二十一世纪以来, 随着科学技术的飞跃发展, 人与人之间的距离越来越小, 互动越来越频繁, 作为研究群体行为和社会现象最有力工具之一的群体博弈理论, 自然而然地成为了国内外学者关注和研究的重点. 群体博弈的思想最早可追溯到 Nash 的博士论文^[1], Nash 首次用其解释非合作博弈的混合策略. 1982 年, Smith 在其专著《演化与博弈论》^[2]中提到, "在许多情形下, 博弈的参与者往往不只是与单一的参与者进行博弈, 而是与一个由很多参与者构成的群体或者其中的一部分进行博弈." Sandholm 在 2011 年出版的专著《群体博弈与演化动力学》^[3]中系统地给出了群体博弈(群体数量庞大, 但是固定且有限的)的基本模型和演化动力学的各种形式, 并着重阐述了在这些演化动力学下群体博弈平衡状态的稳定性结果. 2017 年, 杨光惠和杨辉^[4]将单目标群体博弈扩展成多目标群体博弈, 并证明了其弱 Pareto-Nash 平衡状态的存在性和稳定性. 2016 年, 杨光惠等^[5]研究了多目标群体博弈加权 Nash 平衡的存在性和稳定性. 2019 年, 杨哲等^[6]在群体博弈中引入了合作平衡概率, 并证明了其存在性和通有稳定性.

很多现实生活中的博弈问题都可以抽象为群体博弈模型, 其实用价值很高. 那么在这个计算机科学普及的时代, 是否可以通过设计可行且高效的算法来求解群体博弈的平衡状态呢? 逼近定理在一定程度上给出了肯定的回答. 逼近定理论证了, 一个优化问题, 在满足一定条件下, 可以通过一系列近似的优化问题来逼近, 并且在决策者本身不是完全理性的条件下, 其对应的近似解最终会收敛到原优化问题的最优解. 这为优化问题算法设计的可行性提供了系统的理论支撑, 其主要思想是有限理性思想. 1955 年, Simon^[7] 首先给出了有限理性的思想, 其核心是" 满意"原则, 也就是使决策者感到满意的原则. 他认为问题本身就是近似的, 其求解方法也是近似的, 只能寻求到某种近似的解, 虽然这并不是最优解, 但这已经足够使决策者感到满意和放心. 根据 Simon 的有限理性思想, 影响决策者的决策主要有三个因素: 首先, 决策者的决策方案策略集是近似的; 其次, 选择的目标函数是近似的; 最后, 求解的计算方法也是近似的. 俞建在其专著《有限理性与博弈论中平衡点集的稳定性》^[8]中首次给出了逼近定理, 证明了 $n$ 人非合作博弈问题和最优化问题的逼近定理, 为有限理性逼近完全理性的可行性提供了理论依据, 回应了 Simon 有限理性的质疑. 从实际应用的角度看, 其反映了有限理性是以完全理性作为终极目标的, 这搭起了有限理性通往完全理性的一座理论桥梁. 随后, 2018 年, 丘小玲等^[9]证明了平衡问题在有限理性思想下的逼近定理, 并得到了单调平衡问题解在 Baire 分类意义下的通有唯一性和通有收敛性. 2019 年, 丘小玲和贾文生^[10]证明了有限理性下变分不等式问题的逼近定理, 为变分不等式问题的算法提供了一个理论支撑. 2020 年, 丘小玲等^[11]证明了在更一般的假设条件下向量平衡问题的一个逼近定理, 并得到了严格拟单调向量平衡问题解的一个通有收敛性定理. 2021 年, 陈华鑫和贾文生^[12]在群体博弈模型下, 证明了相应的逼近定理, 并得到了支付函数扰动情况下群体博弈解的通有收敛性结果. 其为群体博弈平衡状态求解算法可行性提供了很好的理论支撑. 2022 年, 牟玉霜和贾文生^[13]在一类不连续多目标模型下, 给出了相应的逼近定理.

