输运系数依赖温度的可压缩辐射流体解的整体存在性

输运系数依赖温度的可压缩辐射流体解的整体存在性

张明玉^,

潍坊学院数学与信息科学学院山东潍坊261061

Global Existence of the Compressible and Radiative Flux with Temperature-Dependent Transport Coefficients

Zhang Mingyu^,

School of Mathematics and Information Science, Weifang University, Shandong Weifang 261061

收稿日期: 2022-04-29 修回日期: 2022-10-19

基金资助:

山东省自然科学基金(ZR2021QA049)

Received: 2022-04-29 Revised: 2022-10-19

Fund supported:

Natural Science Foundation of Shandong Province of China(ZR2021QA049)

作者简介 About authors

张明玉，E-mail:wfumath@126.com

摘要

该文主要研究了当粘性系数 $\lambda$ 和热传导系数 $\kappa$ 依赖于温度 $\theta$ , 即 $\lambda(\theta)=\theta^\alpha$ , $\kappa (\theta)=1+\theta^\beta$ , 其中 $\alpha\in[0, +\infty)$ , $\beta\in (2, +\infty)$ 时, 带有辐射项的可压缩 Navier-Stokes 方程解的全局存在性和非线性稳定性. 在关于参数 $\alpha$ 和初值的某些假设下, 该文得到了强解的全局存在唯一性. 此外, 在基于时间的一直估计下, 本文还证明了解的非线性指数稳定性. 需要指出的是, 如果 $\alpha$ 较小, 并且增长指数 $\beta$ 任意大, 则初值可以任意大.

关键词： 可压缩 Navier-Stokes 方程; 热辐射; 输运系数依赖温度; 大初值; 整体解

Abstract

In this paper, we are concerned with the the global existence and non-linear stability of the compressible and radiative Navier-Stokes matrixs when the viscosity $\lambda$ and heat conductivity $\kappa$ depend on temperature $\theta$ , i.e., $\lambda(\theta)=\theta^\alpha$ , $\kappa(\theta)=1+\theta^\beta$ with $\alpha \in [0, +\infty)$ , $\beta \in (2, +\infty)$ . The global existence and uniqueness of strong solutions are obtained under the assumptions on the parameter $\alpha$ and initial data. In addition, we also proved the non-linear exponential stability of the solutions on the basis of the fundamental uniform-in-time estimates. It should be note that the initial data could be large if $\alpha$ is small and the growth exponent $\beta$ can be arbitrarily large.

Keywords： Compressible Navier-Stokes matrixs; Thermal radiation; Temperature-dependent transport coefficients; Large initial data; Global solutions

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本文引用格式

张明玉. 输运系数依赖温度的可压缩辐射流体解的整体存在性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(2): 458-480

Zhang Mingyu. Global Existence of the Compressible and Radiative Flux with Temperature-Dependent Transport Coefficients[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(2): 458-480

1 引言

在拉格朗日坐标系中, 辐射粘性热传导流的运动可由如下可压缩 Navier-Stokes 方程控制 (参见文献[1,7])

$\begin{matrix}\label{1.1}\left\{\begin{array}{lll} \tau_{t}-u_{x}=0,\\[2mm] u_{t}+P_x=\left[\frac{\lambda u_{x}}{\tau}\right]_{x},\\[3mm] \left[e+\frac{1}{2}u^2\right]_{t}+\left(uP\right)_{x}=\left[\frac{\kappa \theta_x+\lambda u u_x}{\tau} \right]_x. \end{array}\right. \end{matrix}$

(1.1)

这里, $t>0$ 表示时间, $x\in \Omega$ 表示拉格朗日质量坐标. 变量 $\tau>0, u\in {\bf R}, \theta>0, P$ 以及 $e>0$ 分别表示比体积、速度、温度、压力和内能. 输运系数 $\lambda$ 和 $\kappa$ 分别表示粘性系数和热传导系数.

对于方程之间的关系, 我们考虑如下 Stefan-Boltzmann 系统 (参见文献[3]), 即, $P(\tau, \theta)$ 和 $e(\tau, \theta)$ 满足

$\begin{matrix}\label{1.2} P(\tau, \theta)=\frac{R\theta}{\tau}+\frac{a}{3}\theta^4, \quad \qquad e(\tau, \theta)=C_v \theta+a \tau \theta^4, \end{matrix}$

(1.2)

并且热辐射流取 $-\kappa \theta_x$ . 这里 $R>0$ 表示理想气体常数, $C_v >0$ 表示常数体积下的比热, $a>0$ 是一个常数. 粘性系数 $\lambda$ 以及热传导系数 $\kappa$ 是如下 $\theta$ 的函数

$\begin{matrix}\label{1.3} \lambda=\tilde{\lambda} \theta^\alpha, \qquad \quad \kappa=\tilde{\kappa}(1+ \theta^\beta), \qquad \forall~ \alpha, \beta \in [0, +\infty), \end{matrix}$

(1.3)

其中 $\tilde{\lambda}, \tilde{\kappa}>0$ 是常数. 本文考虑以下边界条件

$\begin{matrix}\label{1.4} (\tau, u, \theta)\big|_{t=0}=(\tau_0, u_0, \theta_0)(x), \quad x\in \overline{\Omega}=[01], \end{matrix}$

(1.4)

$\begin{matrix}\label{1.5} (u, \theta_x)\big|_{\partial \Omega}=0. \end{matrix}$

(1.5)

本文主要研究辐射流体方程(1.1)-(1.5)解的整体存在性和非线性指数稳定性. 本文其中一个主要困难出现在 $P(\tau, \theta)$ , $e(\tau, \theta)$ , $\lambda(\theta)$ 以及 $\kappa(\theta)$ 中温度 $\theta$ 的高阶非线性, 这使得温度 $\theta$ 的上界估计变得非常复杂. 为了克服这个困难, 本文利用引理 2.2、引理 2.6 以及插值技巧去降低温度的非线性阶数, 并且在(2.5)式中, 估计式 $\int_0^1 \tau \theta^4\leqslant C$ 起着非常重要的作用. 为了研究方程解的非线性指数稳定, 本文的另一个困难是如何得到解的不依赖于时间的一致估计, 为了克服这个困难, 本文充分利用引理2.2 去降低 $\theta$ 的阶数, 并且对于 $\alpha$ 的假设也对克服该困难起着重要作用. 对于第二个困难, 本文将认真分析初边值问题(1.1)-(1.5)解的估计.

在阐述本文的主要结果之前, 首先介绍如下相关背景文献. 对于理想气体, 即

$\begin{matrix}\label{1.6} P=\frac{R\theta}{\tau},\quad \qquad e=C_v \theta, \end{matrix}$

(1.6)

并且具有合适的常数 $\lambda$ 和 $\kappa$ . 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积 $\tau$ 及温度 $\theta$ 具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖 $\tau$ 和 $\theta$ 的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形

$\begin{matrix} e_{\tau}(\tau, \theta)=-P(\tau, \theta)+\theta P_{\theta}(\tau, \theta), \end{matrix}$

其中 $\lambda(\tau, \theta)$ 和 $\kappa(\tau, \theta)$ 关于 $\tau>0$ 和 $\theta\geqslant 0$ 是二阶连续可微的. Jiang 证明了大解的整体存在性. Qin^[16] 考虑了 $P, e, \kappa$ 的增长比文献[5]更加一般的情形, 并且证明了整体解的正则性和长时间行为. 最近, Wang-Zhao^[23] 考虑了如下情形

$\begin{matrix}\lambda=\tilde{\lambda}g(\tau)\theta^\alpha, \quad \kappa=\tilde{\kappa}g(\tau)\theta^\alpha, \end{matrix}$

(1.7)

其中 $\tilde{\lambda}, \tilde{\kappa}>0$ 是常数, 并且 $g(\cdot)\in C^3(0, \infty)$ 满足

$\begin{matrix} \tau^{r_1}+\tau^{-r_2}\leqslant Cg(\tau), \quad g'(\tau)^2\tau\leqslant C g(\tau)^3, \quad \forall \tau \in (0, \infty), \end{matrix}$

其中 $r_1, r_2\geqslant 1$ 及 $C$ 是正常数. 利用 Kanel^[6] 的方法, 他们证明了解的整体存在性. 近期, Sun-Zhang-Zhao^[20] 在温度高阶非线性的条件下, 证明了一维粘性热传导理想气体解的整体存在行、唯一性以及长时间行为. Sun-Zhang-Zhao^[20]得到的结果部分推广了 Li-Xu-Zhang^[23] 的结果, 其中 Li-Xu-Zhang 主要考虑 $r_1=r_2=0$ 即在 (1.7) 式中 $g(\cdot)=$ constant的情形.

对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在 $H^1$ 下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在 $H^i$ ( $i$ =1,2,4) 中建立了解的全局存在性和指数稳定性. Umehara-Tani^[22] 考虑了辐射反应过程存在下的自引力一维气体介质, 得到了经典解的整体唯一性. 对于可压缩的辐射磁流体方程, Zhang-Xie^[24] 考虑了具有如下增长条件的三维可压缩非线性磁流体方程

$\begin{matrix} \kappa_1(1+\theta^q)\leqslant \kappa(\rho, \theta), \qquad \qquad |\kappa_{\rho}(\rho, \theta)|\leqslant \kappa_2(1+\theta^q) \quad \forall~q>\frac{5}{2},\end{matrix}$

其中正常数 $\kappa_1\leqslant \kappa_2$ . 他们证明了大初值下经典解的整体存在性和唯一性. 另一方面, 假设 $\kappa(\tau, \theta)$ 满足

$\begin{matrix} \kappa_1(1+\theta^q)\leqslant \kappa(\tau, \theta)\leqslant \kappa_2(1+\theta^q), \quad \qquad |\kappa_{\tau}+\kappa_{\tau \tau}|\leqslant \kappa_2(1+\theta^q) \quad \forall~q>2,\end{matrix}$

其中正常数 $\kappa_1\leqslant \kappa_2$ . Qin-Liu-Yang^[19] 研究了一维可压缩辐射磁流体方程, 并且在 $H_{+}^i$ $(i=1, 2, 4)$ 下得到了解的整体存在性和指数稳定性. 本文主要研究辐射流体方程 (1.1)-(1.5) 解的整体存在性、唯一性以及非线性指数稳定性.

不失一般性, 假设 $R=C_v=a=\tilde{\lambda}=\tilde{\kappa}=1$ . 接下来给出本文的主要结果.

定理1.1 假设初值 $(\tau_0, u_0, \theta_0)$ 满足

$\begin{matrix} \inf_{x\in [01]}\tau_0(x)\geqslant N_0, \qquad \inf_{x\in [01]}\theta_0\geqslant N_0, \qquad \|(\tau_0, u_0, \theta_0)\|_{H^2}\leqslant M_0, \end{matrix}$

(1.8)

对于正常数 $N_0$ 及 $M_0$ . 则存在一个仅依赖于 $N_0, M_0, \beta$ 的正的常数 $\varepsilon$ 使得如果

$\begin{matrix} |\alpha|\leqslant \varepsilon, \end{matrix}$

(1.9)

那么当 $\beta >2$ 时, 初边值问题 (1.1)-(1.5) 在 $[01]\times [0, \infty)$ 上存在唯一整体解 $(\tau, u, \theta)$ , 满足

$\begin{matrix}\label \inf_{(x, t)\in [01]\times [0, \infty)}\Big\{\tau(x, t), \theta(x, t)\Big\}>0, \qquad \sup_{(x, t)\in [01]\times [0, \infty)}\Big\{\tau(x, t), \theta(x, t)\Big\} < \infty \end{matrix}$

(1.10)

及

$\begin{matrix} (\tau, u, \theta)\in C([0, \infty); H^2), \quad \tau_x \in L^2(0, \infty; H^1), \quad (u_x, \theta_x)\in L^2(0, \infty; H^2). \end{matrix}$

(1.11)

此外, 对任意 $t\geqslant 0$ , 成立

$\begin{matrix} \|(\tau-m_0, ~u, ~\theta-\tilde{\theta})(t)\|_{H^1}\leqslant Ce^{-\sigma t}, \end{matrix}$

(1.12)

其中 $C$ 和 $\sigma$ 是正的常数. $m_0$ 和 $\tilde{\theta}$ 由下式决定

$\begin{matrix} m_0 \triangleq \int_0^1 \tau_0 {\rm d}x, \qquad e(m_0, \tilde{\theta}) \triangleq \int_0^1\left(\theta_0+\tau_0 \theta_0^4+\frac{1}{2}u_0^2\right){\rm d}x. \end{matrix}$

注 1.1 值得注意的是, 该定理包含了 $\alpha=0$ 的情形, 因此, 该定理部分推广了 Wang-Zhang^[23] 在(1.7) 式中关于 $g(\cdot)$ 的假设没有包含 $\lambda$ 是常数的情形.

