近年来, 耦合Ginzburg-Landau系统在物理中被较多地用来研究$p$波超导中的铁磁或反铁磁效应^[1],以及玻色-爱因斯坦凝聚现象中两个分量之间的相互作用^[2].设$\Omega\subset{\Bbb R}^2$为一有界光滑区域, $\Psi\in H^1 (\Omega; {\Bbb C}^2)$. 我们定义如下能量泛函

其中$\Psi=(\psi_+, \psi_- )$, $\epsilon>0$为Ginzburg-Landau常数, $A_\pm, B, t_\pm$ 为参数满足如下假设

当我们对(1.1)式给出适当的Dirichlet边界条件, 可以考虑当$\epsilon\to0$时$E_\epsilon$ 的能量极小元的相关行为.

通过对能量极小元在其零点处作爆破, 即通过空间变换$y=\frac{1}{\epsilon}x$并令$\epsilon\to 0$, 我们可以得到$E_\epsilon (\Psi; \Omega)$ 在${\Bbb R}^2$中所对应的Euler-Lagrange 方程组的整体解(entire solution)

类似文献[3]中对传统Ginzburg-Landau泛函所提出的势能可积条件, 我们由此得到的整体解将满足如下的势能可积条件

虽然满足(1.3)式的整体解在${\Bbb R}^2$上使能量达到无穷, 但是在De Giorgi意义下, 整体解在局部范围内还是可将能量极小化的. 具有此种性质的解就是整体解中一类特殊的解-局部极小解(locally minimizing solution). 因此, 对$\Psi\in H^1_{{\rm loc}}({\Bbb R}^2 ;{\Bbb C}^2)$ 且满足(1.3)式, 我们定义能量泛函如下

并且给出De Giorgi意义下局部极小解的定义. (1.4)式的局部极小解就是本文的主要研究对象.

定义1.1 设$\Psi$为方程组(1.2)的解且满足条件(1.3)式. 如果对${\Bbb R}^2$中任意有界正则区域$\Omega$, 以及任意的$\Phi=(\phi_+, \phi_- )\in H^{1}(\Omega; {\Bbb C}^{2})$且$\Phi\big|_{\partial\Omega}=\Psi\big|_{\partial\Omega}$, 我们都有

则称$\Psi$是方程组(1.2)的局部极小解.

对于${\Bbb R}^2$中传统的(或单个的)Ginzburg-Landau方程

其局部极小解的研究已经相当丰富了. 由Shafrir^[4], Sandier^[5] 和Mironescu^[6] 的研究结果可知: 在对称意义下, 唯一的非零局部极小解一定是环绕度为1的等变解$u=f(r)e^{{\rm i}\theta}$.

对于耦合Ginzburg-Landau方程组整体解的研究, 最早开始于Alama-Bronsard-Mironescu^[7,8]对旋子超导体泛函的研究, 即当(1.2)式中$A_\pm =1$, $B=\frac{1-\beta}{1+\beta}$(其中$\beta>0$), $t^2_\pm ={1\over2}$的“平衡”耦合Ginzburg-Landau模型

类似文献[3]对单个Ginzburg-Landau方程整体解的研究, Alama等^[7]证明了(1.6)式满足如下势能可积条件

的整体解在无穷远处具有环绕度, 即$n_\pm ={\rm deg}(\psi_\pm;\infty)={\rm deg}(\psi_\pm; S_R)$, 其中$S_R$为半径足够大的圆.对于每一对环绕度$[n_+, n_- ]$, (1.6)式都唯一存在等变解.同时, Alama-Bronsard-Mironescu^[8]证明了方程组(1.6) 满足(1.7)式的局部极小解的环绕度一定由$0,\pm1$ 组成, 即$n_\pm \in \{0,\pm1\}$. 由此, 他们对于条件(1.7)下(1.6)式局部极小解的性质就有了完整地刻画: 对环绕度为$[01]$ 或者$[0]$ 的局部极小解, Alama 等^[7] 证明了$|\Psi|>0$; 在文献[8] 中, [1,1]的局部极小解只有当$\beta\in(0,1)$时才存在.

随后, Alama-Gao对更一般的耦合Ginzburg-Landau方程组(1.2)的整体解进行了研究. 受文献[3,7]工作的启发, Alama-Gao^[9]证明了方程组(1.2)满足势能可积条件(1.3)式的整体解在无穷远处具有环绕度, 而且对于每一对环绕度$[n_+, n_- ]$都唯一存在相应的等变解. 但是, 对于(1.2) 式, 其整体解特别是局部极小解, 是否也可以对其环绕度得到类似文献[7,8]中的结论, 进而对局部极小解作类似的分类与刻画呢?受文献[4,8]的启发, 我们发现方程(1.2) 的局部极小解在满足(1.3)条件下的环绕度确实具有和文献[8]相类似的结论, 主要定理如下.

定理1.1 满足条件(1.3)的方程(1.2)的非平凡局部极小解具有环绕度$n_{\pm}\in\{0,\pm1\}$.

由此, 我们就可以根据环绕度的不同情况, 在共轭的意义下, 对局部极小解作类似文献[7,8]的分类: 对于环绕度为[1,1]的局部极小解, Alama-Gao^[10]发现其存在性与参数$B$的取值密切相关; 对于环绕度为[01]或者[0]的局部极小解,由以下的定理我们发现了$|\Psi(x)|\ge C>0$, 即物理中的少核涡旋(coreless vortex)现象.

