本文采用Nevanlinna理论的标准记号和基本结果^[1⇓-3], 用$\rho(f), \lambda(f)$分别表示亚纯函数$f(z)$的级和零点收敛指数. 设$f(z)$为整函数满足$\rho(f)\in(0, +\infty)$, 定义$f(z)$的Phragmén-Lindelöf指示函数为

若存在上密度为零的集合$H$, 使得对任意的$\theta\in(-\pi,\pi]$, 有

则称$f(z)$是完全正规增长的整函数^[4].

解的增长性是复微分方程的一个重要研究内容. 考虑线性微分方程

其中$n\geq 2$为整数, $A_0(z), A_1(z), \cdots, A_{n-1}(z)$为有限级整函数, Wittich^[3]证明了当且仅当$A_j(z)(j=0, \cdots, n-1)$为多项式时, 方程(1.1)的所有解都为有限级; 当$\max\limits_{j\neq 0}\rho(A_j)<\rho(A_0)$时, 陈宗煊和杨重骏^[5]证明了方程(1.1)的每一个非零解为无穷级; 而当$\max\limits_{j\neq 0}\rho(A_j)\geq\rho(A_0)$时, 方程(1.1)可能存在有限级解, 例如: 方程$f''+(e^z+1)f'-e^zf=0$和$f'''-{\rm e}^{z^2}f''+({\rm e}^{z^2}+2{\rm e}^{-z})f'-f=0$都存在有限级解$f(z)=e^z+2$, 但如果对系数$A_j(z)~(j=0, \cdots, n-1)$再增加适当的限制条件, 比如系数的值分布性质(见文献[6⇓⇓-9]等), 方程(1.1)的每一个非零解就具有无穷级. 本文的目的是在 $\max\limits_{j\neq 0}\rho(A_j)\geq\rho(A_0)$条件下, 结合系数的径向增长性, 研究方程(1.1)的完全正规增长性解的存在性, 以及方程(1.1)的指数多项式解的表示形式, 这与Gol'dberg-Ostrovskii-Petrenko^[10]提出的下述问题有关:

${\bf GOP问题}$^[10] 当方程(1.1)的系数为完全正规增长的整函数时, 其有限级超越解$f(z)$是否具有完全正规增长性?

关于此问题, Heittokangas, Laine, Tohge等^[11]指出: 在完全正规增长的整函数中, 指数多项式是一类重要的整函数, 并得到下述结果.

${\bf 定理A}$^[11] 设$A_1(z)$为指数多项式, $A_0(z)$为整函数满足$0<\rho(A_0)<\rho(A_1)$, 若集合$E=\{\theta\in(-\pi,\pi]:h_{A_1}(\theta)h_{A_0}(\theta)=0\}$的线测度为零, 则方程

的所有非零解为无穷级.

这里所说的指数多项式是指形如

的整函数, 其中$P_j(z), Q_j(z)(j=1,\cdots, s)$为多项式, 满足$q=\max\limits_{1\leq j\leq s}\{\deg Q_j\}\geq 1$,通常称$g(z)$为$q$次指数多项式.由(1.3)可得$g(z)$的正规化形式为

其中$1\leq m\leq s,\omega_1,\dots,\omega_m$为相互判别的非零复数, $H_0(z),\cdots, H_m(z)$为次数$\leq q-1$的指数多项式或$z$的多项式, 满足$H_j(z)\not\equiv0\ (j=1,\cdots,m)$. (1.4)中的非零复数$\omega_1, \cdots, \omega_m$ 称为指数多项式$g(z)$的频率.

定理A表明虽然方程(1.2)的系数为完全正规增长的整函数, 但其解不一定具有完全正规增长性. 自然地, 我们会考虑当方程(1.1)存在某一系数为指数多项式且具有最大增长级时, 其完全正规增长性解的存在性, 得到下述结果.

