双流体 Euler-Poisson 方程是描述半导体材料中电子与离子在自洽的电动势作用下输运过程的一个物理模型^[11,13,16]. 形式如下

其中,指标 $\nu=i,e,$ 常量 $q_{i}=1,q_{e}=-1$, $m_{\nu}$ 和 $T_{\nu}$ 分别表示带电粒子(离子及电子)的质量和温度, 并满足以下条件$m_{\nu}>0,\ T_{i}\geq0,\ T_{e}>0$, 未知变量 $\psi$, $n_{\nu}$ 和 $u_{\nu}$ 分别表示电动势以及带电粒子(离子及电子)的密度和速度.

近些年来, 众多专家及学者从理论上和数值上对 Euler-Poisson 方程进行了一系列研究, 并取得了很多重要进展. 本文主要讨论 Euler-Poisson 方程的长波长极限, 在此框架下我们可以推导出 Korteweg-de Vries(KdV) 方程. 这里仅列出部分相关结果. Su 和 Gardner^[17], Washimi 和 Taniuti^[18] 从一类弱非线性伽利略不变的色散系统中形式推导出 KdV 方程. 最近, Guo 和蒲学科^[5] 利用能量方法及奇异摄动方程进一步从数学上严格证明了一维 Euler-Poisson 方程的解到 KdV 方程的解的收敛过程. 利用不同的空间尺度变化, 该结果可被推广到高维情形^[9,14]. 对于量子修正模型的量子 KdV 极限, 参见文献[1,6,7,10]. 特别地, 对于冷的磁流体波到 KdV 方程的收敛, 可参考文献[2,15].

以上结果均集中于单流体 Euler-Poisson 方程. 对于双流体 Euler-Poisson 方程的长波长极限, 据我们有限的知识所知, 目前不管是形式上还是数学上都没有结果^[3,8]. 然而, 与单流体情形相比, 双流体 Euler-Poisson 方程的长波长极限更具有物理意义. 从数学上看, 双流体模型不仅有更复杂的线性结构, 而且同时耦合了两个密度方程与电动势, 这也导致了该问题在某种程度上更具有挑战性.

本文主要目的是给出时间尺度 $O(\varepsilon^{-3/2})$ 下双流体 Euler-Poisson 方程的 KdV 极限的严格数学证明. 实际上, 我们得到了, 当 $m_{i}/m_{e}\neq T_{i}/T_{e}$ 时, 在 $C([T];H^{s})$ ($s\geq 2$) 空间中, 方程 (1.1) 的解 $(n_{i},n_{e},u_{i},u_{e},\partial_{\xi}\psi)$ 收敛到 KdV 方程 (2.11) 的解. 值得注意的是, 最终的收敛速度依赖于近似解的展开阶数, 即在 (3.1) 式中需要 $N\geq 4$.

为证明本文的主要结果, 即定理 1.1, 首先, 我们借助 Gardner-Morikawa 变换以及奇异摄动方法推导出极限方程及余项方程. 然后, 在 $T_{i}\geq 0$ 的范围内, 通过深入分析余项方程(3.2)和(4.1)的结构, 利用细致的能量方法, 得到了关于 $\varepsilon$ 的一致能量估计. 相比于文献[5]的证明方法, 证明定理 1.1 的主要困难在于缺少电动势的 $L^{2}$ 范数且所研究的模型同时耦合了电子和离子. 为解决此问题, 我们不仅需要充分分析两个密度方程的结构, 还需构建一个新的高阶 $\varepsilon$ 加权能量估计. 实际上, 在 $T_{i}=0$ 及 $T_{i}>0$ 的情形下, 我们分别采用了不同的加权能量模, 见(3.4)式和(4.2)式.