定理1.2 设$\Psi=(\psi_+, \psi_-)$为(1.2)式的局部极小解, 其环绕度$[n_{+},n_{-}]=[0]$, 则存在一个常数$\phi_{-}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 使得在${\Bbb R}^2$中$\psi_{-}(x)e^{{\rm i}\phi_{-}}>0$为实数.

该定理的结论还可以推广到一类更一般的耦合Ginzburg-Landau方程组的局部极小解, 我们将在定理~3.1中给出详细的叙述与证明. 至此, 对于方程(1.2)的局部极小解, 我们就给出了一个完整的刻画.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们对整体解给出一些先验估计; 在第3节中, 我们将对局部极小解的主要定理给出证明. 而这些证明很大程度上依赖于整体解的强${\cal C}^k_{{\rm loc}}$收敛性, 我们在最后一节中将利用文献[11]中的椭圆正则性理论以及椭圆方程组的比较原理等相关理论加以证明.

在本节中, 我们先给出方程(1.2)整体解的相关先验估计以及渐近性行为.

性质2.1 设$\Psi$是方程(1.2)的整体解并且满足(1.3)式, 则有

$\mathrm(i)$$|\Psi(x)|^{2}\le\min\{{2M\over \lambda_{s}}, t^2_{+}+t^2_{-} \}$, 其中$M=\max\{A_{+}t^2_{+}+Bt^2_{-}, A_{-}t^2_{-}+Bt^2_{+}\}$, $\lambda_{s}>0$是矩阵$\left[\begin{array}{cc}A_{+} & B \\B & A_{-}\end{array}\right]$的最小特征值.

$\mathrm(ii)$ 当$|x|\to\infty$时, $|\psi_{\pm}|^{2}$一致地收敛到$t^2_{\pm}$.

$\mathrm(iii)$ 存在常数$R_{0}>0$, $n_{\pm}\in{\Bbb Z}$, 和光滑函数$\rho_{\pm}(x)$, $\phi_{\pm}(x)$ 使得对于所有的$|x|\ge R_{0}$, 有

且

证 (i)的证明可参见文献[9], 我们在此省略. (ii)的证明由文献[定理 1] 证明Step 1 中的标准椭圆估计和(1.3)式可得. 由(i)和(ii)可得$R_{0}$, $\rho_{\pm}$, $\phi_{\pm}$的存在性, 由此可以得到(iii)中$\Psi(x)$的表达式.

下面证明(2.1)式. 令$\varphi_{\pm}=n_{\pm}\theta+\phi_{\pm}$, 将$\psi_\pm =\rho_\pm e^{{\rm i}\varphi_\pm}$代入(1.2)式可得

将上述方程的实部和虚部分开后, 我们得到

上述$\varphi_\pm$, $\rho_\pm$的方程与文献[3]中相应的方程完全相同, 因此我们只需将文献[3] 中的证明稍作调整即可得到所需结论.

证毕.

性质2.2 设$\Psi$是方程(1.2)的整体解且满足(1.3)式, 则存在常数$\beta_{+}$, $\beta_{-}$使得当$|x|\to\infty$时有

并且, 对于任意环绕度$[n_+, n_- ]$, 当$r=|x|\to\infty$时, 有

性质2.2的证明我们将在第4节给出详细的说明.

由前面的分析可知, (1.2)式满足条件~(1.3)的整体解所具有的能量按定义(1.4)在${\Bbb R}^2$上是发散的. 但是, 通过适当的重整化, 我们可以通过如下极限的形式将它的核心能量定义出来.

引理2.1 设$\Psi$是(1.2)在${\Bbb R}^2$上的整体解并满足(1.3), 则如下极限存在

其中${\Bbb D}_{R}$为半径为$R$的圆盘.

证 由性质2.1可知, 存在$R_{0}>0$使得$\Psi(x)$在$|x|\ge R_{0}$上可作如下分解

不失一般性, 我们取$\phi_{\pm}=0$, 因此当$|x|\to\infty$时一致地有$\chi_{\pm}(x)\to 0$. 此外, 由性质2.1-2.2可知对足够大的$r$, 我们有

首先, 根据文献[3]中的证明, 我们可知对于任意$R>R_{0}$, 通过分部积分可得

下面为了方便起见, 我们将${\Bbb D}_{R}\setminus{\Bbb D}_{R_{0}}$记为$A_{R\setminus R_{0}}$.

通过简单计算可得

和

结合(2.9)-(2.11)式得到

其中

再由(2.6)-(2.8)式, 我们可以得到

上述不等式结合Cauchy-Schwarz不等式, Young's 不等式, 我们有

由(2.8)式可知, 当$R\to \infty$时上式可积.

另一方面

结合(2.13)-(2.17)式, 我们可知$f$在${\mathbb{R}}^{2} \ \mathbb{D}_{{{R}_{0}}}$中是可积的, 记为

即

因此, 我们证明了当$R\to\infty$时, 极限$W_{0}(\Psi)$存在.

在本节的最后, 我们将以类似文献[4]中的截断引理来结束本节的内容, 该引理将为下一章定理 1.1的证明提供有力的帮助. 由于该引理的证明只需对文献[8] 中的方法稍作调整即可, 因此我们在此省略证明过程.

引理2.2 设$\Psi$是方程(1.2)的整体解并满足(1.3)式, 则存在一族解$\hat{\Psi}_{R} \in H^{1}({\Bbb D}_{R}\setminus{\Bbb D}_{R/2}; {\Bbb C}^2)$, 使得当$R\to\infty$时有以下性质

特别地, 当$R\to\infty$时, 有$E(\hat{\Psi}_{R}; {\mathbb D}_{R}\setminus{\mathbb D}_{R/2})=E(\Psi; {\mathbb D}_{R}\setminus{\mathbb D}_{R/2})+o(1).$

在本节中, 我们首先利用上节中的截断引理 2.2来证明定理 1.1.