注 1.2 如果 $\alpha=0$ , 那么在没有 $m_0$ 小性的假设下, 本文也能得到 Qin-Liu-Yang 在文献[19]中的结果.

本文的其余部分组织如下: 在第二部分中, 建立与时间 $t$ 无关的初始边值问题 (1.1)-(1.5) 解的全局解估计, 在该全局估计下, 在第三部分中, 本文将证明定理 1.1 成立.

2 先验估计

对于正的常数 $m_1, m_2, T$ 和 $N\geqslant 1$ , 定义

$\begin{matrix}&&X(0, T; m_1, m_2, N)\\&\triangleq& \left\{(\tau, u, \theta): (\tau, u, \theta)\in C([T]; H^2), \quad \tau_t \in C([T]; H^1),\right.\\&& \left. (u_x, \theta_x)\in L^2(0, T; H^2), \quad (\tau_x, u_t, \theta_t)\in L^2(0, T; H^1),\right.\\&& \left. {\cal E}(0, T)\leqslant N^2, \quad \tau(x, t)\geqslant m_1, \quad \theta(x, t)\geqslant m_2, \quad \forall~(x, t)\in [01]\times[T]\right\},\end{matrix}$

(2.1)

其中

$\begin{matrix}{\cal E}(0, T)\triangleq \sup_{t\in [T]}\|(\tau_x, u_x, \theta_x)\|_{H^1}^2+\int_0^T\|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t.\end{matrix}$

(2.2)

不失一般性, 假设

$\begin{matrix}\int_{0}^{1}\tau_0(x){\rm d}x=1, \quad \int_0^1\left(\theta_0+\tau_0 \theta_0^4+\frac{1}{2}u_0^2\right)(x){\rm d}x=1, \end{matrix}$

(2.3)

并且由方程(1.1) 知

$\begin{matrix}\int_{0}^{1}\tau_0(x){\rm d}x=\int_{0}^{1}\tau(x, t){\rm d}x=1\end{matrix}$

(2.4)

和

$\begin{matrix}\label{2.5} \int_0^1\left(\theta+\tau \theta^4+\frac{1}{2}u^2\right)(x, t)~{\rm d}x=\int_0^1\left(\theta_0+\tau_0 \theta_0^4+\frac{1}{2}u_0^2\right)(x){\rm d}x=1. \end{matrix}$

(2.5)

接下来, 利用 Kazhikhov^[9] 的思想, 本文将给出 $\tau$ 的表达式. 下面的引理证明与文献[2,11]类似, 因此本文将不再证明.

引理2.1 对任意 $t\geqslant0$ , 存在一点 $\eta_0(t)\in (0,1)$ 使得方程 (1.1)-(1.5) 式的体积 $\tau(x, t)$ 有如下表达式

$\begin{matrix} \tau(x,t) &=&D(x,t)B(t)\\ &&+\int_{0}^{t}\frac{D(x, t)B(t)}{D(x, s)B(s)}\tau(x, s)\left\{\frac{P}{\lambda}+ \int_0^x g{\rm d}y-\int_0^1 \tau \left(\int_0^x g{\rm d}y\right){\rm d}x \right\}(x, s){\rm d}s, \end{matrix}$

(2.6)

这里

$\begin{matrix} g(x, t)\triangleq -\left[u\left(\frac{1}{\lambda}\right)_t+P\left(\frac{1}{\lambda}\right)_x+\frac{\lambda_x u_x}{\lambda \tau}\right], \end{matrix}$

(2.7)

$\begin{matrix} B(t)\triangleq\exp \left\{- \int_{0}^{t}\int_{0}^{1}\frac{1}{\lambda} \left(u^2+\tau P\right)(x,s) {\rm d}x ds \right\}, \end{matrix}$

(2.8)

且

$\begin{matrix} D(x, t)\triangleq \tau_{0}(x)\exp \left\{\int_{\eta_{0}(t)}^{x} \frac{u}{\lambda} {\rm d}y-\int_{0}^{x}\frac{u_0}{\lambda_0} {\rm d}y+\int_{0}^{1}\tau_{0} \left(\int_{0}^{x}\frac{u_0}{\lambda_0}{\rm d}y \right) {\rm d}x \right\} \end{matrix}$

(2.9)

其中 $\lambda_0\triangleq \lambda(\theta_0)$ .

在本文中, 用 $C$ , $C_i$ 和 $\bar{C}_i (i=1, 2, \cdots)$ 表示仅依赖于 $N_0, M_0$ 和 $\beta$ 的整的常数. 本文有时也用 $C(\zeta)$ 强调常数 $C$ 依赖于 $\zeta$ . 接下来给出如下定理.

引理2.2 假设 $(\tau, u,\theta)\in X(0, T; m_1, m_2, N)$ 是方程 (1.1)-(1.5) 在 $[01]\times (0, T)$ 上的解, 满足

$\begin{matrix}\label{2.10} m_2^{-\alpha}\leqslant 2, \qquad N^{\alpha}\leqslant 2, \qquad \alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\leqslant \varepsilon_0,\end{matrix}$

(2.10)

其中 ${\cal H}(m_1, m_2, N)\triangleq\left(1+m_1^{-1}+m_2^{-1}+N\right)^6$ , 则对于仅依赖于 $N_0$ , $M_0$ 和 $\beta$ 的正常数 $C_0$ 和 $\varepsilon_0$ 成立

$\begin{matrix}\label{2.11} C_0^{-1} \leqslant \tau(x, t)\leqslant C_0, \quad \forall ~(x, t)\in \overline{\Omega}_T \triangleq [01]\times [T]. \end{matrix}$

(2.11)

证方程 (1.1) $_3$ 可改写如下

$\begin{matrix}\label{2.12}e_t+Pu_x=\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_x+\frac{\lambda u_x^2}{\tau},\end{matrix}$

(2.12)

其中 $\lambda(\theta)=\theta^\alpha, \quad \kappa(\theta)=1+\theta^\beta$ .

(1.1) $_1$ 式, (1.1) $_2$ 式和 (2.12) 式分别乘以 $1-\tau^{-1}$ , $u$ 和 $1-\theta^{-1}$ , 并在 $[01]\times [T]$ 上积分得

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\Phi(t)+\int_0^T V(t){\rm d}t\leqslant 2E_0,\end{matrix}$

(2.13)

其中

$\Phi(t) \triangleq \int_{0}^{1}\left(\theta+\tau \theta^4+\frac{1}{2}u^2+(\theta-\ln\theta-1)+(\tau-\ln\tau-1) \right)(x, t){\rm d}x,$

$V(t) \triangleq \int_{0}^{1}\left(\frac{\kappa \theta_{x}^{2}}{\tau \theta^2}+\frac{\lambda u_{x}^2 }{\tau \theta} \right)(x, t){\rm d}x,$

$E_0\triangleq \int_{0}^{1}\left(\theta_0+\tau_0 \theta_0^4+\frac{1}{2}u_0^2+(\theta_0-\ln\theta_0-1)+(\tau_0-\ln\tau_0-1) \right)(x){\rm d}x.$

(2.13) 式连同凸函数 $(-\ln y)$ 得

$\int_{0}^{1} \theta {\rm d}x-\ln \int_{0}^{1}\theta {\rm d}x-1\leqslant \int_{0}^{1}(\theta -\ln \theta -1){\rm d}x\leqslant 2E_0,$

该式连同 (2.5) 式知, 存在一点 $x^*(t)\in [01]$ 和一个正常数 $r_0\in (0, 1)$ , 使得

$\begin{matrix}\label{2.14} \bar{\theta}(t)\triangleq \theta(x^*(t), t)=\int_{0}^{1}\theta(x, t){\rm d}x \in [r_0, 1],\quad \forall~t \in [T]. \end{matrix}$

(2.14)

接下来证明 $\tau$ 的下界. 由 (2.5) 式和 (2.10) 式知, 对任意 $\eta_0(t)\in(0, 1)$ 有

$\bigg|\int_{\eta_0(t)}^x \frac{u}{\lambda}{\rm d}y\bigg|\leqslant m_2^{-\alpha}\|u(t)\|_{L^2}\leqslant 2\sqrt{2}.$

则由 (2.9) 式知

$\begin{matrix}0<C^{-1} \leqslant D(x, t) \leqslant C, \quad\quad \forall (x, t)\in [01]\times [T].\end{matrix}$

(2.15)

由积分中值定理和 (2.1) 式以及 (2.2) 式知

$\begin{matrix}\|(\theta-\bar{\theta})(t)\|_{L^\infty}\leqslant \|\theta_x(t)\|_{L^2}\Rightarrow \|\theta\|_{L^\infty}\leqslant 1+\|\theta_x\|_{L^2}, \quad \forall~t\in [T],\end{matrix}$

因此, 由 (2.5) 式和 (2.10) 式得

$\begin{matrix} \frac{1}{9}&\leqslant& \frac{1}{3(N^{\alpha}+1)}\int_{0}^{1} (\frac{1}{2}u^2+\theta+\tau \theta^4){\rm d}x \leqslant \int_{0}^{1} \frac{1}{\lambda}(u^2+\tau P){\rm d}x\\ &\leqslant& 2m_2^{-\alpha}\int_{0}^{1} \Big(\frac{1}{2}u^2+\theta+\tau \theta^4\Big){\rm d}x\leqslant 9,\end{matrix}$

则由 (2.8) 式知

$\begin{matrix}e^{-9t}\leqslant B(t)\leqslant e^{-\frac{t}{9}}, \quad e^{-9(t-s)}\leqslant \frac{B(t)}{B(s)}\leqslant e^{-\frac{t-s}{9}}.\end{matrix}$

由 (2.5) 式, (2.7) 式和 (2.10) 式知

$\begin{matrix}\label{2.17} \left|\tau \int_0^x g{\rm d}y \right| &= &\left|\tau \int_0^x \left[u\left(\frac{1}{\lambda}\right)_t+P\left(\frac{1}{\lambda}\right)_x+\frac{\lambda_x u_x}{\lambda \tau} \right]{\rm d}y \right| \\ &\leqslant& \alpha \|\tau\|_{L^\infty}\int_0^1 \left(|\theta^{-(\alpha+1)}\theta_t u|+|\theta^{-\alpha}\tau^{-1}\theta_x|+|\theta^{-\alpha+3}\theta_x |+\left|\frac{\theta_x u_x}{\theta \tau}\right|\right){\rm d}x\\ &\leqslant &2\alpha N m_2^{-\alpha}\left(\frac{1}{m_2}\|\theta_t\|_{L^2}\|u\|_{L^2}+\frac{1}{m_1}\|\theta_x\|_{L^2}\right)\\ &&+2\alpha N m_2^{-\alpha}\left(\frac{1}{m_2}\right)^{1/2}\|\theta\|_{L^\infty}\|\theta_x\|_{L^2}\|\tau^{1/2}\theta^2\|_{L^2}+\frac{2\alpha N}{m_1 m_2}\|\theta_x\|_{L^2}\|u_x\|_{L^2}\\ &\leqslant &4\alpha N \left(\frac{2}{m_2}\|\theta_t\|_{L^2}+\frac{N}{m_1}+2N^2\left[\frac{1}{m_2}+1\right]\right)+\frac{4\alpha N^3}{m_1 m_2}\\ &\leqslant& \frac{\alpha N}{m_2}\|\theta_t\|_{L^2}^2+C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N), \end{matrix}$