更加具体地说, 不同于先前的文献[5], 余项方程(3.2)和(4.1)的基本能量估计包含如下奇异项

在一次分部积分之后, 该项变为

此处, 因为 $\partial_{\xi}n_{e}\neq 0$, 上式第一部分很难被控制. 为此, 我们构建了密度差 $N_{i}-N_{e}$ 所满足的方程 (3.16). 此外, 在获得更高阶能量估计的过程中, “坏项”

再次出现了. 然而, 本文仅有关于$\varepsilon^{1/2}\partial_{\xi}\Psi$ 的一致能量估计. 幸运的是, 该项在如下形式时能够被加权能量模(3.4)和(4.2)控制, 即

这也导致我们需要去考虑关于$\varepsilon$ 的加权能量估计. 特别地, 为了简化处理引理 3.3,3.4及4.1中的奇异项, 我们引入了如下算子 ${\mathfrak D}^{\alpha}=(\varepsilon^{1/2}\partial)^{\alpha}$.

据我们所知, 当 $T_{i}>0$ 时, 系统(4.1)是 Friedrich 对称的. 因此, 我们能够借助经典的能量方法及加权 Sobolev 模(4.2)获得余项的一致能量估计, 见本文第 4 节. 然而, 在考虑所谓的冷离子体($T_{i}=0$) 时, 系统 (3.2) 是无压的, 这导致了一些新困难. 解决此困难的主要思路是: 首先, 利用一个新的加权高阶 Sobolev 模(3.4), 构造关于 $(N_{e},U_{i},U_{e})$ 的一致能量估计. 然后, 通过深入分析系统 (3.2b)-(3.2d) 的线性结构, 利用关系式$N_{i}=-\varepsilon\partial_{\xi\xi}\Psi+N_{e}$, 得到 $N_{i}$所满足的估计. 我们最终采用的 Sobolev 空间为$(N_{i},N_{e},U_{i},U_{e})\in H_{\varepsilon}^{s}\times H_{\varepsilon}^{s+1}\times H_{\varepsilon}^{s+1}\times H_{\varepsilon}^{s+1}$.

本文的主要定理陈述如下.

定理1.1假设定理 2.1 和 2.2 中 $\tilde{s},\ s_{j}\leq \tilde{s}-3(j-1)\ (2\leq j\leq N)$ 是足够大的整数.令 $(n_{i}^{1},n_{e}^{1},u_{i}^{1},u_{e}^{1},\psi^{1})$ 是非线性 KdV 方程 (2.11) 的解, 且初值 $(n_{i,0}^{1},n_{e,0}^{1},u_{i,0}^{1},u_{e,0}^{1},\psi_{0}^{1})$ 满足 (2.7) 式.$(n_{i}^{j},n_{e}^{j},u_{i}^{j},u_{e}^{j},\psi^{j})$ 是线性 KdV 方程 (2.17) 的解, 且初值 $(n_{i,0}^{j},n_{e,0}^{j},u_{i,0}^{j},u_{e,0}^{j},\psi_{0}^{j})$ 满足 (2.16) 式. 令展开式 (3.1) 中$N> m+1,\ m> (s+3)/2,\ s\geq2$. 进一步假设系统 (2.1) 的初值 $(n_{\nu,0},u_{\nu,0})\ (\nu=i,e)$ 满足 $(n_{e,0}-n_{i,0})\in \dot{H}^{-1},$ 其中 $\dot{H}^{-1}$ 是齐次 Sobolev 空间, 且成立

则对于任意的时间 $\tau_{0}>0$, 总存在充分小的正数 $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(\tau_{0})$, 使得, 当 $0<\varepsilon\leq\varepsilon_{0}$ 时, 问题 (2.1) 存在唯一解 $(n_{\nu},u_{\nu},\partial_{\xi}\psi)\in C([\tau_{0}],H^{s})$, 且满足

1) $T_{i}>0$ 时,有

2) $T_{i}=0$ 时,有

其中 $\nu=i,e.$

注1.1 从上述定理中, 我们发现: 在时间变量 $t$ 的 $O(\varepsilon^{-\frac32})$ 范围内, 以下估计成立

其中 $\psi_{KdV}=\left(\begin{array}{c}1 \\ a\\ \frac{T_{e}m_{i}-T_{i}m_{e}}{m_{i}+m_{e}}\partial_{\xi}\end{array}\right)n_{i}^{1}$. 换言之, 我们利用 Gardner-Morikawa 变换, 证得在 KdV 方程解存在的时间范围内, 此双流体 Euler-Poisson 方程可以由 KdV 方程控制.

