1925年丹麦数学家Bohr在研究Dirichlet级数时发现并建立了概周期函数理论. 这一理论在当时引起了数学家的广泛关注, 比如Bochner、Von Neumann、Stepanov和Besicovitch 等等. 他们的研究工作(例如文献[4,5,28]等)揭示了概周期函数的许多本质特征. 此后, 数学工作者不仅深入地研究了概周期函数的性质, 并且对概周期函数进行了推广, 提出了渐近概周期函数、概自守函数、伪概周期函数和加权伪概周期函数等概念. 至今概周期函数理论已经非常丰富并且广泛应用于微分方程、动力系统等多个数学学科分支.

近几十年来, 随机微分方程(SDEs)的理论广泛应用于经济、生物、物理和自动化等领域, 关于无穷维随机微分方程的研究结果也越来越多(读者可以参考文献[13,19]等). 另一方面, 确定性微分方程的概周期性一直以来都是有趣且重要的课题, 关于这方面研究已有大量而丰富的成果. 然而对于随机微分方程, 很多概周期问题还远远没有得到解答, 实际上随机微分方程的概周期问题要比确定性微分方程的概周期问题复杂的多. 例如对于一个随机过程, 它的概周期性都有许多不同含义: 均方概周期性、依概率概周期性、一维分布概周期性和依路径分布概周期性等等. 到目前为止关于SDEs的概周期性的研究主要分为两方面, 一方面是均方概周期性, 另一方面是分布意义下概周期性(一维分布或依路径分布). 早期关于SDEs的分布意义下概周期解的研究主要是由Tudor完成的. 在20世纪80年代Morozan和Tudor^[22]提出了一维分布概周期函数的概念并讨论了有限维随机微分方程的一维分布概周期解. 随后, Tudor^[25]和Da prato与Tudor^[12]研究了无穷维随机微分方程的一维分布概周期解和依路径分布概周期解. 此外, 随机动力系统领域的专家Arnold与Tudor^[1]合作研究了由动力系统驱动的有限维随机微分方程的依路径分布概周期解. 近些年关于SDEs的分布意义下概周期性的研究代表性的有两个团队:一个是由国内的柳振鑫教授及其合作者组成的团队. 他们利用Favard分离方法、Shcherbakov可比法和变分法等一系列方法讨论了SDEs的分布意义下的概周期性(参见文献[8⇓-10,18,20]);另一个是由Mellah和Raynaud de Fitte及其合作者组成的团队, 他们在半群框架下利用SDEs的解的分布唯一性(uniqueness in law)研究了随机微分方程的依路径分布概周期型解(参见文献[2,16]).

相比于分布意义下的概周期性, 均方概周期性是一类更强的回复性, 而要得到SDEs的均方概周期解的存在性是非常困难的. 在文献[21]中Mellah和Raynaud de Fitte证明了一些概周期随机微分方程是不可能存在均方概周期解的, 并指出了随机积分的变量替换公式一般是不成立的. 有趣的是, 2020年Raynaud de Fitte在文献[23]中给出了带有可测动力系统$\theta$的随机积分的变量替换公式并利用这一公式研究了概周期随机微分方程的均方$\theta$ -概周期解的存在性. 其中均方$\theta$ -概周期性是与均方概周期性非常相似的一种回复性.

本文的研究动机主要分为两方面:一方面是文献[23]的研究手法以及$\theta$ -概周期过程的概念都是非常新颖的, 具有很多优势, 比如均方$\theta$ -概周期过程具有很好的紧性等等, 我们相信这一方法还能应用于其它的概周期型随机微分方程的研究; 另一方面是关于SDEs的概周期性的研究结果中, 就本人所知, 讨论分布意义渐近概周期解的研究结果只有文献[20,22,25⇓-27], 但这些结果都只讨论了SDEs的一维分布渐近概周期解. 因此在本文中, 我们将引入均方渐近$\theta$ -概周期过程的概念并借此研究随机微分方程的依路径分布渐近概周期解.