(2.17)

这里用到了如下不等式

$\|\tau\|_{L^\infty}\leqslant \|\tau\|_{L^1}+\|\tau_x\|_{L^2}\leqslant 2N, \qquad \|u\|_{L^2}\leqslant \|u_x\|_{L^2}\leqslant N.$

同理

$\begin{matrix} \left|\tau \int_0^1\tau \left(\int_0^x g{\rm d}y\right){\rm d}x \right| \leqslant \frac{\alpha N}{m_2}\|\theta_t\|_{L^2}^2+C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N), \end{matrix}$

(2.18)

另一方面, 由 (2.4) 式和 (2.14) 式知

$\begin{matrix} \left|\theta^{m}(x, t)-\bar{\theta}^{m}(x^*(t), t)\right| &=&m \left| \int_{x^*(t)}^x \theta^{m-1}\theta_y{\rm d}y \right|\\& \leqslant& C \left(\int_{0}^{1}\frac{\kappa \theta_x^2}{\tau \theta^2}{\rm d}x \right)^{1/2} \left(\int_{0}^{1}\frac{\tau \theta^{2m}}{\kappa}{\rm d}x\right)^{1/2}\\ & \leqslant& C V(t)^{1/2}\left(\int_{0}^{1}\tau (1+\theta)^{2m-\beta} {\rm d}x\right)^{1/2}\\ & \leqslant &C V(t)^{1/2},\qquad \forall~m \in [\frac{\beta+4}{2}], \end{matrix}$

(2.19)

则

$\begin{matrix}\min_{x\in [01]}\theta(x, t)\geqslant C_1-C_2V(t). \end{matrix}$

(2.20)

注意到 $\tau P=\theta+\frac{1}{3}\tau \theta^4\geqslant \theta$ , 将 (2.15)-(2.18) 式和 (2.20) 式带入 (2.6) 式, 并利用 (2.10) 式和 (2.13) 式得

$\begin{matrix}\tau(x, t)&\geqslant& C^{-1}\frac{1}{\|\theta\|_{L^\infty}^{\alpha}}\int_0^t e^{-9(t-s)}\min_{x\in [01]}\theta(x, s){\rm d}s\\&&-C \int_0^t e^{-\frac{t-s}{9}}\left(\frac{\alpha N}{m_2}\|\theta_s\|_{L^2}^2+\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\right){\rm d}s\\&\geqslant& \frac{C}{2N^{\alpha}}\int_0^t e^{-9(t-s)}\left[C_1-C_2V(s)\right]{\rm d}s-\frac{C\alpha N}{m_2}\int_0^t \|\theta_s\|_{L^2}^2{\rm d}s-C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\\&\geqslant& \frac{CC_1}{36}\left(1-e^{-9t}\right)-CC_2 \int_0^t e^{-9(t-s)}V(s){\rm d}s-C\varepsilon_0.\end{matrix}$

(2.21)

对于(2.21) 式右端得第二项, 由 (2.13) 式知

$\begin{matrix}\int_0^t e^{-9(t-s)}V(s){\rm d}s&=&\int_0^{\frac{t}{2}} e^{-9(t-s)}V(s){\rm d}s+\int_{\frac{t}{2}}^t e^{-9(t-s)}V(s){\rm d}s\\&\leqslant &e^{-\frac{9}{2}t}\int_0^{\frac{t}{2}} V(s){\rm d}s+\int_{\frac{t}{2}}^t V(s){\rm d}s\to 0, \quad t\to \infty.\end{matrix}$

则存在一个大的时间 $t^*>0$ , 使得

$\begin{matrix}\frac{CC_1}{36}e^{-9t}+CC_2\int_0^t e^{-9(t-s)}V(s){\rm d}s\leqslant \frac{CC_1}{144},\quad \forall~t\geqslant t^*,\end{matrix}$

于是

$\begin{matrix}\tau(x, t)\geqslant \frac{CC_1}{72},\quad \forall~x\in [01], \quad t\geqslant t^*,\end{matrix}$

(2.22)

如果 $0<\varepsilon_0 \leqslant \min\{1, \frac{C_1}{144C}\}$ .

对任意 $t \in [t^*]$ , 由 (2.6) 式, (2.10) 式和 (2.15)-(2.18) 式知

$\begin{matrix}\tau(x, t)&\geqslant& D(x, t)B(t)-C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\int_0^{t^*} e^{-\frac{t-s}{9}}{\rm d}s-\frac{C\alpha N}{m_2}\int_0^{t^*} \|\theta_s\|_{L^2}^2{\rm d}s\\&\geqslant& C_3^{-1}e^{-9t^*}-C_3 \alpha {\cal H}(m_1, m_2, N) \\&\geqslant& C_3^{-1}e^{-9t^*}- \varepsilon_0 C_3\\&\geqslant &\frac{e^{-9t^*}}{2C_3}\end{matrix}$

(2.23)

其中 $\varepsilon_0$ 非常小, 使得 $\varepsilon_0\leqslant \frac{e^{-9t^*}}{2C_3^2}$ . 由 (2.22) 式和 (2.23) 式知

$\begin{matrix}\tau(x,t)\geqslant C_0^{-1}\triangleq \min\Big\{\frac{CC_1}{72}, \frac{e^{-9t^*}}{2C_3}\Big\},\qquad \forall~(x, t)\in [01]\times [T],\end{matrix}$

(2.24)

如果 $\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\leqslant \varepsilon_0$ ,其中 $\varepsilon_0\leqslant \min \big\{ 1, \frac{C_1}{144C}, \frac{e^{-9t^*}}{2C_3^2}\big\}$ .

另一方面, 由 (2.19) 式知

$\begin{matrix}\theta^{2m}(x, t)\leqslant C+CV(t)\qquad \forall~m \in [\frac{\beta+4}{2}].\end{matrix}$ (2.25)

取 $m=\frac{\beta+4}{2}$ , 则对任意得 $\beta \geqslant 0$ 有

$\begin{matrix}\theta (x, t)\leqslant C\left[1+V(t)\right]^{\frac{1}{\beta+4}}\leqslant C+C V(t),\qquad \theta^4 (x, t)\leqslant C\left[1+V(t)\right]^{\frac{4}{\beta+4}}\leqslant C+C V(t).\end{matrix}$

(2.26)

由 Cauchy-Schwarz's 不等式以及 (2.13) 式, (2.15)-(2.18) 式和 (2.24)-(2.26) 式知

$\begin{matrix}\tau(x, t)&\leqslant &Ce^{-\frac{t}{9}}+C \int_0^te^{-\frac{t-s}{9}}\left[\theta^{-\alpha}\|\tau\|_{L^\infty}(\theta+ \theta^4)+\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)+\frac{\alpha N}{m_2}\|\theta_s\|_{L^2}^2\right]{\rm d}s\\&\leqslant &C+Cm_2^{-\alpha}\int_0^t e^{-\frac{t-s}{9}}[1+V(t)] \|\tau\|_{L^\infty}{\rm d}s+C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\int_0^t e^{-\frac{t-s}{9}}{\rm d}s\\&\quad &+C \alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\\&\leqslant& C+C \alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)+C \int_0^t \left[e^{-\frac{t-s}{9}}+V(s)\right]\|\tau\|_{L^\infty}{\rm d}s\\&\leqslant &C+C \int_0^t \left[e^{-\frac{t-s}{9}}+V(s)\right]\|\tau\|_{L^\infty}{\rm d}s.\end{matrix}$

由 Gronwall 不等式得

$\tau(x, t)\leqslant C_0, \quad \forall~(x, t)\in [01]\times [T],$

该式连同 (2.24) 式便得 (2.11) 成立.证毕.

接下来证明 $\theta$ 得上下界. 为此, 定义

$K\triangleq \sup_{0 \leqslant t \leqslant T}\|\theta(t)\|_{L^{\infty}}.$

引理2.3 在引理 2.2 的假设下, 下列估计式成立

$\begin{matrix}\label{2.27} \sup_{t\in [T]}\|\tau_x(t)\|_{L^2}^2+\int_{0}^{T} \int_{0}^{1}\left(\tau_x^2+\theta \tau_x^2 \right)(x, t) {\rm d}x {\rm d}t \leqslant C+CK^{q_0}, \end{matrix}$

(2.27)

其中 $q_0=\max\{4+\alpha-\beta, 0\}$ .

证方程 (1.1) $_2$ 式可改写如下

$\begin{matrix} \left(u- \frac{\lambda \tau_x}{\tau} \right)_t =\frac{\theta \tau_x}{\tau^2}-\frac{\theta_x}{\tau}-\frac{4}{3}\theta^3 \theta_x-\frac{\alpha \theta^{\alpha}}{\tau \theta}\left(\theta_t \tau_x-\theta_x u_x\right). \end{matrix}$

(2.28)

(2.28)式两端乘以 $\left(u-\frac{\lambda \tau_x}{\tau} \right)$ , 并在 $[01]$ 上积分得

$\begin{matrix} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\left(u-\frac{\lambda \tau_x}{\tau} \right)^2{\rm d}x+\int_{0}^{1}\frac{\lambda \theta \tau_x^2}{\tau^3} {\rm d}x\\&=&\int_0^1\frac{\theta u \tau_x}{\tau^2} {\rm d}x+\int_0^1 \left(\frac{1}{\tau}+\frac{4}{3}\theta^3\right)\theta_x \left(u-\frac{\lambda \tau_x}{\tau}\right)+\int_0^1\frac{\alpha \lambda (\theta_t \tau_x-\theta_x u_x)}{\tau \theta}\left(u-\frac{\lambda \tau_x}{\tau}\right) {\rm d}x, \end{matrix}$

该式连同 (2.11) 式知

$\begin{matrix}& &\sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2} \tau_x(t)\|_{L^2}^2+\int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t\\ & \leqslant& C+C\int_0^T \int_0^1\left(|\theta u \tau_x|+|\theta_x u|+|\lambda \theta_x \tau_x|+|\theta^3 \theta_x u|+|\lambda \theta^3 \theta_x \tau_x|\right) {\rm d}x{\rm d}t\\&& +\int_0^T \int_0^1\frac{\alpha \lambda}{\theta}\left(|\theta_t \tau_x u|+|\lambda \theta_t \tau_x^2|+|\theta_x u_x u|+|\lambda \theta_x u_x \tau_x|\right) {\rm d}x{\rm d}t\\& \triangleq& C+C \sum_{i=1}^9 J_i. \end{matrix}$

(2.29)

利用 (2.5) 式, (2.10) 式和 (2.13) 式推得对任意 $\delta \in (0, 1)$ 有

$\begin{matrix} J_1 &\leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t+C(\delta) \int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2\left(\int_0^1 \theta {\rm d}x\right){\rm d}t\\ &\leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta), \end{matrix}$

