我们考虑以下由无穷维非线性噪音驱动的非自治随机$g$-Navier-Stokes ($g$-NS)方程的均值动力学

此方程带有Dirichlet边界初始条件, 其中$u$是速度矢量, $p$是压力, $g$是二维空间$O$上的光滑函数. 此外, $W$是加滤概率空间$(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_s\}_{s\in \mathbb{R} }, P)$ 上的柱形Wiener过程, $\sigma$ 是Hilbert-Schmidt算子的一个Lipschitz的非线性函数, 我们会在第三节中定义$W$ 和$\sigma$.

为了解决非线性噪音, 本文将使用Kloeden和Lorenz^[1]提出的均值随机动力系统的概念, 其中状态空间是平方Bochner空间$L^2(\Omega, H)$, 且$H$是空间$L^2(O)$ 的子空间. 这样的均值RDS可以由方程(1.1)的唯一解的存在性生成.

方程(1.1)的均值RDS的渐进行为可以由文献[2]引入的弱拉回均值吸引子的概念来描述.随之, 文献[3⇓⇓⇓⇓-8]等将其运用到了状态空间是平方Bochner空间的其它方程.特别地, 文献[9]证明了四次Bochner空间中随机NS方程($g=1$)的弱拉回均值吸引子的存在性.

在本文中, 我们的首要目标是证明任何偶幂的Bochner空间中弱拉回均值吸引子的存在性. 确切来说,通过两次使用Itô公式^[10], 可得解在$L^{2k}(\Omega, H)$ 中是拉回有界的, 其中$k\in {\Bbb N}$. 此有界性确保了弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)$的存在性, 也就是指对于任意的$s\in \mathbb{R} $, ${\cal A}(s)$在$L^{2k}(\Omega, {\cal F}_s; H)$中是弱紧和弱拉回吸收的(参考定理4.1).

另一目标是证明弱拉回均值吸引子的后向弱紧性, 这在均值动力学中似乎是新课题. 如果对于每个$\tau\in \mathbb{R} $, 后向并集$\bigcup\limits_{s\leq \tau}{\cal A}(s)$ 在$L^{p}(\Omega, {\cal F}_\tau; H)$的弱拓扑下是预紧的, 则称弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)$是后向弱紧的. 该性质表明均值RDS具有更集中和更强的吸引能力.

对于一般的拉回吸引子或拉回随机吸引子$A(\cdot)$, 所有分支集$A(s)$位于相同的状态空间$H$中, 因此$A(s)$关于时间参数的并集是定义明确的.因此文献[11,12]研究了它的一致紧性, 文献[13⇓⇓-16]研究了前向紧性,文献[17⇓-19]讨论了后向紧性.

然而, 弱拉回均值吸引子${\cal A}(s)$的状态空间$L^{2k}(\Omega, {\cal F}_s; H)$随着$s$ 的变化而变化. 因此需要证明后向并集$\bigcup\limits_{s\leq \tau}{\cal A}(s)$是明确定义的. 我们的方法是证明空间值映射$s\mapsto L^{2k}(\Omega, {\cal F}_s; H)$是递增的(按照包含关系)和保范的. 对于所有$s\leq \tau$, 纤维集${\cal A}(s)$包含在同一空间$L^{2k}(\Omega, {\cal F}_\tau; H)$中, 因此我们可以将后向并集当作$L^{2k}(\Omega, {\cal F}_\tau; H)$ 的子集. 这进一步说明了后向弱紧性是明确定义的且合理的.

为了建立弱均值吸引子的后向弱紧性概念, 我们将文献[2,8]中的(均值)拉回吸收性加强到后向吸收性, 后者意味着拉回吸收性对过去的时间而言是一致的. 我们证明一个弱紧后向吸收集的存在性就是一个均值弱吸引子的后向弱紧性的判据(参见定理2.1), 另外还给出了一个替代的判定条件.

以上的抽象结果被应用到随机2D-$g$-NS方程(1.1), 但需要一个更强的假设, 即$f(\cdot)$ 是后向缓增的.

当$f(\cdot)$分别为零、周期和递增时, 给出了后向弱紧的弱吸引子的三个例子. 此外, 如果$f(\cdot,x)$和$\sigma(\cdot,u)$是周期的, 则可证明弱均值吸引子是半周期的.

