非紧性测度最早是在1930年由K.Kuratowski^[1]提出来的, 后来称为集合非紧性测度或 Kuratowski 非紧性测度(记为$\alpha$): 设$X$ 为度量空间, $Q$ 为$X$ 中的非空有界集, 则

令diam$(Q)=\sup\{d(x,y)|x,y\in Q\}$, 显然有$\alpha(Q)\le$diam(Q). $\alpha$ 可以用来衡量度量空间$X$中的非空有界集与紧集“相距”多远, 具有性质(其中$A,B$ 表示$X$中的任意非空有界集)

a) $\alpha(A)=0$$\Longleftrightarrow$$A$是相对紧集;

b) $\alpha(\overline{A})= \alpha(A)$;

c) $A\subset B \Longrightarrow \alpha(A) \le \alpha(B)$;

d) $\alpha (A\cup B)=\max\{\alpha (A)$, $\alpha (B)\}$;

进一步, 当$X$为赋范空间时, $\alpha$还满足

e) $\alpha (kA)=|k|\alpha (A)$, 其中$kA=\{x|x=ka,a\in A\}$, $k\in F$;

f) $\alpha (A+B) \le \alpha (A)+\alpha (B)$, 其中$A+B=\{x=a+b$, $a\in A$, $b\in B\}$;

g) $\alpha(\mbox{co}A)= \alpha(A)$;

h) $\alpha(A+x_0)=\alpha(A)$, $\forall x_0\in X$.

此外, $\alpha$还具有连续性, 即对$X$中的任意非空有界集$A$,$B$, 给定任意的$\varepsilon >0$, $\exists \delta>0$, 当$A$,$B$的Hausdorff距离$\rho(A,B)$$<\delta$ 时, 有$|\alpha(A)-\alpha(B)|<\varepsilon$. $\alpha$ 的这些性质几乎是从直径(diam) 的性质平行推出来的.

1957年, Goldenstein, Gohberg 和 Markus^[2]引入Hausdorf{f}非紧性测度$\beta$ (也称为球非紧性测度): 设$X$ 为实Banach 空间, $Q$ 为$X$ 中非空有界集, 有

等价于:$\beta(Q)=\inf\{\varepsilon>0 : Q$在$X$中具有有限$\varepsilon$ -网\},

等价于:$\beta(Q)=\inf\{\varepsilon>0 : Q\subset K+\varepsilon B_X\}$, 其中$K$ 为$X$ 中的紧集.

后来 Goldenstein, Gohberg 和 Markus^[3], Sadovskil^[4], Goebel等^[5]进一步研究Hausdorff 非紧性测度, 证明了$\beta$ 也满足上述的性质a)-h).

1955年Darbo首次利用集合非紧性测度$\alpha$ 定义了Darbo 函数$T$, 并证明每个有界闭凸集上连续的自映射$T$都存在不动点. Darbo的不动点定理是Banach不动点定理和Schauder不动点定理的重要推广. 非紧性测度在不动点, 微分方程等方向有着广泛的应用, 见文献[6⇓⇓-9] 等, 在分数阶偏微分方程的应用见文献^[10], 对Banach空间中紧算子的刻画见文献^[11-12] 等.

下面给出Hausdorff算子非紧性测度的定义.

定义 1.1 设$X$为Banach空间, 记$B_X$为$X$中的闭单位球, ${\bf B}(X)$为$X$ 到$X$自身的有界线性算子全体, $T\in {\bf B}(X)$, 若$\beta$为Hausdorff非紧性测度, 则称$\beta(T)=\beta(TB_X)$ 为Hausdorff 算子非紧性测度.

设$X$为无穷维Banach空间, $X$中的有界点列全体按范数$\|\{x_n\}\|=\sup_n\|x_n\|,$ 构成Banach空间, 记为$X_1$. 在$X_1$上定义半范数

记$X_0=\{\{x_n\}\in X_1:\|\{x_n\}\|_0=0\}$, 它是$X_1$的闭子空间. 作商空间$\widetilde {X}=X_1/X_0$, 映射$Q: X_1\rightarrow \widetilde {X}$, 若$\{x_n\}\in X_1$, 记$\widetilde {x}=Q\{x_n\}$, 则$\widetilde {X}$ 上的商范数为

易知$\|\widetilde {x}\|=\|Q\{x_n\}\|=\|Q\{x_n\}\|_0$.

