本文研究如下的拟线性薛定谔方程

其中 $W:\Bbb R^N\rightarrow \Bbb R$ 是某个给定的位势, $\gamma$ 是常数, $l$, $\rho$ 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体^[6], 也出现在流体力学与等离子体物理^[7], 凝聚态理论^[10]以及耗散量子力学中^[3]. 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 $\psi(t,x)=\exp (-i Et)u(x)$ 的解, 其中 $E\in \Bbb R$, $u$ 是实值函数. 将上述形式的 $\psi(t,x)$ 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程

其中 $V(x)=W(x)-E$ 是一个新的位势, $h(x,u)=l(x,u^2)u$ 是一个新的非线性项. 当函数 $\rho$ 取不同的表达式的时候, 上述方程描述的是不同的物理模型. 当 $\rho(s)=s$ 时, 方程(1.2)表示为如下拟线性薛定谔方程

它描述的是等离子物理学中的超流体膜模型^[7]. 当 $\rho(s)=(1+s)^{1/2}$ 时, 方程(1.2)转化成如下拟线性薛定谔方程

该方程描述的是高功率超短激光通道模型^[1].

关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6,18]及其参考文献). 其中, 文献[9]讨论的强制位势如下

$(V^\prime)$$V(x)\in C(\Bbb R^N,\Bbb R)$, $\inf\limits_{x\in\Bbb R^N}V(x)\geq a_0>0$, $\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}V(x)=+\infty.$

文献[16]中的强制位势如下

$(V^{\prime\prime})$$V(x)\in C(\Bbb R^N,\Bbb R)$, $\inf\limits_{x\in\Bbb R^N}V(x)\geq a_0>0$. 而且, 对任意 $M>0$, ${\rm meas}\{x\in\Bbb R^N:V(x)\leq M\}<\infty$.

而文献[18]中位势函数满足的条件为

$(V)$$V(x)\in C(\Bbb R^N,\Bbb R)$, $\inf\limits_{x\in\Bbb R^N}V(x)\geq a_0>0$. 而且, 存在常数 $d_0>0$, 使得对任意的 $M>0$, 有

强制位势可以保证嵌入的紧性, 这三种强制位势中, $(V^\prime)$ 是最强的, 其次是 $(V^{\prime\prime})$, 最弱的是 $(V)$. 存在满足 $(V)$ 但不满足 $(V^\prime)$, $(V^{\prime\prime})$ 的函数, 例如

其中$n\in N$, $b_0\in \Bbb R$. 让 $d_0=\sup\limits_{x\in\Bbb R^N}|V(x)|$, 则 $V(x)$ 满足 $(V)$ 但不满足 $(V^\prime)$, $(V^{\prime\prime})$.

到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2,4-5,8,12,14]及其参考文献). 其中文献[2]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 $H^1(\Bbb R^N)$ 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9,16,18]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 $(V)$ 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 $h(x,s)$ 满足如下条件

$(h_1)$$\lim\limits_{s\rightarrow 0}\frac{h(x,s)}{s}=0,$ 关于 $x\in \Bbb R^N$ 一致成立.

$(h_2)$$\lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\frac{h(x,s)}{s^{p-1}}=0,$ 关于 $x\in \Bbb R^N$ 一致成立, 其中 $2<p<2^*=\frac{2N}{N-2}$.

$(h_3)$ 存在 $\mu>2$, 使得 $ sh(x,s)-\mu H(x,s)\geq0.$

$(h_4)$$h(x,-s)=-h(x,s)$.

主要结论如下

定理 1.1 若 $V(x)$ 满足条件条件 $(V)$, $h(x,s)$ 满足 $(h_1)-(h_4)$, $-2<\gamma<\gamma^*$, 其中

则方程(1.4)存在一列高能解.

注1.2 为简便起见, 我们将积分 $\int_{\Bbb R^N}k(x){\rm d}x$ 简记为 $\int_{\Bbb R^N}k(x)$. 记

对每个 $u\in H$, 定义 $u$ 的范数为

从形式上看, 方程(1.4)所对应的能量泛函为

借鉴文献[13-14] 中的证明思想, 首先做变量替换 $v:=F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t$, 其中 $f$ 的定义如下

将上述变换带入 $J(u)$, 得到下面的泛函

则 $I$ 在 $H$ 上有定义, 且 $I(v)=J(u)=J(F^{-1}(v))$. 在假设条件 $(h_1)$-$(h_3)$ 下, $I\in C^1(H,\Bbb R)$ 并且如果 $v$ 是 $I$ 的临界点, 那么 $u=F^{-1}(v)$ 是方程(1.4)的解^[13,14].