值得注意的是, 逼近定理不只是为算法设计提供可行性依据, 而且还是现实生活中决策者面对各种优化问题特别贴切的缩影. 现实生活中, 由于决策能力有限或者信息不对称等诸多因素, 决策者对一个优化问题的认识和处理往往是不够完美的. 优化问题的可行策略集和支付函数可能会有偏差, 决策者对决策过程和结果的要求和执行也不是完美的, 特别是在初期面对该优化问题的时候, 尤为明显. 这些局限性正好符合逼近定理所描述的条件. 然而, 对于现有的定义的" 满意解", 我们认为还可以通过决策者选择策略的扰动偏差上得到进一步完善, 这将使得决策者的有限理性得到更充分的体现. 这样的改进思路是较为合理的. 一方面, 从计算机算法角度看, 不仅其最优值是近似的, 而且最优解也是近似的. 另一方面, 现实生活中, 面对经典的优化问题, 决策者本身在执行最优决策时也是可能会犯错误的. 尤其是, 在群体博弈中, 代理人数量特别大, 一小部分代理人在选择最优策略时犯错误是完全可能的. 在犯错误情况充分小的情况下, 这被认为是" 满意解"也应该是比较合理的.

本文在陈华鑫和贾文生^[12]研究成果的基础上, 分别在群体博弈和多目标群体博弈下, 考虑其代理人在选择策略时可能会发生偶然偏移, 对代理人的有限理性再次进行减弱, 证明了其相应的逼近定理. 本文第2节是必要的基本定义和定理; 第3节在群体博弈模型下, 给出了新的近似 Nash 平衡状态的定义, 并证明了相应减弱版本的逼近定理; 第4节在多目标群体博弈模型下, 给出了新的近似弱 Pareto-Nash 平衡状态的定义, 并证明了相应的逼近定理; 第5节是简要的总结与展望.

首先引入群体博弈模型^[2].

设 $P=\{1,2,\cdots,N\}$ 是由 $N$ 个群体组成的群体, $N\geq1$, 整个群体的代理人数量为 $m$, 其是充分大但有限的, 每个群体 $p\in P$ 的代理人个体总量份额为 $m^{p}>0,$ 即$\forall p\in P,$$m=\sum\limits_{p\in P}m^{p}$. 在群体 $p\in P$ 中, 每个代理人的纯策略集合为 $S^{p}=\{1,2,\cdots,s^{p}\}$, 相应的群体状态集为$X^{p}=\{x^{p}=(x^{p}_{1},\cdots,x^{p}_{s^{p}})\in{\bf R}^{s^{p}}_{+}:\ \sum\limits_{i=1}^{s^{p}}x^{p}_{i}=m^{p}\}$, 其中 $x^{p}_{i}$ 表示群体 $p$ 中选择策略 $i\in S^{p}$ 的个体份额. 令 $s=\sum\limits_{p\in P}s^{p}$, 是指所有群体全部纯策略的总数. $X=\prod\limits_{p\in P}X^{p}=\{x=(x^{1},\cdots,x^{p})\in{\bf R}^{s}_{+}:\ x^{p}\in X^{p},\forall p\in P\}$ 代表整个群体社会 $P$ 的群体状态集合, $x=(x_{1},\cdots,x_{s})\in X$ 表示一种群体状态. $F:\ X\rightarrow {\bf R}^{s}$ 是这个群体的支付函数, $\forall x\in X,\ F(x)=(F^{1}(x),\cdots,F^{p}(x))$, 其中 $\forall p\in P$, $F^{p}:\ X\rightarrow {\bf R}^{s^{p}}$ 是群体 $p$ 对于于策略集 $S^{p}$ 的支付向量, 即 $F^{p}(x)=(F^{p}_{1}(x),\cdots,F^{p}_{s^{p}}(x)),\nonumber$ 其中 $F_{i}^{p}(x)$ 是指群体 $p$ 中代理人选择策略 $i\in S^{p}$ 的支付. 记这样的一个群体博弈为 $PG=(P,S,X,F)$.

