数学物理学报, 2023, 43(3): 855-882

分数Ornstein-Uhlenbeck 过程最小二乘估计改进的Berry-Esséen 界

陈勇,*, 古象盟,

江西师范大学数学与统计学院 南昌 330022

An Improved Berry-Esséen Bound of Least Squares Estimation for Fractional Ornstein-Uhlenbeck Processes

Chen Yong,*, Gu Xiangmeng,

School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022

通讯作者: *陈勇, E-mail: chenyong77@gmail.com

收稿日期: 2022-09-5   修回日期: 2023-02-9  

基金资助: 国家自然科学基金(11961033)

Received: 2022-09-5   Revised: 2023-02-9  

Fund supported: NSFC(11961033)

作者简介 About authors

古象盟,E-mail:zhishi@pku.org.cn

摘要

该文目的有二. 一是得到了当Hurst参数 $H\in(0,\frac12)$时, 分数布朗运动联系的Hilbert 空间${\cal H}$中有界变差函数的一种新颖的内积计算公式. 这个新公式基于有界变差函数的Lebesgue-Stieljes测度的一种分解以及Lebesgue-Stieljes测度的分部积分公式. 二是作为该公式的应用, 通过寻找对称张量空间${\cal H}^{\odot 2}$ 中二元函数$f_T(t,s)=e^{-\theta|t-s|}1_{\{0\leq s,t\leq T\}}$, 其范数的平方做为$T$的函数当$T\to \infty$时的渐近线, 改进了当 $H\in(\frac14,\frac12)$时, 分数Ornstein-Uhlenbeck 过程漂移系数最小二乘估计的 Berry-Esséen类上界. 该文的渐近分析比Hu, Nualart, Zhou (2019)引理17 的相应结论精细许多; 该文改进的Berry-Esséen界是Chen, Li (2021)定理1.1 相应结论的最佳改进. 作为一个附产品, 该文也给出上述渐近分析的另一个应用, 分数Ornstein-Uhlenbeck 过程漂移系数矩估计的 Berry-Esséen类上界, 其证明方法和Sottinen, Viitasaari (2018) 命题4.1 的方法显著不同.

关键词： 分数布朗运动; 分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程; Berry-Esséen类上界

Abstract

The aim of this paper is twofold. First, it offers a novel formula to calculate the inner product of the bounded variation function in the Hilbert space ${\cal H}$ associated with the fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in (0,\frac12)$. This formula is based on a kind of decomposition of the Lebesgue-Stieljes measure of the bounded variation function and the integration by parts formula of the Lebesgue-Stieljes measure. Second, as an application of the formula, we explore that as $T\to \infty$, the asymptotic line for the square of the norm of the bivariate function $f_T(t,s)=e^{-\theta|t-s|}1_{\{0\leq s,t\leq T\}}$ in the symmetric tensor space ${\cal H}^{\odot 2}$ (as a function of $T$), and improve the Berry-Esséen type upper bound for the least squares estimation of the drift coefficient of the fractional Ornstein-Uhlenbeck processes with Hurst parameter $H\in (\frac14,\frac12)$. The asymptotic analysis of the present paper is much more subtle than that of Lemma 17 in Hu, Nualart, Zhou(2019) and the improved Berry-Esséen type upper bound is the best improvement of the result of Theorem 1.1 in Chen, Li (2021). As a by-product, a second application of the above asymptotic analysis is given, i.e., we also show the Berry-Esséen type upper bound for the moment estimation of the drift coefficient of the fractional Ornstein-Uhlenbeck processes where the method is obvious different to that of Proposition 4.1 in Sottinen, Viitasaari(2018).

Keywords： Fractional Brownian motion; Fractional Ornstein-Uhlenbeck process; Berry-Esséen bound

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本文引用格式

陈勇, 古象盟. 分数Ornstein-Uhlenbeck 过程最小二乘估计改进的Berry-Esséen 界[J]. 数学物理学报, 2023, 43(3): 855-882

Chen Yong, Gu Xiangmeng. An Improved Berry-Esséen Bound of Least Squares Estimation for Fractional Ornstein-Uhlenbeck Processes[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(3): 855-882

1 引言

如无特别说明, 本文所出现的Hurst 参数总假定为$H\in(0,\frac12)$. 本文有两个主要目的. 一是改进基于连续样本观测, 分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程漂移系数最小二乘估计的 Berry-Esséen 界. 二是给出分数布朗运动所联系的Hilbert空间${\cal H}$限制于有界变差函数时内积的一种易于计算的表出公式. 对于本文的两个目的而言, 前者可以看作后者的一个非常有效的应用.另外, 作为一个附产品, 我们也给出后者的第二个应用, 分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程漂移系数的矩估计的 Berry-Esséen 界, 其证明方法和文献[1,命题4.1]及文献[2,定理5.4] 的证明方法不同. 本文的结论都是新颖的. 特别值得强调的是: 上述得到漂移系数最小二乘估计改进的 Berry-Esséen 类上界的方法, 据我们所知, 目前还没有其它备选的替代方法. 另外, 我们也指出, 使用该方法得到的对称张量空间${\cal H}^{\odot 2}$ 中的二元函数

$\begin{equation}\label{ftst defn} f_T(t,s)=e^{-\theta|t-s|}1_{\{0\leq s,t\leq T\}} \end{equation} $

范数平方的渐近性质(见命题 1.2)比文献 [引理17]的相应结论精细许多.

具体而言, 我们考虑基于连续时间观察, 分数 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程

$\begin{matrix} {\rm d} X_t=-\theta X_t{\rm d} t+\sigma{\rm d} B_t^H,\,\,\,\,\,X_0=0,\,\,\,\,\,0\leq t\leq T,\label{OUED} \end{matrix}$

漂移系数的两类估计量的 Berry-Esséen 类上界问题, 其中 $\theta>0$ 为漂移系数, $\sigma>0$ 为波动率系数, $B_t^H$ 为 Hurst 参数为$H$ 的一维分数布朗运动, 其协方差函数

$\begin{equation}\label{r_h} R_{H}(t,s)=\frac12(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}). \end{equation}$

不失一般性, 下文恒取$\sigma=1$. 文献 [3]通过最小化下式

$\begin{matrix} \int^T_0|\dot{X}_t+\theta X_t|^2{\rm d} t,\label{lse} \end{matrix}$

以及计算O-U过程样本(轨道)二阶矩的极限

$\begin{equation} \lim\limits_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T X_t^2{\rm d} t, \end{equation}$

构造了遍历情况下(即 $\theta>0$时), 漂移系数的最小二乘估计及矩估计分别为

$\begin{equation} \hat{\theta}_T=-\frac{\int^T_0X_t{\rm d} X_t}{\int^T_0X_t^2{\rm d} t}=\theta-\frac{\int^T_0X_t{\rm d} B^H_t}{\int^T_0X_t^2{\rm d} t},\label{Lse} \end{equation}$
$\begin{equation} \tilde{\theta}_{T}=\Big( \frac{1}{ {H} \Gamma(2H ) T} \int_0^T X_t^2{\rm d} t \Big)^{-\frac{1}{2H}}.\label{theta tilde formula} \end{equation}$

和文献[3]一样, 本文不讨论(1.6)式右端的第一个关于分数OU 过程$X_t$的随机积分的意义, 只是把它看作是一种形式上的积分, 即仅仅把它理解为把方程(1.2)直接形式的代入积分之中. 而代入之后得到的(1.6)式右端的第二个关于$B_t^H$ 的随机积分, 我们理解为一个关于分数布朗运动的散度型(或称Skorohold型)积分, 但并不深究其作为标准统计学意义下的统计量含义. 当然, 第二个统计量矩估计的统计学含义是完全清晰的.

进一步地, 通过验证四阶矩定理, 文献 [3] 给出了最小二乘估计和矩估计的强收敛及渐近正态性. 其中, 二元函数$f_T(t,s)$及其压缩的范数的两个渐近性质是关键步骤. 对于前者, 他们使用空间${\cal H}$以及张量空间${\cal H}^{\otimes 2}$内积的一种表出公式, 具体见(2.5)式. 这个公式是分部积分公式结合文献[4]给出的对于一般的二阶矩过程所联系的Hilbert空间中有界变差函数的内积的表示公式: 内积等于二阶矩过程协方差函数关于两个有界变差函数导出测度的乘积的积分. 而对于二元函数$\frac{1}{\sqrt T}f_T(t,s)$压缩的范数, 他们使了傅立叶变换证明其趋于0, 参见(2.6)式.

基于文献 [3]的上述结果, 文献 [5] 给出了最小二乘估计的分布和它的渐近分布之间的收敛速度, 即 Berry-Esséen 类上界: 当$H\in (0,\frac12)$及$T$充分大时, 随机变量

$\sqrt{T}(\hat{\theta}_T-\theta)$

和正态随机变量的Kolmogorov 距离的上界为 $T^{-\beta}$, 其中

$\begin{matrix} \beta= \left\{\begin{array}{ll} \frac12, & H\in[\frac14],\\[3mm] 1-2H, & H\in(\frac14,\frac12). \end{array}\right.\label{beta} \end{matrix}$

这里, 最小二乘估计Berry-Esséen 界的证明方法是基于文献[推论1]的, 以及二元函数$f_T(t,s)$的两个渐进分析. 而矩估计的Berry-Esséen 界的证明方法是通过多重维纳积分的乘法公式把四阶矩转化为二元函数$f_T(t,s)$的这两个渐进分析, 及$f_T(t,s)$与$h_T(t,s)$ (见(1.17))式的内积的估计, 见文献[7-8]. 与此不同的,文献[1,命题4.1] 的及[2,定理5.4]关于矩估计Berry-Esséen 界的证明则是通过Wick公式把四阶矩转化为关于分数OU过程平稳解的渐近分析, 后者则是已知的, 参见文献[9].

回顾(1.8)式,当$H=\frac12-\varepsilon$且$\varepsilon$充分小时, $\beta$ 趋于0. 这和当$H=\frac12$时, $\sqrt{T}(\hat{\theta}_T-\theta)$已知的Berry-Esséen 界$\frac{1}{\sqrt{T}} $差距很远, 故一个合理的猜测是

$\label{caice 1} \mbox{ "当$ H\in (\frac14, \frac12)$时, 其Berry-Esséen类上界仍是$ \frac{1}{\sqrt{T}}. $"} $

本文将证明这个猜测. 从文献[7,定理 1.1]可见, 其核心问题是二元函数$f_T(t,s)$ 范数更加精细的渐近分析.故得到这个二元函数范数的渐近分析就是本文的关键步骤, 而我们就把这个渐近分析的结果叙述为如下定理.

${\bf定理1.1}$ 设 $\theta>0,\,H\in(0,\frac12)$. 对于空间${\cal H}^{\otimes2}$中的二元函数$f_T(t,s)$, 见(1.1)式, 存在不依赖于$T$的正常数$C_{H,\theta}$, 使得当$T$成分大时, 有不等式

$\begin{matrix}\label{main} \Big| \|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2 T\Big|\le C_{H,\theta} \end{matrix}$

成立, 其中

$\begin{equation}\label{sigmah2} \sigma_H^2=(4H-1)+\frac{2\Gamma(2-4H)\Gamma(4H)}{\Gamma(2H)\Gamma(1-2H)}. \end{equation}$

${\bf注1.1}$ (1) 本文(1.9)式给出的上界是与$T$无关的一个常数$C_{H,\theta}$, 也就是说该上界作为$T$的阶数为0. 而与之相对比, 文献[5,引理3.11]的结果对应的上界为$T^{2H}$, 也就是说其作为$T$的阶数为$2H$. 更进一步的, 本文的上界在下述渐近线的意义下是最佳上界.

(2) 事实上, 本文所得到的结论比(1.9)式要更强一些. 即本文实际上得到了二元函数$f_T(t,s)$的范数的平方, 作为$T$的函数, 当$T\to \infty$ 时的渐近线

$\begin{matrix} \lim\limits_{T\rightarrow\infty} \big(\|f_T\|_{{\cal H}^{\otimes2}}^2-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2 T\big)={C}_H, \label{jianjinxian mubiao} \end{matrix}$

这里${C}_H\in{\mathbb R}$是仅依赖 $H$的与$T$无关的常数, 详见本文第三节定理1.1的证明. 我们强调在本文中,渐近线的截距项${C}_H$是无关紧要的, 而渐近线的存在性和渐近线的斜率则起到关键的作用.

(3) 使用渐近分析中标准的$o,\,O$符号来对比文献[引理17], [5,引理3.11], 以及本文的(1.9)式如下, 当$T\to\infty$时, 分别有

$\begin{equation} \frac{1}{T}\|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2= o(1),\label{zhou jielun} \end{equation}$
$\begin{equation} \frac{1}{T}\|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2= O(T^{2H-1}),\label{chenli jielun} \end{equation}$
$\begin{equation} \frac{1}{T}\|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2= O(T^{-1}).\label{benwen jielun} \end{equation}$

作为对比, 文献[引理17]证明的方法能够简洁的得到(1.12)式, 且文献[5,引理3.11]的证明方法是基于文献[引理17]. 但是, 此方法无法继续改进, 即无法得到(1.14)式. 换句话说, 本文所给出的使用分数布朗运动内积的新计算公式的方法, 就我们自己所知, 仍是到目前为止不可替代的方法.

从上述定理所给出的渐近分析出发, 下面的定理给出了当$H\in(\frac14,\frac12)$时, 最小二乘估计改进的Berry-Esséen 界就是上文猜测的$\frac{1}{\sqrt{T}} $,以及作为一个副产品, 给出矩估计的Berry-Esséen 界亦为$\frac{1}{\sqrt{T}} $.

${\bf定理1.2}$ 设 $Z$为标准正态随机变量,以及$H\in(0,\frac12)$. 则存在不依赖于$T$的正常数$C_{\theta, \,H}$, 使得当$T$足够大时,有Berry-Esséen类不等式

$\begin{equation} \sup_{z\in {\mathbb R}} \left \vert{P(\sqrt{\frac{T}{\theta \sigma^2_H}} (\hat{\theta}_T-\theta )\le z)-P(Z\le z)}\right \vert\le\frac{ C_{\theta, H}}{\sqrt{ T} }; \label{zuixiaoerch B_E } \end{equation} $
$\begin{equation} \sup_{z\in {\mathbb R}}\left \vert{P(\sqrt{\frac{4H^2 T}{\theta \sigma^2_{H}}} (\tilde{\theta}_T-\theta )\le z)-P(Z\le z)}\right \vert\le\frac{ C_{\theta, H}}{\sqrt{ T} } \label{juguji de B_E } \end{equation}$

成立,其中$\sigma^2_{H}$ 如(1.10).