这里用到了如下不等式

$\begin{matrix} \int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2{\rm d}t&\leqslant & \int_0^T\|u_x\|_{L^1}^2{\rm d}t \leqslant \int_0^T \left(\int_0^1\frac{\lambda u_x^2}{\tau \theta} {\rm d}x\right)\left(\int_0^1\frac{\tau \theta}{\lambda}{\rm d}x\right){\rm d}t\\ &\leqslant& Cm_2^{-\alpha}\int_0^TV(t){\rm d}t \leqslant C, \end{matrix}$

(2.30)

同理

$\begin{matrix} J_2 &\leqslant & \int_0^T \left(\int_0^1 \frac{\kappa \theta_x^2}{\tau \theta^2}~{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^1\frac{\tau \theta^2}{\kappa}u^2 {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ &\leqslant& C+ C \int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2 \int_0^1\tau (1+\theta)^{2-\beta} {\rm d}x{\rm d}t\leqslant C, \end{matrix}$

这里用到了(2.30) 式和如下不等式

$\int_0^1 \tau (1+\theta)^{2-\beta} {\rm d}x \leqslant C \int_0^1 (\tau+\tau\theta^2) {\rm d}x\leqslant C.$

由 (2.13) 式知

$\begin{matrix} J_3 &\leqslant & \int_0^T \left(\int_0^1 \frac{\kappa \theta_x^2}{\tau \theta^2}{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^1\frac{\tau \theta^2\lambda^2}{\kappa}\tau_x^2 {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ &\leqslant &C \left\| \frac{\theta \lambda}{\kappa}\right\|_{L^{\infty}}^{1/2}\bigg(\int_0^T \int_0^1\lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ &\leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1\lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta) K^{q_0} \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} J_4 &\leqslant & \int_0^T \left(\int_0^1 \frac{\kappa \theta_x^2}{\tau \theta^2}{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^1\frac{\tau \theta^8 u^2}{\kappa} {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ &\leqslant& C+C\int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2 \int_0^1\tau \theta^{8-\beta} {\rm d}x{\rm d}t\leqslant C+CK^{q_0}. \end{matrix}$

由 Cauchy-Schwarz 不等式以及(2.13) 式知

$\begin{matrix}\int_0^T \int_0^1|\lambda (\theta^2-\bar{\theta}^2)\theta \theta_x \tau_x | {\rm d}x {\rm d}t&\leqslant &C \int_0^T \left(\int_0^1\theta \theta_x {\rm d}x\right)\left(\int_0^1\lambda \theta \theta_x \tau_x {\rm d}x\right){\rm d}t\\ & \leqslant &C \int_0^T V(t)\left(\int_0^1\frac{\tau \theta^4}{\kappa} {\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^1\frac{\tau \theta^4 \lambda}{\kappa} \lambda \tau_x^2 {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ &\leqslant& C \sup_{t\in [T]} \left[\left(\int_0^1\tau(1+\theta^4){\rm d}x\right)^{1/2} \left\| \frac{\tau \theta^4 \lambda}{\kappa}\right\|_{L^{\infty}}^{1/2}\|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2} \right]\\ & \leqslant& \delta \sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2}^2+C(\delta)K^{q_0}, \end{matrix}$

于是

$\begin{matrix}J_5& \leqslant& \int_0^T \int_0^1\left(|\lambda (\theta^2-\bar{\theta}^2)\theta \theta_x \tau_x | +|\lambda \bar{\theta}^2\theta \theta_x \tau_x | \right){\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& \delta \sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2}^2+C(\delta)K^{q_0}+ \bigg(\int_0^T V(t) {\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^T\int_0^1\frac{\theta^4\lambda^2}{\kappa}\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant& \delta \sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2}^2+C(\delta)K^{q_0}+ \left\| \frac{\theta^3 \lambda}{\kappa}\right\|_{L^{\infty}}^{1/2} \bigg(\int_0^T \int_0^1\lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant& \delta \sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2}^2+\delta \int_0^T \int_0^1\lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t +C(\delta)+C(\delta) K^{q_0}. \end{matrix}$

在 (2.25) 式中取 $m=\alpha$ , 由 (2.10) 式和 (2.13)式知

$\begin{matrix} J_6 & \leqslant& \frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T \left(1+V^{1/2}(t)\right)\int_0^1 |\theta_t \tau_x u| {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T\left(1+V^{1/2}(t)\right) \|\theta_t\|_{L^2} \|\tau_x\|_{L^2}\|u\|_{L^\infty}{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{C \alpha N}{m_2} \bigg(\int_0^T \|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ &&+ \frac{C \alpha N^2}{m_2}\bigg(\int_0^T \|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^TV(t) {\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant& C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\leqslant C. \end{matrix}$

利用 $0\leqslant 2\alpha \leqslant 2\leqslant \frac{\beta+4}{2}$ , 在 (2.25) 式中取 $m=2\alpha$ , 则

$\begin{matrix} J_7 & \leqslant& \frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T \left(1+V^{1/2}(t)\right)\int_0^1 |\theta_t \tau_x^2 | {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& \frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T\int_0^1 |\theta_t \tau_x^2 | {\rm d}x{\rm d}t+\frac{C \alpha}{m_2} \int_0^TV^{1/2}(t) \|\theta_t\|_{L^2} \|\tau_x\|_{H^1}^2{\rm d}t\\ & \leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta)\left[\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\right]^2\\ && + \frac{C \alpha N^2}{m_2} \bigg(\int_0^T \|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^TV(t){\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta). \end{matrix}$

类似于 $J_6$ , 由 (2.30) 式知

$\begin{matrix} J_8 &\leqslant &\frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T \left(1+V^{1/2}(t)\right)\int_0^1 |\theta_x u_x u | {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& \frac{C \alpha}{m_2} \int_0^T\|\theta_x\|_{L^\infty}\|u\|_{L^\infty}\left(\|u_x\|_{L^1} +V^{1/2}(t)\|u_x\|_{L^2}\right){\rm d}t\\ & \leqslant& \frac{C \alpha N^2}{m_2} \bigg(\int_0^T \|u\|_{L^\infty}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^T[\|u_x\|_{L^1}^2+V(t) ]{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ &\leqslant& C\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\leqslant C, \\ J_9 & \leqslant& C \alpha \int_0^T \left (1+V^{1/2}(t)\right)\int_0^1\frac{1}{\theta} |\theta_x u_x \tau_x | {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t+\frac{C(\delta) \alpha^2}{m_2^{2\alpha+2}}\int_0^T\|\tau_x\|_{L^\infty}^2 \int_0^1\frac{\lambda u_x^2}{\tau \theta} {\rm d}x{\rm d}t\\ && + \frac{C \alpha N^2}{m_2^{(\alpha+1)/2}} \bigg(\int_0^T\int_0^1 \frac{\lambda u_x^2}{\tau \theta}{\rm d}x {\rm d}t\bigg)^{1/2}\bigg(\int_0^TV(t){\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 \lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta). \end{matrix}$

将 $J_i (i=1, 2, \cdots, 9)$ 带入 (2.29) 式, 并利用 (2.10)式得

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}\tau_x(t)\|_{L^2}^2+\int_{0}^{T} \int_{0}^{1}\lambda \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_0}, \end{matrix}$

该式连同 (2.19) 式得

$\begin{matrix} \int_{0}^{T} \int_{0}^{1} \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \int_{0}^{T} \|\theta-\bar{\theta}\|_{L^\infty}\|\tau_x\|_{L^2}^2 {\rm d}t+C\int_{0}^{T} \int_{0}^{1} \theta \tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\leqslant C+CK^{q_0}, \end{matrix}$

(2.31)

于是便得到了 (2.27) 式.证毕.

引理2.4 在引理 2.2 的假设下, 下列估计式成立

$\begin{matrix}\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{2m}\tau_x^2{\rm d}x{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_0},\qquad \int_0^T\int_0^1(1+\theta)^{2m} u^2 {\rm d}x dt\leqslant C, \end{matrix}$

(2.32)

其中 $0\leqslant m \leqslant \frac{\beta+4}{2}$ .

证由 (2.25) 式和 (2.27) 式知

$\begin{matrix} \int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{2m}\tau_x^2{\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \int_{0}^{T}\int_0^1\tau_x^2{\rm d}x{\rm d}t +C \int_{0}^{T}V(t) \|\tau_x\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_0}. \end{matrix}$

(2.32) $_2$ 式的证明同理于 (2.32) $_1$ 式.证毕.

引理2.5 在引理 2.2 的假设下, 下列估计式成立

$\begin{matrix} \int_0^T \|u_x\|_{L^2}^2{\rm d}t\leqslant C+CK^{q_0}, \end{matrix}$

(2.33)

$\begin{matrix}\sup_{t\in [T]}\|u_x\|_{L^2}^2+\int_0^T \|u_t\|_{L^2}^2{\rm d}t\leqslant C+CK^{q_1}, \end{matrix}$

(2.34)

$\begin{matrix}\int_0^T \|u_{x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t\leqslant C+CK^{q_2}, \end{matrix}$

(2.35)

其中 $q_1=\max\{8+3\alpha-\beta, 0\}, q_2=\max\{3q_0, q_1\}$ .

证在 (1.1) $_2$ 式两端乘以 $u$ , 并在 $[01]\times[T]$ 上积分, 由 (2.32) 式知

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|u\|_{L^2}^2+\int_0^T\int_0^1 \lambda u_x^2 {\rm d}x{\rm d}t &\leqslant& C+C \int_0^T \int_0^1 \left(|\theta u \tau_x |+|\theta_x u|+|\theta^3 \theta_x u|\right) {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &C+C\int_0^T \int_0^1 (\theta^2 \tau_x^2+u^2) {\rm d}x{\rm d}t +C\int_0^T V(t){\rm d}t\\ &&+\int_0^T \int_0^1\frac{\theta^2 (1+\theta^3)u^2}{\kappa} {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &C+CK^{q_0}. \end{matrix}$

在 (1.1) $_2$ 式两端分别乘以 $u_{x x}$ 和 $u_{t}$ , 并在 $[01]\times[T]$ 上积分, 由 (2.1) 式, (2.2) 式和 (2.32) 式知

$\begin{matrix} &&\sup_{t\in [T]}\|u_{x}\|_{L^2}^2+\int_0^T \int_0^1\lambda u_{x x}^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{1}{4}\int_0^T \int_0^1\lambda u_{x x}^2 {\rm d}x{\rm d}t+C+C \int_0^T \int_0^1 \left[(1+\theta^3)^2\theta_x^2+\theta^2 \tau_x^2+\frac{\alpha^2\theta^{2\alpha}}{\theta^2}\theta_x^2 u_x^2+\lambda u_x^2 \tau_x^2\right] {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{1}{4}\int_0^T \int_0^1\lambda u_{x x}^2 {\rm d}x {\rm d}t+C+CK^{8-\beta}+CK^{q_0}\\ &&+C\left[\alpha {\cal H}(m_1, m_2, N)\right]^2+C\int_0^T \|u_x\|_{L^\infty}^2 \|\lambda^{1/2}\tau_x\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{1}{2}\int_0^T \int_0^1\lambda u_{x x}^2 {\rm d}x {\rm d}t+C+CK^{8-\beta}+CK^{q_0}+ C(1+K^{2q_0})\int_0^T\|u_x\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\leqslant &\frac{1}{2}\int_0^T \int_0^1\lambda u_{x x}^2 {\rm d}x{\rm d}t+C+CK^{8+3\alpha-\beta}+CK^{3q_0} \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} &&\sup_{t\in [T]}\|\lambda^{1/2}u_x\|_{L^2}^2+\int_0^T\|u_t\|_{L^2}^2{\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& C+C \int_0^T \int_0^1 \left(|\frac{\alpha \theta^\alpha}{\theta}\theta_t u_x^2 |+|\theta^{\alpha} u_x^3|+|(1+\theta^3)\theta_x u_t|+|\theta \tau_x u_t|\right) {\rm d}x {\rm d}t\\ &\leqslant& \frac{1}{2}\int_0^T \|u_t\|_{L^2} {\rm d}t+C\int_0^T \int_0^1 \left[(1+\theta^3)^2 \theta_x^2+\theta^2 \tau_x^2\right] {\rm d}x{\rm d}t\\ &&+\frac{C\alpha N^{\alpha}}{m_2}\int_0^T\|\theta_t\|_{L^2}\|u_x\|_{L^2}\|u_x\|_{L^{\infty}}{\rm d}t+C+CK^{q_0}+C\int_0^T \|u_{x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{1}{2}\int_0^T \|u_t\|_{L^2} {\rm d}t+C+CK^{8+3\alpha-\beta}+CK^{q_0}. \end{matrix}$

于是得到了 (2.33)-(2.35) 式. 证毕.

