一般经济均衡理论是上个世纪经济学的伟大成就之一, 它主要研究的是市场经济中的经济活动趋于某种均衡状态, 为研究实际问题提供了理论依据. 一般均衡理论的数学模型是法国著名学者Walras 于19世纪最早提出的. 1952年, Arrow和Debreu^[1]运用不动点定理给出了一般均衡存在性的严格证明. 超额需求函数在一般均衡理论中起着重要作用, 故越来越多的学者应用超需函数来研究一般均衡. 譬如: 20世纪70年代, Sonnenschein^[2], Mantel^[3]以及Debreu^[4]证明了超需函数可以用Walras定律, 连续性和同质性来刻画. 2016 年, Tian^[5]证明了在商品不可分割, 超需函数可能不连续的经济体中, 存在价格均衡. 近来, Anh等^[6]提出了超需平衡的模型, 在超需函数不连续的情况下,给出了一般经济均衡的适定性. 解集在一定扰动情况下的稳定性一直是最优化方面的研究热点. 近年来, 许多学者对向量优化问题和向量平衡问题解集的连续性, 收敛性, 稠密性等稳定性方面进行了深入研究^[7⇓-9]. 1950年, Fort^[10] 提出了稳定性的另一方面即本质稳定性. 本质稳定性保证了解映射的某种连续性. 解集的本质稳定性主要研究了本质稳定问题的存在性结果和稠密性两个方面. Dierker^[11]引入了交换经济的本质平衡价格的概念. Tan等^[12]和Xiang等^[13]提出了生产经济的本质平衡概念,并进一步研究了其稳定性. Wang等^[14]在文献中引入超需映射, 在单值和集值两种情况下, 研究了一般经济均衡的通有稳定性和本质连通区. 此外, 适定性的研究也是近年来的研究热点, 适定性最开始被用于研究标量优化问题, 向量优化问题等优化问题. 文献[6]对一般均衡的Levitin-Polyak适定进行了研究, 但关于一般均衡的其它适定性还没有得到研究.

受上述研究的启发,本文研究集值情况下超需映射上半连续时, 一般经济均衡的本质稳定性以及Hadamard适定性. 本文其余部分的结构如下, 第2章, 介绍和回顾一些基本定义和符号. 第3章, 建立解映射的半连续性和相应的本质平衡解, 本质集之间的关系, 并得到了一般经济均衡的稳定性结果. 第4章, 通过一个标量化函数定义一个特殊集合, 借助该集合, 得到Painlevé-Kuratowski收敛下一般经济均衡Hadamard适定性成立的充分性条件.

本节介绍一些基本的符号和定义.

设$R^l$表示$l$维欧氏空间, 记$R_+:=\{x\in R | x \geq 0\}$, $R_+^l:=\{x=(x_{1},x_{2},\cdots, x_{l})\in R^l| x_{i} \geq 0,$$i=1,2,\cdots,l\}$, $ R_-^l=-R_+^l$. 假设市场有$l$种商品, 价格体系$p=(p_1,p_2,\cdots, p_l)$. 定义集合$A:=\{p\in R_+^l|~0\leq p_i\leq \hat{p_i}\}$, 其中$p_i$表示第$i$种商品的价格, $i=1,2,\cdots,l$, $\hat{p_i}$ 是政府指导价格, 以防止市场价格超过某一水平, 即是说$\hat{p_i}$是第$i$个产品的最高价格. 社会对商品的需求依赖于价格$p$, 记社会总需求函数$D (p)=\sum\limits_{i=1}^{l}D_i(p)$, 其中$D_i(p)$表示整个经济体系对第$i$种商品的需求. 类似地, 社会对商品的供给也依赖于价格$p$, 则记社会总供给函数为$S(p)=\sum\limits_{i=1}^{l}S_i(p)$, 其中$S_i(p)$表示整个经济体系对第$i$种商品的供给. 令$Z(p)=D(p)-S(p)$, 称$Z:A\rightarrow 2^{R^l}$为超需映射.

令

下文总假设空间$Q$定义如下

本文考虑如下一般经济均衡问题$q=(A,Z)\in Q$^[5]: 设$p_0\in A$, 若存在$u_0\in Z(p_0)$, 使得

则称$p_{0}$为一般经济均衡问题$q$的平衡解, $(p_{0},u_0)$为一般经济均衡问题$q$的平衡点对. 记一般经济均衡问题$q$的平衡解构成的集合为$E(q)$, 对应的映射$ E:Q\rightarrow 2^{A} $称为一般经济均衡问题$q$的解映射. 记一般经济均衡问题$q$的平衡点对构成的集合为$EP(A,Z)$.