${\bf注1.2}$ (1) $H\in (\frac12, 1)$的情况相比较而言简单一些, 读者可以参见文献[10-11] 及其中的参考文献。

(2) 我们指出在两个统计量的Berry-Esséen类不等式估计中(见(3.24)及(3.25)式), 上界$\frac{1}{\sqrt{T}}$的一部分来源是基于文献[3]中的关键不等式(3.17), 也就是说, 函数$f_T(s,t)$关于自己的压缩$f_T\otimes_1f_T$在空间${\cal H}^{\otimes 2}$中范数的上界是$\sqrt{T}$的关键事实. 而得到这个上界估计的方法是通过${\cal H}$中内积的另一个计算公式, 即Fourier变换的方法得到的, 见(2.6)式. 总而言之, 我们最终得到本文的两个统计量的Berry-Esséen类上界估计使用了${\cal H}$中内积的四种非常不同的计算公式:(1.23), (2.3), (2.5)及(2.6)式, 换句话说, 除了使用算子$K^*_H$计算内积的 (2.9)式之外, 第2节中提到的所有其它四种${\cal H}$中内积计算公式都使用到了.

本文证明矩估计的Berry-Esséen类不等式(1.16)式的方法是基于下面一个命题, 其给出了二元函数$f_T,\, h_T$在张量空间${\cal H}^{\otimes 2}$中内积的估计. 这里二元函数

$\begin{matrix} h_T(t,s)&= e^{- \theta(T-t)- \theta(T-s)}{1\!\!1}_{{0\le s,t\le T}}.\label{ht ts} \end{matrix} $

${\bf命题1.1}$ 设二元函数$f_T,\, h_T$分别如(1.1)及(1.17)式所给出. 则存在与$T$ 无关的常数$C_H$使得如下不等式成立

$\begin{matrix} \left\vert{\langle {{f_T,\, h_T}}\rangle_{{\cal H}^{\otimes 2}}}\right\vert\le C_H. \label{touyige budsh} \end{matrix} $

${\bf注1.3}$ 命题1.1和定理1.1相同点在于二者都是估计两个${\cal H}^{\otimes 2}$中二元函数的内积. 其不同点在于前者通过把积分区域实际上划分成了9块, 最后由对称性等方法缩并成了三类积分的计算, 后者利用了函数$h_T(s,t)$分离变量的特殊性从而退回到了${\cal H}$中两个一元函数的内积的估计问题, 并且方便的使用了推论2.1中的内积计算公式. 对比这两个方法, 前者的整个过程非常繁琐的, 后者非常简洁. 但是因为函数$f_T(s,t)$不是分离变量的, 所以后者的方法对于前者并不适用. 而据我们自己所知, 目前尚不知道对于定理1.1的结论是否存在其它更简洁的证明方法.

在本节的后半部分, 我们给出$H\in (0,\frac12)$时空间${\cal H}$以及对称张量空间${\cal H}^{\odot 2}$ 中内积的一种新的计算公式, 见命题1.2, 命题1.3. 这个新计算公式在一定程度上类似于但也明显的区别于如下广为人知的事实: 当Hurst 参数 $H\in(0,\frac12)$ 时, 分数布朗运动所联系的 Hilbert 空间${\cal H}$ 对于两个支撑不相交的函数$f$和$g$的内积的表出公式和$H\in(\frac12,1)$时内积的表出公式相同, 参见文献[9,12], 或见推论 2.1. 本文命题1.2所给出新的内积计算公式可以解释为: 把积分区域$[T]^2$ 划分为如下三个部分, 对于区域

$\begin{equation}\label{kp 1} \kappa_1:=\left\{{(u,v)\in[T]^2:\,0\le v\le u-1\le T-1 }\right\} \end{equation}$

和

$\begin{equation}\label{kp 2} \kappa_2:=\left\{{(u,v)\in[T]^2:\, 0\le u\le v-1\le T-1 } \right\}\end{equation}$

上的二重积分应用两次关于测度的分部积分公式, 而对于区域

$\begin{equation}\label{kp 3} \kappa_3:=\left\{{(u,v)\in[T]^2:\, 0\vee (u-1)\le v\le (u+1)\wedge T}\right\} \end{equation} $

上的二重积分只应用一次关于测度的分部积分公式. 积分区域分解如图1所示.

图 1

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图 1   ${\cal H}$内积的新计算公式中积分区域分解示意图


${\bf记号1.1}$ 记$\alpha_H=H(2H-1)$. 记${\cal V}_{[T]}$ 为定义在 $[T]$ 上的有界变差函数全体. 对于任意的 $f\in {\cal V}_{[T]}$, $f^0$ 定义为

$\begin{matrix} f^0(x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x), ~&\mbox{} \,x\in[T],\\ 0, & \mbox{其他 }. \end{array} \right.\nonumber \end{matrix}$

记$\nu_f$为 $f^0(x)$联系的$\big({\mathbb R},{\cal B}({\mathbb R})\big)$上的Lebesgue-Stieljes测度在$\big([T],{\cal B}([T]\big)$ 上的限制. 特别地, 本文中使用的是如下一种更加特殊的形式, 设$0\le a<b\le T$, 且 $g=f\cdot {1\!\!1}_{[a,b]}$, 这里$f$是可微函数, 则有

$\begin{equation}\label{jieshi01} \nu_g({\rm d} x)= f'(x)\cdot {1\!\!1}_{[a,b]}(x){\rm d} x+ f(x)\cdot \big(\delta_a(x)-\delta_b(x)\big){\rm d} x, \end{equation} $

这里 $\delta_a(\cdot)$是质量集中在点$a$的狄拉克广义函数. 为了方便使用, 以下我们使用记号$\frac{\partial g}{\partial x}$表示测度(1.22)形式上的"密度函数".

${\bf注1.4}$ 上述测度的细节可参见文献[4], 它是本文新的内积表示公式的源泉, 也就是本文的起点之一. 引入这个测度的目的是利用关于这个测度的分部积分公式, 换句话说, 其方便之处在于把端点$a,\,b$的值通过两个狄拉克广义函数(或称狄拉克单点测度)吸收进测度$\nu_g$ 之中, 从而使得在形式上便于使用关于测度$\nu_g$的分部积分公式, 具体见引理2.2.

${\bf命题1.2}$ 若 $f,g\in {\cal V}_{[T]}$, 则

$ \begin{matrix} \langle f,g\rangle_{\cal H}&=&\alpha_H\Big(\int^T_{1} g(t) {\rm d} t\int^{t-1}_0 f(s) (t-s)^{2H-2}{\rm d} s +\int^T_{1} f(s) {\rm d} s\int^{s-1}_0 g(t) (s-t)^{2H-2}{\rm d} t\nonumber \Big)\\ & &-H\int^T_0g(t){\rm d} t\int_{0}^{T}\big(t^{2H-1}-{\rm sgn}(t-s)|t-s|^{2H-1}\big)\nu_{\tilde{f}_t}({\rm d}s)\label{inner product_2}, \end{matrix}$

其中$ \tilde{f_t}(s)=f(s)\cdot{1\!\!1}_{[(t-1)\vee0,(t+1)\wedge T]}(s)$ 是以 $s$ 为自变量 $t$ 为参数的函数族, 测度$\nu_{\tilde{f}_t}({\rm d}s)$的含义见记号1.1和等式(1.22). 另外, 任取两个正数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2\in(0,T)$, 记

$\bar{f}_t(s)=f(s)\cdot{1\!\!1}_{[(t-\varepsilon_1)\vee0,(t+\varepsilon_2)\wedge T]}(s),$

则(1.23)式可以推广为

$\begin{matrix} \langle f,g\rangle_{\cal H}&=&\alpha_H\Big(\int^T_{\varepsilon_1} g(t) {\rm d} t\int^{t-\varepsilon_1}_0 f(s) (t-s)^{2H-2}{\rm d} s +\int^T_{\varepsilon_2} f(s) {\rm d} s\int^{s-\varepsilon_2}_0 g(t) (s-t)^{2H-2}{\rm d} t\nonumber \Big)\\ & &-H\int^T_0g(t){\rm d} t\int_{0}^{T}\big(t^{2H-1}-{\rm sgn}(t-s)|t-s|^{2H-1}\big)\nu_{\bar{f}_t}({\rm d}s)\label{inner product_4}. \end{matrix}$

${\bf注1.5}$ 由积分区域的上述划分方式所得到的内积计算公式(命题1.2)与支撑不相交时内积计算公式的显著差别在于, 后者要求二元函数的支撑集是$\left\{{(u,v):\,0\le v\le u \le T }\right\}$的或$\left\{{(u,v):\,0\le v\le u \le T }\right\}$的一个长方形子区域, 见推论 2.1. 这种显著的差别一定程度上反映在了图1之中.

分别记${\cal H}^{\otimes2}$和${\cal H}^{\odot2}$为 ${\cal H}$ 的二次张量积空间和二次对称张量积空间. 命题 1.3 将给出二元对称函数在 ${\cal H}^{\odot2}$中内积的计算公式, 它是命题1.2的直接推论, 故而下面略去其推导细节. 为便于表述, 先引入如下记号.

${\bf记号1.2}$ 记${\cal L}(C_0,{\mathbb R})$为定义在紧支集连续函数集$C_0$上的有界线性泛函全体. 设$a,b\in [T]$,定义三个线性算子如下

(1) ${\cal V}_{[T]}\rightarrow {\cal L}(C_0,{\mathbb R})$ 的算子

$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial_a}{{\partial} s}f(s) = \frac{\partial}{{\partial} s}\big(f{(s)}\cdot{1\!\!1}_{[(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]}(s)\big), \end{eqnarray*} $

即: $\frac{\partial_a}{{\partial} s}f(s) $就是命题1.2中函数$\tilde{f_a}(s)$ 所对应的测度$\nu_{\tilde{f}_a}$的密度函数, 亦参见(1.22)式.

(2) ${\cal V}_{[T]}^{\otimes 2}\rightarrow {\cal L}(C_0,{\mathbb R})\otimes {\cal V}_{[T]}$ 的算子

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial_a}{{\partial} s}\varphi{(s,t)}=\frac{\partial}{{\partial} s}\big(\varphi{(s,t)}\cdot{1\!\!1}_{[(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]}(s)\big). \end{eqnarray*}$

(3) ${\cal V}^{\otimes2}_{[T]}\rightarrow{\cal L}(C_0,{\mathbb R})^{\otimes2}$ 的算子

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial_a\partial_b}{{\partial} s\partial t}\varphi{(s,t)}=\frac{\partial^2}{{\partial} s\partial t}\big(\varphi{(s,t)}\cdot{1\!\!1}_{[(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]}(s)\cdot{1\!\!1}_{[(b-1)\vee0,(b+1)\wedge T]}(t)\big), \end{eqnarray*}$

即$\frac{\partial_a\partial_b}{{\partial} s\partial t}\varphi{(s,t)}$为二元函数 $\varphi{(s,t)}\cdot{1\!\!1}_{[(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]}(s)\cdot{1\!\!1}_{[(b-1)\vee0,(b+1)\wedge T]}(t) $ 联系的空间 $\Big( [(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]\times[(b-1)\vee0,(b+1)\wedge T],\,{\cal B}\big( [(a-1)\vee0,(a+1)\wedge T]\times[(b-1)\vee0,(b+1)\wedge T]\big)\Big)$上的Lebesgue-Stieljes测度的密度函数.

${\bf命题1.3}$ 设$\vec{s}=(s_1,s_2)$, $\vec{t}=(t_1,t_2)$ 且 $(\vec{s},\vec{t} )\in \kappa_i\times \kappa_j,\, i,j=1,\, 2,\,3$, $\kappa_i$ 见(1.19)-(1.21)式. 若 $\phi,\psi\in {\cal V}_{[T]}^{\odot2}$, 则

$ \begin{matrix} \langle\psi,\phi\rangle_{{\cal H}^{\otimes2}}&=&\alpha_H^2\sum_{i,j=1}^2\int_{{\kappa}_i\times {\kappa}_j}\psi(s_1,t_1)\phi(s_2,t_2)|s_1-s_2|^{2H-2}|t_1-t_2|^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ & &-2\alpha_H\sum_{i=1}^2\int_{{\kappa}_3\times {\kappa}_i}\psi(s_1,t_1)\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}\phi(s_2,t_2)\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)|t_1-t_2|^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ &&+\int_{{\kappa}_3\times {\kappa}_3}\psi(s_1,t_1)\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)\frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2)\frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}\phi(s_2,t_2){\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}, \label{key2'} \end{matrix} $

其中$R_H(t_1,t_2) $ 为分数布朗运动的协方差函数(见(1.3)), 算子$\frac{\partial_a}{{\partial} s},\, \frac{\partial_a\partial_b}{{\partial} s\partial t}$见记号1.2.

${\bf注1.6}$ (1) 若 $\psi,\phi$ 不对称, 则

$\begin{eqnarray*} & &\sum_{i=1}^2\int_{\kappa_3\times \kappa_i}\psi(s_1,t_1)\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}\phi(s_2,t_2)\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)|t_1-t_2|^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ &\neq&\sum_{i=1}^2\int_{\kappa_i\times \kappa_3}\psi(s_1,t_1)\frac{\partial_{t_1}}{\partial t_2}\phi(s_2,t_2)\frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2)|s_1-s_2|^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\nonumber. \end{eqnarray*}$

(2) 内积计算公式(1.25)的本质亦为测度分解, 即: 对于任意取定的$(s_1,t_1)\in [T]^2$, 把二元函数$\phi(s_2,t_2)\in {\cal V}_{[T]}^{\odot2}$ 所联系的$[T]^2$上的测度 $\nu_{\phi}$分解成$\phi(s_2,t_2)$限制在$\big(\overline{M_{ij}},{\cal B}(\overline{M_{ij}})\big), $$i,j=1,2,3,$ 上所导出的测度之和(具体见图 2), 其中

$ \begin{eqnarray*} && M_{11}=\left\{{(s_2,t_2)\in [T]^2,\, s_2\le s_1-1,\,t_2\le t_1-1}\right\}, \\ && M_{33}=\left\{{(s_2,t_2)\in [T]^2,\, s_1-1<s_2\le s_1+1,\,t_1-1<t_2\le t_1+1}\right\}, \end{eqnarray*}$

其余类似, 这里$\overline{M_{ij}}$为$M_{ij}$ 的闭包.

图 2

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图 2   测度分解示意图


本文剩余部分的结构如下: 第2节简单回顾${\cal H}$中内积的各种已知计算公式, 并证明命题1.2. 第3节证明命题1.1, 定理1.1及定理1.2. 作为附录, 第4节给出定理1.1证明过程中使用了的各类重积分的渐近线. 最后, 我们指出下文中出现的常数$C_{H},\,C_{H,\theta}$都和$T$无关, 且在不同行之间可以不同.