定理1.1的证明 设$\Psi$是方程(1.2)且满足(1.3)式的局部极小解. 如果$|n_{+}|>2$ 或者$|n_{-}|>2$, 我们就有$n^2_{+}+n^2_{-}>|n_{+}|+|n_{-}|$. 因此由引理2.1 可知对于足够大的$R$, 有

定义$U\in H^{1}_{{\rm loc}}(\Omega; {\Bbb C})$所对应的Ginzburg-Landau能量泛函如下

根据正定性条件$A_{+}A_{-}-B^{2}>0$可知矩阵$\left[\begin{array}{cc}A_{+} & B \\B & A_{-}\end{array}\right]$存在两个正的特征值$\lambda_{s}$ 和 $\lambda_{M}$, 其中$\lambda_{s}$ 表示较小的一个, $\lambda_{M}$表示较大的一个. 于是, 我们有

其中$\xi=[\xi_{+}, \xi_{-}]$, $|\xi|^{2}=\xi^2_{+}+\xi^2_{-}$. 令$\xi_{+}=|\psi_{+}|^{2}-t^2_{+}$, $\xi_{-}=|\psi_{-}|^{2}-t^2_{-}$, 就可以得到

其中$U^{\pm}_{R}={\psi_{\pm}\over t_{\pm}}$, $\nabla U^{\pm}_{R}={1\over t_{\pm}}\nabla\psi_{\pm}$. 令$\Omega={\Bbb D}_{R/2}$, 设$U^{\pm}_{R}$ 是能量泛函$G_{\epsilon_{\pm}}$的极小元, 且满足边界条件$U^{\pm}_{R}\Big|_{\partial{\Bbb D}_{R/2}}=e^{{\rm i}(n_{\pm}+\phi_{\pm})}$. 于是有

因此, 由文献[12]中的结论, 我们有

现定义$\Psi(x)$如下

其中, $\hat{\Psi}_{R}(x)$定义如引理 2.2.对${\Bbb D}_R$上的能量$E(\Psi;{\Bbb D}_R )$作如下拆分

由(3.2)-(3.3)式可得

因此, 由引理 2.2我们有

又由引理 2.1可知, 当$R\to\infty$时, 有

因此, 由以上分析可得

这与(3.1)式相矛盾, 定理得证.

由定理1.1可知, 局部极小解的环绕度$n_\pm \in\{0,\pm1\}$. 对于环绕度为$[n_+, n_- ]=^[1,1]$的局部极小解, Alama-Gao 已经在文献[10] 中进行了研究. 现在我们想得到环绕度为$[0]$的局部极小解的一些性质, 对其给出一个完整的刻画. 一般来说, 对于任意形如(1.2)这样的方程, 如果$\Psi=[\psi_+, \psi_-]$是能量极小解并且${\rm deg}(\psi_-; \infty)=0$, 则$\psi_-$ 将不会为零. 下面, 我们对形如(1.4)式的更一般的能量泛函来证明这一结论.

我们考虑如下能量泛函

其中对于任意$s_\pm$, ${\cal F}(s_+, s_- )\ge0$且${\cal F}(t^2_+, t^2_- )=0$. 整体解$\Psi=[\psi_+, \psi_- ]$的两个分量$\psi_\pm (x)$满足如下方程

其中${\cal R}_\pm (|\psi_+ |^2, |\psi_- |^2 )=\frac{\partial{\cal F}}{\partial s_\pm}(|\psi_+ |^2, |\psi_- |^2 )$. 通过推广文献[定理 1.1]的结论, 我们得到如下定理.

定理3.1 设$\Psi=[\psi_+, \psi_- ]$是方程(3.5)具有环绕度$[n_{+},n_{-}]=[0]$ 的局部极小解, 并且当$|x|\to\infty$ 时一致地有$\psi_\pm \to t_\pm e^{{\rm i}(n_\pm \theta+\beta_\pm )}$. 那么存在一个常数$\phi_{-}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 使得在${\Bbb R}^2$上$\psi_{-}(x)e^{{\rm i}\phi_{-}}>0$ 为实数.

证 不失一般地假设当$|x|\to\infty$时一致地有$\psi_{-}(x)\to t_{-}$. 特别地, 当我们取任意的$\delta<\frac12 t_{-}$时, 则存在半径$R=R(\delta)$ 使得对于所有的$|x|\ge R$, 有$|\psi_{-}(x)-t_{-}|<\delta$. 下面令$\Omega=B_{R}(0)$, 在其上我们定义

由此可知$\widetilde{\Psi}:=[\widetilde{\psi}_{+},\widetilde{\psi}_{-}]\in H^{1}(\Omega; {\Bbb C}^2)$,$G(\widetilde{\Psi};\Omega)=G(\Psi; \Omega)$, 以及适当选取$R$有$\widetilde{\Psi}\Big|_{\partial\Omega}=\Psi\Big|_{\partial\Omega}$. 因此, 根据上述定义, $\widetilde{\Psi}$也是$G$ 的局部极小元. 因此$\widetilde{\Psi}$和$\Psi$一样在$\Omega$中满足相同的Euler-Lagrange 方程(3.5). 我们将$\widetilde{\Psi}$ 所满足的Euler-Lagrange方程实部和虚部分开, 这样就可得到$u={\rm Re}\ \tilde{\psi}_{-}$ 是以下问题的非负解