本文的结构如下:第2节给出一些基本概念和相关性质, 第3节研究带有渐近概周期系数的随机微分方程的渐近$\theta$ -概周期解以及依路径分布渐近概周期解.

设$(E,d)$是一个完备的距离空间, $Y$是任一巴拿赫空间. 记$BC(\mathbb{R},Y)$为所有从$\mathbb{R}$到$Y$的有界连续函数的全体在上确界范数$\| \cdot\| _{\infty}$下构成的巴拿赫空间.

记

定义2.1 设$f:\mathbb{R}\to E$是连续的, 如果对于任给的$\varepsilon>0$, 存在常数$l>0$, 使得任一长为$l$的区间上都存在数$\tau\in \mathbb{R}$满足

则称函数$f$是概周期的. 记这类函数的全体为$AP(\mathbb{R},E)$.

设集合$A\subset\mathbb{R}$, 如果存在常数$L>0$使得对任给的$a\in\mathbb{R}$都有$[a,a+L]\cap A\neq \emptyset$, 那么我们称集合$A$是$\mathbb{R}$中相对稠密集. 显然, 对于一个连续函数$f$而言, $f$是概周期的当且仅当对任给的$\varepsilon>0$, 集合$P(\varepsilon,f):=\{\tau\in\mathbb{R}:\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}d(f(t+\tau),f(t))<\varepsilon\}$是$\mathbb{R}$中相对稠密集. 1927年Bochner^[6]通过平移函数族的准紧性得到了概周期函数的另一个等价定义, 即对于有界连续函数$f$, $f$是概周期的当且仅当$f$的平移函数族是准紧的(在有界连续函数空间中). 随后, Von Neumann利用这一等价定义建立了群上的概周期函数理论. 关于群上的概周期函数理论, 读者可参考文献[7,11,28,29].

定义2.2 设$f:\mathbb{R}\to Y$是连续的. 如果存在$f$的一个分解$f=g+\phi$, 其中$g\in AP(\mathbb{R},Y)$, $\phi\in C_{0}(\mathbb{R},Y)$, 则称$f$是渐近概周期的.

接下来我们介绍分布意义下概周期随机过程. 设${\Bbb X}$是完备的可分度量空间, 记$C(\mathbb{R},{\Bbb X})$为所有从$\mathbb{R}$到${\Bbb X}$的连续函数全体, 赋予其距离

则$(C(\mathbb{R},{\Bbb X}),d_{C(\mathbb{R},{\Bbb X})})$是完备的距离空间, 并且距离$d_{C(\mathbb{R},{\Bbb X})}$生成了$C(\mathbb{R},{\Bbb X})$上的紧开拓扑(参见文献[9,24]). 设$Pro({\Bbb X})$是${\Bbb X}$的Borel-$\sigma$ -代数上的概率测度的全体. 记$BC({\Bbb X})$为所有从${\Bbb X}$到${\Bbb R}$的有界连续函数的全体. 对$f\in BC({\Bbb X})$, 定义

记$\|f\| _{BL}=\|f\| _{\infty}+\|f\| _{L}$. 对$\mu,\nu\in Pro({\Bbb X})$, 可以定义距离

则$(Pro({\Bbb X}),d_{BL})$是完备的距离空间, 并且距离$d_{BL}$生成了概率测度空间$Pro({\Bbb X})$上的弱拓扑(参见文献[11章]).

定义2.3 设$X:{\Bbb R}\times \Omega\to {\Bbb X}$是一个随机过程.

(a)如果函数$t\mapsto law(X(t))$是从${\Bbb R}$到$Pro({\Bbb X})$的概周期函数, 则称$X$是一维分布概周期的.

(b)如果对任给的有限序列$\left(t_{1}, \cdots, t_{n}\right)$, 函数

是概周期的, 则称$X$是有限维分布概周期的.

