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数学物理学报, 2023, 43(1): 93-100

一类拟线性薛定谔方程的多解性

薛艳昉,*, 朱新才,

信阳师范学院数学与统计学院 河南信阳 464000

Existence of Multiple Solutions for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations

Xue Yanfang,*, Zhu Xincai,

College of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University, Henan Xinyang 464000

通讯作者: *薛艳昉, E-mail: xueyanfang2015@163.com

收稿日期: 2021-05-13   修回日期: 2022-07-25  

基金资助: 国家自然科学基金(11901499)
国家自然科学基金(11901500)
信阳师范学院南湖学者青年项目(201912)

Received: 2021-05-13   Revised: 2022-07-25  

Fund supported: The NSFC(11901499)
The NSFC(11901500)
Nanhu Scholar Program for Young Scholars of XYNU(201912)

作者简介 About authors

朱新才,E-mail:zhuxc68@163.com

摘要

该文研究了强制位势下拟线性薛定谔方程的多解性问题. 首先利用变量代换, 将拟线性方程转化成半线性方程, 然后借助喷泉定理, 得到了该方程的无穷多个高能量解.

关键词: 拟线性薛定谔方程; 喷泉定理; 强制位势

Abstract

The multiple solutions are studied for a class of Quasilinear Schrödinger equation under the coercive potential. By using the method of variable substitution, the quasilinear problem is transformed into a semilinear one, then infinitely many high energy solutions of the equation are obtained with the help of the fountain theorem.

Keywords: Quasilinear Schrödinger equations; Fountain theorem; Coercive potential

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本文引用格式

薛艳昉, 朱新才. 一类拟线性薛定谔方程的多解性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 93-100

Xue Yanfang, Zhu Xincai. Existence of Multiple Solutions for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 93-100

1 引言

本文研究如下的拟线性薛定谔方程

iψt=ψ+W(x)ψl(|ψ|2)ψγ[ρ(|ψ|2)]ρ(|ψ|2)ψ,
(1.1)

其中 W:RNR 是某个给定的位势, γ 是常数, l, ρ 均为实函数. 方程(1.1)源自于许多物理现象. 它可以描述磁振子理论和海森堡铁磁体[6], 也出现在流体力学与等离子体物理[7], 凝聚态理论[10]以及耗散量子力学中[3]. 我们关心的是方程(1.1)的驻波解, 即形如 ψ(t,x)=exp(iEt)u(x) 的解, 其中 ER, u 是实值函数. 将上述形式的 ψ(t,x) 代入方程(1.1), 可得到具有变分结构的椭圆型方程

Δu+V(x)uγΔρ(u2)ρ(|u|2)u=h(x,u),  xRN,
(1.2)

其中 V(x)=W(x)E 是一个新的位势, h(x,u)=l(x,u2)u 是一个新的非线性项. 当函数 ρ 取不同的表达式的时候, 上述方程描述的是不同的物理模型. 当 ρ(s)=s 时, 方程(1.2)表示为如下拟线性薛定谔方程

Δu+V(x)uγΔ(u2)u=h(x,u),  xRN.
(1.3)

它描述的是等离子物理学中的超流体膜模型[7]. 当 ρ(s)=(1+s)1/2 时, 方程(1.2)转化成如下拟线性薛定谔方程

Δu+V(x)uγu21+u2Δ(1+u2)=h(x,u),  xRN,
(1.4)

该方程描述的是高功率超短激光通道模型[1].

关于方程(1.3)的结果非常丰富, 比较经典的是文献[9], 在非线性项是幂函数的情况下, 考虑了多种位势的情形, 该文献通过约束极小和山路引路, 讨论了解的存在性问题. 随后大量文献探讨了方程(1.3)解的存在性, 多重性及集中性(见文献[6,18]及其参考文献). 其中, 文献[9]讨论的强制位势如下

(V)V(x)C(RN,R), infxRNV(x)a0>0, lim|x|V(x)=+.

文献[16]中的强制位势如下

(V)V(x)C(RN,R), infxRNV(x)a0>0. 而且, 对任意 M>0, meas{xRN:V(x)M}<.