下面我们将证明在$\Omega$上$u>0$. 因为在$\Omega$中$u={\rm Re}\ \tilde{\psi}_{-}=|{\rm Re}\ \psi_{-}|\ge0$. 假设在$\Omega$ 内部存在$x_{0}$使得$u(x_{0})=0$, 于是$u(x_0)=0$是$u$在$\Omega$内部的极小值. 由强极大值原理可知, 在$\Omega$ 内部$u\equiv$常数, 从而推导出在$\Omega$ 内部$u\equiv0$. 因此在$\partial\Omega$上有$u\equiv0$, 这与在$\partial\Omega$上$u>0$相矛盾. 因此在$\Omega$ 中, $u={\rm Re}\ \tilde{\psi}_{-}>0$. 通过比较$\Psi=[\psi_{+},\psi_{-}]=[\psi_{+},{\rm Re}\ \psi_{-}+{\rm i}{\rm Im}\ \psi_{-}]$ 和$\widetilde{\Psi}=[\tilde{\psi}_{+},\tilde{\psi}_{-}]=[\psi_{+},|{\rm Re}\ \psi_{-}|+{\rm i}{\rm Im}\ \psi_{-}]=[\psi_{+},{\rm Re}\ \psi_{-}+{\rm i}{\rm Im}\ \psi_{-}]$, 当$\Omega=B_{R}(0)$ 时, $\Psi=\widetilde{\Psi}$, Re~$\psi_{-}>0$. 当$R$足够大, 在${\Bbb R}^2$上我们有Re~$\psi_{-}>0$.

设常数$\alpha$满足$|\alpha|<\frac{\pi}{2}$, $\hat{\psi}_{-}(x):=\psi_{-}(x)e^{{\rm i}\alpha}$. 因为$\hat{\Psi}:=[\psi_{+},\hat{\psi}_{-}]$也是方程(3.5)的解, 其在任意区域$\Omega$ 上具有与$\Psi$相同的能量泛函. 由$\psi_\pm$的一致收敛性和$\hat{\psi}_{-}$ 的定义可知, 当$|x|\to\infty$时一致地有$\hat{\psi}_{-}(x)\to t_{-}e^{{\rm i}\alpha}$. 取$\delta=\delta(\alpha)>0$使得$B_{\delta}(t_{-}e^{{\rm i}\alpha})$完全包含在右半平面$\{{\rm Re}\ z>0\}$中, 则存在半径$R=R(\alpha)$使得当$|x|\ge R$时有$|\hat{\psi}_{-}(x)-t_{-}e^{{\rm i}\alpha}|<\delta$. 重复以上Re~$\psi_- >0$ 的证明过程, 我们可知在${\Bbb R}^2$上有Re~$\hat{\psi}_{-}(x)>0$, 即

因此

当$\alpha\to\pm\frac{\pi}{2}$时, 可得结论Im $\psi_{-}(x)\equiv0$.

定理1.2的证明 定义定理3.1中的${\cal F}(|\psi_+ |^2, |\psi_- |^2 )$为

直接应用定理3.1的结论到方程(1.2)即得证.

由定理1.2的结论通过简单计算可知, 方程(1.2)的局部极小解$\Psi(x)$ 在${\Bbb R}^2$ 上有$|\Psi(x)|\ge C>0$, 即物理中的少核涡旋(coreless vortex)现象^[13].

在本节中, 我们将对性质2.2加以证明. 证明的主要思想来源于文献[7,11,14], 在下面的证明中我们仅对不同处做详细说明, 相同处我们在此省略, 感兴趣的读者可以查阅相关文献.

性质2.2的证明 设$\epsilon_{m}=1/R_m$, 其中$\{R_m\}$为递增发散序列, 当$m\to\infty$时$R_{m}\to\infty$. 又设$\Omega=B_{b}(0)\setminus\overline{B_{a}(0)}$, $\Omega_{m}=B_{bR_{m}}(0)\setminus\overline{B_{aR_{m}}(0)}$, 其中$0<a<1<b$.

我们考虑$\Psi^{\epsilon_m}(x)=[\psi_{+,m}(x), \psi_{-,m}(x)]=\Psi(R_{m}x)=[\psi_{+}(R_{m}x), \psi_{-}(R_{m}x)]$, 则$\Psi^{\epsilon_m}$满足如下方程

由性质2.1可知存在$R_{0}$, 使得在$|x|\ge R_{0}$上可定义$\rho_{\pm}, \phi_{\pm}$. 由于$|x|$足够大等价于$m$ 足够大, 对于足够大的$m$, 有$\psi_{\pm,m}=\rho_{\pm,m}{\rm exp}[(n_{\pm}\theta+\phi_{\pm,m}(x))]$.

Step 1$\Psi^{\epsilon_m}$在$H^1 (\Omega)$上强收敛到$\Psi^*$.

由(2.1)式, 我们计算可得

因此, 在子列意义下, 在$H^{1}(\Omega)$上$\Psi^{\epsilon_m}\rightharpoonup{\Psi^*}$, 并且

其中$\beta_\pm \in{\Bbb R}$为常数. 事实上, 由$\Psi^*$的取值我们可以将$\Psi^*$局部地表示为

其中$\varphi_{\pm}$为可能的多值实值函数.然后由Cauchy-Schwarz不等式, 我们可以得到与(4.2)式相同的下界

由下半连续性可知

由上述两个不等式, 我们得到了$\int_{\Omega}|\nabla\Psi^*_{\pm}|^{2}=2\pi(t^2_{+}n^2_{+}+t^2_{-}n^2_{-})\ln\left(b/a\right)$. 因此,$\Psi^{\epsilon_m}$在$H^{1}(\Omega)$上强收敛到${\Psi^*}$.

