数学物理学报, 2023, 43(3): 713-732

奇异对流方程组非常弱解的梯度正则性

陈淑红,1,*, 谭忠2

1武夷学院数学与计算机学院 福建武夷山 354300

2厦门大学数学科学学院 福建厦门 361005

Gradient Regularity of Very Weak Solution to Elliptic Equations with Singular Convection

Chen Shuhong,1,*, Tan Zhong2

1School of Mathematics and Computer, Wuyi University,Fujian Wuyishan 354300

2School of Mathematical Science, Xiamen University, Fujian Xiamen 361005

通讯作者: *陈淑红,E-mail: shiny0320@163.com

收稿日期: 2022-04-11   修回日期: 2022-10-19  

基金资助: 国家自然科学基金(11571159)
国家自然科学基金(12231016)
武夷学院引进人才科研启动项目(YJ202118)

Received: 2022-04-11   Revised: 2022-10-19  

Fund supported: NSFC(11571159)
NSFC(12231016)
Foundation of Wuyi University(YJ202118)

摘要

该文主要考虑奇异对流方程组非常弱解的梯度部分正则性. 首先, 结合Lorentz空间及其与Lebesgue 空间之间的关系, 推出奇异对流方程组在 $L^p$ 空间存在非常弱解. 接着, 通过Hodge分解证明 Dirichlet 问题的非常弱解实际上就是古典弱解. 最后, 利用 A - 调和逼近技巧, 建立了奇异对流方程组非常弱解的梯度部分正则性结果, 最重要的是, 由此所得到的正则性结果是最优的.

关键词： 非常弱解; Hodge 分解; 奇异对流; A -调和逼近引理

Abstract

This paper deals with the partial regularity of very weak solutions to elliptic equations with singular convective. By the properties of Lorentz space and its relation to Lebesgue space, we conclude that the elliptic systems with singular convection have very weak solutions in $L^p$ space. Then, it can be found from Hodge decomposition that the very weak solutions of Dirichlet problem are actually the classical weak solutions. Finally, combining with A-harmonic approximation technique, we further find that the obtained weak solution has partial regularity; especially, the regularity is optimal.

Keywords： Very weak solution; Hodge composition; Singular convection; A-harmonic approximation technique

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本文引用格式

陈淑红, 谭忠. 奇异对流方程组非常弱解的梯度正则性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(3): 713-732

Chen Shuhong, Tan Zhong. Gradient Regularity of Very Weak Solution to Elliptic Equations with Singular Convection[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(3): 713-732

1 引言

本文主要考虑下列 Dirichlet 问题非常弱解的光滑性

$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \div \left(A(x, \nabla u)+B(x, u)\right)=\div F,\quad &\hbox{在$ \Omega$上},\quad\quad \\ u(x)=0,\qquad &\hbox {在$\partial\Omega$上}, \end{array}\right. \end{equation}$

其中 $\Omega$ 是 $R^N$ 中的有界区域, $N>2, F\in L^p(\Omega, R^N), 1<p\leq 2$.

为了定义 Dirichlet 问题 (1.1) 的广义弱解, 必须赋予 $A(x, \cdot)$ 和 $B(x, \cdot)$ 适当的结构性条件. 假设 $A: \Omega\times R^{nN}\rightarrow R^{nN}$ 对几乎所有的 $x\in \Omega$ 和任意的 $\xi, \eta\in R^{nN}$ 是 Carathéodory 函数, 且满足下列结构性条件

(A1) 算子 $A(x, \xi)$ 关于变量 $\xi$ 是有界的. 即, 存在常数 $\beta>0$, 使得

$\begin{eqnarray*} \left|A(x, \xi)-A(x, \eta)\right|\leq \beta |\xi-\eta|; \end{eqnarray*}$

(A2) 算子 $A(x, \cdot)$ 是强制性的. 即, 存在常数 $0<\alpha<\beta$, 使得

$\begin{eqnarray*} \alpha|\xi-\eta|^2\leq \langle A(x, \xi)-A(x, \eta), \xi-\eta\rangle; \end{eqnarray*}$

(A3) 算子 $A(x, \cdot)$ 的初值等于 $0$. 即

$\begin{equation} A(x, 0)=0. \end{equation}$

由 (A1), 可以推出存在连续、非负、有界的函数 $\omega (t, s): [0, \infty)\times [0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$, 使得对所有的 $t$, $\omega(t, 0)=0$. 且对固定的 $s$, 映射 $t\rightarrow \omega(t,s)$ 是单调非降函数. 对固定的 $t$, 映射 $s\rightarrow \omega(t, s)$ 是凸的单调非降函数. 并对 $\forall x\in \Omega, p, q\in R^{nN}$, 下列不等式成立.

$\begin{equation} \left|\frac{\partial A}{\partial p}(x, p)-\frac{\partial A}{\partial q}(x, q)\right|\leq \beta \omega(|p|, |p-q|). \end{equation}$

对矢量场 $B: \Omega\times R\rightarrow R^N$, 假设 $B(x, \cdot)$ 是 Carathéodory 函数且满足下列结构性条件.

(B1) 在弱-$L^N(\Omega)$ 空间中存在非负函数 $b: \Omega\rightarrow R_+$, $b(x)\in L^{N, \infty}(\Omega)$, 使得对几乎所有的 $x\in \Omega$ 和任意的 $s, t\in R$, 有

$ \left|B(x, s)-B(x, t)\right|\leq b(x) |s-t|. $

(B2) 矢量场 $B(x, t)$ 的初值等于 $0$. 即

$ B(x, 0)\equiv 0, \quad\quad \hbox{ a.e.在$ \Omega$上}. $

(C) 假设映射 $x\rightarrow F(x)$ 在适当意义下是 Dini 连续函数. 并定义连续模函数

$ \mu(\rho)=\sup\limits_{x, y\in B_\rho}|F(x)-F(y)|, $

满足

$ \int_0^{+\infty}\frac{\mu(\rho)}{\rho}{\rm d}\rho<\infty. $

有了这些结构性条件, 就可以定义奇异对流方程组 (1.1)的非常弱解, 从而分析非常弱解的部分正则性.

正则性问题的研究具有非常重要的意义. 早在1904年的国际数学家大会上, Hilbert提出的23个公开问题中, 其中涉及到解的正则性问题的就有2个; 这充分显示了正则性研究的重要性, 也引起了广大专家学者的关注和研究, 并取得了丰硕的成果[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-9].

这些结果的研究范围涵盖了各种增长条件下的椭圆型方程组[4-5,8-9]、 抛物型方程组[2,6]、拟凸积分极小[1,3]等各种类型的偏微分方程. 虽然这些方程的类型丰富, 但是它们都是具有一般形式的偏微分方程(组).

众所周知, 偏微分方程的应用十分广泛, 在信息通讯、工程技术、生物医学等领域都有涉略, 是解决数学问题和实际问题的一种重要工具. 自然而然的, 仅仅针对具有一般形式的偏微分方程的正则性进行研究已经不能满足广大专家学者的探索欲望了, 他们已经把求知的眼光投向了描述流体、电磁力学等具体形式的偏微分方程. 而流体在流动过程中, 流体微团的定向运动会形成对流, 对流具有强烈的方向性, 是流体真实流动现象的重要特征. 倘若流体在流动的过程中, 瞬时作用力和持续作用力之间发生冲突, 往往会造成奇异现象的产生.

本文所要考虑的正是这种含有奇异对流现象的偏微分方程组非常弱解(1.1)的正则性.

然而, 遗憾的是, 具有具体形式的偏微分方程弱解的存在性需要很多的附加条件. 例如, 对于具有对流性质的椭圆方程, 即齐次的方程组(1.1), 实际上就是Fokker Planck equation, 有关这个方程弱解存在性的定理及其相关问题具体可见文献[10]及其参考文献.

