众所周知, 调和分析中出现的各种算子的交换子与某些偏微分方程解的正则性密切相关, 如文献[1,3,16].而交换子的点态估计在证明一些交换子的端点估计和有界性时扮演着非常重要的角色^{[1,5,11,13,15-16,18]}. 最开始在 1976 年, Coifman, Rochberg 和 Weiss^[5]证明了奇异积分算子与 $BMO$ 函数生成的交换子在常指标勒贝格空间中的有界性. 后来在 1995 年, Pérez^[15] 用交换子点态估计的方法证明了奇异积分算子与 $BMO$ 函数生成的交换子的端点估计. 2017 年, Pradolini 和 Ramos^[16]又用分数次奇异积分交换子的点态估计证明了分数次奇异积分与变指标利普希茨函数生成的交换子在变指标勒贝格空间中的有界性. 有关变指标利普希茨空间的更多详细结果, 请参见文献^[13]. 这里值得指出的是, 变指标利普希茨空间可以退化为经典的利普希茨空间和$BMO(\mathbb{R} ^n)$ 空间 (见下文备注 3.1).

调和分析中研究各类算子的对应的极大算子也是有科学意义的. 如调和分析中主值意义下的奇异积分等算子都是通过其截断算子范数意义下的柯西列及空间的完备性得到的, 若要进一步研究截断算子几乎处处意义下的收敛性, 则需要进一步研究截断算子的极大算子在范数意义下的有界性. 本论文受Pradolini 和 Ramos^[16]的启发, 进一步研究了截断分数次奇异积分算子与变指数 Lipschitz 函数生成的截断算子的极大交换子的点态估计 (见下文定理 3.2) 及其在变指数 Lebesgue 空间上的有界性 (见下文定理 3.3). 这些结果即使回到常指标的情形下, 我们也未在现有文献中找到相应的结果, 可能是新的 (见下文推论 3.1).

本论文的证明框架与文献^[16]相似, 但证明过程中需要克服以下两点困难: 首先, 证明的全过程都需要克服截断交换子取了上确界带来的新困难, 这需要更细致且较少损失的不等式估计. 其次, 按通常极大算子的估计方法, 需要一个适应于本文分数次极大奇异积分算子的 Cotlar 型不等式将极大分数次奇异积分算子的点态估计放大为相应的极大算子与分数次奇异积分算子的点态估计. 我们在经典文献中找到了关于极大奇异积分算子的 Cotlar 型不等式, 却未找到关于此类分数次极大奇异积分算子的 Cotlar 型不等式. 该文严格证明了此不等式, 并进一步得到了此类极大分数次奇异积分算子的弱 $(L^1(\mathbb{R} ^n),\,L^q(\mathbb{R} ^n))$ ($q=n/(n-\alpha),\,0<\alpha<n$) 有界性(见下文定理 3.1).

这篇文章的安排如下. 在第3节中, 我们介绍了变指标利普希茨空间和分数次极大奇异积分交换子的相关定义及其性质, 并且陈述了本文的主要结果, 然后在第4节中证明这些结论.

$-C:$ 与主要参数无关的正常数;

$-D\lesssim F:$$D\le CF$;

$-{\Bbb N}:$ 自然数集；

$-B:$ 在 $\mathbb{R} ^n$ 中的球体;

$-|B|:$ 球体 $B$ 的勒贝格测度;

$-\chi_B:$ 球体 $B$ 的特征函数;

$-C_c^\infty(\mathbb{R} ^n):$ 具有紧支集的无穷阶可微函数的全体;

$-L_{{\rm loc}}^1(\mathbb{R} ^n):$ 在 $\mathbb{R} ^n$ 的任何紧集上 $1$ 次可积函数的全体;

$-r^\prime:$$r\in[1, +\infty)$ 的对偶, 即满足 $1/r+1/r^\prime=1$.

我们先介绍变指标利普希茨空间和极大交换子的相关定义及其性质.

对于任意可测函数 $p(\cdot):\mathbb{R} ^n\rightarrow(1,\,\infty)$, 设

定义 ${\cal P}(\mathbb{R} ^{n})$ 为满足 $1<p_{-}\leq p_{+}<\infty$ 的所有可测函数 $p(\cdot)$ 的集合.