Step 2 设$A_{+}A_{-}-B^{2}>0$且$A_{\pm}>0$, 记$A_{\epsilon}:={1\over2}|\nabla\Psi^{\epsilon_m}|^{2}$. 则当$|\psi^{\epsilon_m}_{\pm}|\ge{1\over T}$时, 其中 ${1\over T}:=\min\left\{ {1\over2}t^2_{+}, {1\over2}t^2_{-}\right\}$, 有

为了行文的简洁, 在Step 2及后续的证明中, 我们记$\epsilon_m =:\epsilon$, $\Psi^{\epsilon_m}=:\Psi=(\psi_+, \psi_- )$. 由正定条件(H) 和$|\Delta \psi_\pm|\le\sqrt{2}|D^2 \psi_\pm|$, 我们可计算得出

即$-\Delta A_{\epsilon}+{1\over2}|D^{2}\Psi|^{2}\le 4TA^2_\epsilon$.

Step 3$\Psi^{\epsilon_m}$在$H^2_{{\rm loc}}(\Omega)$ 中有界, $\nabla\Psi^{\epsilon_m}$在$L^\infty_{{\rm loc}}(\Omega)$ 中有界.

本步骤的证明类似文献[Step A.3]和[Step 3]的证明可得.

Step 4 对于$\epsilon$一致地有$\| \Delta\Psi^{\epsilon_m} \|_{L^\infty_{{\rm loc}}}\le C$.

为了证明Step 4, 类似文献[Step A.5]我们需要建立如下的引理.

引理4.1 设$A_+ A_- -B^2 >0$, $w_0 (r)$是如下方程的解

(A)当$B<0$时, 对于$\epsilon<\frac{3\sqrt{\mu}}{4}R$, 在$B(0,R)$中有

其中$\mu =\min\{t^{2}_{+}(A_{+}+Br), t^2_{-}(A_{-}+{B\over r}) \}$.

(B)当$B>0$时, 对于$\epsilon<\frac{3\sqrt{\mu}}{4}R$, 在$B(0,R)$中有

其中$\mu =\min\{t^{2}_{+}(A_{+}-Br), t^2_{-}(A_{-}-{B\over r}) \}$.

证 设$\bar{w}$是方程(4.6)的解, $w$是方程(4.6)在$\mu =1$时的解. 设$w(x)=\bar{w}(\bar{x})=\bar{w}(cx)$, 其中$\bar{x}=cx$, $x\in B(0,R)$, $c$ 待定. 通过简单计算, 我们得到

其中$c= {1\over\sqrt{\mu}}$, $\bar{R}=cR$.然后对$\bar{w}(\bar{x})$在$B(0, \bar{R})$上应用文献[11]中的结论,即得证.

Step 4的证明 设$A_+ A_- -B^2 >0$, $B(x_0, R)\subset\Omega$, 通过坐标平移我们不妨假设$x_0 =0$. 我们将使用上下解的方法分以下两种情况来进行证明.

Case 1 $B<0$.选取合适的$r$满足${{-B}\over A_- }<r<{{A_+ }\over -B}$, 设$a_\pm >0$ 满足$a^2_+ +a^2_- =1$, $r={{a_-} \over a_+ }$ (即$r=\tan\alpha$, $\alpha\in (0, {\pi\over2})$, $a_+ =\cos\alpha$,$a_- =\sin\alpha$). 我们定义$w_{\pm}={a_{\pm}\over t^2_{\pm}}w_0$, 其中$w_0$是方程(4.6)的解. 定义算子$L^\pm_0$ 如下

将$w_{\pm}={a_{\pm}\over t^2_{\pm}}w_0$代入到(4.8)-(4.9)式可得

即$L^+_0 (w_+,w_- )\ge \frac{a_+ \mu}{2t^2_+}w_0$. 类似地, 我们有$L^-_0 (w_-,w_+ )\ge \frac{a_- \mu}{2t^2_-}w_0$.

下设

因此根据$|\psi_\pm|^{2}$的一致收敛性和算子$L^{\pm}_0$的下界, 我们可得当$\epsilon$足够小时

类似地, 我们有$L^- (w_-,w_+ )\ge \frac{a_- \mu}{4t^2_-}w_0 >0$. 因此, 我们有$L^+ (w_+,w_- )>0$ 和$L^- (w_-,w_+ )>0$, 这意味着$[w_+, w_-]$, $[w_-, w_+]$分别是$L^{\pm}$的上解. 然后根据引理4.1(A) 中的结论, 我们有

下面定义$\varphi^{\pm}=\epsilon^{2}X^\pm$, 其中$X^\pm :={1\over \epsilon^2}\left[ A_{\pm}(|\psi_\pm |^{2}-t^2_{\pm})+ B(|\psi_{\mp}|^{2}-t^2_{\mp}) \right]$且$X^\pm \big|_{\partial\Omega}=0$, 因此$\psi_\pm$ 是满足如下方程的解

由此, 我们得到$\varphi_\pm$的方程

其中$E_{\pm}=-(A_{\pm}|\nabla\psi_\pm |^2 +B|\nabla\psi_\mp |^2 )$, $\| E_\pm \|_{L^\infty}\le E^0_\pm$, $E^0_\pm$ 为常数.