最后, 值得注意的是确定性2D-$g$-NS方程似乎是由Roh^[20]首次研究的, 它不仅扩展了2D-NS方程($g=1$), 而且也在某些方面描述了域$O\times(0,g(x))$上重要的3D-NS方程^[21⇓-23]. 在线性噪声($\sigma$是$u$或独立于$u$)的特殊情况下, 一般随机吸引子在随机2D-$g$-NS方程^[24⇓-26]以及随机2D-NS方程^{[27⇓⇓⇓⇓-32]}中可得. 如文献[33⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-42]中这种带有线性噪声的随机(stochastic)方程可以转化为路径随机(random)方程, 而随机(stochastic) 方程(1.1)(带有非线性噪声)却不能转化为路径随机(random)方程. 此时, 得不到通常的随机吸引子, 而只能考虑均值吸引子.

在本文中, $X$是一个可分的Banach空间, $(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_s\}_{s\in \mathbb{R} }, P)$是一个完备加滤的概率空间, 其中 $\{{\cal F}_s\}_{s\in \mathbb{R} }$ 是一族递增的右连续的${\cal F}$的子$\sigma$ -代数

我们回顾均值动力学中的相关概念, 参见文献[1,2]. 如果存在${\cal F}$ -简单函数序列$\xi_n: \Omega\to X$使得$\|\xi_n-\xi\|_X\to 0$ 几乎处处成立, 则映射$\xi: \Omega\to X$ 称为${\cal F}$ - 可测, 并且若$\int_\Omega\|\zeta_n-\xi\|_X{\rm d}P\to 0$, 则映射$\xi$是Bochner${\cal F}$ -可积的. 在这种情况下, Bochner积分被定义为

给定$p\geq 1$, Bochner空间$L^p(\Omega,{\cal F}; X)$是指所有Bochner可积函数$\xi: \Omega\to X$构成的Banach空间, 其范数为

定义2.1^[1] 空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$上的一族算子$\Phi=\{\Phi(t,\tau): t\geq 0, \tau\in \mathbb{R} \}$被称为一个均值随机动力系统, 如果

(i) $\Phi(t,\tau)$将$L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$映射到$L^p(\Omega, {\cal F}_{\tau+t}; X)$, $\Phi(0,\tau)=I_{L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)}$,

(ii) 对于所有的$t_1,t_2\geq 0$, 有$\Phi(t_1+t_2,\tau)=\Phi(t_1,t_2+\tau)\Phi(t_2,\tau)$.

如果对于每个$s\in \mathbb{R} $, $D(s)$是$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$的非空子集, 则称集族$\{D(s)\}_{s\in \mathbb{R} }$为可适应集.

令${\mathfrak D}$是Bochner空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中的一些可适应集组成的集族. 一个可适应集${\cal A}(\cdot)$被称为${\mathfrak D}$ -弱拉回吸引, 如果对于每个$D(\cdot)\in {\mathfrak D}$, $s\in \mathbb{R} $和弱邻域$N_{\mbox{w}}({\cal A}(s))$(在$L^{p}(\Omega,{\cal F}_s;X)$的弱拓扑下), 存在$T>0$ 使得

定义2.2^[2] 一个可适应集${\cal A}(\cdot)$被称为均值随机动力系统$\Phi$的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子如果

(a) ${\cal A}(\cdot)$是弱紧的, 对于所有的$s\in \mathbb{R} $, ${\cal A}(s)$ 在$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$中是弱紧的;

(b) ${\cal A}(\cdot)\in {\mathfrak D}$以及${\cal A}(\cdot)$是${\mathfrak D}$ -弱拉回吸引的;

(c) ${\cal A}(\cdot)$是${\mathfrak D}$中具有属性(a)和(b)的最小元素.

最小性推得唯一性, 而弱拉回均值吸引子的存在性理论可参考文献[定理 2.13].

为了确定纤维${\cal A}(s)$的后向并集(属于不同的空间, 见定义2.2中的(a)), 我们需要证明Bochner的单调性.

引理2.1 (i) 集值映射$p\mapsto L^p(\Omega,{\cal F}; X)$是递减的, 即

(ii) 集值映射$s\mapsto L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$是递增的, 即对于$s\leq \tau$,有

另外, 对于任何$B\subset L^p(\Omega, {\cal F}_s, X)$, 有

其中$\mbox{cl}_{L^p_{\mbox{w}}(\Omega, {\cal F}_s; X)}$表示在$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$弱拓扑下的闭包.

证 利用Hölder不等式可得结论(i). 我们主要证明结论(ii).