对于任意可测函数 $p(\cdot)\in{\cal P}(\mathbb{R} ^n)$, 变指标勒贝格空间 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R} ^n)$ 表示 $\mathbb{R} ^n$ 上所有可测函数 $f$ 的集合, 且满足对某个 $\lambda>0$, 使得

当赋予 Luxemburg-Nakano 范数时, 这个集合变成了一个 Banach 函数空间

设 ${\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$ 是满足全局 log-Hölder 连续条件的所有可测函数 $p(\cdot)\in {\cal P}(\mathbb{R} ^{n})$ 的集合, 即存在常数 $C_{\log}(p)$, $C_{\infty}\in(0, \infty)$ 和 $p_{\infty}\in\mathbb{R}$, 对任意 $x, y\in\mathbb{R} ^{n}$, 有

且

${\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^n)$ 类由 Cruz-Uribe, Fiorenza 和 Neugebauer[6]引进, 目的是为了处理 $\mathbb{R} ^n$ 上变指标空间中的极大函数.设 $0\le\alpha<n$, $f\in L^1_{{\rm loc}}(\mathbb{R} ^n)$, 则分数次极大函数 ${\cal M}^\alpha f$ 定义为

当 $\alpha=0$ 时, ${\cal M}^\alpha$ 就是通常的 Hardy-Littlewood 极大算子, 记为 ${\cal M}$. 当 $p(\cdot)\in {\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$ 时, Hardy-Littlewood 极大函数在变指标勒贝格空间 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R} ^n)$ 上是有界的.

分数次极大算子 ${\cal M}^\alpha$ 与局部可积函数 $b$ 生成的交换子的定义如下

当 $\alpha=0$ 时, 简记 ${\cal M}_b := {\cal M}^0_b$. 这里指出, ${\cal M}^\alpha_b$ 是一个正的次线性算子.

定义 3.1^{[17,定义1.7]} 设 $p(\cdot)\in {\cal P}(\mathbb{R} ^{n})$, $0\le\delta(\cdot)<n$, $1<\beta\leq p_-$ 且 $\delta(\cdot)/n=1/\beta-1/p(\cdot)$.对 $\mathbb{R} ^n$ 上的任意局部可积函数 $b$, 记 $b_B:=|B|^{-1}\int_Bb(x){\rm d}x$. 若

则称函数 $b$ 属于变指标利普希茨空间 ${\Bbb L}(\delta(\cdot))$, 并称 $\|b\|_{{\Bbb L}(\delta(\cdot))}$ 为 $b$ 的变指标利普希茨范数.

注 3.1 (i) 当 $p(x)$ 等于常数 $p\in[\beta,\,+\infty)$ 时, 变指标利普希茨空间 ${\Bbb L}(\delta(\cdot))$ 退化为经典的利普希茨空间 ${\Bbb L}(n/\beta-n/p)$;

(ii) 当 $\beta=p(x)\equiv p\in(1,\,+\infty)$ 时, 空间 ${\Bbb L}(n/\beta-n/p)={\Bbb L}(0)$ 退化为有界平均振荡函数空间 $BMO(\mathbb{R} ^n)$.

为了陈述分数次极大奇异积分交换子的点态估计, 我们需要回顾一些相关的概念和性质.

定义 3.2^[4,p.631] 设 $0\leq\delta(\cdot)<n$, $p(\cdot)\in{\cal P}(\mathbb{R} ^n)$, $1<\beta<\infty$ 且满足 $\frac{\delta(\cdot)}{n}=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{p(\cdot)}$, $f\in L^1_{{\rm loc}}(\mathbb{R} ^n)$, 则 $\delta(\cdot)$-sharp极大算子的定义为

对任意 $\gamma>0$, 上面定义的算子可推广为

注 3.2 当 $\delta(\cdot)\equiv0$ 时, $p(\cdot)\equiv\beta$, $f^{\sharp}_{\delta(\cdot)}$ 退化为 $f$ 的经典sharp极大函数 $f^{\sharp}$; $f^{\sharp}_{\delta(\cdot),\,\gamma}$ 退化为 $f$ 的经典sharp极大函数 $f^{\sharp}_\gamma$.

