常数.从而

由引理2.4的证明过程知 $\inf\limits_{D_{r}}\psi_{r, \varepsilon}\leq 1$ 因此结合 $R_{0}$ 的选取, 存在 $x_{r,\varepsilon}\in B_{R_{0}\varepsilon}(z_{r,\varepsilon})$, 使得 $\psi_{r, \varepsilon}(x_{r,\varepsilon})\leq 1$, 从而有

进而有

故(2.67)式得证,同理可得(2.68)式.

本小节结合引理2.12和拉格朗日乘子的估计, 将得到涡对的支集估计.

引理 2.14 设 $\frac{1}{2} \leq s<1$, 存在不依赖于 $\varepsilon$, $\nu$的正常数 $C$, 使得

证 令 $\Lambda >1$ 是一个待定的数.根据引理2.12可知, 对于每个 $\sigma _{r} \in \left ( 0,\kappa \right )$, 存在只依赖于 $\sigma _{r}$ 的正数 $R_{\sigma _r}$, 使得

若 $x\in D_{r}\backslash B_{2 \Lambda R_{\sigma_r} \varepsilon}\left(z_{r,\varepsilon}\right)$, 那么由重排不等式可得

另一方面, 由引理2.13知, 存在不依赖于 $\varepsilon$ 的正数 $\eta_{0}$, 使得当 $\varepsilon$ 充分小时, 有

取 $\sigma_r=\sigma_0$ 满足

令

结合(2.71)和(2.72)式, 我们可得当 $\varepsilon$ 充分小时, 对任意的 $x\in D_{r}\backslash B_{2 \Lambda R_{\sigma_r} \varepsilon}\left(z_{\varepsilon}\right)$ 有

从而对任意的$x\in D_{r}\backslash B_{2 \Lambda R_{\sigma_r} \varepsilon}\left(z_{r,\varepsilon}\right)$有 $\Theta_{r,\varepsilon}(x)=0$, 因此${\rm supp}\left(\Theta_{r, \varepsilon}\right)\subseteq B_{2 \Lambda R_{\sigma_r} \varepsilon}(z_{r,\varepsilon}).$ 取 $C=4\Lambda R_{\sigma_r}$, 则(2.69)式成立, 同理可得(2.70)式.

现在我们寻找涡对 $\left(\Theta_{r, \varepsilon},\Theta_{\ell, \nu}\right)$ 的极限位置.根据引理2.14可知涡对支集的直径会随着 $\max \{\varepsilon, \nu\}$ 趋于零而趋于零, 这说明其支集可能会收缩到一个点.为了研究这种点所在的位置, 定义涡的中心

根据 $\Theta_{r, \varepsilon}$ 和 $\Theta_{\ell, \nu}$ 关于 $x_{2}$ 轴对称的事实, 可知 $x^{r, \varepsilon}$ 和 $x^{\ell, \nu}$ 均在 $x_{1}$ 轴上.下面的引理表明正涡与负涡将会互相平衡, 并将趋近于两个点涡之间的平衡状态.

引理 2.15 当$\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时成立

证 首先说明 $x^{r, \varepsilon}\in {\rm supp}\left(\Theta _{r, \varepsilon}\right)$ 且 $x^{\ell, \nu}\in {\rm supp}\left(\Theta _{\ell, \nu}\right)$.事实上, 对任意的 $x\in {\rm supp}\left(\Theta _{r, \varepsilon}\right)$ 有

因此$x^{r, \varepsilon}\in {\rm supp}\left(\Theta _{r, \varepsilon}\right)$, 同理可得 $x^{\ell, \nu}\in {\rm supp}\left(\Theta _{\ell, \nu}\right)$.