而文献[18]中位势函数满足的条件为

(V)V(x)C(RN,R), infxRNV(x)a0>0. 而且, 存在常数 d0>0, 使得对任意的 M>0, 有

lim|y|meas{xRN:|xy|d0,V(x)M}=0.

强制位势可以保证嵌入的紧性, 这三种强制位势中, (V) 是最强的, 其次是 (V), 最弱的是 (V). 存在满足 (V) 但不满足 (V), (V) 的函数, 例如

V(x)={2n|x|2n(n1)+b0,|x|(n1,2n12),2n|x|+2n2+b0,|x|(2n12,n),

其中nN, b0R.d0=supxRN|V(x)|, 则 V(x) 满足 (V) 但不满足 (V), (V).

到目前为止, 针对方程(1.4)的结果不多(见文献[2,4-5,8,12,14]及其参考文献). 其中文献[2]在径向位势下, 借助 Jeanjean 的单调技巧得到一个正解; 文献[4]在势阱位势下, 通过扰动方法得到一个正的基态解. 文献[5]讨论多解问题, 在周期位势下, 通过定义 Nehari 流形和 H1(RN) 中单位球面之间的同胚, 得到无穷多个解; 文献[8] 在周期位势下, 通过山路引理, 得到一个正解; 文献[12] 在势阱位势下, 借助 Pohozaev 恒等式得到一个非平凡的基态解. 然而, 对于强制位势下, 解的多重性结果, 目前还没有. 受文献[9,16,18]的启发, 我们考虑在最弱的强制位势 (V) 下, 方程(1.4)解的多重性问题, 其中非线性项 h(x,s) 满足如下条件

(h1)lims0h(x,s)s=0, 关于 xRN 一致成立.

(h2)lims+h(x,s)sp1=0, 关于 xRN 一致成立, 其中 2<p<2=2NN2.

(h3) 存在 μ>2, 使得 sh(x,s)μH(x,s)0.

(h4)h(x,s)=h(x,s).

主要结论如下

定理 1.1V(x) 满足条件条件 (V), h(x,s) 满足 (h1)(h4), 2<γ<γ, 其中

γ={16(μ2)(μ4)2,  μ<4,+,  μ4.

则方程(1.4)存在一列高能解.

注1.2 为简便起见, 我们将积分 RNk(x)dx 简记为 RNk(x).

H:={uH1(RN):RN(|u|2+V(x)u2)<},

对每个 uH, 定义 u 的范数为

2 预备知识

从形式上看, 方程(1.4)所对应的能量泛函为

\begin{eqnarray*} J(u)&=&\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}\left[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})|\nabla u|^{2}\right]+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)u^{2}-\int_{\Bbb R^N}H(x,u). \end{eqnarray*}

借鉴文献[13-14] 中的证明思想, 首先做变量替换 v:=F(u)=\int_0^u f(t){\rm d}t, 其中 f 的定义如下

\begin{matrix}\label{ch2} f(t)=\sqrt{1+\frac{\gamma t^2}{2(1+t^2)}}. \end{matrix}
(2.1)

将上述变换带入 J(u), 得到下面的泛函

I(v)=\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v)),

IH 上有定义, 且 I(v)=J(u)=J(F^{-1}(v)). 在假设条件 (h_1)-(h_3) 下, I\in C^1(H,\Bbb R) 并且如果 vI 的临界点, 那么 u=F^{-1}(v) 是方程(1.4)的解[13,14].

