双流体 Euler-Poisson 方程的长波长极限
Long-Wavelength Limit for the Two-Fluid Euler-Poisson Equation
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收稿日期: 2021-11-11 修回日期: 2022-09-13
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Received: 2021-11-11 Revised: 2022-09-13
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作者简介 About authors
李敏,E-mail:
该文研究双流体Euler-Poisson方程的长波长极限. 首先, 借助长波尺度变换和奇异摄动方法, 建立了双流体 Euler-Poisson 方程到 Korteweg-de Vries(KdV)方程的形式推导. 然后, 当
关键词:
In this paper, we justify rigorously the long-wavelength limit for the two-fluid Euler-Poisson matrix. Firstly, under a long wave scaling, we establish the formal derivation of the Korteweg-de Vries (KdV) matrix from the two-fluid Euler-Poisson matrix by using a singular perturbation method. Then, with the aid of deep analysis of the complicated coupling structure of the two-fluid Euler-Poisson system and delicate energy estimates depending on such a structure, we prove the convergence of solutions of the Euler-Poisson system to that of the KdV matrix mathematically rigorously when
Keywords:
本文引用格式
李敏, 蒲学科.
Li Min, Pu Xueke.
1 引言
其中,指标
近些年来, 众多专家及学者从理论上和数值上对 Euler-Poisson 方程进行了一系列研究, 并取得了很多重要进展. 本文主要讨论 Euler-Poisson 方程的长波长极限, 在此框架下我们可以推导出 Korteweg-de Vries(KdV) 方程. 这里仅列出部分相关结果. Su 和 Gardner[17], Washimi 和 Taniuti[18] 从一类弱非线性伽利略不变的色散系统中形式推导出 KdV 方程. 最近, Guo 和蒲学科[5] 利用能量方法及奇异摄动方程进一步从数学上严格证明了一维 Euler-Poisson 方程的解到 KdV 方程的解的收敛过程. 利用不同的空间尺度变化, 该结果可被推广到高维情形[9,14]. 对于量子修正模型的量子 KdV 极限, 参见文献[1,6,7,10]. 特别地, 对于冷的磁流体波到 KdV 方程的收敛, 可参考文献[2,15].
本文主要目的是给出时间尺度
为证明本文的主要结果, 即定理 1.1, 首先, 我们借助 Gardner-Morikawa 变换以及奇异摄动方法推导出极限方程及余项方程. 然后, 在
更加具体地说, 不同于先前的文献[5], 余项方程(3.2)和(4.1)的基本能量估计包含如下奇异项
在一次分部积分之后, 该项变为
此处, 因为
再次出现了. 然而, 本文仅有关于
这也导致我们需要去考虑关于
据我们所知, 当
本文的主要定理陈述如下.
定理1.1假设定理 2.1 和 2.2 中
则对于任意的时间
1)
2)
其中
注1.1 从上述定理中, 我们发现: 在时间变量
其中
注1.2 值得指出的是, 本文仅给出了
本文结构如下: 在第 2 节中, 我们利用 Gardner-Morikawa 变换及奇异摄动方法, 得到了双流体 Euler-Poisson 方程的形式渐近展开. 第3节和第4节给出了余项方程的细致能量估计, 这里我们必须深入分析两个 Euler 方程和 Poisson 方程的耦合结构. 最后, 通过加权的能量模, Gronwall 不等式及经典的连续性方法, 我们完成了定理 1.1 的证明.
以下是一些符号的含义.
H_{\varepsilon}^{k}为加权的 Sobolev 空间, 其模定义如下
此外,
2 形式渐近展开
本节旨在从形式上得到双流体 Euler-Poisson 方程(1.1) 的 KdV 极限. 首先, 利用 Gardner-Morikawa 变换
其中
其次, 在平衡态
将展开(2.2)式带入方程 (2.1), 得到关于参数
根据方程(2.3c)及结论
将系统 (2.4) 整理成矩阵形式, 可得
为得到非平凡解
再由方程 (2.4c) 可得
根据方程(2.4)和(2.6), 我们得到
此处, 我们假设函数在无穷远处满足零 Dirichlet 边界且
在
将方程 (2.8b) 在
结合等式
由上式及 (2.6) 式, 我们推导出了如下 Korteweg-de Vries 方程
回顾关系式
注意到方程 (2.7) 和 (2.11) 不依赖于
对于 KdV 方程 (2.11) 解的存在性, 可参考文献[12].
定理2.1 假设
根据方程 (2.7), (2.8) 和 (2.11), 我们得到
其中
因此, 下面仅需得出
在
首先, 将方程 (2.14a) 的两端同时乘以
其中
一般地, 在
其中
其中
对于线性 KdV 方程 (2.15) 和 (2.17) 解的存在性, 有如下结果.
定理2.2 假设
注2.1 据我们有限的知识所知, 即使在物理学状态
根据定理 2.1 和 2.2 以及方程 (2.7), (2.12) 和 (2.16), 下文我们能够假设函数
3 严格的长波长极限: 当 T_{i}=0 时
本节致力于从数学上严格证明, 当
其中
通过繁琐的计算, 我们得到了余项
其中
定义
其中
首先, 我们给出系统 (3.2) 局部解的存在性结果.