令$s\leq \tau$和$\xi\in L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$. 由(2.1)式和${\cal F}_s\subset {\cal F}_{\tau}$可知每个${\cal F}_s$ -简单函数是${\cal F}_\tau$ -简单函数, 因此$\xi$是${\cal F}_{\tau}$ -可测的. 另一方面, 当$\xi$是Bochner${\cal F}_s$ - 可积时, 存在${\cal F}_s$ -简单函数列$\xi_n: \Omega\to X$使得

因为$\xi$是${\cal F}_\tau$ -可测的, 所以$\xi_n$仍然是${\cal F}_\tau$ -简单函数. 任一$\xi_n$ 可由$\xi_n=\sum\limits_{i=1}^{i(n)}\chi_{\Omega_i^n}x_i^n$ 定义,其中$x_i^n\in X$, $\chi$ 是特征函数以及$\Omega_i^n\in {\cal F}_s\subset {\cal F}_{\tau}$, 且对于$i\neq j$和$n\in {\Bbb N}$, 有$\Omega=\sum\limits_{i=1}^{i(n)}\Omega_i^n$, $\Omega_i^n\cap\Omega_j^n=\emptyset$. 从而

这意味着 Bochner积分值是相同的. 因此$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$是$L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$ 的保范线性子空间, 这证明了(ii)中的第一个结论.

由以上证明可知$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$的拓扑恰是关于$L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$的相对拓扑. 因此, (2.2)式中的第一个包含式是成立的.

现在我们证明(2.2)式中的第二个包含. 令$\xi_0\in \mbox{cl}_{L^p_w(\Omega, {\cal F}_s, X)}(B)$, 有

考虑$L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$中$\xi_0$的弱邻域

其中$\epsilon>0$, $\phi_i^*\in (L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X))^*$. 用$\widetilde{\phi}_i^*$表示$\phi_i^*$在保范子空间$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$上的泛函, 可得$\widetilde{\phi}_i^*\in (L^p(\Omega, {\cal F}_s; X))^*$. 然后我们可以在$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$中定义$\xi_0$的弱邻域

由于$\xi_0$属于$L^p(\Omega, {\cal F}_s; X)$中$B$的弱闭包, 因此有

另一方面, 易得

则$\xi_0$属于$L^p(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$中$B$的弱闭包, 从而(2.2)式中的第二个包含式成立.

虽然${\cal A}(s)$的状态空间$L^{p}(\Omega, {\cal F}_s; X)$在$s\in (-\infty,\tau] $时是变化的, 但可由引理2.1(ii)中的Bochner空间的单调性确保后向并集$\bigcup\limits_{s\leq \tau}{\cal A}(s)$是$L^{p}(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$的子集.

定义2.3 Bochner空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中的一个弱紧集族$B(\cdot)$被称为后向弱紧的, 如果后向并集的弱闭包是弱紧的, 更准确地说, $\bigcup\limits_{s\leq \tau}B(s)$在$L^{p}(\Omega, {\cal F}_\tau; X)$中弱预紧.

我们需要以下(均值)后向吸收性, 它比文献[1,2]中通常的(均值)拉回吸收概念更强.

定义2.4 对于均值随机动力系统$\Phi$, 可适应集$K(\cdot)$被称为

$\bullet$${\mathfrak D}$ -拉回吸收的, 如果对于每个$D(\cdot)\in {\mathfrak D}$和$s\in \mathbb{R} $, 存在$T=T(D, s)>0$使得对于所有的$t\geq T$, 在$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中有

$\bullet$${\mathfrak D}$ -后向吸收的, 如果对于每个$D(\cdot)\in {\mathfrak D}$和$\tau \in \mathbb{R} $, 存在$T=T(D, \tau)>0$使得对于所有的$t\geq T$, 在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$ 中有

由引理2.1可知, (2.3)式中的并集是$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$的子集.

以下建立确保弱拉回均值吸引子的后向弱紧性的判定条件. 若$D(\cdot)\in {\mathfrak D}$以及对于所有的$s\in \mathbb{R} $, $ D(s)\supset \widetilde{D}(s) \neq \emptyset$, 有$\widetilde{D}(\cdot)\in {\mathfrak D}$, 则集族${\mathfrak D}$被称为包含封闭的.

定理2.1 设$\Phi$是一个均值RDS, ${\mathfrak D}$是Bochner空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中的一个包含封闭的集族. 假定$\Phi$满足以下两个条件之一

(C1) $\Phi$有一个${\mathfrak D}$ -后向吸收集$K(\cdot)\in {\mathfrak D}$, 且它是弱紧的;

(C2) $\Phi$有一个${\mathfrak D}$ -拉回吸收集$B(\cdot)\in {\mathfrak D}$, 且它是后向弱紧的. 则存在唯一的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)\in {\mathfrak D}$使得它是后向弱紧的, 且有如下的表达式

另外, 如果用$B(\cdot)$替代$K(\cdot)$, 以上等式仍然成立.