当 $N=1$ 时表示单群体博弈模型, 即, 此时博弈策略集为 $S=\{1,\cdots,s\}$, 状态空间为 $X=\{x\in{\bf R}_{+}^{s}:\ \sum\limits_{i\in S}x_{i}=1\}$, 它是 ${\bf R}^{s}$ 上的单纯形.

${\bf定义2.1}$^[2] 在群体博弈 $PG$ 中, 如果群体状态 $\overline{x}=(\overline{x}^{1},\cdots,\overline{x}^{N})\in X$ 满足: 对 $\forall p\in P,$ 任意 $i\in S^{p}$ 有

则称 $\overline{x}\in X$ 是群体博弈 $PG$ 的 Nash 平衡状态.

${\bf定理2.1}$^[2] 如果 $F:\ X\rightarrow{\bf R}^{n}$ 是连续的, 则群体博弈 $PG$ 在 $X$ 上至少存在一个 Nash 平衡状态.

其次引入多目标群体博弈^[4].

设 $P=\{1,2,\cdots,N\}$ 是由 $N$ 个群体组成的群体, $N\geq1$, 整个群体的代理人数量为 $m$, 其是充分大但有限的, 每个群体 $p\in P$ 的代理人个体总量份额为 $m^{p}>0,\ \forall p\in P,\ m=\sum\limits_{p\in P}m^{p}$, 其每个代理人的纯策略集合为 $S^{p}=\{1,2,\cdots,s^{p}\}$, 相应的群体状态集为$X^{p}=\{x^{p}=(x^{p}_{1},\cdots,x^{p}_{s^{p}})\in{\bf R}^{s^{p}}_{+}:\ \sum\limits_{i=1}^{s^{p}}x^{p}_{i}=m^{p}\}$, 其中 $x^{p}_{i}$ 表示群体 $p$ 中选择策略 $i\in S^{p}$ 的个体份额. 令 $s=\sum\limits_{p\in P}s^{p}$, 是指所有群体全部纯策略的总数. $X=\prod\limits_{p\in P}X^{p}=\{x=(x^{1},\cdots,x^{p})\in{\bf R}^{s}_{+}:$$x^{p}\in X^{p},\forall p\in P\}$ 代表整个群体社会 $P$ 的群体状态集合, $x=(x_{1},\cdots,x_{s})\in X$ 表示一种群体状态. 该群体中的代理人的支付目标有 $k^{p}\in {\bf N}_{+}$ 个. $F_{i}^{p}:X\rightarrow {\bf R}^{k^{p}}$ 代表的是该群体选择策略$l\in S^{p}$的一个向量值支付函数, 其中$F_{i}^{jp}\in {\bf R}$ 代表的第$j$个目标的函数, 其中 $j=1,2,\ldots,k^{p}$. $F^{p}=(F_{1}^{p},F_{2}^{p},\cdots,F_{s^{p}}^{p})':X\rightarrow {\bf R}^{s^{p}k^{p}}$ 则是该群体的向量值支付函数. 令 ${\cal N}=\sum\limits_{p\in P}s^{p}k^{p}\in {\bf N}_{+}$, 支付函数$F:X\rightarrow {\bf R}^{{\cal N}}$ 则为多目标群体博弈的支付函数. 令该多目标群体博弈为 $MPG=\{P,S,X,F,{\cal N}\}$.

${\bf定义2.2}$^[4] 在多目标群体博弈 $MPG$ 中,

(1) 一个社会状态 $\overline{x}=(\overline{x}^{1},\cdots,\overline{x}^{N})\in X$ 被称为弱 Pareto-Nash 均衡状态, 如果对于每一个 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 有

(2) 一个社会状态 $\overline{x}=(\overline{x}^{1},\cdots,\overline{x}^{N})\in X$ 被称为 Pareto-Nash 均衡状态, 如果对于每一个 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 有

${\bf定理2.2}$^[4] 在多目标群体博弈 $MPG$ 中,如果 $F$ 在 $X$ 是连续的, 则至少存在一个弱 Pareto-Nash 均衡状态.