对于具有奇异性质的椭圆方程组, 即当 $b=0$ 时的(1.1)方程组, 则是需要在 $p$ 趋近于 2, 且 $F$ 属于$L^p$ 时, 弱解才存在[11⇓-13].

倘若想要得到具有奇异对流现象的方程组(1.1)的弱解, 不仅需要将 $b$ 限定为属于 $L^N$, 而且还需限定奇异项 divF 属于$L^1$ 或是可测的[14⇓-16], 在相应限定下的其他结果可见文献[17-18].

倘若divF不属于L1或是不可测的, 那么即使 $b=0$, 也无法得到方程组(1.1)弱解的存在性[19]. 然而, 要想建立方程组(1.1)的正则性理论, 又必须得在弱解存在的基础上进行. 可是, 通过现有的研究方法, 我们又无法获得方程组(1.1)弱解的存在性.

幸运的是1994年, Iwaniec和Sobordone在分析一般形式椭圆型方程组解的性质时偶然发现[20] 在积分意义下, 弱解广义积分的可积指数竟然可以低至自然指标 $p-1$, 并提出了非常弱解这一概念.

受到这一定义的启发, Greco等人利用不定点定理证明了具有奇异对流的椭圆方程组(1.1)非常弱解的存在性[19]. 本文正是在此基础上, 继续探讨偏微分方程组(1.1)解的正则性.

首先, 利用Hodge分解证明了方程组(1.1)的非常弱解和经典意义下弱解的关系. 接着, 结合Hodge分解和A -调和逼近技巧, 建立了方程组(1.1)的非常弱解的部分正则性结果, 尤其重要的是, 因此所得到的正则性结果是最优的. 具体结果如下.

${\bf定理1.1}$ 假设结构性条件(A1)-(A3) 和 (B1)-(B2) 成立. 函数 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $\frac{2N}{N+2}\leq p\leq 2$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 的非常弱解. 则函数 $u\in W^{1, 2}(\Omega), F\in W^{1,2}(\Omega)$.

进一步, 可以得到如下定理.

${\bf定理1.2}$ 假设结构性条件 (A1)-(A3), (B1)-(B2) 和 (C) 成立. 函数 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $\frac{2N}{N+2}\leq p\leq 2$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 的非常弱解. 则存在开集 $\Omega_0\subset \Omega$ 使得

$ u(x)\in C_0^{1, 1}(\Omega_0, R^N). $

而且

$ \Omega\backslash \Omega_0=\Sigma_1\cup \Sigma_2, $

其中

$ \Sigma_1=\left\{x_0\in \Omega: \lim\limits_{\rho\rightarrow 0^+} \sup\left(|u_{x_0, \rho}|+|(\nabla u)_{x_0, \rho}|\right)=\infty\right\}, $
$ \Sigma_2=\left\{x_0\in \Omega: \lim\limits_{\rho\rightarrow 0^+} \inf\int\left|\nabla u-(\nabla u)_{x_0, \rho}\right|^2{\rm d}x>0\right\}, $

且

$ {\rm meas}|\Omega\backslash\Omega_0|=0. $

2 基本引理

这部分主要介绍证明主要结果时需要用到的基本定义和引理. 首先要叙述的是 A -调和逼近引理以及来自 Campanato[21-22]的相关结果.

${\bf引理2.1}$ (文献[5] A -调和逼近引理) 考虑固定的常数 $\lambda, L$, 和 $n,N\in {\cal N}$ 且 $n\geq 2$. 对任意给定的 $\varepsilon >0$, 存在具有下列性质的常数 $\delta=\delta(n,N,\lambda,L, \varepsilon)\in(0,1]$: 对任意满足下列不等式的 $A\in Bil(R^{nN})$

$\begin{equation} A(\nu,\nu)\geq \lambda |\nu|^2 \quad \hbox{对所有的} \hskip 4pt \nu \in R^{nN} \end{equation} $

和

$\begin{equation} |A(\nu,\bar{\nu})|\leq L|\nu||\bar{\nu}| \quad \hbox{对所有的} \hskip 4pt \nu, \bar{\nu} \in R^{nN}, \end{equation}$

以及满足下列不等式的函数 $g\in H^{1,2}(B_\rho (x_0),R^N)$ ($\rho >0,\hskip 4pt x_0\in R^n$)

$\begin{equation} \rho ^{-n} \int_ {B_\rho (x_0)}|Dg|^2{\rm d}x\leq 1 \end{equation}$

和

$\begin{equation} \left| \rho ^{-n} \int_ {B_\rho (x_0)} A(Dg,D\varphi ){\rm d}x \right| \leq \delta \sup \limits_{B_\rho(x_0)}|D\varphi | \quad \quad \hbox{对所有的} \hskip 4pt \varphi \in C_0^1 (B_\rho (x_0),R^N). \end{equation}$

则存在 A -调和函数

$ h \in H=\bigg\{ w\in H^{1,2}(B_\rho (x_0),R^N) \left| \rho ^{-n} \int_ {B_\rho (x_0)}|Dw|^2{\rm d}x \leq1 \bigg\},\right. $

使得

$\begin{equation} \rho ^{-n-2} \int _{B_\rho (x_0)} |h -g| ^2 {\rm d}x \leq \varepsilon. \end{equation}$

${\bf引理2.2}$[21-22] 对引理2.1中的 $A$, $\lambda$ 和 $L$. 存在仅依赖于 $n$, $N$, $\lambda$ 和 $L$ (不失一般性, 令 $C_0 \geq 1$)的常数 $C_0$, 使得 $B_\rho (x_0)$ 上的任意 $A$-调和逼近函数 $h$ 满足

$\begin{eqnarray*} \rho ^2 \sup \limits_{B_{\frac{\rho}{2}}(x_0)}|Dh|^2 + \rho ^4 \sup \limits_{B_{\frac{\rho}{2}}(x_0)}|D^2h|^2 \leq C_0 \rho ^{2-n} \int _{B_\rho (x_0)} |Dh| ^2 {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

为了建立适当的 Caccioppoli 不等式, 还需要下列引理.

${\bf引理2.3}$[23] 设 $u(x)\in L^p(B_R), B_R\subset\Omega, f\in L^t(B_R), t>p$, 且对 $1\leq s < p, 0\leq \theta\leq 1$, 下列不等式成立

$\begin{eqnarray*} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R\over 2}}|u|^p{\rm d}x\leq K\left(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}|u|^s{\rm d}x\right)^{p\over s} +\theta -\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}|u|^p{\rm d}x+-\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}|f|^p{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

则存在积分系数 $p' =p' (K, n, p, \theta), (t\geq p' > p)$, 使得 $u\in L_{loc}^{p' }(\Omega),$ 且对常数 $C' =C' (n, p, K, \theta)$, 有

$ \bigg(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R\over 2}}|u|^{p' }{\rm d}x\bigg)^{1\over {p' }}\leq C' \left(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}|u|^p{\rm d}x\right)^{1\over p} +C' \left(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}|f|^{p' }{\rm d}x\right)^{1\over {p' }}. $

接着继续介绍有关 Hodge 分解的不等式.

${\bf引理2.4}$[20] 设 $X$, $Y$ 是内积空间中的矢量. 则当 $-1<\varepsilon\leq 0$ 时, 有

$\begin{eqnarray*} \left||X|^\varepsilon X-|Y|^\varepsilon Y\right|\leq\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}2^{-\varepsilon}|X-Y|^{1+\varepsilon}, \end{eqnarray*}$

当 $\varepsilon\geq 0$ 时, 有

$ \left||X|^\varepsilon X-|Y|^\varepsilon Y\right|\leq{1+\varepsilon}\left(|Y|+|X-Y|\right)^\varepsilon|X-Y|. $

Hodge 分解是构建非常弱解正则性结果的重要工具, 下面就来介绍 Hodge 分解引理.

