1 引言
i ∂ ψ ∂ t = − △ ψ + W ( x ) ψ − l ( | ψ | 2 ) ψ − γ [ △ ρ ( | ψ | 2 ) ] ρ ′ ( | ψ | 2 ) ψ ,
(1.1)
其中 W : R N → R 是某个给定的位势, γ 是常数, l , ρ 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6 ] , 也出现在流体力学与等离子体物理[7 ] , 凝聚态理论[10 ] 以及耗散量子力学中[3 ] . 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 ψ ( t , x ) = exp ( − i E t ) u ( x ) 的解, 其中 E ∈ R , u 是实值函数. 将上述形式的 ψ ( t , x ) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程
− Δ u + V ( x ) u − γ Δ ρ ( u 2 ) ρ ′ ( | u | 2 ) u = h ( x , u ) , x ∈ R N ,
(1.2)
其中 V ( x ) = W ( x ) − E 是一个新的位势, h ( x , u ) = l ( x , u 2 ) u 是一个新的非线性项. 当函数 ρ 取不同的表达式的时候, 上述方程描述的是不同的物理模型. 当 ρ ( s ) = s 时, 方程(1.2)表示为如下拟线性薛定谔方程
− Δ u + V ( x ) u − γ Δ ( u 2 ) u = h ( x , u ) , x ∈ R N .
(1.3)
它描述的是等离子物理学中的超流体膜模型[7 ] . 当 ρ ( s ) = ( 1 + s ) 1 / 2 时, 方程(1.2)转化成如下拟线性薛定谔方程
− Δ u + V ( x ) u − γ u 2 √ 1 + u 2 Δ ( √ 1 + u 2 ) = h ( x , u ) , x ∈ R N ,
(1.4)
关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9 ], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6 ,18 ]及其参考文献). 其中, 文献[9 ]讨论的强制位势如下
( V ′ ) V ( x ) ∈ C ( R N , R ) , inf x ∈ R N V ( x ) ≥ a 0 > 0 , lim | x | → ∞ V ( x ) = + ∞ .
( V ′ ′ ) V ( x ) ∈ C ( R N , R ) , inf x ∈ R N V ( x ) ≥ a 0 > 0 . 而且, 对任意 M > 0 , m e a s { x ∈ R N : V ( x ) ≤ M } < ∞ .
( V ) V ( x ) ∈ C ( R N , R ) , inf x ∈ R N V ( x ) ≥ a 0 > 0 . 而且, 存在常数 d 0 > 0 , 使得对任意的 M > 0 , 有
lim | y | → ∞ m e a s { x ∈ R N : | x − y | ≤ d 0 , V ( x ) ≤ M } = 0.
强制位势可以保证嵌入的紧性, 这三种强制位势中, ( V ′ ) 是最强的, 其次是 ( V ′ ′ ) , 最弱的是 ( V ) . 存在满足 ( V ) 但不满足 ( V ′ ) , ( V ′ ′ ) 的函数, 例如
V ( x ) = { 2 n | x | − 2 n ( n − 1 ) + b 0 , | x | ∈ ( n − 1 , 2 n − 1 2 ) , − 2 n | x | + 2 n 2 + b 0 , | x | ∈ ( 2 n − 1 2 , n ) ,
其中n ∈ N , b 0 ∈ R . 让 d 0 = sup x ∈ R N | V ( x ) | , 则 V ( x ) 满足 ( V ) 但不满足 ( V ′ ) , ( V ′ ′ ) .
到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H 1 ( R N ) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 ( V ) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h ( x , s ) 满足如下条件
( h 1 ) lim s → 0 h ( x , s ) s = 0 , 关于 x ∈ R N 一致成立.
( h 2 ) lim s → + ∞ h ( x , s ) s p − 1 = 0 , 关于 x ∈ R N 一致成立, 其中 2 < p < 2 ∗ = 2 N N − 2 .
( h 3 ) 存在 μ > 2 , 使得 s h ( x , s ) − μ H ( x , s ) ≥ 0.