定义 3.3 设 $0\leq\alpha<n$. 定义一个阶为 $\alpha$ 的广义分数阶核 $K_\alpha\in L^1_{{\rm loc}}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R} ^n\setminus\{(x,\,x):x\in\mathbb{R} ^n\})$, 若存在一个常数 $C>0$ 使得 $K_\alpha$ 满足如下条件

(i) 对所有 $x,\,y\in\mathbb{R} ^n$ 且 $x\neq y$, 有 $|K_\alpha(x,\,y)|\le C\frac{1}{|x-y|^{n-\alpha}}$,

(ii) 存在 $l\in(0,\,1]$, 使得对所有 $x,\,y,\,z\in\mathbb{R} ^n$ 及 $|x-z|\ge 2|x-y|$, 有

定义 3.4 设 $0< \alpha<n$, $0\le\delta(\cdot)<n$, $b\in{\Bbb L}(\delta(\cdot))$, $f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R} ^n)$.

(i) 分数次极大奇异积分函数 $T^\ast_\alpha f$ 定义为

其中

(ii) 分数次极大奇异积分交换子 $T^\ast_{\alpha,\,b}f$ 定义为

其中

如果一个函数 $\Psi$ 是连续的, 凸的, 递增的, $\Psi(0)=0$ 且 $\Psi(t)\rightarrow\infty$ ($t\rightarrow\infty$), 则称 $\Psi$ 为定义在 $[0,\,\infty)$ 上的 Young 函数.

设 $B$ 是 $\mathbb{R} ^n$ 中的一个球体, 则函数 $f$ 在 $B$ 上的 $\Psi-$平均定义为

对于 Young 函数 $\Phi(t)=t(1+\log^+t)$ 和 $\Psi(t)=e^t-1$, 它们对应的均值记为

则有以下广义 Hölder 不等式成立 (见文献[15,p.168])

特别地

定义 3.5 设 $0<\alpha<n$, $s>0$. 对 $f\in L^1_{{\rm loc}}(\mathbb{R} ^n)$, 定义 $f$ 的两个极大函数如下

注 3.3 注意到, ${\cal M}^\alpha({\cal M})\approx {\cal M}_{\alpha,\,L\log L}$ (见文献[2,p. 1511]).

特别地, 当 $\alpha=0$ 时, 有 ${\cal M}_{L\log L}:={\cal M}_{0,\,L\log L}\approx {\cal M}^2$ (见文献[15,p.174]).

本文主要结论如下, 相关证明在第三节.

分数次极大奇异积分算子的有界性结论似乎应该是一个经典结果, 但我们未在相关文献中找到, 为严谨起见, 本文给出了证明.

定理 3.1 设 $0<\alpha<n$, $0<\gamma<1$. 若 $f\in L^1(\mathbb{R} ^n)$, 则存在常数 $C>0$ 使得对所有的 $\lambda>0$, 有

定理 3.2 设 $0<\alpha<n$, $0\le\delta(\cdot)<n$, $0<\gamma<s<1$, $p(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^n)$, $1<\beta\leq p_-$ 且 $\frac{\delta(\cdot)}{n}=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{p(\cdot)}$, $b\in{\Bbb L}(\delta(\cdot))$. 那么存在一个常数 $C$, 使得

注 3.4 据我们所知的文献, 当 $\delta(\cdot)\equiv\delta\in[0,\,1)$ 时, 定理 3.2 的点态估计也是新的.

因为定理 3.2 是算子的点态估计, 故可以进一步得到算子在很多赋范空间中的有界性, 这里以变指标勒贝格为例给出应用.

定理 3.3 设 $0< \alpha<n$, $0\le\delta(\cdot)<1$, $p(\cdot), q(\cdot),\,r(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $\beta\in(1, p_-)$ 且它们满足以下条件

(i) $\sup\limits_{x\in \mathbb{R} ^n}r(\cdot)[\alpha+\delta(\cdot)]<n$,

(ii) $p(x)\ge p_\infty$ a.e. $x\in\mathbb{R} ^n$,

(iii) $1/\beta-1/p(\cdot)=\delta(\cdot)/n=1/r(\cdot)-\alpha/n-1/q(\cdot)$,

则当 $b\in {\Bbb L}(\delta(\cdot))$ 且 $\|T^\ast_{\alpha,\,b}f\|_{q(\cdot)}<\infty$ 时, 有 $T^\ast_{\alpha,\,b}$: $L^{r(\cdot)}(\mathbb{R} ^n) \rightarrow L^{q(\cdot)}(\mathbb{R} ^n)$.