${\bf引理2.5}$[24] 设 $\Omega\subset R^N$ 是正则区域, $\omega\in W_0^{1, r}(\Omega, R^N), r>1$, 且令 $-1<\varepsilon<r-1$. 则存在函数 $\phi\in W_0^{1, \frac{r}{1+\varepsilon}}(\Omega, R^N)$ 和自由散度矩阵场 $H\in L^{\frac{r}{1+\varepsilon}}(\Omega, R^{nN})$ 使得

$\begin{equation} |\nabla \omega|^\varepsilon\nabla\omega=\nabla\phi+H. \end{equation}$

且

$\begin{equation} \|H\|_{\frac{r}{1+\varepsilon}}\leq C_r(\Omega, m)|\varepsilon|\|\nabla\omega\|_r^{1+\varepsilon}. \end{equation}$

这个引理最重要的是当中的 $\varepsilon$ 是负数. 因此, 若函数 $u\in W_{loc}^{1, r}(\Omega, R^N)$, 则可对 $\omega=u-u_0$ 和 $\varepsilon=r-p$ 应用估计式 (2.4). 注意到 $\nabla\phi\in L^{\frac{r}{r-p+1}}(\Omega, R^{nN})$, 因此函数 $\phi$ 可被选取为非常弱解定义中的检验函数.

下一个引理就要接着介绍弱解和非常弱解的定义.

${\bf定义2.1}$ (非常弱解) 若对所有的检验函数 $\phi(x)\in C_0^\infty(\Omega)$, 函数 $u(x)\in W^{1, p}(\Omega)$, ($\max\{1, p_0\}\leq p < 2$) 使得积分等式

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}\langle A(x, \nabla u)+B(x, u), \nabla\varphi \rangle {\rm d}x=\int_{\Omega}\langle F, \nabla\varphi \rangle {\rm d}x \end{eqnarray*}$

恒成立, 则称函数 $u(x)\in W^{1, p}(\Omega)$, ($\max\{1, p_0\}\leq p < 2$) 为方程组 (1.1) 的非常弱解.

${\bf定义2.2}$ (弱解) 若对所有的检验函数 $\varphi\in C_0^\infty(\Omega, R^N)$, 函数 $u(x)\in W^{1, 2}(\Omega, R^N)$ 使得积分等式

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}\langle A(x, \nabla u)+B(x, u), \nabla\varphi \rangle {\rm d}x=\int_{\Omega}\langle F, \nabla\varphi \rangle {\rm d}x \end{eqnarray*}$

恒成立, 则称函数 $u(x)\in W^{1, 2}(\Omega, R^N)$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 的弱解.

最后, 给出的是 Lorentz 空间及其性质的定义.

${\bf定义2.3}$ (文献[25] Lorentz 空间) 若对 $1<p, q<+\infty$, 具有模

$\begin{eqnarray*} \|g(x)\|_{p, q}^p=p\int_0^{+\infty}|\Omega_t|^{\frac{p}{q}}t^{p-1}{\rm d}t<+\infty \end{eqnarray*}$

的所有可测函数 $g(x)$ 的集合, 称为 Lorentz 空间 $L^{p, q}(\Omega)$. 其中 $\Omega_t=\left\{x\in\Omega: |g(x)|>t\right\}$ 且 $|\Omega_t|$ 为 $\Omega_t$ 的 Lebesgue 测度.

${\bf注2.1}$ 注意到 $\|\cdot\|_{p, q}$ 是模, 则由嵌入定理[25], 可以发现 $L^{p, q}$ 可嵌入到Banach 空间.

${\bf注2.2}$ 由 Lorentz 空间的定义可以发现, 若 $p=q$, 则 Lorentz 空间 $L^{p, p}(\Omega)$ 即为标准的 Lebesgue 空间 $L^p(\Omega)$. 若 $q=\infty$, 则 $L^{p, \infty}(\Omega)$ 是使得

$ \|g(x)\|_{p, \infty}^p=\sup\limits_{t>0}t^p|\Omega_t|<+\infty $

的定义在 $\Omega$ 上的所有可测函数 $g(x)$, 且是 Marcinkiewicz 类的弱-$L^p(\Omega)$.

${\bf引理2.6}$[25] 当 $1\leq q<p<r\leq+\infty$ 时, Lorentz 空间满足下列包含关系

$ L^r(\Omega)\subset L^{p, q}(\Omega)\subset L^{p, r}(\Omega)\subset L^{p, \infty}(\Omega)\subset L^q(\Omega). $

${\bf引理2.7}$[25] (非常弱解的存在性定理) 假设结构性条件 (A1)-(A3) 和 (B1)-(B2) 成立. 则在 $L^{N, \infty}(\Omega)$, $\frac{2N}{N+2}\leq p_0<2, p_0=p_0(\alpha, \beta, N)$ 中存在子集 $X(\Omega)$ 使得若

$ b(x)\in X(\Omega), $

则对任意的 $p_0\leq p\leq2$, Dirichlet 问题 (1.1) 存在唯一的非常弱解 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$.

根据 Lorentz 空间的性质, 我们可以推出非常弱解的存在性定理. 由引理 2.9, 进一步可以推出当 $p<N$ 时, 有 $L^{N, \infty}(\Omega)\subset L^p(\Omega)$. 由此可推出如下结果.

${\bf引理2.8}$[19] (非常弱解存在性定理的推论) 设结构性条件 (A1)-(A3) 和 (B1)-(B2) 成立. 若 $b(x)\in L^p(\Omega)$, 则存在系数 $\frac{2N}{N+2}\leq p_0<2, p_0=p_0(\alpha, \beta, N)$, 使得对任意的 $p_0\leq p\leq 2$, Dirichlet 问题 (1.1) 存在唯一的非常弱解 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$.

3 Caccioppoli 第二不等式

有了非常弱解的存在性定理以及相关的引理及其性质, 接着就可以建立适当的 Caccioppoli 第二不等式, 该不等式是部分正则性证明的关键步骤.

${\bf定理3.1}$

设函数 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $\frac{2N}{N+2}\leq p\leq 2$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 在结构性条件 (A1)-(A3) 和 (B1)-(B2) 下的非常弱解. 则对 $x_0\in \Omega, u_0\in R^N, \xi_0\in R^{nN}$ 和任意的 $\rho, R: 0<\rho < R < \min \left\{1, {\rm dist} (x_0, \partial\Omega)\right\}$, 函数 $u\in W_0^{1, 2}(\Omega)$ 实际上就是 Dirichlet 问题 (1.1) 的古典弱解.

${\bf证}$ 选取适当的截断函数 $\eta\in C_0^\infty(B_R(x_0))$ 使得在 $B_{R/2}(x_0)$ 上, $\eta\equiv 1$, 在 $B_R(x_0)$ 上, $0\leq \eta \leq 1$, 且 $|\nabla \eta| \leq \frac{C}{R}$.