${\bf定理1.1}$ 设$A_0(z), \cdots, A_{n-1}(z)$为整函数, 且对某个$\mu\in\{1, \cdots, n-1\}$, $A_{\mu}(z)$为指数多项式满足$\rho(A_\mu)=\max\limits_{0\leq j\leq n-1}\{\rho(A_j)\}$. 令 $\Lambda=\{j:\rho(A_j)=\rho(A_\mu), 0\leq j\leq n-1\}$, $|\Lambda|$表示集合$\Lambda$的元素个数. 若下列条件之一成立

(i)当$|\Lambda|<n$时, 对任意的$\theta\in(-\pi,\pi]\backslash E$, $h_{A_\mu}(\theta)>\max\limits_{j\in \Lambda-\{\mu\}}\{0,h_{A_j}(\theta)\}$,

(ii)当$|\Lambda|=n$时, 对任意的$\theta\in(-\pi,\pi]\backslash E$, $h_{A_\mu}(\theta)>\max\limits_{j\neq\mu}\{h_{A_j}(\theta)\}$,

其中$E$是线测度为零的集合, 则方程(1.1)的每一个超越解必为无穷级.

${\bf 注1.1}$ 当$|\Lambda|<n$时, 若缺少条件(i), 定理1.1的结论可能不成立, 见例1.1.

${\bf例1.1}$ 方程$f'''-{\rm e}^{z^2}f''+({\rm e}^{z^2}+e^z)f'-e^zf=0$存在有限级解$f(z)=e^z+1$. 这里$A_2(z)=-{\rm e}^{z^2}, A_1(z)={\rm e}^{z^2}+e^z, A_0(z)=-e^z$为指数多项式, 满足$\rho(A_2)=\rho(A_1)=2>\rho(A_0)$, 但当$\theta\in(-\pi/4, \pi/4)$时, $h_{A_2}(\theta)=h_{A_1}(\theta)=\cos2\theta$, 不满足定理1.1中的条件(i).

${\bf 注1.2}$ 当$|\Lambda|=n$时, 若缺少条件(ii), 定理1.1的结论可能不成立, 见例1.2.

${\bf 例1.2}$ 方程$f''+(e^z+1)f'-e^zf=0$存在有限级解$f(z)=e^z+2$. 这里$A_1(z)=e^z+1,$$A_0(z)=-e^z$为指数多项式, 满足$\rho(A_1)=\rho(A_0)=1$, 但当$\theta\in(-\pi/2, \pi/2)$时, $h_{A_1}(\theta)=h_{A_0}(\theta)=\cos\theta$, 不满足定理1.1中的条件(ii).

${\bf 注1.3}$ 定理1.1给出了方程(1.1)的超越解为无穷级的一个判定条件. 将定理1.1和指数多项式的下述性质运用于某些线性微分方程, 就容易判断其无穷级解的存在性, 如例1.3.

${\bf性质}$^[11] 指数多项式$g(z)$的Phragmén-Lindelöf~指示函数为

${\bf 例1.3}$ 设$P_j(z)(j=1, \cdots, 4)$为非零多项式, $Q_j(z)=b_{jq}z^q+\cdots+b_{j0}$为$q(\geq 1)$次多项式, 满足$b_{2q}=\gamma_2b_{1q}, b_{3q}=\gamma_3b_{1q}, b_{4q}=\gamma_4b_{1q}$, $A_0(z)$为非零整函数满足$\rho(A_0)\neq q$, 则

(i)当$\gamma_2\gamma_3<0$且$\gamma_2\neq 1, \gamma_3\neq1$时, 方程

的每一个非零解都为无穷级.

(ii)当$\gamma_2<0, 0<\gamma_3<1, 0<\gamma_4<1$时, 方程

的每一个非零解都为无穷级.

接下来, 我们讨论方程(1.1)的指数多项式解与方程系数之间的关系. Wen, Gundersen和Heittokangas^[12]研究了方程(1.1)的系数都为指数多项式的情形, 得到

${\bf定理B}$^[12] 设$A_0(z), \cdots, A_{n-1}(z)$为指数多项式, 满足对某个$\mu\in\{1, \cdots, n-1\}$, $\rho(A_\mu)>\rho(A_j)$$(j\neq \mu)$. 又设$f(z)$为方程(1.1)的指数多项式解, 则

(i) $f(z)$与$A_\mu(z)$为对偶指数多项式, 且$f(z)$的正规化形式为

其中$S(z)$为次数$\leq\mu-1$的非零多项式.

(ii) 若$\rho(A_\mu f^{(\mu)})<\rho(A_\mu)$, $A_j(z)(j\neq\mu)$为多项式, 则

其中$P(z), Q(z), R(z)$为非零多项式, 满足$\deg(P)=\rho(A_\mu)$.