注1.2 值得指出的是, 本文仅给出了 $\varepsilon^{1/2}\partial_{\xi}\Psi$ 的一致估计, 因此只能得到关于电动势导数的收敛性. 此外, 基于双流体 Euler-Poisson 方程 (2.1) 的复杂耦合结构, 近似解的展开需满足以下关系式 $N> m+1$, $m>(s+3)/2$.

本文结构如下: 在第 2 节中, 我们利用 Gardner-Morikawa 变换及奇异摄动方法, 得到了双流体 Euler-Poisson 方程的形式渐近展开. 第3节和第4节给出了余项方程的细致能量估计, 这里我们必须深入分析两个 Euler 方程和 Poisson 方程的耦合结构. 最后, 通过加权的能量模, Gronwall 不等式及经典的连续性方法, 我们完成了定理 1.1 的证明.

以下是一些符号的含义. $H^{k}$ 为经典的 Sobolev 空间, 其模定义如下

$H_{\varepsilon}^{k}$为加权的 Sobolev 空间, 其模定义如下

$\dot{H}^{k}$$(\dot{H}_{\varepsilon}^{k})$ 为经典(加权)齐次 Sobolev 空间.

此外, $[A,B]=AB-BA$ 表示 $A$ 和 $B$ 的交换子. $C$ 是不依赖于 $\varepsilon$ 的常数.

本节旨在从形式上得到双流体 Euler-Poisson 方程(1.1) 的 KdV 极限. 首先, 利用 Gardner-Morikawa 变换$\tau=\varepsilon^{\frac{3}{2}} t,\xi=\varepsilon^{\frac{1}{2}} (x-at)$, 系统 (1.1) 被改写为

其中$T_{i}\geq0,\ T_{e}>0$, $\varepsilon$ 表示初始扰动的振幅, $a$ 表示将被确定的参数. 实际上, 由于 $\nabla(-\Delta)^{-1}: \dot{H}^{-1}\rightarrow L^{2}$, 方程 (2.1c) 中函数 $\psi$ 的“初值”满足 $\nabla\psi_{0}(0)\in L^{2}$, 具体细节参见文献[4].

其次, 在平衡态 $(n_{i},n_{e},u_{i},u_{e},\psi)=(1,1,0,0,0)$ 附近,作如下形式渐近展开

将展开(2.2)式带入方程 (2.1), 得到关于参数 $\varepsilon$ 的一个序列.在 $O(\varepsilon)$ 阶, 有

根据方程(2.3c)及结论$q_{i}+q_{e}=0$, 系统(2.3)被改写为

将系统 (2.4) 整理成矩阵形式, 可得

为得到非平凡解 $(n_{i}^{1},u_{i}^{1},\psi^{1})$, 上述方程的系数矩阵需为零, 即

再由方程 (2.4c) 可得

根据方程(2.4)和(2.6), 我们得到

此处, 我们假设函数在无穷远处满足零 Dirichlet 边界且 $m_{i}/m_{e}\neq T_{i}/T_{e}$.因此, 要得到解 $(n_{e}^{1},u_{e}^{1},u_{i}^{1},\psi^{1}),$ 只需求得 $n_{i}^{1}$.

在 $O(\varepsilon^{2})$ 阶, 函数 $(n_{\nu}^{2},u_{\nu}^{2})$ 所满足的系统为

将方程 (2.8b) 在 $\nu=i,e$ 时求和, 可得

结合等式 $a^{2}(m_{i}+m_{e})=T_{i}+T_{e}$ 及方程 (2.8a) 和 (2.8c), 我们将方程 (2.9) 改写为

由上式及 (2.6) 式, 我们推导出了如下 Korteweg-de Vries 方程

回顾关系式 $a^{2}(m_{i}+m_{e})=T_{i}+T_{e}$, 方程 (2.11) 中不等式 $(T_{e}-a^{2}m_{e})^{2}/\big(2a(m_{i}+m_{e})\big)\neq 0$ 等价于 $m_{i}/m_{e}\neq T_{i}/T_{e}$, 这在冷离子体 (即 $T_{i}=0, T_{e}>0$) 中恒成立.