${\bf引理2.1}$^[8] 设 $A_{n}$ 是度量空间 $X$ 中的一列非空有界子集, $h(A_{n},A)\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$, 其中 $A$ 是 $X$ 中的一个非空紧子集, $h$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离. $x_{n}\in A_{n},\ n=1,2,\cdots,$ 则存在 $\{x_{n}\}$ 的子序列 $\{x_{n_{k}}\}$, 使得 $x_{n_{k}}\rightarrow x\in A$.

以下定义和定理来自于文献[12].

${\bf定义2.3}$ 在群体博弈 $PG$ 中, 给定一个实数 $\epsilon>0$, 对于任意 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 满足

则称 $\overline{x}\in X$ 是群体博弈 $PG$ 的 $\epsilon$ -近似 Nash 平衡状态.

${\bf定理2.3}$ 在群体博弈 $PG$ 中, 设 $(X,d)$ 是度量空间, 对于任意 $p\in P$, 假设下列条件成立

(i) $\forall n=1,2,\cdots,$ 任意 $j\in S^{p}$, 函数 $F_{j}^{(n)p}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 满足 $n\rightarrow\infty$ 时有

其中, $F_{j}^{p}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 是连续的;

(ii) $\forall n=1,2,\cdots,\ A_{n}$ 是 $X$ 中的非空子集, 且 $h(A_{n},A)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$, 其中 $h$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离, $A$ 是 $X$ 中的一个非空紧集;

(iii) $\forall n=1,2,\cdots,\ x_{n}\in X$, 且 $d(x_{n},A_{n})\rightarrow0,$ 对于任意 $i\in S^{p}$ 满足

其中, $\epsilon_{n}>0,$ 且 $n\rightarrow\infty$ 时 $\epsilon_{n}\rightarrow0$.

则

(1) 存在 $\{x_{n}\}$ 的一个收敛子列 $\{x_{n_{k}}\}$, 使得 $x_{n_{k}}\rightarrow\overline{x}\in A$;

(2) 对于任意 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 有 $\overline{x}_{i}^{p}>0\Rightarrow F_{i}^{p}(\overline{x})=\max\limits_{j\in S^{p}}F_{j}^{p}(\overline{x});\nonumber$

(3) 若群体博弈的 Nash 平衡状态集是单点集, 必有 $x_{n}\rightarrow\overline{x}\in A$.

下面我们给出近似 Nash 平衡状态(定义 2.3 )的扩展定义.

${\bf定义3.1}$ 在群体博弈 $PG$ 中, 若群体状态 $\overline{x}\in X$, 给定两个实数 $\delta\in[0,\frac{m}{s}),\ \epsilon>0$, 对于任意 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 满足

则称 $\overline{x}\in X$ 是群体博弈 $PG$ 的 $(\delta,\epsilon)$ -近似 Nash 平衡状态.

${\bf注3.1}$ (1) 当 $\delta={\bf 0}$ 时, 定义 3.1 还原为定义 2.3; 当 $\delta=0,\ \epsilon=0$ 时, 定义 3.1 还原为定义 2.1.

(2) 条件 (3.1) 代表, 当 $\delta>0$ 时, 在 $(\delta,\epsilon)$ -近似 Nash 平衡状态中, 虽不少于 $m-s\delta$ 的代理人所选择的策略对应的支付都是比较接近最优支付的, 但仍存在少于 $s\delta$ 的一些代理人因为犯错误或者其他原因, 其选择的策略对应的支付偏离了最优支付. 从整个群体博弈来看, $(\delta,\epsilon)$ -近似 Nash 平衡状态可以视为在一定容忍程度下的一个" 满意"状态.

(3) 在算法设计模块下, 条件 (3.1) 代表最优值容许误差为 $\epsilon$, 最优解容许误差为 $\delta$.