2 准备知识及${\cal H}$中内积新计算公式的证明

2.1 准备知识

记${\cal E}$为 $[T]$上的实值阶梯函数全体, 其上赋予内积

$\begin{equation} \langle{1\!\!1}_{[a,b)},{1\!\!1}_{[c,d)}\rangle_{\cal H}={\mathbb E}\big((B_b^H-B_a^H)(B_d^H-B_c^H)\big).\label{HB} \end{equation}$

${\cal H}$ 为 ${\cal E}$ 经过完备化后得到的 Hilbert 空间. 在保持线性结构和范数的前提下, 将映射 ${1\!\!1}_{[t]}\mapsto B_t^H$延拓到 ${\cal H}$ 上, 记这个等距同构映射为 $\varphi\mapsto B^H(\varphi)$. 而称$\{B^H(\varphi),\varphi\in{\cal H}\}$ 为与Hilbert空间${\cal H}$ 联系的高斯等距过程. Hilbert 空间 ${\cal H}$内积的表出公式分两种情况讨论.

(1) 当$H>\frac12$ 时, $B_t^H$的协方差可以写为

$\begin{equation} \label{coviance}R_H(t,s)=\alpha_H\int^s_0{\rm d} u\int^t_0|u-v|^{2H-2}{\rm d} v, \end{equation}$

其中 $\alpha_H=H(2H-1)$. 而对于任意$f,\,g\in{\cal H}$, 有

$ \begin{equation}\label{neijibiaochu 0} \langle f,g\rangle_{\cal H}=\alpha_H\int^T_0 g(s){\rm d} s\int^T_0 f(t)|s-t|^{2H-2}{\rm d} t, \end{equation}$

需特别注意的是${\cal H}$中的元素并不一定是普通函数.

(2) 任意给定$s\in[T]$, 当$H<\frac12$ 时, $|s-t|^{2H-2}$ 在 $[T]$ 上的瑕积分不收敛, 故$B_t^H$ 的协方差函数无法直接表示成 (2.3) 的形式. 此时, 空间${\cal H}$中的元素都是普通函数, 但Hilbert 空间 ${\cal H}$ 中内积表出公式(2.3) 一般并不成立. 但有趣的是$B_t^H$增量的协方差满足式子: 如果设$0 \leq a < b \leq c < d \leq T$, 则

$ \begin{equation}\label{bth zengliang} {\mathbb E}[(B_b^H-B_a^H)(B_d^H-B_c^H)] =\alpha_H\int^b_a{\rm d} u\int^d_c\,|u-v|^{2H-2}{\rm d} v, \end{equation}$

这推出如果$f,\,g\in{\cal H}$支撑不相交, 则内积表出公式 (2.3) 仍然成立, 参见文献[9,12]. 我们顺便指出, 本文的推论 2.1同样可以导出这个已知的结论.

文献 [4]给出一种将 Hilbert 空间 ${\cal H}$ 的内积限制于有界变差函数${\cal V}_{[T]}$时的表出公式. 若 $f,g\in{\cal V}_{[T]}$ 则

$ \begin{equation}\label{inner product_1} \langle f,g\rangle_{\cal H}=\int_{[T]^2}R_H(s,t)\nu_f({\rm d} s)\nu_g({\rm d} t)\\ =-\int_{[T]^2}g(t)\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t){\rm d} t\,\nu_f({\rm d} s). \end{equation}$

参见文献 [3⇓-5].

另外, 借助于傅立叶变换, Hilbert 空间 ${\cal H}$ 内积的如下表出公式有时候也是很有用的

$\begin{matrix}\label{flybh njff} \langle {{f,\,g}}\rangle_{\cal H}=\frac{\Gamma(2H+1)\sin(\pi H)}{2\pi}\int_{{\mathbb R}} {\cal F}f (\xi)\overline{{\cal F}g (\xi)} \left\vert{\xi}\right\vert^{1-2H}\,{\rm d} \xi, \end{matrix} $

这里$f,g$可以取自于${\cal H}$的某个真子空间, 具体见文献[13].

最后, 借助于核函数

$ \begin{equation} K_H(t,s)=c_H\bigg[\Big(\frac ts\Big)^{H-\frac12}(t-s)^{H-\frac12}-(H-\frac12)s^{\frac12-H} \int^t_su^{H-\frac32}(u-s)^{H-\frac12}{\rm d} u\bigg] \end{equation}$

及算子 $K^*_H$

$\begin{equation} \label{h<12'}(K^*_H\phi)(t)=K_H(T,t)\phi(T)+\int^T_t\frac{\partial K_H}{\partial s}(s,t)[\phi(s)-\phi(t)]{\rm d} s, \end{equation}$

人们将 Hilbert 空间 ${\cal H}$的内积转化为 $L^2([T])$ 中元素的内积

$\begin{equation} \langle\phi,\psi\rangle_{\cal H}=\langle K^*_H\phi(t),K^*_H\psi(t)\rangle_{L^2([T])}. \label{suanzi bianhuanfa} \end{equation}$

此内积表出公式建立了${\cal H}$与$L^2([T])$ 理论上的关系, 但是人们通常并不会直接使用它去计算内积, 具体见文献[14].

2.2 内积新计算公式

设$f$, $g$ 为${\mathbb R}$上的单调非减函数, 则 ${\mathbb R}$上的有界变差函数 $(f-g)$ 联系的 Lebesgue-Stieljes 测度定义为

$\bar{\nu}_{(f-g)}=\bar{\nu}_{f}-\bar{\nu}_{g}. $

这里$\bar{\nu}_{f}$ 为${\mathbb R}$上单调非减函数$f$所联系的$\big({\mathbb R},{\cal B}({\mathbb R})\big)$上的 Lebesgue-Stieljes正测度, 我们强调这里并不需要$f$右连续. 事实上, 函数$f $在不连续点的值与它的 Lebesgue-Stieljes 测度$\bar{\nu}_{f}$无关 (本文中多次隐含使用了这一要点), 具体见文献[15,定理1.7.9,练习1.7.12]. 由测度唯一性定理, 容易推出下面熟知的引理.

${\bf引理2.1}$ 若$F,G$为${\mathbb R}$上的有界变差函数, 令 $\Psi=F+G$ 则

$\begin{matrix} \bar{\nu}_{\Psi}=\bar{\nu}_{F}+\bar{\nu}_{G},\label{measure1} \end{matrix} $

特别的, 当$F,G\in{\cal V}_{[T]}$, 令 $\Psi=F+G$ 则

$\nu_{\Psi}=\nu_{F}+\nu_{G},$

这里$\nu_{\Psi}$是函数$\Psi$在${\mathbb R}$上的延拓$\Psi^0$所联系的测度$\bar{\nu}_{\Psi^0}$在$\big([T],\, {\cal B}([T])\big)$的限制, 见记号1.1.

下面关于测度的分部积分公式的引理 2.2是证明命题1.2的主要依据之一, 它取自文献[16,引理3.1]. 其关键在于把普通分部积分公式中函数在两个端点的取值看作是关于两个狄拉克点测度(或称作狄拉克$\delta$广义函数)的积分, 并把这两个点测度吸收到有界变差函数所联系的Lebesgue-Stieljes 测度中. 这种先把有界变差函数延拓, 再把延拓后函数所生成的Lebesgue-Stieljes 测度限制回有界变差函数原来的支撑集上的处理方法, 具体参见文献[4,16], 以及本文的记号1.1 和公式(1.22).

${\bf引理2.2}$ 设 $[a,b]$ 是长度为正的紧区间, $\phi$:$[a,b]\rightarrow {\mathbb R} $ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微. 若 $\phi'$ 绝对可积, 则对任意的 $f\in{\cal V}_{[a,b]}$, 有

$\begin{matrix} -\int_{[a,b]}f(t)\phi'(t){\rm d} t=\int_{[a,b]}\phi(t) {\nu_f}({\rm d} t).\label{01} \end{matrix}$

其中 $\nu_f$为

$ f^0(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x), & \quad \mbox{若 } x\in [a,b],\\ 0, &\quad \mbox{其它 }. \end{array} \right. $

所联系的$\big({\mathbb R},{\cal B}({\mathbb R})\big)$上的Lebesgue-Stieljes测度在 $\big({[a,b]},{\cal B}({[a,b]})\big)$上的限制.

${\bf注2.1}$ 引理2.2是关于连续单调增函数的分部积分公式(如[15,练习1.7.17])的一种改写形式.

其证明源自文献[4]以及文献[15,命题 1.6.41]. 具体也可参见文献[16,引理3.1].

由公式(2.4),(2.5),

以及上述引理, 我们有如下推论.

${\bf推论2.1}$ 设$0 \leq a < b \leq c < d \leq T$, 有界变差函数 $f(s)$和 $g(t)$的支撑分别在$[a,b]$ 和$[c,d]$ 上. 若$H\in(0,\frac12)$, 则

$\begin{matrix}\langle f,g\rangle_{\cal H}=\alpha_H\int^b_a f(s) {\rm d} s \int^d_c g(t) (t-s)^{2H-2}{\rm d} t \label{tl}. \end{matrix}$

${\bf注2.2}$ 因有界变差函数集合${\cal V}_{[T]}$是Hilbert空间${\cal H}$的稠子集, 故由内积的连续性得内积公式(2.13)对于Hilbert空间${\cal H}$中支撑不相交的任意函数仍然成立.

在关于测度的分部积分公式即引理 2.2中取$\phi\equiv 1$, 得到下面的推论.

${\bf推论2.2}$ 设函数$\varphi\in {\cal V}^{\otimes2}_{[T]}$, 且$\frac{\partial_{a}}{\partial s},\,\frac{\partial_{a}\partial_{b}} {\partial s \partial t}$ 如记号1.2 所示. 若函数$f,\,g$分别为集合$[(a-1)\vee 0,\,(a+1)\wedge T] $与集合$[(b-1)\vee 0,\,(b+1)\wedge T]$上的有界Borel可测函数, 则

$ \int^{(a+1)\wedge T}_{(a-1)\vee 0}\frac{\partial_{a}}{\partial s} \varphi(s,t) {\rm d} s =0, $
$ \int^{(b+1)\wedge T}_{(b-1)\vee 0} g(t){\rm d} t \int^{(a+1)\wedge T}_{(a-1)\vee 0} \frac{\partial_{a}\partial_{b}}{\partial s \partial t} \varphi(s,t) {\rm d} s =0, $
$ \int^{(a+1)\wedge T}_{(a-1)\vee 0}f(s) {\rm d} s\int^{(b+1)\wedge T}_{(b-1)\vee 0} \frac{\partial_{a}\partial_{b}}{\partial s \partial t} \varphi(s,t) {\rm d} t =0. $

在本节剩余部分, 我们给出命题 1.2的证明.

${\bf 命题 1.2的证明}$

方法是使用测度分解. 先取定 $t\in[T] $, 将 $s\in [T]$ 划分成如下三个区间 $O_1:=[(t+1)\wedge T], O_3=((t+1)\wedge T,\, T]$;

再把函数$f(s)$分解成在上述三个区间的限制, 从而把测度$\nu_f$分解为三者所联系的Lebesgue-Stieljes测度之和. 具体步骤如下.

首先, 回顾(2.5) 式

$ \begin{matrix} \langle f,g\rangle_{\cal H}=-\int_0^Tg(t){\rm d} t\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{f}({\rm d}s).\label{inner product_3} \end{matrix} $

对任意给定的 $t\in[T]$, 将函数$f(s)\in{\cal V}_{[T]}$ 按照上图所示分解得

$\begin{eqnarray*} f(s)&=&f(s)\big({1\!\!1}_{[(t+1)\wedge T]}(s)+{1\!\!1}_{((t+1)\wedge T,T]}(s)\big)\\ :&=&f_t^1(s)+\tilde{f_t}(s)+f_t^2(s).\label{1disintegration} \end{eqnarray*}$

由引理知测度$\nu_f$具有如下分解

$ \begin{equation} \nu_{f}=\nu_{f_t^1}+\nu_{\tilde{f_t}}+\nu_{f_t^2},\label{2disintegration} \end{equation} $

这里四个测度都是定义在$\big([T],{\cal B}([T]\big)$ 上的Lebesgue-Stieljes测度. 将 (2.15) 式代入 (2.14) 式得

$\begin{matrix} \langle f,g\rangle_{\cal H}&=&-\int_0^Tg(t){\rm d} t\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{f_t^1}({\rm d}s)-\int_0^Tg(t){\rm d} t\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{\tilde{f}_t}({\rm d}s)\\ & &-\int_0^Tg(t){\rm d} t\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{f_t^2}({\rm d}s):=I_1+I_2+I_3\label{inner product}. \end{matrix}$

注意到函数$f_t^1(s)$的支撑集为$[(t-1)\vee 0]$, 则有

$\begin{eqnarray*} \label{I_1}\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{f_t^1}({\rm d}s)= \left\{\begin{array}{ll} 0 & \,\, t\in[0,1],\\ \int^T_0 {1\!\!1}_{[t-1]}(s)\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t){{\nu}_{f_t^1}}({\rm d}s)& \,\, t\in(1,T]. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

注意到当$t\in(1,T]$时, 上式右端中的积分

$\int^T_0 {1\!\!1}_{[t-1]}(s)\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t){{\nu}_{f_t^1}}({\rm d}s)=\int^{t-1}_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t){{\nu}_{f_t^1}}({\rm d}s),$

这里, 右端的测度${\nu}_{f_t^1}$实际上可以理解为只是定义在$\big([t-1],\, {\cal B}([t-1])\big)$之上; 而函数$\frac{\partial^2R_H }{\partial s\partial t}(s,t)$作为变元$s$的函数在$[t-1]$ 上绝对可积, 故由引理 2.2得

$\begin{eqnarray*} \int^{t-1}_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t){{\nu}_{f_t^1}}({\rm d}s)=-\int^{t-1}_0f(s)\frac{\partial^2R_H }{\partial s\partial t}(s,t){\rm d} s. \end{eqnarray*}$

从而

$\begin{equation} I_1 =\alpha_H\int^T_{1} g(t) {\rm d} t\Big(\int^{t-1}_0 f(s) (t-s)^{2H-2}{\rm d} s\Big)\label{I1}. \end{equation}$

类似的, 因函数$f_t^2(s)$的支撑集为$[(t+1)\wedge T,\, T]$, 我们有

$\begin{eqnarray*} \label{I_3}\int^T_0\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t)\nu_{f_t^2}({\rm d}s)= \left\{\begin{array}{ll} \int_{t+1}^T\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t) {{\nu}_{f_t^2}}({\rm d}s) & \,\, t\in[0,T-1),\\ 0 & \,\, t\in[T-1,T], \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

及

$ \int_{t+1}^T\frac{\partial R_H}{\partial t}(s,t) {{\nu}_{f_t^2}}({\rm d}s)=-\int_{t+1}^Tf(s)\frac{\partial^2 R_H}{\partial s\partial t}(s,t){\rm d} s, $

及

$\begin{equation} I_3=\alpha_H\int^T_{1} f(s) {\rm d} s\int^{s-1}_0 g(t) (s-t)^{2H-2}{\rm d} t. \label{I3} \end{equation}$

将(2.17), (2.18)两式代入(2.16) 式即得(1.23)式成立. 最后, 公式(1.24) 的证明是相同的.