设函数 $u\in W_0^{1, 2-\varepsilon}(\Omega)$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 的非常弱解. 则对任意常数 $x_0\in\Omega, u_0\in R^N, $$p_0\in R^{nN}$, 可以推出

$\begin{equation} v(x)=u(x)-u_0-p_0(x-x_0)\in W^{1, 2-\varepsilon}(\Omega). \end{equation}$

于是由引理 2.5, 选取 $0< \varepsilon < \frac{1}{2}, \omega=\eta v(x), r=2-\varepsilon$, 由 Hodge 分解定理可以得到

$\begin{equation} \left|\nabla(\eta v)\right|^{-\varepsilon}\nabla(\eta v)=\nabla \phi +H,\quad \quad \phi \in W_0^{1, \frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}(\Omega), \end{equation}$

其中 $H \in L^{\frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}(\Omega)$ 是散度为零的矢量场, 且满足不等式

$\begin{equation} \|\nabla\phi\|_{\frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}\leq c(n)\|\nabla (\eta v)\|_{2-\varepsilon}^{1-\varepsilon}, \end{equation}$
$\begin{equation} \|H\|_{\frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}\leq c(n)\varepsilon\|\nabla (\eta v)\|_{2-\varepsilon}^{1-\varepsilon}. \end{equation}$

令

$\begin{equation} E(\eta, v)=\left|\nabla(\eta v)\right|^{-\varepsilon}\nabla(\eta v)- \left|\eta\nabla v\right|^{-\varepsilon}\eta\nabla v, \end{equation}$

由引理 2.4 中的基本不等式

$ \left| |X|^{-\varepsilon}X-|Y|^{-\varepsilon}Y\right|\leq 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}|X-Y|^{1-\varepsilon}, $

可以推出

$\begin{equation} |E(\eta, v)|\leq 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} \left|\nabla(\eta v)-\eta\nabla v\right|^{1-\varepsilon} =2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}|v \nabla\eta|^{1-\varepsilon}. \end{equation}$

结合 (3.2) 和 (3.5)式, 可以发现

$\begin{equation} \nabla\phi=E(\eta, v)+\left|\eta\nabla v\right|^{-\varepsilon}\eta\nabla v-H. \end{equation}$

由引理 2.8, 假设函数 $u\in W_0^{1, 2-\varepsilon}(\Omega)$ 和 $u_0+p_0(x-x_0)\in W_0^{1, 2-\varepsilon}(\Omega)$ 分别是下列问题的非常弱解.

$ \left\{\begin{array}{ll} \div \left(A(x, \nabla u)+B(x, u)\right)=\div F,\quad &\hbox{在$ \Omega$上}, \\ u(x)=0,\qquad &\hbox {在$ \partial\Omega$上} \end{array}\right. $

和

$ \left\{\begin{array}{ll} \div \left(A(x, p_0)+B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right)=\div G,\quad &\hbox{在$ \Omega$上}, \\ u_0+p_0(x-x_0)=0,\qquad &\hbox {在$ \partial\Omega$上}, \end{array}\right. $

其中函数 $F\in L^{2-\varepsilon}(\Omega), G\in L^{2-\varepsilon}(\Omega)$.

由非常弱解的定义可以发现对 $\forall \varphi \in C_0^\infty (\Omega)$, 下列积分等式成立.

$\begin{equation} \int_{B_R(x_0)}\langle A(x, \nabla u)+B(x, u), \nabla\varphi \rangle {\rm d}x=\int_{B_R(x_0)}\langle F, \nabla\varphi \rangle {\rm d}x \end{equation}$

和

$\begin{equation} \int_{B_R(x_0)}\langle A(x, p_0)+B(x, u_0+p_0(x-x_0)), \nabla\varphi \rangle {\rm d}x=\int_{B_R(x_0)}\langle G, \nabla\varphi \rangle {\rm d}x. \end{equation}$

两式相减, 可得

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot \nabla\varphi {\rm d}x\nonumber\\ &=&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \nabla\varphi {\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \nabla\varphi {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

选取 Hodge 分解中的函数 $\phi$ 为方程 (3.10) 中的检验函数 $\varphi$, 则

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot \left|\eta\nabla v\right|^{-\varepsilon}\eta\nabla v {\rm d}x\\ &=&\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot H{\rm d}x -\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot E(\eta, v){\rm d}x\\ &&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \left|\eta\nabla v\right|^{-\varepsilon}\eta\nabla v {\rm d}x\\ &&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot H {\rm d}x\\ &&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot E(\eta, v){\rm d}x\\ &&+\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \left|\eta\nabla v\right|^{-\varepsilon}\eta\nabla v {\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot H{\rm d}x\\ &&+ \int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot E(\eta, v){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

结合结构性条件 (A1)-(A3) 和 (B1)-(B2), 并注意到 $\nabla v=\nabla u-p_0$, 可以发现

$\begin{eqnarray*} &&\alpha\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \beta \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|\cdot |H|{\rm d}x + \beta \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|\cdot |E(\eta, v)|{\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|\eta\nabla v|^{1-\varepsilon}{\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|H|{\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|E(\eta, v)|{\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot|\eta\nabla v|^{1-\varepsilon}{\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot|H|{\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot|E(\eta, v)|{\rm d}x\nonumber\\ &=&\sum\limits_{i=1}\limits^{8} I_i. \end{eqnarray*}$

根据 Hölder 不等式, 估计式(3.4) 以及 Young 不等式, 可以推出

$\begin{eqnarray*} I_1 &=&\beta \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|\cdot |H|{\rm d}x\\ &\leq&\beta\bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|H|^{\frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq&\beta C(n, 2)\varepsilon\bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla(\eta v)|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq& 2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\beta\varepsilon \int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \\ &&+ 2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\beta\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|v \nabla\eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq& 2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\beta\varepsilon \int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x+ 2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\beta\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\beta\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

由不等式 (3.6) 和 Young 不等式, 可以估计 $I_2$.

$\begin{eqnarray*} I_2&=&\beta \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|\cdot |E(\eta, v)|{\rm d}x\\ &\leq& 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\beta \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|\cdot |v \nabla\eta|^{1-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq& 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\beta\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\beta C(\varepsilon) \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

依次应用 Young 不等式, Hölder 不等式以及嵌入定理, 并注意到 $v\in W_0^{1, 2-\varepsilon}(\Omega)$, 可以推出

$\begin{eqnarray*} I_3&=&\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|\eta\nabla v|^{1-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq&\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\eta\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C(\varepsilon)\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^{2-\varepsilon} \cdot\left|\frac{v}{R}\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq&\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\eta\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C(\varepsilon)\bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{2-\varepsilon}{N}} \\ &&\cdot\bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\frac{v}{R} \right|^{\frac{N(2-\varepsilon)}{N-(2-\varepsilon)}}{\rm d}x \bigg)^{\frac{N-(2-\varepsilon)}{N}}\\ &\leq&\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\eta\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C(\varepsilon)\bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{2-\varepsilon}{N}} \cdot\bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v \right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \bigg)\\ &\leq&\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\eta\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C(\varepsilon, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

再次结合 Hölder 不等式, Soboev 嵌入定理, Young 不等式以及估计式 (3.4), 可得

$\begin{eqnarray*} I_4&=&\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|H|{\rm d}x\\ &\leq& \bigg(\int_{B_R(x_0)}(b(x)R)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\frac{v}{R}\right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N-(2-\varepsilon)}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-(2-\varepsilon)}{N(2-\varepsilon)}}\\ &&\cdot \bigg(\int_{B_R(x_0)}|H|^{\frac{2-\varepsilon}{1-\varepsilon}}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq &C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}}\\ &&\cdot\bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla(\eta v)|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq& 2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \\ &&\cdot\bigg(\int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x \bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq &2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg) \bigg(\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{2-\varepsilon}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq &2^{2-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg) \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq& 2^{2-\varepsilon}C(n, 2, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})\varepsilon \int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x +2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v\right|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

选取 $p' =\frac{N(2-\varepsilon)}{N+1-\varepsilon}<2-\varepsilon, \frac{Np' }{N-p' }=\frac{N(2-\varepsilon)}{N-1}$, 依次应用估计式 (3.6), Hölder 不等式, Sobolev 嵌入定理以及 Young 不等式, 可得

$\begin{eqnarray*} I_5&=&\int_{B_R(x_0)}b(x)|v(x)|\cdot|E(\eta, v)|{\rm d}x\\ &\leq &\int_{B_R(x_0)}b(x)R\left|\frac{v}{R}\right||v \nabla\eta|^{1-\varepsilon}{\rm d}x =C\int_{B_R(x_0)}b(x)R|v \nabla\eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq& C \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|v \nabla\eta\right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-1}{N}}\\ &\leq& C \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v \right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N+1-\varepsilon}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N+1-\varepsilon}{N}}\\ &\leq &C \int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x +C(\|v\|_{W^{1, p' }}) \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v \right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N+1-\varepsilon}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N+1-\varepsilon}{N}}. \end{eqnarray*}$