定理 1.1 若 V ( x ) 满足条件条件 ( V ) , h ( x , s ) 满足 ( h 1 ) − ( h 4 ) , − 2 < γ < γ ∗ , 其中
γ ∗ = { 16 ( μ − 2 ) ( μ − 4 ) 2 , μ < 4 , + ∞ , μ ≥ 4.
注1.2 为简便起见, 我们将积分 ∫ R N k ( x ) d x 简记为 ∫ R N k ( x ) . 记
H := { u ∈ H 1 ( R N ) : ∫ R N ( | ∇ u | 2 + V ( x ) u 2 ) < ∞ } ,
‖
2 预备知识
\begin{eqnarray*} J(u)&=&\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}\left[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})|\nabla u|^{2}\right]+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)u^{2}-\int_{\Bbb R^N}H(x,u). \end{eqnarray*}
借鉴文献[13 -14 ] 中的证明思想, 首先做变量替换 v:=F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t , 其中 f 的定义如下
\begin{matrix}\label{ch2} f(t)=\sqrt{1+\frac{\gamma t^2}{2(1+t^2)}}. \end{matrix}
(2.1)
I(v)=\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v)),
则 I 在 H 上有定义, 且 I(v)=J(u)=J(F^{-1}(v)) . 在假设条件 (h_1) - (h_3) 下, I\in C^1(H,\Bbb R) 并且如果 v 是 I 的临界点, 那么 u=F^{-1}(v) 是方程(1.4)的解[13 ,14 ] .
\begin{equation}\label{eq33d} -{\rm div}\bigg[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})\nabla u\bigg]+V(x)u+\frac{\gamma u}{2(1+u^2)^2}|\nabla u|^2=h(x,u). \end{equation}
(2.2)
通过计算可知, 方程(2.2)和前面的方程(1.4)等价. 如果 u 是方程(1.4)的解, 那么对任意 \varphi\in C_0^\infty(\Bbb R^N) , 有
\begin{matrix}\label{for131d} \int_{\Bbb R^N}\bigg[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})\nabla u\cdot\nabla \varphi+\frac{\gamma u}{2(1+u^2)^2}|\nabla u|^2\varphi +V(x) u\varphi-h(x,u)\varphi\bigg]=0, \end{matrix}
(2.3)
\begin{matrix}\label{for231d} \langle I^\prime(v),\psi\rangle&=&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\nabla v\cdot\nabla \psi +V(x) \frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\psi-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\psi\bigg)=0. \end{matrix}
(2.4)
事实上, 在(2.3)式中让 \varphi=\frac{\psi}{f(u)} , 可得(2.4)式. 由于 u=F^{-1}(v) , 如果在(2.4)式中, 令 \psi=f(u)\varphi , 那么可得(2.3)式. 因此, 找方程(1.4)解的问题就转化成讨论如下方程
\begin{matrix}\label{eq5h} -\triangle v+V(x)\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}=\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}, \ \ x\in \Bbb R^N. \end{matrix}
(2.5)
下面给出 F^{-1}, f 的相关性质, 其具体的证明见文献[14 ].
引理 2.1 函数 F^{-1}, f 满足下列性质
(1) 对任意 t\in \Bbb R , 当 \gamma>0 时, 有 1\leq f(t)\leq \sqrt{\frac{2+\gamma}{2}} ;
当 -2<\gamma<0 时, 有 \sqrt{\frac{2+\gamma}{2}} \leq f(t)\leq 1 ;
(2) 对任意 t\in \Bbb R , 当 \gamma>0 时, 有 \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t|\leq |F^{-1}(t)|\leq |t| ;
当 -2<\gamma<0 时, 有 |t|\leq |F^{-1}(t)|\leq \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t| ;
(3) 当 t\rightarrow0 时, 有 \frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow 1 ;
(4) 当 t\rightarrow\infty 时, 有 \frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}} ;
(5) 对任意 t\in \Bbb R , 当 \gamma>0 时, 有 0\leq \sup\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma} ;
当 -2<\gamma<0 时, 有 1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}\leq \inf\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 0 .
定理 1.1 的证明主要用到下面的喷泉定理和两个引理.