3 主要定理的证明

不失一般性, 本节假定二元函数$f_T(t,s)$及$h_T(t,s)$的定义(1.1)和(1.17)中参数$\theta=1$.

${\bf命题 1.1的证明}$ 首先设$t\in [T]$取定, 把$f_T(t,\cdot)$理解为$s\in [T]$上的一元函数.再注意到二元函数$h_T$可以表示为一元函数$\phi_T(t)=e^{t-T}{1\!\!1}_{[T]}(t)$关于自己的张量,即$h_T(t,s)=\phi_T(t)\phi_T(s)$. 故由Fubini定理有

$\begin{matrix}\label{zhagnliang fenjie} \langle {{f_T,\, h_T}}\rangle_{{\cal H}^{\otimes 2}}= \langle {{\langle {{f_T(t,\cdot),\, \phi_T}}}\rangle\rangle_{{\cal H} },\,\phi_T}_{{\cal H} }. \end{matrix}$

其次, 计算当$t\in [T]$取定时的内积$\langle {{f_T(t,\cdot),\, \phi_T}}\rangle_{\cal H} $. 根据内积的线性性质, 有

$\begin{matrix}\label{zuihoufenjie} \langle {{f_T(t,\cdot),\, \phi_T}}\rangle_{\cal H} =\langle {{f^1,\, h^1}}\rangle_{\cal H}+\langle {{f^1,\, h^2}}\rangle_{\cal H} +\langle {{f^2,\, h^1}}\rangle_{\cal H}+\langle {{f^2,\, h^2}}\rangle_{\cal H}, \end{matrix}$

这里函数

$ f^1(\cdot)=f_T(t, \cdot){1\!\!1} _{[T]}(\cdot) $
$ h^1(\cdot)=\phi_T(\cdot){1\!\!1} _{[T]}(\cdot). $

根据上述四个函数各自的支撑集及内积计算公式(2.5)或者公式(2.3), 分别有

$\begin{eqnarray*} \langle {{f^2,\, h^1}}\rangle_{\cal H}&= &\alpha_H e^{t-T}\int_t^T {\rm d} u \int_0^t{\rm d} v\, e^{-u +v } (u-v)^{2H-2},\\ \langle {{f^1,\, h^2}}\rangle_{\cal H}&=& \alpha_H e^{-t-T}\int_0^t{\rm d} u\int_t^T {\rm d} v\, e^{u +v } (v-u)^{2H-2},\\ \langle {{f^1,\, h^1}}\rangle_{\cal H}&= &-H e^{-t-T}\int_{[t]^2} e^{u+v}(1-\delta_t(u)) \big(v^{2H-1}-\left\vert{v-u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(v-u)} \big){\rm d} u{\rm d} v,\\ &=&H e^{-T} \int_0^t (e^{v-t}+e^{t-v}) v^{2H-1}{\rm d} v,\\ \langle {{f^2,\, h^2}}\rangle_{\cal H}&=& -H e^{t-T} \int_{[t,T]^2} e^{-u+v}(-1+\delta_t(u)\!-\!\delta_T(u)) \big(v^{2H-1}\!-\!\left\vert{v-u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(v-u)} \big){\rm d} u{\rm d} v\\ &=&H e^{t-T} \Big[\int_0^{T-t}{\rm d} y\int_0^y (e^{-x}-e^{x})x^{2H-1}{\rm d} x + \int_0^{T-t} (e^{-x}+e^{x})x^{2H-1}{\rm d} x\Big]. \end{eqnarray*}$

然后我们放大上述各项与$\phi_T$的内积: 记$i,j=1,2$,有

$\begin{matrix}\label{fangda psiT} \left\vert{\langle {{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H},\,\phi_T}}\rangle_{\cal H}}\right\vert\le \int_0^T {\rm d} t \left\vert{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H}}\right\vert \bigg|\int_0^T e^{s-T}(1-\delta_T(s))\frac{\partial R(t,\,s) }{\partial t} {\rm d} s\bigg|. \end{matrix} $

我们接着断言, 则存在与$T$无关的常数$C_H$, 使得对于任意取定的$t\in [T]$, 有不等式

$\begin{matrix} &&\bigg|\int_0^T e^{s-T}(1-\delta_T(s))\frac{\partial R(t,\,s) }{\partial t} {\rm d} s\bigg| \\ &\le& C_H \times \Big[ e^{-T} t^{2H-1}+ e^{t-T}+ (T-t)^{2H-1}{1\!\!1} _{(T-1,T]}(t) + (T-t)^{2H-2}{1\!\!1} _{[T-1]}(t)\Big]\label{chudengbudengshi2} \end{matrix} $

成立. 事实上

$\begin{eqnarray*} & &\bigg|\int_0^T e^{s-T}(1-\delta_T(s))\frac{\partial R(t,\,s) }{\partial t} {\rm d} s\bigg|\\ &=&H\bigg| t^{2H-1}\Big(\int_0^T e^{s-T} {\rm d} s -1\Big) \nonumber\\ &&+e^{t-T}\Big[-\int_0^t e^{s-t}(t-s)^{2H-1}{\rm d} s + \int_t^T e^{s-t}(s-t)^{2H-1} {\rm d} s\Big]-(T-t)^{2H-1}\bigg| \\ &\le& C_H\times \bigg[ t^{2H-1}e^{-T}+\left\vert{e^{t-T}\Big[{-\int_0^t e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u + 2\int_0^{1 } e^{u} u^{2H-1} {\rm d} u}\bigg]}\right\vert\\ &&+(T-t)^{2H-1}{1\!\!1} _{(T-1,T]}(t)+ {1\!\!1} _{[T-1]}(t) \bigg|e^{t-T}\int_1^{T-t} {e^u}u^{2H-1}{\rm d} u -(T-t)^{2H-1}\bigg|\\ &\le& C_H\times \Big[ e^{-T} t^{2H-1}+ e^{t-T} + (T-t)^{2H-1}{1\!\!1} _{(T-1,T]}(t)+ (T-t)^{2H-2}{1\!\!1} _{[T-1]}(t) \Big], \end{eqnarray*}$

其中, 上一个不等式可以参见[9,引理2.2].

最后, 首先容易看出, 存在与$T$无关的常数$C_H$, 使得对于任意的$i,j=1,2$, 有

$\begin{equation}\label{zuihou 1} \int_{T-1}^T \left\vert{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H}}\right\vert (T-t)^{2H-1}{\rm d} t\le C_H, \end{equation}$

以及 $ \left\vert{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H}}\right\vert\le C_H $ 成立. 由该不等式可得

$\begin{equation}\label{ziuhou 2} \int_{0}^T \left\vert{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H}}\right\vert \Big[ e^{-T} t^{2H-1}+ e^{t-T} + (T-t)^{2H-2}{1\!\!1} _{[T-1]}(t) \Big] {\rm d} t\le C_H. \end{equation}$

合并不等式(3.3), (3.5)及(3.6)得, 存在与$T$无关的常数$C_H$, 使得

$ \left\vert{\langle {{\langle {{f^i,\, h^j}}\rangle_{\cal H},\,\phi_T}}\rangle_{\cal H}}\right\vert\le C_H. $

再由恒等式(3.1)及(3.2)可得不等式(1.18).

${\bf定理 1.1的证明}$ 回顾注 1.1.2所说, 我们将推出比定理所需要的(1.9)式更强的一个结论. 即得到二元函数$f_T(t,s)$范数的平方作为$T$的函数, 当$T\to \infty$时的渐近线(1.11). 以下分几个步骤证明 (1.11) 式.

{步骤 1} 根据命题 1.3 得到 $\|f_T\|_{{\cal H}^{\otimes2}}^2$ 的分解式.

$\begin{eqnarray*} \|f_T\|_{{\cal H}^{\otimes2}}^2&=&\alpha_H^2\sum_{i,j=1}^2\int_{\kappa_i\times \kappa_j}e^{-|s_1-t_1|}e^{-|s_2-t_2|}|s_1-s_2|^{2H-2}|t_1-t_2|^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ & &-2\alpha_H\sum_{i=1}^2\int_{\kappa_3\times \kappa_i}e^{-|s_1-t_1|}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|}\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)\left\vert{t_1-t_2}\right\vert^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ & &+\int_{\kappa_3\times \kappa_3}e^{-|s_1-t_1|}\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)\frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2)\frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|} {\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ & :=&\alpha_H^2 \sum_{i, j=1}^2M_{ij}(T) -2 \alpha_H\sum_{i=1}^2 M_{3i}(T) +M_{33}(T). \label{TT} \end{eqnarray*}$

由变量替换 $x=T-s_1,\,y=T-t_1,\, u=T-s_2,\, v=T-t_2$得

$ M_{11}(T)=M_{22}(T) \quad \mbox{且} \quad M_{12}(T)=M_{21}(T). $

故

$\begin{equation} \|f_T\|_{{\cal H}^{\otimes2}}^2=M_{33}(T)+ 2\Big(\alpha_H^2\big(M_{11}(T)+M_{12}(T)\big)-\alpha_H\big(M_{31}(T)+M_{32}(T)\big)\Big). \label{fT norm2 fenjieshizi chufadian} \end{equation} $

{步骤 2} 求函数$M_{11}(T)+M_{12}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线. 首先

$\begin{matrix} M_{11}(T)&=&\int^T_1{\rm d} s_1\int^{T}_1e^{-\left\vert{s_1-t_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{s_1-1}_{0}(s_1-s_2)^{2H-2}{\rm d} s_2\int^{t_1-1}_{0} (t_1-t_2)^{2H-2}e^{-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2\\ &=&2\int^T_1e^{-s_1}{\rm d} s_1\int^{s_1}_1e^{t_1}{\rm d} t_1\int^{s_1-1}_{0}(s_1-s_2)^{2H-2}{\rm d} s_2\int^{t_1-1}_{0} (t_1-t_2)^{2H-2}e^{-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2.\label{M11 biaodashi} \end{matrix}$
$\begin{matrix} M_{12}(T)&=&\int^T_1{\rm d} s_1\int^{T-1}_0{\rm d} t_1\int^{s_1-1}_0 (s_1-s_2)^{2H-2}{\rm d} s_2\int^T_{t_1+1}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2. \label{M12T biaodashi} \end{matrix}$

(3.8)式是用积分关于两个变元$s_1,t_1$的对称性. 由引理4.2及引理4.3 得函数$M_{11}(T)+ M_{12}(T)$及当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} && T\times \bigg[(4H-1)\Big(\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u\Big)^2+2\int_1^{\infty} (e^{1-u}+e^{-1-u})u^{2H-2}{\rm d} u\\ &&+2(4H-1)\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2} {\rm d} u\int_1^u e^{v} v^{2H-2}{\rm d} v\bigg] +C_H. \label{M11+M12 jianjinxian} \end{matrix}$

步骤 3 求函数$M_{31}(T)+M_{32}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线. 首先

$\begin{matrix} M_{31}(T)&=&\int_{\kappa_3\times \kappa_1}e^{-|s_1-t_1|}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|}\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ &=&H \int^{T}_{0}{\rm d} s_1\int^T_1 e^{-|s_1-t_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|}\\ &&\times \big(s_1^{2H-1}-{\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}\big) {\rm d} s_2. \label{m31 biaoshi} \end{matrix}$

由推论2.2得

$ \int^{T}_{0}s_1^{2H-1} {\rm d} s_1\int^T_1e^{-|s_1-t_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|} {\rm d} s_2=0. $

把它代入(3.11), 我们有

$\begin{matrix} M_{31}(T)&=&-H \int^{T}_{0}{\rm d} s_1\int^T_1 e^{-|s_1-t_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|}\\ &&\times {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1} {\rm d} s_2:=H\times [N(T)-\tilde{N}(T)], \end{matrix}$

这里

$\begin{matrix} N(T)&=&\int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}{\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}\\ &&\times {\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_2-s_2|}{\rm d} s_2 ;\end{matrix}$
$\begin{matrix} \tilde{N}(T)&= &\int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1 e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0} e^{-|t_2-s_2|}\\ &&\times {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1} \big( \delta_{(s_1-1)\vee 0}(s_2)-\delta_{(s_1+1)\wedge T}(s_2)\big){\rm d} s_2. \end{matrix}$

同理可得

$\begin{matrix} M_{32}(T)&=&-H \int^{T}_{0}{\rm d} s_1\int^T_1 {\rm d} t_2\int^{t_2-1}_0 e^{-|s_1-t_1|} (t_2-t_1)^{2H-2} {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}\frac{\partial_{s_1}}{\partial s_2}e^{-|s_2-t_2|}\\ &&\times {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1} {\rm d} s_2:=H\times [U(T)-\tilde{U}(T)], \end{matrix}$

这里

$\begin{matrix} U(T)&=&\int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1{\rm d} t_2\int^{t_2-1}_0 e^{-|t_1-s_1|}(t_2-t_1)^{2H-2} {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0} {\rm sgn}(s_2-t_2) e^{-|t_2-s_2|} \\ &&\times {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}{\rm d} s_2 ;\end{matrix}$
$\begin{matrix} \tilde{U}(T)&=& \int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1 {\rm d} t_2\int^{t_2-1}_0 e^{-|t_1-s_1|} (t_2-t_1)^{2H-2} {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0} e^{-|t_2-s_2|}\\ &&\times {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1} \big( \delta_{(s_1-1)\vee 0}(s_2)-\delta_{(s_1+1)\wedge T}(s_2)\big){\rm d} s_2. \label{bar UT expression} \end{matrix}$

由引理4.4, 引理4.5及引理4.6得$M_{31}(T)+M_{32}(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} &&2 H T\times \bigg[\int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u \Big[ -2H(e^{-1}+e) +(4H-1) \int_0^1 (e^{x}+e^{-x})x^{2H-1}{\rm d} x\Big]\\ &&+e^{-1}\int_0^1 (e^{x}-e^{-x})x^{2H-1}{\rm d} x -(1+e^{-2}) \bigg]. \label{M31+M32 jianjinxian} \end{matrix}$

步骤 4 求$M_{33}(T)$的渐近线.