引理2.6 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix} \int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{2m}u_x^2{\rm d}x{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_1}, \end{matrix}$

(2.36)

其中 $0\leqslant m \leqslant \frac{\beta+4}{2}$ .

证由 (2.25) 式, (2.33) 式和 (2.34) 式知

$\begin{matrix} \int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{2m}u_x^2{\rm d}x {\rm d}t &\leqslant& C \int_{0}^{T}\int_0^1u_x^2{\rm d}x{\rm d}t +C \int_{0}^{T} V(t) \|u_x\|_{L^2}^2{\rm d}t \\ &\leqslant& C+CK^{q_0}+CK^{q_1}\\ &\leqslant& C+CK^{q_1}. \end{matrix}$

证毕.

引理2.7 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|\theta+\theta^4\|_{L^2}^2+\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2{\rm d}x{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_4}, \end{matrix}$

(2.37)

其中 $q_4=\max\{2q_0, q_1, q_3\}$ , $q_3=\max\{7-2\beta, 0\}$ .

证在(2.12) 式两端乘以 $e$ , 并在 $[01]\times [T]$ 上积分, 利用(2.36) 式得

$\begin{matrix} &&\sup_{t\in [T]}\|\theta+\theta^4\|_{L^2}^2+\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2{\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &C\int_{0}^{T}\int_0^1\left(|\kappa \theta_x \tau_x \theta^4|+|(Pe)_x u|+|\lambda u_x^2 e|\right){\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& C\int_{0}^{T}\int_0^1\left(|\kappa \theta_x \tau_x \theta^4|+|(1+\theta^7)\theta_x u|+|(1+\theta^8)\tau_x u|+| (1+\theta)^{\alpha+4} u_x^2 |\right){\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &C+CK^{q_1}+\sum_{i=1}^3I_i. \end{matrix}$

(2.38)

接下来估计 $I_i (i=1, 2, 3.)$ . 在 (2.32) 式中取 $m=\frac{\beta+4}{2}$ 知

$\begin{matrix} I_1 & \leqslant &C\int_{0}^{T}\left(\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^1\theta(1+\theta)^{\beta+4}\tau_x^2 {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ & \leqslant &\frac{1}{4}\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C (1+K)\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& \frac{1}{4}\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C+CK^{5+\alpha-\beta}. \end{matrix}$

由 (2.32) 式知

$\begin{matrix} I_2 & \leqslant &C\int_{0}^{T}\left(\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^1(1+\theta)^{11-\beta}u^2 {\rm d}x\right)^{1/2}{\rm d}t\\ &\leqslant &\frac{1}{4}\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(1+K^{7-2\beta})\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}u^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &\frac{1}{4}\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C+CK^{7-2\beta} \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} I_3 & \leqslant& C\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{8}\tau_x^2 {\rm d}x {\rm d}t+C\int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{8}u^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &C(1+K^{4-\beta})\bigg[\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t+\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}u^2 {\rm d}x {\rm d}t\bigg]\\ &\leqslant &C+CK^{2q_0}. \end{matrix}$

将 $I_1$ , $I_2$ 和 $I_3$ 带入 (2.38) 式便得到了 (2.37) 式.证毕.

引理2.8 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix}\label{2.39} \int_0^1 (1+\theta)^{2\beta}\theta_x^2 {\rm d}x+\int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2{\rm d}x {\rm d}t \leqslant C+CK^{q_{12}}, \end{matrix}$

(2.39)

其中

$q_5=\max\{3\beta-1, 0\},\quad q_6=\max\{3-\beta, 0\}, \quad q_7=\max\{\beta-3, 0\},$

$q_9=\max\{\beta-2, 0\},$

$q_8=\max\{q_0+\frac{q_4+3q_7}{2}+\frac{q_0+2q_1+q_2+2\alpha}{4}, q_0+\frac{3q_7+q_4}{2}+\frac{q_0+q_1-\alpha}{2},$

$2q_0+q_4+q_6+3q_7\},$

$q_{10}=\max\{q_1, q_9+\frac{q_0+2q_1+q_2+2\alpha}{2}\}, \quad q_{11}=\max\{q_7+\frac{q_0+2q_1+q_2+2\alpha}{2}, 0\},$

$q_{12}=\max\{q_1+1, \frac{q_2+q_4+q_5}{2}, \frac{q_4+q_5}{2}+\frac{3q_0+q_2}{4}, q_8, q_{10}, q_{11}\}.$

证令

$G(x, t)\triangleq G(\tau, \theta) \triangleq \int_0^{\theta} \frac{\kappa (\tau, s)}{\tau}{\rm d}s,$

则

$G_t=G_{\tau}u_x+\frac{\kappa(\tau, \theta)\theta_t}{\tau},$

$G_{x t}=G_{\tau}u_{x x}+G_{\tau \tau}\tau_x u_x+\left[\frac{\kappa(\tau, \theta)\theta_x}{\tau}\right]_t+\left(\frac{\kappa}{\tau}\right)_{\tau}\tau_x \theta_t,$

$\begin{matrix}|G_{\tau}|+|G_{\tau \tau}|\leqslant C(1+\theta)^{\beta+1}.\end{matrix}$

(2.40)

方程 (1.1) $_3$ 式可改写为

$\begin{matrix} e_{\theta}\theta_t +u_x P=\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_x +\frac{\lambda u_x^2}{\tau}. \end{matrix}$

(2.41)

在 (2.41) 式两端乘以 $G_t$ , 并在 $[01]\times [T]$ 上积分得

$\begin{matrix}\int_0^T \int_0^1 \left( e_{\theta}\theta_t +u_x P\right)G_{t} {\rm d}x{\rm d}t+\int_0^T \int_0^1 \left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right) G_{x t} {\rm d}x{\rm d}t =\int_0^T \int_0^1\frac{\lambda u_x^2}{\tau}G_t {\rm d}x{\rm d}t. \end{matrix}$

(2.42)

接下来估计 (2.42) 式得每一项. 首先由 (2.36) 式和 (2.40) 式知对任意 $\delta\in (0, 1)$ 有

$\begin{aligned}\int_0^T \int_0^1 e_\theta \theta_t G_\tau u_x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t & \leqslant C \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}\left|\theta_t u_x\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta) \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+5} u_x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta)+C(\delta) K^{q_1+1},\end{aligned}$

(2.43)

$\int_0^T \int_0^1 e_{\theta}\theta_t \frac{\kappa \theta_t}{\tau} {\rm d}x{\rm d}t \geqslant C_1 \int_{0}^{T}\int_0^1(1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2{\rm d}x{\rm d}t$

(2.44)

$\int_0^T \int_0^1 P u_x G_{\tau} u_x {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \int_0^T \int_0^1 \left(1+\theta \right)^{\beta+5} u_x^2 {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C+CK^{q_1+1},$

(2.45)

$\begin{aligned}\int_0^T \int_0^1 P u_x \frac{\kappa \theta_t}{\tau} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t & \leqslant C \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+4}\left|\theta_t u_x\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta) \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+5} u_x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta)+C(\delta) K^{q_1+1}，\end{aligned}$

(2.46)

$\begin{matrix}\int_0^T \int_0^1 \frac{\kappa \theta_x}{\tau} \left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_t {\rm d}x {\rm d}t =\frac{1}{2}\int_0^1\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)^2 {\rm d}x\Big|_{0}^{T}\geqslant C \int_0^1 \left(1+\theta\right)^{2\beta}\theta_x^2 {\rm d}x-C, \end{matrix}$

(2.47)

$\begin{matrix}\int_0^T \int_0^1 \frac{\kappa \theta_x}{\tau} G_{\tau}u_{x x} {\rm d}x{\rm d}t &\leqslant& C \int_0^T \int_0^1 \left(1+\theta \right)^{2\beta+1} |\theta_x u_{x x}| {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &C \bigg(\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{1/2} \bigg(\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{3\beta-1}u_{x x}^2 {\rm d}x {\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ & \leqslant &C+CK^{\frac{q_2+q_4+(3\beta-1)}{2}} \end{matrix}$

(2.48)

和

$\begin{matrix}&&\int_0^T \int_0^1 \frac{\kappa \theta_x}{\tau} G_{\tau \tau}\tau_x u_{x} {\rm d}x{\rm d}t \\&\leqslant& C \int_0^T \int_0^1 \left(1+\theta \right)^{2\beta+1} |\theta_x \tau_x u_{x}| {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& C \bigg(\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{1/2} \bigg(\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{3\beta-1}u_{x}^2\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ &\leqslant &C\left(1+K^{\frac{q_4+(3\beta-1)}{2}}\right)\bigg(\int_0^T \|u_x\|_{L^{\infty}}^2 \|\tau_x\|_{L^2}^2{\rm d}t\bigg)^{1/2}\\ &\leqslant &C+C K^{\frac{q_4+(3\beta-1)}{2}+\frac{3q_0+q_2}{4}}. \end{matrix}$

(2.49)

另一方面, 由 (2.34) 式和 (2.41) 式知

$\begin{matrix} \int_0^T \left\| \left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_{x} \right\|_{L^2}^2{\rm d}t& =& \int_0^T \left(\|e_{\theta}\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_x P\|_{L^2}^2+\left\| \frac{\lambda u_x^2}{\tau}\right\|_{L^2}^2\right){\rm d}t\\ &\leqslant& C \int_0^T \int_0^1 \left[\left(1+\theta \right)^{6}\theta_t^2 +\left(1+\theta \right)^{8}u_x^2+\theta^{2\alpha} u_x^4 \right]{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant& C(1+K^{3-\beta})\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t\\&&+ C(1+K^{4-\beta})\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+4}u_{x}^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ &&+ C(1+K^{2\alpha})\int_0^T\|u_x\|_{L^2}^3m \|u_{x x}\|_{L^2}{\rm d}t\\ & \leqslant& C(1+K^{3-\beta})\int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t\\&&+ C+CK^{4-\beta+q_1}+K^{\frac{q_0+2q_1+q_2+2\alpha}{2}}, \end{matrix}$