接下来, 给出方程

\begin{equation}\label{eq33d} -{\rm div}\bigg[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})\nabla u\bigg]+V(x)u+\frac{\gamma u}{2(1+u^2)^2}|\nabla u|^2=h(x,u). \end{equation}
(2.2)

通过计算可知, 方程(2.2)和前面的方程(1.4)等价. 如果 u 是方程(1.4)的解, 那么对任意 \varphi\in C_0^\infty(\Bbb R^N), 有

\begin{matrix}\label{for131d} \int_{\Bbb R^N}\bigg[(1+\frac{\gamma u^2}{2(1+u^2)})\nabla u\cdot\nabla \varphi+\frac{\gamma u}{2(1+u^2)^2}|\nabla u|^2\varphi +V(x) u\varphi-h(x,u)\varphi\bigg]=0, \end{matrix}
(2.3)

(2.3)式等价于下面的等式

\begin{matrix}\label{for231d} \langle I^\prime(v),\psi\rangle&=&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\nabla v\cdot\nabla \psi +V(x) \frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\psi-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\psi\bigg)=0. \end{matrix}
(2.4)

事实上, 在(2.3)式中让 \varphi=\frac{\psi}{f(u)}, 可得(2.4)式. 由于 u=F^{-1}(v), 如果在(2.4)式中, 令 \psi=f(u)\varphi, 那么可得(2.3)式. 因此, 找方程(1.4)解的问题就转化成讨论如下方程

\begin{matrix}\label{eq5h} -\triangle v+V(x)\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}=\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}, \ \ x\in \Bbb R^N. \end{matrix}
(2.5)

下面给出 F^{-1}, f 的相关性质, 其具体的证明见文献[14].

引理 2.1 函数 F^{-1}, f 满足下列性质

(1) 对任意 t\in \Bbb R, 当 \gamma>0 时, 有 1\leq f(t)\leq \sqrt{\frac{2+\gamma}{2}};

-2<\gamma<0 时, 有 \sqrt{\frac{2+\gamma}{2}} \leq f(t)\leq 1;

(2) 对任意 t\in \Bbb R, 当 \gamma>0 时, 有 \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t|\leq |F^{-1}(t)|\leq |t|;

-2<\gamma<0 时, 有 |t|\leq |F^{-1}(t)|\leq \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}}|t|;

(3) 当 t\rightarrow0 时, 有 \frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow 1;

(4) 当 t\rightarrow\infty 时, 有 \frac{F^{-1}(t)}{t}\rightarrow \sqrt{\frac{2}{2+\gamma}};

(5) 对任意 t\in \Bbb R, 当 \gamma>0 时, 有 0\leq \sup\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma};

-2<\gamma<0 时, 有 1+\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}\leq \inf\limits_{t\in R}\frac{f^\prime(t)t}{f(t)}\leq 0.

定理 1.1 的证明主要用到下面的喷泉定理和两个引理.

定理 2.2 (喷泉定理[15]) 设 H 是 Hilbert 空间, \{e_j\}_{j=1}^\inftyH 的完全正交基. 定义

Y_k:={\rm span}\{e_1, e_2,\cdots, e_k\}, \ \ \ Z_k:=Y_k^\bot, \ k \in N.

不变泛函 I\in C^1(H, \Bbb R), 并且对任意的 k \in N, 存在 \rho_k>r_k>0, 满足

(A_1)I(u)=I(-u),

(A_2)a_k:=\max\limits_{u\in Y_k,\|u\|=\rho_k}I(u)\leq0,

(A_3)b_k:=\inf\limits_{u\in Z_k,\|u\|=r_k}I(u)\rightarrow+\infty, k\rightarrow+\infty,

(A_4) 对任意的 c>0, I 满足 (PS)_c 条件.

I 有一列无界的临界值序列.

引理 2.3[15] 如果 1\leq p<2^*, 那么当 k\rightarrow\infty 时, 有 \beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0, 其中 |u|_puL^p(\Bbb R^N) 中的范数.

引理 2.4 如果 V(x) 满足条件 (V), 那么当 2\leq \alpha < 2^* 时, 嵌入 H\hookrightarrow L^\alpha(\Bbb R^N) 是紧的.

3 主要结果的证明

定理 1.1 的证明 我们要得到定理 1.1 的结论, 只需验证泛函 I 满足喷泉定理的所有条件, 分四步来完成.

第一步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_1). 根据条件 (h_4) 可知, 喷泉定理的条件 (A_1) 成立.