${\bf定义2.1}$ 设有一个一般经济均衡问题$q=(A,Z)$. 设$\bar {p}\in E(q)$, $e\in {\rm int}R_{+}^{l}$, $\varepsilon\geq0$. 设$p_{0}\in A$, 若存在$u_0\in Z(p_0)$, 使得

则称$p_{0}$为一般经济均衡问题$q$的$(\varepsilon,e)$-近似平衡解, $(p_{0},u_0)$为一般经济均衡问题$q$的$(\varepsilon,e)$-近似平衡点对. 记一般经济均衡问题$q$的全部$(\varepsilon,e)$-近似平衡点对构成的集合为$(\varepsilon,e)-EP(A,Z)$. 特别地, 当$\varepsilon=0$时, $(p_{0},u_0)$为一般经济均衡问题$q$的平衡点对.

${\bf注2.1}$ 因为$\varepsilon>0$, $e\in{\rm int}R_{+}^l$, 所以显然有$\varepsilon e-R_{+}^l\supseteq -R_{+}^l$, 因此可以得到一般经济均衡问题$q$的平衡点对和$(\varepsilon,e)$-近似平衡点对两者之间的关系为$ EP(A,Z)\subseteq (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$.

${\bf定义2.2}$ 设有一个一般经济均衡问题$q=(A,Z)$, $\bar {p}\in E(q)$. 如果对$\bar {p}$的任意开邻域$U$, 存在$q$的开邻域$O$, 使得

则称$\bar {p}$为一般经济均衡问题$q$的本质平衡解. 若任取~$\bar {p} \in E(q) $都是本质平衡解, 则称一般经济均衡问题$q$是稳定的.

${\bf定义2.3}$ 设有一个一般经济均衡问题$q=(A,Z)$. 如果

(1) $e(q)\subseteq E(q)$是$R_{+}^{l}$中的非空闭集,

(2) 对任意满足$e(q)\subseteq U$的开集$U$, 存在$q$的开邻域$O$, 使得

则称$e(q)\subseteq E(q)$是$E(q)$的本质集.

${\bf定义2.4}$ 设$Z:A\rightarrow 2^{R^l}$是集值映射, $ p\in A $.

(1) 若对$R^l $中满足$ Z(p)\subseteq U $的开集$U$, 存在$p$的开邻域$V$, 使得

则称集值映射$Z$在$p$处是上半连续的.

(2) 若对$ R^l $中满足$ Z(p)\cap U\neq \emptyset $的任意开集$U$, 存在$p$的开邻域$V$, 使得

则称集值映射$Z$在$p$处是下半连续的.

如果集值映射$Z$在$p$既是上半连续, 又是下半连续的, 则称集值映射$Z$在$p$是连续的. 如果集值映射$Z$在每一点$p\in A$ 都是连续的, 则称集值映射$Z$在$A$上是连续的.

${\bf引理2.1}$ 设$ F:X\rightarrow 2^Y $是一个集值映射. 若$F$是闭的, $Y$是紧集, 则集值映射$F$必是一个上半连续映射.

${\bf定义2.5}$ 设$F:X\rightarrow 2^Y$是一个集值映射, $F$的图记为${\rm Graph}F=\{(x,y)\in X\times Y|x\in X,\;y\in F(x)\}$. 如果${\rm Graph}F$是$ X\times Y$中的闭集, 则称集值映射$F$是闭的.

${\bf定义2.6}$ 设$(X,d)$是度量空间, $A,B$是$X$中的非空子集. $A$和$B$之间的$\mbox{Hausdorff}$~距离定义为

其中$ e(A,B)=\sup\limits_{a\in A}d(a,B)$, $ d(a,B)=\inf_{b\in B}\|a-b\|$.

${\bf引理2.2}$^[15] 设$(X,d)$是完备度量空间. 若$M$是$X$的闭子集, 则$(M,h)$也是完备的.

${\bf引理2.3}$^[17] (Fort引理) 设$\Lambda$是一个Baire空间, $M$是一个度量空间. 若$Z:\Lambda \rightrightarrows M$是一个具有紧值的上半连续集值映射, 则存在$\Lambda$的稠密余子集$G$, 使得$Z$在任意$\lambda\in G$处是下半连续的.