该式连同 (2.27) 式和 (2.37) 式得

$\begin{matrix}&&\int_0^T \int_0^1 \frac{\kappa \theta_x}{\tau} \left(\frac{\kappa}{\tau}\right)_{\tau}\tau_x \theta_{t} {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \int_0^T \int_0^1 \left(1+\theta \right)^{2\beta} |\theta_x \tau_x \theta_{t}| {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t+C(\delta) \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{3\beta-3}\theta_{x}^2\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant&\delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t+C(\delta) \int_0^T \int_0^1 \frac{(1+\theta)^{3\beta-3}}{\kappa^2}\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)^2\tau_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant &\delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta)(1+K^{\beta-3})\int_0^T\left\|\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right\|_{L^{\infty}}^2 \|\tau_x\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t+C(\delta)(1+K^{\beta-3+q_0})\int_0^T\left\|\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right\|_{L^{2}} \left\|\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_x\right\|_{L^{2}}{\rm d}t\\ &\leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta)\left(1+K^{\frac{3(\beta-3)+q_4}{2}+q_0}\right)\left(\int_0^T \left\|\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_x\right\|_{L^{2}}^2{\rm d}t\right)^{1/2}\\ &\leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta)+C(\delta)K^{q_0+\frac{3(\beta-3)+q_4}{2}+\frac{q_0+2q_1+q_2+2\alpha}{4}}\\ &&+C(\delta)K^{q_0+\frac{3(\beta-3)+q_4}{2}+\frac{4-\beta+q_1}{2}}+C(\delta)K^{2q_0+q_4+(3-\beta)+3(\beta-3)}\\ & \leqslant& \delta \int_0^T \int_0^1 (1+\theta)^{\beta+3}\theta_t^2 {\rm d}x {\rm d}t+C(\delta)+C(\delta)K^{q_8}, \end{matrix}$

(2.50)

$\begin{aligned}\int_0^T \int_0^1 \frac{\lambda u_x^2}{\tau} G_\tau u_x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t & \leqslant C \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+4} u_x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta-2} \lambda^2 u_x^4 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant C+C K^{q_1}+C K^{\frac{q_0+2 q_1+q_2+2 \alpha}{2}}+(\beta-2) \\& \leqslant C+C K^{q_1}+C K^{10},\end{aligned}$

(2.51)

$\begin{aligned}\int_0^T \int_0^1 \frac{\lambda u_x^2}{\tau} \frac{\kappa}{\tau} \theta_t \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t & \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta) \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta-3} \lambda^2 u_x^4 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta)+C(\delta) K^{\frac{q_0+2 q_1+q_2+2 \alpha}{2}+q_7} \\& \leqslant \delta \int_0^T \int_0^1(1+\theta)^{\beta+3} \theta_t^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+C(\delta)+C(\delta) K^{q_{11}}.\end{aligned}$

(2.52)

将 (2.43)-(2.52) 式带入 (2.42) 式, 并取 $\delta>0$ 适当小, 便得到 (2.39) 式.证毕.

引理2.9 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix}\label{2.53} C_1^{-1}\leqslant \theta(x, t)\leqslant C_1,\qquad \forall~(x, t)\in [01]\times [T]. \end{matrix}$

(2.53)

证由 (2.5) 式和 (2.39) 式得

$|\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}| \leqslant C \int_0^1 |\theta^{\beta+2}\theta_x| {\rm d}x \leqslant \left(\int_0^1|\theta^{2\beta}\theta_x^2| {\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^1\theta^4 {\rm d}x\right)^{1/2}\leqslant C+CK^{\frac{q_{12}}{2}},$

于是 $K^{\beta+3}\leqslant C+CK^{\frac{q_{12}}{2}}.$

由于 $\beta>2$ , 则 $2\beta+6> q_{12},$ 因此, 利用 Young 不等式可得

$\begin{matrix}\theta(x, t)\leqslant C_1,\qquad \forall~(x, t)\in [01]\times [T].\end{matrix}$

(2.54)

接下来给出 $\theta(x, t)$ 的下界. 由 (2.37) 式和 (2.54) 式得

$\begin{matrix} \int_0^T \int_0^1|\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}|^2 {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \int_0^T \left(\int_0^1|\theta^{\beta+2}\theta_x| {\rm d}x\right)^2{\rm d}t\leqslant C\int_0^T\int_0^1\theta^{\beta+3}\theta_x^2 {\rm d}x{\rm d}t\leqslant C, \end{matrix}$

(2.55)

该式连同 (2.39) 式和 (2.54) 式得

$\begin{matrix}& &\int_0^T \Big|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1|\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}|^2 {\rm d}x\Big| {\rm d}t\\&\leqslant &C \int_0^T \int_0^1|\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}|^2 {\rm d}x{\rm d}t+C \int_0^T \int_0^1\left(\theta^{\beta+3}\theta_t^2+\bar{\theta}_t^2\right) {\rm d}x{\rm d}t\\ & \leqslant& C+ C\int_0^T\bar{\theta}_t^2{\rm d}t=C+C \int_0^T \left(\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1\theta {\rm d}x\right)^2{\rm d}t\\ & \leqslant& C+C \int_0^T \left(\int_0^1\theta_t {\rm d}x\right)^2{\rm d}t \leqslant C+C \int_0^T \int_0^1\theta_t^2 {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C. \end{matrix}$

(2.56)

由(2.39)式、(2.55)式和(2.56)式知

$\lim_{t\to +\infty} \int_0^1|\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}|^2 {\rm d}x=0,$

从而由 (2.39) 式知

$\begin{matrix} \Big\|\left(\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}\right)(t)\Big\|_{L^{\infty}}^2\leqslant C\Big\|\left(\theta^{\beta+3}-\bar{\theta}^{\beta+3}\right)(t)\Big\|_{L^{2}}\|\theta^{\beta+2}\theta_x(t)\|_{L^2} \to 0. \end{matrix}$

则由 (2.14) 式知存在 $T_0\gg 0$ , 使得

$\begin{matrix} \theta(x, t)\geqslant \frac{r_0}{2}, \qquad \forall~(x, t)\in [01]\times [T_0, +\infty). \end{matrix}$

(2.57)

另一方面, 令 $\omega \triangleq \frac{1}{\theta}$ , 则 (2.41) 变为

$\begin{matrix}e_{\theta}\omega_t=\left(\frac{\kappa \omega_x}{\tau}\right)_x+\frac{\tau \tilde{P}^2}{4\lambda}-\left[\frac{2\kappa \omega_x^2}{\tau \omega}+\frac{\lambda \omega^2}{\tau}\left(u_x-\frac{\tau \tilde{P}}{2\lambda \omega}\right)^2\right],\quad {\rm with~}\tilde{P}=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{3}\theta^4,\end{matrix}$

该式连同 (2.10) 式, (2.11) 式和 (2.54) 式知, 存在一个正的常数 $C_1$ , 使得

$\omega_t\leqslant \frac{1}{e_{\theta}}\left(\frac{\kappa \omega_x}{\tau}\right)_x+C_1.$

定义

$\tilde{\omega}(x, t)\triangleq C_1t+\max_{x\in [01]}-\omega(x, t),$

及一个椭圆算子

${\cal L}\triangleq -\frac{\partial}{\partial t}+\frac{1}{e_{\theta}}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\kappa}{\tau}\frac{\partial}{\partial x}\right),$

那么

${\cal L}\tilde{\omega}\leqslant 0,\qquad \forall~(x, t)\in[01]\times [T_0+1],$

$\tilde{\omega}\big|_{t=0}\geqslant 0,\qquad \forall~x\in[01],$

$\tilde{\omega}_x\big|_{x=0, 1}= 0,\qquad \forall~t\in[T_0+1],$

由相容性条件知

$\max_{(x, t)\in [01]\times [T_0+1]}\tilde{\omega}(x, t)\geqslant 0,$

于是, 对任意的 $(x, t)\in [01]\times [T_0+1]$

$\theta(x, t)\geqslant \left(C_1t+\max_{x\in [01]}\frac{1}{\theta_0(x)}\right)^{-1}.$

则

$\theta(x, t)\geqslant \left(C_1T_0+\max_{x\in [01]}\frac{1}{\theta_0(x)}\right)^{-1}\geqslant C_1^{-1}, \quad 0\leqslant t \leqslant T_0,$

该式连同 (2.54) 式和 (2.57) 式便可得到 (2.53) 成立.证毕.

引理2.10 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|(u_t, u_{x x}, \theta_t, \theta_{x x})(t)\|_{L^2}^2+\int_0^T \|(u_{x t}, \theta_{ x t})\|_{L^2}^2{\rm d}t\leqslant C. \end{matrix}$

(2.58)

证由 (2.12) 式知

$\begin{matrix} \theta_{x x}=\frac{\kappa}{\tau}\left[(1+4\tau \theta^3)\theta_t +\left(\frac{\theta}{\tau}+\frac{4}{3}\theta^4\right)u_x-\frac{\beta \theta^{\beta-1}}{\tau}\theta_x^2+\frac{1+\theta^{\beta}}{\tau^2}\theta_x \tau_x-\frac{\lambda u_x^2}{\tau} \right], \end{matrix}$

因此, 利用 (2.27) 式, (2.33)式, (2.37)式和 (2.39) 式得

$\begin{matrix} \int_0^T\|\theta_{x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t &\leqslant &C \int_0^T \int_0^1\left(\theta_t^2+u_x^2+\theta_x^4+\theta_x^2 \tau_x^2+u_x^4\right) {\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant& C+C \int_0^T\left(\|\theta_{x}\|_{L^\infty}^2+ \|u_{x}\|_{L^\infty}^2\right){\rm d}t\\ &\leqslant &C+\frac{1}{2}\int_0^T\|\theta_{x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t, \end{matrix}$

从而

$\begin{matrix}\int_0^T\|\theta_{x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant C. \end{matrix}$

(2.59)

方程 (1.1) $_2$ 式可改写为

$\begin{matrix} u_{tt}+\left(\frac{\theta_t \tau-\theta u_x}{\tau^2}+\frac{4}{3}\theta^3 \theta_t\right)_x=\left(\left(\frac{\lambda}{\tau}\right)_t u_x+\frac{\lambda}{\tau}u_{x t}\right)_x. \end{matrix}$

在上式得两端同时乘以 $u_{t}$ , 并在 $[01]$ 上积分得

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u_t\|_{L^2}^2+\int_0^1\frac{\lambda}{\tau} u_{x t}^2{\rm d}x &\leqslant& C \int_0^T \int_0^1\left(|\theta_t|+|u_x|+\Big|\left(\frac{\lambda}{\tau}\right)_t u_x \Big|\right) |u_{x t}|{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leqslant &\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\lambda}{\tau} u_{x t}^2{\rm d}x+C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2\right)\left(\|\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^{2}}^2\right), \end{matrix}$

则

$\begin{matrix}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u_t\|_{L^2}^2+\|u_{ x t}\|_{L^2}^2 \leqslant C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2\right)\left(\|\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^{2}}^2\right). \end{matrix}$

(2.60)

又由 (2.12) 式知

$\begin{matrix} e_{tt}-\left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)_{x t}=-\left(\frac{1}{\tau}+\frac{4}{3}\theta^3\right)\theta_t u_x-\left(\frac{\theta }{\tau}+\frac{1}{3}\theta^4\right)u_{x t} +\frac{\theta }{\tau^2}u_x^2+\left(\frac{\lambda}{\tau}\right)_t u_x^2+\frac{2\lambda}{\tau}u_x u_{x t}. \end{matrix}$

在上式两端同时乘以 $\theta_t$ , 并在 $[01]$ 上积分得

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\theta_t\|_{L^2}^2+\int_0^1\frac{\kappa}{\tau} \theta_{x t}^2{\rm d}x &\leqslant &\frac{1}{2}\|u_{ x t}\|_{L^2}^2+C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2+\|\theta_x\|_{L^\infty}^2\right)\|\theta_t\|_{L^2}^2\\ &&+C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2+\|\theta_x\|_{L^\infty}^2\right)\left(\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^{2}}^2\right), \end{matrix}$

该式连同 (2.60) 式得

$\begin{matrix} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_t\|_{L^2}^2\right)+\|\theta_{x t}\|_{L^2}^2+\|u_{x t}\|_{L^2}^2\\ & \leqslant& C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2+\|\theta_x\|_{L^\infty}^2\right)\|\theta_t\|_{L^2}^2\\ && +C \left(1+\|u_x\|_{L^\infty}^2+\|\theta_x\|_{L^\infty}^2\right)\left(\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^{2}}^2\right)\\ &\leqslant &C \left(\|u_x\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|u_{ x x}\|_{L^2}^2+\|\theta_{x x}\|_{L^2}^2\right)\|\theta_t\|_{L^2}^2\\ && +C \left(\|\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|u_{ x x}\|_{L^2}^2+\|\theta_{x x}\|_{L^2}^2\right), \end{matrix}$

因此, 利用 (2.33)-(2.35) 式, (2.37)式, (2.39)式和 (2.59) 式得

$\begin{matrix}\sup_{t\in [T]}\left(\|\theta_t\|_{L^2}^2+\|u_t\|_{L^2}^2\right)+\int_0^T\left(\|\theta_{x t}\|_{L^2}^2+\|u_{x t}\|_{L^2}^2\right){\rm d}t\leqslant C. \end{matrix}$

(2.61)

另一方面, 由方程 (1.1) $_2$ 式知

$\begin{matrix}\|u_{x x}\|_{L^2}^2&\leqslant& C \left(\|u_t\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|\tau_x\|_{L^2}^2\right)+C \|u_x\|_{L^\infty}^2\left(\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|\tau_x\|_{L^2}^2\right)\\&\leqslant &C+C \|u_x\|_{L^2} \|u_{x x}\|_{L^2}\\&\leqslant &\frac{1}{2}\|u_{x x}\|_{L^{2}}^2+C,\end{matrix}$

(2.62)

同理

$\|\theta_{x x}(t)\|_{L^2}\leqslant C, \qquad \forall~t\in [T],$

该式连同 (2.61) 式和 (2.62) 式便得 (2.58) 式成立.证毕.