类似于步骤 3中处理项$M_{31}(T)$与项$M_{32}(T)$的方法, 我们依次展开$\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)$ 和$\frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2)$, 并连续使用推论2.2两次可得

$\begin{matrix} M_{33}(T)&=& \int_{\kappa_3\times \kappa_3}e^{-|s_1-t_1|}\frac{\partial R_H}{\partial s_1}(s_1,s_2)\frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2)\frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|} {\rm d} \vec{s}{\rm d} \vec{t}\\ &=&H\int_0^T {\rm d} s_1\int_0^T e^{-\left\vert{s_1-t_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0} \frac{\partial R_H}{\partial t_1}(t_1,t_2) {\rm d} t_2 \\ & &\times\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0} \big(s_1^{2H-1}-\left\vert{s_1-s_2}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(s_1-s_2)}\big) \frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|}{\rm d} s_2\\ &=&-H^2\int_0^T {\rm d} s_1\int_0^T e^{-\left\vert{s_1-t_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0} \left\vert{s_1-s_2}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(s_1-s_2)} {\rm d} s_2\\ & &\times\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0} \big(t_1^{2H-1}-\left\vert{t_1-t_2}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(t_1-t_2)}\big)\frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|} {\rm d} t_2 \\ &=&H^2\int_0^T {\rm d} s_1\int_0^T e^{-\left\vert{s_1-t_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0} \left\vert{s_1-s_2}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(s_1-s_2)} {\rm d} s_2\\ & &\times\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0} \left\vert{t_1-t_2}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}{(t_1-t_2)} \frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|} {\rm d} t_2. \label{mss33biaodashi} \end{matrix} $

注意到上式中的二元联合"密度函数"可以表示为

$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial_{s_1}\partial_{t_1}}{\partial s_2\partial t_2}e^{-|s_2-t_2|} &=&e^{-\left\vert{s_2-t_2}\right\vert}\times \Big(-1-{\rm sgn}(t_2-s_2)[\delta_{(s_1-1)\vee0}(s_2)-\delta_{(s_1+1)\wedge T}(s_2)]\\ & &-{\rm sgn}(s_2-t_2)[\delta_{(t_1-1)\vee1}(t_2)-\delta_{(t_1+1)\wedge T}(t_2)]\\ &&+\big[(\delta_{(s_1-1)\vee0}-\delta_{(s_1+1)\wedge T})(s_2)(\delta_{(t_1-1)\vee0}-\delta_{(t_1+1)\wedge T})(t_2)\big]\Big), \end{eqnarray*}$

把上述联合密度函数代入(3.19)式得

$\begin{matrix}\label{mss 33fenjie} M_{33}(T)=H^2\times[{ -} L(T) +2 P(T)+Q(T)], \end{matrix}$

这里

$\begin{matrix} L(T)&=&\int_{[T]^2}e^{-|t_1-s_1|} {\rm d} s_1 {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0}{\rm d} s_2\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0}{\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}\\ &&\times{\rm sgn}(t_1-t_2)|t_1-t_2|^{2H-1}e^{-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2,\end{matrix}$
$\begin{matrix} P(T)&= & \int_{[T]^2} e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} s_1 {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0}{\rm d} s_2\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0}e^{-|t_2-s_2|}{\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}\\ & &\times{\rm sgn}(t_1-t_2)|t_1-t_2|^{2H-1} {\rm sgn}(s_2-t_2) [\delta_{(s_1-1)\vee0}(s_2)-\delta_{(s_1+1)\wedge T}(s_2)]\,{\rm d} t_2,\end{matrix}$
$\begin{matrix} Q(T)&= &\int_{[T]^2} e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} s_1 {\rm d} t_1\int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee0}{\rm d} s_2\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee0}e^{-|t_2-s_2|} {\rm sgn}(s_1-s_2)|s_1-s_2|^{2H-1}\\ & &\times{\rm sgn}(t_1-t_2)|t_1-t_2|^{2H-1}\big[(\delta_{(s_1-1)\vee0}-\delta_{(s_1+1)\wedge T})(s_2)(\delta_{(t_1-1)\vee0}-\delta_{(t_1+1)\wedge T})(t_2)\big]{\rm d} t_2.\nonumber\end{matrix}$

对于项$Q(T)$, 先积分狄拉克函数, 则化为4个二重积分, 直接计算得到其当$T\to\infty$时的渐近线为

${(6e^{-2}+2)}T+C_H.$

而引理 4.7和引理 4.8分别给出项$L(T)$和项$P(T)$当$T\to\infty$时的渐近线, 把这三个渐近线合并, 由(3.20)式知$M_{33}(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} && 2H^2T\times\bigg[{-2(4H+1)\int_0^1e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u\int_0^u e^v v^{2H-1}{\rm d} v+(4H+1)\Big(\int_0^1e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u \Big)^2 }\\ &&{+4H\int_0^{1} \big( e^{-1-u}-e^{-1+u}\big)u^{2H-1}{\rm d} u + e^{-2}+3}\bigg]+C_H. \label{M33 jianjinxian} \end{matrix}$

最后, 前述三个步骤给出了当$T\to \infty$时, $M_{11}(T)+M_{12}(T)$, $M_{31}(T)+M_{32}(T)$, 及$M_{33}(T)$作为$T$的函数的渐近线分别为(3.10), (3.18)及 (3.23)式. 则由分解公式(3.7)知, 二元函数$f_T(t,s)$的范数作为$T$的函数, 当$T\to \infty$时的渐近线存在. 最后, 由等式(1.12)和极限的唯一性, 得(1.11)式成立.

${\bf注3.1}$ 定理1.1证明过程所产生的一个副产品是如下看似繁琐的分析恒等式

$ 2(H\Gamma(2H))^2\Big[4H-1 + \frac{2\Gamma(2-4H)\Gamma(4H)}{\Gamma(2H)\Gamma(1-2H)}\Big] =A_3+2\alpha_H(\alpha_H A_1- A_2), $

这里 $A_1,A_2,A_3$分别是渐近线(3.10), (3.18)及(3.23)中的斜率值. 需要强调的是, 定理1.1真正的意义在于 "二元函数$f_T(t,s)$的范数作为$T$的函数, 当$T\to \infty$时渐近线的存在性$." $ 至于渐近线的斜率的具体取值是多少, 则显得并不那么重要. 因此, 为节省篇幅, 本文就不去验证这个分析恒等式了.

${\bf 定理 1.2的证明}$ 先证明最小二乘估计量的Berry-Esséen 类不等式(1.15). 由文献[11,定理1.1]中的证明知

$\begin{matrix} & &\sup_{z\in {\mathbb R}}\left\vert{P(\sqrt{\frac{T}{\theta \sigma^2_H}} (\hat{\theta}_T-\theta )\le z)-P(Z\le z)}\right\vert\\ \le& &C_{\theta, H}\times \max\left\{{\frac{1}{\sqrt{ T} },\, \left\vert{\frac{1}{T}\|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2}\right\vert }\right\}. \label{BE jie guji 1} \end{matrix}$

故, 由定理1.1知不等式(1.15)式成立.

再证明矩估计量的Berry-Esséen类不等式(1.16). 由[8,定理1.1]的证明知

$\begin{matrix} & & \sup_{z\in {\mathbb R}}\left\vert{P(\sqrt{\frac{T}{\theta \sigma^2_H}} (\tilde{\theta}_T-\theta )\le z)-P(Z\le z)}\right\vert\\ &\le &C_{\theta, H}\times \max\left\{{\frac{1}{\sqrt{ T} },\, \left\vert{\frac{1}{T}\|f_T\|^2_{{\cal H}^{\otimes2}}-2(H\Gamma(2H))^2\sigma_H^2}\right\vert,\,\sqrt{\frac{\left\vert{\langle {{f_T,\,h_T}}\rangle_{{\cal H}^{\otimes2}}}\right\vert}{T} } }\right\}.\label{BE jie guji 2} \end{matrix} $

故, 由定理1.1及命题1.1知不等式(1.16)成立.

4 附录:渐进分析

引理4.1是一个本节多次使用的平凡不等式.

${\bf引理4.1}$ 设$\alpha<0$ 时, 则存在仅依赖于$\alpha$的正常数$C_{\alpha}$, 使得对于任意的$x>1$, 有如下不等式成立

$\begin{equation} \int^x_1e^uu^{\alpha}{\rm d} u<C_{\alpha} \times e^x\label{e^uu^a1}. \end{equation}$

${\bf引理4.2}$ 设四重积分$M_{11}(T)$ 如式(3.8)所给出. 则$M_{11}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{equation} 2T\times \bigg[(4H-1)\int^\infty_1e^{-v}v^{2H-2}{\rm d} v\int^v_1e^u u^{2H-2}{\rm d} u+\int^{\infty}_1e^{1-u}u^{2H-2}{\rm d} u \bigg] +C_H.\label{M!!T jianjinxian} \end{equation}$

${\bf证}$ 对于四重积分$\frac12 M_{11}(T)$取定的积分变元$(s_1,\,t_1)$, 首先将积分变元$(s_2,t_2)$ 的积分区域$[s_1-1]\times[t_1-1]$ 分解为$\left\{{0 \le t_2\le t_1-1,\, t_2\le s_2\le s_1-1]}\right\}\cup\left\{{0\le s_2\le t_2\le t_1-1}\right\}$. 记四重积分$\frac12 M_{11}(T)$限制在相应的积分子区域的积分为$J_1(T),\,J_2(T)$, 其中

$\begin{eqnarray*} && J_1(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0{\rm d} t_2\int^{s_1-1}_{t_2}{\rm d} s_2 (s_1-s_2)^{2H-2}(t_1-t_2)^{2H-2}e^{t_1-s_1-|t_2-s_2|}, \\ &&J_2(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1{\rm d} t_1 \int^{t_1-1}_0{\rm d} t_2\int^{t_2}_0{\rm d} s_2 (s_1-s_2)^{2H-2}(t_1-t_2)^{2H-2}e^{t_1-s_1-|t_2-s_2|}. \end{eqnarray*}$

其次求四重积分$J_1(T)$的渐近线. 由变量替换 $u=s_1-s_2,\, v=t_1-t_2,\, x=s_1-t_1+v$及对称性得

$\begin{eqnarray*} J_1(T)&=&\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1e^{-2x}{\rm d} x\int^{x}_1e^{v}v^{2H-2}{\rm d} v\int^{x}_1e^{u}u^{2H-2}{\rm d} u\\ & =&2\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1e^{-2x}{\rm d} x\int^{x}_1e^{v}v^{2H-2}{\rm d} v\int^{v}_1e^{u}u^{2H-2}{\rm d} u. \end{eqnarray*}$

由引理 4.1及分部积分公式得当$T\to\infty$时, 积分$J_1(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} T\times \int^\infty_1e^{-v}v^{2H-2}{\rm d} v\int^v_1e^u u^{2H-2}{\rm d} u+C_H. \label{J1T jianjx} \end{matrix}$

再次求四重积分$J_2(T)$的渐近线. 由变量替换$u=s_1-s_2,\,v=t_1-t_2,\, x=s_1-t_1+v $ 得

$ J_2(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int^{u}_1{\rm d} x\int^{x}_{1}e^{v}v^{2H-2}{\rm d} v%\label{j22} $

由引理 4.1, 分部积分公式及Fubini定理得当$T\to\infty$时, 积分$J_2(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} & &T\times \int^{\infty}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int^{u}_1{\rm d} x\int^{x}_1e^{v}v^{2H-2}{\rm d} v+C_H\\ &=&T\times \int^{\infty}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int^{u}_1 e^{v}v^{2H-2}(u-v){\rm d} v+C_H. \label{J2T jianjx} \end{matrix} $

最后, 合并$J_1(T)$的渐近线 (4.3)和$J_2(T)$的渐近线 (4.4) 得$\frac12M_{11}(T)$的, 从而得到$M_{11}(T)$的渐近线(4.2).

${\bf引理4.3}$ 设四重积分$M_{12}(T)$ 如式(3.9)所给出. 则$M_{12}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$ \begin{matrix} T \bigg[ (4H-1)\Big(\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u \Big)^2 + 2\int_1^{\infty} e^{-1-u} u^{2H-2}{\rm d} u \bigg]+C_H. \label{BarJ jianjinxian} \end{matrix} $

${\bf证}$ 首先把四重积分$M_{12}(T)$的积分变元$(s_1,\,t_1)$ 的积分区域$[T]\times[T-1]$分解为$\left\{{0\le s_1-1\le t_1\le T-1}\right\}\cup\left\{{0\le t_1\le s_1-1\le T-1}\right\}$. 记四重积分$M_{12}(T)$限制在相应的积分子区域的积分为$\bar{J}_1(T),\,\bar{J}_2(T)$, 其中

$ \bar{J}_1(T)= \int^T_1{\rm d} s_1\int_{s_1-1}^{T-1}{\rm d} t_1 \int_{0}^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^T_{t_1+1} (s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2, $
$ \bar{J}_2(T)= \int_1^T{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} t_1 \int_{0}^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^T_{t_1+1}(s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2. $

其次, 求$\bar{J}_1(T)$当$T\to\infty$时的渐近线. 由变量替换 $u=t_2-t_1,\,v=u+s_1-1-s_2,\,x=t_2-s_2$得

$ \bar{J}_1(T)=\int^T_1{\rm d} t_2\int^{t_2}_1e^{-x}{\rm d} x\int_1^{x}e^{-|x-v-1|}{\rm d} v\int^v_1 (v-u+1)^{2H-2}u^{2H-2}{\rm d} u, $

由分部积分公式及Fubini定理知$\bar{J}_1(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} & &T\times \int^{\infty}_1e^{-x}{\rm d} x\int_1^{x}e^{-|x-v-1|}{\rm d} v\int^v_1 (v-u+1)^{2H-2}u^{2H-2}{\rm d} u +C_H\\ &=&T\times \bigg[\int^{\infty}_1 u^{2H-2}{\rm d} u \int_u^{\infty} e^v(v-u+1)^{2H-2} {\rm d} v \int^{\infty}_{1+v} e^{1-2x}{\rm d} x\\ & &+\int^{\infty}_1 u^{2H-2}{\rm d} u \int_u^{\infty} e^{-v-1}(v-u+1)^{2H-2} {\rm d} v \int_{v}^{1+v} {\rm d} x \bigg]+ C_H\\ &=&\frac{3}{2}T\times \Big(\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u \Big)^2+ C_H. \label{barJ1T jianjx} \end{matrix}$

再次, 求积分$\bar{J}_2(T)$当$T\to\infty$时的渐近线. 先把$\bar{J}_2(T)$的积分变元$(s_1,t_2)$固定, 分解积分变元$(t_1,s_2)$ 的积分区域$[s_1-1]^2 $为: $\left\{{0\le s_2\le t_1\le s_1-1}\right\}\cup\left\{{0\le t_1\le s_2\le s_1-1}\right\}$. 记四重积分$\bar{J}_2(T)$限制在相应的积分子区域的积分为$\bar{J}_{21}(T),\,\bar{J}_{22}(T)$, 其中

$\begin{eqnarray*} && \bar{J}_{21}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} t_1\int_0^{t_1}{\rm d} s_2 \int^T_{t_1+1}(s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2,\\ && \bar{J}_{22}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1 \int_0^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^{s_2}_0{\rm d} t_1\int^T_{t_1+1} (s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2. \end{eqnarray*}$