第二步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_2). 由条件 (h_3) 可得, 存在常数 C>0, 使得

\begin{equation}\label{1h} H(x,s)\geq C |s|^\mu. \end{equation}
(3.1)

\gamma>0 时, 根据(3.1)式以及引理 2.1(2) 得

\begin{eqnarray*}\label{Q6} I(v)&=&\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2- \int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v))\\ &\leq& \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-C \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^\mu\\ &\leq& \frac{1}{2}\|v\|^2-C(\sqrt{\frac{2}{2+\gamma}})^{\mu} \int_{\Bbb R^N}|v|^\mu. \end{eqnarray*}

因为 Y_k 是有限维空间, 所以 Y_k 中的所有范数是等价的. 又因为 \mu>2, 所以当 \|v\|\rightarrow +\infty 时, 有 I(v)\rightarrow -\infty.

-2<\gamma<0 时, 可得到类似结论, 从而喷泉定理的条件 (A_2) 成立.

第三步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_3). 根据条件 (h_1), (h_2) 可得, 对任意 (x,s)\in \Bbb R^N\times \Bbb R, 有

\begin{equation}\label{2h} H(x,s)\leq \frac{\epsilon}{2} |s|^2+C_\epsilon |s|^{p}. \end{equation}
(3.2)

\gamma>0 时, 根据条件 (V),(3.2)式, 引理 2.1(2) 可得

\begin{eqnarray*} I(v) & = &\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v))\\ & \geq & \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2+\gamma} \int_{\Bbb R^N}V(x)| v|^2-\frac{\epsilon}{2} \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^2-C_\epsilon \int_{\Bbb R^N}|F^{-1}(v)|^p\\ & \geq &\frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v|^{2}+\frac{1}{2+\gamma} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-\frac{\epsilon}{2\alpha_0} \int_{\Bbb R^N}V(x)|v|^2-C_\epsilon |v|^p_p\\ & \geq & C_1\|v\|^2-C_\epsilon |v|^p_p, \end{eqnarray*}

其中 C_1=\min\{\frac{1}{2},\frac{1}{2+\gamma}- \frac{\epsilon}{2\alpha_0} \}, 让 \epsilon 取得足够小, 可以保证 C_1>0. 由引理 2.3 知, 当 k\rightarrow\infty 时, \beta_k:=\sup\limits_{u\in Z_k,\|u\|=1}|u|_p\rightarrow0. 任取 v\in Z_k, 令 u=\frac{v}{\|v\|}, 则 |v|_p\leq \beta_k\|v\|. 从而

I(v)\geq C_1\|v\|^2-C_\epsilon\beta_k^p\|v\|^p.

r_k=(\frac{2C_1}{C_\epsilon\beta_k^p p})^{\frac{1}{p-2}}, 若 v\in Z_k\|v\|=r_k, 则有

b_k:=\inf\limits_{u\in Z_k,\|u\|=r_k}I(u)\geq C_1r_k^2-C_\epsilon\beta_k^pr_k^p =C_1 (1-\frac{2}{p})(\frac{2C_1}{C_\epsilon\beta_k^p p})^{\frac{p}{p-2}}.

因为 p>2, 而且当 k\rightarrow+\infty 时, \beta_k\rightarrow0, 所以当 k\rightarrow+\infty 时, 有 b_k\rightarrow+\infty.

-2<\gamma<0 时, 可类似证明, 从而喷泉定理的条件 (A_3) 成立.

第四步, 证明泛函 I 满足喷泉定理的条件 (A_4), 即对任意的 c>0, I 满足 (PS)_c 条件. 设 \{v_n\}\subset HI 在临界水平 c>0 处的 (PS)_c 序列, 即 I(v_n)\rightarrow c,\ \ I^\prime(v_n)\rightarrow 0, 也就是

\begin{matrix}\label{for31d} \frac{1}{2}\int_{\Bbb R^N}|\nabla v_n|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2-\int_{\Bbb R^N}H(x,F^{-1}(v_n))=c+o_n(1), \end{matrix}
(3.3)

并且对任意的 \varphi\in H, 有

\begin{eqnarray*} \langle I^\prime(v_n),\varphi\rangle=\int_{\Bbb R^N}\bigg(\nabla v_n\cdot\nabla \varphi + V(x)\frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}\varphi -\frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\varphi\bigg) =o_n(1). \end{eqnarray*}

选取 \varphi=\varphi_n=F^{-1}(v_n)f(F^{-1}(v_n)), 由引理 2.1(1)(2) 可得 |\varphi_n|\leq C |v_n|, 并且

|\nabla \varphi_n|=\bigg| \bigg(1+\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)\nabla v_n\bigg| \leq C|\nabla v_n|.