这里称两个指数多项式$g(z)$与$\phi(z)$为对偶的, 是指当$g(z)$的频率位于某一射线 $\arg z=\theta$ 上时, $\phi(z)$的频率位于射线$\arg z=\theta+\pi$上, 且$\rho(g)=\rho(\phi)$ (见文献[12]).

近来, 文献[13]的作者针对二阶线性微分方程(1.2), 改进了定理B的条件, 得到下述结果.

${\bf定理C}$^[13] 设$A_1(z)$为指数多项式, $A_0(z)$为整函数满足$T(r, A_0)=o(T(r, A_1))$. 又设$f(z)$为方程(1.2)的指数多项式解, 则

(i) $f(z)$与$A_1(z)$为对偶指数多项式, 且$f(z)$的正规化形式为

其中$C$为非零常数.

(ii) 若$\rho(A_1f')<\rho(A_1)$, 则

其中$a$为非零常数.

受定理C的启发, 我们对定理B进行完善, 考虑去掉"$A_j(z)(j\neq\mu)$为指数多项式''这一限定条件, 得到下述结果.

${\bf 定理1.2}$ 设$A_0(z), \cdots, A_{n-1}(z)$为整函数, 满足对某个$\mu\in\{1, \cdots, n-1\}$, $A_{\mu}(z)$为指数多项式, $T(r, A_j)=S(r, A_{\mu})~(j\neq \mu)$. 又设$f(z)$为方程(1.1)的指数多项式解, 则

(i) $f(z)$与$A_{\mu}(z)$为对偶指数多项式, 且$f(z)$的正规化形式为

其中$S(z)(\not\equiv 0)$为次数$\leq\mu-1$的多项式.

(ii) 若$\rho(A_\mu f^{(\mu)})<\rho(A_\mu)$, 则

其中$S(z)(\not\equiv 0)$为次数$\leq\mu-1$的多项式, $R(z)(\not\equiv 0)$为次数$\leq q-1$的指数多项式. 这里$S(r, A_{\mu})=o(T(r, A_{\mu}))~(r\rightarrow\infty, r\not\in E_0), E_0$是线测度有限的集合.

定理1.2虽然证明了方程(1.1)的指数多项式解$f(z)$与$A_\mu(z)$为对偶的, 但$f(z)$中相加项的个数, 即$m$的值取决于方程的具体表示形式, 见例1.4; 例1.5和例1.6给出了$A_\mu(z)$在不同位置时, 方程(1.1)存在与$A_\mu(z)$对偶的指数多项式解$f(z)$.

${\bf例1.4}$^[13]$f(z)=1+c_1e^z+\cdots+c_m{\rm e}^{mz}$满足方程$f''+{\rm e}^{-z}f'-m^2f=0$, 其中$m$为正整数, $c_j=\frac{1}{j!}\prod\limits_{k=0}^{j-1}(m^2-k^2)~(1\leq j\leq m)$.

${\bf例1.5}$$f(z)={\rm e}^{z^2}+1$满足方程$f'''-2zf''+(2{\rm e}^{-z^2}-2)f'-4zf=0$.

${\bf 例1.6}$$f(z)=e^z+1$满足方程$f^{(4)}-(B(z)+z+1)f'''+(z{\rm e}^{-z}+2z)f''+B(z)f'-zf=0$, 其中$B(z)$为超越整函数满足$T(r, B)=S(r, e^z)$.

设$g(z)$为$q$次指数多项式, 其正规化形式为(1.4)式, 记

$W^0_g=W_g\bigcup\{0\}$, $co(W^0_g)$表示集合$W^0_g$的凸包. 由凸包的性质可知: 当$W^0_g$为有限集时, $co(W^0_g)$为凸多边形或直线段. 我们用$C(co(W^0_g))$表示凸包$co(W^0_g)$的周长, 特别地, 当凸包$co(W^0_g)$为直线段时, $C(co(W^0_g))$为该直线段长度的两倍.

为了证明本文的结果, 我们需要下述指数多项式的性质.

${\bf引理 2.1}$^[14] 设$g(z)$为形如(1.4)式的$q$次指数多项式, 则

若$H_0(z)\equiv 0$, 则

${\bf 引理 2.2}$^[15] 设$f(z), g(z)$均为$q$次指数多项式, $\psi(z)=g(z)/f(z)$, 则

其中$W_\psi=W_g\bigcup W_f$.