注意到方程 (2.7) 和 (2.11) 不依赖于 $(n_{\nu}^{j},u_{\nu}^{j},\psi^{j})$, 其中 $j\geq2.$ 因此, 当 $m_{i}/m_{e}\neq T_{i}/T_{e}$ 时, 双流体 Euler-Poisson 方程 (2.1) 可简化为 Korteweg-de Vries 方程 (2.11). 换句话说, 至少在关于时间 $t$ 的 $O(\varepsilon^{-3/2})$ (等价地, 关于时间 $\tau$ 的 $O(1)$) 范围内可看到 Korteweg-de Vries 动力.

对于 KdV 方程 (2.11) 解的存在性, 可参考文献[12].

定理2.1 假设 $\tilde{s}\geq 2$ 是充分大的整数, 那么对于任意初值 $n_{i,0}^{1}\in H^{\tilde{s}},$ 总存在 $\tau_{0}>0$, 使得方程 (2.11) 存在唯一的光滑解 $n_{i}^{1},$ 满足

根据方程 (2.7), (2.8) 和 (2.11), 我们得到

其中

因此, 下面仅需得出 $n_{i}^{2}$ 满足的方程.

在 $O(\varepsilon^{3})$ 阶, 有

首先, 将方程 (2.14a) 的两端同时乘以 $T_{i}+T_{e}$, 然后在方程 (2.14b) 两端同时乘以 $a,$ 再结合方程 (2.14c) 以及关系式 $a^{2}(m_{i}+m_{e})=T_{i}+T_{e},$ 我们推导出 $n_{i}^{2}$ 满足的方程

其中 $G^{1}$ 仅依赖于已知函数 $(n_{i}^{1},n_{e}^{1},u_{i}^{1},u_{e}^{1},\psi^{1})$. 值得注意的是, 方程 (2.12) 和 (2.15) 不依赖于 $(n_{\nu}^{j},u_{\nu}^{j},\psi^{j})$, 其中 $j\geq3.$

一般地, 在 $O(\varepsilon^{k})\ (k\geq3)$ 阶, 我们得到 $(n_{\nu}^{k-1},u_{\nu}^{k-1},\psi^{k-1})$ 所满足的方程, 这说明

其中 $g_{k-1}^{j},\ j=1,2$ 仅依赖于前面 $(k-1)$ 阶得到的函数. 因此, 下一步我们只需求得 $n_{i}^{k}$ 满足的方程. 在 $O(\varepsilon^{k+1})$ 阶, 我们得到 $(n_{\nu}^{k},u_{\nu}^{k},\psi^{k})$ 所满足的方程. 利用推导方程 (2.11) 和 (2.15) 的类似方法, 我们得到如下线性 Korteweg-de Vries 方程

其中 $G^{k-1}$ 仅依赖于前面 $(k-1)$ 阶得到的函数.

对于线性 KdV 方程 (2.15) 和 (2.17) 解的存在性, 有如下结果.

定理2.2 假设 $s_{k}\leq \tilde{s}-3(k-1)\ (k\geq2)$ 是充分大的整数, 那么对于定理 2.1 中时间 $\tau_{0}$ 及方程 (2.17) 的初值 $n_{i,0}^{k}\in H^{s_{k}},$ 方程 (2.17) 存在唯一解 $n_{i}^{k},$ 满足

注2.1 据我们有限的知识所知, 即使在物理学状态 $T_{i}=0,$$ T_{e}>0$ 下, 尚无双流体 Euler-Poisson 方程 (1.1) 到 KdV 方程 (2.11) 的形式推导. 实际上, 在上述推导过程中, 令 $T_{i}=0$, 易得物理状态下的形式渐近展开.

根据定理 2.1 和 2.2 以及方程 (2.7), (2.12) 和 (2.16), 下文我们能够假设函数 $(n_{\nu}^{j},u_{\nu}^{j},\psi^{j})$ ($1\leq j\leq N$) 是足够光滑的.