(c)假设随机过程$X:{\Bbb R}\times \Omega\to {\Bbb X}$有连续轨迹. 如果从${\Bbb R}$到$Pro(C({\Bbb R},{\Bbb X}))$的函数$t\mapsto law(X(t+\cdot))$是概周期的, 则称$X$是依路径分布概周期的.

关于随机过程的各种概周期性以及相关性质, 读者可参考文献[3].

定义2.4 假设随机过程$X:{\Bbb R}\times \Omega\to {\Bbb X}$有连续轨迹. 如果函数$t\mapsto law(X(t+\cdot))$是连续的, 并且存在依路径分布概周期随机过程$Y:\mathbb{R}\times \Omega\to {\Bbb X}$使得

则称$X$是依路径分布渐近概周期的.

最后, 我们介绍$\theta$ -概周期随机过程. 设$p\geq1$, $H$是可分希尔伯特空间. 记$L^{p}(\Omega,H)$是从$\Omega$到$H$的所有$p$次方可积函数的全体, 带有通常的$L^{p}$范数.

定义2.5^[14] 设$(\Omega,{\cal F},P)$是一个概率空间, $\theta=(\theta_{t})_{t\in\mathbb{R}}$是一族从$\Omega$到$\Omega$的可测映射, 即对任给的$t\in\mathbb{R}$, $\theta_{t}:\Omega\to\Omega$是可测的, 如果以下两条成立

(1) $\theta_{0}=Id_{\Omega}$, $\theta_{t}\theta_{s}=\theta_{t+s}, \ \ t,s\in\mathbb{R}$,

(2) $\theta:\mathbb{R}\times\Omega\to\Omega$ 是${\cal B}({\Bbb R}) \otimes {\cal F}$可测的. 其中${\cal B}({\Bbb R})$是${\Bbb R}$的Borel-$\sigma$ -代数, 则称$(\Omega,{\cal F},P,\theta)$是可测动力系统. 此外, 若$\theta$还是保测度的, 即对任给的$A\in {\cal F},\ t\in\mathbb{R}$, 有$P(\theta_{t}A)=P(A)$, 则称$(\Omega,{\cal F},P,\theta)$是保测动力系统.

定义2.6^[23] 设 $X:\mathbb{R} \times \Omega \to H$是随机过程且$X(t)\in L^{p}(\Omega,H),t\in\mathbb{R}$,

(a) 设$\varepsilon>0$. 如果$\tau\in{\Bbb R}$满足$\sup _{t \in {\Bbb R}} \left(E\big\| X\left(t+\tau, \theta_{-\tau} \cdot\right)-X(t, \cdot)\big\| ^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\varepsilon$, 则称$\tau$是$X$的一个$\theta_{p}$ -$\varepsilon$ -概周期点.

(b)如果映射$(t, s) \mapsto X\left(t+s, \theta_{-s} \cdot\right)$是从$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$到$L^{p}(\Omega,H)$的连续映射, 并且对任给$\varepsilon>0$, 由$X$的$\theta_{p}$ -$\varepsilon$ -概周期点组成的集合是$\mathbb{R}$中相对稠密集, 则称$X$是$\theta_{p}$ -概周期的. 记这类过程的全体为$AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{p}(\Omega,H)).$

命题2.1^[23] (闭性) 设$\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty}$是一列$\theta_{p}$ -概周期随机过程, 如果存在随机过程$X$使得 $\lim_{n\to\infty}\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\left(E\big\| X_{n}(t,\cdot)-X(t,\cdot)\big\| ^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=0,$ 那么$X$也是$\theta_{p}$ -概周期随机过程.