${\bf 引理2.3}$^[16] 设$f_j(z), g_j(z)(j=1,\cdots,n)~(n\geq2)$为两组整函数, 满足

(1) $\sum\limits_{j=1}^{n}f_j(z){\rm e}^{g_j(z)}\equiv 0$;

(2) 当$1\leq j\leq n,1\leq t<k\leq n$时, $f_j(z)$的级小于${\rm e}^{g_t(z)-g_k(z)}$的级.

则$f_j(z)\equiv 0~~(j=1,\cdots,n)$.

${\bf 引理 2.4}$^[17] 设$f(z)$为有限级超越亚纯函数, 则对任意给定的$\varepsilon>0$,有

(i) 存在线测度为零的集合$E\subset[0,2\pi)$, 使得如果$\theta_0\in[0,2\pi)\setminus E$, 则存在常数$R_0=R_0(\theta_0)>1$, 对满足$\arg z=\theta_0$及$|z|=r\geq R_0$的所有$z$, 有

(ii)存在对数测度有限的集合$F\subset(1,+\infty)$, 使得对满足$|z|=r\not\in F\bigcup[0,1]$的所有$z$, 上式成立.

${\bf 引理 2.5}$^[7]~~设$f(z)$为整函数, 如果$|f^{(k)}(z)|$在某条射线$\arg z=\theta$上无界, 则存在一无穷点列$z_l=r_l{\rm e}^{{\rm i}\theta}(l=1,2,\dots)$, 使得当$r_l\rightarrow\infty$时, 有$f^{(k)}(z_l)\rightarrow\infty$, 且

${\bf 引理 2.6}$^[18]~~设$f(z)$在区域

内解析, 并连续到边界$C$上. 如果对任意给定的$\epsilon>0$, 存在$r_1(\epsilon)>0$, 使得在$D$内当$|z|\geq r_1(\epsilon)$时,有

且在$C$上有$|f(z)|\leq M$, 则在$D$内有$|f(z)|\leq M$, 等号仅当$f(z)$为常数时成立.

${\bf 定理1.1的证明}$ 由复域微分方程基本理论和方程的系数为整函数可知: 方程(1.1)的每一个解都为整函数. 下面我们用反证法导出矛盾.

假设$f(z)$为方程(1.1)的有限级超越解, 由引理2.4知: 存在常数$M_1\geq 0$和线测度为零的集合$E_1$, 使得若$\theta\in{(-\pi,\pi]\backslash E_1}$, 则存在$R_1=R_1(\theta)>1$, 当$z$满足$\arg z=\theta$及$|z|=r\geq R_1$时, 有

令$\rho(A_\mu)=\rho$, 当$|\Lambda|<n$时, 取实数$\beta$满足$\max\limits_{j\not\in\Lambda}\{\rho(A_j)\}<\beta<\rho$, 由级的定义得: 存在$R_2>0$, 使得当$|z|=r>R_2$时, 对所有的$j\not\in\Lambda$, 有

另一方面, 由于$A_\mu(z)$为指数多项式, 所以由文献[15,p.462]得: 对任意的$\theta\in(-\pi,\pi]$, 有

至多除去有限个例外的$\theta$. 记这些例外的$\theta$组成的集合为$E_2$, 于是, 当$\theta\in(-\pi,\pi]\backslash E_2$时, 对任意给定的$\epsilon>0$, 存在$R_3=R_3(\theta)>0$, 当$|z|=r>R_3$时,有

任取$\theta\in(-\pi,\pi]\backslash E_3$, 其中$E_3=E_1\bigcup E_2\bigcup E$, $E$如定理1.1所设, 我们断言$|f^{(\mu)}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|$在射线$\arg z=\theta$上有界. 若不然, 则由引理2.5知: 存在无穷点列$z_l=r_l{\rm e}^{{\rm i}{\theta}}~(r_l\rightarrow\infty)$, 使得$|f^{(\mu)}(z_l)|\rightarrow\infty$, 且

令$\delta(\theta)=\max\limits_{j\in \Lambda-\{\mu\}}\{h_{A_j}(\theta)\}$(当$|\Lambda|=1$时, 令$\delta(\theta)=0$), 取$0<\epsilon<\min\{\frac{h_{A_{\mu}}(\theta)}{3}, \frac{h_{A_{\mu}}(\theta)-\delta(\theta)}{3}\}$, 由方程(1.1)和(3.1)-(3.4)式得: 存在$M_2>0$, 使得对充分大的$r_l$, 有