${\bf定理3.1}$ 在群体博弈 $PG$ 中, 对于任意 $p\in P$, 假设下列条件成立

(i) $\forall n=1,2,\cdots,$ 任意 $j\in S^{p}$, 函数 $F_{j}^{(n)p}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 满足 $n\rightarrow\infty$ 时有

其中, $F_{j}^{p}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 是连续的;

(ii) $\forall n=1,2,\cdots,\ A_{n}$ 是 $X$ 中的非空子集, 且 $h(A_{n},A)\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$, 其中 $h$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离, $A$ 是 $X$ 中的一个非空紧集;

(iii) $\forall n=1,2,\cdots,\ x_{n}\in X$, 且 $d(x_{n},A_{n})\rightarrow0,$ 其中 $d$ 是 $R^{s}$ 上的欧氏距离函数, 对于任意 $i\in S^{p}$ 满足

其中, $\delta_{n}\in(0,\frac{m}{s}),\ \epsilon_{n}>0,$ 且 $n\rightarrow\infty$ 时 $\delta_{n}\rightarrow0,\ \epsilon_{n}\rightarrow0$.

则

(1) 存在 $\{x_{n}\}$ 的一个收敛子列 $\{x_{n_{k}}\}$, 使得 $x_{n_{k}}\rightarrow\overline{x}\in A$;

(2) 对于任意 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$ 有 $\overline{x}_{i}^{p}>0\Rightarrow F_{i}^{p}(\overline{x})=\max\limits_{j\in S^{p}}F_{j}^{p}(\overline{x});\nonumber$

(3) 若群体博弈的 Nash 平衡状态集是单点集, 必有 $x_{n}\rightarrow\overline{x}\in A$.

${\bf证}$ (1) 由于 $d(x_{n},A_{n})\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$, 则存在 $x_{n}'\in A_{n},$ 使得

$(n\rightarrow\infty),$ 且$A$ 是紧集, 由引理 $2.1$ 易知,

$\{x_{n}'\}$ 必有子序列 $\{x_{n_{k}}'\}$, 使得 $\{x_{n_{k}}'\}\rightarrow\overline{x}\in A$,

故 $\{x_{n}\}$ 必有子序列$\{x_{n_{k}}\}\rightarrow\overline{x}\in A$.

(2) 基于结论 (1), 我们不妨设 $x_{n}\rightarrow\overline{x}\in A$. 我们假设结论 (2) 不成立, 则存在 $p_{0}\in P,$$i_{0}\in S^{p_{0}}$, 使得 $\overline{x}_{i_{0}}^{p_{0}}>0$, 但有

即存在 $j_{0}\in S^{p_{0}}$ 使得 $F_{i_{0}}^{p_{0}}(\overline{x})<F_{j_{0}}^{p_{0}}(\overline{x}).\nonumber$ 由于 $F_{j}^{p_{0}}$ 在 $X$ 上是连续的, 则存在一个实数 $\theta_{0}>0$, 存在 $\overline{x}$ 的一个开邻域 $O(\overline{x})$, 使得对于任意 $x'\in O(\overline{x})$, 有 $F_{i_{0}}^{p_{0}}(x')<F_{j_{0}}^{p_{0}}(x')-\theta_{0}.\nonumber$ 因为 $\sup\limits_{x\in X}|F_{i}^{(n)p_{0}}(x)-F_{i}^{p_{0}}(x)|\rightarrow0$, 且 $\epsilon_{n}\rightarrow0$, 存在正整数 $N_{1},$ 对于任意 $n>N_{1}$, 有

再由 $x_{n}\rightarrow\overline{x},\ n\rightarrow\infty$, 存在正整数 $N_{2}$, 当 $n>N_{2}$, 有 $x_{n}\in O(\overline{x})$. 从而, 对于任意 $n>\max\{N_{1},N_{2}\}$, 有 $F_{i_{0}}^{p_{0}}(x_{n})<F_{j_{0}}^{p_{0}}(x_{n})-\theta_{0}.\nonumber$ 于是

因为 $x_{n}\rightarrow x,\ x_{i_{0}}^{p0}>0$, 且 $\delta_{n}\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$, 所以存在正整数 $N_{3}$, 使得 $\overline{x}_{i_{0}(n)}^{p_{0}}>\delta_{n}$. 则当$n>\max\{N_{1}, N_{2},N_{3}\}$ 时, 与条件 (iii) 矛盾.