引理2.11 在引理 2.2 的假设下, 下式成立

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|\tau_{x x}\|_{L^2}^2+\int_{0}^{T} \left(\|\tau_{x x}\|_{L^2}^2+\|\tau_{x x t}\|_{L^2}^2+\| u_{x x x}\|_{L^2}^2 +\|\theta_{x x x}\|_{L^2}^2 \right){\rm d}t \leqslant C.\end{matrix}$

(2.63)

证由方程 (1.1) $_2$ 式知

$\begin{matrix}u_{x t}-\lambda \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_{x t}=-\left(\frac{\theta_x \tau-\theta \tau_x}{\tau^2}+\frac{4}{3}\theta^3 \theta_x\right)_x+\lambda_x \left(\frac{u_x}{\tau}\right)_x+\left(\lambda_x \frac{u_x}{\tau}\right)_x.\end{matrix}$

在上式的两端同时乘以 $\left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x$ , 并在 $[01]$ 上积分得

$\begin{matrix}& &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\lambda \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x+\int_{0}^{1}\frac{\theta}{\tau} \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x\\ &=&\int_0^1u_{x t} \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x+\frac{1}{2}\int_0^1\alpha \theta^{\alpha-1}\theta_t \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x+\int_0^1\left(\frac{\theta_x}{\tau}\right)_x \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x\\ && -\int_0^1 \left(\frac{\theta}{\tau}\right)_x \frac{\tau_x}{\tau} \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x +\int_0^1 \left(4\theta^2\theta_x^2+\frac{4}{3}\theta^3\theta_{x x}\right) \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x\\ &&-\int_0^1 \lambda_x \left(\frac{u_x}{\tau}\right)_x \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x -\int_0^1 \left(\lambda_x \frac{u_x}{\tau}\right)_x \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x {\rm d}x\\ & \leqslant &\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\frac{\theta}{\tau} \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x +C \|u_{x t}\|_{L^2}^2+C \|\theta_t\|_{L^{\infty}}^2\int_0^1\left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x\\ && +C \int_0^1\left(\theta_x^2 \tau_x^2+\tau_x^4+\theta_x^4+\theta_{x x}^2+\theta_x^2 u_{x x}^2+\theta_x^2 u_x^2 \tau_x^2+\theta_{x x}^2 u_x^2\right) {\rm d}x\\ & \leqslant& \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\frac{\theta}{\tau} \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x+C \|\theta_t\|_{H^1}^2\int_0^1\left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x\\ &&+C\left( \|u_{x t}\|_{L^2}^2+\|u_{x }\|_{H^1}^2+\|\theta_{x}\|_{H^1}^2+\|\tau_{x }\|_{L^4}^4\right)\\ &&+C\left( \|u_{x}\|_{H^1}^2+\|\theta_{x }\|_{H^1}^2+\|\theta_{x }\|_{H^1}^2\|u_{x}\|_{H^1}^2\right)\left( \|u_{x}\|_{H^1}^2+\|\theta_{x }\|_{H^1}^2+\|\tau_{x }\|_{L^2}^2\right), \end{matrix}$

于是

$\begin{matrix}& & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\lambda \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x+\int_{0}^{1}\frac{\theta}{\tau} \left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x\\& \leqslant& C \|\theta_t\|_{H^1}^2\int_0^1\left| \left(\frac{\tau_x}{\tau}\right)_x \right|^2 {\rm d}x+C\left( \|u_{x t}\|_{L^2}^2+\|u_{x }\|_{H^1}^2+\|\theta_{x}\|_{H^1}^2+\|\tau_{x }\|_{L^4}^4\right). \end{matrix}$

利用 Gronwall 不等式得

$\begin{matrix} \sup_{t\in [T]}\|\tau_{ x x}\|_{L^2}^2+\int_0^T\|\tau_{ x x}\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant C, \end{matrix}$

(2.64)

该式连同 (2.33)-(2.35) 式, (2.37) 式, (2.39) 式和 (2.64) 式得

$\int_0^T\left(\|u_{ x x x}\|_{L^2}^2+\|\tau_{x x t}\|_{L^2}^2+ \|\theta_{x x x}\|_{L^2}^2\right){\rm d}t \leqslant C,$

该式连同 (2.64) 式便得 (2.63) 式成立. 证毕.

3 定理 1.1 的证明

根据第二部分中的一致估计, 本节主要证明定理 1.1 成立. 为此, 本文首先假设 Banach 不动点定理在小时间区域内成立, 并且可以修正文献[21]中定理的证明得到下面的局部存在性定理, 该部分将不再证明.

引理3.1 在 (1.8) 式的假设下,存在仅依赖于 $\beta$ , $N_0$ 和 $M_0$ 的正的时间 $T_0=T_0(N_0, N_0, M_0)$ , 使得方程 (1.1)-(1.5) 在 $X(0, T_0; \frac{1}{2}N_0, \frac{1}{2}N_0, 2M_0)$ 上有一个唯一解 $(\tau, u, \theta)$ .

存在性定理的证明. 由引理 3.1 知方程 (1.1)-(1.5) 在 $X(0, t_1; \frac{1}{2}N_0, \frac{1}{2}N_0, 2M_0)$ 上有唯一解 $(\tau, u, \theta)$ , 其中 $t_1=T_0(N_0, N_0, M_0)$ .

选取 $\alpha \leqslant \alpha_1$ , 其中 $\alpha_1$ 充分小, 则

$\begin{matrix}\left(\frac{1}{2}N_0\right)^{-\alpha_1}\leqslant 2, \quad \left(2M_0\right)^{\alpha_{1}}\leqslant 2, \quad \alpha_1 {\cal H}(\frac{1}{2}N_0, \frac{1}{2}N_0, 2M_0)\leqslant \varepsilon_0, \end{matrix}$

(3.1)

这里的 $\varepsilon_0>0$ 取自引理 2.2. 则由引理 2.1 -引理2.11 知方程 (1.1)-(1.5) 的解 $(\tau, u, \theta)$ 满足

$\begin{matrix}\label{3.2} C_0^{-1}\leqslant \tau(x, t)\leqslant C_0, \quad C_1^{-1}\leqslant \theta(x, t)\leqslant C_1, \quad \forall~(x, t)\in [01]\times[t_1] \end{matrix}$

(3.2)

和

$\begin{matrix} \sup_{t\in [t_1]}\|(\tau, u, \theta)(t)\|_{H^2}^2+\int_0^{t_1}\|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant C^2. \end{matrix}$

(3.3)

这里正常数 $C$ 取自引理 2.3 -引理2.8 中.

选取 $(\tau, u, \theta)(\cdot, t_1)$ 作为初始值, 利用引理 3.1 可以将局部解 $(\tau, u, \theta)$ 延拓至区间 $[t_1, t_1+t_2]$ , 其中 $t_2=T_0(C_0^{-1}, C_1^{-1}, C)$ . 那么

$\begin{matrix} \tau(x, t)\geqslant \frac{1}{2}C_0^{-1}, \quad \theta(x, t) \geqslant \frac{1}{2}C_1^{-1}, \quad \forall~(x, t)\in [01]\times[t_1, t_1+t_2] \end{matrix}$

(3.4)

和

$\begin{matrix}\label{3.5} \sup_{t\in [t_1, t_1+t_2]}\|(\tau, u, b, \theta)(t)\|_{H^2}^2+\int_{t_1}^{t_1+t_2}\|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant 4C^2. \end{matrix}$

(3.5)

不等式 (3.2) 式连同 (3.3)-(3.5) 式得

$\tau(x, t)\geqslant \frac{1}{2}C_0^{-1}, \quad \theta(x, t) \geqslant \frac{1}{2}C_1^{-1}, \quad \forall~(x, t)\in [01]\times[t_1+t_2]$

和

$\sup_{t\in [t_1+t_2]}\|(\tau, u, b, \theta)(t)\|_{H^2}^2+\int_{0}^{t_1+t_2}\|\theta_t\|_{L^2}^2{\rm d}t \leqslant 5C^2.$

选取 $\alpha \leqslant \min\{\alpha_1, \alpha_2\}$ , 其中 $\alpha_1$ 取自 (3.1) 式, 并且 $\alpha_2$ 选取如下

$\left(\frac{1}{2} C_0^{-1}\right)^{-\alpha_2}\leqslant 2, \quad \left(\sqrt{5}C\right)^{\alpha_{2}}\leqslant 2, \quad \alpha_2 {\cal H}(\frac{1}{2}C_0^{-1}, \frac{1}{2}C_1^{-1}, \sqrt{5}C)\leqslant \varepsilon_0,$

这里 $\varepsilon_0>0$ 取自引理 2.2. 因此由引理 2.1-2.11知解 $(\tau, u, \theta)$ 在区间 $[t_1+t_2]$ 上满足 (3.2) 式和 (3.3) 式.

因此, 选取 $\varepsilon \triangleq \min\{\alpha_1, \alpha_2\}$ , 并重复上述过程, 于是方程 (1.1)-(1.5) 有唯一的全局解 $(\tau, u, \theta)\in X(0, +\infty; C_0^{-1}, C_{1}^{-1}, C)$ . 因此便完成了定理 1.1 中全局存在性的证明. 唯一性可由标准 $L^2$ -估计得到.

非线性指数稳定性. 基于 (1.10) 式和 (1.11) 式不依赖于时间 $t$ 的估计, 接下来推导方程 (1.1)-(1.5) 的长时间行为.