设$\overline{\varphi^+}=\epsilon^2 \bar{u}+c_{+}w_{+}$, $\overline{\varphi^-}=\epsilon^2 \bar{v}+c_{-}w_{-}$, 其中常数$\bar{u}, \bar{v}$ 稍后确定. 又设$\overline{\varphi^+}=\epsilon^2 \bar{u}+c_{1}w_{+}$, $\overline{\varphi^-}=\epsilon^2 \bar{v}+c_{1}w_{-}$, 其中 $c_1$ 稍后确定. 事实上, 由性质~2.1, 记$\Lambda:=\min\{{{2M}\over{\lambda_s}}, t^2_+ +t^2_- \}$. 我们有$\|\varphi^+ \|_{L^\infty (B_R)}\le A_{+}(\Lambda+t^2_+ )+B(\Lambda+t^2_-)$, 选取$c_+$ 使得$c_{+}w_{+}\big|_{\partial B_R}>A_{+}(\Lambda+t^2_+ )+B(\Lambda+t^2_-)\ge\|\varphi^+ \|_{L^\infty (B_R)}$. 类似地, 选取$c_-$使得$c_{-}w_{-}\big|_{\partial B_R}>A_{-}(\Lambda+t^2_- )+B(\Lambda+t^2_+)\ge\|\varphi^- \|_{L^\infty (B_R)}$. 记$c_{1}=\max\{c_+, c_- \}$, 我们可得$c_{1}w_\pm > c_\pm w_\pm \ge \|\varphi^\pm \|_{L^\infty (B_R)}$, 由此推导出$(c_{1}w_{\pm}-\varphi^\pm )\big|_{\partial B_R}>0$. 因此, $[w_+, w_-]$, $[w_-, w_+]$ 分别是$L^+ (w_+, w_-)\ge0$, $L^- (w_-, w_+)\ge0$且$w_\pm \big|_{\partial B_R}={a_\pm\over t^2_\pm}$两问题的上解.

由于后续证明需要用到适用于本文耦合系统的比较原理, 受文献[14]中比较原理的启发, 我们得到了如下引理.

引理4.2 设$A_\pm >0$, $B$为常数, 且$A_+ A_- -B^2 >0$, $\Omega$为有界区域.

(A) 当$B<0$时, 如果$u, v$满足如下问题

则在$\Omega$中$u\le0$, $v\le0$.

(B) 当$B>0$时, 如果$u, v$满足如下问题

则在$\Omega$中$u\le0$, $v\ge0$.

证 为了证明(A), 将(A)中方程两边分别乘以$u_{+}=\max(u, 0)$与$v_+ =\max(v, 0)$, 然后分部积分可得

其中$u_- =\min(u, 0)\le0$, $v_- =\min(v, 0)\le0$. 将(4.13), (4.14) 式分别乘以$t^2_+$与$t^2_-$ 并去掉正项$Bt^2_+ |\psi_- |^2 u_+ v_-$,$Bt^2_- |\psi_+ |^2 u_- v_+$, 我们可得

将上述两不等式相加, 由与矩阵相关的二次型的正定性以及$\psi_\pm$的一致收敛性可知, 存在函数$\alpha>0$并满足

因此

这意味着 $\int_{\Omega}t^2_+ |\nabla u_+ |^2 +t^2_- |\nabla v_+ |^2 <0$, 由此可得在$\Omega$中$u_+ \equiv0, v_+ \equiv0$. 因此在$\Omega$ 中$u\le0$ 和 $v\le0$.

为了证明(B), 我们将第一个方程乘以$u_+$得到(4.13)式, 而将第二个方程乘以 $v_- =\min(v, 0)\le0$ 得到

然后分别将(4.13), (4.15)式乘以$t^2_+, t^2_-$, 并去掉正项$Bt^2_+ |\psi_- |^2 u_+ v_+ >0$, $Bt^2_- |\psi_+ |^2 u_- v_- >0$, 可得

将上述两个不等式相加, 由与矩阵相关的二次型的正定性以及$\psi_\pm$的一致收敛性可知, 存在一个函数$\beta>0$满足

于是, 与(A)中的证明类似可得在$\Omega$中$u_+ \equiv0, v_- \equiv0$. 因此在$\Omega$中$u\le0$和$v\ge0$.

下面回到Step 4的证明. 为了对Case 1应用引理4.2中(A)的结论, 我们做如下构造: 对任意$\delta>0$, 存在$\epsilon_0 >0$ 使得当$\epsilon<\epsilon_0$时, 对于任意$x\in\bar{\Omega}$, 我们有

我们取$\delta$足够小, 使得如下不等式成立: $(A_+ -\delta)t^2_+ >0, (A_- -\delta)t^2_- >0, (B-\delta)t^2_+ <0,$$ (B-\delta)t^2_- <0$和 $[(A_+ -\delta)(A_- -\delta)-(B-\delta)^{2}]t^2_+ t^2_- >0$. 我们设$\bar{u}, \bar{v}$为以下方程的唯一解

即

现在对$u,v$定义如下

因此, 关于$u$, $v$满足如下方程

由引理 4.2(A)即可得$u\le0, v\le0$, 即$\varphi^{+}\le \epsilon^2 \bar{u}+c_{+}w_{+}$,$\varphi^{-}\le \epsilon^2 \bar{v}+c_{-}w_{-}$, 因此在$B(x_0, R)$内有

由上述$X^\pm$的上界估计结合(4.10)式可知,当$\epsilon\to0$时有$X^+ \le\bar{u}$, $X^- \le\bar{v}$. 另一方面, 由于$-X^+$, $-X^-$满足与(4.11)-(4.12)式完全相同的方程, 只是方程的右端分别为$-\epsilon^2 E_+$, $-\epsilon^2 E_-$. 因此重复上述过程可得

由此我们得到当$B<0$时有$\|\Delta\psi_\pm \|_{L^\infty_{{\rm loc}}}\le C$.