本节致力于从数学上严格证明, 当 $T_{i}=0$ 时, 系统 (2.1) 的解 $(n_{i},u_{i},n_{e},u_{e},\psi)$ 收敛到 KdV 方程 (2.11) 的解. 为此, 我们引入下列展开式

其中 $(n_{\nu},u_{\nu},\psi)$ 是方程 (2.1) 的解, $(n_{\nu}^{1},u_{\nu}^{1},\psi^{1})$ 和 $(n_{\nu}^{j},n_{\nu}^{j},\psi^{j})\ (2\leq j\leq N)$ 分别是方程 (2.11) 和 (2.17) 的解, $(N_{\nu},U_{\nu},\Psi)$ 是余项.

通过繁琐的计算, 我们得到了余项 $(N_{\nu},U_{\nu},\Psi)$ 所满足的方程

其中

定义

其中 $s\geq2,\ \alpha\in {\Bbb N},\ 0\leq \alpha \leq s.$

首先, 我们给出系统 (3.2) 局部解的存在性结果.

引理3.1 在定理 1.1 的假设条件下, 存在正常数 $\tau_{\varepsilon}',$ 使得系统 (3.2) 在区间 $[\tau_{\varepsilon}']$ 上存在唯一的光滑解 $(N_{i},N_{e},U_{i},U_{e},\partial_{\xi}\Psi)\in H^{s}\times H^{s+1}\times H^{s+1}\times H^{s+1}\times H^{s+1}$.

证 根据经典的迭代方法, 利用方程 (3.2b)-(3.2e) 和 (3.16) 相似的线性结构, 再结合类似引理3.2-3.4的能量估计, 我们能够得到该引理的证明. 值得注意的是, 此引理的证明过程更加容易, 因为此处不需要关于 $\varepsilon$ 的一致能量估计.证毕.

我们定义

其中 $\tilde{C}$ 是不依赖于 $\varepsilon$ 的常数. 因此,存在充分小的正常数 $\varepsilon_{1},$ 使得, 当 $0<\varepsilon<\varepsilon_{1}$ 时, 在区间 $[\tau_{\varepsilon}]$ 上, 有

此处, 我们已经使用了方程$ N_{i}=-\varepsilon\partial_{\xi\xi}\Psi+N_{e}.$注意到 $\tau_{\varepsilon}$ 依赖于 $\varepsilon$, 当 $\varepsilon\rightarrow 0$, $\tau_{\varepsilon}$ 可能会趋于零. 为此, 本文需证明, 对于任意的时间 $\tau_{0}$, 成立 $\tau_{\varepsilon}>\tau_{0}$. 实际上, 根据 convergence stability 原理, 我们只需得到区间 $[\tau_{1}\}]$ 上的一致先验估计, 其中 $0<\tau_{1}<1$ 是一个很小的常数.

接下来, 为了证明定理 1.1 (当 $T_{i}=0$ 时), 我们将本节分为三个部分.

引理3.2 令 $(N_{\nu},U_{\nu},\Psi)$ 是系统 (3.2) 的解. 则存在某个充分小的常数 $\varepsilon_{0},$ 使得, 当 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ 时, 有如下估计

证 利用 $( \frac{T_{e}}{n_{e}}N_{e},n_{i}U_{i},n_{e}U_{e})$ 与系统 (3.2b)-(3.2d) 做内积, 然后在空间 ${\Bbb R}$ 上分部积分, 我们得到

和

下面我们将逐一估计 (3.8) 式的右端项.根据 (3.1) 式和方程 (3.2b) 中 $\partial_{\tau}N_{e}$ 的表达式, (3.8) 式右端的第一项能够被分解为

根据定理 2.1 和 2.2, $\bar{n}_{e}, \bar{n}_{e},\mathfrak{R}e_{e,1}$ 是足够光滑的. 再由 (3.6) 式, Hölder 不等式以及 Young 不等式, 可得

类似可得

和

对于 (3.8) 式右端的第二项, 利用分部积分, 我们推导出

再次, 利用分部积分, 我们得到

和

由 $\mathfrak{R}e_{e,1}, \mathfrak{R}e_{i,2},\mathfrak{R}e_{e,2}$ 的表达式可知, 估计 (3.8) (3.9) 和 (3.10)式右端的最后一项能够被如下范数控制 $C\|(N_{e},U_{i},U_{e})\|_{L^{2}}^{2}+C\varepsilon^{2(N-m)}.$注意到