命题2.2^[23] 设$X:\mathbb{R} \to L^{p}(\Omega,H)$是$\theta_{p}$ -概周期随机过程, $J$是$\mathbb{R}$中的一个紧区间, 那么

(i) 集合${\cal L}_{J}=\left\{X\left(s+t, \theta_{-t} \cdot\right) : s \in J, t \in {\Bbb R}\right\}$是$L^{p}(\Omega,H)$ 中列紧集;

(ii)集合${\cal K}=\{{ law}(X(t, \cdot)) : t \in {\Bbb R}\}$ 是一致胎紧的(uniformly tight), 即对任给的$\varepsilon>0$, 存在紧集$K\subset H$使得$\sup _{t \in {\Bbb R}} P(\{\omega \in \Omega : X(t, \omega) \notin K\}) \leq \varepsilon.$

在本节中,$\!\!H$是可分希尔伯特空间,$\!\!\Omega=C({\Bbb R}, H)$, 赋予其紧开拓扑, $\!\!{\cal F}$是$\Omega$上的Borel-$\sigma$ -代数, $P$是$\Omega$上的Wiener测度, $Q$是其迹类协方差算子(trace class covariance operator), $L(H)$是所有从$H$到$H$的有界线性算子全体在算子范数下构成的巴拿赫空间. 定义

则$W=(W(t))_{t\in\mathbb{R}}$是$\Omega$上的布朗运动并且$Q$是$W$的协方差算子. 令${\cal F}_{t}=\sigma\{W(u):u\leq t\},$$t\in\mathbb{R}$.关于无穷维随机积分的定义和基本性质, 读者可参考文献[13,19]. 定义$\theta=(\theta_{\tau})_{\tau\in\mathbb{R}}$如下

则$(\Omega,{\cal F},P,\theta)$是可测动力系统. 此外, $\theta=(\theta_{\tau})_{\tau\in\mathbb{R}}$是保测度的(参见文献[第5节]). 接下来, 我们将考虑如下的随机微分方程

其中$A:D(A)\subset H\to H$是稠定闭线性算子, $F:{\Bbb R}\times H\to H$和$G:{\Bbb R}\times H\to L(H)$是连续的. 首先, 我们考虑如下假设

(H1)~ $A$生成了$H$上的强连续半群$(T(t))_{t\geq 0}$, 并且存在常数$\delta>0$使得

(H2)~ $F:{\Bbb R}\times H\to H$, $G:{\Bbb R}\times H\to L(H)$满足Lipschitz条件和线性增长条件, 即存在常数$K>0$使得对$t\in{\Bbb R},x,y\in H$有

以及

(H3)~ 函数$F,G$是逐点渐近概周期的. 即对任给的$x\in H$, $F(\cdot,x):\mathbb{R}\to H$和$G(\cdot,x):\mathbb{R}\to L(H)$是渐近概周期的.

定义3.1 若存在一个$H$值${\cal F}_{t}$可测随机过程$X=(X(t))_{t\in\mathbb{R}}$ 满足对所有的$t,s\in{\Bbb R},$$t\geq s$, 有

则称$X$是方程(3.1)的一个温和解.

定义3.2 设$X$是一个随机过程且对$t\in\mathbb{R}$, $X(t)\in L^{2}(\Omega,H)$. 如果存在$X$的一个分解$X=Y+Z$, 其中$Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, $Z\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, 则称$X$是均方渐近$\theta$ -概周期的. 记这类随机过程的全体为$AAP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$.

定理3.1 设$\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty}$是一列均方渐近$\theta$ -概周期随机过程, 如果存在随机过程$X$使得

那么$X$也是均方渐近$\theta$ -概周期随机过程.

证 设 $\Psi\in AAP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H)),$$\Psi=Y+Z,$ 其中$Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, $Z\in C_{0}(\mathbb{R},$$L^{2}(\Omega,H))$. 首先我们证明$\|Y\|_{\infty}\leq \|\Psi\|_{\infty}$.