定理 2.2 (喷泉定理[15 ] ) 设 H 是 Hilbert 空间, \{e_j\}_{j=1}^\infty 是 H 的完全正交基. 定义
Y_k:={\rm span}\{e_1, e_2,\cdots, e_k\}, \ \ \ Z_k:=Y_k^\bot, \ k \in N.
不变泛函 I\in C^1(H, \Bbb R) , 并且对任意的 k \in N , 存在 \rho_k>r_k>0 , 满足
(A_2) a_k:=\max\limits_{u\in Y_k,\|u\|=\rho_k}I(u)\leq0 ,
(A_3) b_k:=\inf\limits_{u\in Z_k,\|u\|=r_k}I(u)\rightarrow+\infty, k\rightarrow+\infty ,
(A_4) 对任意的 c>0 , I 满足 (PS)_c 条件.
引理 2.3 [15 ] 如果 1\leq p<2^* , 那么当 k\rightarrow\infty 时, 有 \beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0, 其中 |u|_p 是 u 在 L^p(\Bbb R^N) 中的范数.
引理 2.4 如果 V(x) 满足条件 (V) , 那么当 2\leq \alpha < 2^* 时, 嵌入 H\hookrightarrow L^\alpha(\Bbb R^N) 是紧的.
3 主要结果的证明
定理 1.1 的证明 我们要得到定理 1.1 的结论, 只需验证泛函 I 满足喷泉定理的所有条件, 分四步来完成.
第一步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_1) . 根据条件 (h_4) 可知, 喷泉定理的条件 (A_1) 成立.
第二步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_2) . 由条件 (h_3) 可得, 存在常数 C>0 , 使得
\begin{equation}\label{1h} H(x,s)\geq C |s|^\mu. \end{equation}
(3.1)
当 \gamma>0 时, 根据(3.1)式以及引理 2.1(2) 得
\begin{eqnarray*}\label{Q6} I(v)&=&\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2- \int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v))\\ &\leq& \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-C \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^\mu\\ &\leq& \frac{1}{2}\|v\|^2-C(\sqrt{\frac{2}{2+\gamma}})^{\mu} \int_{\Bbb R^N}|v|^\mu. \end{eqnarray*}
因为 Y_k 是有限维空间, 所以 Y_k 中的所有范数是等价的. 又因为 \mu>2 , 所以当 \|v\|\rightarrow +\infty 时, 有 I(v)\rightarrow -\infty.
当 -2<\gamma<0 时, 可得到类似结论, 从而喷泉定理的条件 (A_2) 成立.
第三步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_3) . 根据条件 (h_1), (h_2) 可得, 对任意 (x,s)\in \Bbb R^N\times \Bbb R , 有
\begin{equation}\label{2h} H(x,s)\leq \frac{\epsilon}{2} |s|^2+C_\epsilon |s|^{p}. \end{equation}
(3.2)
当 \gamma>0 时, 根据条件 (V) ,(3.2)式, 引理 2.1(2) 可得
\begin{eqnarray*} I(v) & = &\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v))\\ & \geq & \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2+\gamma} \int_{\Bbb R^N}V(x)| v|^2-\frac{\epsilon}{2} \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^2-C_\epsilon \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^p\\ & \geq &\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2+\gamma} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-\frac{\epsilon}{2\alpha_0} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-C_\epsilon |v|^p_p\\ & \geq & C_1\|v\|^2-C_\epsilon |v|^p_p, \end{eqnarray*}
其中 C_1=\min\{\frac{1}{2},\frac{1}{2+\gamma}- \frac{\epsilon}{2\alpha_0} \} , 让 \epsilon 取得足够小, 可以保证 C_1>0 . 由引理 2.3 知, 当 k\rightarrow\infty 时, \beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0. 任取 v\in Z_k , 令 u=\frac{v}{\|v\|} , 则 |v|_p\leq \beta_k\|v\| . 从而
I(v)\geq C_1\|v\|^2-C_\epsilon\beta_k^p\|v\|^p.
