量子纠缠是量子范式的显著特征之一^[13], 其中纠缠态可以作为量子通信的一种资源, 因此它十分具有研究价值. 它可表示为: 如果两个系统在过去时间相互作用, 那么它不可能将单个态向量赋给两个子系统中的任何一个, 即满足所谓的不可分离原则. 纠缠最早是由 Einstein, Podolsky 和 Rosen (EPR)^[4]提出并且由 Schrödinger^[17] 发现. 1998 年, Horodecki 等人提出了束缚纠缠的概念^[6]. 束缚纠缠是量子纠缠的一种弱形式, 它在局部运算和经典通讯下无法提纯任何纠缠, 这就意味着并不是任何纠缠都能直接运用到量子通信任务中. 如何刻画束缚纠缠态, 是量子信息中的核心问题之一. 1999年, Bennett 等人给出了一个优雅的构造, 利用不可扩展乘积基来构造束缚纠缠态^[1]. 不可扩展乘积基在量子信息领域还有很多其他应用, 比如构造不可分解的正定映射, 展示无纠缠的非局部性等. 因此, 不可扩展乘积基在量子信息领域扮演着重要的角色.

关于纠缠的信息理论是由 Schrödinger 首先考虑的, 他认识到纠缠态提供给我们关于整个系统的信息和它提供给的关于子系统的信息之间一种深刻的非经典关系^[17]. 量子信息理论的最新发展表明纠缠可以有重要的实际应用^[6], 特别是在量子隐形传态这个过程中, 纠缠态可以作为量子通信的一种资源. 在通信中, 一个量子态是通过一对由发送方(Alice)和接收方(Bob)共享的单重态. 在实际情况下, 由于与环境的相互作用(即退相干), 因此我们遇到的是混合态而不是纯态. 如果一个混合态不是乘积态的混合物, 则被认为是纠缠态. 在混合态中, 量子相关性被削弱, 因此混合态的表现是非常微妙的^[7,15,16,18]. 而在量子信息处理及量子计算的基础知识及相关数学问题, 量子相干性度量以及量子纠缠见证中, 费少明等人作了重要贡献^[9,19,20]. 特别地, 费少明在^[10] 中利用相互无偏测度研究了纠缠见证, 且提供了一类基于相互无偏测度的纠缠见证. 文献[11]给出了对称信息完备测度下的纠缠见证.

现在最基本的问题是研究混合纠缠态的结构. Peres^[14]推广了一个简单但很强的准则. 他指出在部分转置下, 可分态仍然是正算子, 称之为局部正转置(PPT) 准则. 在低维纠缠的刻画中, 可以明确的是: 给定一个量子态, 它可以确定这个态是否可以写成乘积态的混合, 也就是所说的局部正转置(PPT)准则. 然而, 对于高维情况并非如此, Horodecki提供了一个纠缠态却又是 PPT 的明显例子^[8]. 要寻找到理想例子, 我们必须取一个 PPT 态, 并以某种方法证明它是纠缠的. 因此, 我们引用了不可扩展乘积基的概念. 本文我们就给出高维空间中混合量子态的不可扩展乘积基(UPB)的一种构造, 并给出此基中向量个数的规律. 而 UPB 的概念产生了一种迄今为止最透明的 PPT 纠缠态的构造方法, 因此研究不可扩展乘积基有非常重要的物理意义. 本文的安排如下: 第2节主要回忆了局部正转置(PPT)的相关概念; 第3节给出了高维Hilbert空间中不可扩展乘积基的一种构造, 并且给出了在这种构造下基向量个数的规律; 第4节作了一个简单的小结.

纠缠态的一个常见例子是单重态

可以看出,它不能表示为描述子系统态的单个向量的乘积, 其中$|0\rangle$, $|1\rangle$是单位正交向量.