Case 2 $B>0$ 选取$r$满足${{B}\over A_- }<r<{{A_+ }\over B}$, 设$a_\pm >0$ 满足$a^2_+ +a^2_- =1$, $r={{a_-} \over a_+ }$ (即$r=\tan\alpha$, $\alpha\in (0,{\pi\over2})$, $a_+ =\cos\alpha$,$a_- =\sin\alpha$). 令$w_\pm ={a_\pm \over t^2_\pm}w_0$, 其中$w_0$是方程(4.6) 的解. 与Case 1中的证明相类似, 我们定义算子$R^\pm_0$

通过类似的计算可得

由此推出

其中$L^+ (w_+, w_-), L^- (w_-, w_+)$定义见Case 1.现选取一$\delta>0$足够小, 使得对于$\epsilon$足够小时, 对于任意$x\in\Omega$有

因此$(A_\pm -\delta)t^2_\pm >0$, $(B+\delta)t^2_\pm >0$, $[(A_+ -\delta)(A_- -\delta)-(B+\delta)^2 ]t^2_+ t^2_- >0$. 设$\bar{w}$, $\underline{z}$为如下方程的唯一解

其中$E^0_-$如Case 1中定义, 则

设$u=\varphi^+ -\epsilon^2 \bar{w}-c_1 w_+$, $v=\varphi^- +\epsilon^2\underline{z}+c_1 w_-$, 其中$\varphi^\pm$, $c_1$ 定义见Case 1.由此我们得到

由引理 4.2(B)可得$u\le0$, $v\ge0$. 再由引理 4.1($B$)可得在$\bar{\Omega}$内有

再类似Case 1可得$\|X^\pm \|_{L^\infty_{{\rm loc}}}\le\max\{\bar{u}, \underline{z}\}$, 即对$x\in\bar{\Omega}$一致地有$\|\Delta\psi_\pm \|_{L^\infty_{{\rm loc}}}\le C$. 因此我们证明了Step 4.

Step 5$\| \Psi^{\epsilon_m}-\Psi^* \|_{L^\infty_{{\rm loc}} (\Omega)}\le C\epsilon^2.$

证明过程与文献[Step B.5], [Step 6]相同, 我们在此处省略.

Step 6$\| \nabla\varphi_\pm \|_{{\cal C}^k_{{\rm loc}}}\le C$, $\| X^\pm\|_{{\cal C}^k_{{\rm loc}}}\le C$.

受文献[11]的启发, 我们对$k$应用归纳法. 固定任意的球$B_R \Subset \Omega$, 对$X^\pm$ 作如下分析: 对于$k$假设Step 6的结论成立, 于是我们有

由$\psi_\pm =[\rho_+ e^{{\rm i}\varphi_+},\rho_- e^{{\rm i}\varphi_-}]$可知, $\rho_\pm$与$\varphi_\pm$满足方程

根据Step 4和Step 5的结论, 显然(4.21)式在$k=0$时成立. 假设对于所有$k$, 归纳假设成立. 因为(4.22)式右端是${\cal C}^k_{{\rm loc}}$有界的, 这意味着对于任意的$p<\infty$, (4.22)式右端在$W^{k,p}$中. 由$L^p$估计可知对于任意$p<\infty$, 有$\| \rho_\pm \|_{W^{k+2, p}_{\rm loc}}\le C$. 由Sobolev嵌入 $W^{k+2, p}\hookrightarrow {\cal C}^{k+1, p}$可知$\| \rho_\pm\|_{{\cal C}^{k+1}_{{\rm loc}}}$有界. 因此, $\| \nabla\rho_\pm\|_{{\cal C}^k_{{\rm loc}}}\le C$.

另一方面,(4.23)式右端是${\cal C}^k_{{\rm loc}}$有界的, 而且对于所有的$p<\infty$也是$W^{k,p}$有界的. 再次使用$L^p$ 估计,我们可得对于所有的$p<\infty$有$\| \varphi_\pm\|_{W^{k+2, p}_{{\rm loc}}}\le C$. 又由$\|\nabla\rho_\pm \|_{W^{k+1,p}_{{\rm loc}}}\le C$ 和$\|\nabla\varphi_\pm \|_{W^{k+1,p}_{{\rm loc}}}\le C$, 我们有${1\over \rho_\pm}\in {\cal C}^{k+1}_{{\rm loc}}$, 这意味着$D^{k+1}(\rho^{-1}_\pm )\in L^{\infty}_{{\rm loc}}$. 因此, 对于所有的$p<\infty$,(4.23)式右端是$W^{k+1, p}$ 有界的. 再由$L^p$估计, 可得对所有的$p<\infty$ 有$\|\varphi_\pm \|_{W^{k+3,p}_{{\rm loc}}}\le C$. 再由Sobolev 嵌入可得$\|\varphi_\pm \|_{{\cal C}^{k+2,p}_{{\rm loc}}}\le C$, 这意味着$\|\nabla\varphi_\pm \|_{{\cal C}^{k+1}_{{\rm loc}}}\le C$. 因此由数学归纳法可得在$k+1$ 时, $\|\nabla\varphi_\pm \|_{{\cal C}^{k+1}_{{\rm loc}}}\le C$ 成立.