取 r_k=(\frac{2C_1}{C_\epsilon\beta_k^p p})^{\frac{1}{p-2}} , 若 v\in Z_k 且 \|v\|=r_k , 则有
b_k:=\inf\limits_{u\in Z_k,\|u\|=r_k}I(u)\geq C_1r_k^2-C_\epsilon\beta_k^pr_k^p =C_1 (1-\frac{2}{p})(\frac{2C_1}{C_\epsilon\beta_k^p p})^{\frac{p}{p-2}}.
因为 p>2 , 而且当 k\rightarrow+\infty 时, \beta_k\rightarrow0, 所以当 k\rightarrow+\infty 时, 有 b_k\rightarrow+\infty .
当 -2<\gamma<0 时, 可类似证明, 从而喷泉定理的条件 (A_3) 成立.
第四步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_4) , 即对任意的 c>0 , I 满足 (PS)_c 条件. 设 \{v_n\}\subset H 是 I 在临界水平 c>0 处的 (PS)_c 序列, 即 I(v_n)\rightarrow c,\ \ I^\prime(v_n)\rightarrow 0, 也就是
\begin{matrix}\label{for31d} \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v_n|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v_n))=c+o_n(1), \end{matrix}
(3.3)
\begin{eqnarray*} \langle I^\prime(v_n),\varphi\rangle=\int_{\Bbb R^N}\bigg(\nabla v_n\cdot\nabla \varphi + V(x)\frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}\varphi -\frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\varphi\bigg) =o_n(1). \end{eqnarray*}
选取 \varphi=\varphi_n=F^{-1}(v_n)f(F^{-1}(v_n)), 由引理 2.1(1)(2) 可得 |\varphi_n|\leq C |v_n| , 并且
|\nabla \varphi_n|=\bigg| \bigg(1+\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)\nabla v_n\bigg| \leq C|\nabla v_n|.
因此 \varphi_n\in H . 注意到 \{v_n\}\subset H 是 (PS)_c 序列, 结合引理 2.1(2) 和条件 (h_3) 有
\begin{matrix}\label{ch7} \mu c+o_n(1)&=&\mu I(v_n)-\langle I^\prime(v_n),\varphi_n\rangle \nonumber \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2 \nonumber \\ &&+\int_{\Bbb R^N}[h(x,F^{-1}(v_n))F^{-1}(v_n)-\mu H(x,F^{-1}(v_n))]\nonumber \\ &\geq&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}\nonumber\\ &&+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2. \end{matrix}
(3.4)
(I) \gamma>0 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2) 知
\begin{matrix}\label{ch9g} \mu c+o_n(1) &\geq&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2+\gamma}\int_{\Bbb R^N}V(x)v_n^2. \end{matrix}
(3.5)
\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq \frac{\mu-2}{2}-1-\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}:=\frac{\mu-4}{2}+l(\gamma).
当 \mu\geq4,\gamma>0 时, \frac{\mu-4}{2}\geq0,l(\gamma)>0 , 故有
\begin{matrix}\label{ch3} \frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq\frac{\mu-4}{2}+l(\gamma)\geq 0. \end{matrix}
(3.6)
当 2<\mu<4, 0<\gamma<\frac{16(\mu-2)}{(\mu-4)^2} 时, \min_\gamma l(\gamma)=\frac{4-\mu}{2} , 同样有
\begin{matrix}\label{ch4} \frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq \frac{\mu-4}{2}+l(\gamma)\geq0. \end{matrix}
(3.7)
由(3.5),(3.6),(3.7)式知, \|v_n\| 有界.
因为 \{v_n\} 在 H 中有界, 所以存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 \{v_n\} , 即存在 v\in H , 使得 v_n\rightharpoonup v 于 H . 再根据引理 2.4, 有 v_n\rightarrow v 于 L^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*) .