接着, 由 Young 不等式, 可以推出

$\begin{eqnarray*} I_6&=&\int_{B_R(x_0)}|F-G|\cdot|\eta\nabla v|^{1-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq& \varepsilon \int_{B_R(x_0)}|\eta\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C(\varepsilon)\int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

再次结合 Hölder 不等式, Young 不等式以及估计式 (3.4), 可得

$\begin{eqnarray*} I_7&=&\int_{B_R(x_0)}|F-G|\cdot|H|{\rm d}x\\ &\leq& \bigg(\int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|H|^{\frac{2-\varepsilon} {1-\varepsilon}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq& C(n, 2)\varepsilon \bigg(\int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2-\varepsilon}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla(\eta v)|^{2-\varepsilon} {\rm d}x\bigg)^{\frac{1-\varepsilon}{2-\varepsilon}}\\ &\leq& C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\eta \nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+2^{1-\varepsilon}C(n, 2)\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

应用估计式 (3.6) 和 Young 不等式, 可以推出

$\begin{eqnarray*} I_8&=&\int_{B_R(x_0)}|F-G|\cdot|E(\eta, v)|{\rm d}x \leq 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} \int_{B_R(x_0)}|F-G|\cdot|v\nabla\eta|^{1-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq& 2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} \int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} \int_{B_R(x_0)}|v\nabla\eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

将估计式 $I_1, I_2, \cdots, I_8$ 代入不等式 (3.11), 可得

$\begin{eqnarray*} &&\alpha\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq&\left[2)(\beta+2)+2\right]\varepsilon \int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+\left[2)(\beta+1)+2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon} {1-\varepsilon}\beta+1\right]\varepsilon \int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+\left[2)(\beta+2)\varepsilon +2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}(\beta C(\varepsilon)+1)\right] \int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+C(\|v\|_{W^{1, p' }}) \bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v \right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N+1-\varepsilon}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N+1-\varepsilon}{N}}\\ &&+\left[C(\varepsilon, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})+2^{2-\varepsilon}C(n, 2, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})\varepsilon+C\right] \int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x\\ &&+\left[C(\varepsilon)+C(n, 2)\varepsilon+2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right] \int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &\leq &C_1\varepsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^{1-\varepsilon}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C_2\varepsilon\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^{2-\varepsilon}{\rm d}x\\ &&+C_3\int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^{2-\varepsilon}{\rm d}x +C_4\bigg(\int_{B_R(x_0)}\left|\nabla v \right|^{\frac{N(2-\varepsilon)} {N+1-\varepsilon}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N+1-\varepsilon}{N}}\\ &&+C_5\int_{B_R(x_0)}\left(b(x)R\right)^N{\rm d}x +C_6\int_{B_R(x_0)}|F-G|^{2-\varepsilon}{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

其中

$\begin{eqnarray*} &&C_1=2^{1-\varepsilon}C(n, 2)(\beta+2)+2,\\ &&C_2=2^{1-\varepsilon}C(n, 2)(\beta+1)+2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon} {1-\varepsilon}\beta+1,\\ &&C_3=2^{1-\varepsilon}C(n, 2)(\beta+2)\varepsilon +2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}(\beta C(\varepsilon)+1),\\ &&C_4=C(\|v\|_{W^{1, p' }}),\\ &&C_5=C(\varepsilon, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})+2^{2-\varepsilon}C(n, 2, \|v\|_{W^{1, 2-\varepsilon}})\varepsilon+C,\\ &&C_6=C(\varepsilon)+C(n, 2)\varepsilon+2^\varepsilon\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$

选取 $\varepsilon$ 充分小, 使得$ \alpha>(C_1+C_2)\varepsilon. $

则由引理 2.3 可以得到, 存在系数 $q>2-\varepsilon$, 使得 $u\in W_0^{1, q}(\Omega)$. 无限次地重复上述过程之后可以得到 $u\in W_0^{1, 2}(\Omega)$. 接着由椭圆方程的 $L^p$ 理论, 可以推出 $F\in L^2(\Omega)$. 证毕.

${\bf定理3.2} $ (Caccioppoli 第二不等式) 设 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$, $\frac{2N}{N+2}\leq p\leq 2$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 在结构性条件 (A1)-(A3), (B1)-(B2) 和 (C) 下的非常弱解. 则对 $x_0\in \Omega, u_0\in R^N, \xi_0\in R^{nN}$ 和任意的 $\rho, R: 0<\rho < R < \min \left\{1, {\rm dist} (x_0, \partial\Omega)\right\}$, 下列不等式成立,

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-\xi_0|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \frac{C_7}{R^2}\int_{B_\rho(x_0)}|u(x)-p_0(x-x_0)|^2{\rm d}x +C_8\alpha_nR^{2N}\left[\mu^2(\rho)+\|b(x)\|_{L^N}^N\right] +C_9\alpha_nR^N\mu^2(\rho),\\ \end{eqnarray*}$

其中常数$C_7, C_8$ 和 $C_9$ 仅依赖于 $\alpha, \beta$ 和 $C(n, 2)$.

${\bf证}$ 选取截断函数 $\eta\in C_0^\infty(B_R(x_0))$ 使得在 $B_{R/2}(x_0)$ 上, $\eta\equiv 1$, 在 $B_R(x_0)$ 上, $0\leq \eta \leq 1$, 且 $|\nabla \eta| \leq \frac{C}{R}$. 注意到, 根据定理3.1, 可以发现非常弱解 $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$ 实际上就是Dirichlet 问题 (1.1) 的古典弱解, 即 $u\in W_0^{1, 2}(\Omega)$.

为了得到适当形式的 Caccioppoli 第二不等式, 选取函数 $\varphi=\eta^2 v$ 为方程 (3.10) 的检验函数.

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot \nabla(\eta^2 v) {\rm d}x\nonumber\\ &=&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \nabla (\eta^2 v){\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \nabla(\eta^2 v) {\rm d}x.\\ \end{eqnarray*}$

则由结构性条件 (A1)-(A3) 和 (B1)-(B2), 可得

$\begin{eqnarray*} \alpha\int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x &\leq& \int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot \eta^2\nabla v{\rm d}x \nonumber\\ &=& -\int_{B_R(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \nonumber\\ &&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \eta^2\nabla v{\rm d}x \nonumber\\ &&-\int_{B_R(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \eta^2\nabla v{\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \beta\int_{B_R(x_0)}|\nabla v| \cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}b(x)|v|\eta^2\nabla v{\rm d}x \nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}b(x)|v|\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \nonumber\\ &&+\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \eta^2\nabla v{\rm d}x +\int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \nonumber\\ &=&\sum\limits_{i=1}\limits^{5}J_i. \end{eqnarray*}$

应用 Young 不等式, 可以估计

$\begin{eqnarray*} J_1=\beta\int_{B_R(x_0)}|\nabla v| \cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \leq\epsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x +\frac{\beta^2}{\epsilon}\int_{B_R(x_0)}|v \nabla\eta|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

类似于 $I_3$ 的估计, 可以推出 $J_2$ 和 $J_3$ 的估计. 即

$\begin{eqnarray*} J_2&=&\int_{B_R(x_0)}b(x)|v|\eta^2\nabla v{\rm d}x\\ &\leq& \eta^2 \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\frac{v}{R}|^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-2}{2N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& \eta^2 \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& \eta^2 \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-1}{N}}\\ &\leq& \epsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x +C(\epsilon, \|v\|_{W_0^{1, 2}})R^N\int_{B_R(x_0)}\eta^2b^N{\rm d}x \end{eqnarray*}$