因此 \varphi_n\in H. 注意到 \{v_n\}\subset H(PS)_c 序列, 结合引理 2.1(2) 和条件 (h_3)

\begin{matrix}\label{ch7} \mu c+o_n(1)&=&\mu I(v_n)-\langle I^\prime(v_n),\varphi_n\rangle \nonumber \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2 \nonumber \\ &&+\int_{\Bbb R^N}[h(x,F^{-1}(v_n))F^{-1}(v_n)-\mu H(x,F^{-1}(v_n))]\nonumber \\ &\geq&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}\nonumber\\ &&+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|F^{-1}(v_n)|^2. \end{matrix}
(3.4)

(I) \gamma>0 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2) 知

\begin{matrix}\label{ch9g} \mu c+o_n(1) &\geq&\int_{\Bbb R^N}\bigg(\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\bigg)|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2+\gamma}\int_{\Bbb R^N}V(x)v_n^2. \end{matrix}
(3.5)

再由引理 2.1(5) 知,

\frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq \frac{\mu-2}{2}-1-\frac{4-2\sqrt{4+2\gamma}}{\gamma}:=\frac{\mu-4}{2}+l(\gamma).

\mu\geq4,\gamma>0 时, \frac{\mu-4}{2}\geq0,l(\gamma)>0, 故有

\begin{matrix}\label{ch3} \frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq\frac{\mu-4}{2}+l(\gamma)\geq 0. \end{matrix}
(3.6)

2<\mu<4, 0<\gamma<\frac{16(\mu-2)}{(\mu-4)^2} 时, \min_\gamma l(\gamma)=\frac{4-\mu}{2}, 同样有

\begin{matrix}\label{ch4} \frac{\mu-2}{2}-\frac{F^{-1}(v_n)f^\prime(F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}\geq \frac{\mu-4}{2}+l(\gamma)\geq0. \end{matrix}
(3.7)

由(3.5),(3.6),(3.7)式知, \|v_n\| 有界.

因为 \{v_n\}H 中有界, 所以存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 \{v_n\}, 即存在 v\in H , 使得 v_n\rightharpoonup vH. 再根据引理 2.4, 有 v_n\rightarrow vL^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*).

k(x,v)=V(x)v-V(x)\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}+\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}, 则方程(2.5)转化成半线性薛定谔方程

\begin{matrix}\label{eq6h} -\triangle v+V(x)v=k(x,v), \ \ x\in \Bbb R^N. \end{matrix}
(3.8)

由条件 (h_1), (h_2) 以及引理 2.1(3)(4) 知, 当 s\rightarrow 0 时, 有

\begin{eqnarray*} \frac{k(x,s)}{s}=V(x)\bigg(1-\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot \frac{1}{f(F^{-1}(s))}\bigg)+\frac{h(x,F^{-1}(s))}{F^{-1}(s)}\cdot\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot\frac{1}{f(F^{-1}(s))} \rightarrow0, \end{eqnarray*}

s\rightarrow +\infty 时, 有

\begin{eqnarray*} \frac{k(x,s)}{s^{p-1}}=V(x)\bigg(\frac{1}{s^{p-2}}-\frac{F^{-1}(s)}{s}\cdot\frac{1}{s^{p-2}} \frac{1}{f(F^{-1}(s))}\bigg)+\frac{h(x,F^{-1}(s))}{s^{p-1}}\frac{1}{f(F^{-1}(s))} \rightarrow0. \end{eqnarray*}

从而, 对任意 \epsilon>0, 存在 C_2>0, 使得 k(x,s)\leq \epsilon |s|+C_2 |s|^{p-1}. 因为 v_n\rightarrow vL^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*), 所以有

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{\Bbb R^N}(k(x,v_n)-k(x,v))(v_n-v)=0.