同理于 (2.13) 式的推导, 由 (1.10) 式知

$\begin{matrix}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\left(e+\frac{1}{2}u^2+(\theta-\ln\theta-1)+(\tau-\ln\tau-1) \right){\rm d}x+\bar{C}_1\int_0^1 \left(u_x^2+\theta_x^2\right) {\rm d}x \leqslant 0. \end{matrix}$

(3.6)

同理于 (2.29) 式的推导知

$\begin{matrix}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1\left(u-\lambda \frac{\tau_x}{\tau}\right)^2 {\rm d}x+\bar{C}_2 \int_0^1\tau_x^2 {\rm d}x\\ & \leqslant& C \int_0^1\left(|u \tau_x |+|\theta_x u |+|\theta_x \tau_x|+|\theta_t \tau_x u|+|\theta_t \tau_x^2|+|\theta_x u_x u|+|\theta_x u_x \tau_x|\right) {\rm d}x\\ & \leqslant &\frac{\bar{C}_2}{2}\int_0^1\tau_x^2 {\rm d}x+C \left(\|u_x\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2+\|\theta_t\|_{L^2}^2\right). \end{matrix}$

(3.7)

由 Cauchy-Schwarz 不等式以及 (2.27) 式知

$\begin{matrix} \int_0^1|u_x \tau_x|^2 {\rm d}x\leqslant \|u_x\|_{L^\infty}^2 \|\tau_x\|_{L^2}^2\leqslant C \left(\|u_x\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}\|u_{x x}\|_{L^2}\right), \end{matrix}$

(3.8)

于是

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1u_x^2 {\rm d}x+\bar{C}_3 \int_0^1u_{x x}^2 {\rm d}x \leqslant C \left(\|\tau_x\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2\right). \end{matrix}$

(3.9)

由 (2.42)-(2.52) 式和 (3.8) 式知, 对任意 $\delta \in (0, 1)$ 有

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1 \left(\frac{\kappa \theta_x}{\tau}\right)^2 {\rm d}x+\bar{C}_4 \int_0^1\theta_{t}^2 {\rm d}x \leqslant \delta \|u_{x x}\|_{L^2}^2+C(\delta)\left(\|u_x\|_{L^2}^2+\|\theta_x\|_{L^2}^2\right). \end{matrix}$

(3.10)

令 $M_1$ , $M_2$ 和 $M_3$ 式适当大的正常数, 并做 (3.7) $\times$ $M_1+$ (3.9) $+$ (3.10) $\times$ $M_2$ , 选取 $\delta>0$ 适当小, 将结果加到 (3.6) $\times$ $M_3$ 式得

$\begin{matrix} {\cal F}'(t)+\frac{1}{2}\|(\tau_x, u_x, \theta_x)\|_{L^2}^2\leqslant 0,\end{matrix}$

(3.11)

其中

$\begin{matrix} {\cal F}(t)&\triangleq &\int_{0}^{1}M_3\left(e+\frac{1}{2}u^2+(\theta-\ln\theta-1)+(\tau-\ln\tau-1) \right){\rm d}x\\ &&+\int_0^1 \left[ \bar{C}\left(u-\lambda \frac{\tau_x}{\tau}\right)^2+\frac{\bar{C}_1M_3}{2}(u_x^2+\theta_x^2) \right] {\rm d}x, \end{matrix}$

这里 $\bar{C}$ 是不依赖于 $M_3$ 的正常数.

由于 $M_3$ 充分大, 并利用 Cauchy-Schwarz 不等式得

${\cal F}(t)\sim \|{\tau-1, u, \theta-1}\|_{H^1}^2.$

因此, 由 (3.11) 式知存在正常数 $\sigma>0$ , 使得

$\begin{matrix}\|(\tau_x, u_x, \theta_x)(t)\|_{L^2}^2 \leqslant C e^{-\sigma t}\to 0,\quad \quad t\to \infty,\end{matrix}$

(3.12)

因此

$\|(\tau -1)(t)\|_{L^2}^2 \leqslant C \|\tau_x(t)\|_{L^2}^2 \leqslant C e^{-\sigma t}\to 0,\quad \quad t\to \infty,$

且

$\|(\theta -1)(t)\|_{L^2}^2\leqslant C\|\theta_x(t)\|_{L^2}^2\leqslant C e^{-\sigma t}\to 0,\quad \quad t\to \infty,$

该式连同 (3.12) 式便得 (1.12) 式成立. 因此, 便完成了定理 1.1 的证明.

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1990

... 在拉格朗日坐标系中, 辐射粘性热传导流的运动可由如下可压缩 Navier-Stokes 方程控制 (参见文献[1,7]) ...

Global solutions to the compressible Navier-Stokes matrixs for a reacting mixture of nonlinear

1992

... 接下来, 利用 Kazhikhov^[9] 的思想, 本文将给出

$\tau$

的表达式. 下面的引理证明与文献[2,11]类似, 因此本文将不再证明. ...

A model of thermal dissipation for a one-dimensional viscous reactive and radiative

1999

... 对于方程之间的关系, 我们考虑如下 Stefan-Boltzmann 系统 (参见文献[3]), 即,

$P(\tau, \theta)$

和

$e(\tau, \theta)$

满足 ...

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

=1,2,4) 中建立了解的全局存在性和指数稳定性. Umehara-Tani^[22] 考虑了辐射反应过程存在下的自引力一维气体介质, 得到了经典解的整体唯一性. 对于可压缩的辐射磁流体方程, Zhang-Xie^[24] 考虑了具有如下增长条件的三维可压缩非线性磁流体方程 ...

Global solvability and asymptotic behavior of a free boundary problem for the one-dimensional viscous radiative and reactive gas

2012

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting one-dimensional real gas

1994

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

... 其中

$\lambda(\tau, \theta)$

和

$\kappa(\tau, \theta)$

关于

$\tau>0$

和

$\theta\geqslant 0$

是二阶连续可微的. Jiang 证明了大解的整体存在性. Qin^[16] 考虑了

$P, e, \kappa$

的增长比文献[5]更加一般的情形, 并且证明了整体解的正则性和长时间行为. 最近, Wang-Zhao^[23] 考虑了如下情形 ...

A model system of matrixs for the one-dimensional motion of a gas

1968

... 其中

$r_1, r_2\geqslant 1$

及

$C$

是正常数. 利用 Kanel^[6] 的方法, 他们证明了解的整体存在性. 近期, Sun-Zhang-Zhao^[20] 在温度高阶非线性的条件下, 证明了一维粘性热传导理想气体解的整体存在行、唯一性以及长时间行为. Sun-Zhang-Zhao^[20]得到的结果部分推广了 Li-Xu-Zhang^[23] 的结果, 其中 Li-Xu-Zhang 主要考虑

$r_1=r_2=0$

即在 (1.7) 式中

$g(\cdot)=$

constant的情形. ...

Global existence of large solutions to initial boundary value problems for the matrixs of one- dimensional motion of viscous polytropic gases

1985

... 在拉格朗日坐标系中, 辐射粘性热传导流的运动可由如下可压缩 Navier-Stokes 方程控制 (参见文献[1,7]) ...

Global solutions to the initial value problem for the matrix of one-dimensional motion of viscous polytropic gases

1981

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

To a theory of boundary value problems for matrix of one-dimensional nonstationary motion of viscous heat-conduction gases

1981

... 接下来, 利用 Kazhikhov^[9] 的思想, 本文将给出

$\tau$

的表达式. 下面的引理证明与文献[2,11]类似, 因此本文将不再证明. ...

Sur la solubilité global des problémes monodimensionnels aux valeurs initinales-limités pour les équations d'un gaz visqueux et calorifére

1997

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

Unique global solutions with respect to time of the initial-boundary value problems for one-dimensional matrixs of a viscous gas

1977

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

... 接下来, 利用 Kazhikhov^[9] 的思想, 本文将给出

$\tau$

的表达式. 下面的引理证明与文献[2,11]类似, 因此本文将不再证明. ...

Global solutions to one-dimensional matrixs for a self-gravitating viscous radiative and reactive gas with density-dependent viscosity

2017

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas non-fixed on the boundary

1986

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

Global asymptotics of the outer pressure problem with free boundary

1988

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas

1988

... 并且具有合适的常数

$\lambda$

和

$\kappa$

. 初边值问题(1.1)光滑解的整体存在性分别由 Kazhikhov^[10], Kazhikhov-Shelukhin^[11], Kawashima-Nishida^[8], 以及 Nagasawa^[13⇓-15] 在比体积

$\tau$

及温度

$\theta$

具有正的上下界的条件下得到. 该方法也通常被用来处理输运系数依赖

$\tau$

和

$\theta$

的情况. Jiang^[5] 考虑了比 (1.6) 式更加复杂的情形 ...

Nonlinear parabolic-hyperbolic coupled systems and their attractors

2008

... 其中

$\lambda(\tau, \theta)$

和

$\kappa(\tau, \theta)$

关于

$\tau>0$

和

$\theta\geqslant 0$

是二阶连续可微的. Jiang 证明了大解的整体存在性. Qin^[16] 考虑了

$P, e, \kappa$

的增长比文献[5]更加一般的情形, 并且证明了整体解的正则性和长时间行为. 最近, Wang-Zhao^[23] 考虑了如下情形 ...

Remarks on global smooth solutions to a 1D self-gravitating viscous radiative and reactive gas

2013

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

On the 1D viscous reactive and radiative gas with the first-order Arrhenius kinetics

2019

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

Global existence and exponential stability for a 1D compressible and radiative MHD flow

2012

... 其中正常数

$\kappa_1\leqslant \kappa_2$

. Qin-Liu-Yang^[19] 研究了一维可压缩辐射磁流体方程, 并且在

$H_{+}^i$

$(i=1, 2, 4)$

下得到了解的整体存在性和指数稳定性. 本文主要研究辐射流体方程 (1.1)-(1.5) 解的整体存在性、唯一性以及非线性指数稳定性. ...

... 注 1.2 如果

$\alpha=0$

, 那么在没有

$m_0$

小性的假设下, 本文也能得到 Qin-Liu-Yang 在文献[19]中的结果. ...

Nonlinear exponential stability for the compressible Navier-Stokes matrixs with temperature-dependent transport coefficients

2021

... 其中

$r_1, r_2\geqslant 1$

及

$C$

$r_1=r_2=0$

即在 (1.7) 式中

$g(\cdot)=$

constant的情形. ...

... [20]得到的结果部分推广了 Li-Xu-Zhang^[23] 的结果, 其中 Li-Xu-Zhang 主要考虑

$r_1=r_2=0$

即在 (1.7) 式中

$g(\cdot)=$

constant的情形. ...

On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion

1977

... 根据第二部分中的一致估计, 本节主要证明定理 1.1 成立. 为此, 本文首先假设 Banach 不动点定理在小时间区域内成立, 并且可以修正文献[21]中定理的证明得到下面的局部存在性定理, 该部分将不再证明. ...

Global solution to the one-dimensional matrixs for a self-gravitating viscous radiative and reactive gas

2007

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

One-dimensional compressible heat-conducting gas with temperature-dependent viscosity

2016

... 其中

$\lambda(\tau, \theta)$

和

$\kappa(\tau, \theta)$

关于

$\tau>0$

和

$\theta\geqslant 0$

是二阶连续可微的. Jiang 证明了大解的整体存在性. Qin^[16] 考虑了

$P, e, \kappa$

的增长比文献[5]更加一般的情形, 并且证明了整体解的正则性和长时间行为. 最近, Wang-Zhao^[23] 考虑了如下情形 ...

... 其中

$r_1, r_2\geqslant 1$

及

$C$

$r_1=r_2=0$

即在 (1.7) 式中

$g(\cdot)=$

constant的情形. ...

... 注 1.1 值得注意的是, 该定理包含了

$\alpha=0$

的情形, 因此, 该定理部分推广了 Wang-Zhang^[23] 在(1.7) 式中关于

$g(\cdot)$

的假设没有包含

$\lambda$

是常数的情形. ...

Global solutions for a one-dimensional model problem in thermally radiative magnetohydrodynamics

2008

... 对于辐射和反应气体,也有很多文献 (见文献[4,12,17]). Ducomet^[3] 得到了光滑解在

$H^1$

下的整体存在性和指数衰减性. Qin-Huang^[18] 有界区域内考虑具有一阶 Arrhenius 动力学的粘性反应辐射气体模型, 并在

$H^i$

(

$i$

〈

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