证 假定 (C1)成立. 则${\mathfrak D}$ -后向吸收集$K(\cdot)$在Bochner空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中是${\mathfrak D}$ -拉回吸收和弱紧的. 由存在性定理(参考文献[定理 2.13])可知方程(2.4)中的${\cal A}(\cdot)$是唯一的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子.

下证${\cal A}(\cdot)$是后向弱紧的. 由于$K(\cdot)$是${\mathfrak D}$ -后向吸收的且$K(\cdot)\in {\mathfrak D}$, 则对于每个$\tau\in \mathbb{R} $, 存在$T:=T(\tau)>0$使得在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$ 中

特别地, 由于$K(\cdot)$的弱紧性, $B_T(\tau)$在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$中是弱预紧的. 另一方面, 由引理2.1(ii), $\bigcup\limits_{s\leq \tau}{\cal A}(s)$是$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$的子集. 由引理2.1中的(2.2)和(2.4)式可知在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$中有

进一步可得

注意到$\mbox{cl}_{L^p_{\mbox{w}}(\Omega,{\cal F}_\tau; X)}(B_T(\tau))$是弱紧的, 则$\bigcup\limits_{s\leq \tau}{\cal A}(s)$在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$的弱拓扑下是预紧的.

假定 (C2)成立, 即$B(\cdot)$是${\mathfrak D}$ -拉回吸收和后向弱紧的. 再次由文献[定理 2.13] 得到 $\Phi$有一个${\mathfrak D}$ - 弱拉回均值吸引子

这意味着如果由$B(\cdot)$替换$K(\cdot)$, 则(2.4)式成立. 因$B(\cdot)$是后向弱紧的, 故

在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$中弱紧. 由于$B(\cdot)\in {\mathfrak D}$, 则对于每个$s\leq \tau$存在$t_s>0$使得

在$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中成立. 注意到$B(s)$的弱闭性, 上式结合(2.5)式可推得

由引理2.1, 对于所有$s\leq \tau$, 在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$中有

则${\cal A}(\cdot)$的后向并集满足

因为$B_{{\rm bu}}(\cdot)$在$L^p(\Omega,{\cal F}_\tau; X)$中是弱紧的, 则${\cal A}(\cdot)$在Bochner 空间$L^p(\Omega,{\cal F}_s; X)$中是后向弱紧的.证毕.

注2.1 如果$B(\cdot)$是如 (C2)中的一个拉回吸收和后向弱紧族, 那么(2.6)式中定义的后向并集$B_{\rm {bu}}(\cdot)$也是拉回吸收和后向弱紧的. 但我们不能证明$B_{{\rm bu}}(\cdot)$是后向吸收, 因为对于所有过去的时间$s\leq \tau$, 吸收开始时间$T(s)$不是一致的.

带非线性噪声的随机$g$-NS方程为

其中$O$是$\mathbb{R} ^2$中的一个有界光滑区域, $\nu, \epsilon>0$, $u=(u_1, u_2)$是速度向量, $p$ 是流体的压力. 假设$g\in W^{1,\infty}(O)$以及

其中$\lambda_1$是${\Bbb L}^2(O)$上无界算子$ -\Delta$的首特征值.

分别令$H_g$和$V_g$是$({\Bbb L}^2(O),\|\cdot\|_g)$和$({\Bbb H}^1_0(O),\|\cdot\|_{V_g})$中${\cal V}(O):=\{u\in{\Bbb C}^\infty_0(O):\nabla \cdot (gu)=0\}$的闭包, 其中范数以下的两个加权内积确定

由(3.2)式可得如下的加权Poincaré不等式

正如在文献[10,30]中, 我们假设$W$是一个在完备加滤概率空间$(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_s\}_{s\in \mathbb{R} }, P)$ 中的$H_0$ -值$Q$-Wiener过程, 其中$H_0:=Q^{\frac{1}{2}}H_g$, 且$Q$是$H_g$上的迹类的正算子.

用${\cal L}_2(H_0,H_g)$表示所有从$H_0$到$H_g$的Hilbert-Schmidt算子组成的空间. 假设$\sigma:{\Bbb R}\times V_g\rightarrow {\cal L}_2(H_0,H_g)$是连续的并且存在$\alpha_1, \alpha_3>0$, $\alpha_2\geq 0$使得对于所有的$s\in{\Bbb R}$和$u,v\in V_g$有

这里的假定(3.3)式比文献[9]($g=1$的情况)中给出的稍弱. 然而如果将文献[9]中的例子扩展到加权空间$H_g$, 能得到满足(3.3)式的$\sigma$的例子.