${\bf定义2.7}$^[19] 设$(E_n)_{n\in N}$是$R^l$的非空子集序列. 若

则称$E_n$在$\rm{Painlev\acute{e}\mbox{-}Kuratowski}$ (P.K.)意义下收敛到$E$, 记为$E_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{\rm P.K.} E$. 其中

${\bf定义2.8}$ 设$q=(A,Z)$是一个一般经济均衡问题, $\{q_n=(A_n,Z_n)\}_{n\in N}$是一个一般经济均衡问题序列. 若存在$\varepsilon_0>0$, 使得对任意的$0\leq \varepsilon\leq\varepsilon_0$, 有

则称一般经济均衡问题$q$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n\}_{n\in N}$是扩展Hadamard适定的.

${\bf定义2.9}$ 设$q=(A,Z)$是一个一般经济均衡问题, $\{q_n=(A_n,Z_n)\}_{n\in N}$是一个一般经济均衡问题序列. 若存在$\varepsilon_n>0$且$\varepsilon_n\rightarrow0$, 有

则称一般经济均衡问题$q$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n\}_{n\in N}$是广义Hadamard适定的.

${\bf定义2.10}$^[20] 考虑如下非线性标量化函数$h_{e}(\cdot):R^l\rightarrow R$如下

其中$e\in {\rm int}R_{+}^{l}$.

${\bf引理2.4}$^[20] 设$e\in {\rm int}R_{+}^{l}$, $t\in R$, $u\in R^l$, 则有

(1) $h_{e}(u)<t\Leftrightarrow u\in te-{\rm int}R_{+}^{l}$,

(2) $h_{e}(u)\leq t\Leftrightarrow u\in te-R_{+}^{l}$,

(3) $h_{e}(u)$是$R^l$上的连续凸函数, 且在$R^l$上是严格单调的.

本节首先建立了一般经济均衡问题$q=(A,Z)$解映射的下半连续性与本质平衡解, 本质集之间的关系；其次建立了一般经济均衡问题$q=(A,Z)$解映射的上半连续性与本质集之间的关系；最后, 在Baire范畴意义下, 建立一般经济均衡问题$q=(A,Z)$的稳定性.

在本节中, 定义空间$Q$的度量$\rho$如下

其中$q_i=(A_i,Z_i)\in Q,~i=~1,2$. 显然, $(Q,\rho)$是度量空间.

${\bf引理3.1}$$(Q,\rho)$是一个完备度量空间.

${\bf证}$ 设$\{q_n\}_{n\in N}$是$Q$中的柯西序列, 即对任意$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$, 使得对任意$n,k\geq N$, 有$\rho(q_n,q_k)<\frac{\varepsilon}{4}$, 即

因此, $\{A_n\}_{n\in N}$是$({R}_+^l,h)$中的柯西序列. 令$\rho'=\sup\limits_{p\in A}h(Z_n(p),Z_k(p))$, $\{Z_n\}_{n\in N}$是$(W,\rho')$中的柯西序列. 由文献[14,引理4.1]知, $(W,\rho')$是一个完备度量空间. 所以有

因为$({R}^l, d)$是完备的, ${R}_+^l~\subseteq {R}^l$, 且${R}_+^l$是闭集, 故由引理2.2知, $({R}_+^l,h)$是完备度量空间. 则有

在(3.1)式中, 令$k\rightarrow +\infty$, 并结合(3.2)式、(3.3)式以及$\sup\limits_{p\in A}h(\cdot,\cdot)$的连续性可知

即是说$\rho(q_n,q)\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$, 其中$q=(A,Z)\in Q$. 因此, $Q$中任意柯西序列$\{q_n\}_{n\in N}$收敛于$q\in Q$. 故$(Q,\rho)$是一个完备度量空间. 证毕.

${\bf定理3.1}$ 设$ q=(A,Z)\in Q$. 每个$p\in E(q)$都是一般经济均衡问题$q$的本质平衡解当且仅当$E$在$q$处下半连续. 此外, 对任意$p\in E(q)$, 集合$e(q)=\{p\}$是$E(q)$的本质集当且仅当$E$在$q$处下半连续.

${\bf证}$ 先证充分性. 设$E$在$q$处下半连续. 任取$p\in E(q)$, 对$p$的任意开邻域$O$, 显然$E(q)\cap O\neq\emptyset$. 由于$E$在$q$处下半连续, 则对上述的开集$O$, 存在$q$的开邻域$V$, 使得

故$p$是一般经济均衡问题$q$的本质平衡解.