接下来, 给出方程

通过计算可知, 方程(2.2)和前面的方程(1.4)等价. 如果 $u$ 是方程(1.4)的解, 那么对任意 $\varphi\in C_0^\infty(\Bbb R^N)$, 有

(2.3)式等价于下面的等式

事实上, 在(2.3)式中让 $\varphi=\frac{\psi}{f(u)}$, 可得(2.4)式. 由于 $u=F^{-1}(v)$, 如果在(2.4)式中, 令 $\psi=f(u)\varphi$, 那么可得(2.3)式. 因此, 找方程(1.4)解的问题就转化成讨论如下方程

下面给出 $F^{-1}, f$ 的相关性质, 其具体的证明见文献[14].

引理 2.1 函数 $F^{-1}, f$ 满足下列性质

(1) 对任意 $t\in \Bbb R$, 当 $\gamma>0$ 时, 有 $1\leq f(t)\leq \sqrt{\frac{2+\gamma}{2}}$;

当 $-2<\gamma<0$ 时, 有 $\sqrt{\frac{2+\gamma}{2}} \leq f(t)\leq 1$;

(2) 对任意 $t\in \Bbb R$, 当 $\gamma>0$ 时, 有 $\sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t|\leq |F^{-1}(t)|\leq |t|$;

当 $-2<\gamma<0$ 时, 有 $|t|\leq |F^{-1}(t)|\leq \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t|$;

(3) 当 $t\rightarrow0$ 时, 有 $\frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow 1$;

(4) 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 有 $\frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}$;

(5) 对任意 $t\in \Bbb R$, 当 $\gamma>0$ 时, 有 $0\leq \sup\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}$;

当 $-2<\gamma<0$ 时, 有 $1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}\leq \inf\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 0$.

定理 1.1 的证明主要用到下面的喷泉定理和两个引理.

定理 2.2 (喷泉定理^[15]) 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $\{e_j\}_{j=1}^\infty$ 是 $H$ 的完全正交基. 定义

不变泛函 $I\in C^1(H, \Bbb R)$, 并且对任意的 $k \in N$, 存在 $\rho_k>r_k>0$, 满足

$(A_1)$$I(u)=I(-u)$,

$(A_2)$$a_k:=\max\limits_{u\in Y_k,\|u\|=\rho_k}I(u)\leq0$,

$(A_3)$$b_k:=\inf\limits_{u\in Z_k,\|u\|=r_k}I(u)\rightarrow+\infty, k\rightarrow+\infty$,

$(A_4)$ 对任意的 $c>0$, $I$ 满足 $(PS)_c$ 条件.

则 $I$ 有一列无界的临界值序列.

引理 2.3^[15] 如果 $1\leq p<2^*$, 那么当 $k\rightarrow\infty$ 时, 有 $\beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0,$ 其中 $|u|_p$ 是 $u$ 在 $L^p(\Bbb R^N)$ 中的范数.

引理 2.4 如果 $V(x)$ 满足条件 $(V)$, 那么当 $2\leq \alpha < 2^*$ 时, 嵌入 $H\hookrightarrow L^\alpha(\Bbb R^N)$ 是紧的.

定理 1.1 的证明 我们要得到定理 1.1 的结论, 只需验证泛函 $I$ 满足喷泉定理的所有条件, 分四步来完成.

第一步, 证明泛函 $I$ 满足喷泉定理的条件 $(A_1)$. 根据条件 $(h_4)$ 可知, 喷泉定理的条件 $(A_1)$ 成立.

第二步, 证明泛函 $I$ 满足喷泉定理的条件 $(A_2)$. 由条件 $(h_3)$ 可得, 存在常数 $C>0$, 使得

当 $\gamma>0$ 时, 根据(3.1)式以及引理 2.1(2) 得

因为 $Y_k$ 是有限维空间, 所以 $Y_k$ 中的所有范数是等价的. 又因为 $\mu>2$, 所以当 $\|v\|\rightarrow +\infty$ 时, 有 $I(v)\rightarrow -\infty.$

当 $-2<\gamma<0$ 时, 可得到类似结论, 从而喷泉定理的条件 $(A_2)$ 成立.