如在文献[20]中, 设$P_g:({\Bbb L}^2(O),\|\cdot\|_g)\rightarrow H_g$为$g$-Lerary投影, 则$g$-Stokes 算子为

设$V_g^*$是$V_g$的对偶空间, 则$B_g:V_g\times V_g\rightarrow V_g^*$定义为

注意到$\Delta_gu=(\nabla\cdot g\nabla)u/g=\Delta u+(\nabla g\cdot\nabla)u/g$, 我们考虑另外一个算子

那么方程(3.1)可以写为一个抽象方程

假定$f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g)$并且固定$k\in {\Bbb N}$.

定义3.1 给定 $\tau\in \mathbb{R} $和$u_0\in L^2(\Omega, {\cal F}_\tau; H_g)$, 一个$H_g$值的${\cal F}_t $ -可适应随机过程$u(t)$($t\in [\tau, \infty)$)被称为方程(3.4)的解(或等价于方程(3.1)), 如果$u\in C([\tau,\infty),H_g)\cap L^2_{\rm loc}([\tau,\infty),V_g)$且

在$P$ -几乎处处成立的意义下成立.

引理3.1 假设$g$, $\sigma$满足 (3.2)-(3.3)式, $f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g )$($k\in {\Bbb N}$)并且噪声的密度$\epsilon$足够小, 则对于每个$\tau\in \mathbb{R} $, $T>0$ 和$u_0\in L^{2k}(\Omega, {\cal F}_\tau; H_g)$, 方程(3.4)有唯一解

此外还有$u\in C([\tau, \infty), L^{2k}(\Omega, {\cal F}; H_g))$.

证 由$f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g)$得$f\in L_{{\rm loc}}^{2}( \mathbb{R},V^*_g)$. 如果$u_0\in L^{2}(\Omega, {\cal F}_\tau; H_g)$ 且噪声的密度$\epsilon$足够小, 则用文献[9,30]中类似的方法(对于2D-NS模型)可得方程(3.4) 解的存在性和唯一性.

如果$u_0\in L^{2k}(\Omega, {\cal F}_\tau; H_g)\subset L^{2}(\Omega, {\cal F}_\tau; H_g)$(见引理2.1中(i))并且密度$\epsilon$很小, 则对近似解使用与定理4.1中类似的估计来获得解$u\in L^{2k}(\Omega, C([\tau, \tau+T],H_g))\cap L^2(\Omega, L^2(\tau, \tau+T; V_g))$. 此外,我们可以使用Burkholder-Davis-Gundy不等式^[10]证得

运用Lebesgue控制收敛定理可得$u\in C([\tau, \infty), L^{2k}(\Omega,{\cal F}; H_g))$.证毕.

定义如下映射

由引理3.1可证$\Phi$是Bochner空间$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$中的均值RDS.

注3.1 在引理3.1中, 我们将幂取为$2k$, 而文献[2,6,7]中的幂为$2$, 文献[9]中的幂为$4$. 我们取偶数的原因源于Itô公式的应用, 见下面定理4.1 的证明.

我们进一步假设$f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g)$(其中$k\in {\Bbb N}$)满足

令${\mathfrak D}$是空间$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$中所有满足以下条件的可适应集$D(\cdot)$的集族

其中集合的范数等于所有元素的范数的最大值.

定理4.1 假设$g$, $\sigma$, $f$分别满足(3.2)、 (3.3)、(4.1)式并且噪声的密度$\epsilon$ 足够小, 则随机2D-$g$-NS方程在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$中产生的均值RDS 具有唯一的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}=\{{\cal A}(s):s\in{\Bbb R}\}$.

证 不失一般性, 我们假设$k\geq 2$, 其中$k$是(4.1)式中的整数.

(1) 存在$\epsilon_0>0$, $c_1,c_2>0$使得当$\epsilon\in (0, \epsilon_0]$时, 方程(3.4) 的解满足: 对于每个$ D(\cdot)\in {\mathfrak D}$和$s \in \mathbb{R} $存在$T=T({D}, s)>0$使得

应用无穷维Itô公式(参考文献[定理 4.2.5]), 我们从(3.4)式推断出

其中我们使用了$g$ -正交性^[25], 即对于所有$u\in V_g$和$v\in {\Bbb H}^1_0(O )$, $b_g(u, v,v)=0$. 将Itô公式作用于(4.4)式有

其中$\sigma^*$是$\sigma$ 的伴随算子, $u=u(r,s-t,u_0)$, $r\geq s-t$. 取(4.5) 的期望可得

定义$Du=(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}, \frac{\partial u_2}{\partial x_1}, \frac{\partial u_1}{\partial x_2},\frac{\partial u_2}{\partial x_2})$, 使用Poincaré 不等式有