令 k(x,v)=V(x)v-V(x)\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}+\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))} , 则方程(2.5)转化成半线性薛定谔方程
\begin{matrix}\label{eq6h} -\triangle v+V(x)v=k(x,v), \ \ x\in \Bbb R^N. \end{matrix}
(3.8)
由条件 (h_1), (h_2) 以及引理 2.1(3)(4) 知, 当 s\rightarrow 0 时, 有
\begin{eqnarray*} \frac{k(x,s)}{s}=V(x)\bigg(1-\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot \frac{1}{f(F^{-1}(s))}\bigg)+\frac{h(x,F^{-1}(s))}{F^{-1}(s)}\cdot\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot\frac{1}{f(F^{-1}(s))} \rightarrow0, \end{eqnarray*}
当 s\rightarrow +\infty 时, 有
\begin{eqnarray*} \frac{k(x,s)}{s^{p-1}}=V(x)\bigg(\frac{1}{s^{p-2}}-\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot\frac{1}{s^{p-2}} \frac{1}{f(F^{-1}(s))}\bigg)+\frac{h(x,F^{-1}(s))}{s^{p-1}}\frac{1}{f(F^{-1}(s))} \rightarrow0. \end{eqnarray*}
从而, 对任意 \epsilon>0 , 存在 C_2>0 , 使得 k(x,s)\leq \epsilon |s|+C_2 |s|^{p-1}. 因为 v_n\rightarrow v 于 L^p(\Bbb R^N) (2\leq p<2^*) , 所以有
\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{\Bbb R^N}(k(x,v_n)-k(x,v))(v_n-v)=0.
\begin{eqnarray*} o_n(1)&=&\langle I^\prime(v_n)-I^\prime(v),v_n-v\rangle \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg( |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)(v_n-v)^2\bigg)-\int_{\Bbb R^N}(k(x,v_n)-k(x,v))(v_n-v)\\ &=&\|v_n-v\|^2+o_n(1). \end{eqnarray*}
因此, 当 n\rightarrow\infty 时, 有 \|v_n-v\|\rightarrow 0 , 即 I 满足 (PS)_c 条件.
(II) -2<\gamma<0 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2)(5) 知
\begin{eqnarray*} \mu c+o_n(1)\geq\int_{\Bbb R^N}\frac{\mu-2}{2}|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|v_n|^2=\frac{\mu-2}{2}\|v_n\|^2. \end{eqnarray*}
因为 \mu>2 , 所以 \|v_n\| 有界, 从而存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 \{v_n\} , 即存在 v\in H , 使得 v_n\rightharpoonup v 于 H . 再根据引理 2.4, 有 v_n\rightarrow v 于 L^p(\Bbb R^N)\ (2\leq p<2^*) . 由中值定理得, 存在 \xi=\theta v_n+(1-\theta)v,\ \theta \in (0,1) , 使得
\begin{eqnarray*} \frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))} =\frac{1-\frac{F^{-1}(\xi)f^\prime(F^{-1}(\xi))}{f(F^{-1}(\xi))}}{f^2(F^{-1}(\xi))}(v_n-v). \end{eqnarray*}
当 -2<\gamma<0 时, f(s)\leq 1 , 再结合引理 2.1(5) 知
\begin{matrix}\label{ch7h} \bigg[ \frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \geq(v_n-v)^2. \end{matrix}
(3.9)
因为 v_n\rightarrow v 于 L^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*) , 所以结合条件 (h_1), (h_2) 得
\begin{matrix}\label{ch8h} \int_{\Bbb R^N}\bigg[ \frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \rightarrow 0. \end{matrix}
(3.10)
\begin{eqnarray*} o_n(1)&=&\langle I^\prime(v_n)-I^\prime(v),v_n-v\rangle \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg[ |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)\bigg(\frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\bigg) (v_n-v) \bigg] \nonumber \\ &&-\int_{\Bbb R^N}\bigg[ \frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \\ &\geq&\int_{\Bbb R^N}\big( |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)(v_n-v)^2\big)+o_n(1)\\ &=&\|v_n-v\|^2+o_n(1). \end{eqnarray*}
当 n\rightarrow\infty 时, 有 \|v_n-v\|\rightarrow 0 , 此时 I 满足 (PS)_c 条件.
综合 (I)(II) 知, 对任意的 \gamma>-2 , 喷泉定理的条件 (A_4) 成立. 由第一步到第四步的证明, 结合喷泉定理, 即可得到定理 1.1 的结论.证毕.