用${\bf B}(X)$表示$X$上的有界线性算子全体, ${\bf K}(X)$表示紧算子全体. 在${\bf B}(X)$ 上定义如下两个半范数: $\forall T\in {\bf B}(X)$, 有

对于有界算子序列$\{T_n\}\subset{\bf B}(X)$, 定义范数$\|\{T_n\}\| =\sup_n\{\|T_n\|_0\},$记

用${\mathfrak B}(X)$表示$\|\{T_n\}\|_0<\infty$的有界算子序列全体集合, 满足$\|T_n\|_0=0$的序列称为广义紧序列, 这种序列全体记为${\mathfrak K}(X)$. 作商代数${\mathfrak C}(X)={\mathfrak B}(X)/{\mathfrak K}(X)$, 同态映射$\widetilde {Q}:{\mathfrak B}(X) \rightarrow {\mathfrak C}(X)$, $\mathfrak {C}(X)$上的范数为 $\|\widetilde {Q}\{T_n\}\|=\inf\{\|\{T_n\}-\{K_n\}\|:\{K_n\}\in {\mathfrak K}(X)\},$在${\mathfrak B}(X)$上引进一个半范数: $\|\{T_n\}\|_{{\mathfrak K}}=\|\widetilde {Q}\{T_n\}\|$.

定理 2.1${\mathfrak B}(X)$在通常的算子范数$\|\cdot\|$下是完备的.

证 设$\forall\{T_n^{(m)}\}\in {\mathfrak B}(X),\|\{T_n^{(m)}\}-\{T_n\}\|\rightarrow 0,(m\rightarrow\infty).$ 对$\forall x\in X,\varepsilon>0,\exists N$, 使得$\|T_n^{(N)}-T_n\|<\frac{\varepsilon}{2\|x\|}$, 而$\{T_n^{(N)}x\}$具有有限的$\frac{\varepsilon}{2}$ -网, 故$\{T_nx\}$ 具有有限的$\varepsilon$ -网, 进而$\{T_n\}\in{\mathfrak B}(X)$. 证毕.

定理 2.2 设$X$为具有单调基$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$的Banach空间, $\forall T\in {\bf B}(X)$, 有 $\beta(T)= \|T\|_{{\bf K}}.$

证 由$y=TB_X$, 知$\exists x\in B_X$, 有$y=Tx$, 从而$\|y\|\le \|Tx\|\le \|T\|$,从而$TB_X\subset \|T\|B_X$, 故$\beta(T)=\beta(TB_X)\le \|T\|\beta(B_X)=\|T\|$.进一步有, $\beta(T)=\beta(T-K)\le \|T-K\|$, 因此$\beta(T)\le \|T\|_{{\bf K}}$.

另一方面, 设$P_n$为从$X$到$\overline{\rm span}\{x_i\}_{i=n}^{\infty}$ 的投影, 由于$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是单调基, 进而

这里$y_k(x)\in \{y_k(x)\}_{k=1}^n$为集合$TS_X$的一个$[\beta(T)+\varepsilon]$ -网, 即满足

于是

从而$\beta(T)= \|T\|_{{\bf K}}.$ 证毕.

设${\cal F}$为Banach空间$X$中全体有限维子空间$E$ 构成的集族, 对$\forall E\in{\cal F}$, 令$\|\cdot\|_E$为$X/E$ 上的商范数.

定理 2.3 设$X$为Banach空间, $\forall T\in {\bf B}(X)$, $\beta(T)$ 为$X$ 上的球算子非紧性测度, 设$E\in {\cal F}$, $Q_E\colon X \to X/E$ 为商映射, 则

(1)对任意有界集$TB_X\subset X$, 有

(2)当$X$可分时, 对$X$中任意稠密序列$(x_n)$, 有

其中$\|\cdot\|_n$为$X/E_n$ 的商范数且$E_n = {\rm span}\{x_1, \cdots, x_n\}$.