因此

\begin{eqnarray*} o_n(1)&=&\langle I^\prime(v_n)-I^\prime(v),v_n-v\rangle \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg( |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)(v_n-v)^2\bigg)-\int_{\Bbb R^N}(k(x,v_n)-k(x,v))(v_n-v)\\ &=&\|v_n-v\|^2+o_n(1). \end{eqnarray*}

因此, 当 n\rightarrow\infty 时, 有 \|v_n-v\|\rightarrow 0, 即 I 满足 (PS)_c 条件.

(II) -2<\gamma<0 的情形. 由(3.4)式以及引理 2.1(2)(5) 知

\begin{eqnarray*} \mu c+o_n(1)\geq\int_{\Bbb R^N}\frac{\mu-2}{2}|\nabla v_n|^{2}+\frac{\mu-2}{2}\int_{\Bbb R^N}V(x)|v_n|^2=\frac{\mu-2}{2}\|v_n\|^2. \end{eqnarray*}

因为 \mu>2, 所以 \|v_n\| 有界, 从而存在弱收敛的子列, 不妨仍记为 \{v_n\}, 即存在 v\in H , 使得 v_n\rightharpoonup vH. 再根据引理 2.4, 有 v_n\rightarrow vL^p(\Bbb R^N)\ (2\leq p<2^*). 由中值定理得, 存在 \xi=\theta v_n+(1-\theta)v,\ \theta \in (0,1), 使得

\begin{eqnarray*} \frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))} =\frac{1-\frac{F^{-1}(\xi)f^\prime(F^{-1}(\xi))}{f(F^{-1}(\xi))}}{f^2(F^{-1}(\xi))}(v_n-v). \end{eqnarray*}

-2<\gamma<0 时, f(s)\leq 1, 再结合引理 2.1(5) 知

\begin{matrix}\label{ch7h} \bigg[ \frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \geq(v_n-v)^2. \end{matrix}
(3.9)

因为 v_n\rightarrow vL^p(\Bbb R^N)(2\leq p<2^*), 所以结合条件 (h_1), (h_2)

\begin{matrix}\label{ch8h} \int_{\Bbb R^N}\bigg[ \frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \rightarrow 0. \end{matrix}
(3.10)

由(3.9),(3.10)式知

\begin{eqnarray*} o_n(1)&=&\langle I^\prime(v_n)-I^\prime(v),v_n-v\rangle \\ &=&\int_{\Bbb R^N}\bigg[ |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)\bigg(\frac{F^{-1}(v_n)}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{F^{-1}(v)}{f(F^{-1}(v))}\bigg) (v_n-v) \bigg] \nonumber \\ &&-\int_{\Bbb R^N}\bigg[ \frac{h(x,F^{-1}(v_n))}{f(F^{-1}(v_n))}-\frac{h(x,F^{-1}(v))}{f(F^{-1}(v))}\bigg](v_n-v) \\ &\geq&\int_{\Bbb R^N}\big( |\nabla (v_n-v)|^{2}+V(x)(v_n-v)^2\big)+o_n(1)\\ &=&\|v_n-v\|^2+o_n(1). \end{eqnarray*}

n\rightarrow\infty 时, 有 \|v_n-v\|\rightarrow 0, 此时 I 满足 (PS)_c 条件.

综合 (I)(II) 知, 对任意的 \gamma>-2, 喷泉定理的条件 (A_4) 成立. 由第一步到第四步的证明, 结合喷泉定理, 即可得到定理 1.1 的结论.证毕.

关于拟线性薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 是否可以借鉴文献[11]中的思想, 讨论其他类型的解, 是否可以类似文献[17]考虑分数维的情形, 这些都值得我们去做进一步的研究.

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