将上述估计式相加, 我们得到

对于 (3.12) 式左端的最后一项, 由于模 (3.4) 中缺少电动势的 $L^{2}$ 估计, 且电子与离子的强耦合作用, 需要更加细致的操作. 为此, 我们将此项分解为

对于(3.13)式的第一部分, 结合 $n_{\nu}$ 的定义式 (3.1a) 以及等式 $n_{i}^{1}=n_{e}^{1}$, 我们有

其中

因此,$\varepsilon \bar{n}_{i}-\varepsilon \bar{n}_{e}=O(\varepsilon^{2})$.为估计 (3.13) 式的第二部分, 再次使用分部积分, 可得

这导致了我们需要构造 $\partial_{\xi}\big(n_{e}(U_{i}-U_{e})\big)$ 满足的方程.具体地, 结合方程 (3.2a) 和 (3.2b), 我们有

其中 $\nu=i,e$.然后, $N_{i}-N_{e}$ 满足如下方程

根据方程 (3.16) 和 (3.2e), 分部积分, Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty},$

Hölder 不等式以及上文结果 $u_{i}^{1}=u_{e}^{1},\ \bar{n}_{i}-\bar{n}_{e}\sim O(\varepsilon)$, 可得

回顾系统 (3.3) 中 $\mathfrak{R}e_{i,1},\mathfrak{R}e_{e,1}$ 的表达式, 结合方程 $n_{e}^{k}-n_{i}^{k}=\partial_{\xi\xi}\psi^{k-1}$, 我们有

从而, 由方程 (2.7), (2.11), (2.12), (2.15)-(2.17) 及定理 2.1 和 2.2, $\|(\mathfrak{R}e_{i,1}-\mathfrak{R}e_{e,1})\|_{\dot{H}^{-1}}$ 是可积的. 这暗示了如下估计

结合上述所有的估计, 引理 3.2 得证.

引理3.3 在引理 3.2 的条件下, 我们有

其中 $H_{\varepsilon}^{s-1},H_{\varepsilon}^{s}$ 由(1.4) 式定义.

证 在方程 (3.2b)-(3.2d) 的两端作用算子 ${\mathfrak D}^{\alpha}=(\varepsilon^{1/2}\partial)^{\alpha}$$(\alpha=1,2,\cdots,s,s\geq2)$, 然后将结果与 $(\frac{T_{e}}{n_{e}}{\mathfrak D}^{\alpha} N_{e},n_{i}{\mathfrak D}^{\alpha}U_{i},n_{e}{\mathfrak D}^{\alpha}U_{e})$ 做内积, 可得

其中

和

此处, 我们使用了如下方程

接下来我们将逐一得到 (3.19) 式右端的估计. 对于第一项 $R_{1,1}$, 由 Hölder 不等式和 Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty},$ 可得

类似可得

根据方程 (3.2a)-(3.2b) 和 (3.6) 式, 我们推导出如下估计

和

接着, 由估计 (3.22) 和 (3.23)式, 可得

和

对于第五项 $R_{1,5}$, 利用 Leibnitz 公式, 我们得到

其它估计可类似得到, 则有

对于第六项 $R_{1,6}$, 我们再次利用 Leibnitz 公式可得

根据 (3.6) 式, Young 不等式和 Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty}$, 我们得到

其中 $0\leq\alpha_{i}(i=1,2,\cdots,k)\leq \alpha-1,\ \alpha> 2,$$\alpha_{k}$ 是 $\{\alpha_{i}\}_{i=1}^{k}$ 中最大项, $l$ 是 $\{\alpha_{i}\}_{i=1}^{k}$ 中正整数的个数. 这里, 我们已经使用了以下等式 $(l-1)(m-1/2)+m=l(m-1/2)+1/2.$ 特别地,