(3)设$Y$为$X$的子空间, 对$Y$中的单位球$B_Y$, 有

证 (1) 由$\beta$的定义知, 对$\forall \varepsilon > 0$, 存在有限集$K\subset X$ 使得

令$E={\rm span}(K)$, 则

故$\inf\limits_{E\in {\cal F}}\|\widetilde B\|_E \leq \beta(T)$.

另一方面, 对子空间$E\in {\cal F}$, 令$P_E: X\to E$ 为度量投影, 即 $P_E(x)=\{\, y\in E\colon \|x-y\|= \inf\limits_{z\in E}\|x-z\|\, \}$. 则对$\forall x\in X$ 及$y\in P_E(x)$, 有$\|x-y\|=\|Q_E(x)\|_E$. 从而$P_E(TB_X)=\bigcup\limits_{b\in TB_X}P_E(b)$ 为相对紧集且

因此$\beta(T)\leq \|\widetilde B \|_E B_X$. 由$E$的任意性得$\beta(T) \leq \inf\limits_{E\in {\cal F}}\|\widetilde B \|_E$.

(2)由结论(1)可得

另一方面, 由$\beta$的定义知, 对$\forall\varepsilon > 0$, 存在有限集$K\subset X$ 使得

由于$X_0 \equiv {\rm span}(x_n)$ 在$X$ 中稠密, 所以存在有限集$K_0 \subset X_0$ 使得对$\forall k\in K$, 满足$d(k, K_0)< \varepsilon/2$, 从而

对包含$K_0$的任意有限维子空间$E\subset X_0$, 有$\|\widetilde B\|_E\leq \beta(T)+\varepsilon$. 由$\varepsilon$ 的任意性可得

(3)假设$\mbox{dim}Y= \infty$, 对任意有限维子空间 $E\subset X$, $P_E(B_Y) \equiv \bigcup\limits_{x\in B_Y}P_E(x)$ 为相对紧集, 因此

由结论(1)可知$\beta_X(B_Y) = \inf\limits_{E\in {\cal F}(Y)}\|Q_E(B_Y) \|_E =1 =\beta_Y(B_Y)$.

定理 2.4 设$Y$为Banach空间, $X$ 为$Y$的子空间, 对 $\forall T\in B(X, X)$, 令$\beta_Y(\widetilde{T})=\beta_Y(TB_X),$$\beta_X(T)=\beta_X(TB_X)$, 则有

证 显然有$\beta_Y(\widetilde{T})=\beta_Y(TB_X)\leq \beta_X(T)=\beta_X(TB_X)$.另一方面, 设$0<\beta_Y(\widetilde{T})=\beta_Y(TB_X)=r<\infty$, 则存在有限集$K\in{\cal K}$ 和$\varepsilon>0$, 满足$TB_X\subset K+(r+\varepsilon)B_X$, 即$TB_X\subset X\cap(K+(r+\varepsilon)B_X)=\bigcup\limits_{k\in K}[B(k, (r+\varepsilon))\cap X]$. 对$\forall k\in K$, $B(k, (r+\varepsilon))\cap X$ 为$X$中直径不大于$2(r+\varepsilon)$ 的集合, 因此存在$x_k\in K$ 使得$B(k, (r+\varepsilon))\cap X \subset B(x_k, 2(r+\varepsilon))$. 故 $TB_X\subset \bigcup\limits_{k\in K}B(x_k, 2(r+\varepsilon))$, 从而$\beta_X(TB_X)\leq 2(r+\varepsilon)\beta (B(x_k, 1))=2(r+\varepsilon)$.由$\varepsilon$的任意性有$\beta_X(T)\le 2\beta_Y(\widetilde{T}).$ 证毕.