推论 3.1 设 $0<\alpha<n$, $0\le\delta<1$, $\beta\in(1, p)$, $1<p,\,q,\,r<\infty$ 且它们满足 $1/\beta-1/p=\delta/n=1/r-\alpha/n-1/q$. 那么当 $b\in {\Bbb L}(\delta)$ 且 $\|T^\ast_{\alpha,\,b}f\|_{q}<\infty$ 时, 有 $T^\ast_{\alpha,\,b}$: $L^{r}(\mathbb{R} ^n) \rightarrow L^{q}(\mathbb{R} ^n)$.

注 3.5 推论 3.1 中分数次极大奇异积分交换子的有界性结果与 Paluszyński 在文献[14,定理 1.4(c)]中分数次奇异积分交换子的有界性结果相一致, 本文给出了一个新的证明.

为证明定理 3.1-3.3, 我们需要准备一些定义和引理.

引理 4.1^{[7,引理 2.3]} 设 $p(\cdot)\in {\cal P}(\mathbb{R} ^{n})$, $s\in(0, \infty)$. 若 $f\in L^{p(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})$, 则有

引理 4.2^[8,p.102] (Kolmogorov 不等式) 若 $T$ 是弱 $(p,\,q)$ 型, 其中 $1\leq p,\,q<\infty$ 且 $0<r<q$, 则对任意的 $E\subset\mathbb{R} ^{n}$, 有

引理 4.3 (Cotlar 型不等式) 设 $0<\alpha<n$, $0<\gamma<1$. 若 $f\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^{n})$, 则有

其中 $T_\alpha f(x)=p. v. \int_{\mathbb{R} ^{n}}K_\alpha(x,\,y)f(y){\rm d}y:=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{|x-y|\ge\varepsilon}K_\alpha(x,\,y)f(y){\rm d}y$ 是分数次奇异积分算子.

证 任意取定 $f\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^{n})$. 设 $\varepsilon>0$, $B:=\overline{B(x,\,\frac{\varepsilon}{2})}$, $2B:=\overline{B(x,\,\varepsilon)}$, 定义 $f_1:=f\chi_{2B}$, $f_2:=f-f_1$. 则有

若 $z\in B$, 因 $K_\alpha$ 满足定义 3.3, 则有

其中, $l\in(0,\,1]$. 进一步得到

当 $0<\gamma<1$ 时, 有

由上式, 对 $z$ 在 $B$ 上积分, 除以 $|B|$, 再取 $\frac{1}{\gamma}$ 次方, 可得

注意到

另外, 由于 $T_\alpha$ 是弱 $(1,\,\frac{n}{n-\alpha})$ 有界的 (见 文献[12,定理 3.1.1]), 由 Kolmogorov 不等式 (见引理 4.2) 可得

所以由 (4.1) 式可得

综上所述, 引理 4.3 证毕.

引理 4.4 (i) 文献[9,推论 2.6] 设 $p(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$. 那么存在一个正的常数 $C$, 使得对于所有的球体 $B\subset\mathbb{R} ^{n}$ 和所有可测子集 $E\subset B$, 有

(ii) 文献[17,引理2.17] 设 $p(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $\alpha\in(0,\,n)$, $\beta=\frac{n}{\alpha}$ 且 $p_+<\frac{n\beta}{(n-\beta)_+}$, 那么对每个 $t>0$, $x\in\mathbb{R} ^{n}$, 存在一个数 $a>1$ 使得

其中 $B(x,t)$ 是一个以 $x$ 为中心, $t$ 为半径的球体且对于每个 $\beta>1$ 都有上述结果成立.

如果存在一个常数 $C>0$, 使得对每个球体 $B$ 和 $B^\prime$ 且 $B^\prime\subset B$, 有

我们就说 $a$ 满足 ${\cal M}_\infty$ 条件, 并且其中最小的常数 $C$ 定义为 $a$ 的范数, 记作 $\|a\|$. 显然 $\|a\|\geq 1$.

定义4.1[定义2] 设 $0<p<\infty$, $a\in {\cal M}_\infty$. 对 $\mathbb{R} ^{n}$ 上的任意局部可积函数 $f$, 若

则称函数 $f$ 属于广义利普希茨空间 ${\cal L}^p_a(\mathbb{R} ^{n})$, 并称 $\|f\|_{{\cal L}^p_a}$ 为 $f$ 的广义利普希茨范数.

注 4.1 当 $p=1$, $a(B)=1$ 时, ${\cal L}^p_a(\mathbb{R} ^{n})=BMO(\mathbb{R} ^{n})$; 当 $a(B)=|B|^{\frac{\delta}{n}}$, $0<\delta<1$ 时, ${\cal L}^1_a(\mathbb{R} ^{n})={\Bbb L}(\delta;\,\mathbb{R} ^{n})$.