继续把积分$\bar{J}_{21}(T)$的积分变元$(s_1,t_1, s_2)$固定, 分解积分变元$t_2$的积分区域$[t_1+1,\,T]$为: $[t_1+1,\,s_1]\cup[s_1,\, T]$. 记积分$\bar{J}_{21}(T)$限制在相应的积分子区域的积分为$\bar{J}_{211}(T),\,\bar{J}_{212}(T)$, 其中

$\begin{eqnarray*} && \bar{J}_{211}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} t_1\int_0^{t_1}{\rm d} s_2\int^{s_1}_{t_1+1}(s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2,\\ && \bar{J}_{212}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} t_1\int_0^{t_1}{\rm d} s_2 \int_{s_1}^{T} (s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2. \end{eqnarray*}$

对于积分$\bar{J}_{211}(T)$, 由变量替换$u=t_2-t_1,\,v=s_1-t_1,\,x=s_1-s_2$得

$\begin{eqnarray*} \bar{J}_{211}(T)=\int_{1}^{T}{\rm d} s_1\int^{s_1}_1 e^{-x}x^{2H-2}{\rm d} x\int^x_1{\rm d} v\int^v_1 e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u, \end{eqnarray*}$

由分部积分公式得 $\bar{J}_{211}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} T \int^{\infty}_1e^{-x}x^{2H-2}{\rm d} x\int^x_1 e^{-u}u^{2H-2} (x-u){\rm d} u+C_H. \label{BarJ211 jianjinxian} \end{matrix}$

对于积分$\bar{J}_{212}(T)$, 故由变量替换 $u=t_2-t_1,\, v=s_1-t_1,\, y=t_2-s_2$得

$\begin{eqnarray*} \bar{J}_{212}(T)=\int^T_1{\rm d} t_2\int^{t_2}_1e^{-y}{\rm d} y\int^y_1 u^{2H-2}{\rm d} u \int^u_1 e^{-v}(y-u+v)^{2H-2}{\rm d} v. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式得 $\bar{J}_{212}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} && T\times\int^{\infty}_1e^{-y}{\rm d} y\int^y_1 u^{2H-2}{\rm d} u \int^u_1 e^{-v}(y-u+v)^{2H-2}{\rm d} v +C_H\\ &=&T\times\bigg[2\int_1^{\infty}e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u \int_1^{u} e^{-v} v^{2H-1}{\rm d} v -\Big(\int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u \Big)^2 \bigg]+C_H.\label{BarJ212 jianjinxian} \end{matrix}$

再继续把积分$\bar{J}_{22}(T)$的积分变元$(s_1, s_2,t_1)$固定, 分解积分变元$t_2$的积分区域$[t_1+1,\,T]$为: $[t_1+1,\,s_2+1]\cup[s_2+1,\, s_1]\cup [s_1,T]$. 记积分$\bar{J}_{22}(T)$限制在相应积分子区域的积分为$\bar{J}_{221}(T),\,\bar{J}_{222}(T),\,\bar{J}_{223}(T)$, 其中

$ \begin{eqnarray*} && \bar{J}_{221}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^{s_2}_0{\rm d} t_1 \int_{t_1+1}^{s_2+1} (s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2,\\ && \bar{J}_{222}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^{s_2}_0{\rm d} t_1 \int^{s_1}_{s_2+1} (s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2,\\ && \bar{J}_{223}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int_0^{s_1-1}{\rm d} s_2\int^{s_2}_0{\rm d} t_1 \int^T_{s_1}(s_1-s_2)^{2H-2}(t_2-t_1)^{2H-2}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2. \end{eqnarray*}$

对于积分$\bar{J}_{221}(T)$及积分$\bar{J}_{222}(T)$, 由变量替换 $v= s_1-t_1,\, x=s_1-s_2, z=s_1-t_2+1$得

$\begin{eqnarray*} && \bar{J}_{221}(T)=\int_{1}^{T}{\rm d} s_1\int^{s_1}_1 e^{-v}{\rm d} v\int^v_1(v-z+1)^{2H-2}{\rm d} z\int^z_1 x^{2H-2}e^{-|z-x-1|}{\rm d} x,\\ && \bar{J}_{222}(T)=\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_1e^{-v}{\rm d} v\int^v_1e^{-x}x^{2H-2}{\rm d} x\int^x_1e^{z-1}(v-z+1)^{2H-2}{\rm d} z. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式及Fubini定理得积分$\bar{J}_{221}(T)$及积分$\bar{J}_{222}(T)$当$T\to\infty$是的渐近线分别为

$\begin{matrix} && T\times \int^{\infty}_1e^{-v}{\rm d} v\int^v_1(v-z+1)^{2H-2}{\rm d} z\int^z_1 x^{2H-2}e^{-|z-x-1|}{\rm d} x+C_H\\ &=&\frac{3}{2}T\times \Big(\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u \Big)^2+ C_H \end{matrix}$
$\begin{matrix} &&T\times \int^{\infty}_1e^{-v}{\rm d} v\int^v_1e^{-x}x^{2H-2}{\rm d} x\int^x_1e^{z-1}(v-z+1)^{2H-2}{\rm d} z+C_H\\ &=&2T\times\int_1^{\infty}e^{-x}x^{2H-2}\int_1^{x} e^{-y}(y^{2H-1}-y^{2H-2}){\rm d} y +C_H. \end{matrix}$

对于积分$\bar{J}_{223}(T)$, 由变量替换 $ u=t_2-t_1, x=s_1-s_2, y=t_2-s_2$得

$\begin{eqnarray*} \bar{J}_{223}(T)=\int_{1}^{T}{\rm d} t_2\int^{t_2}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int^u_1{\rm d} y\int^y_1e^{-x}x^{2H-2}{\rm d} x. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式得积分$\bar{J}_{223}(T)$当$T\to\infty$是的渐近线为

$\begin{matrix} T\times \int^{\infty}_1 e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int^u_1 e^{-x}x^{2H-2} (u-x){\rm d} x +C_H. \label{BarJ223 jianjinxian} \end{matrix} $

合并积分$\bar{J}_{211}(T)$到积分$\bar{J}_{223}(T)$各自的渐近线(4.7)-(4.11)得积分$\bar{J}_{2}(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} T\bigg[ (4H-\frac{5}{2})\Big(\int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u \Big)^2 +2 \int_1^{\infty} e^{-1-u} u^{2H-2}{\rm d} u \bigg]. \label{BarJ2 jianjinxian} \end{matrix}$

最后, 合并积分$\bar{J}_{1}(T)$的渐近线(4.6)和积分$\bar{J}_{2}(T)$的渐近线(4.12)得积分$\bar{J}(T)$的渐近线(4.5).

${\bf引理4.4}$ 设四重积分$N(T)$ 如(3.13)式给出. 则$N(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} && T\times \bigg[\int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\times \Big[e^{-1}-e +(4H-1)\int_0^1(e^{x}-e^{-x})x^{2H-1}{\rm d} x\Big] \\ & &+\int_0^1(e^{x-1}-e^{-x-1})x^{2H-1}{\rm d} x \bigg] +C_H.\label{NT jianjinxian} \end{matrix} $

${\bf证}$ 将重积分$N(T)$ 的积分变元$(s_1,\,s_2)$ 的积分区域$\left\{{0\le s_1\le T,\,\, {(s_1-1)\vee 0}\le s_2\le {(s_1+1)\wedge T}}\right\}$进行如下划分

$\begin{eqnarray*} && \left\{{0\le s_1-1\le s_2\le s_1\le T}\right\}\cup\left\{{0\le s_2-1\le s_1\le s_2\le T}\right\}\\ && \cup\left\{{0\le s_2\le s_1\le 1}\right\}\cup\left\{{0\le s_1\le s_2\le 1}\right\}. \end{eqnarray*}$

记 $N(T)$ 在对应的区域的积分为 $N_1(T),\,N_2(T),N_3(T),N_4(T)$ 其中

$ \begin{eqnarray*} N_1(T)&=&\int_{[T]^2} e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} t_1 {\rm d} s_1 \int^{t_1-1}_0(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2 \int^{s_1}_{s_1-1} \\ & &\times{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_2-s_2|}(s_1-s_2 )^{2H-1}{\rm d} s_2,\\ N_2(T)&=&-\int_{[T]^2}{\rm d} t_1 {\rm d} s_2\int^{t_1-1}_0(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2 \int^{s_2}_{s_2-1}\\ & &\times{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}(s_2-s_1 )^{2H-1}{\rm d} s_1, \\ N_3(T)&=&\int^T_1{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2 \int^1_0{\rm d} s_1\int^{s_1}_0\\ & &\times{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}(s_1-s_2 )^{2H-1}{\rm d} s_2,\\ N_4(T)&=&\int^T_1{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2\int^1_{0}{\rm d} s_2\int^{s_2}_{0}\\ & &\times{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}(s_2-s_1 )^{2H-1}{\rm d} s_1. \end{eqnarray*}$

首先, 由重积分

$\int^{\infty}_1e^{-t_1}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1-t_2)^{2H-2}{\rm d} t_2\int_{[0,1]^2}\left\vert{s_2-s_1 }\right\vert^{2H-1}e^{s_1} {\rm d} s_1 {\rm d} s_2 $

的绝对可积性知, 当$T\to\infty$时, 重积分$N_3(T),\,N_4(T)$的极限存在. 故重积分$N(T)$和重积分$N_1(T)+N_2(T)$有相同斜率的渐近线(截距项不同). 以下分别求$N_1(T),\,N_2(T)$的渐近线.

其次, 求$N_1(T)$的渐近线. 先把重积分$N_{1}(T)$的积分变元$(s_1, t_1)$ 的积分区域$[T]^2$划分为$1\le t_1\le s_1\le T$和$1\le s_1\le t_1\le T$两部分得

$ \begin{eqnarray*} N_{1}(T)&=&\bigg(\int_1^T{\rm d} s_1\int^{s_1}_1{\rm d} t_1+\int_1^T{\rm d} t_1\int^{t_1}_1{\rm d} s_1\bigg)\int^{t_1-1}_0{\rm d} t_2\int^{s_1}_{s_1-1}\\ &&\times(s_1-s_2)^{2H-1}(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} s_2\\ :&=&N_{11}(T)+N_{12}(T) \end{eqnarray*}$

对于重积分$N_{11}(T)$, 由变量替换 $u= t_1-t_2$, $v =s_1-s_2$知

$ \begin{eqnarray*} N_{11}(T)=\int_{0}^{1}e^{v}v^{2H-1}{\rm d} v\int_{1}^{T}e^{-2s_1}{\rm d} s_1\int_{1}^{s_1}e^{2t_1}{\rm d} t_1\int_{1}^{t_1}e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u. \end{eqnarray*}$

故, 由分部积分公式知当$T\to\infty$时, 重积分$N_{11}(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} \frac{T}{2}\int_{0}^{1}e^{v}v^{2H-1}{\rm d} v\int^\infty_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u +C_H.\label{N11T jianjinxian} \end{matrix}$

对于重积分$N_{12}(T)$, 当积分变元$t_1$取定时, 把积分变元$(s_1,t_2)$积分区域$[t_1]\times [t_1-1]$ 划分为$0\le t_2\le s_1-1\le t_1-1$和$1\le s_1\le t_2+1\le t_1$两部分. 即: 把重积分$N_{12}(T)$ 拆成如下两个积分之和

$\begin{eqnarray*} N_{12}(T)&=&\int_{1}^{T}{\rm d} t_1\bigg(\int_{1}^{t_1}{\rm d} s_1\int_{0}^{s_1-1}{\rm d} t_2+\int_{0}^{t_1-1}{\rm d} t_2\int_1^{t_2+1}{\rm d} s_1\bigg)\int^{s_1}_{s_1-1}\\ & &\times(s_1-s_2)^{2H-1}(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{s_1-t_1-|t_2-s_2|}{\rm d} s_2\\ :&=&O_1(T)+O_2(T) \end{eqnarray*}$

对于重积分$O_1(T)$, 由变量替换 $u=t_1-t_2,\,v=s_1-t_2,\,x= s_1-s_2$ 知

$\begin{eqnarray*} O_1(T)=\int^1_0e^xx^{2H-1}{\rm d} x\int_{1}^{T}{\rm d} t_1\int_{1}^{t_1}e^{-u}u^{2H-2}(u-1){\rm d} u. \end{eqnarray*}$

故, 由分部积分公式知当$T\to\infty$时, 重积分$O_{1}(T)$的渐近线为

$ \begin{matrix} T\times \int^1_0e^x x^{2H-1}{\rm d} x\int_{1}^{\infty}e^{-u}(u^{2H-1}-u^{2H-2}){\rm d} u+ C_H.\label{O1 jianjinxian} \end{matrix}$

对于重积分$O_2(T)$, 由变量替换$u=t_1-t_2,\,v=t_1-s_1+1,\,x=s_1-s_2$ 知

$\begin{eqnarray*} O_2(T)&=&\int_{1}^{T}{\rm d} t_1\int^{t_1}_{1}e^{1-v}{\rm d} v\int_{1}^{v}u^{2H-2}{\rm d} u\int^1_0x^{2H-1} {\rm sgn}(u-v-x+1)e^{-|u-v-x+1|}{\rm d} x. \end{eqnarray*}$

故, 由分部积分公式知当$T\to\infty$时, 重积分$O_{2}(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} & &{T} \int^{\infty}_{1}e^{1-v}{\rm d} v\int_{1}^{v}u^{2H-2}{\rm d} u\int^1_0 x^{2H-1} {\rm sgn}(u-v-x+1)e^{-|u-v-x+1|}{\rm d} x + C_H\\ &=& {T} \int_1^{\infty}e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int_0^1 e^x \big(\frac12 x^{2H-1}-x^{2H}\big){\rm d} x + C_H, \label{O2 jianjinxian} \end{matrix}$

上一等式是把区域$\left\{{1\le u\le v<\infty}\right\}$分解为$\left\{{1\le u\le v\le 1+u<\infty}\right\}\cup\left\{{1\le u\le v-1<\infty}1\right\}$, 再用Fubini定理得到的. 合并重积分$O_{1}(T)$的渐近线(4.15)和重积分$O_{2}(T)$的渐近线(4.15)得重积分$N_{12}(T)$的渐近线为

$\begin{equation} T\bigg[\int^1_0e^{x-1} x^{2H-1}{\rm d} x\! -\!\int_{1}^{\infty} e^{1-u} u^{2H-2}{\rm d} u\! +\! (4H-\frac32)\int_{1}^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u\int_0^1 e^x x^{2H-1}{\rm d} x\bigg]+C_H. \label{N12T jianjinxian} \end{equation}$