现证必要性. 设每个$p\in E(q)$都是一般经济均衡问题$q$的本质平衡解. 设$V$为满足$E(q)\cap V\neq\emptyset$的任意开集, 则存在元素$\bar{p}$, 使得$\bar{p}\in E(q) $且$\bar{p}\in V$. 因为$V$是开集, 所以存在$\bar{p}$的邻域$O$, 使得$O\subset V$. 因为$\bar{p}\in E(q) $是一般经济均衡问题$q$的本质平衡解, 所以对$\bar{p}$的开邻域$O$, 存在$q$的开邻域$U$, 使得

由此$E$在$q$ 处下半连续.

由上面证明易知, 显然对任意$p\in E(q)$, 集合$e(q)=\{p\}$是$E(q)$的本质集当且仅当$E$在$q$处下半连续. 证毕.

${\bf引理3.2}$ 设$Q$中任意一般经济均衡问题$q=(A,Z)$的解集非空, 则$ E:Q\rightarrow 2^A $是一个上半连续映射.

${\bf证}$ 因为$A$是紧集, 由引理2.1知, 只需证明映射$E$是闭的, 即在$Q$中任取序列$q_n$, $ q_n\rightarrow q\in Q$, 在$E(q_n)$中任取序列$p_n$, $p_n\rightarrow p$, 证明$p\in E(q)$. 因为$p_{n}\in E(q_n)$, 所以

下证$p\in E(q)$. 用反证法, 假设$p\notin E(q)$, 则

因为$R^l\setminus R_-^l$为开集, 故存在$t>0$, 使得

其中$B(\theta,t)$是中心在原点$\theta$, 半径为$t$的开球. 因为$Z$在$p$处是上半连续的, $p_n\rightarrow p$, 所以存在自然数$N_1$, 使得对任意$n>N_1$, 有

因为$ q_n\rightarrow q$, 所以对任意的$\varepsilon>0$, 有$\rho(q_n,q)<\varepsilon$. 即是说, 对任意的$\varepsilon>0$, 有

从而存在自然数$N_2$满足$N_2\geq N_1$, 使得对任意$n>N_2$, 有

因此, 由(3.6), (3.7)式可得, 当$n>N_2$时, 有

再由(3.5)式可得 $ Z_n(p_n)\subseteq R^l\setminus R_-^l. $ 这与(3.4)式矛盾. 所以$p\in E(q)$. 故$E$是一个上半连续映射.

${\bf定理3.2}$ 设$Q$中任意一个一般经济均衡问题的解集非空. 若$q=(A,Z)\in Q$, 则$E(q)$是它自身的一个本质集.

${\bf证}$ 首先证明$E(q)$是闭集. 用反证法, 假设$E(q)$不是闭集, 则存在$\{p_n\}_{n\in N}\subseteq E(q),~p_n\rightarrow p\in A$, 但$p\notin E(q)$. 即是说$Z(p)\subseteq R^l\setminus R_-^l$. 因为$p_n\in E(q)$, 所以

因为$R^l\setminus R_-^l$是开集, 所以存在~$t>0$, 使得

因为$Z$在$p$处是上半连续的, 且$p_n\rightarrow p$, 所以存在自然数$N$, 使得对任意的$n>N$, 有

从而由(3.9), (3.10)式可知, 当$n>N$时, 有 $ Z(p_n)\subseteq R^l\setminus R_-^l, $ 这与(3.8)式矛盾. 因此, $E(q)$是闭集.

其次, 由引理3.2知, $E$在$q$是上半连续的, 则对任意满足$E(q)\subseteq U$的开集$U$, 存在$q$的开邻域$V$, 使得 $ E(q')\subseteq U,~\forall q'\in V. $ 从而有 $ E(q')\cap U=E(q')\neq\emptyset,~\forall q'\in V. $ 综上, $E(q)$是它自身的一个本质集. 证毕.

${\bf推论3.1}$ 设$Q$中任意一般经济均衡问题的解集非空, 则存在$Q$的稠密余子集$G$, 使得对任意的$q\in G$, 一般经济均衡问题$q$是稳定的.