由(3.2), (4.7)式中的$c_g:=1-\frac{\|\nabla g\|_\infty}{m\sqrt{\lambda_1}}\in (0,1)$, 则(4.1)中的常数为$\lambda_g=\lambda_1 c_g m /M$. 由加权Poincaré 不等式有

接下来, 我们需要将Young不等式$ab\leq a^p/p+b^q/q$扩张为以下形式

令$p=\frac{k}{k-1}$和$q=k$, 可得

其中$c_1=2^{3k-2}c_g^{-k}\lambda_g^{1-k}\nu^{1-2k}>0$. 将(4.7)-(4.9)式代入(4.6)式有

假定噪声的密度很小, 即$\epsilon\in (0, \epsilon_0]$, 其中

运用Young不等式有

其中如果$\alpha_2>0$, 则$c_3=8^{k-1}\alpha_2^k(\nu\lambda_g)^{1-k}>0$, 如果$\alpha_2=0$(此时$c_3=0$), (4.12)式仍然成立. (4.10)式的最后一项是有界的, 因为

其中$c_4=(16k)^{k}\alpha_2^k(\nu\lambda_g)^{1-k}\geq c_3$以及当$\alpha_2=0$(则$c_4=0$), (4.13)式成立. 由(4.10)-(4.13)式得出

将(4..14)式乘以$e^{\nu\lambda_g r}$, 然后在区间$(s-t,s)$上积分得到

由(4.2)式和$u_0\in D(s-t)$, 存在$T>0$使得对于所有$t\geq T$,有

令$c_2=1+2c_4/(\nu\lambda_g)=1+2^{4k+1}k^k\alpha_2^k(\nu\lambda_g)^{-k}>0$. 则可得到(4.3)式.

(2) 我们证明$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$的唯一${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子的存在性. 定义

其中由(4.1)式可得

则$K(s)$是自反Banach空间$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$中的一个闭凸有界集, 因此是弱紧的. 由(4.1)式, 当$t\to +\infty$, 有

因此$K(\cdot)\in {\mathfrak D}$. 通过(4.3)式, $K(\cdot)$是$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s;H_g)$ 的${\mathfrak D}$ -拉回吸收集. 由文献[定理 2.13], 可得唯一的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子

其中闭包取在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_s; H_g)$的弱拓扑下.

为了证明在定理4.1中得到的弱均值吸引子${\cal A}(\cdot)$的后向弱紧性, 我们进一步假设

这个假设比(4.1)式强. 事实上, (5.1)式意味着(4.1)式对于任何正衰减率都成立.

引理5.1 假设$f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g)$使得(5.1)式成立, 那么对于任何$\gamma>0$,有

证 如果$\gamma\geq\lambda_g\nu$, 则(5.2)式明显成立. 假定$\gamma<\lambda_g\nu$. 通过与文献[16] 类似的方法, 我们有

由(5.1)式可知上式是有限的.证毕.

考虑$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau;H_g)$中所有后向缓增可适应集的集族, 其中可适应集$\{U(\tau)\}_{\tau\in \mathbb{R} }$被称为后向缓增的, 如果

如果$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$, 在(5.3)式中令$s=\tau$, 可知$U(\cdot)$以任意速率缓增, 因此$U(\cdot)\in {\mathfrak D}$. 从而${\mathfrak U}$是${\mathfrak D}$的一个子集族.

另一方面, 根据引理2.1, $U(\cdot)$的后向并集是明确定义的, 因此(5.3)式等价于

此外, ${\mathfrak U}$在以下意义上是后向封闭的.

引理5.2 对于每个$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$, 有$U_b(\cdot)\in {\mathfrak U}$, 其中在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau};H_g)$中有

证 令$\gamma>0$, $\tau\in \mathbb{R} $和$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$. 由(5.3)式和引理2.1可得当$t\to +\infty$

因此$U_b(\cdot)\in {\mathfrak U}$.证毕.

现在我们建立${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子的后向弱紧性.

定理5.1 假设$f$满足(5.1)式, $g$, $\sigma$仍然满足(3.2)-(3.3)式以及$\epsilon\in (0,\epsilon_0]$, 其中$\epsilon_0$是(4.11)式中的常数. 则对于均值随机动力系统$\Phi$有以下结论

(i) $\Phi$在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau; H_g)$中有一个${\mathfrak U}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}_{{\mathfrak U}}(\cdot)$.

(ii) ${\cal A}_{{\mathfrak U}}(\cdot)={\cal A}(\cdot)$, 其中${\cal A}(\cdot)$是定理4.1中的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子.

(iii) ${\cal A}(\cdot)$在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau; H_g)$中是后向弱紧的.