定理 2.5 设$H$为Hilbert空间, $\forall \{T_n\}\in {\mathfrak B}(H)$, 则

特别地, 对$\forall T\in {\bf B}(H)$, 有

证 (1)当$H$是有限维或$\|\{T_n\}\|_0=0$时, 结论显然成立;

(2)当$H$是无穷维且$\|\{T_n\}\|_0>0$时, 设$\lambda=\|\{T_n\}\|_{{\mathfrak K}}>0,$ 任取$0<\varepsilon<\frac{\lambda}{3}$, 则存在$\{K_n\}\in {\mathfrak K}(H)$, 满足

记$R_n=T_n-K_n$, 由于$\sup\limits_n\|R_n\|\geq \lambda$, 令$n_1=\min\{n:\|R_n\|>\lambda-\varepsilon\}$, 于是当$1\leq n<n_1$时, 有$\|R_n\|\leq\lambda+\varepsilon.$ 取$x_1\in H,\|x_1\|=1,y_1=R_{n_1}x_1$, 使得$\|y_1\|\geq \lambda-\varepsilon$, 进而有$\|y_1\|\leq\|R_{n_1}\|\leq\lambda+\varepsilon.$ 设$H_1={\rm span}\{y_1\},P_1:H\rightarrow H_1$为投影算子, 令$k=\{n>n_1:\|(I-P_1)R_n\|>\lambda-\varepsilon\},$ 则$k\neq\emptyset$. 事实上, 若结论不成立, 则$\forall n>n_1$都成立$\|(I-P_1)R_n\|\leq\lambda-\varepsilon.$ 定义

则$\{Z_n\}\in {\mathfrak K}(H)$, 而$\|\{T_n\}-\{K_n\}\|=\sup_n\|T_n-K_n\|\le \lambda-\varepsilon,$ 两者矛盾.

令$n_2=\min\{n:n\in k\}=\min\{n>n_1:\|(I-P_1)R_n\|>\lambda-\varepsilon\}$, 于是当$n_1<n<n_2$ 时, 有

取$x_2\in H,$ 满足$\|x_2\|=1,y_2=(I-P_1)R_{n_2}x_2,\|y_2\|\geq \lambda-\varepsilon,$ 又显然有$\|y_2\|\leq \lambda+\varepsilon$,$y_1$ 和$y_2$ 正交. 设$H_2={\rm span}\{y_1,y_2\},P_2:H\rightarrow H_2$ 为投影算子, 令

照此办法, 便可得到一子列$\{R_{n_i}\}$, 以及点列$\{x_i\}$和$\{y_i\}$, 满足$\{x_i\}\subseteq H,\|x_i\|=1,\{y_i\}\subseteq H,$$\{y_i\}$两两正交, $H_i={\rm span}\{y_1,y_2,\cdots,y_i\}$, 投影算子$P_i:H\rightarrow H_i,$ 满足$y_i=(I-P_{i-1})R_{n_i}x_i,\lambda-\varepsilon\leq\|y_i\|\leq \lambda+\varepsilon,$ 当$n_{i-1}\leq n<n_i$时, $\|(I-P_{i-1})R_n\|\le \lambda-\varepsilon,(i=1,2,\cdots ),$ 其中$n_0=0,P_0=0$.

由于$\{y_i\}$两两正交, $\|y_i\|\geq \lambda-\varepsilon,\|\{y_i\}\|_0>0$, 令$\widetilde{y_i}=\frac{y_i}{\|y_i\|}$, 则$\widetilde{y_i}$弱收敛于0, 定义

则$\{Q_i\}\in {\mathfrak B}(H),\|\{Q_i\}\|\le 1,\|\{J_iQ_i\}\|_0\geq \|\{J_iQ_i\widetilde{y_i}\}\|_0=\|\{y_i\}\|_0>0$.又因为

进而

因此

由$\varepsilon$的任意性知: $\|\{T_{n}\}\|_0\geq \lambda=\|\{T_n\}\|_{{\mathfrak K}},$ 从而$\beta_{\infty}\{T_n\}=\|\{T_n\}\|_0=\|\{T_n\}\|_{{\mathfrak K}}$.

特别地, 对$\forall T\in {\bf B}(H)$, 定义$T_n=T,n=1,2,\cdots,$ 有$\|T\|_0=\|\{T_n\}\|_0=\|\{T_n\}\|_{{\mathfrak K}}=\|T\|_{{\bf K}}.$

证毕.