关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11 ]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17 ]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究.
参考文献
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DOI:10.1080/00036811.2017.1422726
[本文引用: 2]
Using a change of variables and the constrained critical point theory, we first prove the existence and multiplicity of solutions for a class of quasilinear Schrodinger equations. Next, we consider a quasilinear equation related to the superfluid film in plasma physics with a sign-changing weight function. Using a new natural constraint, we establish the existence of infinitely many solutions for the equation.
[8]
Li G B . Positive solution for quasilinear Schrödinger equations with a parameter
Commun Pure Appl Anal, 2015 , 14 (5 ): 1803 -1816
[本文引用: 2]
[11]
梅艳芳 , 王友军 . 一类非线性Schrödinger方程三种类型的解
数学物理学报, 2019 , 39A (5 ): 1087 -1093
[本文引用: 1]
Mei Y F , Wang Y J . Three types of solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations
Acta Math Sci, 2019 , 39A (5 ): 1087 -1093
[本文引用: 1]
[12]
Shang T T , Liang R X . Ground state solutions for a quasilinear elliptic equation with general critical nonlinearity
Complex Var Ell Equ, 2021 , 66 (4 ): 586 -613
[本文引用: 2]
[14]
Shen Y T , Wang Y J . Standing waves for a class of quasilinear Schrödinger equations
Complex Var Ell Equ, 2016 , 61 (6 ): 817 -842
[本文引用: 4]
[15]
Willem M . Minimax Theorems. Boston : Birkhäuser , 1996
[本文引用: 2]
[17]
徐家发 . 具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解
数学物理学报, 2020 , 40A (1 ): 134 -147
[本文引用: 1]
Xu J F . Positive solutions of boundary value problems for fractional difference equations with semipositive nonlinearity
Acta Math Sci, 2020 , 40A (1 ): 134 -147
[本文引用: 1]
[18]
Zhang J , Tang X H , Zhang W . Infinitely many solutions of quasilinear Schrödinger equation with sign-changing potential
J Math Anal Appl, 2014 , 420 (2 ): 1762 -1775
DOI:10.1016/j.jmaa.2014.06.055
URL
[本文引用: 3]
Necessary and sufficient conditions for self-focusing of short ultraintense laser pulse
1
1993
... 该方程描述的是高功率超短激光通道模型[1 ] . ...
Existence of positive solutions for a quasilinear Schr?dinger equation
2
2018
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
A general method for the solution of nonlinear soliton and kink Schr?dinger equations
1
1980
... 其中 W:\Bbb R^N\rightarrow \Bbb R 是某个给定的位势, \gamma 是常数, l , \rho 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6 ] , 也出现在流体力学与等离子体物理[7 ] , 凝聚态理论[10 ] 以及耗散量子力学中[3 ] . 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 \psi(t,x)=\exp (-i Et)u(x) 的解, 其中 E\in \Bbb R , u 是实值函数. 将上述形式的 \psi(t,x) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程 ...
Soliton solutions for a quasilinear Schr?dinger equation with critical exponent
2
2016
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
Infinitely many solutions for a class of quasilinear Schr?dinger equations involving sign-changing weight functions
2
2019
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
Magnetic solitons
2
1990
... 其中 W:\Bbb R^N\rightarrow \Bbb R 是某个给定的位势, \gamma 是常数, l , \rho 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6 ] , 也出现在流体力学与等离子体物理[7 ] , 凝聚态理论[10 ] 以及耗散量子力学中[3 ] . 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 \psi(t,x)=\exp (-i Et)u(x) 的解, 其中 E\in \Bbb R , u 是实值函数. 将上述形式的 \psi(t,x) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程 ...
... 关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9 ], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6 ,18 ]及其参考文献). 其中, 文献[9 ]讨论的强制位势如下 ...
Large-amplitude quasi-solitons in superfluid films
2
1981
... 其中 W:\Bbb R^N\rightarrow \Bbb R 是某个给定的位势, \gamma 是常数, l , \rho 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6 ] , 也出现在流体力学与等离子体物理[7 ] , 凝聚态理论[10 ] 以及耗散量子力学中[3 ] . 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 \psi(t,x)=\exp (-i Et)u(x) 的解, 其中 E\in \Bbb R , u 是实值函数. 将上述形式的 \psi(t,x) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程 ...