反证法. 假设$\|Y\|_{\infty}> \|\Psi\|_{\infty}$, 则存在$t_{0}\in\mathbb{R}$使得$\|Y(t_{0})\|_{L^{2}}>\sup\limits_{t \in \mathbb{R}}\|\Psi(t)\|_{L^{2}}$. 令 $\lambda=\|Y(t_{0})\|_{L^{2}}-\sup\limits_{t \in \mathbb{R}}\|\Psi(t)\|_{L^{2}}>0$. 因为$Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, 所以存在$\mathbb{R}$中相对稠密集$P(\frac{\lambda}{2},Y)$使得

因此

由于$\theta$是保测度的, 故$\|Y(t_{0}+\tau)\|_{L^{2}}-\sup\limits_{t \in \mathbb{R}}\|\Psi(t)\|_{L^{2}}\geq \frac{\lambda}{2}$. 因此对所有的$\tau\in P(\frac{\lambda}{2},Y)$,

这与$Z\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$矛盾.

由(3.2)式知$\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subset BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$是柯西列, 并且有分解$X_{n}=Y_{n}+Z_{n}$, 其中$Y_{n}\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, $Z_{n}\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$. 对任给的$\varepsilon>0$, 存在$N>0$使得对任意的$n,m>N$有

从而有$\|Y_{n}-Y_{m}\|_{\infty}<\varepsilon$ 以及$\|Z_{n}-Z_{m}\|_{\infty}<2\varepsilon.$ 由$BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$的完备性知$\{Y_{n}\}$和$\{Z_{n}\}$的极限存在, 分别记为$Y$和$Z$. 再由$AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$和$C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$的闭性可知$Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$且$Z\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$. 不难看出$X=Y+Z$, 故$X$是均方渐近$\theta$ -概周期随机过程.证毕.

定义$\psi:BC({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))\to BC({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))$如下

可以直接验证$\psi$是有意义的.

定理3.2 假设条件(H1)-(H3)成立. 则算子$\psi$是从$AAP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$到$AAP_{\theta}(\mathbb{R},$$L^{2}(\Omega,H))$的自映射.

证 任取$X=Y+Z\in AAP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, 其中$Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, $Z\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,$$H))$. 设$F=F_{1}+F_{2},G=G_{1}+G_{2}$, 其中$F_{1},G_{1}$ 分别是$F,G$的概周期部分, 即对任给的$x\in H$, $F_{1}(\cdot,x),G_{1}(\cdot,x)$是概周期的. 由文献[引理5.2]可知$F_{1},G_{1}$也满足条件(H2). 由文献[命题 5.1]可知, $\psi_{1} Y\in AP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, 其中

接下来我们证明$\psi X-\psi_{1}Y\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$. 显然

先考虑第一项$P_{1}$. 由$Z\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$可知对任给的$\varepsilon>0$, 存在正数$N$, 使得对$\left| t\right|>N$有$E\| Z(t)\| ^{2}<\varepsilon.$ 因此对$t>N$, 利用Cauchy-Schwartz不等式, 条件(H1)和(H2)可得

因此当$t\to +\infty$时, $E\|P_{1}(t)\|^{2}\to 0$. 对 $t<-N$, 有

故当$t\to -\infty$时, $E\|P_{1}(t)\|^{2}\to 0$. 从而有$P_{1}\in C_{0}({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))$. 由Itô等距, 条件(H1)和(H2)可得

通过类似于$P_{1}$的计算, 我们可以证明$P_{2}\in C_{0}({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H)).$

接下来我们考虑第三项$P_{3}$. 由$\theta$是保测度的以及命题2.2 (i)可知(或参见文献[23]), 对任给的$\varepsilon>0$, 存在$0<\eta<\varepsilon$ 使得对所有满足$P(A)<\eta$的集合$A\in{\cal F}$, 有

由命题2.2 (ii)知$\{law(Y(s,\cdot)):s\in \mathbb{R}\}$是一致胎紧的, 故存在紧集$\bar{K}\subset H$ 使得