${\bf证}$ 由引理3.1知, $Q$是Baire空间. 又由引理3.2, 定理3.2以及$A$是紧集可知, $E:Q\rightarrow 2^A$是具有紧值的上半连续映射. 此外, 由引理2.3 知, 存在$Q$的稠密余子集$G$, 使得对任意$q\in G$, $E$是下半连续的. 又由定理3.1可得, 每个$p\in E(q)$都是一般经济均衡问题$q$的本质平衡解. 所以一般经济均衡问题$q$是稳定的.

${\bf注3.1}$ 本文上述部分结果是对文献[14]的拓展. 本文引理$3.1$同时考虑超需映射与价格参数集二者所构成的空间, 并建立其完备性, 与文献[14,引理4.1]所考虑的情况不同, 因为文献[14,引理4.1]仅考虑超需映射所构成的度量空间, 并建立完备性. 此外, 本文定理3.1与定理3.2分别建立解集映射下、上半连续时与本质集之间的关系, 而文献[14]未建立解集映射上、下半连续时与本质集之间的关系.

本节建立一般经济均衡问题的扩展Hadamard适定性和广义Hadamard适定性成立的充分性条件.

设$p\in A$, 定义集合$S(A,Z,p,\varepsilon):=\{u\in Z(p):h_{e}(u)-\varepsilon\leq 0\}$. 为得到一般经济均衡问题的扩展Hadamard适定性, 下面将建立该集合与一般经济均衡问题$(\varepsilon,e)$ -近似平衡解之间的关系.

${\bf命题4.1}$ 如果$(p_0,u_0)\in (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$, 则有$u_0\in S(A,Z,p_0,\varepsilon)$.

${\bf证}$ 因为$(p_0,u_0)\in (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$, 所以 $p_0\in A$, $u_0\in Z(p_0)$, 且$u_0\in \varepsilon e-R_{+}^l$. 由引理2.4的(2)知, $h_e(u_0)\leq\varepsilon$. 即是说, $h_e(u_0)-\varepsilon\leq0$. 综上可得, $u_0\in S(A,Z,p_0,\varepsilon)$.

${\bf命题4.2}$ 设$p_0\in A$. 若$u_0\in S(A,Z,p_0,\varepsilon)$, 则$(p_0,u_0)\in (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$.

${\bf证}$ 用反证法, 假设$(p_0,u_0)\notin (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$. 因此, 对任意的$u_0\in Z(p_0)$, 有$u_0\notin \varepsilon e-R_{+}^l$. 由引理2.4的(2)知, $h_{e}(u_0)>\varepsilon$, 即是说, 对任意的$u_0\in Z(p_0)$, $ h_{e}(u_0)-\varepsilon >0, $ 这与$u_0\in S(A,Z,p_0,\varepsilon)$矛盾, 所以$(p_0,u_0)\in (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$.

下面建立一般经济均衡问题的扩展Hadamard适定性和广义Hadamard适定性成立的充分性条件.

${\bf定理4.1}$ 设$A_n,A$为$R_{+}^l$的非空子集, $Z_n:A_n\rightarrow 2^{R^l}$和$Z:A\rightarrow 2^{R^l}$ 为超需映射, $n\in N$. $q=(A,Z)$ 和$\{q_n=(A_{n},Z_{n})\}_{n\in N}$为一般经济均衡问题. 若

(1) $A_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{\rm P.K.} A$,

(2) $\bigcup\limits_{p_n\rightarrow p} \limsup Z_{n}(p_n)\subseteq Z(p),~\forall p\in R_{+}^l$,

则一般经济均衡问题$q=(A,Z)$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n=(A_{n},Z_{n})\}_{n\in N}$是扩展Hadamard适定的.

${\bf证}$ 只需证明存在$\varepsilon_0>0$, 使得对任意的$0\leq \varepsilon\leq\varepsilon_0$, 有

任取

下证$(\bar p,\bar u)\in (\varepsilon,e)-EP(A,Z)$. 由(4.1)式知, 存在子序列 $(p_{n_k},u_{n_k})\in (\varepsilon,e)-EP(A_{n_k},Z_{n_k})$, 使得

因为$(p_{n_k},u_{n_k})\in (\varepsilon,e)-EP(A_{n_k},Z_{n_k})$, 所以由命题4.1可得

下证$\bar u\in S(A,Z,\bar p,\varepsilon)=\{\bar u\in Z(\bar p):h_{e}(\bar u)-\varepsilon \leq0\}$. 因为$A_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{\rm P.K.} A$ 及$p_{n_k}\rightarrow \bar p$, 所以有$\bar p\in A$. 由(4.3)式可知