... 它描述的是等离子物理学中的超流体膜模型[7 ] . 当 \rho(s)=(1+s)^{1/2} 时, 方程(1.2)转化成如下拟线性薛定谔方程 ...
Positive solution for quasilinear Schr?dinger equations with a parameter
2
2015
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations, II
3
2003
... 关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9 ], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6 ,18 ]及其参考文献). 其中, 文献[9 ]讨论的强制位势如下 ...
... ]及其参考文献). 其中, 文献[9 ]讨论的强制位势如下 ...
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
Non-linear effects in quasi-one-dimensional models of condensed matter theory
1
1984
... 其中 W:\Bbb R^N\rightarrow \Bbb R 是某个给定的位势, \gamma 是常数, l , \rho 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6 ] , 也出现在流体力学与等离子体物理[7 ] , 凝聚态理论[10 ] 以及耗散量子力学中[3 ] . 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 \psi(t,x)=\exp (-i Et)u(x) 的解, 其中 E\in \Bbb R , u 是实值函数. 将上述形式的 \psi(t,x) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程 ...
一类非线性Schr?dinger方程三种类型的解
1
2019
... 关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11 ]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17 ]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究. ...
一类非线性Schr?dinger方程三种类型的解
1
2019
... 关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11 ]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17 ]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究. ...
Ground state solutions for a quasilinear elliptic equation with general critical nonlinearity
2
2021
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
Soliton solutions for generalized quasilinear Schr?dinger equations
2
2013
... 借鉴文献[13 -14 ] 中的证明思想, 首先做变量替换 v:=F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t , 其中 f 的定义如下 ...
... 则 I 在 H 上有定义, 且 I(v)=J(u)=J(F^{-1}(v)) . 在假设条件 (h_1) - (h_3) 下, I\in C^1(H,\Bbb R) 并且如果 v 是 I 的临界点, 那么 u=F^{-1}(v) 是方程(1.4)的解[13 ,14 ] . ...
Standing waves for a class of quasilinear Schr?dinger equations
4
2016
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
... 借鉴文献[13 -14 ] 中的证明思想, 首先做变量替换 v:=F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t , 其中 f 的定义如下 ...
... 则 I 在 H 上有定义, 且 I(v)=J(u)=J(F^{-1}(v)) . 在假设条件 (h_1) - (h_3) 下, I\in C^1(H,\Bbb R) 并且如果 v 是 I 的临界点, 那么 u=F^{-1}(v) 是方程(1.4)的解[13 ,14 ] . ...
... 下面给出 F^{-1}, f 的相关性质, 其具体的证明见文献[14 ]. ...
2
1996
... 定理 2.2 (喷泉定理[15 ] ) 设 H 是 Hilbert 空间, \{e_j\}_{j=1}^\infty 是 H 的完全正交基. 定义 ...
... 引理 2.3 [15 ] 如果 1\leq p<2^* , 那么当 k\rightarrow\infty 时, 有 \beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0, 其中 |u|_p 是 u 在 L^p(\Bbb R^N) 中的范数. ...
Multiple solutions for quasilinear Schr?dinger equations with a parameter
2
2014
... 文献[16 ]中的强制位势如下 ...
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...
具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解
1
2020
... 关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11 ]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17 ]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究. ...
具有半正非线性项的分数阶差分方程组边值问题的正解
1
2020
... 关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11 ]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17 ]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究. ...
Infinitely many solutions of quasilinear Schr?dinger equation with sign-changing potential
3
2014
... 关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9 ], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6 ,18 ]及其参考文献). 其中, 文献[9 ]讨论的强制位势如下 ...
... 而文献[18 ]中位势函数满足的条件为 ...
... 到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2 ,4 -5 ,8 ,12 ,14 ]及其参考文献). 其中文献[2 ]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4 ]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5 ]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H^1(\Bbb R^N) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8 ] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12 ] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9 ,16 ,18 ]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件 ...