令 $d_{\varepsilon,\nu}=\big|x_{1}^{r, \varepsilon}-x_{1}^{\ell, \nu}\big|$. 结合引理2.14, 只需证明当$\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时 $d_{\varepsilon,\nu}\rightarrow 2 L_{*}$.利用反证法, 假设当$\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时 $d_{\varepsilon,\nu}\rightarrow d_{*}\ne 2 L_{*}$.令

那么有 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu}\left(\Theta _{r, \varepsilon}, \Theta _{\ell, \nu}\right)\geq {\cal E}_{\varepsilon, \nu}\left(\overline{\Theta } _{r,\varepsilon }, \overline{\Theta } _{\ell,\nu}\right)$.通过简单的计算可得

从而有

令 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$, 得

记

通过计算知, 函数 $h_{s}(\tau)$ 有唯一的极小值点

从而$d_{*}=2 L_{*}$, 这与假设矛盾.

注意到能量泛函 ${\cal E}_{\varepsilon, \nu}$ 关于 $x_1$ 方向具有平移不变性, 即对于任意的数 $\tau$, 设 $\left(\Theta _{r}, \Theta _{\ell}\right)$, $\left(\Theta _{r}\left(\cdot -\tau e_{1}\right), \Theta _{\ell}\left(\cdot -\tau e_{1}\right)\right)\in {\cal A}_{r} \times {\cal A}_{\ell}$, 那么

结合引理2.14和引理, 可见在 $x_{1}$ 方向上进行适当的平移之后(如果需要的话), 在这里及下文中, 我们可以假设对所有充分小的 $\varepsilon$ 和 $\nu$, 使得

因此当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时 $x^{r, \varepsilon}\rightarrow b_{1}$, $x^{\ell, \nu}\rightarrow b_{2}$, 从而我们有以下引理.

引理 2.16 当$\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时, 在测度的意义下成立

证 对任意的 $\phi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R} ^{2}\right)$ 有

注意到对任意的 $x \in {\rm supp}\left(\Theta _{r, \varepsilon}\right)$, 由(2.73)式得

根据 $\phi$ 的连续性, 容易验证当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 有 $I \rightarrow 0$. 因此按测度的意义有

同理可得当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow 0$ 时, 有$\Theta_{\ell,\nu}(x)\rightharpoonup\kappa{\delta}\left(x-b_{2}\right).$

根据我们已经得到的渐近估计, 我们将(2.32)和(2.33)式进行如下的改进.

引理 2.17 对于所有充分小的 $\varepsilon$ 和 $\nu$, 成立

证 根据引理2.14和引理2.16可得, 对于充分小的 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 有

当 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 充分小时, 对任意的 $x \in \Pi_{r} \backslash D_{r}$, 一方面有

另一方面, 由引理2.13知$\mu_{r, \varepsilon} \rightarrow +\infty$. 从而易得对任意的 $x \in \Pi_{r} \backslash D_{r}$ 有 $\psi_{r, \varepsilon}\leq 0$. 因此结合(2.32)式可知(2.77)式成立, 同理可得(2.78)式成立. 证毕.

记 $\Theta_{\varepsilon, \nu}=\Theta_{r, \varepsilon}-\Theta_{\ell, \nu}$.我们现在可以说明 $\Theta_{\varepsilon, \nu}$ 是(1.5)在(1.6)意义下的解.

引理 2.18 设 $\frac{1}{2}\leq s<1$, 当 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 充分小时, 成立

证 根据引理2.17的证明过程容易得到当 $\varepsilon$ 和 $\nu$ 充分小时

则对任意的 $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R} ^2)$, 利用分部积分可得

证毕.

定理1.1的证明 取 $\theta_{\varepsilon, \nu}(x, t)=\Theta_{\varepsilon, \nu}\left(x_{1}, x_{2}+Wt\right)$, 则由以上引理即可得到定理1.1的证明.