设 ${\cal H}$ 和 ${\cal K}$ 分别是 $m$ 和 $n$ 维的 Hilbert 空间, 用 ${\cal H}\otimes{\cal K}$ 表示张量空间, 也可以用 $m\otimes n$ 表示此空间. 记 $B({\cal H})$ 表示 ${\cal H}$ 上所有有界算子的集合. ${\cal G({\cal H})}$ 表示 ${\cal H}$ 上所有态的集合. 我们处理有限维 Hilbert 空间 ${\cal H}\otimes{\cal K}$ 上的态, 进而有复合态 $\Theta\in{\cal G({\cal H}\otimes{\cal K})}$ 的部分转置记为 $\Theta^{T_{{\cal K}}}$, 使得

其中 $T$ 是 $B({\cal K})$ 上的转置. 若 $\Theta$ 可分解为 $\Theta=\sum|i\rangle\langle j|\bigotimes B_{ij}$, 其中 $\{|i\rangle\}, i=1,\cdots,m$ 是 ${\cal H}$ 中的标准基,且 $B_{ij}\in B({\cal K})$,则(2.2)式变为

定义2.1^[14] 若 $\Theta^{T_{{\cal K}}}$ 是正的, 复合态 $\Theta$ 被称为 PPT 态, 否则称其为 NPT 态.

如果 Hilbert 空间 ${\cal H}\otimes{\cal K}$中一个态 $\rho$ 可表示为

则称态 $\rho$ 可分, 其中 $\rho_{i}$ 和 $\widetilde{\rho_{i}}$ 分别是 ${\cal H}$ 和 ${\cal K}$ 上的态, 由(2.4)式确定的条件称为可分性准则. 如果态违反了可分性准则, 则态必然是纠缠态.

以下分别用 ${\cal A}$ 和 ${\cal B}$ 表示 ${\cal H}$ 和 ${\cal K}$ 上的算子集. 从 ${\cal A}$ 到 ${\cal B}$ 的线性映射的全体记为 ${\cal L( {\cal A},{\cal B} )}$. 如果一个映射 $\Lambda\in {\cal L({\cal A}, {\cal B})}$ 将 ${\cal A}$ 中的正算子映射成 ${\cal B}$ 中的正算子, 则称此映射是正映射. 即, 若 $A\geqslant0$ 意味着 $\Lambda(A)\geqslant0$. 如果一个映射 $\Lambda$ 完全正(CP)的, 则它的诱导映射满足

对所有 $n$ 都为正. 其中 ${\cal M}_{n}$ 为 $n$ 阶复矩阵的全体, $I_{n}$ 是空间 ${\cal M}_{n}$ 的单位元.

一个正映射 $\Lambda$ 被称为可分解的^[2], 则它可以表示为如下形式

其中 $(\Lambda_{cp})^{i}$ 是一些 CP 映射.

下面引入两个低维纠缠刻画的结论.

引理2.1^[14] 设 $\rho$ 是 Hilbert 空间 ${\cal H}\otimes{\cal K}$ 上的态, 则 $\rho$ 可分当且仅当对任意正映射 $\Lambda:{\cal A}\rightarrow{\cal B}$, 算子 $(I_{A}\otimes\Lambda)\rho$ 是正的.

引理2.2^[14]$2\otimes2$ 或 $2\otimes3$ 系统的态 $\rho$ 是可分的当且仅当它的部分转置是正算子.

可分性准则在寻找 PPT 纠缠态中得到了很好地应用^[1,3,12], 且利用态 $\rho$ 值域内的乘积向量相减的方法得到态的最佳可分近似. 这种方法在文献[1]中得到了成功的应用, 并给出了不可扩张乘积基的概念.

定义3.1^[14] 若 ${\cal H}\otimes{\cal K}$ 中的乘积正交向量集合满足以下条件

a) 元素比空间的维数少;

b) 不存在任何与它们正交的乘积向量,

则称其为不可扩展乘积基.

由于引理 2.1 和引理 2.2 只适用于低维, 因此对于高维, 部分转置不会构成可分性的充要条件, 故存在 PPT 纠缠态. 进而存在一个在某些情况下更强的标准.

引理3.1^[14] 如果态 $\rho\in{\cal G}({\cal H}\otimes{\cal K})$ 且 $\rho$ 可分, 满足

a) 存在乘积向量族 $\{\psi_{i}\otimes\phi_{i}^{\ast}\}_{i=1}^{k}$ 张成态 $\rho$ 的值域;

b) 向量 $\{\psi_{i}\otimes\phi_{i}^{\ast}\}_{i=1}^{k}$ 张成 $\rho^{T_{B}}$ 的值域(其中 $\ast$ 表示在进行部分转置基上的复共轭).特别地,任意向量 $\psi_{i}\otimes\phi_{i}^{\ast}$ 属于 $\rho$ 的值域.

下面我们给出在高维系统中混合态的不可扩展乘积基的几个基本规律.