合并上式与重积分$N_{11}(T)$的渐近线(4.14)得重积分$N_{1}(T)$的渐近线为

$\begin{equation} T\bigg[\int^1_0e^{x-1} x^{2H-1}{\rm d} x \!-\!\int_{1}^{\infty} e^{1-u} u^{2H-2}{\rm d} u \!+\! (4H-1)\int_{1}^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u\int_0^1 e^x x^{2H-1}{\rm d} x\bigg]+C_H. \label{N1T jianjinxian} \end{equation}$

再次, 求重积分$-N_{2}(T)$的渐近线. 把重积分$-N_{2}(T)$ 的积分变元$(t_1,s_2)$的积分区域$[T]^2$划分为$\left\{{1\le t_1\le s_2\le T}\right\}\cup\left\{{1\le s_2\le t_1\le T}\right\}$, 得

$\begin{eqnarray*} -N_{2}(T)&=&\bigg(\int^T_1{\rm d} s_2\int^{s_2}_1{\rm d} t_1+\int^T_1{\rm d} t_1\int^{t_1}_1{\rm d} s_2\bigg)\int^{t_1-1}_0{\rm d} t_2\int^{s_2}_{s_2-1}\\ & &\times(s_2-s_1)^{2H-1}(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} s_1\\ :&=&N_{21}(T)+N_{22}(T). \end{eqnarray*}$

由变量替换$u=t_1-t_2,\,v=s_2-t_2,\,x=s_2-s_1$得

$ \begin{eqnarray*} N_{21}(T)=\int_{1}^{T}{\rm d} s_2\int_{1}^{s_2}e^{-v}{\rm d} v\int^{v}_1u^{2H-2}{\rm d} u\int^{1}_{0}x^{2H-1}e^{-|x-v+u|}{\rm d} x, \end{eqnarray*}$

由分部积分公式及变量替换$z=v-u$得重积分$N_{21}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} & &T\times \int^\infty_{1}u^{2H-2}{\rm d} u \int_{u}^{\infty} e^{-v}{\rm d} v\int^{1}_{0}x^{2H-1}e^{-|x-v+u|}{\rm d} x+C_H\\ &=& {T} \times \bigg[(2H+\frac{1}{2})\int_0^1 e^{-x}x^{2H-1}{\rm d} x -e^{-1}\bigg]\times \int_1^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u+C_H. \label{N21T jianjinxian} \end{matrix}$

对于重积分$N_{22}(T)$, 当积分变元$t_1$取定时, 把积分变元$(t_2,s_2)$积分区域$ [t_1-1]\times[t_1]$划分为$1\le t_2+1\le s_2\le t_1$和$1\le s_2\le t_2+1\le t_1$两部分. 即:将重积分$N_{22}(T)$分成两个重积分之和

$ \begin{eqnarray*} N_{22}(T)&=&\int_{1}^{T}{\rm d} t_1\bigg(\int^{t_1-1}_0{\rm d} t_2\int^{t_1}_{t_2+1}{\rm d} s_2+\int^{t_1}_1{\rm d} s_2\int^{t_1-1}_{s_2-1}{\rm d} t_2\bigg)\int_{s_2-1}^{s_2}\\ & &\times(s_2-s_1)^{2H-1}(t_1-t_2)^{2H-2}{\rm sgn}(s_2-t_2)e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} s_1\\ :&=&O'_1(T)+O'_2(T). \end{eqnarray*}$

由变量替换 $u=t_1-t_2,\, v= t_1+1-s_2,\,x=s_2-s_1$得

$ \begin{eqnarray*} && O'_1(T)=\int^T_1{\rm d} t_1\int^{t_1}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\int_{1}^{u}{\rm d} v\int^1_0e^{-x}x^{2H-1}{\rm d} x,\\ && O_2'(T)=\int_{1}^{T}{\rm d} t_1\int_{1}^{t_1}e^{-v}{\rm d} v\int_{1}^{v}e^{-|u-v+1|}u^{2H-2}{\rm sgn}(u-v+1){\rm d} u\int^1_0 e^{1-x}x^{2H-1}{\rm d} x. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式知重积分$O'_1(T)$及$O_2'(T)$当$T\to\infty$时的渐近线分别为

$ \begin{matrix} &&T\times\int^1_0e^{-x}x^{2H-1}{\rm d} x \int^\infty_1e^{-u}u^{2H-2}(u-1){\rm d} u+C_H, \label{O'1T jianjinxian} \end{matrix}$
$ \begin{matrix} &&T\times \int^1_0e^{1-x}x^{2H-1}{\rm d} x\int^\infty_1e^{-v}{\rm d} v\int_{1}^{v}e^{-|u-v+1|}u^{2H-2}{\rm sgn}(u-v+1){\rm d} u+C_H\\ &=&\frac{T}{2}\times\int^1_0e^{-x}x^{2H-1}{\rm d} x\times \int^{\infty}_1e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u +C_H. \label{O2'T jianjinxian} \end{matrix}$

合并重积分$O_1'(T)$的渐近线(4.20)和重积分$O_2'(T)$的渐近线(4.21)得重积分$N_{22}(T)$的渐近线为

$\begin{equation} T\times\int^1_0e^{-x}x^{2H-1}{\rm d} x \int^\infty_1e^{-u}u^{2H-2}(u-\frac12){\rm d} u+C_H. \label{N22T jianjinxian} \end{equation}$

合并重积分$N_{21}(T)$的渐近线(4.19)重积分$N_{22}(T)$的渐近线(4.22)得重积分$-N_2(t)$的渐近线

$\begin{eqnarray*} &&T\bigg[\int^1_0 e^{-x-1} x^{2H-1}{\rm d} x -\int_{1}^{\infty} e^{-1-u} u^{2H-2}{\rm d} u\\ && + (4H-1)\int_{1}^{\infty} e^{-u} u^{2H-2}{\rm d} u\int_0^1 e^{-x} x^{2H-1}{\rm d} x\bigg]+C_H. \label{-N2T jianjinxian} \end{eqnarray*}$

$N_1(t)$的渐近线(4.18)减去上式得$N(t)$的渐近线为(4.13).

${\bf引理4.5}$ 记四重积分$\tilde{N}(T)$ 如式(3.14)所给出. 则$\tilde{N}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{equation} T\times\bigg[(1+e^{-2})+\big[(2H+1)e^{-1}+(2H-1) e\big] \int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u \bigg] + C_H.\label{nt jianjx bds} \end{equation} $

${\bf证}$ 积分狄拉克函数, 把四重积分$\tilde{N}(T)$写成如下两个三重积分的和

$\begin{equation} \tilde{N}(T)=\tilde{N}_1(T)+ \tilde{N}_2(T),\label{barn1barn2fenjie} \end{equation}$

这里

$\begin{eqnarray*} \tilde{N}_1(T)&=& \int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1 e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1\!-\!t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2 \big(s_1\!-\!(s_1-1)\vee 0 \big)^{2H-1} e^{-|t_2-(s_1-1)\vee 0|}, \\ \tilde{N}_2(T)&=&\int^T_0{\rm d} s_1\int^T_1 e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 (t_1\!-\!t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2 \big((s_1+1)\wedge T\!-\!s_1\big)^{2H-1} e^{-|t_2-(s_1+1)\wedge T|}. \end{eqnarray*}$

首先求三重积分$\tilde{N}_1(T)$的渐近线. 把积分区域$s_1\in [T]$划分为$[T]$. 由变量替换$u=t_1-t_2$得, 子区间$s_1\in [0,1)$联系的三重积分为

$\begin{eqnarray*} && \int^1_0 s_1 ^{2H-1} {\rm d} s_1\int^T_1 e^{-(t_1-s_1)}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 e^{-t_2 }(t_1-t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2\\ &=&\int^1_0 e^s s_1 ^{2H-1} {\rm d} s_1\int^T_1 e^{-2t_1 }{\rm d} t_1\int^{t_1}_1 e^{u}u^{2H-2} {\rm d} u. \end{eqnarray*}$

当$T\to \infty$时, 其极限存在. 则$\tilde{N}_1(T)$的渐近线与$\tilde{N}_1(T)$ 在积分子区域$s_1\in [T]$联系的三重积分

$\begin{eqnarray*} \tilde{N}_{11}(T)= \int^T_1 {\rm d} s_1\int^T_1 e^{-\left\vert{t_1-s_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 e^{-\left\vert{t_2-s_1+1 }\right\vert}(t_1-t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2 \end{eqnarray*}$

有相同斜率的渐近线(截距项不同). 通过变量替换 $w=s_1\vee t_1,$$v=\left\vert{s_1-t_1}\right\vert,$$ u=t_1-t_2$ 把三重积分$\tilde{N}_{11}(T)$改写为

$\begin{equation} \tilde{N}_{11}(T)=\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-v}{\rm d} v\bigg[\int_1^{w-v}u^{2H-2}e^{-(v+u-1)}{\rm d} u + \int_1^{w}u^{2H-2}e^{-\left\vert{v-u+1}\right\vert}{\rm d} u\bigg].\label{n11t biaodsh} \end{equation}$

而通过变量替换 $u'=u-1,$$x=v+u' $ 知, 三重积分(4.25)式的第一部分为

$\begin{eqnarray*} \int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-v}{\rm d} v \int_1^{w-v}u^{2H-2}e^{-(v+u-1)}{\rm d} u &=&\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-2x}{\rm d} x \int_0^{x}(1+u')^{2H-2}e^{u'}{\rm d} u'. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式以及Fubini定理易知, 上式的渐近线为

$\begin{matrix} T \int^{\infty}_0 e^{-2x}{\rm d} x \int_0^{x}(1+u')^{2H-2}e^{u'}{\rm d} u' +C_H =\frac12 T\int_1^{\infty} e^{1-u}u^{2H-2}{\rm d} u +C_H. \label{diyibufenjianjinxian} \end{matrix}$

由变量替换$u'=u-1$及Fubini定理知, 三重积分(4.25)式的第二部分为

$\begin{eqnarray*} & &\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-v}{\rm d} v\int_1^{w}u^{2H-2}e^{-\left\vert{v-u+1}\right\vert}{\rm d} u\\ &=&\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-v}{\rm d} v\Big[\int_1^{1+v}u^{2H-2}e^{ u-v-1}{\rm d} u+\int_{1+v}^{w}u^{2H-2}e^{ 1+v-u }{\rm d} u\Big]\\ &=&\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{-2v}{\rm d} v\int_0^{v} e^{ u' } (u'+1)^{2H-2}{\rm d} u'+\int^T_1 {\rm d} w \int^{w-1}_0 e^{ -u'} (u'+1)^{2H-2}u'{\rm d} u', \end{eqnarray*}$

由分部积分公式知, 上式的渐近线为

$\begin{matrix} &&T \Big[\int^{\infty}_0 e^{-2x}{\rm d} x \int_0^{x}(1+u')^{2H-2}e^{u'}{\rm d} u'+\int^{\infty}_0 e^{-u'} (1+u')^{2H-2}u'{\rm d} u' \Big]+C_H \\ &=&T \Big[\frac12\int_1^{\infty} e^{1-u}u^{2H-2}{\rm d} u+\int^{\infty}_1 e^{1-u} u^{2H-2}(u-1){\rm d} u \Big]+C_H.\label{dierbufen jianjinxian} \end{matrix}$

合并(4.26)和(4.27)式得三重积分$\tilde{N}_1(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} T \times \int^{\infty}_1 e^{1-u} u^{2H-1} {\rm d} u +C_H.\label{barn11t jianjinxian} \end{matrix}$

其次求三重积分$\tilde{N}_2(T)$的渐近线. 类似的, 把积分区域$s_1\in [T]$划分为$[T-1]\cup (T-1,T]$. 由变量替换$u=t_1-t_2$得, 子区间$s_1\in (T-1,T]$ 联系的三重积分当$T\to \infty$时的极限存在. 故$\tilde{N}_2(T)$的渐近线和如下三重积分

$\begin{eqnarray*} \tilde{N}_{21}(T)=\int^{T-1}_{0} {\rm d} s_1\int^T_1 e^{-\left\vert{t_1-s_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{t_1-1}_0 e^{-\left\vert{t_2-s_1-1 }\right\vert}(t_1-t_2)^{2H-2} {\rm d} t_2 \end{eqnarray*}$

有相同斜率的渐近线(截距项不同). 对于三重积分$\tilde{N}_{21}(T)$, 先做变量替换$u=t_1-t_2$, 再把积分变元$(s_1,t_1)$的积分区域$[T-1]\times [T]$做如下划分

$ \left\{{ 1\le t_1\le s_1\le T-1 }\right\}\cup \left\{{ 0\le t_1-1\le s_1\le t_1\wedge(T-1)\le T}\right\}\cup\left\{{ 0\le s_1\le t_1-1\le T-1 }\right\}, $

可得

$\begin{matrix} \tilde{N}_{21}(T)&=&\int^{T-1}_{0} {\rm d} s_1\int^T_1 e^{-\left\vert{t_1-s_1}\right\vert}{\rm d} t_1\int^{t_1}_1 e^{-\left\vert{t_1-s_1-u-1 }\right\vert}u^{2H-2} {\rm d} u\nonumber \\ &= &\bigg[\int^{T-1}_{1}{\rm d} s_1\int^{s_1}_1{\rm d} t_1+\int_1^T{\rm d} t_1\int^{t_1\wedge (T-1)}_{t_1-1}{\rm d} s_1+\int_1^T{\rm d} t_1\int_{0}^{t_1-1}{\rm d} s_1\bigg] \\ & &\times \int^{t_1}_1 e^{-\left\vert{t_1-s_1}\right\vert-\left\vert{t_1-s_1-u-1 }\right\vert}u^{2H-2} {\rm d} u.\label{n21t biaodashi} \end{matrix}$

由分部积分公式知, 三重积分(4.29)的第一, 二, 三部分的渐近线分别为

$\begin{eqnarray*} && \frac{T}{2} \times \int^{\infty}_1 e^{-1-u} u^{2H-2} {\rm d} u +C_H,\\ && T\times \int^{\infty}_1 e^{-1-u} u^{2H-2} {\rm d} u +C_H,\\ && T\times \int^{\infty}_1 e^{-1-u} \big[u^{2H-1}+\frac12u^{2H-2} \big] +C_H. \end{eqnarray*}$

合并上述三个渐近线, 得三重积分$\tilde{N}_2(T)$的渐近线为

$\begin{matrix} T\times \int^{\infty}_1 e^{-1-u} \big[u^{2H-1}+ 2 u^{2H-2} \big] +C_H.\label{n2t jianjinxian biaods} \end{matrix}$

最后, 合并$\tilde{N}_1(T)$的渐近线(4.28)与$\tilde{N}_2(T)$的渐近线(4.30)得 $\tilde{N}(T)$的渐近线(4.23).