选取$\bar{K}$的一个$\varepsilon$ -网$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{J}\}$. 分别记集合$\{w:Y(s,w)\in \bar{K}\}$和$\{w:Y(s,w)\notin \bar{K}\}$为$A_{s}$和$A_{s}^{c}$. 则

因为$F_{2}=F-F_{1}$, 所以$F_{2}$也满足条件(H2)(带有系数$2K$). 利用(3.3)和(3.4)式可得

另一方面

因为$F$是逐点渐近概周期的, 所以对任给的$i=1,2,\cdots,J$, $F_{2}(\cdot,x_{i})\in C_{0}(\mathbb{R},H)$. 不难验证$\int_{-\infty}^{t}e^{-\delta(t-s)}\|F_{2}(s,x_{i})\|^{2}{\rm d}s\in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. 因此存在$N>0$使得对$\left|t\right|>N$有

从而当$\left|t\right|>N$, 有$E\|P_{3}(t)\|^{2}<\widehat{L}\varepsilon$, 其中$\widehat{L}$是只依赖于$K,\delta$的常数. 因此

由Itô等距以及条件(H1)可得

类似于$P_{3}$的证明, 我们可得$P_{4}\in C_{0}({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))$. 故$\psi X-\psi_{1}Y\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$, 从而$\psi X\in AAP_{\theta}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$.证毕.

定理3.3 假设条件(H1)-(H3)成立, 当系数$\eta=3K^{2}(\frac{1}{\delta^{2}}+\frac{trQ}{\delta})<1$ 时, 方程(3.1) 在空间$BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$中存在唯一的温和解$X$并且$X$有连续版本. 此外, $X$不仅是均方渐近$\theta$ -概周期的, 还是依路径分布渐近概周期的.

证 第一步 解的唯一性. 假设$X,Y\in BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$是方程(3.1)的温和解, 那么对任给的$t,s\in\mathbb{R},t\geq s$, 由Itô等距可得

利用Cauchy-Schwartz不等式可得

在不等式(3a)中令$s\to -\infty$, 则

由文献[引理 3.3]以及$\eta<1$可得$E\| X(t)-Y(t)\| ^{2}=0$. 唯一性得证.

第二步 解的存在性. 如果存在随机过程$X$满足对任给的$t\in\mathbb{R}$, 有

那么不难验证$X$是方程(3.1)的温和解. 下面我们证明这样的随机过程是存在的. 对$X,Y\in BC({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))$,有

由Jensen不等式以及条件(H1), (H2)可知

由Itô等距和条件(H1), (H2)可知

因此有

其中$\eta_{2}=2K^{2}(\frac{1}{\delta^{2}}+\frac{trQ}{2\delta})<\eta<1$. 由不动点定理可知存在随机过程$X\in BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$ 满足

所以方程(3.1)在$BC({\Bbb R},L^{2}(\Omega,H))$存在唯一的温和解$X$. 由文献[定理 7.2])可知温和解$X$存在连续版本.

第三步 解的概周期性. 结合定理3.2 可知$X$是均方渐近$\theta$ -概周期的, 最后我们证明$X$还是依路径分布渐近概周期的. 设$F=F_{1}+F_{2},G=G_{1}+G_{2}$, 其中$F_{1},G_{1}$分别是$F,G$的概周期部分, 即对任给的$x\in H$, $F_{1}(\cdot,x),G_{1}(\cdot,x)$是概周期的. 由文献[引理 5.2]可知$F_{1},G_{1}$ 也满足条件(H2). 由文献[定理 5.1]知方程

在$BC(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$中存在唯一的温和解$Y$, 即对任给的$t,s\in\mathbb{R},t\geq s$有

此外, $Y$不仅是$\theta_{2}$ -概周期的, 还是依路径分布概周期的. 接下来我们先证明

对任给的正整数$N$, 由$d_{BL}$的定义可知

如果对任给的正整数$N$, $E\sup\limits_{s \in[t-N, t+N]}\big\| X(s)-Y(s)\big\| ^{2} \in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 那么对任给的$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$使得$\sum\limits_{k=N+1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}<\frac{\varepsilon}{2}$, 以及正数$\widehat{N}$使得当$\left|t\right|>\widehat{N}$时