第三步, 证明泛函 $I$ 满足喷泉定理的条件 $(A_3)$. 根据条件 $(h_1), (h_2)$ 可得, 对任意 $(x,s)\in \Bbb R^N\times \Bbb R$, 有

当 $\gamma>0$ 时, 根据条件 $(V)$,(3.2)式, 引理 2.1(2) 可得

其中 $C_1=\min\{\frac{1}{2},\frac{1}{2+\gamma}- \frac{\epsilon}{2\alpha_0} \}$, 让 $\epsilon$ 取得足够小, 可以保证 $C_1>0$. 由引理 2.3 知, 当 $k\rightarrow\infty$ 时, $\beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0.$ 任取 $v\in Z_k$, 令 $u=\frac{v}{\|v\|}$, 则 $|v|_p\leq \beta_k\|v\|$. 从而

取 $r_k=(\frac{2C_1}{C_\epsilon\beta_k^p p})^{\frac{1}{p-2}}$, 若 $v\in Z_k$ 且 $\|v\|=r_k$, 则有

因为 $p>2$, 而且当 $k\rightarrow+\infty$ 时, $\beta_k\rightarrow0,$ 所以当 $k\rightarrow+\infty$ 时, 有 $b_k\rightarrow+\infty$.

当 $-2<\gamma<0$ 时, 可类似证明, 从而喷泉定理的条件 $(A_3)$ 成立.

第四步, 证明泛函 $I$ 满足喷泉定理的条件 $(A_4)$, 即对任意的 $c>0$, $I$ 满足 $(PS)_c$ 条件. 设 $\{v_n\}\subset H$ 是 $I$ 在临界水平 $c>0$ 处的 $(PS)_c$ 序列, 即 $I(v_n)\rightarrow c,\ \ I^\prime(v_n)\rightarrow 0,$ 也就是

并且对任意的 $\varphi\in H$, 有

选取 $\varphi=\varphi_n=F^{-1}(v_n)f(F^{-1}(v_n)),$ 由引理 2.1(1)(2) 可得 $|\varphi_n|\leq C |v_n|$, 并且

因此 $\varphi_n\in H$. 注意到 $\{v_n\}\subset H$ 是 $(PS)_c$ 序列, 结合引理 2.1(2) 和条件 $(h_3)$ 有

(I) $\gamma>0$ 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2) 知

再由引理 2.1(5) 知,

当 $ \mu\geq4,\gamma>0$ 时, $\frac{\mu-4}{2}\geq0,l(\gamma)>0$, 故有

当 $2<\mu<4, 0<\gamma<\frac{16(\mu-2)}{(\mu-4)^2}$ 时, $ \min_\gamma l(\gamma)=\frac{4-\mu}{2}$, 同样有

由(3.5),(3.6),(3.7)式知, $\|v_n\|$ 有界.

因为 $\{v_n\}$ 在 $H$ 中有界, 所以存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 $\{v_n\}$, 即存在 $v\in H $, 使得 $v_n\rightharpoonup v$ 于 $H$. 再根据引理 2.4, 有 $v_n\rightarrow v$ 于 $L^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*)$.

令 $k(x,v)=V(x)v-V(x)\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}+\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}$, 则方程(2.5)转化成半线性薛定谔方程

由条件 $(h_1), (h_2)$ 以及引理 2.1(3)(4) 知, 当 $ s\rightarrow 0$ 时, 有

当 $ s\rightarrow +\infty$ 时, 有

从而, 对任意 $\epsilon>0$, 存在 $C_2>0$, 使得 $ k(x,s)\leq \epsilon |s|+C_2 |s|^{p-1}. $ 因为 $v_n\rightarrow v$ 于 $L^p(\Bbb R^N)$$(2\leq p<2^*)$, 所以有

因此

因此, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $\|v_n-v\|\rightarrow 0$, 即 $I$ 满足 $(PS)_c$ 条件.

(II) $-2<\gamma<0$ 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2)(5) 知

因为 $\mu>2$, 所以 $\|v_n\|$ 有界, 从而存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 $\{v_n\}$, 即存在 $v\in H $, 使得 $v_n\rightharpoonup v$ 于 $H$. 再根据引理 2.4, 有 $v_n\rightarrow v$ 于 $L^p(\Bbb R^N)\ (2\leq p<2^*)$. 由中值定理得, 存在 $\xi=\theta v_n+(1-\theta)v,\ \theta \in (0,1)$, 使得

当 $-2<\gamma<0$ 时, $f(s)\leq 1$, 再结合引理 2.1(5) 知

因为 $v_n\rightarrow v$ 于 $L^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*)$, 所以结合条件 $(h_1), (h_2)$ 得

由(3.9),(3.10)式知

当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $\|v_n-v\|\rightarrow 0$, 此时 $I$ 满足 $(PS)_c$ 条件.

综合 (I)(II) 知, 对任意的 $\gamma>-2$, 喷泉定理的条件 $(A_4)$ 成立. 由第一步到第四步的证明, 结合喷泉定理, 即可得到定理 1.1 的结论.证毕.

关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究.