${\bf引理4.6}$ 记两个四重积分$U(T),\,\tilde{U}(T)$如(3.16)及(3.17)所给出.它们当$T\to\infty$时的渐近线分别为

$\begin{matrix} & & T\times \bigg[\int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u\times \Big[e^{-1}-e +{(4H-1)}\int_0^1(e^{x}-e^{-x})x^{2H-1}{\rm d} x\Big] \\ & &+\int_0^1(e^{x-1}-e^{-x-1})x^{2H-1}{\rm d} x \bigg] +C_H,\end{matrix}$
$\begin{matrix} && T \times\Big[(1+e^{-2})+\big[(2H+1)e^{-1}+(2H-1) e\big] \int_1^{\infty} e^{-u}u^{2H-2}{\rm d} u \Big]. \label{BarUT jianjinxian} \end{matrix}$

引理4.6的证明与前面引理4.4及引理4.5的证明基本一致, 考虑到篇幅, 故略去它的细节.

${\bf引理4.7}$ 记四重积分$L(T)$如(3.21)式所给出. 则$L(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} && 4T\times\bigg[(4H+1)\int_0^1e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u\int_0^{u}e^v v^{2H-1}{\rm d} v -(2H+\frac{1}{2})\Big(\int_0^1 e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u\Big)^2\\ & &+ \int_0^1 (e^{-u-1}-e^{u-1})u^{2H-1} {\rm d} u \bigg]+ C_H. \label{lt jianjinxian} \end{matrix}$

${\bf证}$ 起点为去除四重积分 $L(T)$ 中如下两个绝对值符号: $|s_1-s_2|$ 及$|t_1-t_2|$. 即先将积分变元 $s_2,t_2$ 所处的积分区域进行如下划分

$ \begin{equation} \int^{(s_1+1)\wedge T}_{(s_1-1)\vee 0}{\rm d} s_2\int^{(t_1+1)\wedge T}_{(t_1-1)\vee 0}{\rm d} t_2= \Big(\int^{s_1}_{(s_1-1)\vee0}+\int_{s_1}^{(s_1+1)\wedge T}\Big){\rm d} s_2\Big(\int^{t_1}_{(t_1-1)\vee0}+\int_{t_1}^{(t_1+1)\wedge T}\Big){\rm d} t_2.\label{sigefenjie} \end{equation} $

把四重积分$L(T)$ 在上面四个积分子区域的积分值为别记为 $L_1(T),L_2(T),L_3(T),L_4(T)$. 由对称性易知

$\begin{equation} L_1(T)=L_4(T),\qquad L_2(T)=L_3(T).\label{lgdengshi} \end{equation}$

然后分别去掉$L_1(T)$中的两个$\vee$符号, 把积分进一步分解为如下四个积分之和

$ \begin{eqnarray*} L_1(T)&=&\Big(\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_{s_1-1}{\rm d} s_2+\int^1_0{\rm d} s_1\int^{s_1}_0{\rm d} s_2\Big) \Big(\int^T_1{\rm d} t_1\int^{t_1}_{t_1-1}+\int^1_0{\rm d} t_1\int^{t_1}_0\Big)\\ & &\times(s_1-s_2)^{2H-1}(t_1-t_2)^{2H-1}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_2\\ :&=&L_{11}(T)+L_{12}(T)+L_{13}(T)+L_{14}(T) \end{eqnarray*}$

首先注意到积分$L_{14}(T)$和$T$无关,且由对称性得$L_{12}(T)=L_{13}(T)$. 变量替换$u=s_1-s_2,$$v=t_1-t_2$ 推出

$ L_{12}(T)=\int_1^T e^{-s_1}{\rm d} s_1\int_0^1 u^{2H-1}{\rm d} u\int_0^1 e^{t_1}{\rm d} t_1\int_0^{t_1} e^{-\left\vert{s-t+v-u}\right\vert}v^{2H-1}{\rm d} v, $

故而极限$\lim\limits_{T\to\infty}L_{12}(T)$存在. 再次由对称性及变量替换 $u=s_1-s_2,\, v=t_1-t_2,\,x=s_1-t_1$得%将 $L_{11}(T)$ 中的积分变量 $s_1,t_1$ 所处的积分区域拆分成单纯形后可得

$ L_{11}(T) =2\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1-1}_0 e^{-x}{\rm d} x\int^1_0u^{2H-1}{\rm d} u\int^1_0e^{-|x-u+v|}v^{2H-1}{\rm d} v $

由分部积分公式知$L_{11}(T)$和$L_{1}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线都为(仅相差不同的截距项$C_H$)

$\begin{matrix} & &2T\int^{\infty}_{0}e^{-x}{\rm d} x\int^1_0u^{2H-1}{\rm d} u\int^1_0e^{-|x-u+v|}v^{2H-1}{\rm d} v +C_H\nonumber \\ &= &2T\Big[(4H+1)\int_0^1e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u\int_0^{u}e^v v^{2H-1}{\rm d} v -\int_0^1e^{v-1}v^{2H-1} {\rm d} v\Big] +C_H\label{l11 jianjinxian}. \end{matrix}$

上面等式是把$(u,v)$的积分区域划分为$\left\{{0\le u\le v\le 1}\right\}\cup\left\{{0\le v\le u\le 1}\right\}$, 对于第二个子区域再把$x$的积分区域划分为$[u-v]\cup(u-v,\infty)$, 然后由Fubini定理得到.

同理, 由如下分解

$\begin{eqnarray*} L_2(T)&=&- \Big(\int^T_1{\rm d} s_1\int^{s_1}_{s_1-1}{\rm d} s_2+\int^1_0{\rm d} s_1\int^{s_1}_0{\rm d} s_2\Big) \Big(\int^T_1{\rm d} t_2\int^{t_2}_{t_2-1}+\int^1_0{\rm d} t_2\int^{t_2}_0\Big)\\ & &\times(s_1-s_2)^{2H-1}(t_2-t_1)^{2H-1}e^{-|t_1-s_1|-|t_2-s_2|}{\rm d} t_1\\ :&=&-(L_{21}(T)+L_{22}(T)+L_{23}(T)+L_{24}(T)). \end{eqnarray*}$

其中, 积分$L_{24}(T)$和$T$无关,且变量替换$v=t_1-t_2,\,u=s_1-s_2$ 推出极限$\lim\limits_{T\to\infty}\big(L_{22}(T)+L_{23}(T)\big)$存在. 而通过变量替换$w=\max\left\{{s_1,\,t_2}\right\},\, x=\left\vert{s_1-t_2}\right\vert,\,u=s_1-s_2,\,v=t_2-t_1$ 知, 四重积分$L_{21}(T)$为

$ L_{21}(T) =2\int^{T}_1{\rm d} w\int_{0}^{w}e^{-x}{\rm d} x\int_{[0,1]^2} e^{-|x-v|-u} u^{2H-1}v^{2H-1}{\rm d} u {\rm d} v. $

由分部积分公式知$-L_{21}(T)$和$L_{2}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线都为(仅相差不同的截距项$C_H$)

$ \begin{matrix} & &-2T \int_0^1 e^{-u} u^{2H-1} {\rm d} u \times \int_0^{\infty} e^{-x} {\rm d} x\int_0^1 e^{-\left\vert{x-v}\right\vert}v^{2H-1} {\rm d} v +C_H\\ &=&-2T\int_0^1 e^{-u}u^{2H-1}{\rm d} u \int_0^1 e^{-v}(v^{2H}+\frac12 v^{2H-1}){\rm d} v +C_H,\label{l21 jianjinxian} \end{matrix}$

上面等式是把$(x,v)$的积分区域分解为$\left\{{0\le x\le v\le 1}\right\}\cup\left\{{0\le v\le 1,\, x>v}\right\}$, 再由Fubini定理得到.

最后, 由(4.34)及(4.35)式, 结合$L_{1}(T)$和$L_{2}(T)$当$T\to\infty$时的渐近线(4.36)及(4.37), 得$L(T)$的渐近线为(4.33)式.

${\bf引理4.8}$ 记四重积分$P(T)$如式(3.22)所给出.则$P(T)$当$T\to\infty$时的渐近线为

$\begin{matrix} { 2T \times\Big[1-e^{-2} -(2H+1) \int_0^1 (e^{u-1} -e^{-u-1})u^{2H-1}{\rm d} u\Big] +C_H}.\label{p jianjiexian} \end{matrix}$

${\bf证}$ 首先积分狄拉克函数, 把$P(T)$写成如下两个三重积分的和

$\begin{aligned} P(T)= & \int_{[T]^{2}} e^{-\left|t_{1}-s_{1}\right|} \mathrm{d} s_{1} \mathrm{~d} t_{1} \int_{\left(t_{1}-1\right) \vee 0}^{\left(t_{1}+1\right) \wedge T} \operatorname{sgn}\left(t_{1}-t_{2}\right)\left|t_{1}-t_{2}\right|^{2 H-1} \mathrm{~d} t_{2} \\ & \times\left[e^{-\left|t_{2}-\left(s_{1}-1\right) \vee 0\right|} \operatorname{sgn}\left(\left(s_{1}-1\right) \vee 0-t_{2}\right)\left(s_{1}-\left(s_{1}-1\right) \vee 0\right)^{2 H-1}\right. \\ & \left.+e^{-\left|t_{2}-\left(s_{1}+1\right) \wedge T\right|} \operatorname{sgn}\left(\left(s_{1}+1\right) \wedge T-t_{2}\right)\left(\left(s_{1}+1\right) \wedge T-s_{1}\right)^{2 H-1}\right] \\ := & P_{1}(T)+P_{2}(T). \end{aligned}$

求三重积分$P_1(T)$的渐近线. 先把区域$\left\{{(s_1,t_1)\in [T]^2}\right\}$划分为如下部分

$\begin{eqnarray*} &&[0,3]\times [0,1],\, [T]\times [0,1],\,[0,1]\times [T],\, [T-1]\times[T-1,T],\\ &&[T-1,T]\times[T-1],\,[T-1,T]^2,\, [T-1]^2. \end{eqnarray*}$

易知, 三重积分$P_1(T)$ 在子区域$[0,3]\times [0,1]$的积分与$T$无关; 当$T\to\infty$时, 三重积分$P_1(T)$在子区域$[T]\times [0,1]$积分的极限存在;通过变量替换$u=t_2-t_1$知, 当$T\to\infty$时, 三重积分$P_1(T)$在子区域$[0,1]\times [T]$积分的极限存在; 通过变量替换 $y=T-t_1,\,u=t_2-t_1$知, 当$T\to\infty$ 时,三重积分$P_1(T)$在子区域$[T-1]\times[T-1,T]$积分的极限存在. 通过变量替换 $x=T-s_1,\,y=T-t_1,\,u=t_2-t_1$ 知, 三重积分$P_1(T)$在子区域$[T-1,T]^2$的积分亦与$T$无关; 当$T\to\infty$时, 三重积分$P_1(T)$在子区域$[T-1,T]\times [T-1]$积分的极限存在.

而通过变量替换 $w=\max\left\{{s_1,\,t_1}\right\},\, v=\left\vert{s_1-t_1}\right\vert,\,u=t_2-t_1$ 知, 三重积分$P_1(T)$在子区域$ [T-1]^2$积分为

$\begin{eqnarray*} && \int_{[T-1]^2} e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} s_1 {\rm d} t_1\int^{t_1+1 }_{t_1-1 } {\rm sgn}(t_1-t_2)|t_1-t_2|^{2H-1} e^{-|t_2-(s_1-1) |}{\rm sgn}\big(s_1-1 -t_2\big) {\rm d} t_2 \\ &= &\int_1^{T-1}{\rm d} w \int_0^{w-1} e^{-v}{\rm d} v\int_{-1}^1 \big[e^{-\left\vert{v+u+1}\right\vert}+e^{-\left\vert{u-v+1}\right\vert}{\rm sgn}(u-v+1)\big]\left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u){\rm d} u. \end{eqnarray*}$

由分部积分公式, 上式当$T\to\infty$的渐近线, 以及三重积分$P_1(T)$的渐近线都是(结合前6个区域内积分的极限存在性知二者仅相差不同的截距项$C_H$)

$\begin{eqnarray*} & &T \times \int_0^{\infty}e^{-v}{\rm d} v\int_{-1}^1 \big[e^{-\left\vert{v+u+1}\right\vert}+e^{-\left\vert{u-v+1}\right\vert}{\rm sgn}(u-v+1)\big]\left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u){\rm d} u + C_H\\ &=&T\times \int_{-1}^{1}e^{-u-1} \left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u)(1+u){\rm d} u + C_H. \end{eqnarray*}$

同理,三重积分$P_2(T)$的渐近线和如下积分的渐近线有相同斜率

$\begin{eqnarray*} && \int_{[T-1]^2} e^{-|t_1-s_1|}{\rm d} s_1 {\rm d} t_1\int^{t_1+1 }_{t_1-1 } {\rm sgn}(t_1-t_2)|t_1-t_2|^{2H-1} e^{-|t_2-(s_1+1) |}{\rm sgn}\big(s_1+1 -t_2\big) {\rm d} t_2 \\ &=&\int_1^{T-1}{\rm d} w \int_0^{w-1} e^{-v}{\rm d} v\int_{-1}^1 \big[-e^{-\left\vert{u-v-1}\right\vert}+ e^{-\left\vert{u+v-1}\right\vert}{\rm sgn}(u+v-1)\big]\left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u){\rm d} u, \end{eqnarray*}$

从而得三重积分$P_2(T)$ 的渐近线为

$\begin{eqnarray*} &&T\times \int_0^{\infty} e^{-v}{\rm d} v\int_{-1}^1 \big[-e^{-\left\vert{u-v-1}\right\vert}+e^{-\left\vert{u+v-1}\right\vert}{\rm sgn}(u+v-1)\big]\left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u){\rm d} u\\ &=&T\times\int_{-1}^{1}e^{u-1} \left\vert{u}\right\vert^{2H-1}{\rm sgn}(u)(u-1){\rm d} u + C_H. \end{eqnarray*}$

最后合并$P_1(T)$ 和$P_2(T)$的两个渐近线就得$P(T)$ 的渐近线(4.38).

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Optimal Berry-Esséen bound for statistical estimations and its application to SPDE

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Parameter estimation for an Ornstein-Uhlenbeck process driven by a general gaussian noise

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Chen Y, Gu X M, Li Y.

Parameter estimation for an Ornstein-Uhlenbeck processes driven by a general Gaussian noise with Hurst parameter $H\in (0,\,\frac12)$

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Fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

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Chen Y, Kuang N H, Li Y.

Berry-Esséen bound for the parameter estimation of fractional Ornstei-Uhlenbeck processes

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For an Ornstein–Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion with Hurst index [Formula: see text], we show the Berry–Esséen bound of the least squares estimator of the drift parameter based on the continuous-time observation. We use an approach based on Malliavin calculus given by Kim and Park [Optimal Berry–Esséen bound for statistical estimations and its application to SPDE, J. Multivariate Anal. 155 (2017) 284–304].

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