(i) 当$|\Lambda|<n$时,有

即

(ii) 当$|\Lambda|=n$时,有

由$h_{A_\mu}(\theta)>\delta(\theta)$知(3.5)和(3.6)式不可能成立. 所以, $|f^{(\mu)}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|$在射线$\arg z=\theta$上有界, 即存在$M_0(\theta)>0$, 使得$|f^{(\mu)}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq M_0(\theta)$. 再结合

及数学归纳法得: 对任意的$\theta\in(-\pi,\pi]\backslash E_3$, 存在$R(\theta)>0$, 当$r>R(\theta)$时, 有

其中$M(\theta)>0$是仅与$\theta$有关的常数.

由于$E_3$的线测度为零, 所以可取$s$条不同射线$\arg z=\vartheta_j\in(-\pi,\pi]\backslash E_3$, 满足

其中$\vartheta_{s+1}=\vartheta_1+2\pi$. 由$\rho(f)<\infty$和整函数级的定义可得: 存在$R>0$, 当$|z|=r\geq R$时, 有

从而当$|z|=r\geq R$时, 有

令$D_j=\{z:\vartheta_j<\arg z<\vartheta_{j+1},R_j'\leq |z|<\infty\}$, 其中$R_j'=\max\{R, R(\vartheta_j), R(\vartheta_{j+1})\},$$j=1, \cdots, s$, 对$f(z)/z^\mu$在区域$D_j$内运用引理2.6, 再结合(3.7)和(3.8)式得: 对所有的$z\in\{z:\vartheta_j\leq\arg z\leq\vartheta_{j+1}, |z|\geq R_j'\}$,有

其中$M_j>0$是仅跟区域$D_j$有关的常数. 于是, 当$|z|\geq\max\limits_{1\leq j\leq s}\{R_j'\}$时, $|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq Mr^{\mu}$, 其中$M=\max\limits_{1\leq j\leq s}\{M_j\}$, 因此$f(z)$是一个次数不超过$\mu$的多项式, 这与$f(z)$为超越整函数矛盾, 证毕.

${\bf 定理1.2的证明}$ 设$f(z)$为方程(1.1)的$q$次指数多项式解, 其正规化形式为

首先, 我们证明$\rho(f)=\rho(A_\mu)$. 由方程(1.1)和$T(r,A_j)=S(r,A_{\mu})~(j\neq\mu)$得

即$T(r,A_{\mu})=O(T(r, f))~(r\rightarrow\infty, r\not\in E_0)$, 其中$E_0$为线测度有限的集合, 在不同地方出现可代表不同集合. 所以$\rho(f)\geq\rho(A_{\mu})$. 假设$\rho(f)>\rho(A_{\mu})$, 由$f(z)$的表达式得: 对任意的正整数$k$, 有

其中

显然, 由指数多项式的定义和$H_{l,0}(z)$为次数小于$q$的指数多项式知: 对任意的$k\geq 1$, $H_{l,k}(z)$仍为次数小于$q$的指数多项式, 并且$H_{l,k}(z)\not\equiv0$, 否则$H_{l,k-1}(z)$为$q$ 次指数多项式, 矛盾. 将(3.9), (3.10)式代入方程(1.1)得

其中$A_n(z)\equiv 1$. 由于$\rho(A_{\mu})<\rho(f), T(r,A_j)=S(r,A_{\mu})$$(j\neq\mu)$, 所以$\rho(A_k)<q$$(k=0,1, \cdots, n)$, 从而$\rho(\sum\limits_{k=0}^nA_kH_{j,k})<q$$(j=0, 1,\cdots, m)$. 于是结合(3.12)式和引理2.3得

对任意的$l\in\{1, \cdots, m\}$, 由$H_{l,k}(z)$的表达式(3.11)得: 对任意的正整数$k$, 有

注意到当$q=1$时, $H_{0,0}(z), H_{1,0}(z), \cdots, H_{m,0}(z)$为多项式, 所以

当$q>1$时, 由(3.11)式和引理2.4得

其中$F$为对数测度有限的集合, 在不同地方出现可代表不同集合. 由(3.14)-(3.16)式得: 当$j>\mu$时,有

当$t<\mu$时,有

再结合(3.13), (3.17)和(3.18)式得

这与$A_\mu(z)$为指数多项式矛盾. 因此$\rho(f)=\rho(A_\mu)$.