(3) 如果结论 (3) 不成立, 则存在 $\theta>0$ 和 $\{x_{n}\}$ 的一个子序列 $\{x_{n_{k}}\}$, 使得 $d(x_{n_{k}},\overline{x})\geq\theta$, 序列 $\{x_{n_{k}}\}$ 又必有收敛子序列, 不妨设 $x_{n_{k}}\rightarrow x'$. 即 $d(x_{n_{k}},x')\rightarrow0,\ x'\in A$ 且也是该群体博弈的 Nash 平衡状态, 由于该群体博弈的 Nash 平衡状态集是单点集, 故有$x'\neq\overline{x}$, 则$d(x_{n_{k}},x')\geq\theta$矛盾.

证毕.

${\bf注3.2}$ 当 $\delta=0$ 时, 定理 3.1 将还原为定理 2.3.

下面我们给出多目标群体博弈近似弱 Pareto-Nash 平衡状态的定义.

${\bf定义4.1}$ 在多目标群体博弈 $MPG$ 中, 若群体状态 $\overline{x}\in X,\ \forall p\in P$, 给定一个实数 $\delta\in[0,\frac{m}{s}),$ 一个正实数向量$\varepsilon=\{\varepsilon^{1},\cdots,\varepsilon^{N}\}$, 其中 $\varepsilon^{p}=(\varepsilon^{1p},\cdots,\varepsilon^{k^{p}p}),$ 任意 $p\in P,$ 任意 $i\in S^{p}$ 满足

则称 $\overline{x}\in X$ 是多目标群体博弈 $MPG$ 的 $(\delta,\varepsilon)$ -近似弱 Pareto-Nash 平衡状态.

${\bf注4.1}$ (1) 当 $\delta=0,\ \varepsilon=0$ 时, 定义 4.1 还原为定义 2.2.

(2) 条件 (4.1) 代表, 当 $\delta>0$ 时, 在 $(\delta,\varepsilon)$ - 近似弱Pareto-Nash 平衡状态中, 虽不少于 $m-s\delta$ 的代理人所选择的策略对应的支付向量都是在其弱Pareto 有效集附近的, 但仍存在少于 $s\delta$ 的一些代理人因为犯错误或者其他原因, 其选择的策略对应的支付向量偏离了其弱 Pareto 有效集. 从整个多目标群体博弈来看, $(\delta,\varepsilon)$ -近似弱 Pareto-Nash 平衡状态可以视为在一定容忍程度下的一个" 满意"状态.

(3) 在算法设计模块下, 条件 (4.1) 代表最优值向量容许误差为 $\varepsilon$, 最优解容许误差为 $\delta$.

${\bf定理4.1}$ 在多目标群体博弈 $MPG$ 中, 对于任意 $p\in P$, 假设下列条件成立

(i) $\forall n=1,2,\cdots,\ t=1,2,\cdots,k^{p}$, 任意 $j\in S^{p}$, 函数 $F_{j}^{(n)tp}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 满足 $n\rightarrow\infty$ 时有

其中, $F_{j}^{tp}:\ X\rightarrow {\bf R}$ 是连续的;

(ii) $\forall n=1,2,\cdots,\ A_{n}$ 是 $X$ 中的非空子集, 且 $h(A_{n},A)\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)$, 其中 $h$ 是 $X$ 上的 Hausdorff 距离, $A$ 是 $X$ 中的一个非空紧集;

(iii) $\forall n=1,2,\cdots,\ x_{n}\in X$, 且 $d(x_{n},A_{n})\rightarrow0,$ 其中 $d$ 是 $R^{s}$ 上的欧氏距离函数, 对于任意 $p\in P,$ 任意 $i\in S^{p},$ 满足

则

(1) 存在 $\{x_{n}\}$ 的一个收敛子列 $\{x_{n_{k}}\}$, 使得 $x_{n_{k}}\rightarrow\overline{x}\in A$;

(2) 对于任意 $p\in P$, 任意 $i\in S^{p}$, 有

(3) 若多目标群体博弈的弱 Pareto-Nash 平衡状态集是单点集, 必有 $x_{n}\rightarrow\overline{x}\in A$.