由(4.2)式、(4.4)式以及已知条件(2)知, $\bar u\in Z(\bar p)$. 从而下面只需证$h_{e}(\bar u)-\varepsilon \leq0$. 由(4.3)式可得, $h_{e}(u_{n_k})-\varepsilon \leq 0$, 进而有$u_{n_k}\in \varepsilon e-R_{+}^l$. 因为$\varepsilon e-R_{+}^l$是闭集且$u_{n_k}\rightarrow \bar u$, 所以有$\bar u\in \varepsilon e-R_{+}^l$. 因此有$h_{e}(\bar u)-\varepsilon \leq 0$, 所以$\bar u\in S(A,Z,\bar p,\varepsilon)$. 由命题4.2 可得, $(\bar p,\bar u)\in [(\varepsilon,e)-EP(A,Z)]$.

${\bf定理4.2}$ 若一般经济均衡问题$q=(A,Z)$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n=(A_{n},$$Z_{n})\}_{n\in N}$是扩展Hadamard适定的, 则一般经济均衡问题$q=(A,Z)$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n=(A_{n},Z_{n})\}_{n\in N}$也是广义Hadamard适定的.

${\bf证}$ 用反证法. 假设$q$关于序列$q_n$不是广义Hadamard适定的, 则对任意的$\varepsilon_n>0$, 且$\varepsilon_n\rightarrow 0$, 存在$(\bar p,\bar u)$, 满足

且

由(4.5)式可知, 存在子序列

使得$(p_{n_{k}},u_{n_{k}})\rightarrow (\bar p,\bar u)$. 因为$(\bar p,\bar u)\notin EP(A,Z)$, 所以对任意$\xi>0$, 存在$\alpha$, 满足$0<\alpha<\xi$, 使得

否则, 存在$\xi>0$, 对任意$\alpha$, 满足$0<\alpha<\xi$, 有$(\bar p,\bar u)\in (\alpha,e)-EP(A,Z)$. 从而有$\bar u\in \alpha e-R_+^l$. 因为$-R_+^l$是闭集, 令$\alpha\rightarrow 0$, 则有$\bar u\in -R_+^l$, 这与(4.6)式矛盾.

此外, 因为$\varepsilon_n\rightarrow 0$, 所以对于$\alpha$, 存在正整数$N_1$, 当$n>N_1$时, 有$\varepsilon_n<\alpha$, 对任意$(p,u)\in (\varepsilon_n,e)-EP(A_n,Z_n)$, 有$u\in \varepsilon_{n}e-R_{+}^{l}$. 因为$\varepsilon_{n}e-R_{+}^l\subseteq \alpha e-R_{+}^l$, 所以$u\in \alpha e-R_{+}^{l}$, 即$(p,u)\in (\alpha,e)-EP(A_n,Z_n)$. 所以, 对任意$\xi>0$, 存在$\alpha$, 满足$0<\alpha<\xi$, 存在正整数$N_{1}$, 当$n>N_1$时, 使得

由(4.7)式及(4.9)式可知, $(p_{n_{k}},u_{n_{k}})\in (\alpha,e)-EP(A_{n_{k}},Z_{n_{k}}). $ 又因为$(p_{n_{k}},u_{n_{k}})\rightarrow (\bar p,\bar u)$, 所以$(\bar p,\bar u)\in \limsup_{n}[(\alpha,e)-EP(A_n,Z_n)]$. 由(4.8)式可知, $(\bar p,\bar u)\notin (\alpha,e)-EP(A,Z)$. 这与一般经济均衡问题$q$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n\}_{n\in N}$是扩展Hadamard适定的矛盾.

${\bf推论4.1}$ 设$A_n,A$为$R_{+}^l$的非空子集, 且$Z_n:A_n\rightarrow 2^{R^l}$和$Z:A\rightarrow 2^{R^l}$为超需映射, $q=(A,Z)$ 和$\{q_n=(A_{n},Z_{n})\}_{n\in N}$为一般经济均衡问题. 若

(1) $A_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{\rm P.K.} A$,

(2) $\bigcup\limits_{p_n\rightarrow p}\limsup Z_{n}(p_n)\subseteq Z(p),~\forall p\in R_{+}^l$,

则一般经济均衡问题$q=(A,Z)$关于一般经济均衡问题序列$\{q_n=(A_{n},Z_{n})\}_{n\in N}$是广义Hadamard适定的.

${\bf证}$ 由定理4.1以及定理4.2可知, 结论显然成立.