在上一节中证明了 $\Theta_{r,\varepsilon}$ 和 $\Theta_{\ell,\nu}$ 在测度的意义下收敛到一个Dirac 测度, 但这个结果是比较粗糙的. 本节将给出更精确的渐近行为, 为此定义

那么

我们用 $\vartheta_{r,\varepsilon}^{*}$ 和 $\vartheta_{\ell,\nu}^{*}$ 分别表示$\vartheta_{r,\varepsilon}$ 和 $\vartheta_{\ell,\nu}$的勒贝格重排函数, 且它们均是以原点为心的径向对称的递减函数.下面将考虑 $\vartheta_{r,\varepsilon}$ 和 $\vartheta_{\ell,\nu}$ 的渐近行为.

引理 3.1 设 $\frac{1}{2}\leq s<1$, 当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow0$ 时, 在 $L^{\infty}(\mathbb{R} ^{2})$ 的弱 $*$ 拓扑下, $\left\{\vartheta_{r,\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$ 和 $\left\{\vartheta_{\ell,\nu}\right\}_{\nu>0}$ 的极限点必是一个径向递减的函数.

证 因为 $\left\{\vartheta_{r,\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$, $\left\{\vartheta_{\ell,\nu}\right\}_{\nu>0}$, $\left\{\vartheta_{r,\varepsilon}^{*}\right\}_{\varepsilon>0}$ 及 $\big\{\vartheta_{\ell,\nu}^{*}\big\}_{\nu>0}$ 均是$L^{\infty}(\mathbb{R} ^{2})$ 中的有界序列, 相应的存在子序列(仍然记为$\left\{\vartheta_{r,\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$,$\left\{\vartheta_{\ell,\nu}\right\}_{\nu>0}$, $\left\{\vartheta_{r,\varepsilon}^{*}\right\}_{\varepsilon>0}$ 及 $\big\{\vartheta_{\ell,\nu}^{*}\big\}_{\nu>0}$), 以及 $\bar{\vartheta}_{r}$, $\bar{\vartheta}_{\ell}$, $\bar{\vartheta}_{r}^{*}$, $\bar{\vartheta}_{\ell}^{*}\in L^{\infty}(\mathbb{R} ^{2})$, 使得当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow0$ 时, 在$L^{\infty}(\mathbb{R} ^{2})$ 的弱 $*$ 拓扑下有

由 Riesz 重排不等式得

即 ${\cal I}_{r,s}(\vartheta_{r,\varepsilon})\leq {\cal I}_{r,s}(\vartheta_{r,\varepsilon}^{*})$, 同理有 ${\cal I}_{\ell,s}(\vartheta_{\ell,\nu})\leq {\cal I}_{\ell,s}(\vartheta_{\ell,\nu}^{*})$.则当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow0$ 时

定义

当 $\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow0$ 时, 通过直接计算可得

因为${\cal J}_{r,\varepsilon}(\vartheta_{r,\varepsilon})={\cal J}_{r,\varepsilon}(\vartheta_{r,\varepsilon}^{*})$, ${\cal J}_{\ell,\nu}(\vartheta_{\ell,\nu})={\cal J}_{\ell,\nu}(\vartheta_{\ell,\nu}^{*})$, 所以我们可以由${\cal E}_{\varepsilon, \nu}\left(\Theta_{r,\varepsilon}^{*}, \Theta_{\ell,\nu}^{*}\right)\leq {\cal E}_{\varepsilon, \nu}\left(\Theta_{r,\varepsilon}, \Theta_{\ell,\nu}\right)$ 推出

从而当$\max\left\{\varepsilon,\nu\right\}\rightarrow0$ 时, 有

结合(3.1)式可得

根据文献[23,引理3.2]可知, 存在 $\mathbb{R} ^{2}$ 上的平移 ${\cal T}_1$ 和${\cal T}_2$, 使得 ${\cal T}_1 \circ \bar{\vartheta}_{r}=\bar{\vartheta}_{r}^{*},$${\cal T}_2 \circ \bar{\vartheta}_{\ell}=\bar{\vartheta}_{\ell}^{*}$.注意到

故$\bar{\vartheta}_{r}=\bar{\vartheta}_{r}^{*}$, $\bar{\vartheta}_{\ell}=\bar{\vartheta}_{\ell}^{*}$.