证 (i) 对于$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$和$\tau\in \mathbb{R} $, 存在$T:=T(U, \tau)>0$使得对于所有的$t\geq T$ 和$u_{s-t}\in U(s-t)$有

其中$c_1$和$c_2$与(4.3)式中的常数相同.

事实上, 由(4.15)式有

因$u_{s-t}\in U(s-t)$且$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$, 从(5.3)式可知当$t\to +\infty$时有

从而存在$T=T(U, \tau)>0$使得

取$c_2=1+\frac{2c_4}{\nu\lambda_g}$, 则证得(5.4)式.

由(5.4)式得到一个${\mathfrak U}$ -拉回吸收集如下

由(5.1)式可知吸收半径是有限的, 即

对于每个$\tau\in \mathbb{R} $, 集合$K_{{\mathfrak U}}(\tau)$ 是闭的、凸的、有界的, 因此在自反Banach 空间$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau;H_g)$中是弱紧的.

下证$K_{{\mathfrak U}}\in {\mathfrak U}$. 事实上, $\tau\to R_{{\mathfrak U}}(\tau)$ 是递增的. 则

设$\gamma_0=\min(\frac{\gamma}{2}, \nu\lambda_g)$, 从引理5.1可得当$t\to +\infty$,有

则$K_{{\mathfrak U}}\in {\mathfrak U}$.

运用文献[定理 2.13], 我们得到一个${\mathfrak U}$ -弱拉回均值吸引子

(ii) 由定理4.1, 均值随机动力系统$\Phi$有另外一个${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子

其中$K(\cdot)$是${\mathfrak D}$ -拉回吸收球带有半径

注意到$\sup_{s\leq \tau}R(s)=R_{{\mathfrak U}}(\tau)$, 因此$R(\tau)\leq R_{{\mathfrak U}}( \tau)$,从而对于所有$\tau\in \mathbb{R} $, $K(\tau) \subset K_{{\mathfrak U}}(\tau)$. 因此我们从(5.6) 和(5.7)式中可得

另一方面, 由定理4.1证明中的 (1), 对于每个${D}(\cdot)\in {\mathfrak D}$和$\tau \in \mathbb{R} $, 存在$T=T({D}, \tau)>0$使得对于所有$t\geq T$ 和$u_0\in {D}(\tau -t)$,有

因此弱紧${\mathfrak U}$ -拉回吸收集$K_{{\mathfrak U}}(\cdot)$也是${\mathfrak D}$ -拉回吸收的. 因为${\mathfrak U}\subset {\mathfrak D}$, 有$K_{{\mathfrak U}}\in {\mathfrak D}$. 由文献[定理 2.13], (5.6)式中的${\mathfrak U}$ -弱拉回吸引子${\cal A}_{{\mathfrak U}}$ 仍然是一个${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子. 由${\cal A}_{{\mathfrak U}}$的极小性和${\cal A}$的${\mathfrak D}$ - 弱拉回吸引性, 可得${\cal A }_{{\mathfrak U}}(\tau)\subset {\cal A}(\tau)$, 因此${\cal A}_{{\mathfrak U}} (\cdot)={\cal A }(\cdot)$. 特别地, ${\cal A}(\cdot)\in {\mathfrak U}$.

(iii) 我们证明${\cal A}_{{\mathfrak U}}(\cdot)$在$L^{2k}(\Omega,{\cal F} _\tau; H_g)$ 中是后向弱紧的.由(5.4)式, 对于每个$U(\cdot)\in {\mathfrak U}$和$\tau\in \mathbb{R} $, 存在$T=T(U, \tau )>0$使得对于所有 $t\geq T$, $s\leq \tau$和$u_{s-t}\in U(s-t)$,有

由引理2.1可知对于所有$t\geq T$, $s\leq \tau$和$u_{s-t}\in U(s-t)$,有

因此对于所有$t\geq T$,有

由(i), $K_{{\mathfrak U}}(\cdot)\in {\mathfrak U}$. 因而$K_{{\mathfrak U}}(\cdot)$在定义2.4的意义下是一个${\mathfrak U}$ -后向吸收集且在$L^{2k}(\Omega,{\cal F} _\tau; H_g)$上是弱紧的. 从而由定理2.1 可得${\cal A}_{{\mathfrak U}}(\cdot)$ 的后向弱紧性. 由(ii)有${\cal A}(\cdot)={\cal A}_{{\mathfrak U}}(\cdot)$, 因而${\cal A}(\cdot)$也是后向弱紧的.证毕.

为了更好说明我们的结论, 下面给出三个后向弱紧弱均值吸引子的例子.