和

$\begin{eqnarray*} J_3& =&\int_{B_R(x_0)}b(x)|v|\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x\\ &\leq& 2\eta \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\frac{v}{R}|^{\frac{2N}{N-2}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-2}{2N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|v \nabla \eta|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& 2\eta \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& 2\eta \bigg(\int_{B_R(x_0)}|bR|^N{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{N}} \bigg(\int_{B_R(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{N-1}{N}}\\ &\leq& \epsilon\int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x +C(\epsilon, \|v\|_{W_0^{1, 2}})R^N\int_{B_R(x_0)}b^N{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

接着由 Hölder 不等式, 得

$\begin{eqnarray*} J_4= \int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot \eta^2\nabla v{\rm d}x \leq \frac{1}{2\alpha}\int_{B_R(x_0)}\eta^2|F-G|^2{\rm d}x + \frac{\alpha}{2}\int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

最后, 由 Young 不等式, 得

$\begin{eqnarray*} J_5= \int_{B_R(x_0)}\left[F-G\right]\cdot 2\eta v\nabla\eta {\rm d}x \leq \int_{B_R(x_0)}\eta^2|F-G|^2{\rm d}x + \int_{B_R(x_0)}|v\nabla \eta|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

将估计式 $J_1$-$J_5$ 代入 (3.14)式, 得

\begin{eqnarray*} &&\alpha \int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x -\left(\frac{\alpha}{2}+3\epsilon\right) \int_{B_R(x_0)}\eta^2|\nabla v|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq &\left(\frac{\beta^2}{\epsilon}+1\right)\int_{B_R(x_0)}|v \nabla\eta|^2{\rm d}x +2C(\epsilon, \|v\|_{W_0^{1, 2}})R^N\int_{B_R(x_0)}b^N{\rm d}x\nonumber\\ &&+\left(\frac{1}{2\alpha}+1\right) \int_{B_R(x_0)}\eta^2|F-G|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}

将不等式 (3.15) 左边的积分区域缩小为 $B_{\frac{R}{2}}(x_0)$, 并令 $\epsilon>0$ 充分小, 使得

$ \frac{\alpha}{2}-3\epsilon>0, $

则

$ \int_{B_{\frac{R}{2}}(x_0)}|\nabla v|^2{\rm d}x \leq C_7\int_{B_R(x_0)}|v \nabla\eta|^2{\rm d}x +C_8R^N\int_{B_R(x_0)}b^N{\rm d}x +C_9\int_{B_R(x_0)}|F-G|^2{\rm d}x, $

其中

$\begin{eqnarray*} &&C_7=\frac{2}{\alpha-6\epsilon}\cdot\left(\frac{\beta^2}{\epsilon}+1\right),\\ &&C_8=\frac{2}{\alpha-6\epsilon}\cdot 2C(\epsilon, \|v\|_{W_0^{1, 2}}),\\ &&C_9=\frac{2}{\alpha-6\epsilon}\cdot\left(\frac{1}{2\alpha}+1\right). \end{eqnarray*} $

定理 3.2 即证.

4 衰减估计

本节主要建立部分正则性证明的关键工具—衰减估计. 这里是用A-调和逼近方法来证明非常弱解的最优部分正则性结果的,因此,需要先构建满足 A-调和逼近引理条件的引理.

${\bf引理4.1}$ 设函数 $u\in W_0^{1, 2}(\Omega)$ 是 Dirichlet 问题 (1.1) 在结构性条件 (A1)-(A3), (B1)-(B2) 和 (C) 下的弱解. 则对任意给定的常数 $x_0\in R, u_0\in R^N, p_0\in R^{nN}$, 令 $v(x)=u(x)-u_0-p_0(x-x_0)$, $0<\rho<R<\min\{1, {\rm dist}(x_0, \partial\Omega)\}$ 且对任意的 $\varphi\in C_0^\infty(B_\rho(x_0), R^N)$ 满足 $\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|\leq 1$, 存在不等式

$\begin{eqnarray*} &&\rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x_0, p_0)(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\nonumber\\ &\leq& C_{10}\left[\Phi(x_0, \rho, p_0)+\omega(|p_0|, \Phi(x_0, \rho, p_0))\Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)+\rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2+\mu_{F-G}(\rho)\right] \cdot\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|,\\ \end{eqnarray*}$

其中$ \Phi(x_0, \rho, p_0)=-\!\!\!\!\!\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x. $

${\bf证}$ 结合牛顿莱布尼兹公式和方程 (3.10), 有

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_\rho(x_0)}\left[\int_0^1\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0+t(\nabla u-p_0)){\rm d}t(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x \nonumber\\ &=&\int_{B_\rho(x_0)}\left[A(x, \nabla u)-A(x, p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x \nonumber\\ &=&-\int_{B_\rho(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \nabla\varphi {\rm d}x+\int_{B_\rho(x_0)}(F-G)\cdot\nabla \varphi {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

注意到对任意的变量 $t$, $\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0)$ 是常数. 对 (4.2) 式重新整理, 得

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0)(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x \nonumber\\ &=&\int_{B_\rho(x_0)}\int_0^1\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0){\rm d}t (\nabla u-p_0)\cdot\nabla\varphi {\rm d}x \nonumber\\ &=&\int_{B_\rho(x_0)}\left[\int_0^1\left(\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0)-\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0+t(\nabla u-p_0))\right){\rm d}t(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x \nonumber\\ &&-\int_{B_\rho(x_0)}\left[B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right]\cdot \nabla\varphi {\rm d}x+\int_{B_\rho(x_0)}(F-G)\cdot\nabla \varphi {\rm d}x \nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{i=1}\limits^{3}K_i\cdot\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|. \end{eqnarray*}$

结合条件 (1.3), Hölder 不等式和 Jensen 不等式, 可以推出

$\begin{eqnarray*} K_1&\leq& \int_{B_\rho(x_0)}\left[\int_0^1\left|\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0)-\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0+t(\nabla u-p_0))\right|{\rm d}t(\nabla u-p_0)\right] {\rm d}x\\ &\leq& 2\beta\int_{B_\rho(x_0)}\int_0^1\omega(|p_0|, |\nabla u-p_0|){\rm d}t|\nabla u-p_0|{\rm d}x\\ &\leq& 2\beta\int_{B_\rho(x_0)}\omega(|p_0|, |\nabla u-p_0|)|\nabla u-p_0|{\rm d}x\\ &\leq& 2\beta\bigg(\int_{B_\rho(x_0)}\omega^2(|p_0|, |\nabla u-p_0|){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& 2\beta\alpha_n\rho^N\omega(|p_0|, -\!\!\!\!\!\!\int|\nabla u-p_0|{\rm d}x)\bigg(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& 2\beta\alpha_n\rho^N\omega\bigg(|p_0|, \bigg(-\!\!\!\!\!\!\int|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg) \bigg(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& 2\beta\alpha_n\rho^N\omega\left(|p_0|, \Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)\right)\Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0), \end{eqnarray*}$

其中 $ \Phi(x_0, \rho, p_0)=-\!\!\!\!\!\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u-p_0|^2{\rm d}x. $

由结构性条件 (B1) 和 (B2), Hölder 不等式, Paincare 不等式以及 Young 不等式, 还可得到如下估计

$\begin{eqnarray*} K_2&\leq&\int_{B_\rho(x_0)}\left|B(x, u)-B(x, u_0+p_0(x-x_0))\right|{\rm d}x\\ &\leq &\int_{B_\rho(x_0)} |b(x)\rho| \cdot \left|\frac{u-u_0-p_0(x-x_0)}{\rho}\right|{\rm d}x\\ &\leq &\bigg(\int_{B_\rho(x_0)} |b(x)\rho|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int_{B_\rho(x_0)}\left|\frac{u-u_0-p_0(x-x_0)}{\rho} \right|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &\bigg(\int_{B_\rho(x_0)} |b(x)\rho|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int_{B_\rho(x_0)}\left|\nabla u-p_0 \right|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &\int_{B_\rho(x_0)} |b(x)\rho|^2{\rm d}x +\int_{B_\rho(x_0)}\left|\nabla u-p_0 \right|^2{\rm d}x\\ &\leq &\alpha_n\rho^N\left[\Phi(x_0, \rho, p_0)+\rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2\right]. \end{eqnarray*}$

由条件 (C), 可以发现

$ K_3\leq \int_{B_\rho(x_0)}|F-G| {\rm d}x\leq\mu_{F-G}(\rho)\alpha_n\rho^N. $

把估计式 $K_1, K_2$ 和 $K_3$ 代入不等式 (4.3), 可得

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x, p_0)(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\\ &\leq& \alpha_n\rho^N\left[\Phi(x_0, \rho, p_0) +2\beta\omega\left(|p_0|, \Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)\right)\Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0) +\rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2 +\mu_{F-G}(\rho)\right]\\ &&\cdot\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|. \end{eqnarray*}$

引理 4.1 即证.