命题3.1 对 $m\otimes n$ 系统, 当 $m$, $n$ 均为偶数, 则系统 $m\otimes n$ 的不可扩展乘积基有形式

其中 $|0\rangle$, $|1\rangle$, $\cdots$ 是单位正交向量, 且系统中包含 $\frac{mn}{2}+1$ 个不可扩展乘积基向量.

证 首先根据一般式 (3.1) 写出 $m\otimes n$ 系统的基向量

综上, 将所有基的个数相加, 可得$(\frac{n-2}{2}+1)m+1=\frac{mn}{2}+1,$ 其中, 我们用到的 $|0\rangle=(1,0,0,\cdots)^{\top}$, $|1\rangle=(0,1,0,\cdots)^{\top}$, $\cdots$ 都是 $m$ 系统和 $n$ 系统中的单位正交向量. 则有 $|0-1\rangle=(1,-1,0,\cdots)^{\top}$, $|2-3\rangle=(0,0,1,-1,0,\cdots)^{\top}$, $\cdots$. $|1+2+\cdots\rangle=(1,1,1,\cdots)^{\top}$. 当然, 上面的 $\frac{mn}{2}+1$ 个向量是相互正交的. 然而任意一个系统($m$ 系统或 $n$ 系统)的基向量的任何子集都可以张成整个 Hilbert 空间. 这就避免了第 $\frac{mn}{2}+2$ 个向量与这 $\frac{mn}{2}+1$ 个向量正交的积向量的存在.

因此 $m\otimes n$ 系统的基向量满足定义 3.1 中的 a) 和 b). 命题得证.

命题3.2 对于 $m\otimes n$ 系统, 当 $m$, $n$ 为一奇一偶时, 则系统 $m\otimes n$ 的不可扩展乘积基有形式

其中 $|0\rangle$, $|1\rangle$, $\cdots$ 是单位正交向量, 且系统中包含 $\frac{mn}{2}+1$ 个不可扩展乘积基向量.

证 首先根据一般式 (3.2) 和 (3.3) 写出 $m\otimes n$ 系统的基向量;

(1)当 $m$ 为奇数, $n$ 为偶数时, 情况与命题 3.1 类似, 此处证明忽略.

(2)当 $m$ 为偶数, $n$ 为奇数时, 基向量为

综上, 将基的个数相加, 可得

与命题 3.1 同样的道理, 不存在第 $\frac{mn}{2}+2$ 个向量与这 $\frac{mn}{2}+1$ 个向量正交的积向量. 因此 $m\otimes n$ 系统的基向量满足定义 3.1 中的 a) 和b). 命题得证.

命题3.3 对 $m\otimes n$ 系统, 当 $m$, $n$ 均为奇数时, 则系统 $m\otimes n$ 的不可扩展乘积基有形式

其中 $|0\rangle$, $|1\rangle$, $\cdots$ 是单位正交向量, 且系统中包含 $\frac{mn+1}{2}$ 个不可扩展乘积基向量.

证 首先根据一般式 (3.4) 和 (3.5) 写出 $m\otimes n$ 系统的基向量;

综上, 将基的个数相加, 可得

同理, 不存在第 $\frac{mn+1}{2}+1$ 个向量与这 $\frac{mn+1}{2}$ 个向量正交的积向量. 故 $m\otimes n$ 系统的基向量满足定义 3.1 中的 a) 和 b). 命题得证.

从上述三个命题中我们得出 $m\otimes n$ 系统中不可扩展乘积基的个数, 故有如下结论.

命题3.4 针对本文中给出的不可扩展乘积基的构造, 对于 $m\otimes n$ 系统, 若 $m\otimes n$ 为偶数时,

则系统中不可扩展乘积基的个数为 $\frac{mn}{2}+1$, 反之, 则为$\frac{mn+1}{2}$.

本文首先引入了低维 ($2\otimes2$ 或 $2\otimes3$) 系统中的若干可分性判据, 可以看出在低维系统中, PPT 态即可分态. 然而, 在高维系统中, 存在着 PPT 纠缠态. 在文献[1]中不可扩展乘积基则是产生迄今为止最为透明的 PPT 纠缠态的方法. 我们就给出了高维系统中的不可扩展乘积基的一种构造并计算出 $m\otimes n$ 系统的维数的奇偶不同, 相对应基的个数不同. 有了不可扩展乘积基的具体表达形式,对我们寻找 PPT 纠缠态的构造是一大助力.