当 $\alpha=1$ 时, 我们推导出

当 $\alpha=2$ 时, 我们得到

根据 (3.25) 式, Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty}$ 以及 Young 不等式, 我们得到, 当 $\alpha> 2$ 时

$\alpha=1$时

$\alpha=2$时

结合估计 (3.25)-(3.30)式以及 Moser 型积分不等式, $R_{1,7}$ 能够被估计为

对于第八项 $R_{1,8}$, 当 $\alpha\geq 2$ 时, 利用交换子估计和 (3.25) 式, 我们推导出

这里, 我们使用了关系式 $l(m-1/2)+1/2\geq l(m-3/2)+3/2,$ 其中 $l\geq1.$特别地, 当 $\alpha=1$ 时, 我们有

接下来, 根据 $n_{\nu}$ 的定义及上文结果 $n_{i}^{1}=n_{e}^{1}$, (3.19) 式右端倒数第二项 $R_{1,9}$ 可被估计为

再次作用算子 ${\mathfrak D}^{\alpha}$ 到方程 (3.16), 我们有

对于(3.19)式右端最后一项 $R_{1,10}$, 根据(3.6)式, 方程(3.2e)和 (3.33), 并且利用分部积分公式, Moser 型积分不等式及上文结果 $u_{i}^{1}=u_{e}^{1},\ \bar{n}_{i}-\bar{n}_{e}\sim O(\varepsilon)$, 我们得到

将上述估计式相加, 引理 3.3 得证.

值得注意的是, 因为 $\|N_{i}\|_{H_{\varepsilon}^{s}}$ 无法被 $\|(N_{e},U_{i},U_{e},\varepsilon^{1/2}\partial_{\xi}\Psi)\|_{H_{\varepsilon}^{s}}$ 控制, 估计式 (3.18) 不封闭, 因此我们必须处理更高阶的能量估计.

引理3.4 在引理 3.2 的条件下, 我们有

证 在方程 (3.2b)-(3.2d) 的两端作用算子 ${\mathfrak D}^{\alpha}\partial_{\xi}$$(\alpha=0,1,2,\cdots,s)$, 然后与向量 $\varepsilon (\frac{T_{e}}{n_{e}}{\mathfrak D}^{\alpha}\partial_{\xi} N_{e},n_{i}{\mathfrak D}^{\alpha}\partial_{\xi}U_{i},n_{e}{\mathfrak D}^{\alpha}\partial_{\xi}U_{e})$ 做内积, 可得

其中

和

下面我们将逐一得到 (3.36) 式右端的估计. 对于第一项 $R_{2,1}$, 通过 (3.6), (3.25), (3.28)-(3.30) 式以及 Moser 型积分不等式, 我们有

对于 $R_{2,1}$ 中其它项, 类似可得

对于第二项 $R_{2,2}$, 我们仅处理最困难的两项. 根据 Moser 型积分不等式, (3.6) 和 (3.25) 式, 我们有

和

类似可得

下一步我们只需处理 (3.36) 式右端的最后一项. 直接利用 (3.2a) 和 (3.2b) 式可得

结合此方程及 (3.2e)式, $R_{2,3}$ 能够被分解为

其中 $R_{\nu,1}$, $(\bar{n}_{\nu},\bar{u}_{\nu})$ 是可积的. 这里, 我们使用了关系式 $N_{i}=-\varepsilon\partial_{\xi\xi}\Psi+N_{e}$.

将上述估计式相加, 引理 3.4 得证.

本小节旨在完成定理 1.1 的证明.

证 结合引理3.2-引理3.4, (1.2) 和 (3.5) 式, 加权能量模范数 (3.4) 的定义以及关系式 $N_{i}=-\varepsilon\partial_{\xi\xi}\Psi+N_{e}$, 我们获得了以下不等式

此不等式成立需要条件 $m>5/2,N-m>1.$

令 $\tilde{C}=2(1+C_{0})(1+2Ce^{2C}),$ 其中 $C_{0}$ 仅依赖于初值. 则存在足够小的正常数 $\varepsilon_{0},$ 使得, 当 $0<\varepsilon\leq\varepsilon_{0}$ 时, 如下不等式成立