引理 4.5[推论2] 设 $0<p<\infty$, $a\in {\cal M}_\infty$. 那么 ${\cal L}^p_a(\mathbb{R} ^{n})={\cal L}^p_1(\mathbb{R} ^{n})$ 并且它们的范数 $\|f\|_{{\cal L}^p_a}$ 与 $\|f\|_{{\cal L}^p_1}$ 等价, 即

引理 4.6^{[16,推论 3.6]} 当 $p(\cdot)\in {\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $1<\beta\leq p_-$ 时, $a(B):=|B|^{\frac{1}{\beta}-1}\|\chi_B\|_{{p'}(\cdot)}$ 满足 ${\cal M}_\infty$ 条件.

引理 4.7^{[16,引理3.7]} 设 $p(\cdot)\in {\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $0\leq \delta(\cdot)<n$, $1<\beta\leq p_-$ 且满足$\frac{\delta(\cdot)}{n}=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{p(\cdot)}$. 若 $b\in {\Bbb L}(\delta(\cdot))$, 则有

引理 4.8^{[16,引理 3.8]} 设 $p(\cdot)\in {\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $0\leq \delta(\cdot)<n$, $1<\beta\leq p_-$ 且满足$\frac{\delta(\cdot)}{n}=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{p(\cdot)}$. 若 $b\in {\Bbb L}(\delta(\cdot))$, 则对每个 $k\in{\Bbb N}$ 有

引理 4.9^{[16,引理 4.11]} 设 $0\leq \delta(\cdot)<1$, $0<\gamma<1$, $r(\cdot),$$p(\cdot)\in {\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, $\sup\limits_{x\in\mathbb{R} ^{n}}r(\cdot)\delta(\cdot)<n$, $1<\beta\leq p_-$, $p(x)\geq p_\infty$ 且它们满足 $\frac{1}{r(\cdot)}-\frac{1}{q(\cdot)}=\frac{\delta(\cdot)}{n}=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{p(\cdot)}$. 若 $\|f\|_{q(\cdot)}<\infty$, 则

下面给出定理 3.1 的证明.

证 由标准的稠密性讨论可知, 我们只需在 $L^1(\mathbb{R} ^{n})$ 的稠子集 $C_c^\infty(\mathbb{R} ^{n})$ 中证明. 由引理 4.3 可得

由于 ${\cal M}^\alpha$ 是弱 $(1,\,\frac{n}{n-\alpha})$ 有界的 (见文献[12,定理 3.2.1]), 则

再估计另一部分, 由 文献[8,引理 2.12] 可得

其中 ${\cal M}_d$ 是二进极大算子 (见 文献[8,(2.9)式]). 设 $E=\{x\in\mathbb{R} ^{n}: {\cal M}_d(|T_\alpha f|^\gamma)(x)>4^{-n}\lambda^\gamma\}$, 下证 $|E|<\infty$.

设 $p,\,q>1$ 且满足 $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n}$. 因为 $f\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^{n})$, 由 ${\cal M}_d$ 的 $(\frac{q}{\gamma},\,\frac{q}{\gamma})$ 有界性以及 $T_\alpha$ 的 $(p,\,q)$ 有界性可得

则由文献[8,引理 2.10(i)] 的证明和 Kolmogorov 不等式 (见引理 4.2) 可得

对上式两边同时除以 $|E|$ 再乘以 $\frac{n}{n-\alpha}$ 次方可得

由此可得

综上所述, 定理3.1证毕.

下面给出定理3.2的证明.

证 由标准的稠密性讨论可知, 我们只需在 $L^1(\mathbb{R} ^{n})$ 的稠子集 $C_c^\infty(\mathbb{R} ^{n})$ 中证明. 设 $f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R} ^{n})$, $b\in {\Bbb L}(\delta(\cdot))$. 对于任意取定 $x\in\mathbb{R} ^{n}$, 任取一个球 $B=B(y_0,\,r)\ni x$. 设 $f=f_1+f_2$, 其中 $f_1:=f\chi_{2B}$. 由于 $0<\gamma<1$, 则对每个 $a,\,c\in \mathbb{R}$, 有 $\left||a|^\gamma-|c|^\gamma\right|\leq |a-c|^\gamma$. 记 $a(B):=|B|^{\frac{1}{\beta}-1}\|\chi_B\|_{{p'}(\cdot)}$, 只需证明

其中, $C_B:=T^\ast_\alpha((b-b_{2B})f_2)(y')$, $y'$ 是球 $B$ 中某零测集外的任意一个点.