引理3.1 在定理 1.1 的假设条件下, 存在正常数
证 根据经典的迭代方法, 利用方程 (3.2b)-(3.2e) 和 (3.16) 相似的线性结构, 再结合类似引理3.2-3.4的能量估计, 我们能够得到该引理的证明. 值得注意的是, 此引理的证明过程更加容易, 因为此处不需要关于
我们定义
其中
此处, 我们已经使用了方程
接下来, 为了证明定理 1.1 (当
3.1 低阶能量估计
引理3.2 令
证 利用
和
下面我们将逐一估计 (3.8) 式的右端项.根据 (3.1) 式和方程 (3.2b) 中
根据定理 2.1 和 2.2,
类似可得
和
对于 (3.8) 式右端的第二项, 利用分部积分, 我们推导出
再次, 利用分部积分, 我们得到
和
由
将上述估计式相加, 我们得到
对于 (3.12) 式左端的最后一项, 由于模 (3.4) 中缺少电动势的
对于(3.13)式的第一部分, 结合
其中
因此,
这导致了我们需要构造
其中
根据方程 (3.16) 和 (3.2e), 分部积分, Sobolev 嵌入
Hölder 不等式以及上文结果
回顾系统 (3.3) 中
从而, 由方程 (2.7), (2.11), (2.12), (2.15)-(2.17) 及定理 2.1 和 2.2,
结合上述所有的估计, 引理 3.2 得证.
引理3.3 在引理 3.2 的条件下, 我们有
其中
证 在方程 (3.2b)-(3.2d) 的两端作用算子
其中
和
此处, 我们使用了如下方程
接下来我们将逐一得到 (3.19) 式右端的估计. 对于第一项
类似可得
根据方程 (3.2a)-(3.2b) 和 (3.6) 式, 我们推导出如下估计
和
接着, 由估计 (3.22) 和 (3.23)式, 可得
和
对于第五项
其它估计可类似得到, 则有
对于第六项
根据 (3.6) 式, Young 不等式和 Sobolev 嵌入
其中
当
当
根据 (3.25) 式, Sobolev 嵌入
\alpha=1时
\alpha=2时
结合估计 (3.25)-(3.30)式以及 Moser 型积分不等式,
对于第八项
这里, 我们使用了关系式
接下来, 根据
再次作用算子
对于(3.19)式右端最后一项
将上述估计式相加, 引理 3.3 得证.
值得注意的是, 因为
3.2 高阶能量估计
引理3.4 在引理 3.2 的条件下, 我们有
证 在方程 (3.2b)-(3.2d) 的两端作用算子
其中
和
下面我们将逐一得到 (3.36) 式右端的估计. 对于第一项
对于
对于第二项
和
类似可得
下一步我们只需处理 (3.36) 式右端的最后一项. 直接利用 (3.2a) 和 (3.2b) 式可得
结合此方程及 (3.2e)式,
其中
将上述估计式相加, 引理 3.4 得证.
3.3 在 T_{i}=0 的情形下, 定理 1.1 的证明
本小节旨在完成定理 1.1 的证明.
证 结合引理3.2-引理3.4, (1.2) 和 (3.5) 式, 加权能量模范数 (3.4) 的定义以及关系式
此不等式成立需要条件
令
再由 Gronwall 不等式, 可得
其中
回顾关系式
和
因此, 对于任意的
结合展开式 (3.1), 定理 1.1 (当
4 严格的长波长极限: 当 T_{i}>0 时
本节致力于在
其中
正如 (1.4) 式, 我们定义
其中
引理4.1 令
证 将系统 (4.1) 与向量函数
和
其中
这里, 我们使用了如下方程
与估计 (3.13)-(3.17) 式类似, 我们有
另一方面, 在系统 (4.1a)-(4.1d) 的两端作用算子
其中
由 Hölder 不等式和 Young 不等式, 可得
再由 (3.22) 和 (3.23) 式, 可得
与前面的估计 (3.24), (3.25) 和 (3.28) 式类似, 我们有
利用 Moser 型积分不等式, Sobolev 嵌入
当
结合加权能量模 (4.2) 的定义及上述所有估计, 并利用已有的估计式 (3.32) 和 (3.34), 我们得到
最后, 根据假设 (1.2), 估计 (4.10) 及 Gronwall 不等式, 我们推导出
其中
再次利用展开式 (3.1), 加权模 (1.4) 的定义及引理 4.1, 当
参考文献
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DOI:10.1016/j.jde.2018.09.006 URL [本文引用: 1]
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Derivation of the ion matrix
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Quantum ion-acoustic waves
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From Vlasov-Poisson to Korteweg-de Vries and Zakharov-Kuznetsov
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The Korteweg-de Vries matrix: A survey of results
DOI:10.1137/1018076 URL [本文引用: 1]
Dispersive limit of the Euler-Poisson system in higher dimensions
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KdV limit of the hydromagnetic waves in cold plasma
Korteweg-de Vries matrix and generalizations III: derivation of the Korteweg-de Vries matrix and Burgers matrix
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