${\bf证}$ (1) 证明类似于定理 3.1 的结论 (1).

(2) 基于结论 (1), 我们不妨设 $x_{n}\rightarrow\overline{x}\in A$. 我们假设结论 (2) 不成立, 则存在 $p_{0}\in P,$$i_{0}\in S^{p_{0}}$, 使得 $\overline{x}_{i_{0}}^{p_{0}}>0$, 但存在 $j_{0}\in S^{p_{0}}$ 有

即对于任意 $t=1,2,\cdots,k^{p_{0}}$ 有

由于 $F_{j}^{tp_{0}}$ 在 $X$ 上是连续的, 则存在一个实数 $\theta_{0}>0$, 存在 $\overline{x}$ 的一个开邻域 $O(\overline{x})$, 使得对于任意 $x'\in O(\overline{x})$, 有

因为 $\sup\limits_{x\in X}|F_{i}^{(n)tp_{0}}(x)-F_{i}^{tp_{0}}(x)|\rightarrow0$, 且 $\varepsilon^{tp_{0}}_{n}\rightarrow0$, 存在正整数 $N_{t1},$ 对于任意 $n>N_{t1}$, 有

再由 $x_{n}\rightarrow\overline{x},\ n\rightarrow\infty$, 存在正整数 $N_{t2}$, 当 $n>N_{t2}$, 有 $x_{n}\in O(\overline{x})$. 从而, 对于任意 $n>\max\{N_{t1},N_{t2}\}$, 有 $F_{i_{0}}^{tp_{0}}(x_{n})<F_{j_{0}}^{tp_{0}}(x_{n})-\theta_{0}.\nonumber$ 于是

因为 $x_{n}\rightarrow x,\ x_{i_{0}}^{p0}>0$, 且 $\delta_{n}\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$, 所以存在正整数 $N_{t3}$, 使得 $\overline{x}_{i_{0}(n)}^{p_{0}}>\delta_{n}$. 则当$n>\max\{N_{t1},N_{t2},N_{t3}\}$ 时有

于是当 $n>\max\limits_{t=1,2,\cdots,k^{p_{0}}}\{N_{t1},N_{t2},N_{t3}\}$ 时有

这与条件 (iii) 矛盾.

(3) 证明类似于定理 3.1 的结论 (2).

证毕.

本文定义了在一定程度上更合适的"满意"群体状态, 即 $(\delta,\epsilon)$ -近似 Nash 平衡状态(定义 3.1) 和 $(\delta,\varepsilon)$ -近似弱 Pareto-Nash 平衡状态(定义 4.1), 并证明了相应的逼近定理(定理 3.1 和定理 4.1). 其近似 Nash 平衡状态和近似弱 Pareto-Nash 平衡状态是对代理人有限理性的进一步减弱, 更加的符合实际情况. 相应的逼近定理论证了在这样的情况下, 最终的结果仍然是向着完全理性靠近的. 也进一步完善了其对算法设计可行性的理论支撑.

显然, 即使是考虑相应的"满意"回应决策规则, 最优回应的决策规则还是太过理性. 其往往要求决策者对问题本身有特别全面的认识和掌握. 显然, 在决策者初期阶段, 这样的要求过于苛刻, 也比较偏离实际. 后续我们将从决策者的决策规则入手, 在使其符合实际情况的同时, 进一步减弱决策规则的理性要求, 并为 Nash 平衡的求解算法的其他思路提供理论支撑, 期望可以在提高算法的效率上提供一些理论依据.