现在定义$Y^{\pm}:=D^{k+1}X^\pm$, 其中$D^{k+1}$表示任意$k+1$阶偏导数, 同时$X^\pm$满足方程

其中$E_\pm$如Step 4中定义. 通过对方程(4.24)求导, 我们得到关于$Y^\pm$的方程

其中$\tilde{E}_\pm$依赖于$\rho_\pm$, $\varphi_\pm$的直到$k+1$阶导数, 以及$X^\pm$的直到$k$阶导数. 特别地, 根据(4.21)式可知, $\tilde{E}_\pm$在$B_R$中一致有界, 即

又由(4.21)式可得$Y^\pm$在$\partial B_R$上有界, 即对任意$B_R \Subset\Omega$, 有

那么当$A_+ A_- -B^2 >0$时, 我们分下面两种情形进行证明.

Case 1 $B<0$ 设$V^\pm =\epsilon^2 Y^\pm$, 于是$V^\pm$满足方程

其中$\|\tilde{E}_\pm \|_{L^\infty (B_R )}\le \tilde{E}^0_\pm$, $\|V^\pm \|_{L^\infty (\partial B_R )}\le C_1$. 接下来, 我们重复Step 4中的过程. 设$\overline{V^+}=\epsilon^2 \bar{u}+c_1 w_+$, $\overline{V^-}=\epsilon^2 \bar{v}+c_1 w_-$, 其中$\bar{u}, \bar{v}, w_\pm$和 $c_1$ 如Step 4中定义. 定义$u=V^+ -\overline{V^+}$, $v=V^- -\overline{V^-}$. 类似Step 4的证明,应用引理4.2(A), 我们可得

再由引理4.1可得, 对于任意半径$R' <R$, 在$B_{R'}$中我们有$Y^\pm =D^{k+1}X^\pm$一致有界. 并且对$-Y^\pm$ 进行同样的证明, 我们即得到$X^\pm$在${\cal C}^{k+1}_{{\rm loc}}$中有界.

Case 2 $B>0$ 设$u=\epsilon^2 Y^+ -\epsilon^2 \bar{w}-c_1 w_+$, $z=\epsilon^2 Y^- +\epsilon^2 \underline{z}+c_1 w_-$, 其中$\bar{w}, \underline{z}, w_\pm$定义见Step 4 中Case 2. 类似Step 4的证明, 由引理4.1(B)和引理4.2即得结论成立.

Step 7$\|X^\pm +{1\over t^2_\pm}|\nabla\psi^*_\pm |^2 \|_{{\cal C}^k_{{\rm loc}}}\le C\epsilon^2$.

设$\Psi^* =[\psi^*_+, \psi^*_-]=[t_+ e^{{\rm i}\phi^{*}_{+}},t_- e^{{\rm i}\phi^*_-}]$. 根据$X^\pm$ 的定义和Step 6, 对$\Omega$中的任意紧子集$K$, 有

由此可知

和

根据文献[Step B.7]中的证明类似可得

设$U^\pm =X^\pm +{1\over t^2_\pm}|\nabla\psi^*_\pm |^2$, 则$U^\pm$满足方程组

其中

由(4.27) 和 (4.28)式, 我们有

即$\|F_\pm \|_{{\cal C}^k_{{\rm loc}}}\le C\epsilon^2$. 再按照Step 6中的证明过程, 将证明分为$B<0$ 与$B>0$ 两种情况, 应用引理4.1-4.2, 即可得出所需的结论.

Step 8 由Step 1可知在$H^{1}(\Omega)$中$\Psi^{\epsilon_m}\to{\Psi^*}$. 同时

其中$\beta_{\pm}\in{\Bbb R}$为常数. 又由假设$\psi^*_\pm =t_\pm e^{{\rm i}\phi^*_\pm}=t_\pm e^{{\rm i}(n_\pm \theta +\beta_\pm )}$, 我们有

对(4.1)式应用Step 1-7所得到的结论可知, 对于任意的$k\ge0$, 当$m\to\infty$时, 在${\cal C}^k_{{\rm loc}}(\Omega)$ 中$\Psi^{\epsilon_m} \to \Psi^*$, 并且

由于$\Psi_{m}\to\Psi^*$ 的${\cal C}^k_{{\rm loc}}$收敛性, 我们可以用$\frac{n^2_\pm}{r^2}$来替换上述估计中的$\frac{1}{t^2_\pm}|\nabla\psi^*_\pm |^2$. 如前所设$\Omega=B_{b}(0)\setminus \overline{B_{a}(0)}$, 其中$0<a<1<b$, 因此$\partial B_{1}(0)\subset\Omega$. 由此可得, 当$m\to\infty$时,有

由于$\{R_m\}$ 是任意发散序列, 因此对于一般的$r\to\infty$, 上式成立, 即当$|x|=r\to\infty$时有

由此可得当$r\to\infty$时, 有

因此结论(2.3)成立.

为了得到$\phi_\pm (x)$的一致收敛性, 通过在极坐标中取(1.2)的虚部, 可得与经典(或单个)Ginzburg-Landau方程作相同处理后得到的方程

因此, 类似文献[4]中的证明可得, 当$|x|\to\infty$时, $\phi_\pm (x)$一致收敛到$\beta_{\pm}$. 性质2.2得证.