推论5.1 (单点吸引子) 假设$f(\cdot)\equiv 0$, $g$满足(3.2)式, $\sigma$满足(3.3)式且$\alpha_2=0$. 则对于每个$\tau\in \mathbb{R} $, 弱均值吸引子${\cal A}(\tau) $在$L^{2k}(\Omega,{\cal F }_\tau; H_g)$中为0.

证 由$\alpha_2=0$可知$c_4=(16k)^{k}\alpha_2^k(\nu\lambda_g)^{1-k}=0$. 由(4.15)式可知, 对于每个$D\in {\mathfrak D}$, 当$t\to +\infty$

因此$\{0\}$是一个${\mathfrak D}$ -拉回弱吸收集, 由吸引子的最小性推得${\cal A}(\tau)=\{0\}$, 其中当$\tau$变化时, $0\in L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau; H_g)$ 是不同的元素.证毕.

以上的弱均值吸引子${\cal A}(\cdot)$是后向弱紧的. 此外, ${\cal A}(\cdot)$在以下意义上是渐进周期性的: 对于任何 $T>0$, 在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T}; H_g)$中有

其中$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau}; H_g)$中的0可以看作$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T};H_g)$中的0.

一般来说, 即使$f(\cdot,x)$和$\sigma(\cdot,u)$是周期的, 我们也只能获得弱拉回均值吸引子的半周期性.

推论5.2 (半周期性) 令$g$和$\sigma$分别满足(3.2)和(3.3)式.

(i) 如果$f\in L_{{\rm loc}}^{2k}(\mathbb{R},V^*_g)$是$T$ -周期的, 其中$T>0$. 则有一个后向弱紧${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)\in {\mathfrak U}$.

(ii) 如果我们进一步假设$\sigma(\cdot,u)$是$T$ -周期的, 那么${\cal A}(\cdot)$是半周期的

在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T}; H_g)$中成立.

证 (i) 对于$s\leq \tau$, 有$n\in {\Bbb N}$和$s_\tau\in (0, T]$使得$s=\tau-nT+s_\tau$, 由$f$ 的$T$ -周期性可知, 对于所有 $\gamma>0$,有

再由$f$的$T$ -周期性得

因此$f$满足(5.1)式. 由定理5.1, 存在一个${\mathfrak U}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)$使得它在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau; H_g)$ 中后向弱紧的.

(ii) 由$f$的$T$ -周期性, 很容易证明(5.8)式中的吸收半径$R(\cdot)$是$T$ -周期性的.

那么${\mathfrak D}$ -拉回吸收集$K(\cdot)$是半周期的

在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T}; H_g)$中成立. 事实上, 如果$w\in K(\tau)\subset L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau}; H_g)$, 由引理2.1, $w \in L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T}; H_g)$ 以及

因此$w\in K(\tau+T)$, 则$K(\tau)\subset K(\tau+T)$. 注意$K(\cdot)$的$T$ -周期性可能不成立.

如果$\sigma(\cdot,u)$也是$T$ -周期的, 那么可以从解的唯一性和引理2.1证明均值随机动力系统$\Phi$是渐进周期的

在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_{\tau+T+t}; H_g)$中成立. 由引理2.1和(5.7)式可得

因此, ${\cal A}(\cdot)$是半周期性的.证毕.

注5.1 在与推论5.2(ii)相同的假设下, 可以在$L^{2k}(\Omega, {\cal F}; H_g)$上定义一个均值随机动力系统$\widehat{\Phi}$(而不是$\Phi$)使得

则$\widehat{\Phi}$在$L^{2k}(\Omega,{\cal F}; H_g)$中有一个$T$ -周期弱吸引子$\widehat{{\cal A}}(\cdot)$. 由${\cal F}\supset{\cal F}_\tau$, 可知$\widehat{{\cal A}}(\cdot)$包含推论5.2(ii)中的半周期吸引子${\cal A}(\cdot)$. 但我们不知道它们是否相等.

推论5.3 (增长的外力) 假设对于所有的$s\leq \tau$, $\|f(s)\|_{V_g}\leq \|f(\tau)\|_{V_g}$, 且$g$、$\sigma$满足(3.2)-(3.3)式, 则$L^{2k}(\Omega,{\cal F}_\tau; H_g)$上的${\mathfrak D}$ -弱拉回均值吸引子${\cal A}(\cdot)$ 是后向弱紧的.

证 由假设可得

这意味着(5.1)式成立. 由定理5.1可推得结论.

后续问题. 如何判断弱均值吸引子${\cal A}(\cdot)$(甚至是Bochner空间$L^{2k}(\Omega,{\cal F}; H_g)$ 的一般子集)的(强)紧性是个未知问题. 另一方面, 与通常吸引子相比, 弱均值吸引子的不变性仍亟待解决.