下文先验证 $C_B<\infty$. 若断言 $(b-b_{2B})f_2\in L^p(\mathbb{R} ^{n})$, $p>1$, $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n}$, 则由极大算子 $T^\ast_\alpha$ 的 $(L^p(\mathbb{R} ^{n}),\,L^q(\mathbb{R} ^{n}))$ 有界性可知 $T^\ast_\alpha f\in L^q(\mathbb{R} ^{n})$, 进一步可知存在某零测集 $F\subset\mathbb{R} ^{n}$, 使得对任意的 $x\in{\mathbb{R} ^{n}\backslash F}$, 有 $T^\ast_\alpha((b-b_{2B})f_2)(x)<\infty$. 那么, 取某个 $y'\in{B\backslash F}$, 也有 $T^\ast_\alpha((b-b_{2B})f_2)(y')<\infty$. 下文验证断言.

事实上, 因为 $f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R} ^{n})$, 故存在 $k>1$, 使得 ${\rm supp} f\subset 2^{k}B$, 则有

先估计 ${\rm S}_1$. 由引理4.8可得

再估计 ${\rm S}_2$. 任取 $r>1$, 由 Hölder 不等式, 引理 4.5 及引理 4.6 可得

对任意的 $y\in B$, 有

由(4.2)式可得

先估计 ${\rm I}_1$. 由于 $T^\ast_\alpha$ 是弱 $(1,\,\frac{n}{n-\alpha})$ 有界的 (见定理 3.1) 且 $0<\gamma<1$, 由 Kolmogorov 不等式 (见引理4.2) 可得

因此

所以根据上估计, (3.3)式, 引理 4.4(i), 引理 4.7 和 (3.5) 式可得

再估计 ${\rm I}_2$. 由于 $0<\gamma<s<1$, 设 $r=\frac{s}{\gamma}$ 且 $r$和 $r^\prime$ 共轭, 利用 Hölder 不等式和引理 4.5 可得

最后估计 ${\rm I}_3$. 由定义 3.3 的 (i) 和 (ii) 及 $|y_0-z|\sim|y'-z|$ 可得

由 Hölder 不等式, 引理 4.5 和上估计可得

先估计 ${\rm D_1}$. 根据(3.3)式, 引理 4.7,3.5 式和引理 4.4(ii) 可得

再估计 ${\rm D_2}$. 根据引理 4.8, (3.4) 式, (3.5) 式和引理 4.4(ii) 可得

综上所述

定理 3.2 证毕.

下面给出定理 3.3 的证明.

证 因为 $0<\alpha<n$, $r(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, 若记 $\frac{1}{z(\cdot)}=\frac{1}{r(\cdot)}-\frac{\alpha}{n}$, 则 $1<z_{-}\leq z(\cdot)$ 且满足 (3.1) 和 (3.2)式, 所以 $z(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$. 由定理3.3的 (iii) 可得

由于 $0\leq\delta(\cdot)<1$, $q(\cdot)\in{\cal P}^{\log}(\mathbb{R} ^{n})$, 对上式两边同除以 $\delta(\cdot)$, 再同时取下确界可得

假设 $b\in {\Bbb L}(\delta(\cdot))$. 当 $f\in L^{r(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})$, 由引理 4.9 及假设 $\|T^\ast_{\alpha,\,b}f\|_{q(\cdot)}<\infty$ 可得

由上式, 定理 3.2, 备注 3.3, 引理 4.1, ${\cal M}$ 的 $L^{z(\cdot)/s}(\mathbb{R} ^{n})\ (0<s<1)$ 有界性以及 ${\cal M}^\alpha$ 的$L^{r(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow L^{z(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})$ 有界性可得

进一步, 由引理 4.3, ${\cal M}^\alpha$ 的 $L^{r(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow L^{z(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})$ 有界性, ${\cal M}$ 的 $L^{z(\cdot)/\gamma}(\mathbb{R} ^{n})$ 有界性, $0<\gamma<1$, 引理 4.1 和 $T_\alpha$ 的 $L^{r(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow L^{z(\cdot)}(\mathbb{R} ^{n})$ 有界性可得

因此, 由 (4.3) 和 (4.4) 式可得

定理 3.3 得证.