${\bf引理4.2}$ 设函数 $u\in W_0^{1, 2}(\Omega)$ 是Dirichlet 问题 (1.1) 在结构性条件 (A1)-(A3), (B1)-(B2) 和 (C) 下的弱解. 给定系数 $\delta$ 和 $\theta\in [0,1]$, 使得对任意的 $\rho \leq \rho_0$, 极小条件

$\begin{eqnarray*} \omega\left(|p_0|, \Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)\right)\leq \frac{\delta^2}{16}, \Phi(x_0, \rho, p_0)\leq \frac{\delta^2}{16} \end{eqnarray*}$

成立.则下列衰减估计成立

$\begin{equation} \Phi(x_0, \theta\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta\rho}) \leq \theta^2\left[C_{11}\Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho})+C_{12}\left[\rho^2\|b(x)\|+\mu^2_{|F-G|}(\rho)\right]\right]. \end{equation}$

${\bf证}$ 对待定系数 $\varepsilon>0$, 选取 A -调和逼近引理中的相关系数 $\delta=\delta(n, N, \alpha, \beta, \varepsilon)\in (0, 1]$, 并令

$ w(x)=\frac{u(x)-u_{x_0, \rho}-p_0(x-x_0)}{\gamma}, $
$\begin{equation} \gamma=C_{10}\left[\Phi(x_0, \rho, p_0)+4\delta^{-2}\left( \rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2 +\mu_{F-G}(\rho)\right)^2\right]^{\frac{1}{2}}. \end{equation}$

由引理 4.1, 可以推出对任意的 $\varphi\in C_0^\infty(B_\rho(x_0), R^N)$, 有

$\begin{eqnarray*} &&\left|\rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x_0, p_0)\nabla w(x)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\right| \nonumber\\ &\leq& \frac{1}{\gamma}\left|\rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x_0, p_0)(\nabla u-p_0)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\right| \nonumber\\ &\leq& \left[\Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)+\omega(|p_0|, \Phi(x_0, \rho, p_0))+\frac{\delta}{2}\right] \cdot\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|. \end{eqnarray*}$

假设下列极小条件成立

$\begin{equation} \Phi^{\frac{1}{2}}(x_0, \rho, p_0)\leq\frac{\delta}{4}, \end{equation} $
$\begin{equation} \omega(|p_0|, \Phi(x_0, \rho, p_0))\leq\frac{\delta}{4}. \end{equation}$

则由 (4.6)式, 可以推出

$\begin{equation} \left|\rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}\left[\frac{\partial A}{\partial p}(x_0, p_0)\nabla w(x)\right]\cdot\nabla\varphi {\rm d}x\right| \leq\delta\cdot\sup\limits_{B_\rho(x_0)}|\nabla\varphi|. \end{equation}$

注意到

$\begin{equation} \rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla w(x)|^2{\rm d}x =\rho^{-n}\frac{1}{\gamma^2}\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla u(x)-p_0|^2{\rm d}x\leq 1, \end{equation}$

则由 A -调和逼近引理可以发现, 存在 $\frac{\partial A}{\partial p}$ -调和函数 $h\in W^{1, 2}(B_\rho(x_0), R^N)$ 使得

$\begin{equation} \rho^{-n-2}\int_{B_\rho(x_0)}|w(x)-h(x)|^2{\rm d}x\leq \varepsilon \end{equation}$

和

$\begin{equation} \rho^{-n}\int_{B_\rho(x_0)}|\nabla h(x)|^2{\rm d}x\leq 1. \end{equation}$

为了得到衰减估计 (4.4)式, 需要逐项估计定理3.2 中的 Caccioppoli 第二不等式. 于是, 对 $\theta\in (0, \frac{1}{4}]$, 选取 $u_0=u_{x_0, 2\theta\rho}, p_0=p_0+\gamma\nabla h(x_0)$, 并注意到函数$u(x)-(p_0+\gamma \nabla h(x_0))(x-x_0)$ 在 $B_{2\theta\rho}(x_0)$ 上的均值为 $u_{x_0, 2\theta\rho}$, 则

$\begin{eqnarray*} &&\int_{B_{\theta\rho}(x_0)}|\nabla u-(p_0+\gamma\nabla h(x_0))|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq&\frac{C_7}{(2\theta\rho)^2}\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|u(x)-u_{x_0, 2\theta\rho}-(p_0+\gamma\nabla h(x_0))(x-x_0)|^2{\rm d}x \nonumber\\ &&+C_8(\theta\rho)^N\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}b^N{\rm d}x +C_9\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|F-G|^2{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

结合均值的极小原理以及函数 $w(x)$ 的定义, 可以推出

$\begin{eqnarray*} &&\frac{C_7}{(2\theta\rho)^2}\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|u(x)-u_{x_0, 2\theta\rho}-(p_0+\gamma\nabla h(x_0))(x-x_0)|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \frac{C_7}{(2\theta\rho)^2}\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|u(x)-u_{x_0, \rho}-p_0(x-x_0)-\gamma(h(x_0)+\nabla h(x_0)(x-x_0))|^2{\rm d}x \nonumber\\ &=& \gamma^2\frac{C_7}{(2\theta\rho)^2}\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |w(x)-h(x_0)-\nabla h(x_0)(x-x_0)|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& 2\gamma^2\frac{C_7}{(2\theta\rho)^2} \bigg[\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |w(x)-h(x)|^2{\rm d}x +\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |h(x)-h(x_0)-\nabla h(x_0)(x-x_0)|^2{\rm d}x\bigg].\\ \end{eqnarray*}$

而不等式 (4.11) 意味着

$\begin{equation} \int_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |w(x)-h(x)|^2{\rm d}x \leq \int_{B_{\rho}(x_0)} |w(x)-h(x)|^2{\rm d}x \leq \rho^{n+2}\varepsilon. \end{equation}$

结合引理 2.8 和不等式 (4.12), 得

$\begin{eqnarray*} &&\sup\limits_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |h(x)-h(x_0)-\nabla h(x_0)(x-x_0)|^2 \nonumber\\ &\leq& \sup\limits_{B_{2\theta\rho}(x_0)} \left|\frac{\nabla h(x)-\nabla h(x_0)}{x-x_0}\right|^2(x-x_0)^4 = \sup\limits_{B_{2\theta\rho}(x_0)} |\nabla^2h(x)|^2\cdot(2\theta\rho)^4 \nonumber\\ &\leq& (2\theta\rho)^4 \sup\limits_{B_{\rho\over 2}(x_0)}|\nabla^2h(x)|^2 \leq (2\theta)^4C_0\rho^{2-n}\int_{B_{\rho}(x_0)}|\nabla h(x)|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& (2\theta)^4C_0\rho^2 = 16 C_0\theta^4\rho^2. \end{eqnarray*}$