再由 Gronwall 不等式, 可得

其中 $0<\tau_{1}<1.$

回顾关系式 $N_{i}=-\varepsilon\partial_{\xi\xi}\Psi+N_{e}$ 和模 (3.4) 的定义, 我们有

和

因此, 对于任意的 $0<\tau_{1}<1,$ 存在 $\varepsilon_{0},$ 使得, 当 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ 时, 成立 $\tau_{\varepsilon}> \tau_{1}.$ 最后, 在区间 $[\tau_{1},2\tau_{1}],[3\tau_{1}],\cdots $ 中重复上述过程, 同时借助经典的连续性方法, 可得 $\tau_{\varepsilon}> \tau_{0},$ 其中 $\tau_{0}>0$.

结合展开式 (3.1), 定理 1.1 (当 $T_{i}=0$ 时) 得证.

本节致力于在 $T_{i}>0$ 的情形下证得余项方程关于 $\varepsilon$ 的一致能量估计. 令 $(n_{\nu},u_{\nu},\psi)$ 满足系统 (2.1) 和展开式 (3.1). 利用推导余项方程 (3.2) 的类似方法, 我们得到

其中 $\mathfrak{R}e_{\nu,1},\mathfrak{R}e_{\nu,2}\ (\nu=i,e)$ 是已知函数, 详见定理 2.1 和 2.2.

正如 (1.4) 式, 我们定义

其中 $\alpha\in {\Bbb N},\ s\geq2,\ 0\leq\alpha\leq s.$

引理4.1 令 $(N_{\nu},U_{\nu},\Psi)$ 为系统 (4.1) 的解. 则存在充分小的常数 $\varepsilon_{0},$ 使得, 当 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ 时, 如下不等式成立

证 将系统 (4.1) 与向量函数 $(\frac{T_{i}}{n_{i}}N_{i},\frac{T_{e}}{n_{e}}N_{e},n_{i}U_{i},n_{e}U_{e})$ 做内积, 可得

和

其中 $\nu=i,e,\ q_{i}=1,\ q_{e}=-1.$根据分部积分公式, (3.22) 和 (3.23) 式, Hölder 不等式, Young 不等式以及 Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty}$, 我们得到

这里, 我们使用了如下方程

与估计 (3.13)-(3.17) 式类似, 我们有

另一方面, 在系统 (4.1a)-(4.1d) 的两端作用算子 ${\mathfrak D}^{\alpha}=(\varepsilon^{1/2}\partial)^{\alpha}$, 然后将结果方程与 $(\frac{T_{i}}{m_{i}}{\mathfrak D}^{\alpha}N_{i},\frac{T_{e}}{m_{e}}{\mathfrak D}^{\alpha}N_{e},m_{i}{\mathfrak D}^{\alpha}U_{i},m_{e}{\mathfrak D}^{\alpha}U_{e})$ 做内积 (其中 $1\leq\alpha\leq s,\ s\geq2$), 我们有

其中

由 Hölder 不等式和 Young 不等式, 可得

再由 (3.22) 和 (3.23) 式, 可得

与前面的估计 (3.24), (3.25) 和 (3.28) 式类似, 我们有

利用 Moser 型积分不等式, Sobolev 嵌入 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty}$, (3.6) 和 (3.25) 式可得, 当 $\alpha\geq 2$ 时

当 $\alpha=1$ 时

结合加权能量模 (4.2) 的定义及上述所有估计, 并利用已有的估计式 (3.32) 和 (3.34), 我们得到

最后, 根据假设 (1.2), 估计 (4.10) 及 Gronwall 不等式, 我们推导出

其中 $\tilde{C}=2(1+C_{0})(1+2Ce^{2C}).$此处需整数 $N,\ m$ 满足以下条件 $m>5/2,N-m>1.$引理 4.1 得证.

再次利用展开式 (3.1), 加权模 (1.4) 的定义及引理 4.1, 当 $T_{i}>0$ 时, 我们完成了定理 1.1 的证明. 值得注意的是, 不同于第 3 节, 本节不需要更高阶的能量估计, 这是因为 (4.10) 式左端确实出现了 $N_{i}$.