从而有$d_{BL}(law(X(t+\cdot)),law(Y(t+\cdot)))<\varepsilon$. 因此若要证(3.5)式, 只需证对任给的正整数$N$, 有

由温和解的定义知

由$Z(t)=X(t)-Y(t)\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$可知$\Sigma_{1}\in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. 由Hölder不等式以及条件(H2)可得

由$Z(t)=X(t)-Y(t)\in C_{0}(\mathbb{R},L^{2}(\Omega,H))$ 可知当$|t|\to\infty$时

另一方面, 因为$Y$是$\theta_{2}$ -概周期的, 所以对任给的$\varepsilon\in (0,1)$, 存在$0<\eta<\varepsilon$使得对所有满足$P(A)<\eta$的集合$A\in{\cal F}$, 有$\sup\limits_{\sigma \in \mathbb{R}}E\|Y(\sigma,\cdot)\|^{2}1_{A}<\varepsilon.$由命题2.2 (ii)知$\{law(Y(s,\cdot)):s\in \mathbb{R}\}$是一致胎紧的, 故存在紧集$\bar{K}$使得$\sup _{s \in \mathbb{R}} P(w: Y(s, w) \notin \bar{K})<\eta.$选取$\bar{K}$的一个$\varepsilon$ -网$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{J}\}$. 分别记集合$\{w:Y(s,w)\in \bar{K}\}$和$\{w:Y(s,w)\notin \bar{K}\}$为$A_{s}$和$A_{s}^{c}$. 类似于定理3.2 中$P_{3}$的计算, 我们有

因为$F$是逐点渐近概周期的, 所以$F_{2}(\cdot,x_{i})\in C_{0}(\mathbb{R},H)$, $i=1,2,\cdots,J$. 从而存在正数$\hat{N}$, 当$|t|>\hat{N}$ 时, 有

从而有

这说明了当$|t|\to\infty$时

因此$\Sigma_{2}\in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. 由随机卷积的极大值不等式([定理 6.10]) 可知:对任给的$L>0$, 存在常数$C_{L}>0$使得对任给的$a\in\mathbb{R}$以及满足$E\int_{a}^{a+L}\|\phi(s)\|^{2}{\rm d}s<\infty$ 的$L_{2}^{0}$可料过程$\phi$有

从而有

通过与$\Sigma_{2}$类似的计算可得$\Sigma_{3}\in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. 这说明了$E\sup\limits_{s \in[t-N, t+N]}\big\| X(s)-Y(s)\big\| ^{2} \in C_{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 故(3.5)式成立.

最后我们证明函数$t\mapsto law(X(t+\cdot))$是连续的. 对任给的$t_{0},t\in\mathbb{R},|t-t_{0}|<1$ 以及任给的正整数$N$, 我们有

通过类似先前的计算可知

从而$E\sup\limits_{s \in[t_{0}-N-1,t_{0}+N+1]}2\big\| X(s)\big\| <\infty$. 又因为$X$有连续的轨迹, 并且

所以由控制收敛定理可知$\int_{\Omega} \sup\limits_{s \in[-N, N]}\big\| X(t+s)-X(t_{0}+s)\big\| {\rm d} P\to 0,\ \ t\to t_{0}$. 因此对任给的$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$使得$\sum\limits_{k=N+1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}<\frac{\varepsilon}{2}$, 以及$h>0$使得当$\left|t-t_{0}\right|<h$时,有

从而有$d_{BL}(law(X(t+\cdot)),law(X(t_{0}+\cdot)))<\varepsilon$. 这说明了函数$t\mapsto law(X(t+\cdot))$是连续的. 综上所述, $X$是依路径分布渐近概周期的.证毕.