将估计式 (4.15) 和 (4.16) 代入不等式 (4.14), 可以发现

$\begin{eqnarray*} &&\frac{C_7}{(2\theta\rho)^{n+2}}\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|u(x)-u_{x_0, 2\theta\rho}-(p_0+\gamma\nabla h(x_0))(x-x_0)|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \frac{2C_7}{(2\theta\rho)^{n+2}}\gamma^2 \left[\rho^{n+2}\varepsilon+16C_0\theta^4\rho^2\cdot\alpha_n\rho^n\right] \nonumber\\ &=& C_7\gamma^2 \left[2(2\theta)^{-n-2}\varepsilon+8C_0\theta^2\alpha_n\right] \nonumber\\ &=& C_7 \left[2^{-n-1}\theta^{-n-2}\varepsilon+8C_0\theta^2\alpha_n\right] C_{10}^2\left[\Phi(x_0, \rho, p_0)+4\delta^{-2}\left( \rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2 +\mu_{F-G}(\rho)\right)^2\right].\end{eqnarray*}$

由结构性条件 (B1)-(B2) 和 (C), 计算可得

$\begin{eqnarray*} &&C_8(2\theta\rho)^n\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}b^n{\rm d}x +C_9\int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|F-G|^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& C_8\alpha_n(2\theta\rho)^{2n}\|b(x)\|_{L^n}^n + C_9\alpha_n(2\theta\rho)^n\mu_{F-G}(2\theta\rho) \nonumber\\ &\leq& \alpha_n(2\theta\rho)^n \left[C_8(2\theta\rho)^n\|b(x)\|_{L^n}^n +C_9\mu_{F-G}(2\theta\rho)\right]. \end{eqnarray*}$

因此, 对 $u_0=u_{x_0, 2\theta\rho}$ 和 $p_0=(\nabla u)_{x_0, \rho}+\gamma \nabla h(x_0)$, 应用定理 3.2, 得

$\begin{eqnarray*} &&\Phi(x_0, \theta\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta\rho})\\ &\leq& \alpha_n^{-1}(\theta\rho)^{-n} \int_{B_{\theta\rho}(x_0)}|\nabla u-(p_0+\gamma \nabla h(x_0))|^2{\rm d}x\\ &\leq& C_7\alpha_n^{-1}(2\theta\rho)^{-n-2} \int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|u(x)-u_{x_0, 2\theta\rho}-(p_0+\gamma \nabla h(x_0))(x-x_0)|^2{\rm d}x\\ &&+C_8\alpha_n^{-1} \int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}b^N{\rm d}x +C_9\alpha_n^{-1}(2\theta\rho)^{-n} \int_{B_{2\theta\rho}(x_0)}|F-G|^2{\rm d}x\\ &\leq& C_7C_{10}^2\left(2^{-n-1}\theta^{-n-2}\varepsilon+8 C_0\theta^2\alpha_n\right)\cdot\left[\Phi(x_0, \rho, p_0)+4\delta^{-2}\left( \rho^2\|b(x)\|_{L^2}^2 +\mu_{|F-G|}(\rho)\right)^2\right] \\ &&+C_8(2\theta\rho)^n\|b\|_{L^N}^N +C_9\mu_{|F-G|}^2(2\theta\rho)\\ &\leq& C_{11}\theta^2\Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho}) +C_{12}\theta^2 \left[\rho^2\|b\|+\mu_{|F-G|}^2(\rho)\right], \end{eqnarray*}$

其中选取了 $\varepsilon=\theta^{n+4}$, 并令

$ C_{11}= C_7C_{10}^2\left(2^{-n-1}+8 C_0\alpha_n\right), $
$ C_{12}= 4\delta^{-2}C_7C_{10}^2\left(2^{-n-1}+8 C_0\alpha_n\right)+4C_8+C_9, $
$ \|b\|=\max\{\|b(x)\|_{L^2}^2, \|b\|_{L^N}^N\}. $

引理 4.2 即证.

最后, 对衰减估计进行迭代, 从而得到所需的最优部分正则性结果.

由引理 4.2 可得

$\begin{eqnarray*} \Phi(x_0, \theta\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta\rho}) \leq \theta^2\left\{C_{11}\Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho}) +C_{12} \left[\rho^2\|b\|+\mu_{|F-G|}^2(\rho)\right]\right\}. \end{eqnarray*}$

假设下列极小条件成立

$ \omega(|(\nabla u)_{x_0, \rho}, \Phi^{1\over 2}(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho}))\leq\frac{\delta}{4}, $
$ \Phi^{1\over 2}(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho})\leq\frac{\delta}{4}. $

则对给定的常数 $M>0$, 可以选取常数 $t_0>0$, 使得对所有的 $\rho\in (0, \rho_0]$, 有

$ |(\nabla u)_{x_0, \rho}|<M,\quad \Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho})<t_0 $

和

$ C_{12}\sum\limits_{i=1}\limits^{j}C_{11}^i\rho_0^2\|b\|<\frac{t_0}{3},\quad C_{12}\sum\limits_{i=1}\limits^{j}C_{11}^i\mu_{|F-G|}(\rho_0)<\frac{t_0}{3}. $

由于衰减估计

$ \Phi(x_0, \theta\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta\rho}) \leq \theta^2\left\{C_{11}\Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho}) +C_{12} \left[\rho^2\|b\|+\mu_{|F-G|}^2(\rho)\right]\right\} $

成立. 则对 $j=0, 1, 2, \cdots, j-1$, 用衰减估计进行迭代, 得

$\begin{eqnarray*} &&\Phi(x_0, \theta^j\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta^j\rho})\\ &\leq& \theta^2\left\{C_{11}\Phi(x_0, \theta^{j-1}\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta^{j-1}\rho}) +C_{12} \left[(\theta^{j-1}\rho)^2\|b\|+\mu_{|F-G|}^2(\theta^{j-1}\rho)\right]\right\}\\ &\leq& \cdots\\ &\leq& \theta^{2j}\left\{C_{11}^j\Phi(x_0, \rho, (\nabla u)_{x_0, \rho}) + \sum\limits_{i=0}\limits^{j-1}C_{11}^iC_{12} \left[\rho^2\|b\|+\mu_{|F-G|}^2(\rho)\right]\right\}\\ &\leq &\theta^{2j}t_0. \end{eqnarray*}$

进一步计算, 得

$\begin{eqnarray*} |(\nabla u)_{x_0, \theta^j\rho}| &=&\left|-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta^j\rho}(x_0)}|\nabla u-(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}+(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}|{\rm d}x\right|\\ &\leq& |(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}| +\left|\frac{1}{\alpha_n(\theta^j\rho)}\int_{B_{\theta^j\rho}(x_0)}|\nabla u-(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}|{\rm d}x\right|\\ &\leq& |(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}| +\left|\frac{1}{\theta^{\frac{n}{2}}}\bigg(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta^{j-1}\rho}(x_0)}|\nabla u-(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}|^2{\rm d}x\bigg)^{1\over 2}\right|\\ &\leq& |(\nabla u)_{\theta^{j-1}\rho}| +\frac{1}{\theta^{\frac{n}{2}}}\Phi^{1\over 2}(x_0, \theta^{j-1}\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta^{j-1}\rho})\\ &\leq& |(\nabla u)_{\rho}| +\frac{1}{\theta^{\frac{n}{2}}}\bigg[\sum\limits_{i=0}\limits^{j-1}\Phi^{1\over 2}(x_0, \theta^i\rho, (\nabla u)_{x_0, \theta^i\rho})\bigg]\\ &\leq& |(\nabla u)_{\rho}| +\frac{\sqrt{t_0}}{\theta^{\frac{n}{2}}}\bigg[\sum\limits_{i=0}\limits^{j-1}\theta^i\bigg] \leq |(\nabla u)_{\rho}| +\frac{\sqrt{t_0}}{\theta^{\frac{n}{2}}(1-\theta)}\leq M. \end{eqnarray*}$

${\bf 定理 1.2 的证明}$ 结合定理 3.2, 引理 4.1 以及引理 4.2 的结果, 应用 Hölder 连续函数的积分特征定理即证定理 1.2.

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