其次, 我们证明$H_{0,0}(z)$为次数$\leq\mu-1$的非零多项式. 若不然, 则或者$H_{0,j}(z)=H^{(j)}_{0,0}(z)\equiv0\ (j=0, 1, \cdots, n)$, 或者$H_{0,t}(z)=H^{(t)}_{0,0}(z)\not\equiv0\ (t=0, 1, \cdots, \mu)$, 从而由(3.9)和(3.10)式得$W_f=W_{f'}=\cdots=W_{f^{(\mu)}}$. 于是由引理2.2得: 当$t<\mu$时,有

再结合(3.19), (1.1)式和引理2.1得

矛盾.

最后, 使用文献[12,p.108-109]的证明方法可得$f(z)$与$A_{\mu}(z)$为对偶指数多项式. 为方便起见, 我们给出简单的证明过程. 设指数多项式$A_\mu(z)$的正规化形式为

下面分情形讨论.

情形1 若$\rho(A_{\mu}f^{(\mu)})<q$, 则由$A_\mu(z), f(z)$为整函数得

另一方面, 由于$H_{0,0}(z)$是次数$\leq\mu-1$的非零多项式, 所以由(3.10)式得

结合引理2.1和(3.20)-(3.22)式得 $a_0(z)\equiv 0, s=m=1$, 因此

再由$\rho(A_{\mu}f^{(\mu)})<q$得$\lambda_1+\omega_1=0$, 即结论(ii)成立.

情形2 若$\rho(A_{\mu}f^{(\mu)})=q$, 则由方程(1.1)和$T(r, A_j)=S(r, A_\mu)(j\neq \mu)$, 有

再结合(3.23)式和引理2.2得

其中$\psi(z)=A_\mu(z)f^{(\mu)}(z)/f(z), W_\psi=W_{A_{\mu}f^{(\mu)}}\bigcup W_f$. 由(3.9)和$H_{0,0}(z)\not\equiv 0$得

又由(3.20)和(3.22)式得: 当$a_0(z)\equiv0$时, $W_{A_{\mu}f^{(\mu)}}=\{\overline{\omega_l}+\overline{\lambda_j}\}$; 当$a_0(z)\not\equiv 0$时, $W_{A_{\mu}f^{(\mu)}}=\{\overline{\omega_l}, \overline{\omega_l}+\overline{\lambda_j}\}$, 其中$l=1, \cdots, m, j=1, \cdots, s$, 所以

显然$W_f\subset W_\psi$, 所以$co(W_f)\subset co(W_\psi)$. 若$co(W_f)\neq co(W_\psi)$, 则在$co(W_\psi)$中至少存在一点$\overline{\omega_l}+\overline{\lambda_j}$为$co(W_\psi)$的顶点, 从而$C(co(W_\psi))>C(co(W_f))$, 这与(3.24)式矛盾, 因此

我们断言$0,\overline{\omega_1}, \cdots, \overline{\omega_m}$共线. 若不然, 则$co(W_f)$至少有三个顶点, 记$co(W_f)$的顶点为$z_1, \cdots, \\z_k (3\leq k\leq m+1)$, 由于$\lambda_1\neq 0$, 所以必存在某个 $j\in\{1,\cdots, k\}$, 使得$z_j+\overline{\lambda_1}\not\in co(W_f)=co(W_\psi)$, 矛盾. 因此, $0,\overline{\omega_1}, \cdots, \overline{\omega_m}$共线. 再由(3.25)-(3.27)式得$0,\overline{\omega_1}, \cdots, \overline{\omega_m}, \overline{\lambda_1}, \cdots, \overline{\lambda_s}$共线. 不妨设$\omega_1,\cdots, \omega_m,\lambda_1,\cdots, \lambda_s$都位于实轴上, 满足$\omega_1<\cdots<\omega_m, ~ \lambda_1<\cdots<\lambda_s$, 则必有

若不然, 则或者$\omega_m$和$\lambda_s$同号, 或者$\omega_1$和$\lambda_1$同号, 再结合(3.25)和(3.26)式得 $co(W_\psi)\neq co(W_f)$, 这与(3.27)式矛盾. 故(3.28)式成立, 从而$f(z)$与$A_{\mu}(z)$为对偶指数多项式. 证毕.